Oscilador 1D: um pacote algébrico para o oscilador harmônico unidimensional amortecido e forçado

(1)

Oscilador 1D: um pacote alg´ebrico para o oscilador harmˆonico unidimensional amortecido e for¸cado

E. S. Bernardes

^∗

L.I.A. – Laborat´ orio de Instrumentac ¸˜ ao Alg´ ebrica Departamento de F´ısica e Ciˆencia dos Materiais

Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos Universidade de S˜ao Paulo

Av. do Trabalhador S˜ao-carlense, 400 CP 369 13560.970 S˜ao Carlos, SP

Brasil

20 de Novembro de 2004

Resumo

Várias rotinas em computa¸cão algébrica foram desenvolvidas para auxiliarem nos estudos das principais caracter´ısticas f´ısicas de um oscilador harmônico amortecido e for¸cado, com destaque para os fenômenos de ressonância e batimento. Energias e o espa¸co de fase desses sistemas também são discutidos em detalhes. Estas rotinas também estão dispon´ıveis para que possam ser utilizadas à distância.

Conte´ udo

1 Introdu¸c˜ao 2

2 Oscilador harmˆonico livre 3

3 Oscilador harmˆonico amortecido 5

3.1 Amortecimento sub-cr´ıtico . . . 5

3.2 Amortecimento cr´ıtico . . . 6

3.3 Amortecimento super-cr´ıtico. . . 6

4 Oscilador harmˆonico amortecido e for¸cado 6 4.1 Amortecimento sub-cr´ıtico . . . 7

4.2 Amortecimento cr´ıtico . . . 8

4.3 Amortecimento super-cr´ıtico. . . 9

5 Rotinas algébricas 9 6 Simula¸cões 9 6.1 Oscilador harmônico livre . . . 9

6.2 Oscilador harmˆonico amortecido . . . 10

6.3 Oscilador harmˆonico amortecido e for¸cado . . . 10

6.3.1 Amortecimento sub-cr´ıtico. . . 10

6.3.2 Amortecimentos cr´ıtico e super-cr´ıtico . . . 12

∗email: sousa@if.sc.usp.br

(2)

7 Exerc´ıcios 12 7.1 Oscilador livre . . . 12 7.2 Oscilador amortecido . . . 13 7.3 Oscilador amortecido e for¸cado . . . 13

8 Conclus˜oes 14

A Equivalˆencia entre osciladores horizantais e verticais 14

B Figuras 15

1 Introdu¸c˜ ao

E de conhecimento geral que o oscilador harmônico tem um papel fundamental em todas as for-´ mas das ciências exatas. Todo objeto, seja ele microscópico ou macroscópico, é capaz de oscilar de alguma maneira. Os átomos oscilam em torno de suas posi¸cões de equil´ıbrio numa molécula;

para pequenas oscila¸cões, elas são harmônicas. Amortecedores de automóveis, máquinas de lavar roupas, pontes, relógios de pêndulos, para citar apenas alguns exemplos do nosso cotidiano, também apresentam oscila¸cões. Em F´ısica, um sistema massa-mola é ideal para introduzirmos o conceito de energia potencial, bem como o conceito de conserva¸cão da energia mecânica, espa¸co de fase, e outros igualmente importantes. Desta forma, estudos detalhados de um oscilador harmônico é indis- pensável. A forma mais simples, nem por isso menos ilustrativa e instrutiva, de iniciar estes estudos

é considerando um oscilador harmônico unidimensional livre. Em seguida, podemos adicionar pelo menos duas situa¸cões novas. Primeiro, podemos considerar o efeito de uma for¸ca dissipativa. Esta situa¸cão nos permite, em princ´ıpio, a constru¸cão de um amortecedor, por exemplo. Depois, podemos considerar ainda o efeito de uma for¸ca externa não-dissipativa, como uma for¸ca oscilante no tempo, por exemplo. Esta for¸ca injeta energia no sistema. Esta situa¸cão nos permite entender, por exemplo, os cuidados que devem ser tomadas durante o projeto de uma ponte pênsil, ou de uma máquina de lavar roupas, devido ao aparecimento do efeito de ressonância que pode estar presente em um oscilador harmônico amortecido e for¸cado.

Neste trabalho, iremos usar um ambiente de computa¸cão algébrica (ou simbólica) para desen- volvermos ferramentas computacionais que servirão para manipularmos e visualizarmos as equa¸cões horárias pertinentes numa forma poss´ıvel apenas em um ambiente computacional. Estas ferramentas algébricas, em primeiro lugar, encurtarão enormemente o tempo de esfor¸co manual numa abordagem tradicional, além de oferecerem uma oportunidade única de revelar detalhes sobre o comportamento transiente instantaneamente, anima¸cões do movimento completo, estudos detalhados sobre as diver- sas formas de energias (cinética, potencial, dissipada e absorvida), visualiza¸cão do espa¸co de fase (posi¸cão versus velocidade). Naturalmente, temos nenhuma inten¸cão de substituir qualquer livro texto [1, 2, 3] contendo estes tópicos, mas apenas proporcionar uma compreensão dos mesmos de forma mais detalhada e com um esfor¸co manual m´ınimo, permitindo assim que o esfor¸co intelec- tual predomine nestes estudos. Em segundo lugar, estas rotinas algébricas podem servir como base para um aprendizado sobre computa¸cão algébrica, a qual é indispensável tanto no ensino quanto na pesquisa. Além disto, o manuseio destas rotinas servirão como uma oportunidade excelente para a elabora¸cão de novas rotinas destinadas a outros problemas. Em terceiro lugar, este mesmo ambiente de computa¸cão algébrica nos permitirá criar recursos de multim´ıdia, os quais possibilitarão que estes estudos também sejam feitos à distância. Escolhemos, neste trabalho, a plataforma de computa¸cão algébrica Maple (www.maplesoft.com), por comodidade. No entanto, todas as rotinas constru´ıdas por nós são simples o suficiente para serem implementadas em outras plataformas, como o Mathematica (www.wulfram.com), sem dificuldades.

Este trabalho é parte integrante do Laboratório de Instrumenta¸cão Algébrica – LIA, o qual tem por finalidade de servir como uma biblioteca virtual de ferramentas algébricas destinadas ao ensino e pesquisa em ciência, com textos em português, e que proporcionem oportunidades de ensino à distância. Para maiores informa¸cões, consulte o portalwww.lia.br.

(3)

Este trabalho está organizado da seguinte maneira: o oscilador harmônico livre é estudo na Se¸cão2; o oscilador harmônico na presen¸ca de uma for¸ca dissipativa (ou amortecedora) é estudado na Se¸cão 3; uma for¸ca oscilatória é adicionada na Se¸cão 4. As principais rotinas algébricas são apresentadas na Se¸cão5. A Se¸cão6apresenta várias simula¸cões feitas a partir das equa¸cões horárias completas bem como vários outros casos de estudos. A Se¸cão7 contém vários exerc´ıcios referentes

às passagens que não estão expl´ıcitas no texto. Finalmente, chamamos a aten¸cão para diversos aspectos que foram explorados em grande parte devido às ferramentas computacionais desenvolvidas aqui. Recomendamos que a leitura deste texto seja acompanhada, paralelamente, pelas atividades computacionais contidas no arquivo “oscilador.mws”, o qual deve ser aberto pelo Maple (versão 7 ou superior).

2 Oscilador harmˆ onico livre

Na ausência de qualquer for¸ca dissipativa ou externa, a equa¸cão de movimento de um sistema constituido por uma mola e uma massa é obtida através da segunda lei de Newton [1,2],FR=ma.

Duas hipóteses são necessárias: que a mola tenha massa desprez´ıvel e que obede¸ca à lei de Hooke, isto

é, que a intensidade da for¸ca elástica seja linear na posi¸cão e que seja restauradora (esta propriedade

é caracterizada pelo sinal negativo na expressão seguinte), F = −k x, onde k é uma constante caracter´ıstica da mola (constante de mola) exmede a deforma¸cão da mola. Esta deforma¸cão deve ser medida a partir de comprimento natural da mola, se ela estiver na horizontal, ou a partir de sua posi¸cão de equil´ıbrio, se ela estiver na vertical (veja a equivalência destas duas situa¸cões no ApêndiceA). Apliquemos então a segunda lei de Newton,

FR=−k x=m a=m¨x, x¨= d²

dt²x(t). (1)

Esta é uma equa¸cão diferencial ordinária de segunda ordem e linear emx(t). Esta equa¸cão diferencial admite uma solu¸cão anal´ıtica única se duas condi¸cões iniciais, por exemplo,x(0) =x0 e ˙x(0) =v0, forem conhecidas. Por comodidade, é melhor dividirmos (1) pela massam,

¨

x+ω²₁x= 0, x(0) =x0, x(0) =˙ v0, ω₁²= k

m. (2)

Podemos notar imediatamente nesta equa¸cão que a constante novaω1tem dimensão de inverso do tempo (freqüência). Assim, ela será denominada de freqüência natural deste sistema. A equa¸cão horáriax(t) que satisfaz a equa¸cão diferencial (2) é expressa em termos de fun¸cões harmônicas (senos e cossenos) com a mesma freqüênciaω1,

x(t) =x0cos(ω1t) + v0

ω1sin(ω1t). (3)

Embora esta solu¸c˜ao seja absolutamente geral, ela pode ser re-escrita numa forma mais tradicional, mais adequada a ser manuseada,

x(t) =Acos(ω1t+φ), A²=x²₀+¡v0

ω1

¢₂

, tanφ=− v0

ω1x0. (4)

Estas duas constantes novas,A eφ, são conhecidas por amplitude e constante de fase, respectivamente. A fase éθ(t) = ω1t+φ. A presen¸ca destas fun¸cões harmônicas na equa¸cão horária deste sistema, confere a ele o adjetivo de oscilador harmônico. Podemos ver claramente em (4) que esta equa¸cão horária oscila, com freqüência ω1, entre os valores constantes ±A. Uma simula¸cão deste movimento é feita na Se¸cão6.1. O per´ıodo T deste movimento é 2π/ω1,

x(t+T) =x(t)⇒T = 2π ω1

. (5)

Isto significa queω1 = 2πf, onde f = 1/T é freqüência. Assim, devemos chamar ω1 de freqüência angular (expressa em radianos por segundo). No entanto, quando não houver possibilidade de confusão, continuaremos chamandoω1 simplesmente de freqüência.

(4)

Para completar, precisamos fazer algumas considera¸cões sobre energia neste sistema. Podemos ver facilmente, devido a (4), que a energia mecânica (cinética + potencial) deste sistema é constante,

E=T+V =1

2mx˙²+1

2kx²=1

2kA²=1

2mω₁²A². (6)

Portanto, a energia mecˆanica m´edia,

hEi= 1 t

Z _t

0

Edt, (7)

também é constante no tempo. Naturalmente, para que esta energia mecânica permane¸ca constante, deve haver uma troca harmônica entre energia cinética e potencial. Isto significa que, mesmo embora não haja qualquer troca de energia entre este sistema (massa–mola) e o meio (não há for¸cas externas e nem dissipa¸cões), há uma troca de energia internamente entre a massa m e a mola k. ´E muito interessante ver esta troca de energia na forma de potência cinética instantânea (varia¸cão de energia cinética no tempo),

P(t) = dT

dt =F(t)v(t) =−1

2k ω1A²sin(2ω1t+ 2φ). (8) Note que o per´ıodo desta expressão é a metade do per´ıodo da equa¸cão horária (4). Naturalmente, a energia cinética é a integral da potência instantânea (8),

T = Z _t

0

P(t)dt= 1

2mx˙². (9)

Energias e potências, instantâneas integrais e médias, estão comentadas com mais detalhes na Se¸cão6.1.

Em mecânica, o estado de um sistema é caracterizado pelas suas grandezas cinemáticas, posi¸cão, velocidade e acelera¸cão. É muito instrutivo desenharmos uma curva tridimensionalγ(t) = (x,x,˙ ¨x), parametrizada pelo tempot, tendo a posi¸cãox(t), a velocidade ˙x(t) e a acelera¸cão ¨x(t) como eixos cartesianosXY Z, respectivamente. Esta curvaγé conhecida como espa¸co de configura¸cão. Em cada instante de tempo, um ponto nesta curva representa um poss´ıvel estado para o sistema. A medida que o tempo transcorre, podemos acompanhar a evolu¸cão temporal do sistema observando a forma desta curva γ. Portanto, o espa¸co de configura¸cões é um retrato da dinâmica de um determinado sistema. Este espa¸co de configura¸cões contém muitas informa¸cões relevantes sobre a dinâmica de um sistema [4,5,6]. Muitas delas estão comentadas na Se¸cão6.1.

Quando o sistema é unidimensional como o oscilador harmônico que estamos considerando aqui, a proje¸cão do espa¸co de configura¸cões no planox− −vtambém pode ser denominado (informalmente) de espa¸co de fase. O espa¸co de fase de um sistema unidimensional, como o oscilador massa-mola que estamos estudando, é uma curva plana parametrizada pelo tempo, onde a ordenada é a velocidade

˙

x(ou o momentum linear mx˙ =p, para ser mais preciso) e a abscissa é a posi¸cãox. Em geral, a análise destas curvas produz muitas informa¸cões relevantes sobre o sistema f´ısico em questão. Para o caso do oscilador livre, podemos ver que tal curva no espa¸co de fase é uma elipse. Este resultado decorre da expressão (6) para a energia mecânica. Dividindo aquela expressão pela massam, temos, após alguns re-arranjos,

x²

A² + x˙²

(ω1A)² = 1. (10)

Esta ´e uma e´ıpse com o semi-eixo horizontal a = A (amplitude) e o semi-eixo vertical b = ω1A.

Note que a razãob/a=ω1é exatamente a freqüência natural do oscilador livre. Os semi-eixos da trajetória (10) também podem ser esxpressos em termos da energia mecânica por unidade de massa, 2E/m= (ω1A)²,

x² E/ω₁² +x˙²

E = 1, E= 2E

m = (ω1A)². (11)

O espa¸co de fase do oscilador harmônico livre está comentado também na Se¸cão6.1.

(5)

3 Oscilador harmˆ onico amortecido

Suponha que a massamdo sistema massa–mola anterior esteja imersa em um determinado l´ıquido, como água ou algum tipo de óleo. Neste caso, haverá também uma for¸ca dissipativa neste sistema, pois o l´ıquido proporcionará um amortecimento ao movimento da massa m. Numa aproxima¸cão de primeira ordem, esta for¸ca dissipativa pode ser feita proporcional à velocidade, −bx, onde˙ b

´e a constante de amortecimento. Desta forma, a segunda lei de Newton para este oscilador com amortecimento ´e

FR=−k x−bx˙ =m¨x. (12)

Dividindo esta equa¸c˜ao pela massam, introduzindo as constantes apropriadas, teremos de resolver a equa¸c˜ao diferencial

¨

x+ 2ω2x˙+ω₁²x= 0, x(0) =x0, x(0) =˙ v0, ω₁²= k

m, ω2= b

2m, (13)

para determinarmos a equa¸cão horáriax(t) deste sistema. Note que a constanteb/mtem dimensão de freqüência. O fator dois foi introduzido por comodidade. A solu¸cão geral da equa¸cão diferencial (13) é

x(t) = e^−ω²^t¡

C+e^+Ω¹²^t+C−e^−Ω¹²^t¢

, Ω12= q

ω²₂−ω²₁, (14) ondeC± são as duas constantes arbitrárias, as quais devem ser determinadas através das condi¸cões iniciaisx(0) =x0 e ˙x(0) =v0,

C± = 1 2Ω12

£(Ω12±ω2)x0±v0

¤. (15)

Devido `a forma de Ω12em (14), devemos considerar trˆes casos separadamente: (1) Ω12<0 (amortecimento sub-cr´ıtico), (2) Ω12= 0 (amortecimento cr´ıtico) e (3) Ω12>0 (amortecimento super-cr´ıtico).

3.1 Amortecimento sub-cr´ıtico

Neste caso,ω1> ω2. Assim ´e melhor redefinirmos a constante Ω12

Ω²₁₂=ω₁²−ω₂². (16)

Após um pouco de simplifica¸cões na expressão (14), levando em considera¸cão que Ω12>0, a equa¸cão horária deste caso pode ser escrita numa forma estendida,

x(t) = e^−ω²^t

·

x0cos(Ω12t) +ω2x0+v0

Ω12 sin(Ω12t)

¸

, (17)

ou numa forma compacta,

x(t) =Asin(Ω12t+φ), A=

pω₁²x²₀+ 2ω2x0v0+v₀²

Ω12 e^−ω²^t, tanφ= x0Ω12

ω2x0+v0. (18) Portanto, esta solu¸cão é harmônica, com freqüência angular Ω12, e amplitude exponencialmente decrescente no tempo. Gra¸cas ao limite fundamental,

Ωlim12→0

sin(√ Ω₁₂t)

√Ω12

=t, (19)

podemos ver que a equa¸cão horária (17) é cont´ınua emω2=ω1, lim

ω2→ω⁻₁ x(t) = lim

ω2→ω⁺₁ x(t) = e^−ω¹^t£

x0+ (ω1x0+v0)t¤

. (20)

E importante observarmos que energia potencial elástica é definida através do trabalho da for¸ca´ elástica, a qual é conservativa. No presente caso, temos também uma for¸ca dissipativa. Assim,

(6)

continuaremos calculando a energia mecânica como sendo a soma das energias cinética e potencial elástica, como no caso do oscilador livre, (6). No entanto, aqui a amplitude depende do tempo e há dois termos adicionais, também dependentes do tempo,

E=T+V =1

2mx˙²+1

2kx²= 1 2mA²£

ω₁²−ω₂²cos²(Ω12t+φ)−ω2Ω12sin²(Ω12, t+φ)¤

. (21) Podemos ver claramente que esta energia mecânica não tem uma média, definida em (7), constante, mas exponencialmente decrescente no tempo. A potência dissipada pela for¸ca amortecedora −bx,˙ instantaneamente, é dada pelo produto desta for¸ca pela velocidade ˙x,

Pd=−bx˙²=−2mω2x˙². (22) Naturalmente, a potˆencia dissipada integral ´e a energia dissipada pela for¸ca amortecedora,

Ed= Z _t

0

Pddt. (23)

Energias e potências, instantâneas integrais e médias, estão comentadas com mais detalhes na Se¸cão6.2, bem como o espa¸co de fase deste sistema.

3.2 Amortecimento cr´ıtico

O amortecimento ´e cr´ıtico quando ω₂ =ω₁. Tomando o cuidado de calcular o limite ω₂ → ω₁ na (14), como indicado em (24), podemos ver que desta vez a massamn˜ao oscila,

ω2lim→ω1

x(t) = e^−ω¹^t£

x₀+ (ω₁x₀+v₀)t¤

. (24)

Simula¸cões da equa¸cão de movimento deste caso, bem como o espa¸co de fase, mais energias e potências, instantâneas integrais e médias, estão comentadas com mais detalhes na Se¸cão6.2.

3.3 Amortecimento super-cr´ıtico

O amortecimento é super-cr´ıtico quandoω2> ω1. Levando esta condi¸cão na equa¸cão horária geral (14), podemos ver que neste caso a massamtambém não oscila. A expressão (14), a qual é a equa¸cão horária deste caso, também fornece o mesmo limite encontrado nas duas situa¸cões anteriores para ω₂→ω₁.

4 Oscilador harmˆ onico amortecido e for¸cado

Em muitas situa¸cões reais, além da for¸ca de amortecimento, há a presen¸ca de uma for¸ca externa.

Fenômenos interessantes surgem quando a intensidade desta for¸ca externa varia no tempo. Vejamos agora o efeito de uma for¸ca externa cuja intensidade Fecosω3t varia harmonicamente no tempo, com freqüênciaω3. Neste caso, a equa¸cão do oscilador amortecido (13) é alterada para

¨

x+ 2ω2x˙+ω₁²x=αcosω3t, ω₁²= k

m, ω2= b

2m, α= Fe

m. (25)

Esta equa¸cão diferencial não-homogênea admite uma solu¸cão da forma x(t) = e^−ω²^t¡

C+e^+Ω¹²^t+C−e^−Ω¹²^t¢

+Ω²₋cosω3t+ 2ω2ω3sinω3t

Ω⁴₋+ (2ω2ω3)² α, (26) onde fizemos

Ω²₁₂=−(ω²₁−ω₂²), Ω²_±= +(ω²₁±ω₃²). (27)

(7)

Como no caso anterior (sem a for¸ca externa), as constantes C± são determinadas através das condi¸cões iniciais x(0) = x0 e ˙x(0) = v0. No entanto, neste caso, devido à presen¸ca da for¸ca externa, estas constantes exibem uma forma ligeiramente mais complicada que aquela exibida em (15). Assim, é melhor escrevê-las explicitamente para cada um dos três casos poss´ıveis considerados a seguir.

O primeiro termo na solu¸cão (26), contendo a exponencial decrescente no tempo, é denominado de parte transiente. Ele é a solu¸cão da equa¸cão diferencial homogênea (13), como visto na se¸cão anterior. O segundo termo em (26) é denominado de parte estacionária da solu¸cão. Note que esta parte estacionária é harmônica, com uma freqüência angular igual à freqüência angular da for¸ca externa.

4.1 Amortecimento sub-cr´ıtico

Neste caso, ´e melhor redefinirmos a constante Ω12,

Ω²₁₂= +(ω₁²−ω²₂), (28)

poisω1> ω2. É conveniente dividirmos a solu¸cão geral (26) em duas partes: uma parte transiente e uma parte estacionária. A parte transiente da solu¸cão (26), a qual satisfaz a equa¸cão diferencial homogênea (13), pode ser escrita na forma expl´ıcita

xT(t) = e^−ω²^t

½·

x0− αΩ²₋ Ω⁴₋+ (2ω2ω3)²

¸

cos Ω12t+

·

x0ω2+v0− αω2Ω²₊ Ω⁴₋+ (2ω2ω3)²

¸sin Ω12t Ω12

¾ , (29) após a condi¸cão Ω12>0 ter sido usada. As constantes Ω± são as mesmas definidas em (27). Como esperado, esta solu¸cão transiente oscila no tempo com a freqüência Ω12, definida em (28), mas com uma amplitude decrescente no tempo, com um tempo de meia vida inversamente proporcional

à intensidade do amortecimento, ω2. Note que se fizermos α = 0 (for¸ca externa nula) em (29), recuperaremos a solu¸cão (17). Esta solu¸cão é cont´ınua emω2=ω1.

Como a amplitude da solu¸cão transiente decai exponencialmente no tempo, então a solu¸cão geral (26) é dominada rapidamente pela parte estacionária,

xO(t) =αΩ²₋cosω₃t+ 2ω₂ω₃sinω₃t

Ω⁴₋+ (2ω₂ω₃)² , (30)

a qual é oscilatória, com freqüência igual à freqüênciaω3da for¸ca externa e com amplitude constante,

x_O(t) =Acos(ω₃t+φ). (31)

A freqüência Ω− está definida em (27). No entanto devemos tomar muito cuidado com a forma compacta (31), pois a forma estendida (30) tem um limite bem definido emω3=ω1

lim

ω3→ω₁⁻xO(t) = lim

ω3→ω₁⁺xO(t) = α 2ω1ω2

sinω1t. (32)

Para que a parte estacion´aria (31) seja cont´ınua emω3=ω1, devemos escolher a faseφe a amplitude A, respectivamente, como:

φ=







ϕseω3< ω1

−^π₂ seω3=ω1

ϕ+πseω3> ω1

, tanϕ=− 2ω2ω3

ω²₁−ω₃² (33)

e

A= α

p(ω₁²−ω₃²)²+ (2ω2ω3)². (34) Tomando estes cuidados, a forma compacta (31) apresenta os mesmos limites encontrados em (32).

Caso estes cuidados n˜ao fossem tomados, a fase φ em (33) apresentaria uma descontinuidade em ω3=ω1.

(8)

A amplitude exibe um efeito muito interessante na região em torno de ω3 = ω1: para um determinado valor do amortecimentoω2, ela passa por um máximo, o qual pode ser várias vezes o valor da amplitude nas demais regiões. Este efeito é denominado de ressonância. Ele é um refor¸co da amplitude que ocorre quando a freqüência ω3 da for¸ca externa iguala à freqüência natural ω1. Este refor¸co pode tornar-se realmente muito grande para amortecimentos pequenos. Este efeito foi o responsável pelo desabamento de uma ponte pênsil nos Estados Unidos, bem como algumas oscila¸cões realmente preocupantes na ponte Rio-Niterói. No entanto, este efeito de ressonância desaparece para um amortecimentoω2 ≥ω1/√

2. Esta condi¸cão pode ser inferida do denominador da amplitude em (31), o qual tem de ser o menos positivo poss´ıvel no ponto de máximo (pico da amplitude). Sumariando: para haver o efeito de ressonância, as duas condi¸cões seguintes devem ser satisfeitas,

ω2≥ ω1

√2, ω3=ω1. (35) O balan¸co de energia deste caso leva em considera¸cão também a energia que está sendo injetada no sistema massa-mola pela for¸ca externa,

Ei= Z _t

0

Pidt, Pi=Fex˙cosω3t. (36) O efeito de ressonância, energias e potências, instantâneas, integrais e médias, estão comentadas com mais detalhes na Se¸cão 6.3. Nesta mesma Se¸cão 6.3 apresentamos também um outro efeito muito interessante, conhecido como batimentos. Há também detalhes sobre o espa¸co de fase deste sistema.

4.2 Amortecimento cr´ıtico

Neste caso, temos ω2 =ω1. A equa¸cão horária completa deste caso pode ser obtida diretamente da equa¸cão horária geral (26) ou da equa¸cão horária com amortecimento sub-cr´ıtico (29)–(30).

Procedendo como anteriormente, vamos separar a equa¸cão horária deste caso também numa parte transiente,

xT(t) = e^−ω¹^t

·

x0(1 +ω1t) +v0t−αΩ²₊ω1t+ Ω²₋ Ω⁴₊

¸

, Ω²_± =ω²₁±ω²₃, (37) e uma parte estacion´aria (oscilat´oria),

xO(t) =αΩ²₋cosω3t+ 2ω1ω3sinω3t

Ω⁴₊ . (38)

Esta parte oscilat´oria ´e cont´ınua emω3=ω1 para qualquer valor do tempo, lim

ω3→ω⁻₁ xO(t) = lim

ω3→ω⁺₁ xO(t) = α

2ω²₁sinω1t. (39)

Portanto, devemos tomar os mesmos cuidados anteriores quando quisermos re-escrever a parte oscilat´oria numa forma compacta,

xO(t) =Acos(ω3t+φ), (40)

onde

φ=







ϕseω3< ω1

−^π₂ seω3=ω1

ϕ+πseω3> ω1

, tanϕ=− 2ω1ω3

ω²₁−ω₃², A= α

ω₁²+ω₃². (41) Tomando estes cuidados, a forma compacta (40) apresenta os mesmos limites encontrados em (39).

Como a segunda condi¸cão em (35) não é satisfeita neste caso, poisω2 =ω1, então não há res- sonância. Pelo mesmo motivo, também não haverá batimentos. Estudos sobre energias e potências, bem como o espa¸co de fase, estão feitos na Se¸cão6.3.

(9)

4.3 Amortecimento super-cr´ıtico

Neste caso, temosω2> ω1. A equa¸cão horária completa deste caso deve ser obtida diretamente da equa¸cão horária geral (26). Vejamos primeiro a parte transiente,

xT(t) =¡

C+e^+Ω¹²^t+C−e^−Ω¹²^t¢

e^−ω²^t, (42)

onde C±= 1

2Ω12

·

(Ω12±ω2)x0±v0+α Ω12∓ω2

Ω²₂₃+ Ω²₁₂∓2ω2Ω12

¸

, Ω²₁₂=ω²₂−ω²₁, Ω²₂₃=ω₂²+ω₃². (43) Observe que podemos obter (15) fazendoα= 0 em (43), como era esperado. Também podemos ver claramente que esta solu¸cão transiente não é oscilatória.

A parte estacionária é oscilatória e é idêntica à parte estacionária (30) do caso com amortecimento sub-cr´ıtico. A diferen¸ca está na condi¸cão ω2 > ω1, a qual impede o surgimento de ressonância e batimentos.

5 Rotinas alg´ ebricas 6 Simula¸c˜ oes

Em todas as simula¸c˜oes e casos de estudos apresentados a seguir, usaremos sempre unidades MKS:

metro (m) para comprimentos, kilograma (Kg) para massas e segundo (s) para tempos. Energias estarão expressas em Joules (J) e potências em Watts (W). Todas as figuras estão no final do texto, dispostas pela ordem com que foram referenciadas.

6.1 Oscilador harmˆ onico livre

Como vimos na Se¸cão 2, a equa¸cão horária de um oscilador livre, constitu´ıdo por uma massa me uma mola ideal de constantek, é escrita puramente em termos de fun¸cões harmônicas, (3) ou (4). A Figura1 mostra um gráfico desta equa¸cão horária correspondente a uma posi¸cão inicialx0= 1 m, a uma velocidade inicialv0= 0 m/s (repouso) e a uma freqüência angularω1=p

k/m= 2πrad/s.

Note que não estamos usando valores espec´ıficos para a massa m e a constante de mola k. Isto significa que há uma quantidade inifinita de poss´ıveis massas e molas com esta freqüência. Podemos ver claramente na Figura1que a distância (temporal) entre dois máximos (m´ınimos) é exatamente um per´ıodoT = 1 s, como previsto em (5).

O gráfico na Figura2mostra a anergia mecânica por unidade de massa, a qual é constante para o oscilador livre, conforme podemos ver de (6),

E m = 1

2(ω1A)² (44)

Nesta mesma figura, podemos ver também a energia cinética (9) por unidade massa, calculada explicitamente como a integral da potência instantânea (8). Podemos ver claramente que a energia cinética é igual à energia mecânica sempre que a equa¸cão horária passa pelo eixo temporal, corres- pondendo a uma deforma¸cão nula da mola, implicando numa energia potencial elástica nula. Os pontos de máximos e de m´ınimos são os pontos de retorno, onde a deforma¸cão da mola é máxima e velocidade é nula, implicando numa energia cinética nula. Desta forma, a energia mecánica (cinética + potencial) é conservada.

A Figura3mostra o espa¸co de fase para duas condi¸c˜oes iniciais distintas. A primeira observa¸c˜ao

é sobre a unicidade da equa¸cão horária (3) para uma determinada condi¸cão inicial. Esta unicidade é evidenciada pelo não-cruzamento das duas curvas mostradas na Figura3. Estas curvas são as elipses (10)–(11), conforme podemos verificar facilmente com uma régua e com a amplitude calculada em

(10)

(4). O fato ser uma elipse indica que este movimento é periódico. Outra observa¸cão muito importante

é que estas curvas são fechadas. Isto é uma caracter´ıstica de um sistema exibindo conserva¸cão de energia e um movimento periódico o qual está confinado em uma região fechada. Podemos ver na Figura3que o oscilador livre está confinado no intervalo [−1,+1], onde os extremos±1 são os pontos de retorno (velocidade nula). Conforme indicado em (11), cada curva corresponde a uma energia mecânica. A Figura 4mostra o respectivo espa¸co de configura¸cões. Note que podemos extrair dele as mesmas informa¸cões que obtivemos do espa¸co de fase na Figura3.

6.2 Oscilador harmˆ onico amortecido

A Figura 5 exibe uma equa¸cão horária t´ıpica para cada uma das três situa¸cões poss´ıveis. Para o amortecimento sub-cr´ıtico (ω1 > ω2), com a equa¸cão horária (17), escolhemos ω1 =√

65π/4 e ω2=π/4 (ambas em rad/s). Esta escolha faz com que a freq¨uência de oscila¸cão (16) seja exatamente 2π, como pode ser visto na Figura5. Para o amortecimento cr´ıtico, com a equa¸cão horária (24), mantivemosω1=ω2=√

65π/4 e para o amortecimento super-cr´ıtico, com a equa¸c˜ao hor´aria (14), mantivemosω₁=√

65π/4 e escolhemosω₂= 3π. As condi¸cões iniciais foram as mesmas para os três casos, conforme indicado na Figura 5. As linhas tracejadas na Figura 5 correspondem aos valores positivos e negativos da amplitude encontrada em (18). Também está indicado na mesma figura a posi¸cão relativa dos tempos de meia vida (tempoτque a amplitude leva para diminuir por um fator igual 1/e = 0.36788), os quais sãoτ= 0.3389 s para o amortecimento cr´ıtico eτ= 0.4751 s para o amortecimento super-cr´ıtico. Note que o tempo de meia vida do caso cr´ıtico é sempre menor que o tempo de meia vida do caso super-cr´ıtico. O tempo de meia vida para o caso sub-cr´ıtico pode ser calculado de duas formas. O tempo de meia vida para a amplitudeAem (18) éτ = 1/ω2= 1.2732 s.

Levando em considera¸cão a equa¸cão horária completa em (17), o tempo de meia vida éτ= 0.1996 s.

A Figura 6 mostra a energia mecânica, a energia cinética e a energia dissipada (23), com a potência de dissipa¸cão (22), todas por unidade de massa, para o amortecimento sub-cr´ıtico. Podemos ver que neste caso não há pontos de retorno e que o movimento terminará após um rápido intervalo de tempo, evidenciado pela inversão de papéis entre a energia mecânica e a energia dissipada. A Figura7mostra as mesmas energias para os outros casos: com amortecimento cr´ıtico e super-cr´ıtico.

Em todos os casos, utilizamos as mesmas freqüências usadas para a constru¸cão das equa¸cões horárias apresentadas na Figura5.

As Figuras 8–9mostram, respectivamente, o espa¸co de fase e o espa¸co de configura¸cões na presen¸ca dos três tipos de amortecimento. A primeira observa¸cão que podemos fazer imediatamente

é que, ao contrário do oscilador livre (Figuras3–4), a presen¸ca de uma dissipa¸cão faz com que as trajetórias no espa¸co de fase e no espa¸co de configura¸cões sejam abertas, terminando, necessaria- mente, no repouso. Note a diferen¸ca entre o caso sub-cr´ıtico, o qual tem uma aparência espiralada, e os outros dois casos, cr´ıtico e super-cr´ıtico. Outra conclusão importante que podemos tirar, após alguns experimentos onde as condi¸cões iniciais são modificadas, é que também não há o cruzamento destas trajetórias no espa¸co de fase (ou de configura¸cões) quando mantemos as freqüências fixas.

6.3 Oscilador harmˆ onico amortecido e for¸cado

6.3.1 Amortecimento sub-cr´ıtico

Apontamos na Se¸cão4que a presen¸ca de uma for¸ca externa com uma intensidade oscilando harmonicamente no tempo produz efeitos novos na dinâmica de um oscilador amortecido. Talvez o mais marcante entre eles seja o efeito de ressonância apresentado na Figura 10, exibido pela amplitude (34) para o caso com amortecimento sub-cr´ıtico. Podemos ver nitidamente na Figura 10 que as condi¸cões (35) devem ser satisfeitas para que haja ressonância.

A Figura 11 mostra duas situa¸cões t´ıpicas de um oscilador for¸cado com amortecimento sub- cr´ıtico,ω2πeω2=π/10. Para este caso, a equa¸cão horária é a soma da parte transiente (29) com a parte estacionária (30). Escolhemos na Figura11uma equa¸cão horária sem o efeito de ressonância, ω3 =πe outra com o efeito de ressonância ω3= 2π. Naturalmente, o refor¸co na amplitude para o caso com ressonância é vis´ıvel após terminado a predominácia inicial da parte transiente (a partir de seis segundos, aproximadamente). Note que usamosω3< ω1para a equa¸cão horária sem ressonância

(11)

na Figura11. Caso tivéssemos usadoω3> ω1, ter´ıamos uma situa¸cão semelhante à Figura11, com uma equa¸cão horária intermediária às outras duas. É muito interessante vermos nas Figuras 12 como as energias correspondentes se comportam. Note a diferen¸ca gritante entre os casos sem e com ressonância. Podemos ver claramente na Figura12(b)que as energias dissipadas e absorvidas possuem a mesma taxa de varia¸cão no tempo (potência) quando há o efeito de ressonância. No entanto, estas potências tornam-se praticamente constantes apenas após o sistema ter absorvido uma quantidade de energia mecânica suficiente para manter o movimento harmônico no regime estacionário.

A Figura 13(a) mostra o espa¸co de “fase”, no intervalo 0–20 s, correspondente ao caso sem ressonância, discutido anteriormente. Podemos observar dois comportamentos nesta trajetória da Figura13: (1) uma trajetória aberta na forma de espiral no intervalo 0–12 s, t´ıpica de um movimento com dissipa¸cão de energia; (2) uma trajetória tentando ser fechada a partir dos 12 s, como podemos ver na Figura13(b). Este último comportamento está de acordo com o balan¸co de energia mostrado na Figura 12(a). No entanto, há vários cruzamentos nesta última parte da trajetória, os quais não haviámos visto até então. Ainda mais, estes cruzamentos não são admiss´ıveis, pois a equa¸cão horária foi determinada de uma equa¸cão diferencial de segunda ordem e duas condi¸cões iniciais (x0 e v0). Isto significa que esta solu¸cão é única. De fato, este espa¸co de “fase”, posi¸cão versus velocidade, não passa de uma proje¸cão do espa¸co de configura¸cões no plano x−v, como podemos ver na Figura 14. Apesar de continuarmos com a sensa¸cão de estarmos vendo cruzamentos nesta figura, eles não existem. A Figura 15(a)exibe a trajetória no espa¸co de configura¸cões no intervalo 12–16 s, a qual nos mostra claramente que esta trajetória não é uma curva plana. Esta observa¸cão é refor¸cada pela Figura15(b), exibindo a trajetória no intervalo 14.7–15.3 s. Isto significa que, sendo a trajetória no espa¸co de configura¸cões uma curva não-plana, a sua proje¸cão no planox−v pode apresentar cruzamentos.

A Figura 16 mostra o espa¸co de fase correspondente ao caso com ressonância. O espa¸co de configura¸cões está exibido na Figura17. Semelhantemente as trajetórias exibidas nas Figuras4e9, esta trajetória no espa¸co de configura¸cões também é plana. Podemos ver claramente que a trajetória mostrada na Figura16é uma soma de um movimento oscilatório amortecido, evidenciado pela parte espiralada, como na Figura8, e um movimento oscilatório puramente harmónico, evidenciado pela parte elipsoidal em torno da origem, como na Figura3. Esta parte elipsoidal (trajetórias fechadas) inicia após 8 s, aproximadamente. É neste instante em que o balan¸co energético é estabilizado, conforme podemos ver na Figura12(b). Assim, na ressonância, as trajetórias no espa¸co de configura¸cões são muito mais simples que nos demais casos sem ressonância.

Outro efeito importante que surge em um oscilador for¸cado é conhecido por batimentos. As Figuras 18 ilustram este efeito em duas situa¸cões: uma sem a presen¸ca de dissipa¸cão (ω2 = 0) e outra na presen¸ca de dissipa¸cão (ω₂ 6= 0). Quando não há dissipa¸cão, o efeito de batimentos permanece inalterado no tempo, como evidenciado na Figura 18(a). No entanto, na presen¸ca de dissipa¸cão, por menor que seja, o efeito de batimentos desaparece após um certo tempo. Este

´

ultimo caso está mostrado na Figura 18(b). Podemos entender o efeito de batimentos numa forma quantitativa considerando a situa¸cão mais simples onde a for¸ca dissipativa é nula,ω2= 0. Também vamos simplificar as condi¸cões iniciais, deixando o sistema massa-mola no repouso no intante inicial, x0=v0= 0. Nestas condi¸cões, a equa¸cão horária para o caso sub-cr´ıtico, a qual é a soma da parte transiente (29) com a parte estacionária (30), se reduz a

x(t) = α ω₁²−ω₁²

¡cosω3t−cosω1t¢

. (45)

Esta equa¸cão horária é a soma de duas fun¸cões harmônicas, portanto dois osciladores livres, com freqüências diferentes. Ela pode ser re-escrita na forma de uma única fun¸cão harmônica com uma amplitude dependente do tempo, também harmonicamente,

x(t) =−A(t) sin Ω+t, A(t) = 2α

ω²₁−ω²₁sin Ω−t, Ω±= ω1±ω3

2 . (46)

A freqüência Ω− é conhecida como freqüência de batimento. Usamos ω1 = 2π e ω3 = 1.6π nas Figuras18. Então a freqüência de batimento é Ω− = 2π/10, a qual implica em um per´ıodo igual a

(12)

10 s, como podemos verificar na Figura 18(a), observando a curva que envolve a equa¸c˜ao hor´aria.

Este efeito de batimentos é muito utilizado para a afina¸cão de instrumentos musicais. Quando a freqüência externa iguala à freqüência natural, ω3 = ω1, então o efeito de batimentos desaparece, cedendo lugar a uma onda harmônica com uma amplitude crescente no tempo,

ω3lim→ω1

x(t) = α t 2ω1

sinω1t. (47)

Este refor¸co na amplitude da freqüênciaω1 é o sinal de que dois instrumentos estão afinados. Isto também explique como algumas lou¸cas e cristais podem ser danificados por ondas sonoras. Natu- ralmente, há amortecimento em um instrumento musical real. Este amortecimento faz com que o comportamento linear no tempo da amplitude em (47) se altere para uma forma de uma raiz de um polinômio no tempo. As energias correspondentes aos dois tipos de batimentos apresentados na Figura18estão na mostradas na Figura 19. Na Figura 19(a), a energia mecânica é exatamente igual à energia absorvida, pois não há dissipa¸cão. Podemos observar na Figura 19(b)que o efeito de batimento cessará após algum tempo, permanecendo o sistema em um movimento harmônico for¸cado, caracterizado pelo valor nulo da potência mecânica média (a energia mecânica média será uma reta horizontal). A Figura20mostra o espa¸co de configura¸cões correspondente aos batimentos exibidos na Figura18(a)para meio per´ıodo (5 s, neste caso). Como não há dissipa¸cão, a trajetória

é fechada, per´ıodica, mas ela não é plana. Observe também a forma simétrica, harmoniosa, desta trajetória. Quando há dissipa¸cão, esta trajetória é distorcida e não mais fechada.

6.3.2 Amortecimentos cr´ıtico e super-cr´ıtico

A Figura 21 mostra as equa¸cões horárias para osciladores for¸cados com amortecimentos cr´ıtico e super-cr´ıtico. Em ambos os casos a freqüência da for¸ca externa é menor que a freqüência natural.

As respectivas energias e potencias podem ser vistas nas Figuras22e23, respectivamente. Podemos ver que energia mecânica (ou energia armazenada) é ligeiramente maior no caso cr´ıtico. Também podemos ver que o per´ıodo transiente é menor para o caso cr´ıtico (5 s). A figura 24 mostra os respectivos espa¸cos de configura¸cões.

7 Exerc´ıcios

Muitos exerc´ıcios desta se¸cão podem ser resolvidos facilmente mesmo sem o aux´ılio de um computa- dor. No entanto, é muito instrutivo resolvê-los também via computa¸cão algébrica, quando poss´ıvel.

Existem alguns que poderão tomar um tempo muito grande quando efetuados manualmente. Neste caso, o uso de computa¸cão algébrica é indispensável. Muitos destes exerc´ıcios estão resolvido, embora isto não esteja de forma expl´ıcita, na se¸cão “Simula¸cões – Passo a passo” do arquivo “oscilador.mws”, o qual deve ser aberto pelo Maple (versão 7 ou superior).

7.1 Oscilador livre

Exerc´ıcio 1

Prove que as constantes ω1 e ω2, definidas em (2) e (13), respectivamente, possuem, de fato, di- mensões de freqüência (inverso do tempo).

Exerc´ıcio 2

Mostre, por substitui¸cão direta, que as equa¸cões horárias (3) e (4) são de fato solu¸cões da equa¸cão diferencial (2) para o oscilador harmônico livre.

Exerc´ıcio 3

Determine explicitamente a amplitudeAe a constante de faseφapresentadas em (4).

Exerc´ıcio 4

Determine explicitamente a rela¸cão entre o per´ıodoT e a freqüência angularω1apresentada em (5).

(13)

Exerc´ıcio 5

Determine explicitamente a energia mecˆanica apresentada em (6).

Exerc´ıcio 6

(1) Prove que a potência cinética instantânea é igual ao produto da for¸ca pela velocidade, como apresentado em (8); (2) Determine explicitamente a potência cinética instantânea apresentada em (8); (3) Determine o per´ıodo desta potência cinética instantânea.

Exerc´ıcio 7

Deduza as express˜oes (10) e (11). (6).

Exerc´ıcio 8

Experimente a vontade modificando as condi¸cões iniciais e a freqüência angular na simula¸cão da equa¸cão horária exibida na Figura1. Veja as mudan¸cas correspondentes nas energias na Figura2.

Refa¸ca tamb´em o espa¸co de fase exibido na Figura3. Tire suas conclus˜oes.

Exerc´ıcio 9

Use uma régua para mostrar que os semi-eixos das elipses na Figura 3 são iguais às respectivas quantidade mencionadas nas equa¸cões (10)–(11). A amplitude está dada em (4).

7.2 Oscilador amortecido

Exerc´ıcio 10

Verifique que a equa¸cão horária geral (14) é solu¸cão da equa¸cão diferencial (13).

Exerc´ıcio 11

Deduza as equa¸c˜oes hor´arias (17) e (18).

Exerc´ıcio 12

Efetue os limites (20) explicitamente.

Exerc´ıcio 13

Calcule a energia mecânica (21) explicitamente. Calcule também o valor média dela em um per´ıodo (medido como se o oscilador estivesse livre).

Exerc´ıcio 14

(1) Calcule o limite (24) diretamente da equa¸cão horária geral (17). (2) Calcule a energia mecânica e a energia dissipada para equa¸cão horária (24).

fig:AmortecidoEC Exerc´ıcio 15

Modifique as condi¸cões iniciais para um mesmo oscilador amortecido, isto é, mantenha os mesmos valores para as freqüências, e verifique que o espa¸co de fase (Figura 8), bem como o espa¸co de configura¸cões (Figura9), não admite cruzamento entre suas trajetórias.

7.3 Oscilador amortecido e for¸cado

Exerc´ıcio 16

(1) Verifique que o primeiro termo (transiente) da solu¸cão (26) satisfaz apenas a parte homogênea da equa¸cão diferencial (25). (2) Verifique que o segundo termo da solu¸cão (26) é uma solu¸cão particular da equa¸cão diferencial (25) completa.

Exerc´ıcio 17

Mostre que a solu¸c˜ao transiente (29) ´e cont´ınua emω2=ω1.

(14)

Exerc´ıcio 18

Efetue os limites (32) explicitamente.

Exerc´ıcio 19

Prove que as condi¸cões (35) são necessárias para haver o efeito de ressonância.

Exerc´ıcio 20

Efetue o limiteω2→ω1nas equa¸cões horárias (29)–(30), com amortecimento sub-cr´ıtico, para obter a equa¸cões horárias (37)–(38), com amortecimento cr´ıtico.

Exerc´ıcio 21

Refa¸ca a Figura11acrescentando também uma equa¸cão horária sem ressonância mas com a freqüência externaω3acima da freqüência naturalω1. Fa¸ca o gráfico das energias deste caso e compare-o com as Figuras12. Refa¸ca também os gráficos do espa¸co de fase e do espa¸co de configura¸cões para incluir o casoω3> ω1.

8 Conclus˜ oes

A Equivalˆ encia entre osciladores horizantais e verticais

(15)

B Figuras

-1 -0.5 0 0.5 1

0 1 2 3 4 5

x(t)

t

ω1= 2π, x⁰= 1, v⁰= 0 T = 1

Figura 1: Equa¸cão horária (3) para um oscilador livre. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

t ω1= 2π, x0= 1, v0= 0

10x(t) T /mE/m

Figura 2: Energia mecânica (cinética + potencial) por unidade de massa, E/m, (44) e energia cinética por unidade de massa,T /m, (9) para um oscilador livre. A equa¸cão horáriax(t) está com a amplitude multiplicada por um fator 10. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

(16)

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

v

x

ω1= 2π, v0= 0 x⁰= 1

x⁰= 1/2

Figura 3: Espa¸co de fase de um oscilador livre para duas condi¸cões iniciais distintas. As curvas são elipses, cujos semi-eixos estão dados em (10)–(11). Todas as quantidades estão em unidades MKS.

-1 -0.5

0 0.5

1 -4

0

4 -20

0 20

x

v a

Figura 4: Espa¸co de configura¸cões de um oscilador livre para a condi¸cão inicial x0 = 1 e v0 = 0 durante um per´ıodo T = 1 com a freqüência angular ω1 = 2π. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

(17)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

t 0.3679

x0= 1, v0= 0

Sub-cr´ıtico Cr´ıtico Super-cr´ıtico Meia vida

Figura 5: Três equa¸cões horárias t´ıpicas para um oscilador amortecido com as condi¸cão iniciais x0 = 1 e v0 = 0. Nos três casos, a freqüência natural foi mantida em ω1 = √

65π/4. No caso super-cr´ıtico, a freqüência do amortecimento foiω2= 3π. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

-10 -5 0 5 10 15 20 25

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

t x⁰= 1, v⁰= 0

10x(t) E^d/m E/mT /m

Figura 6: Energia mecânica (cinética + potencial) por unidade de massa,E/m, energia cinética por unidade de massa,T /m, e energia dissipada por unidade de massa, Ed/m, para um oscilador com amortecimento sub-cr´ıtico (ω1=√

65π/4 eω2=π/4). A equa¸cão horáriax(t) está com a amplitude multiplicada por um fator 10. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

(18)

0 5 10 15 20 25

0 0.5 1 1.5 2

t x0= 1, v0= 0

10x(t) E^d/m Cr´ıtico:

(

E/mT /m 10x(t) E^d/m Super-cr´ıtico:

(

E/mT /m

Figura 7: Energia mecânica (cinética + potencial) por unidade de massa,E/m, energia cinética por unidade de massa,T /m, e energia dissipada por unidade de massa, Ed/m, para um oscilador com amortecimentos cr´ıtico (linha cheia, ω1 =√

65π/4) e super-cr´ıtico (linha tracejada,ω1=√ 65π/4 eω2 = 3π). A equa¸cão horáriax(t) está com a amplitude multiplicada por um fator 10. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-0.5 0 0.5 1

v

x

Sub-cr´ıtico (1) Sub-cr´ıtico (2) Super-cr´ıtico Cr´ıtico

Figura 8: Espa¸co de fase (posi¸c˜aox ×velocidade v) de um oscilador amortecido. As freq¨uencias utilizadas foram: ω1 =√

65π/4 eω2 =π/4 para o amortecimento sub-cr´ıtico, ω1 =√

65π/4 para o amortecimento cr´ıtico e ω₁ = √

65π/4 e ω₂ = 3π para o amortecimento super-cr´ıtico. O caso sub-cr´ıtico (2) tem x0 = 0.95 e v0 = 0.1 como condi¸cões iniciais; os demais casos têm x0 = 1 e v0= 0. O intervalo de tempo foi de 6 s. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

(19)

-0.5 0

0.5 1

-3 0 3 -40

-20 0 20

x

v a

Sub-cr´ıtico Cr´ıtico Super-cr´ıtico

Figura 9: Espa¸co de configura¸cões (posi¸cão x× velocidade v × acelera¸cão a) para um oscilador amortecido. As freqüencias utilizadas foram: ω1=√

65π/4 eω2=π/4 para o amortecimento sub- cr´ıtico,ω1=√

65π/4 para o amortecimento cr´ıtico eω1=√

65π/4 eω2= 3πpara o amortecimento super-cr´ıtico. Os três casos têmx0= 1 ev0= 0 como condi¸cões iniciais. O intervalo de tempo foi de 6 s. As proje¸cões destas curvas no planox−vestão na Figura8. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 0.5 1 1.5 2

A

ω³

ω1= 2π, α= 1 ω²=π/20 ω2=π/10 ω2=π√2 ω²=π/5

Figura 10: Efeito de ressonância para um oscilador for¸cado com amortecimentos sub-cr´ıticos. Nas quatro situa¸cões usamosω1= 2πeα= 1. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

(20)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 2 4 6 8 10

x(t)

t x⁰= 1, v⁰= 0

ω1= 2π, ω2=π/10, α= 1 ω3=π ω3= 2π

Figura 11: Equa¸cões horárias para um oscilador for¸cado com amortecimentos sub-cr´ıticos. Em uma delas há o efeito de ressonância. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

(21)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0 5 10 15 20

t x0= 1, v0= 0

ω1= 2π, ω2=π/10, ω3=π, α= 1

20x(t) E^d/m E^a/m E/m

(a) Sem ressonˆancia.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35

0 5 10 15 20

t x0= 1, v0= 0

ω¹= 2π, ω²=π/10, ω³=π, α= 1

20x(t) E^d/m E^a/m E/m

(b) Com ressonˆancia.

Figura 12: Energias por unidade de massa (mecânica,E/m, dissipada,Ed/m, e absorvida,Ea/m) para um oscilador for¸cado com amortecimento sub-cr´ıtico, sem o efeito de ressonância, Figura12(a), e com o efeito de ressonância, Figura12(b). Todas as quantidades estão em unidades MKS.

(22)

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

v

x

ω1= 2π, ω2=π/10, ω3=π, x0= 1, v0= 0

(a) Intervalo 0–20 s.

-0.25 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0 0.05 0.10 0.15 0.20

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 v

x

ω1= 2π, ω2=π/10, ω3=π, x0= 1, v0= 0

(b) Intervalo 12–30 s.

Figura 13: Espa¸co de fase (posi¸cãox×velocidadev) para um oscilador for¸cado com amortecimento sub-cr´ıtico e sem ressonância. O espa¸co de configura¸cões correspondente está na Figura14. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

(23)

-1

-0.5 0

0.5

1-6 -4

-2 0

2 4

6 -40

-20 0 20 40

a

x

v

Figura 14: Espa¸co de configura¸cões (posi¸cão x× velocidadev ×acelera¸cão a) para um oscilador for¸cado com amortecimento sub-cr´ıtico e sem ressonância no intervalo 0–20 s. Os parâmetros utilizados são ω1 = 2π, ω2=π/10, ω3 =π, x0 = 1, e v0 = 0. A proje¸cão desta curva no plano x−v está na Figura13(a). Outros detalhes desta curva estão na Figura15. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

(24)

-0.04 0.04 0

0.08 -0.4

-0.2 0

0.2 -1.6

-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8

a

x v

(a) Intervalo 12–16 s.

-0.026

-0.025

-0.024

-0.023 -0.02

0

0.02 0.04 -0.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 a

x

v

(b) Intervalo 14.7–15.3 s.

Figura 15: Detalhes mostrando que a trajetória no espa¸co de configura¸cões exibido na Figura 14 não é uma curva plana. Os parâmetros utilizados são ω1 = 2π, ω2 = π/10 e ω3 = π. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

(25)

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

v

x

ω1= 2π, ω2=π/10, ω3= 2π, x0= 1, v0= 0

Figura 16: Espa¸co de fase (posi¸cãox×velocidadev) para um oscilador for¸cado com amortecimento sub-cr´ıtico e com ressonância no intervalo 0–20 s. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

-1.2 -0.8

-0.4 0 0.4

0.8 -8

-4

0

4

8 -40

-20 0 20 40

x v

a

Figura 17: Espa¸co de configura¸cões (posi¸cão x× velocidadev ×acelera¸cão a) para um oscilador for¸cado com amortecimento sub-cr´ıtico e com ressonância no intervalo 0–20 s. Os parâmetros utilizados sãoω1 =ω3 = 2π, ω2=π/10,x0= 1, ev0= 0. A proje¸cão desta curva no planox−v está na Figura16. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

(26)

-0.15 -0.10 -0.05 0 0.05 0.10 0.15 0.20

0 2 4 6 8 10 12 14 16

t

x0=v0= 0, ω1= 2π, ω2= 0, ω3= 1.6π x(t) A(t)

(a) Batimentos sem dissipa¸c˜ao.

-0.15 -0.10 -0.05 0 0.05 0.10 0.15 0.20

0 2 4 6 8 10 12 14 16

t

x0=v0= 0, ω¹= 2π, ω²= 0.1, ω³= 1.6π x(t) A(t)

(b) Batimentos com dissipa¸c˜ao.

Figura 18: Efeitos de batimentos sem e com dissipa¸cão. Sem dissipa¸cão, os batimentos continuam indefinidamente sem qualquer altera¸cão. A curva tracejada é a amplitude A(t) definida em (46).

Em ambos os casos, a freqüência de batimento é 2π/10. Todas as quantidades estão em unidades MKS.

(27)

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

0 2 4 6 8 10 12 14 16

t

x⁰=v⁰= 0, ω¹= 2π, ω²= 0, ω³= 1.6π 0.5x(t)

E/m

(a) Energias para os batimentos sem dissipa¸c˜ao.

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 5 10 15 20 25 30

t

x⁰=v⁰= 0, ω¹= 2π, ω²= 0.1, ω³= 1.6π

0.5x(t) Ed/m E^a/m E/m

(b) Energias para os batimentos com dissipa¸c˜ao.

Figura 19: Energias para os efeitos de batimentos sem e com dissipa¸cão. Sem dissipa¸cão, os batimentos continuam indefinidamente sem qualquer altera¸cão. Neste caso, a energia absorvida é exatamente igual à energia mecânica. Em ambos os casos, a freqüência de batimento é 2π/10. Todas as quantidades estão em unidades MKS.