Um Experimento de Osilador Forado Amorteido
AForedDampedOsillatorExperiment
D. Tomasi
e E.C. Caparelli
EsueladeCieniayTenologia,UniversidadNaionaldeGeneralSanMartin
Alem3901,1651SanAndres,BuenosAires,Argentina.
Reebidoem15/12/2000. Aeitoem26/01/2001
Estetrabalhoapresentaumexperimentoapropriado paraasaulasdelaboratorioques~ao
normal-menteofereidasemursos degradua~ao. Este experimento estabaseadoemosila~oes foradas
amorteidas de uma agulha magnetia e permitea observa~ao dofen^omeno deresson^ania, que
oorrequando afrequ^eniadoampomagnetio dependentedotempooinide omafrequ^enia
deosila~oes livresdaagulhadeumabussola,queporsuavezdependedamagnetiza~aoedo
mo-mentodeineriadaagulha. Asosila~oes daagulhaforammonitoradasomumasondaHalleum
miroomputador,eosresultadosexperimentaisforamomparadosomateoriaatravesdaanalise
deFourierdosdados. Estesresultadosapresentaramboaonord^ania omasprevis~oesteorias.
Thisworkpresentsanexperimentsuitablefor intermediatelaboratoryinstrution,whihisbased
ontheforeddampedosillationsofamagnetineedle. Thisallows theobservaneofaresonane
phenomenon,whihourswhenthefrequenyofthe timedependentmagnetieldmathesthe
frequenyoffreeosillationsoftheompassneedlethatdependsonthemagnetizationandmoment
ofinertiaoftheneedle. TheompassneedleosillationsweremonitoredusingaHallsensoranda
PC.TheoryandexperimentwereomparedusingaFourieranalysisofthedata. Theresultsarein
goodagreementwiththetheoretialexpetations.
I Introdu~ao
O movimento de umosilador harm^oniosimples tem
sido amplamente estudado em ursos de fsia
experi-mental devido a possibilidade de se utilizar dois
ins-trumentos simples: op^enduloeosistema massa-mola.
Estes estudos experimentais geralmente s~ao baseados
na medi~aodoperodo,apartirdoquals~aoderivados
os par^ametrosdin^amios.
Nos ultimos anos varios experimentos foram
pro-postos para estudar o movimento de um osilador
harm^oniosimplesforadoamorteido[1-5℄. Por
exem-plo,osoeientesdevisosidadedoaredooleopodem
ser determinados a partir de osila~oes livres de uma
bolasustentadaporumamola[1,3℄.
Reentemente, devido ao aumento de apaidade
dos omputadorespessoais(PC),aaquisi~aoeanalise
dosdadosforaminludosdentrodoarranjo
experimen-tal,tornando possvelfazer ompara~oesmais preisas
entre os dados experimentais e as previs~oes teorias
[4,5℄.
Nestetrabalhoapresentamosumexperimento para
estudarasosila~oesforadasamorteidasdaagulhade
uma bussola. A aquisi~aode dadosefeita atravesde
ummiroomputadoreaanalisedeFouriereutilizada
paraestudaromovimentoosilatorio.
As duas se~oes a seguir ont^em a teoria das
os-ila~oesforadasamorteidasdeumaagulhaimantada
eosdetalhesdoexperimento proposto.
II Teoria
A seguir vamos onsiderar uma agulha imantada
em uma regi~ao do espao onde existem dois
am-posmagnetiosperpendiulares,umampomagnetio
estatio,B
0 =B
0 ^
i,eumampomagnetioharm^onio,
B
1 = B
1 os!t
^
j, omo ilustrado na Fig. 1, onde !
ea frequ^enia angular do ampo harm^onio. O vetor
ampomagnetiototalBedadopelasuperposi~aodos
doisamposepodeseresritoomo
B=(B
0 ;B
1
os!t;0): (1)
O torque, B, devido a intera~ao magnetia entre
osamposeomomentomagnetiodaagulha,,e
res-ponsavelpelamudanadomomentoangulardaagulha,
L,naseguinte forma[6℄
dL
dt
=B: (2)
onde
representa a derivada de segunda ordem do
^
angulo polar entre a agulha e B
0
, sendo I o
mo-mento deineriadaagulha. Comoeusual,
onsidera-mos apenas pequenos desvios na posi~aode equilibrio
da agulha, o qual s~ao denidos por sin . Neste
asoaEq. (3)setransformaemumaequa~aolinearde
segundaordem + B 0 I = B 1 I
os!t; (4)
Comotambemeusual,onsideramosoproessode
re-laxa~ao, induzido pelo atrito daagulha, que e
depen-dente daveloidade,inluindo termos de primeira
or-dem naequa~aolinear(4)
+ 2 T _ + B 0 I = B 1 I
os!t; (6)
onde o tempo de relaxa~ao, T, no termo de primeira
ordem , e uma onstante temporal dodeaimento
ex-ponenialdasolu~aohomog^eneadaEq.(6),queedada
por
H
(t)=exp
t
T
[Aexp(i!
t)+Bexp( i!
t) ℄: (7)
Aqui ! = q ! 2 0 1 T 2
eafrequ^enia naturaldas osila~oes amorteidas eA e B s~aooeientes onstantes, que
est~ao assoiados as ondi~oes iniiais (t = 0) e _
(t = 0). A solu~ao geral da Eq. (6) e a soma das solu~oes
homog^enea,(7), epartiular,queedadapor
p (t)= ! 2 1 T 2 [(! 2 0 ! 2 ) 2 T 2 +4! 2 ℄ (! 2 0 ! 2
)os!t+ 2! T sin!t : (8) d
Figura1. Orienta~aodabussolaeosamposmagnetios.
Entretantodevidoaodeaimentoexpon^enialde
H (t),
para t T a solu~ao gerale dominada pela solu~ao
partiular(8),ujaamplitudeapresentaum
omporta-mento resonanteem !
0
=! araterizadopelafun~ao
deLorentz 1 [(! 2 ! 2 ) 2
+(2!=T) 2
℄
; (9)
aqualatingeseuvalormaximopara!
0
=!,etemuma
largurade4!=T.
III Experimento
O objetivodesta se~aoetestara teoriaaima usando
um arranjoexperimental simples, ujosresultados s~ao
apropriadosparaintroduzirofen^omeno deresson^ania
magnetiaaestudantes degradua~ao.
O arranjo experimental esta mostrado na Fig. 2.
Oampomagnetioestatio,B
0
,eproduzidoporuma
orrenteontnuaI emumpardeHelmholtz,que
on-sistededuasbobinasirularesonstitudasde100
es-piras de obre ada uma, om 24 m de di^ametro e
separadas por uma dist^ania de 12 m. Estas
bobi-nasforamonetadasemserieparaproduzirumampo
magnetiouniformeemseuisoentro,dadopor
B
0
(0;0;0)= 8 0 N I 5 3=2 R ; (10)
ondeReoraiodasN espirase
0
eapermeabilidade
magnetia do vauo. Estas bobinas est~ao orientadas
paraproduzirumampomagnetioparaleloaoampo
Figura2. Oarranjoexperimentaldesritonotexto.
Oampoharm^onioB
1
,foiproduzidoporuma
or-rentealternada(AC)tiposenoonduzidaemumparde
Helmholtz,similaraqueledesritoaima,feitoom200
espirasdeobrede10mdedi^ametro. Esteparfoi
o-loadoperpendiularmenteaoparqueproduzoampo
B
0
. AorrenteACnestasbobinasforamajustadaspara
minimizaraamplitudedasosila~oesforadaspara
sa-tisfazer aexpress~ao sen. A agulhamagnetiafoi
oloadanoisoentrodosistemaesuasosila~oesforam
monitoradasusandoumsensordeampomagnetio
ba-seadonoefeitoHall,oqualfoiposiionadoparamedira
omponentexdoampomagnetio,omomostraaFig.
2. OsinaldasondaHallfoi ampliado,digitalizadoe
adquiridousandooprogramaMPLIparaWindows 1
e
ummiroomputador.
ComopodemosobservarapartirdaFig. 3b,a
om-ponentexdoampomagnetioosilaquandoaorrente
de(1;100;01)AeapliadaaopardeHelmholtzque
produzoampoB
0
,oqualusandoaequa~ao(10)
or-respondeaovalorde(8;260;08)Gauss. Nesteasoa
frequ^eniaangulardoampoB
1
foi oloadaem 25.46
rad/s. Este dadofoi adquirido umminutodepois que
o ampo B
1
foi ligado, para evitar o omportamento
transiente de frequ^enia natural !
araterstio das
solu~oeshomog^eneasdadaspela Eq. (7). Paravalores
maisaltosoumaisbaixosdeB
0
omovimentoosilatorio
daagulhaereduzidoenfatizandooomportamento
res-sonantedaagulha,queesustentadopelateoriaaima.
A densidadeespetralA(),graadaomo fun~aoda
frequ^enia na Fig. 3a, eosinal nafrequ^enia
domi-nante e foi obtida usando a transformada de Fourier
rapidadosdadosdaFig. 3b. Asetaobservadanesta
-gura,em=(4;05 0;02)Hz,orrespondeafrequ^enia
deosila~oesforadasdaagulhamagnetia.
Figura3. Osila~oesforadasdeumaagulhamagnetia. [a℄
SinallidopelasondaHallnodomniodefrequ^enias. [b℄O
mesmonodomniotemporal.
Figura4.Amplitudedasosila~oesforadasomofun~aoda
intensidadedeB
0
.Oruloheiorepresentaovalordopio
dosinallidopelasondaHallnodomniodasfrequ^enias. A
linharepresentaumajustedeLorentzdosdados.
A Fig. 4 mostrao valor maximo dadensidade
es-petralomofun~aodeB
0
,quandoeusadabaixa
am-plitudedo ampoB
1
,defrequ^enia =(3;630;01)
Hz, para forar o osilador magnetio. A resson^ania
daagulhatorna-seevidente,nestagura,pelopio
ob-servadoemB
0
=6;3Gauss. Estaguratambem
mos-traumaurvadeLorentzparaesteonjuntodedados
omparandoa teoriaom os resultadosexperimentais
[vejaEq. (9)℄. Alarguradopioressonanteenontrado
nestaurvaede(0;150;04)Gauss.
aagulha magnetia. Nesta ondi~ao de resson^ania a
frequ^enianaturaldeosila~oesestarelaionadaoma
intensidade doampo magnetioestatioB
0
pela Eq.
(5).
Para explorar mais detalhadamente a validade da
Eq.(5), repetimos o proedimento aima para
enon-trar ovalordoampomagnetioquemaximizaa
am-plitudedasosila~oesdaagulha,utilizandovalorespara
afrequ^enia deB
1
quevariamdesde1a4Hz. A Fig.
5mostraos valoresde ! 2
0
eosvaloresmedidosde B
0 .
A depend^enia linear entre ! 2
0 e B
0
, observado nesta
gura, esta de aordo om a Eq. (5), e fornee um
suporteexperimentalparaateoria.
Figura 5. Frequ^enia de ress^onania omo fun~ao da
in-tensidadedeB0. Oruloheio orresponde aoquadrado
dafrequ^eniadeB1quemaximizaaamplitudedeosila~ao
dadaporB0. Alinharepresentaumajustelineardosdados.
A raz~ao =I, que e uma propriedade da agulha
magnetia, foi obtida a partir de uma regress~ao
li-near destes dados, ujainlina~ao da urvaresultante
e =I =(812) G 1
s 2
. A largura dopio de
res-son^ania, usadopara fazer a Fig. 5, n~ao depende da
intensidadedoampoB
0
,onformeeesperadoapartir
dateoria.
O onheimento do valor de =I nos permite
fa-zer uma estimativa do tempo derelaxa~aoda agulha,
usando a largurado pio de resson^ania e aEq. (9),
obtendo-seT =(72)s.
Parafazeruma medidadireta deT,pulsamosuma
orrenteonstantenabobinadeHelmholtzqueproduz
o ampo B
1
em lugar de utilizar uma orrente
alter-nada do tipo seno, utilizada anteriormente. Quando
epulsadaaorrentenestabobinaoampoestatioB
1
produzumdesloamentoangularnaagulhadabussola,
e quando esta orrente e desligada a agulha volta ao
Figura6. Osila~oes amorteidasdaagulhamagnetia. [a℄
OsinallidopelasondaHallnodomniodasfrequ^enias. [b℄
omesmonodomniodotempo.
A Fig. 6bmostra o ampo magnetiodepend^ente
do tempo gerado pelo movimento da agulha quando
B
0
=(6;550;05)GausseoampoestatioB
1 e
des-ligado. Nestagurapodemosverqueaamplitudedas
osila~oesdaagulhamostraumdeaimentoexpon^enial
para um tempo derelaxa~aoT =(81) sde aordo
omEq. (7). Nota-sequeestamedidadiretadeT esta
de aordoomoresultado jaobtidousandoa largura
dopioderesson^ania.
A densidade espetral na Fig. 6a orresponde ao
sinal em frequ^enia e foi obtida a partir da
transfor-madadeFourierrapidadosdadosqueseenontramna
Fig. 6b,analogamente ao asoanterior. Ounio pio
observado noespetro para =3;63 Hzemais largo
queopioobservadonaFig. 3adevidoaodeaimento
exponenial dosinalnaFig. 6b. Ovalordafrequ^enia
paraasosila~oesamorteidas!
eproximaa!
0 neste
aso,devidoaograndevalordeT.
IV Conlus~oes
zado para produzir umfen^omeno ressonante,
apropri-ado para introduzir alunosde gradua~aoao fen^omeno
da resson^ania. O experimento proposto requer ouso
de bobinas que possuem uma geometria simples para
produziroampomagnetioneessario.
Oprinipalaspetodaspequenasosila~oesdauma
bussolaforamestudadospelaaquisi~aodigitaleanalise
de Fourier dos dados. Os resultados experimentais
est~aodeaordoomateoria.
Agradeimentos
Agradeemos ao Dr A. Valda pelos frutferos
o-mentarios que nos enorajaram aesrevereste
traba-lho.
Referenes
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