Propriedades termodinâmicas do oscilador de Dirac e algumas contribuições da função theta de Jacobi

(1)

Propriedades termodinˆ

amicas do oscilador

de Dirac e algumas contribui¸

c˜

oes da fun¸c˜

ao

theta de Jacobi

(2)

Propriedades termodinˆ

amicas do oscilador

de Dirac e algumas contribui¸

c˜

oes da fun¸c˜

ao

theta de Jacobi

Tese submetida à Coordena¸cão do Curso de Pós-Gradua¸cão em F´ısica, da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obten¸cão do grau de Doutor em F´ısica

Orientador:

Ricardo Renan Landim de Carvalho

universidade federal do ceara - Departamento de F´ısica

Fortaleza

(3)

Propriedades termodinˆ

amicas do oscilador

de Dirac e algumas contribui¸

c˜

oes da fun¸c˜

ao

theta de Jacobi

Tese submetida à Coordena¸cão do Curso de Pós-Gradua¸cão em F´ısica, da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obten¸cão do grau de Doutor em F´ısica

Aprovada em 12 de julho de 2007

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Ricardo Renan Landim de Carvalho (Orientador)

Universidade Federal do Cear´a - UFC

Prof. Dr. Antonio Soares de Castro Universidade Estadual Paulista -

UNESP-Guaratinguet´a

Prof. Dr. Carlos Alberto Santos de Almeida Universidade Federal do Cear´a - UFC

Prof. Dr. Kleiton do Carmo Mendes Universidade Estadual do Cear´a - UECE

Prof. Dr. Márcio André de Melo Gomes Centro Federal de Educa¸cão Tecnológica do Ceará

(4)

(5)

Primeiramente, agrade¸co a minha esposa, Maria Eniana A. Gomes Pacheco e ao meu filho Enio Henrique Gomes Pachecoˆ , cujas presen¸cas neste trabalho são tão sublimes e imprescind´ıveis que somente eu posso compreender. Não existe manifesta¸cão lingü´ıstica capaz de se quer representar esta influência, contida em cada idéia deste tra-balho, redigida ou não.

Iguais sentimentos valem para os meus pais, Maria de Lourdes Gomes Pacheco

e Francisco Jo˜ao Pacheco, aos quais serei eternamente grato, sobretudo pela opor-tunidade de viver e por todo o sacrif´ıcio a que se dispuseram para que eu chegasse at´e aqui.

Agrade¸co à minha querida irmã,Mara Renata Gomes Pacheco, e aos meus irmãos

Jo˜ao Alfredo Gomes Pacheco eLuis Gustavo Gomes Pacheco.

Ao professor Ricardo Renan Landim de Carvalho, pela paciˆencia, dedica¸c˜ao e amizade dispensadas ao longo deste trabalho.

Ao professor José Soares de Andrade Júnior, coordenador do curso de pós-gradua¸cão em F´ısica e ao professor Josué Mendes Filho, vice-coordenador do curso de pós-gradua¸cão em F´ısica.

Agrade¸co a todos os professores do departamento de F´ısica-UFC, em especial aoJosé de Arimatéia, aoJosé Ramos, aoCleuton Freire, aoMurilo PereiraeJosé Evan-gelista.

Ao Abraão Cefas, pela amizade e pelas inumeráveis situa¸cões em que se prontificou a me ajudar.

Aos amigos do GTQC-UFC-Lassco: Francisco Wagner, Wilami Cruz, Carlos Alex, Roberto Maluf, Ivan Jardim, Geov´a Maciel, Hiroshi, Hudson, Victor Hugo eAristeu Rosendo.

Agrade¸co aos amigos(as) professores(as) da UECE: Luciana Ang´elica S. Nunes,

Makarius O. Tahim, Kleiton do Carmo, Luis Gonzaga R. Filho e àquele que sempre vestirá a camisa ueceana, professorCélio Rodrigues Muniz.

Aos amigos professores da UFBA: Paulo Baqueiro, Luis Gustavo, Ronaldo Pe-sente, Evanildo Cardoso e Angelo Manieroˆ

Ao amigo Jo˜ao Cosme Reinaldo in memoriam . Ao CNPq, pelo suporte financeiro.

(6)

(7)

(8)

INTRODUC¸ ˜AO p. 10

1 ALGUMAS DEFINIC¸ ˜OES DO OSCILADOR DE DIRAC p. 13

1.1 Introdu¸c˜ao . . . p. 13

1.2 Auto-solu¸c˜oes do oscilador de Dirac . . . p. 14

1.3 O termo de intera¸c˜ao do oscilador de Dirac . . . p. 17

2 PROPRIEDADES TERMODIN ˆAMICAS DO OSCILADOR DE DIRAC

UNIDIMENSIONAL p. 19

2.1 Introdu¸c˜ao . . . p. 19

2.2 A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do oscilador de Dirac . . . p. 19

2.3 Estudo da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do oscilador de Dirac para altas temperaturas p. 20

2.4 Obtendo da fun¸cão de parti¸cão pelo uso da fórmula de integra¸cão de

Euler-Maclaurin . . . p. 24

2.5 Análise númerica das quantidades termodinâmicas do oscilador hamônico

e do oscilador de Dirac unidimensional . . . p. 25

2.6 Oscilador de Dirac unidimensional na presen¸ca do termo de comprimento

m´ınimo . . . p. 29

3 PROPRIEDADES TERMODIN ˆAMICAS DO OSCILADOR DE DIRAC

TRIDIMENSIONAL p. 31

3.1 Introdu¸c˜ao . . . p. 31

3.2 A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao e o calor espec´ıfico do oscilador de Dirac 3D . . . p. 31

(9)

4.1 Introdu¸c˜ao . . . p. 42

4.2 Propriedades termodinˆamicas do po¸co infinito . . . p. 44

4.3 Propriedades termodinˆamicas de um po¸co de potencial infinito usando a

fun¸c˜ao theta de Jacobi . . . p. 46

4.3.1 A fun¸c˜ao theta de Jacobi . . . p. 46

4.4 Fun¸c˜ao theta de Jacobi e o po¸co de potencial . . . p. 47

CONCLUS ˜AO p. 50

Apˆendice . . . p. 50

Apˆendice A -- A equa¸c˜ao de Dirac p. 51

A.1 A equa¸c˜ao . . . p. 51

A.2 Solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Dirac para part´ıcula livre . . . p. 53

Apêndice B -- Teste de convergência de séries infinitas p. 58

B.1 O teste da raz˜ao . . . p. 58

B.2 O teste da integral . . . p. 58

B.3 O teste da compara¸c˜ao . . . p. 59

B.4 A s´erieP∞

n=0e−

√

an+bβ _{. . . .} _{p. 59}

Apêndice C -- Rela¸cões e constantes f´ısicas úteis p. 61

C.1 Quantidades termodinˆamicas . . . p. 61

C.2 Constantes f´ısicas . . . p. 61

C.3 Rela¸c˜oes da m´etrica e derivadas . . . p. 61

C.4 Matrizes de Dirac . . . p. 62

C.5 Matrizes de Pauli . . . p. 62

(10)

(11)

INTRODUC

¸ ˜

AO

O nome oscilador de Dirac foi primeiramente introduzido por M. Moshinsky and A. Szczepaniak em (1), onde eles simplesmente trocaram na equa¸c˜ao de Dirac o momento

(12)

para o caso do oscilador de Dirac. Quesne em (28) analisaram o oscilador de Dirac com a rela¸cão de incerteza na posi¸cão. B. Mirza em (29) estudou o oscilador de Dirac e a equa¸cão de Klein-Gordon no espa¸co não-comutativo. M. Moshinsky e outros em (30) apresentaram a supersimetria e a superálgebra para um sistema de dois corpos com a intera¸cão do oscilador de Dirac.

Além dos trabalhos citados acima, ainda temos na literatura vários artigos que anali-sam as solu¸cões e as propriedades do oscilador de Dirac, mas até o ano de 2003, ainda não se falava do oscilador de Dirac relacionado com temperatura. Foi então que come¸camos a estudar o oscilador de Dirac em uma dimensão no banho térmico (31). Neste trabalho, utilizando a fun¸cão de parti¸cão calculada somente para os valores de energia positiva do os-cilador de Dirac, encontramos as propriedades termodinâmicas; todas estas propriedades serão mostradas nesta tese. No ano de 2006 (32) analisou o oscilador de Dirac unidimen-sional na presen¸ca do comprimento m´ınimo. No cálculo das propriedades estat´ısticas do oscilador de Dirac, ele chegou ao resultado que obtivemos em (31) com o acréscimo de mais um termo na expressão da fun¸cão de parti¸cão e do calor espec´ıfico. Assim percebe-mos que ainda poder´ıapercebe-mos tratar de modelos relativ´ısticos com temperatura. Resolvepercebe-mos então dar continuidade ao trabalho fazendo uma estudo das propriedades termodinâmicas do oscilador de Dirac, mas agora estudando o caso tridimensional. No caso tridimensional, os estados fisicamente aceitáveis são os de energias positivas e com degenerescência finita. Resultados anal´ıticos e numéricos interessantes foram obtidos com este estudo e serão mostrados no cap´ıtulo 3.

Depois surgiu a idéia de estudar alguns sistemas quânticos simples relacionados com temperatura. No primeiro sistema utilizamos uma heteroestrutura simples, tipo po¸co quântico para estudarmos suas propriedades termodinâmicas. De in´ıcio, para estudarmos quantidades termodinâmicas temos que estabelecer a fun¸cão de parti¸cão para encontrar as outras quantidades. Quando encontramos a fun¸cão de parti¸cão de um po¸co infinito, observamos que esta possu´ıa a mesma forma da fun¸cão theta de Jacobi. Isso nos deixou particularmente interessados pelo fato de podermos usar as propriedades da fun¸cão theta de Jacobi para o nosso problema da heteroestrutura tipo po¸co e assim estudarmos com mais detalhes as quantidades termodinâmicas.

(13)

(14)

1 ALGUMAS DEFINIC

¸ ˜

OES DO

OSCILADOR DE DIRAC

1.1 Introdu¸c˜

ao

O oscilador harmônico possui várias aplica¸cões na mecânica quântica não-relativ´ıstica cujas equa¸cões podem ser resolvidas exatamente. Isso deve-se ao fato de que a hamilto-niana é quadrática no momento e na coordenada espacial.

Como a equa¸cão de Dirac é linear no momento, procurou-se obter um modelo análogo ao oscilador harmônico na mecânica quântica relativ´ıstica. Com isso surgiu o oscilador de Dirac analizado em (1). A equa¸cão do movimento desse oscilador é obtida fazendo uma substitui¸cão na hamiltoniana da equa¸cão (A.2), que é dita ser uma substitui¸cão não-m´ınima e definida como:

p _→p₋ımωβr, (1.1)

onde mé a massa da part´ıcula e ω é a freqüência do oscilador, assim (A.2) fica1_:

ı∂ψ

∂t =Hψ = [α·(p−ımωβr) +mβ]ψ. (1.2)

Como podemos observar na equa¸cão (1.2) apesar de (1.1) não ser hermitiana, a matrizα permite que o hamiltoniano seja. A matrizβ faz com que a equa¸cão (1.1) seja covariante de Lorentz como analisada em (33).

Para fazer uma compara¸cão entre o oscilador harmônico não-relativ´ıstico e oscilador de Dirac, inicialmente tomemos o quadrado do hamiltoniano de (A.2), ou seja:

H2 = [α_·(p₋ımωβr) +mβ]2. (1.3)

Fazendo algumas manipula¸c˜oes chegaremos na equa¸c˜ao abaixo:

(15)

onde

L =r_×p S= (~

2)σ, (1.5)

s˜ao o momento angular orbital e o spin, respectivamente.

De (1.4) podemos observar que o quadrado do hamiltoniano fica sendo a intera¸cão do oscilador harmônico somado com um termo de spin-órbita acoplado, ou seja, o oscilador de Dirac pode ser visto como sendo uma raiz quadrada do oscilador harmônico linear não-relativ´ıstico. O hamiltoniano ao quadrado possui somente termos comutantes com a matrizβ. Esses operadores são chamados de operadores pares.

Para mostrarmos que o momento angular total ´e conservado no caso do oscilador de Dirac, basta definir o momento angular total como sendo J = L+ σ

2. Inicialmente

notamos que o hamiltoniano n˜ao comuta separadamente com L e σ respectivamente, ou seja:

[L, H] =ı(α_×p)₋mω(r_×α)β (1.6)

[σ

2, H] =−ı(α×p) +mω(r×α)β, (1.7) onde [A, B] = AB ₋BA. Mas se tomarmos a express˜ao completa de J, temos que o momento angular total ´e conservado, ou seja:

[J, H] = 0. (1.8)

1.2 Auto-solu¸c˜

oes do oscilador de Dirac

Nesta se¸cão calcularemos o espectro de energia do oscilador de Dirac. Como vimos na primeira se¸cão, o momento angular é conservado em nosso sistema, pois o momento angular total J comuta com H. A regra de soma do momento angular é definida como

=ℓ_±1₂, ondeé o número quântico de momento angular total eℓé o número quântico orbital. A paridade é utilizada em nosso sistema para classificar as autofun¸cões da energia. Como a paridade das autofun¸cões de energia é definida como sendo (₋1)ℓ_{, temos, portanto:}

ǫ= (

+1 se a paridade (₋1)+1 2

−1 se a paridade (₋1)−1 2

, (1.9)

onde, nos dois casos, temos ℓ=+ ǫ₂.

(16)

auto-fun¸cões da energia em duas partes, ou seja, na parte radial e na parte angular, de acordo com o valor deǫ (34). Assim a solu¸cão da equa¸cão (1.2) será:

Ψ(~r, t) = 1

r

Ã

F(r)y±

mℓ(θ, φ)

ıG(r)y_mℓ∓ ′(θ, φ)

!

exp(₋ıEt), (1.10)

onde y_mℓ± e y_mℓ∓ ′ são os harmônicos esféricos espinoriais. Eles são definidos como:

y±

mℓ(θ, φ) =

 

q

ℓ±m+1 2

2ℓ+1 Yℓ,m−1 2(θ, φ)

± q

ℓ∓m+1 2

2ℓ+1 Yℓ,m+1 2(θ, φ)



, (1.11)

ondeY_ℓ,m₋1

2 eYℓ,m+ 1

2 são os harmônicos esféricos. O operador paridade é definido em (34)

como:

P =eıϕ_γ0_,

onde eıϕ _{é um fator de fase não observável, escolhido como sendo} _±_{1 ou} _±_ı_{, assim} _P

é proporcional a β = γ0_{. As paridades dos harmônicos esféricos espinoriais devem ser}

opostas, isto ´e, paraℓ =+ ǫ

2 temosℓ

′

=₋ ǫ

2. Desta maneira, ficamos com:

(+ 1 2)(+

1

2 +ǫ) = ℓ(ℓ+ 1) (1.12)

e

(+1 2)(+

1

2−ǫ) = ℓ

′

(ℓ′ + 1), (1.13)

assim temos que o quadrado do momento angular satisfaz:

L2 = (+1 2)(+

1

2+ǫβ). (1.14)

Da equa¸c˜ao (1.14) e usando as rela¸c˜oes abaixo:

J2 ₌_L2_{+ 2}_S_·_L₊3

4

J2 =(+ 1), (1.15)

temos:

(+ 1) = (+ 1 2)(+

1

2 +ǫβ) + 2S·L+ 3 4 −2S_·L=ǫβ+ ǫβ

2 + 1

S_·L=₋ǫβ 2 −

ǫβ

4 − 1 4

S_·L=₋1

4ǫ(2+ 1)β− 1

(17)

Observemos que a expressão (1.16) é independente de r, ou seja, no espectro de energia o acoplamento é constante. Usando a rela¸cão entre o quadrado do momento linear e o quadrado do momento angular (34) temos:

E2₋m2 =₋ d

2

dr2 +

(+1 2)(+

1 2 +ǫβ)

r2 +m

2_ω2_r2₊_mω_[_ǫ₍₂__{+ 1)}

−β]. (1.17)

Observemos que na equa¸c˜ao (1.17) o termo E2₋_m2 _{´e uma soma entre a parte radial}

da equa¸c˜ao de um oscilador n˜ao-relativ´ıstico e o termo abaixo:

mω[ǫ(2+ 1)₋β].

O espectro de energia do oscilador de Dirac é dado pela soma do espectro de energia do oscilador harmônico não-relativ´ıstico e o termo constante acima, ou seja:

E2₋m2 = 2mEn+mω[ǫ(2+ 1)−β], (1.18)

onde En = ~ω(N + ₂3) para N = 0,1,2, .... O número quântico principal é dado por

N = 2n+ℓ. Assim o espectro de energia ´e dado, como em (19), por

E+=

p

mω[2(N + 1) +ǫ(2+ 1)] +m2_, _(1.19)

para os estados de energia positiva e

E−=− p

mω[2(N + 2) +ǫ(2+ 1)] +m2_, _(1.20)

(18)

1.3 O termo de intera¸c˜

ao do oscilador de Dirac

Nesta se¸cão, como já feito nas referências (2, 16), mostraremos que o hamiltoniano do oscilador de Dirac é resultado da intera¸cão do momento magnético anômalo de uma part´ıcula acoplado ao campo elétrico produzido por uma esfera carregada. Inicialmente consideremos uma esfera dielétrica de raio R uniformemente carregada. Dentro da esfera o campo elétrico varia com o raio na forma E = ₋λr; já o campo magnético é nulo em qualquer lugar, ou seja,B =0.

Calculando o potencial eletromagnético Aµ _{associado ao campo magnético estático,}

usandoA0 = 0 e A =λtr, temos:

Aµ =λ(0, tr). (1.21) Para escrever a expressão acima na forma covariante de Lorentz, usamos o fato de o campo eletromagnético ser invariante de gauge. Assim basta escolhermos a fun¸cão de gauge apropriada, ou seja:

Λ =₋λ 4

µ

tr2+t

3

3 ¶

. (1.22)

Usando a rela¸c˜ao A′µ ₌_Aµ₋_∂µ_{Λ e pela defini¸c˜ao da derivada covariante como em (35)}

temos que o novo potencial ser´a dado por:

A′µ = λ 4(t

2₊_r2_,₂_t_r₎_. _(1.23)

Usando agora o quadrivetor uµ₌_mω₍₁_,₀_{) podemos ver que o termo de intera¸c˜ao da}

equa¸c˜ao (1.2) pode ser dado na forma:

ımωα_·r=σµνxµuν, (1.24)

assim, a equa¸c˜ao (1.2) pode ser escrita na forma covariante:

·

γµpµ−m+ (

κe

4m)σ

µν_F µν

¸

= 0, (1.25)

(19)

Aµ= λ

4[2(u.x)x

µ

−x2uµ], (1.26) onde o tensor eletromagn´etico pode ser dado como sendo:

Fµν =λ(uµxν −uνxµ). (1.27)

Quando substitu´ımos a equa¸cão (1.27) para o campo eletromagnético no termo de in-tera¸cão da expressão (1.25) temos:

κe

4mσµνF

µν ₌ κe

2mλ(ıα·r). (1.28)

Multiplicando (1.28) pela matrizβ, nós encontraremos o termo de intera¸cão do oscilador de Dirac. Então podemos ver que o hamiltoniano do oscilador de Dirac pode ser dado pelo acoplamento não-m´ınimo:

p _→p₋ ı

2meκλrβ, (1.29)

onde λ= 2m_eκ2ω , ou seja:

(20)

2 PROPRIEDADES

TERMODIN ˆ

AMICAS DO

OSCILADOR DE DIRAC

UNIDIMENSIONAL

2.1 Introdu¸c˜

ao

Neste cap´ıtulo estudaremos o oscilador de Dirac unidimensional num banho térmico. Consideraremos o oscilador em equil´ıbrio com um reservatório de calor a uma dada tem-peraturaT. Com o espectro de energia positiva do oscilador, poderemos encontrar o fator de Boltzmann dado por exp(₋Eβ) onde Eé a energia eβ = _kT1 ; assim procedendo, poder-emos encontrar as quantidades termodinâmicas, a saber, a fun¸cão de parti¸cão, a energia média e o calor espec´ıfico. Em seguida, iremos comparar com os resultados obtidos com o caso do oscilador harmônico não-relativ´ıstico.

2.2 A fun¸c˜

ao de parti¸c˜

ao do oscilador de Dirac

Inicialmente para o oscilador harmônico não-relativ´ıstico em uma dimensão, de acordo com a Mêcanica Quântica, os n´ıveis de energia são não-degenerados e dados por:

En= (n+

1

2)~ω. (2.1)

A fun¸cão de parti¸cão (36) neste caso é dada por

Z = X

estados

exp(₋Enβ), (2.2)

ou ainda,

Z = X

estados

exp[₋β(n+ 1

2)~ω] = exp(−β ~_ω

2 ) ∞ X

n=0

(21)

A probabilidade do oscilador harmônico não-relativ´ıstico unidimensional ter autoval-ores de energia (n+1₂)~_ω_{, no equil´ıbrio térmico, é dada por:}

Pn=

exp[₋β(n+1 2)~ω]

Z . (2.4)

Assim, a energia média do oscilador harmônico não-relativ´ıstico é:

U =X

n=0

PnEn =

P (n+ 1

2)~ωexp[−β(n+ 1 2)~ω]

P

exp[₋β(n+ 1 2)~ω]

. (2.5)

Depois de algumas considera¸c˜oes podemos simplificar a equa¸c˜ao acima tornando-se:

U = 1 2~ω+

~_ω

eβ~_ω

−1. (2.6)

Para o caso relativ´ıstico unidimensional é importante destacar que estamos con-siderando a troca de energia entre o banho térmico e um sistema de uma part´ıcula. Considerando também, que os estados de energias positivas e negativas não se misturam devido a estabilidade do mar de Dirac (19), iremos considerar somente os estados de energia positiva, ou seja:

E =p2mω~₍_n_{+ 1) +}_m2_, _(2.7)

onde o termo de spin órbita não está presente. Assim a fun¸cão de parti¸cão do oscilador de Dirac será dada por:

Z = X

estados

exp[₋p(2(n+ 1)m~_ω₊_m2₎_β_]_, _(2.8)

e a energia m´edia ser´a:

U = P∞

n=0

p

(2(n+ 1)m~_ω₊_m2_{) exp[}₋p

(2(n+ 1)m~_ω₊_m2₎_β_]

P∞

n=0exp[−

p

(2(n+ 1)m~_ω₊_m2₎_β_] . (2.9)

2.3 Estudo da fun¸c˜

ao de parti¸c˜

ao do oscilador de

Dirac para altas temperaturas

Inicialmente iremos considerar a fun¸cão de parti¸cão do oscilador harmônico não-relativ´ıstico como definido em (2.3), ou seja :

Z =e−β~2ω

∞ X

n=0

e−nβ~_ω

(22)

Usando unidades naturais,~₌_ω_{= 1 e considerando que} _β _{seja muito pequeno, o termo}

e−β2 ≃1, assim a equa¸c˜ao acima fica:

Z = ∞ X

n=0

e−nβ. (2.11)

Para altas temperaturas, ou seja, paraβ _≪1, a fun¸cão de parti¸cão do oscilador harmônico não-relativ´ıstico pode ser escrita como:

Z = 1

1₋e−β ≃

1 β + 1 2. ou seja, ∞ X n=0

e−nβ _≃ 1 β +

1

2. (2.12)

Considere a seguinte integral

I = Z ∞

0

e−βx_dx₌

−e −βx β     ∞ 0 = 1 β (2.13)

Usando a regra dos trap´ezios, a integral acima pode ser aproximada por :

S = (1 +e−

β₎

2 +

(e−β ₊_e−2β₎

2 +· · ·

S =₋1 2 +

∞ X

n=0

e−nβ_. _(2.14)

Para o casoβ _≪1, usando (2.12) temos:

S =₋1 2 + 1 2 + 1 β = 1

β. (2.15)

Ou seja, para altas temperaturas, o valor da integral (2.13), ´e equivalente a soma dos trap´ezios dada por (2.15).

Se agora considerarmos o caso relativ´ıstico, partindo da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao dada por (2.8), temos:

Z = ∞ X

n=0

e−√2(n+1)m~_ω₊_m2_β

. (2.16)

(23)

Z = ∞ X

n=0

e−√an+bβ, (2.17)

onde a= 2m~_ω _e_b ₌_m2_{+ 2}_m~_ω_{. Agora considerando a integral,}

I(β) = Z ∞

0

e−√ax+bβdx, (2.18) e fazendo uma mudan¸ca de vari´aveis, temos:

I(β) = 2

a

Z ∞ √

b

e−yβydy. (2.19)

A integral acima pode ser facilmente calculada

I(β) = 2

a

µ −_∂β∂

Z ∞ √

b

e−yβdy

¶

, (2.20)

resultando ent˜ao:

I(β) = 2

aβ2e

−√bβ_{(1 +}_β√_b₎_. _(2.21)

Considerando agora a regra dos trap´ezios, a integral dada por (2.18) pode ser aproximada por:

S = e

−√bβ₊_e−√a+bβ

2 +

e−√a+bβ₊_e−√2a+bβ

2 +· · ·

S = e −√bβ

2 +e

−√a+bβ₊_e−√2a+bβ₊

· · · (2.22)

ainda podemos reescrever a rela¸c˜ao acima como:

S = e −√bβ

2 −e

−√bβ₊_e−√bβ₊_e−√a+bβ₊

· · · (2.23)

Ou seja:

S=₋e− √

bβ

2 +Z. (2.24)

Podemos então dizer que, para altas temperaturas, o resultado da integral dada pela equa¸cão (2.21) é equivalente à soma dos trapézios em (2.24), ou seja:

−e− √

bβ

2 +Z ≃ 2

aβ2e

(24)

Assim, a fun¸cão de parti¸cão do oscilador de Dirac no limite de altas temperaturas é dada pela expressão abaixo:

Z _≃ e−

√

bβ

2 + 2

aβ2e

−√bβ_{(1 +}_β√_b₎ _(2.26)

ou ainda:

Z _≃e−√bβ

µ

2(1 +β√b)

aβ2 +

1 2

¶

(2.27)

.

Para altas temperaturas o termo 1 2e−

√

bβ _{da equa¸c˜ao acima pode ser desprezado, assim}

nossa fun¸c˜ao de parti¸c˜ao pode ser escrita simplesmente como:

Z = 2(1 +β √

b)

aβ2 . (2.28)

Agora calculando a energia m´edia temos:

U =₋1

Z ∂Z

∂β, (2.29)

onde Z ´e dado na equa¸c˜ao (2.28).

Após alguns cálculos algébricos e fazendo β = 1

kT ondeT ´e a temperatura, temos que

a equa¸c˜ao acima fica:

U = 2T + √

b

1 + √_Tb . (2.30)

Para altos valores de T, a equa¸c˜ao acima fica simplesmente como:

U _≃2kT. (2.31)

Assim o calor espec´ıfico do oscilador de Dirac para altas temperaturas ser´a dado por:

c_≃ ∂U¯

∂T ≃2k. (2.32)

(25)

2.4 Obtendo da fun¸c˜

ao de parti¸c˜

ao pelo uso da f´

ormula

de integra¸c˜

ao de Euler-Maclaurin

O resultado obtido na se¸cão anterior pode ainda ser mostrado de uma forma ainda mais elegante, usando a fórmula de integra¸cão de Euler-Maclaurin. Como sabemos a fun¸cão f(x) = exp(₋√ax+bβ) é uma fun¸cão monotonicamente decrescente e temos que a integral correspondente será

I(β) = Z _∞

0

e−√ax+bβ_dx₌ 2

aβ2e

−√bβ_{(1 +}_β√_b₎_, _(2.33)

assim a fun¸cão de parti¸cão será convergente. Usando a fórmula de Euler-Maclaurin

∞ X

n=0

f(n) = 1

2f(0) + Z ∞

0

f(x)dx₋

∞ X

p=1

1

(2p)!B2pf

(2p−1)_{(0) +}_... _(2.34)

onde B2p são os números de Bernoulli, B2 = 1/6, B4 =−1/30, .... Eles são definidos pela

s´erie

t et₋₁ =

∞ X

n=0

Bn

tn

n!. (2.35)

Então a fun¸cão de parti¸cão pode ser escrita como:

Z = 1 2 +

2

aβ2(1 +β

√

b)₋e√bβ

∞ X

p=1

B2p

(2p)!f

(2p−1)_{(0) +}_... _(2.36)

Na equa¸c˜ao acima considerando p variando at´e 2 somente , temos que

e√bβ

2

X

p=1

B2p

(2p)!f

(2p−1)_{(0) =}

1 24 β a √ b − 1 1920

β a3

b5/2 −

1 1920

β2_a3

b2 −

1 5760

β3_a3

b3/2 . (2.37)

Mas, como estamos interessados em analisar a fun¸cão de parti¸cão para altas tempera turas; assim paraβ <<1 todos os termos da soma acima serão pequenos em compara¸cão com o termo 2(1 +β√b)/aβ2_{. Portanto a fun¸cão de parti¸cão será:}

Z _≃ 2

aβ2, (2.38)

(26)

U =₋∂lnZ

∂β ≃2kT, (2.39)

C _≃ ∂U

∂T ≃2k. (2.40)

2.5 An´

alise n´

umerica das quantidades termodinˆ

amicas

do oscilador hamˆ

onico e do oscilador de Dirac

unidimensional

Como podemos observar, torna-se inviável calcularmos anal´ıticamente a soma da equa¸cão (2.9), e mais complicado ainda derivá-la para encontrar o calor espec´ıfico do os-cilador de Dirac. Então iremos fazer uma análise númerica das quantidades termodinâmicas para podermos comparar os dois osciladores.

Inicialmente usamos as energias do oscilador harmônico não-relativ´ıstico e do oscilador de Dirac, obtivemos a energia média e calor espec´ıfico de ambos.

(30)

2.6 Oscilador de Dirac unidimensional na presen¸ca

do termo de comprimento m´ınimo

Depois que obtivemos os resultados do estudo das quantidades termodinâmicas do oscilador de Dirac unidimensional, recentemente Nouicer (32), usando a representa¸cão dos espa¸cos-momento, obteve a energia e as propriedades termodinâmicas do oscilador de Dirac unidimensional na presen¸ca do termo de comprimento m´ınimo dado por

(_△x)min =~

p

β, (2.41)

onde β é um parâmetro de deforma¸cão da rela¸cão de comuta¸cão modificada

[x, p] =ı~_{(1 +}_βp2₎ _(2.42)

O espectro de energia positiva do oscilador de Dirac unidimensional, para valores pequenos deβ, ´e dado por

En =mc2

r

1 + 2n~ω

mc2

"

1 + β~

2_ω2

2c2

n2

1 + 2n~_ω

mc2

#

(2.43)

Observemos que o segundo termo da expressão acima representa a corre¸cão adequada na presen¸ca do termo de comprimento m´ınimo, onden2 _{está relacionado ao confinamento.}

A fun¸cão de parti¸cão do oscilador de Dirac, para uma temperatura T, na presen¸ca do comprimento m´ınimo é dada por:

Z_β′ =

∞ X

0

exp(₋β′mc2

r

1 + βω

2_~2_n2

c2 +

2nω~

mc2 ), (2.44)

onde β′

= 1

kT.

No regime de altas temperaturas a express˜ao acima fica:

Z_β′ ≃

(kT)2

~_ωmc2 −

3β(kT)4

~_ωmc4 (2.45)

A energia m´edia ´e dada por:

U _≃2kT

· 1₋3

µ

△X)min

lth

¶2¸

(31)

e o calor espec´ıfico ´e dado por:

c_≃2k

· 1₋9

µ

△X)min

lth

¶2¸

. (2.47)

(32)

3 PROPRIEDADES

TERMODIN ˆ

AMICAS DO

OSCILADOR DE DIRAC

TRIDIMENSIONAL

3.1 Introdu¸c˜

ao

Depois dos resultados obtidos em (31) para o caso unidimensional, ainda nos restava explorar o caso tridimensional. De in´ıcio achavamos que talvez esse caso fosse um pouco complicado devido o problema da degenerescência dos estados, mas resolvemos encontrar uma maneira que nos pudesse fornecer um resultado significativo. Então reescrevemos o espectro de energia do oscilador de Dirac 3D, de forma que conseguinos tratar com o problema da degenerescência para então come¸car calcular a fun¸cão de parti¸cão. Então, neste cap´ıtulo irei apresentar os resultados anal´ıticos para as quantidades termodinâmicas (fun¸cão de parti¸cão, energia média e calor espec´ıfico) do oscilador de Dirac tridimensional e mostraremos também uma análise númerica da fun¸cão de parti¸cão do caso em 3 dimensões

1_.

3.2 A fun¸c˜

ao de parti¸c˜

ao e o calor espec´ıfico do

os-cilador de Dirac 3D

Como vimos no primeiro cap´ıtulo, o espectro de energia positiva do oscilador de Dirac ´e dado por:

E+=

p

mω[2(N + 1) +ǫ(2+ 1)] +m2_. _(3.1)

Naquele momento não consideramos os termos de spin, uma vez que estavámos interessa-dos apenas no caso unidimensional. Agora temos que levar em considera¸cão o momento

(33)

angular total e o número quântico orbital. De acordo com (1) é observado a existência de degenerescência quando tratamos do oscilador de Dirac em 3 dimensões. Dependendo da paridade do sistema, temos duas possibilidades (1):

(mc2)−1₍_E2

nlj−m2c4) =

  

~_ω_[2(_N ₋_j_{) + 1]} _se _l₌_j₋₁_/₂_,

~_ω_[2(_N ₊_j_{) + 3]} _se _l₌_j_{+ 1}_/₂_.

(3.2)

Na equa¸cão acima, temos casos de degenerescência infinita e finita respectivamente. Con-siderando somente o caso de degenerescência finita, uma vez que não podemos construir representa¸cões do grupo de Lorentz com estados de degenerescência infinita, a equa¸cão acima pode ainda ser escrita como em (20), assim

Enlj =mc2

p

ξA+ 1, (3.3)

ondeA= 2(N+j)+3 eξ= ~

mc2. Agora para o estudo das quantidades termodinˆamicas

do oscilador de Dirac tridimensional, vamos inicialmente redefinir a express˜ao de A, em fun¸c˜ao de uma nova constante que chamaremos de ς, e definida como ς = N +l, onde

N, l_∈N_{. Dessa forma temos que} _A_{= 2(}_ς _{+ 1).}

Então agora podemos escrever a fun¸cão de parti¸cão do oscilador de Dirac tridimen-sional, para uma temperaturaT:

Z =e√bβ

∞ X

ς=0

(ς + 1)e−√aς+bβ (3.4)

onde a= 2~_mωc2 _e _b₌_m2_c4_{+ 2}~_ωmc2

Analisando a convergência da fun¸cão de parti¸cão, observamos que a fun¸cão f(x) = (x+ 1)e−√ax+bβ _{monotonicamente convergente e corresponde a integral}

I(β) = Z ∞

0

(x+ 1)e−√ax+bβdx (3.5)

que ´e convergente.

Para calcular o somatório da equa¸cão (3.4), podemos utilizar a fórmula de Euler-MacLaurin

∞ X

n=0

f(n) = 1

2f(0) + Z ∞

0

f(x)dx₋

∞ X

p=1

1

(2p)!B2pf

(2p−1)_{(0) +}_..., _(3.6)

(34)

s´erie

t et₋₁ =

∞ X

n=0

Bn

tn

n!. (3.7)

O primeiro termo da expans˜ao acima tomado em n = 0 ´e dado por 1₂e−√bβ_{. Para}

encontrarmos o segundo termo, temos que calcular a integral dada por (3.5), ou seja:

I(β) = Z ∞

0

(x+ 1)e−√ax+bβdx. (3.8)

Fazendou2 =ax+b, a integral acima resulta em:

I = 2

a2

·Z ∞ √

b

u3e−uβdu+ (a₋b) Z ∞

√

b

e−uβudu

¸

, (3.9)

observemos que, a primeira integral2 _{acima n˜ao ´e trivial quanto a segunda integral, cuja}

solu¸c˜ao ´e dada por:

e−√bβ

β2 (1 +β)

Notemos que a solu¸cão da primeira integral é encontrada quando derivamos parcialmente a razão

− ∂

3

∂β3

e−√bβ

β ,

ou seja

− ∂

3

∂β3

e−√bβ

β =

e−√bβ

β2

· 6

β2 +

6√b

β + 3b+βb √

b

¸

.

Assim a solu¸cão da integral dada pela equa¸cão (3.9) é dada por:

I = 2e −√bβ

a2_β2 =

· 6

β2 +

6√b

β + 3b+βb √

b+a+βa₋b₋βb

¸

. (3.10)

Então agora resta somente calcular o terceiro termo da expansão dada em (3.6). Considerando apenas p variando de 1 a 2, temos que calcular a derivada de terceira ordem da fun¸cão f(x) = (x+ 1)e−√ax+bβ_.

Agora que já conhecemos os três termos da expansão de Euler-MacLaurin, podemos substitu´ı-los na fun¸cão de parti¸cão (3.4). Uma vez realizado esse procedimento, chegamos então finalmente a expressão da fun¸cão de parti¸cão do oscilador de Dirac tridimensional, ou seja:

(35)

Z = 1 2 + 2 a2 · 6

β4 +

6√b β3 +

a₋b β2 +

a₋b

β +

3 +b√b β

¸ +

− 1 12−

a3_β3

5760√b3 +

a2_β2

1440b − a3_β2

2880b2 +

a3_β2

5760b +

+a

2_β2

2880 +

a2_β

2880√b3 +

a3_β

5760√b3 −

a2_β

1440√b + aβ

24√b. (3.11)

Como no caso unidimensional, agora vamos fazer um estudo para altas temperaturas, ou seja para T _{→ ∞}. Dessa forma, podemos observar que no regime de altas temperat-uras, os termos que resultaram do terceiro termo da expansão de Euler-MacLaurin serão todos desconsiderados, uma vez que β _→ 0. Então da fun¸cão de parti¸cão acima restará apenas os termos resultantes da integral dada em (3.9), ou seja:

Z = 1 2 +

2

a2

· 6

β4 +

6√b β3 +

a₋b β2 +

a₋b

β +

3 +b√b β

¸ − 1

12. (3.12)

Podemos assim considerar que na express˜ao acima o termo da ordem de β4 _{´e muito}

maior em compara¸cão com os demais. Logo a fun¸cão de parti¸cão pode ser finalmente escrita como:

Z _≃ 12

a2_β4. (3.13)

A equa¸cão acima pode ser encontrada, de uma forma mais simples, basta considerar o somatório da fun¸cão f(n) = (n+ 1)e−√an+bβ_{, ou seja}

∞ X

n=0

= (n+ 1)e−√an+bβ _(3.14)

O somat´orio acima pode ser aproximado por trap´ezios

S = e− √

bβ_{+ 2}_e−√a+bβ

2 +

2e−√a+bβ_{+ 3}_e−√2a+bβ

2 +· · ·

ainda podemos reescrever a equa¸c˜ao acima como:

S =₋e− √

bβ

2 +e

−√bβ_{+ 2}_e−√bβ_{+ 3}_e−√2a+bβ₊

· · · (3.15)

Ou seja:

S=₋e− √

bβ

(36)

A equa¸c˜ao acima ser´a igual ao resultado da integral (3.8), logo:

−e −√bβ

2 +Z ≃

2e−√bβ

a2_β2

· 6

β2 +

6√b

β +· · · ,

considerando valores pequenos de β, ou seja altas temperaturas, temos:

Z _≃ 12

a2_β4 (3.17)

o que mais uma vez comprova a exatid˜ao do nosso resultado.

Continuando a obten¸cão das quantidades termodinâmicas, a energia média é obtida através da expressão:

U =₋ ∂

∂βlnZ. (3.18)

Tomando

lnZ =ln12₋ln(a2β4)

ent˜ao a energia m´edia pode ser escrita como:

U =₋ ∂

∂βlnZ ≃4kT. (3.19)

E por ´ultimo podemos encontrar o calor espec´ıfico, que pode ser escrito como:

c_≃ ∂U

∂T ≃4k. (3.20)

Esse resultado mostra que para altas temperaturas, a energia m´edia e o calor espec´ıfico do oscilador de Dirac tridimensional ´e o dobro do obtido para o caso unidimensional.

10

15

ln(Z)

(42)

0

2

4

6

8

10 KT/mc²

0

5

10

15

ln(Z)

(43)

4 PROPRIEDADES

TERMODIN ˆ

AMICAS DO

POC

¸ O INFINITO E A

RELAC

¸ ˜

AO COM A FUNC

¸ ˜

AO

THETA DE JACOBI

4.1 Introdu¸c˜

ao

Neste cap´ıtulo iremos analisar as propriedades termodinˆamicas de heteroestrutura simples, tipo o po¸co de potencial quadrado. Inicialmente gostaria de esclarecer um pouco mais sobre as heteroestruturas.

Em 1950 a id´eia de se utilizar filmes finos para estudar os efeitos de confinamento era bastante difundido, e a principal estrutura estudada eram os filmes de semi-metais depositados a v´acuo sobre substratos de mica.

Nesta época muitas previsões existiam, como o tunelamento ressonante, mas as técnicas experimentais do momento não favoreciam aos pesquisadores para que pudessem desen-volver filmes de qualidade para poder esclarecer tais efeitos.

Com o surgimento das técnicas de crescimento epitaxial, também conhecida como Molecular Beam Epitaxi, come¸caram inserir camadas de alguns angströns de espessura de semicondutores de gap menor sobre substratos de gap maior, restrigindo o movimento dos elétrons a apenas duas dire¸cões, garantindo assim uma interface perfeita. Com isso os fenômenos de confinamento previstos puderam ser verificados e muitas outras idéias foram experimentados.

(44)

O primeiro deles é composto por duas camadas de um semicondutor qualquer separadas por uma terceira camada de um semicondutor distinto, de gap menor, cuja fun¸cão é prover aos elétrons uma região na qual a energia potencial do gás bidimensional de elétrons seja menor que em qualquer outra região do material e, portanto, mantê-los ali confinados. Antes do advento das heteroestruturas, os po¸cos-quânticos não passavam de estruturas téoricas cuja única fun¸cão era ilustrar as equa¸cões da Mecânica Quântica. Hoje eles são utilizados na confeçcão de vários dispositivos optoeletrônico de alta performance como os lasers e fotodetectores.

(45)

4.2 Propriedades termodinˆ

amicas do po¸co infinito

Vamos considerar inicialmente uma part´ıcula de massa m confinada em po¸co infinito com o potencial dado por

V =   

0 se 0< x < a,

∞ x > ae x <0.

(4.1)

Escrevendo o hamiltoniano como sendo

H =T +V =p2(2m)−1+V(x), (4.2)

a equa¸cão de Schrödinger será dada por:

(−~

2

2m ∂2

∂x2 +V)ψ(x) =Eψ(x). (4.3)

A equa¸c˜ao acima pode ainda ser escrita como

∂2

∂x2ψ(x) +

2mE

~2 ψ(x) = 0. (4.4)

que é uma equa¸cão diferencial linear de 2a_{ordem com coeficientes constantes, cuja solu¸cão}

geral ´e:

ψ(x) =c1eıkx+c2e−ıkx, (4.5)

onde k = q2mE

~2 . Aplicando agora as condi¸c˜oes de contorno ψ(x) = 0 para x = 0 ou

x=a, pois a fun¸c˜ao de onda ψ(x) deve desaparecer fora da caixa, temos:

ψ(0) =c1 +c2,

ψ(a) =c1eıka+c2e−ıka;

ψ(0) = 0 =_⇒c1 =−c2,

ent˜ao:

ψ(a) = 0 =_⇒c1eıka−c1eıka = 0 =⇒c1(eıka−e−ıka) = 0,

ou ainda

(46)

Assim podemos escrever:

ψ(x) = c1(eıkx−e−ıkx).

Calculando a derivada primeira e segunda da express˜ao acima e substituindo na equa¸c˜ao 4.4, encontraremos:

c1k2(eıkx+e−ıkx) + 2mE~−2c1(eıkx−e−ıkx) = 0.

Agora explicitando o valor de E, temos que as energias dos estados quˆanticos s˜ao dadas por:

En =

n2_π2_~2

2ma2 , n= 1,2, ... (4.6)

Como estamos interessados em estudar as quantidades termodinâmicas do po¸co de potencial quadrado, temos que encontrar inicialmente a fun¸cão de parti¸cão do sistema.

A fun¸cão de parti¸cão de um sistema no banho térmico é obtida pela expressão,

Z = ∞ X

n=0

e−Enβ_, _(4.7)

onde β = 1/kT, e k é a constante de Boltzmann. Usando (4.6) e desconsiderando o valorn= 0, correspondente ao estado de energia igual a zero na equa¸cão (4.7), podemos escrever a fun¸cão de parti¸cão como:

Z = ∞ X

n=1

e−Enβ ₌ ∞ X

1

en2π2~2_/₂_ma2

. (4.8)

(47)

4.3 Propriedades termodinˆ

amicas de um po¸co de

po-tencial infinito usando a fun¸c˜

ao theta de Jacobi

4.3.1 A fun¸c˜

ao theta de Jacobi

Nos últimos anos vários artigos foram publicados usando a fun¸cão theta de Jacobi tanto na área de Matemática como em F´ısica. Alguns deles destacam-se por suas formas de apresentarem as propriedades e as aplica¸cões da fun¸cão theta de Jacobi. Em partic-ular, (38) estudou as propriedades el´ıpticas da fun¸cão de Jacobi envolvendo expansões trigonométricas da fun¸cão theta. Alguns sistemas quânticos simples são analisados nu-mericamente por (39) e (40), onde utilizam uma propriedade da fun¸cão theta de Jacobi para tratar condensa¸cão de Bose-Einstein com vórtices.

A fun¸cão theta Clássica está historicamente ligada à teoria dos números, e definida como (41)

v(z) = ∞ X

n=−∞

eiπn2

z_{, Im}₍_z₎_>₀_, _(4.9)

que ´e convergente paraIm(z)>0 e satisfaz a rela¸c˜ao

v(z+ 2) =v(z)

e

v

µ −1

z

¶

=√₋izv(z).

Agora tomandoz =it em (4.9) temos que

θ(t) =X

n∈Z e−πn2_t

, t >0, (4.10)

que é a fun¸cão theta de Jacobi, ondeθ(t) satisfaz a chamada fórmula de inversão de Jacobi

θ(t) = √1 tθ

µ 1

t

¶

, t >0,√t >0. (4.11)

A equa¸cão acima é também chamada de equa¸cão funcional da fun¸cão theta.

(48)

termicamente nas extremidades, resulta na equa¸c˜ao funcional da fun¸c˜ao theta.

Na próxima se¸cão iremos aplicar a fun¸cão theta de Jacobi para analisar as quantidades termodinâmicas de um po¸co de potencial.

4.4 Fun¸

c˜

ao theta de Jacobi e o po¸co de potencial

Quando estudamos a fun¸cão theta de Jacobi percebemos que ela possui a mesma forma da fun¸cão de parti¸cão (4.8) da se¸cão anterior. Ou seja, da fun¸cão Theta de Jacobi:

θ(x) = ∞ X

n=−∞

e−n2πx= 2 ∞ X

n=1

e−n2πx+ 1, (4.12)

temos que o segundo membro é a fun¸cão de parti¸cão (4.8), a menos de uma constante. Observemos que a fun¸cão de parti¸cão pode ainda ser escrita como:

Z(T) = θ(

T0

T )−1

2 , (4.13)

onde T0 = π

~2

2ma2_k ´e uma temperatura caracter´ıstica que depende da largura do po¸co.

Usando a propriedade (4.11) e a rela¸c˜ao (4.13) podemos escrever:

Z

µ

T0

α

¶

= Z(√αT0)

α +

1₋√α

2√α , (4.14)

ondeαé um fator de escala. Observemos na expressão acima que se conhecermos a fun¸cão de parti¸cão para uma temperatura T0

α, então poderemos encontrar a fun¸cão de parti¸cão

para uma temperatura αT0. Este ´e um resultado interessante pelo fato de podermos

encontrar todas as propriedades termodinâmicas do sistema usando somente a fun¸cão de parti¸cão. Então, num procedimento experimental, quando precisamos medir o calor espec´ıfico para uma temperatura T1, nós não precisaremos medir o calor espec´ıfico para

uma temperatura T = T02

T1, uma vez conhecendo a temperatura T0. Esta propriedade da

fun¸cão theta de Jacobi, nos permite ainda relacionar a energia média com a fun¸cão de parti¸cão. Derivando a expressão anterior (4.14), em rela¸cão aα, temos:

−Z′

µ

T0

α

¶

T0

α2 =

Z′(αT0)

√

α .T0+Z(αT0).

µ

−1₂α−3/2

¶ +

µ

−1₄α−3/2

¶

. (4.15)

Fazendoα= 1, chegamos na rela¸c˜ao

Z′(T0)T0 =

1 8 +

Z(T0)

(49)

A expressão acima ainda pode ser escrita em fun¸cão da energia média, ou seja, usando a defini¸cão da energia média, temos:

U = P

nEne−Enβ

Z , (4.17)

podemos ainda escrever

Z′(T)T = 1

kT

X

n

Ene−Enβ =β

X

n

Ene−Enβ, (4.18)

ent˜ao:

Z′

(T)T

Z =βU. (4.19)

Usando a rela¸c˜ao (4.16) , chegamos na equa¸c˜ao:

1 8Z(T0)

+1 4 =

U(T0)

kT0

(4.20)

Fazendo um estudo numérico da fun¸cão de parti¸cão de um po¸co infinito usando a expressão dado por (4.13) e adotando os valores de~_,_k_{, da massa do elétron}_m _{dados no apêndice,} a temperatura caracter´ıstica será dada porT0 = 5.49x10−14/a2, assim:

a(˚A) T0(K)

100 549 200 137 300 61

O gráfico da figura 8 nos mostra a fun¸cão de parti¸cão de um po¸co infinito de 183˚Ade largura em fun¸cão da temperatura. Neste gráfico a temperatura varia de 0 a 100K.

(50)

0

20

40

60

80

100 Temperatura (K)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Z

(51)

CONCLUS ˜

AO

Acreditamos ter estabelecido nesta tese um estudo anal´ıtico e numérico das quanti-dades termodinâmicas do oscilador de Dirac. No primeiro momento fizemos um trata-mento anal´ıtico do caso unidimensional que nos confirmou os resultados numéricos já obtidos no ano de 2001. As quantidades termodinâmicas do oscilador de Dirac em uma dimensão é o dobro do obtido no caso do oscilador harmônico quântico não-relativ´ıstico. Uma vez esclarecido o caso unidimensional, partimos para o caso tridimensional, agora com uma complexidade maior, pois tratamos de considerar o espectro de energia com o termo de spin-órbita que resulta nos casos de degenerescência finita e infinita. Os resultados anal´ıticos e numéricos mostraram que para o caso tridimensional com de-generescência finita, os valores das quantidades termodinâmicas do oscilador de Dirac são exatamente o dobro do caso unidimensional, considerando altas temperaturas. Neste trabalho também estabelecemos uma rela¸cão entre a fun¸cão theta de Jacobi e as quanti-dades termodinâmicas de um po¸co de potencial infinito, mostrando que poderemos ainda futuramente, calcular as quantidades termodinâmicas de um po¸co de potencial finito que são bastante utilizados na simula¸cão das heteroestruturas semicondutoras.

Em s´ıntese:

• Nosso principal resultado foi mostrar que o calor espec´ıfico de um oscilador de Dirac tridimensional com degenerescência finita é o dobro do calor espec´ıfico do oscilador de Dirac unidimensional e quatro vezes maior que o calor espec´ıfico do oscilador harmônico quântico não-relativ´ıstico quando estamos num sistema de altas temperaturas.

• Os resultados encontrados nos deixam uma perspectiva de poder construir uma rede de osciladores de Dirac em um banho térmico e também também estabelecer as quantidades termodinâmicas em altas dimensões.

(52)

APˆ

ENDICE A -- A equa¸c˜

ao de Dirac

A equa¸cão de Dirac é uma equa¸cão relativ´ıstica que descreve part´ıculas de spin 1/2, como elétrons e quarks; uma caracter´ıstica dessas part´ıculas é que elas possuem dois graus de liberdade. Part´ıculas de spin 0 são descritas pela equa¸cão relativ´ıstica de Klein-Gordon.

A.1 A equa¸c˜

ao

A equa¸c˜ao de Klein-Gordon na forma de duas componentes ´e escrita como

ı~∂

∂tψ =Hψ. (A.1)

Enquanto esta equa¸cão é de primeira ordem na derivada temporal, o hamiltoniano de Klein-Gordon é de segunda ordem na derivada espacial e portanto não temos equivalência nas coordenadas espacial e temporal. Além disso, como na teoria de Klein-Gordon a densidade de probabilidade não é positiva definida, logo o hamiltoniano da equa¸cão de Klein-Gordon de duas componentes não é hermitiano. Finalmente a covariância dessa equa¸cão somente se manifesta na forma da equa¸cão de uma componente. Sendo assim, surgem as seguintes perguntas: existe uma equa¸cão relativ´ıstica que seja de primeira ordem na derivada temporal e que as coordenadas espaciais e temporais manifestem-se simetricamente? E que a densidade de probabilidade seja positiva definida (implicando que o hamiltoniano seja hermitiano)? E que manifeste covariância de Lorentz? Estas perguntas nos levam diretamente à equa¸cão de Dirac.

Esta equa¸c˜ao deve ter a seguinte forma:

ı~∂

∂tΨ =HΨ = (cα·p+βmc

2_)Ψ_, _(A.2)

onde α e β s˜ao matrizes hermitianas e p = ₋ı~_∇_{. A rela¸c˜ao energia-momento surge} naturalmente, usando a energia como E_→ı~∂

(53)

equa¸c˜ao (A.2), ou seja,

−~2 ∂

2

∂t2Ψ = ı~

∂

∂t(cα·p+βmc

2_)Ψ_, _(A.3)

ou ainda

−~2 ∂

2

∂t2Ψ = (cα·p+βmc

2₎2_{Ψ = (}_p2_c2₊_m2_c4_)Ψ_. _(A.4)

Podemos ainda escrever:

(αipi+βm)2 =β2m2+(αi)2(pi)2+{β, αi}mpi+

1

2{αi, αj}i6=jp

i_pj ₌X

ı

(pı)2+m2, (A.5)

onde _{A, B_} = AB+BA é o anticomutador dos operadores A e B. A equa¸cão acima é válida se, e somente se,

{αi, β}={αi, αj}= 0

β2 ₌_α2

i = 1.

Uma representa¸c˜ao destas matrizes ´e dada por

αi =

"

0 σi

σi 0

#

, β =

"

1 0

0 ₋1

#

, (A.6)

onde σi s˜ao as matrizes de Pauli

σ1 =

" 0 1 1 0

#

, σ2 =

"

0 ₋ı

ı 0

#

, σ3 =

"

1 0 0 ₋1

#

.

A equa¸c˜ao de Dirac ainda pode ser escrita na forma covariante. Usando as matrizes

γµ_{, onde} _γµ _{= (}_{β, βα}

i), encontraremos a forma covariante da equa¸c˜ao de Dirac, que ser´a

dada por:

(ı~_γµ ∂

∂xµ −mc)Ψ = 0. (A.7)

Para construirmos a lei diferencial de conserva¸c˜ao da corrente, inicialmente escrevendo (A.1) na seguinte forma

ı~∂Ψ

∂t = ·_~ c ı µ ˆ α1 ∂

∂x1 + ˆα2

∂

∂x2 + ˆα3

∂ ∂x3

¶

+βmc2

¸

Ψ =HΨ, (A.8)

e definindo a fun¸c˜ao de onda conjugada hermitiana Ψ† _{= (Ψ}∗

(54)

multi-plicar a equa¸c˜ao (A.8) por Ψ† _{pelo lado esquerdo, ou seja,}

ı~_Ψ†∂Ψ

∂t =

~_c

ı Σ

3

k=1Ψ†αk

∂

∂xkΨ +mc

2_Ψ†_β_Ψ_. _(A.9)

Al´em disso, com a forma hermitiana conjugada das matrizes αı eβ

−ı~∂Ψ †

∂t =−

~_c

ı Σ

3

k=1

∂Ψ†

∂xkα

†

k+mc

2_Ψ†_β†_, _(A.10)

multiplicando (A.10) pela direita por Ψ e considerando a hermiticidade das matrizes de Dirac, ou seja (α†_i =αi, β† =β), temos:

−ı~∂Ψ †

∂t Ψ =−

~_c

ı Σ

3

k=1

∂Ψ†

∂xkαkΨ +mc

2_Ψ†_β_Ψ_. _(A.11)

Agora subtraindo (A.11) de (A.9) temos:

ı~∂(Ψ †_Ψ) ∂t = ~_c ı Σ 3 k=1

∂(Ψ†_α

kΨ)

∂xk , (A.12)

ou ainda

∂ρ

∂t +∇ ·j= 0,

onde ρ = Ψ†_{Ψ =} P4

µ=1Ψ∗µΨµ ´e a densidade de probabilidade positiva definida e k =

cΨ†_αk_{Ψ ou} _j₌_c_Ψ†_{αΨ ´e a densidade de corrente.}

A.2 Solu¸c˜

ao da equa¸c˜

ao de Dirac para part´ıcula livre

A equa¸c˜ao de Dirac pode ser escrita como:

ı~∂Ψ

∂t = ˆHΨ = (cα·p+mc

2_β_ˆ_)Ψ_. _(A.13)

Para os estados estacion´arios, se utilizarmos o Ansatz

Ψ(x, t) =ψ(x)e−~ıεt, (A.14)

assim,

εψ((x)) =Hψ(x). (A.15)

(55)

componentesϕ e χ temos: ψ =        ψ1 ψ2 ψ3 ψ4        = Ã ϕ χ ! , (A.16)

ondeχ= Ã

ψ3

ψ4

! eϕ =

Ã

ψ1

ψ2

!

. Usando as matrizes de Dirac (A.6) e (A.15), podemos escrever: ε Ã ϕ χ ! =c Ã 0 σ σ 0 ! ·p Ã ϕ χ !

+m2_c2

Ã

1 0

0 ₋1

! Ã ϕ χ ! , ou

εϕ=cσ_·pχ+mc2ϕ

εχ =cσ_·pϕ₋mc2χ. (A.17)

Organizando as equa¸c˜oes acima e considerando o operadorp sendo o autovalor p e que

Ã ϕ χ ! = Ã ϕ0 χ0 ! exp[(ı

~)p·x], (A.18)

temos:

(ε₋m0c2)1ϕ0−cσ·pχ0 = 0

−cσ_·pϕ0 + (ε+m0c2)1χ0 = 0. (A.19)

Considerando que o determinante da matriz dos coeficientes de (A.19) seja zero, ou seja, a equa¸cão (A.17) possui solu¸cão não-nula, temos:

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(ε₋m0c2)1 −cσ·p

−cσ_·p (ε+m0c2)1

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

= 0, (A.20)

assim

(ε2₋m2₀c4)1₋c2(σ_·p)(σ_·p) = 0. (A.21)

Usando o fato que (σ_·p)2 ₌_p2_{, temos que a rela¸c˜ao energia-momento (A.21) fornece:}

ε2 ₌_m2

(56)

Considerando ε=_±Ep temos:

Ep =c

q

p2₊_m2

0c2, (A.22)

onde os sinais + ou ₋deε descrevem as duas solu¸cões da equa¸cão de Dirac. Da equa¸cão (A.19) podemos encontrar o valor deχ0, assim:

χ0 =

c(σ_·p)

m0c2+ε

ϕ0. (A.23)

Se considerarmos ϕ0 na forma

ϕ0 =U =

"

U1

U2

#

, (A.24)

e a normaliza¸c˜ao

U†_U ₌_U∗

1U1+U2∗U2 = 1

onde U1 e U2 s˜ao n´umeros complexos, e usando (A.14) e (A.18) teremos o conjunto

completo de solu¸c˜oes livres positivas e negativas da equa¸c˜ao de Dirac como sendo:

Ψ(x, t) = N (√2π~₎3

"

U

c(σ·p)

m0c2+λEpU #

exp[ı(p_·x₋λEpt)/~], (A.25)

onde λ=_±1 e ε=λEp.

A constante N pode ser determinada pela condi¸c˜ao de ortonormaliza¸c˜ao

Z

Ψ†_pλ(x, t)Ψ_p′_λ′(x, t)d3x=δ_λλ′δ(p−p ′

(57)

portanto,

N2(U†_U ₊_U†c2(σ·p)(σ·p) (mc2₊_λE

p)2

U) = 1

N2(1 + c

2_p2

(mc2₊_λE

p)2

) = 1

N =

s

(mc2₊_λE

p)2

(mc2₊_λE

p)2+c2p2

N =

s

(mc2₊_λE

p)2

(m2_c4₊_c2_p2_{) + 2}_mc2_λE

p+Ep2

N =

s

(mc2₊_λE

p)2

2(mc2₊_λE

p)λEp

N =

s

mc2 ₊_λE

p

2λEp

. (A.27)

O espectro de εpλ = λEp, correspondendo aos autovalores da fun¸c˜ao Ψpλ(x,t). Do

mesmo modo que na equa¸cão de Klein-Gordon, temos autovalores de energia positiva e negativa. Considerando que todos os estados de (A.25) são autofun¸cões do momento, ou seja:

ˆ

pΨpλ =pΨpλ(x, t), (A.28)

para todo p temos duas diferentes solu¸c˜oes, uma dada por λ = 1(ε = Ep) e outra λ =

−1(ε=₋Ep).

De acordo com (43), o operador helicidade ˆΛs ´e definido como:

ˆ Λs =

~ 2       

1 0 0 0 0 ₋1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ₋1

      

= ˆSz, (A.29)

e pode ser usado para classificar os estados de uma part´ıcula livre. Os autovalores s˜ao ±~

2 e os autovetores de ˆΛs s˜ao:

" u1 0 # , "

u₋1

0 # , " 0 u1 # , " 0

u₋1

#

, (A.30)

com

u1 =

" 1 0

#

, u₋1 =

" 0 1

#

(58)

Assim a propaga¸cão de onda livre de Dirac na dire¸cão z é denotada por Ψpz,λ,sz e escrita como:

Ψp,λ,+1/2 =

1 √

2π~ s

mc2₊_λE

p

2λEp

       Ã 1 0 !

cσzp

mc2₊_λE

p Ã 1 0 !       

exp[ı(pz₋λEpt)/~]. (A.31)

e

Ψp,λ,−1/2 =

1 √

2π~ s

mc2₊_λE

p

2λEp

       Ã 0 1 !

cσzp

mc2₊_λE

p Ã 0 1 !       

(59)

APˆ

ENDICE B -- Teste de convergˆ

encia de

s´

eries infinitas

Existem vários testes para estudar a convergência ou divergência de uma série. Al-gumas vezes ao se aplicar um teste para uma determinada série, este não é adequado, ou não nos leva à conclusão alguma e assim sendo teremos que utilizar um outro teste. Aqui vamos resumir os principais testes de convergência para séries infinitas.

B.1 O teste da raz˜

ao

Seja P+_∞

n=1un uma série infinita dada para todo un não-nulo. Então:

i) se limn→∞|un+1|/|un|=L <1, a s´erie ´e absolutamente convergente;

ii) se limn→∞|un+1|/|un| = L > 1, ou se limn→∞|un+1|/|un| = +∞, a s´erie dada ´e

divergente.

iii) se limn→∞|un+1|/|un| = 1, nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser

tirada do teste, devendo assim utilizar-se outro teste.

B.2 O teste da integral

Seja f uma fun¸cão cont´ınua, decrescente e com valores positivos para todo x _≥ 1. Então, a série infinita:

∞ X

n=1

f(n) = f(1) +f(2) +f(3) +_{· · ·}+f(n) +_{· · ·}

ser´a convergente se a integral impr´opria

Z +_∞

1

(60)

existir, e ser´a divergente se

lim

b→∞ Z b

1

f(x)dx= +_∞

B.3 O teste da compara¸c˜

ao

Seja P+∞

n=1un uma s´erie de termos positivos.

i) se P+_∞

n=1vn for uma s´erie convergente de termos positivos j´a conhecida e un ≤ vn

para todon inteiro positivo, ent˜ao P+∞

n=1un ser´a convergente.

ii) se P+∞

n=1wn for uma s´erie divergente de termos positivos j´a conhecida e un ≥ vn

para todon inteiro positivo, ent˜ao P+∞

n=1un ser´a divergente.

Existem outros testes que podem ser utilizados como citados em (44).

B.4 A s´

erie

P

_∞

n=0

e

−

√

an+bβ

A série fun¸cão de parti¸cão do oscilador de Dirac unidimensional é do tipo: ∞

X

n=0

e−√an+bβ (B.1)

Iremos agora estudar a convergência da série acima. Iniciemos nosso estudo pela série P∞

n=0e−

√

nβ_{. Aplicando o teste da raz˜ao temos:}

an+1 =e−

√

n+1β

an =e−

√

nβ _(B.2)

assim calculando:

lim

n→∞|an+1|/|an|= limn→∞

e−√n+1β

e−√nβ = lim_n_→∞e

− 1 √_n₊√

n+1β =e0 = 1 (B.3)

logo não podemos afirmar nada sobre a convergência da série. Então aplicaremos o teste da integral. Basta verificar a existência da integral imprópria:

Z ∞

0

e−√x_dx _(B.4)

Fazendo uma mudan¸ca de vari´avel

(61)

a equa¸c˜ao acima fica:

I = 2 Z ∞

0

e−y_ydy _(B.5)

Agora integrando por partes temos:

I = 2 µ

e−y_y

   

∞

0

− Z ∞

0

e−y_dy

¶

= 2 (B.6)

Logo a integral existe e a série é convergente. Agora usando o método da integral para a série P∞

n=0e−

√

an+bβ_{, verificamos que a integral resulta em:}

I = Z ∞

0

e−√an+bβdn (B.7)

Fazendo uma mudan¸ca de vari´avel temos:

an+b=y2 _, _adn_{= 2}_ydy

logo (B.7) fica:

I = 2

a

Z _∞

0

e−y_ydy

I = 2

aeβ (B.8)

(62)

APˆ

ENDICE C -- Rela¸c˜

oes e constantes

f´ısicas ´

uteis

C.1 Quantidades termodinˆ

amicas

Fun¸c˜ao de parti¸c˜ao:

Z =X

n

e−EnkT (C.1)

onde En´e a energia do sistema.

Energia m´edia:

U = 1

Z

X

n

Ene−

En

kT =−1

Z ∂Z ∂β =−

∂lnZ

∂β , (C.2)

onde Z ´e dado por (C.1) e β = _kT1 . Calor espec´ıfico:

c= ∂U

∂T (C.3)

C.2 Constantes f´ısicas

Constante de Plank:

~_{= 1}_,₀₅₄₅₇₃_.₁₀−34_J.s_{= 6}_,₅₈₂₁₂₂_.₁₀−16_eV.s

Constante de Boltzmann:

k = 8,617385.10−5_{eV /K} _{= 1}_,₃₁₈₁_.₁₀−23_J/K

C.3 Rela¸c˜

oes da m´

etrica e derivadas

(63)

∂µ_≡ ∂ ∂xµ =

µ

∂ ∂t,−∇

¶

Derivada contravariante:

∂µ≡ _∂x∂µ = µ

∂ ∂t,∇

¶

C.4 Matrizes de Dirac

γ0 ₌

"

1 0

0 ₋1

#

e γi ₌

"

0 σi

−σi 0

#

,

As matrizes de Dirac satisfazem a rela¸c˜ao:

{γµ, γν_}=γµγν+γνγµ= 2gµν (C.4)

C.5 Matrizes de Pauli

σ1 =

" 0 1 1 0

#

, σ2 =

"

0 ₋ı

ı 0

#

, σ3 =

"

1 0 0 ₋1

#

.

C.6 Rela¸c˜

ao ´

util

Z ∞ √

b

une−uβ_du₌_e−β√b

3

X

k=0

3!

k! (√b)k