p m v m v m v m M v v v m 2h 2h d g g t 2h m M g m km p p p m v m v m v v e v p m v m v t t t 2 2g

1

1. Considere o trecho ABC da figura sem atrito.

Um corpo de massa m₁ = 5.0 kg é abandonado da posição A e choca-se elasticamente (coeficiente de restituição e = 1) com um corpo de massa m₂ = 10 kg, inicialmente em repouso. Encontre a máxima altura atingida pelo corpo de massa m₁ após o choque.

 Solução:

1A 1A 1B 1B

K  U  K  U

2

1 1

1 1

2

2

B B

m g h    m v   v  g h 

1

2 10 5

1

10

1

B B i

v     v  m s  v

Conservação da quantidade de movimento no choque entre A e B:

0

_{f i}

p p p

       

1 1_i 1 1_f 2 2_f

m v     m v  m v 

1 2

5 10 5 10

f f

v v

     

1 2

10 2

f f

v v

   

1 2

1 1

10

f f

v v

e 

  

1 2

10

f f

v  v 

1 2

1 2

2 10

10

f f

f f

v v

v v

   

   



2 2

3 20 20

3

f f

v   v 

1 2 1 1

20 10

10 10

3 3

f f f f

v   v  v    v  m s

1 1

2 2

1

1

2 2

f f

f f

m v v

m g h h

g

     

 ^{10 3} 

²

10

2 10 18

f f

h   h  m



0.556 h

f

 m

2. Uma bala de 8 g é atirada na direção de um bloco de massa 2.5 kg, como mostra a figura:

O bloco está sobre uma mesa de 1 m de altura e não há atrito sobre a mesa. A bala se aloja no bloco e o conjunto bloco-bala cai a 2.00 m da mesa. Determine a velocidade inicial da bala.

 Solução:

 

i f i f

m v m M v v m M v

m

       

1

2 f

2

d  v    t h g t  2

f f

2

h d g

t v v d

g t h

     

i

2

m M g

v d

m h

    

2.5 8 10 2.5 2 2 1 v

i



   

 18.78 67.6

i

m km

v  s  h

3. A massa de uma bola de futebol é 0.4 kg. Determine o impulso da força resultante e a força resultante média para o caso da bola sabendo que inicialmente a bola se desloca da direita para a esquerda com 20 m/s e após o chute, de interação 0.01s, desloca com módulo 30 m/s fazendo um ângulo de 45° com a horizontal.

 Solução:

cos 45 30 cos 45

x x

f f f

v  v    v    30 0.707 21.21

x x

f f

v    v 

45 30 45

y y

f f f

v  v  sen   v   sen  30 0.707 21.21

y y

f f

v    v 

f i

p m v m v

       

x x

x f i

p m v m v

    

 

21.2 0.4 20 0.4 16.48

x x

p p kg m

s

         

y y

8.48

y f i y

p m v m v p kg m

s

        

x

y

x med

med

y med

F p

p t

F t p

F t

  

   

         

 

2 1650

850

x

y

med med

F N

F N

 

 



2 2

x y

med med med

F  F  F 1.9 10

3

F

med

  N

Direção:

850 1650

y

x

med med

F

arctg arctg

  F   

  27 

4. O diâmetro do sistema de giro de um helicóptero são 7.60 m e 1.06 m (traseiro). Eles giram a 450 rev/min e 4138 rev/min, respectivamente. Calcule a velocidade da extremidade de cada hélice e compare com a velocidade do som, que é de 343 m/s.

 Solução:

1 1

450 7.5

f  60  f  Hz

1

2 f

1 1

2 7.5

1

47.123 rad s

           

1 1 1 1 1

47.123 7.6 179 v      r v  2   v m s

1

0.52

_s

v   v

2 2

4138 68.967

f  60  f  Hz

2

2 f

2 2

2 68.967

2

433.33 rad s

           

2 2 2 2 2

433.33 1.06 229.66 v 



 r v   2 v  m s

2

0.669

_s

v   v

5. Um bloco de 6 kg é abandonado do alto de uma rampa como ilustra a figura a seguir. Não há atrito entre o bloco e o plano.

Encontre a componente centrípeta e tangencial da aceleração do bloco no ponto P indicado e o módulo da aceleração resultante.

 Solução:

Fazendo a conservação da energia, temos:

A A P P

K  U  K  U

2

2 m v

P

m g h        m g R

 

2

2 2

P

P

m g h     m v       m g R  v  g   h R

 

2 10 5 2 60

P P

v v m

      s

 

²

2

2

60 2 30

P

P

cp cp cp

v m

a a a

r s

    

No ponto P o bloco é liberado do contato com a rampa; portanto, a aceleração tangencial é g.

T 2

a g m

  s

6. Uma bola de gude de 10.0 g se desloca com velocidade de 0.400 m/s da direita para a esquerda sobre uma pista horizontal sem atrito e colide frontalmente com outra bola de gude de 30.0 g que se desloca com velocidade de 0.200 m/s da esquerda para a direita (Figura 8.35).

(a) Determine o módulo, a direção e o sentido de cada bola de gude depois da colisão. (Como a colisão é frontal, todos os movimentos ocorrem ao longo da mesma linha reta.)

(b) Calcule a variação do momento linear (isto é, o momento linear depois da colisão menos o momento linear antes da colisão) para cada bola de gude. Compare os valores obtidos para cada bola de gude.

(c) Calcule a variação de energia cinética (isto é, a energia cinética depois da colisão menos a energia cinética antes da colisão) para cada bola de gude. Compare com os valores obtidos para cada bola de gude. 0.200 m/s

0.400 m/s

30.0 g 10.0 g FIGURA 8.35 Exercício 8.34.

 Solução:

(a) Na notação do exemplo 8-10, com a bola de gude maior (que se move originalmente para a direita) denotada como sendo A, temos

(3.00)v_A2 + (1.00)v_B2 = 0.200 m/s.

A velocidade relativa mudou de direção, então v_A2 – v_B2 = -0.600 m/s. Somando-se estas, eliminamos v_B2 resultando em (4.00)v_A2 = -0.400 m/s, or v_A2 = -0.100 m/s, com o sinal negativo indicando uma velocidade final à esquerda. Isto pode ser substituído em qualquer uma das duas relações acima, resultando em: v_B2 = 0.500 m/s; ou , a segunda das relações acima pode ser multiplicado por 3,00 e ser subtraída da primeira resultando em:

(4.00)v_B2 = 2.00 m/s, que é o mesmo resultado.

(b) P_A = -0.009 kgm/s, P_B = 0.009 kgm/s (c) K_A = -4.5 x 10^-4, K_B = 4.5 x 10^-4. Como a colisão é elástica, os números têm o mesmo valor.

(d)

3

7. Uma bala de 8.00 g disparada por um rifle penetra e fica retida em um bloco de 0.992 kg ligado a uma mola e apoiado sobre uma superfície horizontal sem atrito (Figura 8.39). O impacto produz uma compressão de 15.0 cm na mola. A calibração mostra que uma força de 0.750 N comprime a mola 0.250 cm.

(a) Calcule o módulo da velocidade do bloco imediatamente após o impacto.

(b) Qual era a velocidade inicial da bala?

V

FIGURA 8.39 Problema 8.68.

 Solução:

(a) e (b) Conservação da quantidade de movimento no choque entre a bala b e o bloco B:

0

_{f i}

p p p

       

  

^b



b b B b B B b

B b

m v m m v v m v

m m

      



 0.992 0.008 ^0.008 

B b

v   v

 1 0.008

b B

v   v

Fazendo a conservação da energia do sistema Bloco+bala e mola, temos:

b B M

K

_

 U

 

²

2 2

b B B

m  m  v  k x 

Cálculo da constante elástica:

0.75 0.0025

F k x k F k

    x   300 N k  m

 0.008 0.992 

²

300 0.15

²

2 2

v

B

   

1

2

6.75 2 2 2.60

B

B

v m

v s

   

 

1 0.008

b B

v   v

1 2.6 325

0.008

b b

v v m

    s

8. Uma criança está empurrando um carrossel. O deslocamento angular do carrossel varia com o tempo de acordo com a relação

   ^t      ^t  ^t

³, onde  = 0.400 rad/s e 

= 0.0120 rad/s².

(a) Calcule a velocidade angular do carrossel em função do tempo,

(b) Qual é o valor da velocidade angular inicial?

(c) Calcule o valor da velocidade angular instantânea para t = 5.00 s e a velocidade angular média med para o intervalo de tempo de t = 0 até t = 5.00 s. Mostre que mednão é igual a média das velocidades angulares para t = 0 até t = 5.00 s e explique a razão dessa diferença.

 Solução:

(a)

  ^{t d}   ^{t d}  ^{0.4 t 0.012 t}

³



dt dt

        

  ^{t 0.4 0.036 t}

²

   

(b)

^  ^{t  0}  ^{ 0.4}

0

0.4 rad

  s

(c)

  t  5   0.4 0.036 5  

²

 ^{t 5 s}  ^{0.5 rad}

    s

(d) 1

 

1 0

 

0

1 0

t t

t t t

 

  ^     ^

 

0.18

^rad_s

  

9. Para t = 0 a corrente de um motor elétrico de corrente contínua (de) é invertida, produzindo um deslocamento angular do

eixo do motor dado por

  

^{t 250rad s t}

 

^{20rad s2}

 

^{t2 1.50rad s3}



^t3

      

(a) Em que instante a velocidade angular do eixo do motor se anula?

(b) Calcule a aceleração angular no instante em que a velocidade angular do eixo do motor é igual a zero.

(c) Quantas revoluções foram feitas pelo eixo do motor desde o instante em que a corrente foi invertida até o momento em que a velocidade angular se anulou?

(d) Qual era a velocidade angular do eixo do motor para t

= 0, quando a corrente foi invertida?

(e) Calcule a velocidade angular média no intervalo de tempo desde t = 0 até o instante calculado no item (a).

 Solução:

(a) d dt

 



^{250 20 2 1.5 3}



^{250 40 4.5 2}

d t t t t t

dt          

 

^{t 250 40 t 4.5t2}

     

 

^{t 0 250 40 t 4.5t2 0}

       

     

 

2 4 40 402 4 4.5 250

2 2 4.5

b b a c

t t

a

       

    

  

  

40 1600 4500

t  9



1

2

40 6100

40 6100 9

9 40 6100

9 t

t

t

  

 

  

  





40 78.10 9 4.23

t   t s

(b) d

dt

 



^{250 40 4.5 2}



^{40 9}

d t t t

dt        

4

 

^{t 40 9 t}

    



^{t 4.23}



^{40 9 4.23}

     



^4.23



^78.07

² t rad

   s (c) 0



t0



0

 

^{2 3}

1 t1 4.23 250 4.23 20 4.23 1.5 4.23

       

 

1 t1 4.23 1057.5 3936.438 113.5304

    

 

1 t1 4.23 2992.468

   

1 0 2992.468rad

   

       476.3

2 rev



  

(d)

 ^{t 0}  ^{250 rad}

   s

(e) 1

 

1 0

 

0

1 0

t t

t t t

 

^   ^

 

2992.468

707.43 4.23

rad

^    s

10. Projeto de uma hélice. Você foi solicitado para projetar a hélice de um avião que deve girar a 2400 rpm. A velocidade do avião deve ser de 75.0 m/s (270 km/h), e a velocidade da extremidade da lâmina da hélice não pode superar 270 m/s. (Isso é cerca de 0.8 vezes a velocidade do som no ar. Se as extremidades das lâminas se deslocassem com a velocidade do som, elas poderiam produzir uma enorme quantidade de ruído. Mantendo a velocidade menor que a velocidade do som obtém-se um nível de ruído aceitável.)

(a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter?

(b) Com esse raio, qual é a aceleração da extremidade da hélice?

 Solução:

2400 2400

f  rpm   f 60 Hz 40

f  Hz

2 2 40 251.3 rad

f s

          

(a) Velocidade tangencial de um ponto P na extremidade da hélice::

v

P

   r

Velocidade do avião em relação ao ar: v_A. Velocidade total:

2 2 2 2 2

A P A

v  v  v   v v    r

2 2 2 2

2

2 2

270 75 251 v v

A

r r



 

  

1.03 r  m

(b) A velocidade angular da hélice é constante:

2 2

251 1.03

cp cp

a     r a  

4

6.5 10

2 cp

a m

  s

Força que a hélice exerce:

6.5 10

4 cp

F N

F m a

m kg

    

As hélices são fabricadas de materiais leves e duros, como ligas de alumínio.

11. Movimento de um CD/DVD. Em um compact disc ou digital video disc, as informações são gravadas digitalmente em uma série de pits (“buracos”) e flats (regiões de áreas planas) sobre a superfície do disco, representando uma série de binários 0 ou 1, que serão lidos pelo compact disc player e convertidos em ondas sonoras. Os pits e as flat areas são detetados por um sistema de um laser e lentes. O comprimento de um certo número de zeros e uns gravados é o mesmo ao longo de todo o disco, próxima a borda ou próximo ao seu centro. Para que o comprimento da região gravada de “0s” e “1s” sempre passe pelo sistema de leitura lentes e laser no mesmo período, a velocidade linear da superfície do disco na região de leitura deve ser constante. Em um aparelho de CD típico, a velocidade de leitura é da ordem de 1.3 m/s. Encontre a velocidade angular do disco quando a informação está sendo lida do interior (first track) em r = 23 mm e no exterior (final track) r = 58 mm.

 Solução:

2

2

1.3 56.5

2.3 10

1.3 22.4

5.8 10

i i

i i

e e

rad

v s

r rad

s

 



 





   

 

  

   

 



56.5 8.99

2 22.4

2 3.565

2

i i

i i

e e

f f Hz

f

f f Hz

 





   

   

   



( ) ( ) 60 f rpm

i

 f Hz 

539.4 213.9

i e

f rpm

f rpm

 

  

5

Dados:

 Impulso I:

I    F  t

 Conservação da quantidade de movimento:

Num sistema de partículas de massas m1,m2 ,…,mn , se não há forças externas atuando no sistema, a quantidade de movimento se conserva:

0

_{f i}

0

p p p

         

Coeficiente de restituição como a razão entre a velocidade relativa de afastamento e a velocidade relativa de aproximação:

1 0  



 e

v e v

rap raf

Elásticas. Nesse caso a energia mecânica se conserva:

F

i M

M

E

E 

e o coeficiente de restituição é igual a 1 (e = 1).

Inelásticas. (parcialmente elásticas

(0< e< 1)). Quando e = 0, ou seja, dois corpos após se colidirem saem com a mesma velocidade, chamamos de colisão perfeitamente inelástica.

 Aceleração tangencial:

a

T

   r

 Aceleração centrípeta ou normal:

2

2

cp cp

a v a r

r 

   

 Aceleração resultante:

2 2

cp T

a  a  a

 Energia potencial gravitacional:

E

p

    U m g y

 Energia cinética:

2 c

2

K  E  m v 

 

_{2 1}

2 2 1 1

F F m m

W  K  U  K  U  W  E  E

Estuda aí, hein, carinha!?!?