1 Relatividade Geral

1 Relatividade Geral

1.1 Conceitos Básicos

Na Física IV, pela limitação de tempo e a falta de recursos matemáticos necessários, não podemos estudar aqui a Teoria da Relatividade Geral (TRG) em detalhes. Entretanto é uma boa oportunidade para introduzirmos alguns conceitos fundamentais e suas consequências da TRG embora não seja nossa intenção fazer nenhum estudo profundo.

Uma característica importante da natureza da força gravitacional é que a aceleração produzida pela força gravitacional externa não depende da massa da partícula, como ficamos sabendo a partir da famosa experiência de Galileo na Torre de Pisa ¹ . Em outras palavras, a massa gravitacional e a massa inercial são equivalentes.

Este é o chamado Princípio da Equivalência. A validade do Princípio da Equivalência leva à possibilidade de interpretarmos a origem da força gravitacional de uma forma bastante interessante, diferentemente das outras interações, tais como o eletromagnetismo. Hoje, a validade do Princípio de Equivalência é testado em altíssima precisão (Eötvös).

Devido ao Princípio da Equivalência, na equação de movimento de uma partícula num campo gravitacional externo, as massas se cancelam nos dois lados, desaparecendo completamente. Assim, a aceleração causada por um campo gravitacional sobre uma partícula não é dependente de qual era a partícula nem em termos de sua estrutura, nem de sua massa. Esta propriedade lembra, por exemplo, a força centrífuga. A aceleração devido à força centrífuga também não depende da massa da partícula, nem da sua estrutura. Então, será que a força gravitacional é um tipo de força análogo à força centrífuga? Vamos rever o que é a força centrífuga.

Considere uma partícula de massa m. Se não houver nenhuma força atuando sobre ela sua equação de movimento é dada, num sistema de coordenadas S inercial, por

d ² r

dt ² = 0, (1)

Vamos agora observar esta mesma partícula num outro sistema de coordenadas, digamos S ⁰ , o qual está em movimento não uniforme em relação ao sistema S. Para estabelecer a equação de movimento no sistema S ⁰ , temos que relacionar as coordenadas r ⁰ com r.

r = r(r ⁰ , t). (2)

Em termos de componentes,

dx k

dt = X

i

dx ⁰ _i dt

∂x k

∂x ⁰ _i + ∂x k

∂t (3)

e

d ² x _k dt ² = X

i

d ² x ⁰ _i dt ²

∂x _k

∂x ⁰ _i + X

i

X

j

dx ⁰ _i dt

dx ⁰ _j dt

∂ ² x _k

∂x ⁰ _j ∂x ⁰ _i + 2 X

i

dx ⁰ _i dt

∂ ² x _k

∂x ⁰ _i ∂t + ∂ ² x _k

∂t ² (4)

Desta forma, mesmo que a equação de movimento num sistema S seja a de uma partícula livre, num outro sistema de coodenadas, S ⁰ , esta equação não necessáriamente será de aceleração nula. Assim,

X

i

d ² x ⁰ _i dt ²

∂x k

∂x ⁰ _i + X

i

X

j

dx ⁰ _i dt

dx ⁰ _j dt

∂ ² x k

∂x ⁰ _j ∂x ⁰ _i + 2 X

i

dx ⁰ _i dt

∂ ² x k

∂x ⁰ _i ∂t + ∂ ² x k

∂t ² = 0. (5)

Queremos colocar em evidência o termo d ² x ⁰ _i /dt ² . Para isto, multiplicamos a Eq. (5) pelo inverso da matriz, M _ki ≡

µ ∂x k

∂x ⁰ _i

¶

, (6)

1

Na verdade, para provar esta propriedade da força gravitacional, Galileo não se baseou na experiência da Torre de Pisa. Dizem

até mesmo que esta experiência nunca ocorreu.

e temos

d ² x ⁰ _k

dt ² + X

l

X

i

X

j

¡ M ^{− 1} ¢

kl

dx ⁰ _i dt

dx ⁰ _j dt

∂ ² x _l

∂x ⁰ _j ∂x ⁰ _i (7)

+ 2 X

l

¡ M ^{− 1} ¢

kl

( X

i

dx ⁰ _i dt

∂ ² x l

∂x ⁰ _i ∂t + ∂ ² x l

∂t ² )

= 0 (8)

A Eq.(7) mostra que, mesmo que a relação (2) seja uma mera transformação de coordenadas sem ter dependência explicita em t,

r = r(r ⁰ ), a equação de movimento no sistema de coordenadas S ⁰ terá a forma,

d ² x ⁰ _k dt ² + X

i

X

j

Γ ^ij _k dx ⁰ _i dt

dx ⁰ _j

dt = 0, (9)

onde definimos o chamado de símbolo de Christoffel Γ como

Γ ^ij _k ≡ X

j

¡ M ^{− 1} ¢

kl

∂ ² x _l

∂x ⁰ _j ∂x ⁰ _i . (10)

Γ não seria nulo para uma transformação não linear de coordenadas. A Eq. (9) mostra que, num sistema de coordenadas curvilíneas, a trajetória de uma partícula livre se apresenta como se existisse uma força atuando sobre ela. É óbvio que esta força aparente é uma propriedade geométrica do sistema de coordenadas em uso.

Um ponto importante é que a aceleração criada por esta força aparente de natureza geométrica do sistema de coordenadas não depende de qual partícula está em movimento, ou seja, a aceleração é universal para qualquer tipo de partícula. É aí que entra a possibilidade de formularmos a força gravitacional como sendo uma propriedade geométrica do espaço-tempo.

A equação (9) continua representando o movimento da partícula livre, apesar dela ter um aspecto diferente da usual definição de uma partícula livre,

d ² x dt ² = 0.

Mas qual é a razão física para que um determinado sistema de coordenadas seja mais adequado para definir se a partícula é livre ou não? Por exemplo, porque razão, se existir alguma, o sistema de coordenadas Cartesiano é melhor que o sistema de coordenadas polar para dizer que o movimento de uma partícula é livre? Não deve haver nenhuma. A Natureza não quer saber que tipo de sistema de coordenadas nós usamos. Desta forma, a definição de partícula livre como aquela que tem acceleração nula não parece satisfatória. Devemos procurar uma outra definição que não dependa da escolha do sistema de coordenadas.

Existe alguma quantidade que seja preservada na mudança de um sistema de coordenadas para outro? Existe sim, e na geometria diferencial ela é conhecido como elemento de linha,

dl ² = X

i,j

g ij dx ⁱ dx ^j ≡ g ij dx ⁱ dx ^{j 2} (11) onde G = (g _ij ) , chamado de tensor métrico, define a propriedade geométrica do sistema de coordenadas. Por exemplo, num sistema cartesiano,

G| Cartesiano =



 1 0 0 0 1 0 0 0 1



 (12)

2

Para simplificar a visualização, omitimos o símbolo de somatório sobre i e j. Foi Einstein que introduziu a convenção de que

sempre existe uma somatório sobre os índices repetidos numa expressão. Ele comentou, brincando, que esta é sua única contribuição

importante para a Matemática... .

e no sistema de coodenadas esféricas,

G| Esf´ erica =



 1 0 0 0 r ² 0 0 0 r ² sin ² θ



 (13)

onde escolhemos x ¹ = r, x ² = θ, e x ³ = φ. Para outro sistema de coordenadas qualquer, podemos calcular o tensor métrico G pela regra do produto matricial,

G| depois = Λ ^T G| antes Λ (14)

onde Λ é uma matriz cujo elemento é definido pela transformação de coordenadas, x _antes → x _depois por

¡ Λ ⁱ _j ¢

=

à ∂x ⁱ _depois

∂x ^j _antes

!

(15) já que temos que ter

dl ² = ( G| antes ) _ij dx ⁱ _antes dx ^j _antes = ³ G| depos

´

ij dx ⁱ _depois dx ^j _depois (16)

Até aqui, tudo parece ser mera manipulação matemática. Mas isto muda conceitualmente se associarmos uma nova entidade matemática a G como um todo. Isto é, se consideramos que existe uma quantidade G independente da escolha do sistema de coordenadas e que cada matriz tal como G| Cartesiano , G| esf erico , G| antes e G| depois nada mais seja do que uma das representações da quantidade única G . Isto é equivalente a considerar, por exemplo, o vetor A como uma entidade abstrata que existe independentemente de sua representação definida em termos de seus componentes num sistema de coordenadas, tal como A → (A x , A y , A z ). Neste sentido, a regra (14) pode ser vista como a lei de transformação do tensor métrico. Assim, definimos um tensor como a quantidade que se transforma de acordo com (14).

No caso de um vetor, existem algumas quantidades associadas às propriedades intrínsecas deste vetor, tais como o seu tamanho. Do mesmo modo, para um tensor existem certas quantidades que representam suas pro- priedades intrínsecas. No caso do tensor métrico, podemos considerar que tal propriedade intrínseca seja jus- tamente a propriedade geométrica intrínseca do espaço. Por exemplo, a curvatura escalar. No caso do tensor métrico dado pela Eq.(12), a curvatura seria nula, pois o tensor métrica é do espaço chato. Uma vez que a curvatura é uma propriedade geométrica intrínseca, então, o seu cálculo por meio de qualquer uma das expressões

G| Cartesiano , G| esf erico , G| antes e G| depois forneceria o mesmo valor, ou seja, zero.

Naturalmente, dependendo das propriedades do espaço, o tensor métrico pode possuir curvatura não nula.

Por exemplo, o espaço bidimensional, definido numa superfície de uma esféra tridimensional tem curvatura não nula. Num espaço com curvatura não nula, a geometria Euclidiana não vale. Por exemplo, a soma dos ângulos internos de um triângulo na superfície de uma esfera não é igual a π. Desta forma, num espaço com curvatura não nula, conceitos geométricos básicos, tais como o de uma reta, devem ser alterados. Neste caso, não existem retas.

Num espaço curvo o conceito correspondente à reta é definido como geodésica, isto é, a trajetória que constitui a menor distância entre dois pontos dados.

Podemos agora formular o conceito de movimento de uma partícula livre. Num sistema de coordenadas Cartesianas, o movimento de partícula livre é dado por uma reta no espaço. Desta forma, podemos definir como trajetória, entre dois pontos no espaço, de uma partícula livre aquela que tem o menor comprimento entre todas as possíveis trajetórias. Em outras palavras, podemos formular o problema em termos do princípio variacional.

Queremos determinar uma trajetória,

x ⁱ = x ⁱ (s), (17)

onde s é um parâmetro, que minimize a distância entre dois pontos, δI ≡ δ

Z

dl = 0, (18)

ou, explicitamente,

δ Z q

g ij dx ⁱ dx ^j = δ Z r

g ij

dx ⁱ ds

dx ^j

ds ds = 0. (19)

Sendo I uma quantidade escalar, esta equação agora pode ser estendida para qualquer sistema de coordenadas.

A variação deve ser feita em relação à trajetória,

x ⁱ (s) → x ⁱ (s) + δx ⁱ (s) A equação de Euler-Lagrange para a Eq.(19) fica

d ds

à g ij

dx ^j dt /

r g lm

dx ^l ds

dx ^m ds

!

− ∂

∂x ⁱ Ãr

g lm

dx ^l ds

dx ^m ds

!

= 0, (20)

Como s é um parâmetro que pode ser ajustado livremente, e podemos escolher a própria distância percorrida, ou seja

ds = dl = r

g lm

dx ^l ds

dx ^m

ds ds (21)

obtemos, r

g _lm dx ^l ds

dx ^m

ds = 1. (22)

Neste caso, podemos mostrar que a Eq.(23) resulta em d ² x ⁱ

ds ² + Γ ⁱ _jk dx ^j ds

dx ^k

ds = 0 (23)

onde

Γ ⁱ _jk ≡ 1 2 g ⁻ _il ¹

½ ∂g _lj

∂x ^k + ∂g _kl

∂x ^j − ∂g _jk

∂x ^l

¾

(24) é o símbolo de Christoffel. Podemos verificar que a Eq.(24) é de fato equivalente à Eq.(9). Formulamos assim o conceito de partícula livre, independentemente do sistema de coordenadas, via Eq.(18).

O que foi descrito acima pode ser estendido para o espaço-tempo. Segundo a Teoria da Relatividade Restrita, qualquer lei física independe da escolha do sistema inercial. Um sistema de coordenadas espaço-temporal ³ , { x ^µ , µ = 0, 1, 2, 3 } está relacionada a outro sistema de coordenadas, { x ^{0 µ} } por uma transformação de Lorentz,

x ^{0 µ} = Λ ^µ _ν x ^µ , (25)

onde a matriz de transformação de Lorentz deve satisfazer à invariância da distância própria,

s ² = G µν x ^µ x ^ν , (26)

e G é o tensor métrico para o espaço Minkowskiano (onde vale a relatividade restrita),

(G µν ) =



 



1 0 0 0

0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1



 

 (27)

Para estender isto ao sistema de coordenadas espaço-temporal curvilíneas, a transformação global de coorde- nadas Eq.(25) obviamente não é adequada, pois a transformação deve ser feita localmente. Em analogia ao caso 3-dimensional (Eqs.(11) ∼ (19)), vamos generalizar a TRR para uma transformação local,

dx ^{0 µ} = Λ ^µ _ν dx ^µ (28)

3

Usualmente x

= ct, x

= x, x

= y, x

= z.

onde

Λ ^µ _ν = ∂x ^{0 µ}

∂x ^µ , (29)

Esta transformação deve satisfazer à condição,

ds ² = g µν dx ^µ dx ^ν = g _µν ⁰ dx ^{0 µ} dx ^{0 ν} , (30) onde introduzimos o tensor métrico geral { g µν } para poder tratar os espaços não Minkowskianos. As leis da física então não devem depender da escolha do sistema de coordenadas ⁴ .

Vamos agora estudar o movimento de uma partícula livre. O cálculo é exatamente igual ao caso de 3-dimensões, apenas estendendo os índices. Temos

d ² x ^µ

ds ² + Γ ^µ _λσ dx ^λ ds

dx ^σ

ds = 0, (31)

com

Γ ^µ _λσ = 1 2 g _µν ^{− 1}

½ ∂g νλ

∂x ^σ + ∂g σν

∂x ^λ − ∂g λσ

∂x ^ν

¾

(32)

≡ 1 2 g ^µν

½ ∂g _νλ

∂x ^σ + ∂g _σν

∂x ^λ − ∂g _λσ

∂x ^ν

¾

. (33)

onde, para facilitar a notação, introduzimos a notação, g ^µν ≡ g _µν ^{− 1} .

A diferença básica entre a Eq.(31) e a Eq.(23) é que esta tem componente temporal. Para compreender o significado da Eq.(31), vamos considerar o limite não relativístico da Eq.(31). Para isto, em primeiro lugar, consideramos que o tensor métrico é quase igual àquele do espaço Minkowskiano e usarmos um sistema de coordenadas cartesiano,

g _µν = η _µν + h _µν (x), (34)

onde

¡ η _µν ¢

=



 



1 0 0 0

0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1



 

 , (35)

e

| h µν | ¿ 1. (36)

Tomando o limite de ¯ ¯dx ⁱ /dx ⁰ ¯ ¯ = ¯ ¯v ⁱ /c ¯ ¯ ¿ 1 temos

ds ' cdt.

Neste limite, a parte espacial da Eq.(31) fica, d ² x ⁱ

c ² dt ² + Γ ⁱ ₀₀ ' 0. (37)

Da definição de Γ, temos que

Γ ⁱ ₀₀ ' − 1 2

∂h ₀₀

∂x ^j . (38)

4

Para uma transformação de coordenadas,

x → x

= x

(x)

é sempre possível obter Λ, mas o inverso não é verdade. Ou seja, para um dado Λ, não necessariamente é possível obter a forma

integrada da transformação acima.

Finalmente, a equação de movimento fica,

d ² x ⁱ dt ² = c ²

2

∂h 00

∂x ^j (39)

ou em forma mais familiar,

d ² r dt ² = −∇

µ

− c ² 2 h 00

¶

. (40)

Esta última forma pode ser vista como a equação de movimento de uma partícula dentro de um potencial gravitacional dado por

U _Grav = − c ²

2 h ₀₀ . (41)

Assim, a componente (00) do tensor métrico g ₀₀ está associada com o potencial gravitacional, g ₀₀ ' 1 − 2

c ² U _Grav (42)

no limite da aproximação não relativística.

A Eq.(42) mostra que o campo gravitacional está associado ao tensor métrico e, por sua vez, à estrutura geométrica do espaço-tempo. Por outro lado, uma simples transformação de sistema de coordenadas pode alterar o valor da componente do tensor métrico, inclusive g 00 . Isto significa que, escolhendo um sistema de coordenadas apropriado, é possível eliminar o efeito da aceleração gravitacional, pelo menos localmente. Por exemplo, para um campo gravitacional homogêneo escolhemos um sistema de coordenadas caindo junto com a partícula em queda livre. Neste caso, a equação de movimento da partícula vista neste sistema fica como se não existisse campo gravitacional. Assim, não é possível identificar se o campo gravitacional homogêneo é um verdadeiro campo gravitacional ou apenas um artifício causado pela escolha do sistema de coordenadas. Dizem que Newton descobriu a existência da gravitação da Terra, observando a queda de uma maçã. Sem desmerecer Newton, como ele poderia saber se o efeito da queda da maçã era gravitacional, ou devido ao movimento acelerado da superfície da Terra? Então, qual é o verdadeiro campo gravitacional? Como ele se distingue do efeito de aceleração devido à escolha do sistema de coordenadas? Para isto, precisamos calcular o tensor de curvatura. Se o tensor de curvatura for nulo, então não há campo gravitacional verdadeiro. A verdadeira gravidade não pode ser eliminada completamente por uma mera escolha do sistema de coordenadas, mesmo dependente do tempo. Por exemplo, no caso do campo gravitacional da Terra, o efeito da gravidade pode ser eliminado dentro de um pequeno elevador em queda livre, mas naturalmente isto não elimina o efeito no mundo inteiro.

1.2 Equação de Einstein

Até aqui, discutimos o movimento de um objeto dentro de um dado campo gravitacional. Por outro lado, sabe- mos que a existência de um objeto massivo gera um campo gravitacional. Vamos considerar o limite Newtoniano.

Neste caso, temos

∇ ² U _Grav = 4πGρ. (43)

Se usarmos a Eq.(40),

∇ ² g 00 = 8π G

c ² ρ. (44)

Na verdade, pela equivalência de massa e energia, a fonte do campo gravitacional deve ser a energia. Então o lado direito deve ser

8π G

c ⁴ , (45)

onde é a densidade da energia. Por outro lado, sabemos que a densidade de energia não é uma quantidade

escalar, mas sim, a componente (00) do tensor de energia-momento. Deste modo, para satisfazer o Princípio da

Relatividade, a equação para gravitação não pode ser apenas uma componente do tensor, mas deve haver equações para todas as componentes do tensor. Baseado nestas considerações, Einstein propos a sua famosa equação ⁵ ,

R µν − 1

2 g µν R + λg µν = 8π G

c ⁴ T µν ≡ κT µν (46)

Aqui, R µν é o tensor de Ricci, expresso em termos de derivadas do { g µν } (ver Apêndice). R é a curvatura-escalar, definida por

R = R ^µ _µ = g ^µν R µν . (47)

O terceiro termo do lado direito, λg _µν é chamado de termo cosmológico. Exceto para problemas cosmológicos, este termo usualmente é desprezado devido ao pequeno valor de λ. T _µν é o tensor de energia-momento. A quantidade,

G µν ≡ R µν − 1

2 g µν R (48)

é chamada de tensor de Einstein. A equação de Einstein é uma equação tensorial e, portanto, um sistema de 4 × 4 = 16 equações simultâneas. Entretanto, elas não são todas independentes, especialmente quando há simetria no sistema.

1.3 Solução de Schwarzschild

Quem obteve, pela primeira vez, uma solução da Equação de Einstein sem aproximação foi K. Schwarzschild(1916).

Ele considerou o seguinte caso:

1. O tensor métrico é estático e esfericamente simétrico. Isto é, os componentes do tensor são constantes no tempo e função apenas da coordenada radial, r.

2. Não há matéria fora de um certo raio R.

Das duas condições acima, podemos provar que a forma mais geral possível do tensor métrico é dada por

(g _αβ ) =



 



e ^ν 0 0 0

0 − e ^λ 0 0

0 0 r ² 0

0 0 0 r ² sin θ



 

 (49)

onde

ν = ν (r), λ = λ(r),

são as funções incógnitas que devem ser determinadas pela Equação de Einstein. As coordenadas aqui são x ⁰ = ct,

x ¹ = r, x ² = θ, x ³ = ψ.

5

D.Hilbert também propos a mesma equação, independentemente.

Neste caso, o tensor de Einstein pode ser calculado facilmente. Os componentes não nulos são G ⁰ ₀ = 1

r ² − e ^{− λ} µ 1

r ² − 1 r

dλ dr

¶

, (50)

G ¹ ₁ = 1 r ² − e ^{− λ}

µ 1 r ² + 1

r dν dr

¶

, (51)

G ² ₂ = G ³ ₃ (52)

= 1 2 e ^{− λ}

( 1 2

dν dr

dλ dr − d ² ν

dr ² − 1 2

µ dν dr

¶ 2

− 1 r

d(ν − λ) dr

)

. (53)

Pela hipótese de que para r > R não há matéria, T _αβ = 0 e, portanto, da Equação de Einstein, temos G _αβ = 0.

Ou seja,

1 r ² − e ^{− λ}

µ 1 r ² − 1

r dλ dr

¶

= 0, (54)

1 r ² − e ^{− λ}

µ 1 r ² + 1

r dν dr

¶

= 0, (55)

1 2

dν dr

dλ dr − d ² ν

dr ² − 1 2

µ dν dr

¶ 2

− 1 r

d(ν − λ)

dr = 0. (56)

Chamando e ^{− λ} = f , a primeira equação fica df

dr + 1 − f

r = 0 (57)

que pode ser integrada facilmente dando

1 − f = r _s /r, (58)

ou

e ^{− λ} = 1 − r _s

r , (59)

onde r s é a constante de integração. Por outro lado, subtraindo a Eq.(55) da Eq.(54), temos d

dr (λ + ν) = 0, (60)

portanto λ + ν = Const e, por sua vez,

e ^λ e ^ν = Const. (61)

Tomando a condição contorno de que para r → ∞ a métrica se reduz àquela do espaço Minkowskiano, podemos escolher uma escala de tempo de tal forma que a constante acima seja 1. Assim

e ^ν = e ^{− λ} = 1 − r _s

r , (62)

Ou seja,

g 00 = 1 − r s

r . (63)

O valor da constante r _s pode ser determinado se usarmos o fato de que para r → ∞ o campo gravitacional seria bastante fraco, tendendo ao limite não relativístico, como discutimos anteriormente. Neste limite, sabemos que

g 00 → 1 − 2

c ² U Grav = 1 − 2 c ²

GM

r , (64)

onde M é a massa do objeto que está dentro do raio R. Comparando com a Eq.(63), temos que

r s = 2GM/c ² (65)

que é chamado de raio de Schwarzschild. Podemos verificar que a Eq.(56) não é independente das outras equações e, portanto, não foi utilizada. Finalmente, temos a solução de Schwarzschild para o elemento de linha,

ds ² = µ

1 − 2 c ²

GM r

¶

(cdt) ² − dr ² 1 − c ²

GM r

− r ² ¡

dθ ² + sin ² θ dψ ² ¢

, (66)

a qual é valida para o espaço vazio, ou seja r > R.

A solução de Schwarzschild tem um aspecto bastante curioso. A forma (66) mostra, obviamente, a presença de um comportamento singular do elemento de linha no ponto r = r s . Em princípio, o valor de R (o raio para o qual que não existe nenhuma matéria fora dele, por exemplo, o raio da estrela) e o raio de Schwarzschild, r s são quantidades independentes. Nas estrelas comuns, temos em geral,

R À r s .

e nestes casos, a singularidade contida na expressão (66) fica fora da validade desta solução. Para r < R, temos que resolver a Equação de Einstein com T _αβ não nulo e conectar o resultado com a solução externa, Eq.(66).

Assim, de fato, não existe a singularidade. No caso do Sol, o raio de Schwarzschild é cerca de 3 km o que é muito menor do que o raio do Sol, 7 × 10 ⁵ km.

Por outro lado, no caso de uma estrela de nêutrons, o raio típico é de cerca de 5˜10 km, comparável ao seu raio de Schwarzschild. Em geral, nada impede que não ocorra

r s > R. (67)

Neste caso, a solução de Schwarzschild vale inclusive para r = r s . Neste ponto, o que acontece? Lembre-se que o sistema de coordenadas que está sendo usado está calibrado com a métrica Minkowskiana para r → ∞ , ou seja, a medida de tempo dt e o padrão de distância dr são determinados de acordo com os padrões do observador que está bem longe do objeto. Para este observador, perto do raio de Schwarzschild, o andamento do tempo físico

∆T aparece como

∆T = r

1 − 2 c ²

GM r dt.

pois, para um observador local que está instantaneamente se movendo com a partícula em queda livre naquele ponto, o elemento de linha do universo fica localmente Minkowskiano,

ds ² = ∆T ² − ∆R ² . (68)

Assim, para um observador bem longe de r s , o intervalo de tempo dt do andamento do seu relógio que mede o ∆T físico de um evento que ocorre em r = r s , fica infinito. Em outras palavras, para um observador bem afastado, o andamento do tempo em r = r s parece como se estivesse parado. Isto vale também para a frequência da luz que se propaga. Assim, a luz que vem da região do raio de Schwarzschild teria uma frequência nula quando sai para r → ∞ . Para quem observar de longe, a superfície r = r s aparece uma esfera escura. Nenhuma luz é capaz de atravessar o raio do Schwarzschild do interior para fora !!

Para visualizar, vamos supor que um foguete é lançado na direção deste objeto, emitindo sempre os sinais da luz, de frequência ν ₀ , com determinado intervalo de tempo ∆t ₀ de acordo com o relógio no foguete. Na medida que o foguete aproxima ao raio r ₀ , o observador distante recebe os sinais cada vez menos frequentes, cada vez mais deminuindo a frequência, tendendo escuro. O observador distante vê que o foguete está indo indefinidamente longe, levando o infinito tempo.

Por outro lado, para um observador no foquete em queda livre não vê nada particular ao passar o ponto

r = r s ; é simplesmente uma região igual a outra região qualquer. Pelo relógio dentro do foguete, levaria um

tempo finito para alcançar o ponto r = r s . Só que, atravessando esta região, nenhuma informação será capaz

de ser transmitida para r > r _s . A superfície r = r _s é chamada de horizonte de eventos. A física associado ao horizonte de evento é bastante curiosa e fascinante como, por exemplo, a radiação de Hawking, o problema da entropia e mecânica quântica, etc. Infelizmente estes assuntos ultrapassam o contexto desta aula e não vamos discuti-los aqui.

2 Estrutura das Estrelas de nêutrons

2.1 Equiíbrio Hidrostático

Como mencionamos antes, o raio de Schwarzschild para uma estrela de nêutrons não é muito pequeno com- parado com o próprio raio. Assim, o efeito da Relatividade Geral para a gravitação deve ser considerado. Vamos obter agora a equação que determina a estrutura de uma estrela de nêutrons. Naturalmente, esta seria a gener- alização da Eq.(??) para TRG. A equação de Einstein é

G ^a _β = κT ^α _β , (69)

onde consideramos novamente uma estrutura estática e esfericamente simétrica. Supondo também que não exista qualquer efeito de campo eletromagnético, o tensor de energia-momento é

T ^α _β =



 



0 0 0

0 − p 0 0 0 0 − p 0 0 0 0 − p



 

 (70)

A expressão para o tensor métrico (49) continua válida,

(g αβ ) =



 



e ^ν 0 0 0

0 − e ^λ 0 0

0 0 r ² 0

0 0 0 r ² sin θ



 

 (71)

e, por sua vez, os elementos do tensor de Einstein (50),(51),(52) também são mantidos.

G ⁰ ₀ = 1 r ² − e ^{− λ}

µ 1 r ² − 1

r dλ dr

¶

, (72)

G ¹ ₁ = 1 r ² − e ^{− λ}

µ 1 r ² + 1

r dν dr

¶

, (73)

G ² ₂ = G ³ ₃ (74)

= 1 2 e ^{− λ}

( 1 2

dν dr

dλ dr − d ² ν

dr ² − 1 2

µ dν dr

¶ 2

− 1 r

d(ν − λ) dr

) .

Assim, temos

1 r ² − e ^{− λ}

µ 1 r ² − 1

r dλ dr

¶

= κ , (75)

1 r ² − e ^{− λ}

µ 1 r ² + 1

r dν dr

¶

= − κp, (76)

1 2

dν dr

dλ dr − d ² ν

dr ² − 1 2

µ dν dr

¶ 2

− 1 r

d(ν − λ)

dr = − κp. (77)

A primeira equação pode ser integrada como

e ^{− λ} = 1 − κ r

Z r 0

r ² dr, (78)

Podemos eliminar λ da terceira equação, utlizando as duas primeiras. Os cálculos são um pouco complicados, mas temos o resultado

dp dr + 1

2 dν

dr ( + p) = 0. (79)

Reconhecendo que

4π Z r

0

r ² dr = M(r)c ² , (80)

onde M (r)c ² é a energia ( inclusive a de massa de repouso) contida na esfera de raio r, podemos escrever a Eq.(78) como,

e ^{− λ} = 1 − 2G

c ² r M(r). (81)

Para r > R, onde R é o raio da estrela, a integral Eq.(80) fica uma constante, 4π

Z r 0

r ² dr = 4π Z R

0

r ² dr ≡ M c ² , temos

e ^{− λ} = 1 − 2G

c ² r M, (82)

que é a solução exterior de Schwarzschild. Portanto, a quantidade M = 4π

Z R 0

r ² dr/c ²

pode ser identificada como a massa do sistema vista por um observador bem longe da estrela. A energia total do sistema então seria

E tot = M c ² = 4π Z r

0

r ² dr (83)

que é simplesmente a integral de volume da densidade de energia da matéria. Se eliminarmos λ e ν da Eq.(79), temos

dp

dr = − ( + p) £

M(r)c ² + 4πr ³ p ¤

r(r − 2GM (r)/c ² ) (84)

que é a equação de Tolman-Oppenheimer-Volkov. No limite não relativístico, temos

= ρc ² + int ' ρc ² , ρc ² À p,

r À 2GM(r)/c ² , e, portanto, a equação de Tolman- Oppenheimer-Volkov se reduz a

dp

dr = − ρM (r) r ² ,

que nada mais é do que a equação hidrostática não-relativística que obtivemos anteriormente, Eq.(??).

Para resolver a Equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff, temos que especificar a relação,

p = p(ρ), (85)

como no caso anterior. Infelizmente, agora, mesmo com a hipótese tipo politrópica,

p = Kρ ^γ (86)

não podemos obter uma solução simples. Como podermos ver, do lado direito da Eq.(84) a pressão e a densidade de energia da matéria entram como fontes da força gravitacional, além da densidade da massa de repouso. Quando o sistema fica compacto, a força gravitacional aumenta não só porque as distâncias entre a matéria ficam menores, mas também porque a densidade de energia aumenta e, portanto, gera mais força gravitacional. Este mecanismo de autoalimentação faz com que, numa situação extrema, a própria pressão que deveria impedir o colapso acaba cooperando para colapsar ainda mais. No caso da gravitação Newtoniana, se a matéria tiver pressão suficiente, ou seja,

d ln p

d ln ρ = γ > 4/3, (87)

sempre existe um ponto de equilíbrio para qualquer massa do sistema. No caso da Relatividade Geral, foi mostrado

que independentemente do valor do γ, sempre ocorre uma instabilidade gravitacional para massas maiores do que

um certo valor M. Este valor limite da massa depende da equação de estado. Oppenheimer e Volkoff mostraram

que, para estrelas formadas de gás de nêutrons degenerado, o valor máximo de M é cerca de 3/4M _¯ . Na década

de 70, foram feitos vários cálculos sobre a estrutura das estrela de nêutrons, juntamente com a investigação das

propriedades da matéria nuclear.