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M´ETODO DE EULER E M´ETODO PSEUDOESPECTRAL USANDO PONTOS LEGENDRE GAUSS RADAU PARA UMA CLASSE DE PROBLEMAS DE CONTROLE ´OTIMO

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M´ ETODO DE EULER E M´ ETODO PSEUDOESPECTRAL USANDO PONTOS LEGENDRE GAUSS RADAU PARA UMA CLASSE DE PROBLEMAS DE CONTROLE ´ OTIMO

Curitiba 2013

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M´ ETODO DE EULER E M´ ETODO PSEUDOESPECTRAL USANDO PONTOS LEGENDRE GAUSS RADAU PARA UMA CLASSE DE PROBLEMAS DE CONTROLE ´ OTIMO

Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os- Gradua¸c˜ao em Matem´atica Aplicada da Uni- versidade Federal do Paran´a, como requisito parcial `a obten¸c˜ao do grau de Mestre em Ma- tem´atica Aplicada.

Orientadora: Dr.a Elizabeth Wegner Karas.

Coorientador: Dr. Miguel A. Dumett Canales.

Curitiba 2013

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Agrade¸co primeiramente `a minha fam´ılia, pelo apoio, compreens˜ao, ajuda e por todo carinho ao longo deste percurso.

Amo vocˆes.

Ao meu noivo Rodrigo, que esteve sempre ao meu lado, que me apoiou, incentivou, ajudou e participou comigo dos momentos de

ang´ustias e alegrias. Neoqeav.

Aos meus amigos, especialmente Izabela, Janaina, Keilla, Leonardo e Priscila, pela ajuda e pelo carinho.

Agrade¸co aos meus orientadores Elizabeth e Miguel, pelas orienta¸c˜oes, conversas, por estarem sempre dispostos a me ajudar.

Obrigada pelo esfor¸co, tempo dedicado e por sempre acreditarem no meu trabalho.

Aos membros da banca, professores Dr. Antonio Carlos Gardel Leit˜ao, Dr. Saulo Pomponet Oliveira e Dr.a Ailin Ruiz Zarate Fabregas obrigada por aceitarem fazer parte deste momento e dar

suas contribui¸c˜oes valiosas.

Ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica Aplicada da UFPR pela oportunidade e forma¸c˜ao de qualidade propiciada.

A CAPES pelo apoio financeiro.

E finalmente, mas n˜ao menos importante, a Deus pela capacita¸c˜ao concedida, pela for¸ca espiritual e por seguir ao meu lado.

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Albert Einstein

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O objetivo deste trabalho ´e discutir o m´etodo pseudoespectral com pontos de coloca¸c˜ao de Legendre-Gauss-Radau (LGR) apresentado em [22], para determinar solu¸c˜oes num´ericas de algumas classes de problemas de con- trole ´otimo. Nesta disserta¸c˜ao revisa-se [22], e se deriva a discretiza¸c˜ao do m´etodo pseudoespectral LGR, de problemas de controle ´otimo (sem res- tri¸c˜oes nas vari´aveis de estado e de controle) utilizando nota¸c˜ao tensorial.

Adicionalmente se derivam as condi¸c˜oes de otimalidade de Karush-Kuhn- Tucker (KKT) associadas ao problema.

Para avaliar a precis˜ao do m´etodo em problemas de controle ´otimo es- pec´ıficos, ´e necess´ario conhecer a solu¸c˜ao exata dos problemas escolhidos.

Procurando replicar os resultados em [22], trabalhou-se num primeiro exem- plo com um Problema de Bolza (tipo LQR) sem restri¸c˜oes nas vari´aveis de estado e de controle. Se apresenta uma deriva¸c˜ao detalhada da solu¸c˜ao exata deste problema quadr´atico, utilizando o Princ´ıpio do M´aximo de Pontrya- gin. O problema de minimiza¸c˜ao resultante foi resolvido atrav´es da rotina quadprog do MATLAB. A precis˜ao do m´etodo pseudoespectral LGR ´e com- parada, com bons resultados, com o m´etodo de Euler (aplicado ao problema de otimiza¸c˜ao quadr´atico produto da discretiza¸c˜ao por Euler do problema de Bolza tipo LQR original).

Para evidenciar que o m´etodo pseudoespectral LGR de discretiza¸c˜ao pode ser aplicado a problemas de controle ´otimo com restri¸c˜oes nas vari´aveis de controle e de estado (o que n˜ao ´e abordado em [22]), dois exemplos adici- onais, apresentados em [31], s˜ao discutidos nesta disserta¸c˜ao. No segundo exemplo a fun¸c˜ao custo ´e n˜ao quadr´atica e a rotina fmincon do MATLAB ´e encarregada de fazer o trabalho de otimiza¸c˜ao a partir das equa¸c˜oes discre- tizadas pelo m´etodo pseudoespectral LGR. No terceiro exemplo, o problema de otimiz¸c˜ao foi resolvido pela rotina quadprog. Existem poucos problemas nao-lineares de controle ´otimo (com restri¸c˜oes) cujas solu¸c˜oes exatas s˜ao co- nhecidas. Usualmente argumentos de convexidade e outros, s˜ao necess´arios para encontrar as solu¸c˜oes exatas.

Palavras-chave: Controle ´otimo; problema tipo Bolza; m´etodo pseudoes- pectral; pontos de coloca¸c˜ao LGR; m´etodo de Euler.

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The goal of this work is to present the details of the Legendre-Gauss-Radau (LGR) pseudoespectral numerical method. This method was published in [22] and it is utilized to find numerical solutions of certain classes of optimal control problem. In this dissertation, we review [22], and derive the discre- tization of the LGR pseudoespectral method of optimal control problems (without restrictions in the state and control variables) using tensorial no- tation. In adition, the associated Karush-Kuhn-Tucker (KKT) optimality conditions are derived. To assess the accuracy of the LGR method in specific optimal control problems, it is necessary to know the exact solution of the selected problems. Aiming to replicate the results in [22], we worked initially a Bolza problem (LQR type) without restrictions in the state and control variables. The process of finding the exact solution of this quadratic pro- blem is derived in detail, utilizing the Pontryagin Maximum Principle. The LGR pseudoespectral discretization technique was successful when applied to the Bolza problem without restrictions. The corresponding MATLAB code is included in the Appendix, and utilizes mainly the quadprog routine.

The accuracy of the LGR pseudoespectral method is compared successfully against Euler method (applied to the quadratic optimization problem which is obtained from the forward Euler discretization of the LQR type original Bolza problem). To point out that the LGR pseudoespectral discretization method could be applied to optimal control problems with restrictions in the state and control variables (something not attempted in [22]), and outside of the Bolza problem class, two additional examples from [31] are presented in this dissertation. There are few non-linear optimal control problems (with restrictions) whose exact solutions are known. Usually, convexity arguments and others, are necessary to find the exact solutions.

Palavras-chave: Optimal control; Bolza problem; pseudoespectral method;

LGR collocation points; Euler method.

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Introdu¸c˜ao 1

1 O problema de Controle ´Otimo 4

1.1 Princ´ıpio do M´aximo de Pontryagin . . . 5

1.2 M´etodo Pseudoespectral usando Pontos Legendre Gauss Radau . . . 6

1.2.1 Fundamenta¸c˜ao . . . 7

1.2.2 Discretiza¸c˜ao do problema . . . 10

1.2.3 Condi¸c˜oes de Karush-Kuhn-Tucker . . . 12

1.2.4 Sistema Adjunto Transformado . . . 15

1.2.5 Formula¸c˜ao Integral . . . 18

1.3 M´etodo de Euler . . . 20

1.4 Outros m´etodos . . . 21

1.4.1 Compara¸c˜ao com o m´etodo de Kameswaran e Biegler . . . 21

1.4.2 Compara¸c˜ao com o m´etodo de Fahroo e Ross . . . 22

1.5 Problema de Bolza . . . 23

2 Exemplos 24 2.1 Exemplo 1 . . . 24

2.1.1 Solu¸c˜ao Exata . . . 25

2.1.2 Solu¸c˜ao aproximada pelo m´etodo pseudoespectral . . . 28

2.1.3 Solu¸c˜ao aproximada pelo m´etodo de Euler . . . 30

2.2 Exemplo 2 . . . 35

2.2.1 Solu¸c˜ao aproximada pelo m´etodo pseudoespectral . . . 35

2.3 Exemplo 3 . . . 37

2.3.1 Solu¸c˜ao aproximada pelo m´etodo pseudoespectral . . . 38

Conclus˜ao 41 Apˆendices 42 A Revis˜ao de Conceitos 42 A.1 Matriz . . . 42

A.1.1 Produto direto de Matrizes . . . 42 x

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A.3 T´opicos de otimiza¸c˜ao cont´ınua . . . 46 A.3.1 M´etodo de gradientes conjugados . . . 47 A.3.2 O Teorema de Karush-Kuhn-Tucker . . . 49

B C´odigos em Matlab 52

Referˆencias Bibliogr´aficas 67

xi

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O objetivo da teoria de controle ´otimo ´e determinar o controle, que far´a com que um sistema satisfa¸ca um conjunto de restri¸c˜oes f´ısicas e ao mesmo tempo minimize algum crit´erio de desempenho. Normalmente, os problemas de controle ´otimo tˆem restri¸c˜oes nas vari´aveis de estado e de controle. As solu¸c˜oes para problemas de controle ´otimo (sem restri¸c˜oes) podem ser encontradas, por exemplo, atrav´es da aplica¸c˜ao do c´alculo variacional ([11, 20, 31]) e da aplica¸c˜ao do Princ´ıpio do M´aximo de Prontryagin ([11, 18]).

Em [11] se faz uma analogia entre problemas de controle ´otimo e os problemas do c´alculo de varia¸c˜oes, mostra-se tamb´em uma estrat´egia de como o Princ´ıpio do M´aximo pode, em alguns casos, ser utilizado para efetivamente determinar uma solu¸c˜ao de um determinado problema de controle ´otimo. Por´em, em [31, Cap. 10], se menciona que em geral n˜ao ´e uma boa ideia trabalhar com a estrat´egia antes mencionada, pois ela se baseia em definir U = Y0 e trabalhar com a vari´avel estado estendida W = (Y, U), nos problemas de c´alculo de varia¸c˜oes para tentar encontrar as solu¸c˜oes de problemas de controle ´otimo. A dificuldade principal est´a no fato queY0´e conhecida explicitamente, masU0 n˜ao ´e. V´arias t´ecnicas foram desenvolvidas para resolver os problemas de controle ´otimo. Estes m´etodos num´ericos s˜ao divididos em duas categorias: m´etodos indiretos e m´etodos diretos [3, 17].

Os m´etodos indiretos consistem em converter o problema de otimiza¸c˜ao em um sistema de equa¸c˜oes alg´ebrico-diferenciais de valor no contorno a partir da aplica¸c˜ao do Princ´ıpio do M´aximo de Pontryagin. A principal vantagem desse m´etodo ´e a alta precis˜ao e garantias de solu¸c˜oes que satisfazem as condi¸c˜oes necess´arias de otimalidade. No entanto, h´a uma desvantagem significativa. As condi¸c˜oes necess´arias de otimalidade devem ser encontradas analiticamente, e para a maioria dos problemas esta busca n˜ao ´e trivial.

Os m´etodos diretos utilizam a parametriza¸c˜ao na vari´avel de controle ou a para- metriza¸c˜ao nas vari´aveis de estado seguida da solu¸c˜ao do problema de programa¸c˜ao n˜ao- linear resultante. Nestes m´etodos polinˆomios podem ser usados para aproximar a equa¸c˜oes diferenciais em pontos de coloca¸c˜ao ([4, 24, 28]). Estas t´ecnicas baseiam-se em m´etodos pseudoespectrais que consistem em encontrar solu¸c˜oes num´ericas de equa¸c˜oes diferenciais.

M´etodos pseudoespectrais s˜ao uma classe de m´etodos de coloca¸c˜ao direta, onde o proble- ma de controle ´otimo ´e transcrito para um problema de programa¸c˜ao n˜ao-linear atrav´es de uma parametriza¸c˜ao do estado e do controle utilizando polinˆomios de Legendre ou Chebyshev em conjunto com pontos de coloca¸c˜ao. Tal problema de programa¸c˜ao n˜ao- linear pode ent˜ao ser resolvido com uso de algoritmos de Otimiza¸c˜ao para obter solu¸c˜oes

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aproximadas localmente ´otimas.

Neste trabalho aborda-se um m´etodo pseudoespectral que consiste na parame- triza¸c˜ao do estado e do controle utilizando polinˆomios de Legendre em conjunto com a discretiza¸c˜ao utilizando pontos de coloca¸c˜ao LGR. O m´etodo fornece, tamb´em, uma maneira precisa de encontrar as condi¸c˜oes de otimalidade de KKT associadas ao pro- blema. Mostra-se que o m´etodo apresentado est´a relacionado a m´etodo de integra¸c˜ao global impl´ıcita. Isto ´e feito provando que a inversa da matriz de diferencia¸c˜ao obtida no m´etodo pseudoespectral coincide com a matriz associada a um m´etodo de integra¸c˜ao global impl´ıcito [16].

Este trabalho est´a organizado da seguinte forma. No Cap´ıtulo 1, se apresenta bre- vemente o que ´e um problema de controle ´otimo (sem restri¸c˜oes) e se enuncia o resultado fundamental da teoria de controle ´otimo, o teorema do Princ´ıpio do M´aximo de Pon- tryagin. Em seguida, se apresenta o m´etodo pseudoespectral LGR, seguindo a sequˆencia estabelecida em [22], mas com demonstra¸c˜oes diferenciadas das encontradas nessa re- ferˆencia. Adicionalmente se menciona o m´etodo de Euler e se apresenta o problema de Bolza.

O Cap´ıtulo 2 inicia especificando o tipo LQR do problema de Bolza e encontrando a solu¸c˜ao exata desse problema utilizando o Princ´ıpio do M´aximo de Pontryagin. Logo, a discretiza¸c˜ao pseudoespectral LGR ´e utilizada para encontrar uma solu¸c˜ao num´erica do problema de Bolza LQR. A precis˜ao do m´etodo ´e comparada com a precis˜ao do m´etodo de Euler aplicado ao mesmo problema de Bolza sem restri¸c˜oes. Os c´odigos MATLAB necess´arios para construir os pontos de coloca¸c˜ao LGR e para calcular os pesos de qua- dratura da discretiza¸c˜ao pseudoespectral LGR, assim como tamb´em a chamada da rotina QUADPROG, para encontrar explicitamente, as solu¸c˜oes num´ericas do estado e do con- trole do problema de Bolza, s˜ao apresentados no Apˆendice da disserta¸c˜ao.

Adicionalmente, s˜ao inclu´ıdos dois problemas de controle ´otimo com restri¸c˜oes n˜ao-lineares, para testar a discretiza¸c˜ao pseudoespectral LGR (isto n˜ao ´e feito em [22]) Ambos os problemas, com suas respectivas solu¸c˜oes exatas, s˜ao apresentados em [31, Cap.

10]. O m´etodo pseudoespectral LGR ´e bem sucedido em encontrar uma solu¸c˜ao num´erica.

Os c´odigos em MATLAB correspondentes s˜ao dados no Apˆendice da disserta¸c˜ao e estar˜ao dispon´ıveis no site da p´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica Aplicada.

Finalmente, nos Apˆendices apresentam-se alguns resultados b´asicos da teoria abordada no trabalho, bem como os c´odigos implementados em Matlab para resolver numericamente os exemplos discutidos.

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Nota¸c˜ao.

xT transposto do vetor x

k.k norma infinito

k.k norma 2

˙

x, x0 derivada de x

˙

xj(τ) derivada da j-´esima componente de x em rela¸c˜ao a τ hx, yi produto interno de x por y

ej vetor canˆonico com 1 na componente j e as demais componentes nulas AT transposta da matriz A

Ak k-´esima linha da matriz A

diag(α1, . . . , αn) matriz diagonal quadrada cujos elementos da diagonal s˜ao α1, . . . , αn AB multiplica¸c˜ao da matrizA pela matriz B

∇f gradiente da fun¸c˜aof : IRn→IR. A mesma nota¸c˜ao ser´a adotada para indicar a matriz m×n cujai-´esima linha ´e∇fi, quando f : IRn→IRm

∇φ matriz m×n cujo elemento (i, j) ´e (∇φ(X))ij = ∂φ(X)∂X

ij . Aqui φ : IRm×n→IR e X ∈IRm×n

C(I) Espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas em I.

Cˆ(I) Espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas por partes do intervalo I.

C1(I) Espa¸co das fun¸c˜oes continuamente diferenci´aveis em I.

1(I) Espa¸co das fun¸c˜oes continuamente diferenci´aveis por partes no intervalo I.

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O problema de Controle ´ Otimo

Um problema de controle ´otimo consiste em minimizar um certo funcional que depende de dois tipos de vari´aveis: vari´aveis de estado ou pr´oprias (x∈ IRn) e vari´aveis de controle (u ∈ IRm). As duas vari´aveis est˜ao parametrizadas por uma vari´avel real independente t, usualmente associada ao tempo, isto ´e, x=x(t), u =u(t). Formalmente x ∈ Cˆ1 ´e uma fun¸c˜ao x : IR → IRn diferenci´avel por peda¸cos e u ∈ Cˆ´e uma fun¸c˜ao u: IR→IRm cont´ınua por peda¸cos em cada intervalo de tempo. A vari´avel de estadox(t) obedece a uma dinˆamica dada pela seguinte equa¸c˜ao diferencial, denominada equa¸c˜ao de estado

˙

x(t) =f(x(t), u(t)), (1.1)

onde f : IRn×m → IRn ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua. A vari´avel de estado pode estar ainda sujeita a condi¸c˜oesx(t0) =x0 ex(tf) =xf. A vari´avel de controle u(t) ´e uma fun¸c˜ao que pertence a um certo espa¸co de fun¸c˜oes U, chamado o conjunto de controles admiss´ıveis.

Por exemplo, em [18] considera-seU ={u: [0,∞)−→IRm | u(.) ´e mensur´avel}.

No caso que (1.1) n˜ao depende de u, ent˜ao (1.1) vira uma equa¸c˜ao diferencial. ´E conhecido que sob a condi¸c˜ao de continuidade de f, o teorema de Peano [30] garante a existˆencia de solu¸c˜oes de (1.1). Adicionalmente, se a fun¸c˜aof ´e localmente Lipschitziana emx, o teorema de Picard[30] garante a existˆencia de uma solu¸c˜ao ´unica de (1.1). Quando a fun¸c˜aou(t) ´e constante, em [30, Cap.2] encontram-se condi¸c˜oes similares `as de Peano e Picard, para garantir existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes de (1.1).

Usualmente, o funcional a minimizar em um problema de controle ´otimo ´e com- posto de dois termos: o primeiro deles depende do estado final x(tf) e o segundo ´e da forma

Z tf

t0

r(x(t), u(t))dt.

Adicionalmente, s˜ao impostas restri¸c˜oes por desigualdade nas vari´aveis de estado e de controle. Por exemplo, x(t)≥0 e |u(t)| ≤1, parat0 ≤t≤tf.

Condi¸c˜oes gerais para existˆencia e unicidade de um problema de controle ´otimo podem ser encontradas em [31]. Em geral, estas condi¸c˜oes s˜ao do tipof ∈ C1, r ∈ C1, x∈

4

(16)

C1, u∈ C0 por partes. Neste trabalho assumimos a existˆencia de uma ´unica solu¸c˜ao. Nos exemplos a serem considerados no pr´oximo cap´ıtulo, a solu¸c˜ao exata ´e conhecida.

Em geral, encontrar analiticamente uma solu¸c˜ao exata de um problema de contro- le ´otimo com restri¸c˜oes ´e muito dif´ıcil e m´etodos num´ericos s˜ao necess´arios. No entanto, quando o problema de controle ´otimo n˜ao tem restri¸c˜oes, o Princ´ıpio de M´aximo de Pontryagin ´e uma ferramenta muito ´util para procurar solu¸c˜oes exatas.

Como em [22], considera-se o caso de problema de controle ´otimo sem restri¸c˜oes para apresentar a correspondente discretiza¸c˜ao pseudoespectral LGR.

Pode-se formular o problema de controle ´otimo descrito acima, segundo [11], por minimizar Rtf

t0 r(x(t), u(t))dt sujeito a u∈ U

˙

x(t) =f(x(t), u(t)) x(t0) =x0

x(tf) = xf.

(1.2)

No problema acima, os instantes de tempo inicial e final s˜ao dados (problema de tempo fixo), por´em, h´a problemas em que o tempo final ´e uma das inc´ognitas no problema de controle ´otimo (problemas de tempo livre) ou as vezes o tempo tf ´e dado mas xf (o estado final) ´e desconhecido (problema de tempo fixo com estado final vari´avel) [18]. Este trabalho restringe-se nos problemas de tempo fixo. Para mais detalhes consultar [31] e [11, Cap.10].

Neste cap´ıtulo ser´a apresentado um dos principais resultados na teoria de con- trole ´otimo, o Princ´ıpio do M´aximo de Pontryagin, que neste trabalho ser´a utilizado para obter a solu¸c˜ao exata de um problema de controle ´otimo. Em seguida, para se obter a solu¸c˜ao aproximada deste problema, apresenta-se um m´etodo pseudoespectral, que consiste na parametriza¸c˜ao do estado e do controle utilizando polinˆomios de Legendre em conjunto com a discretiza¸c˜ao com pontos de coloca¸c˜ao LGR - Legendre Gauss Radau.

S˜ao discutidas as condi¸c˜oes de otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) associadas ao problema discretizado e mostra-se que este m´etodo pseudoespectral pode ser visto como um m´etodo de integra¸c˜ao global impl´ıcito. Por fim, apresenta-se o m´etodo de Euler, um m´etodo alternativo, para obter uma solu¸c˜ao aproximada.

1.1 Princ´ıpio do M´ aximo de Pontryagin

O princ´ıpio de Pontryagin estabelece um conjunto de condi¸c˜oes para que uma curva seja solu¸c˜ao de um problema de controle ´otimo. Esse princ´ıpio se expressa em termos da fun¸c˜ao H : IRn×IRn×IRm →IR definida por

H(x, p, u) =hf(x, u), pi+r(x, u),

(17)

onde f : IRn×IRm →IRn,r : IRn×IRm →IR (as mesmas fun¸c˜oes dadas no problema do controle ´otimo) e p∈IRn. Essa fun¸c˜ao ´e conhecida como Hamiltoniano de Pontryagin.

O teorema abaixo, que ´e baseado em [11, Teorema 178] e [18, Teorema 4.3], ´e apresentado de uma forma conveniente para que, na obten¸c˜ao da solu¸c˜ao exata de um problema de controle ´otimo, se possa utiliz´a-lo diretamente.

Teorema 1.1 - Princ´ıpio do M´aximo de PontryaginConsidere um sistema de con- trole ´otimo, sendo u = ω(t) o controle e x = γ(t) a trajet´oria correspondente. Se (γ(t), ω(t)) ´e uma solu¸c˜ao ´otima ent˜ao existe uma fun¸c˜ao µ: [0, tf] → IRn tal que, para todo t∈[0, tf] vale que:

• A curva p=µ(t) satisfaz

˙

µi =−∂H

∂xi(γ(t), µ(t), ω(t)),

• A trajet´oria x=γ(t) satisfaz

˙

γi =−∂H

∂pi(γ(t), µ(t), ω(t)),

• O controle u=ω(t) maximiza o Hamiltoniano, ou seja,

maxu∈U H(γ(t), µ(t), u) =H(γ(t), µ(t), ω(t)).

Demonstra¸c˜ao. [11, Apˆendice B].

Utiliza-se o princ´ıpio do m´aximo para determinar a solu¸c˜ao de um problema.

1.2 M´ etodo Pseudoespectral usando Pontos Legen- dre Gauss Radau

Nesta se¸c˜ao estuda-se a formula¸c˜ao do m´etodo pseudoespectral usando pontos LGR - Legendre Gauss Radau, proposto em [22] para resolver o problema de controle

´

otimo (1.2). Inicialmente o problema ´e discretizado, tendo como referˆencia [8]. Em seguida, as condi¸c˜oes de KKT s˜ao estabelecidas para o problema discretizado, seguindo uma abordagem diferente, mas equivalente, `a apresentada em [22]. Enquanto em [22] faz- se o uso do Lagrangeano, aqui opta-se pela forma discutida no Apˆendice A.3.2, ou seja, encontram-se as condi¸c˜oes de otimalidade relacionando o oposto do gradiente da fun¸c˜ao objetivo com o gradiente das restri¸c˜oes do problema e da condi¸c˜ao inicial com rela¸c˜ao a cada uma de suas vari´aveis. Cabe ressaltar que ambas as abordagens s˜ao equivalentes.

Por fim, mostra-se que a restri¸c˜ao do problema tem uma formula¸c˜ao equivalente atrav´es

(18)

de integrais, mostrando que este m´etodo pseudoespectral pode ser visto como um m´etodo de integral global impl´ıcito.

1.2.1 Fundamenta¸ c˜ ao

Pontos de coloca¸c˜ao LGR

Um dos objetivos deste trabalho ´e discretizar um problema para que se possa encontrar sua solu¸c˜ao aproximada atrav´es de um m´etodo de coloca¸c˜ao, que consiste em encontrar a solu¸c˜ao num´erica de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias, equa¸c˜oes diferenciais parciais e equa¸c˜oes integrais. A ideia ´e escolher um espa¸co de dimens˜ao finita de solu¸c˜oes canditadas, que s˜ao obtidas, geralmente, atrav´es de polinˆomios aplicados em uma quanti- dade de pontos no dom´ınio, chamados de pontos de coloca¸c˜ao. A discretiza¸c˜ao proposta por [22] utiliza pontos de coloca¸c˜ao Legendre-Gauss-Radau (LGR).

Al´em do conjunto de pontos de coloca¸c˜ao LGR, outros dois conjuntos s˜ao apresen- tados em [22] e muito utilizados: Lengendre-Gauss(LG) e Legendre-Gauss-Lobatto(LGL).

Esses trˆes conjuntos de pontos s˜ao obtidos a partir de ra´ızes de um polinˆomio de Legendre e\ou combina¸c˜oes lineares desses polinˆomios e suas derivadas.

O polinˆomio de Legendre de grau n, Pn, ´e dado por:

Pn(x) =

[n/2]

X

k=0

(−1)k (2n−2k)!

2nk!(n−k)!(n−2k)!xn−2k, (1.3) onde

[n/2] =

 n

2 se n ´e par n−1

2 se n ´e ´ımpar.

H´a algumas rela¸c˜oes entre os polinˆomios de Legendre Pn com valores de n con- secutivos e tamb´em entre osPn e suas derivadas. Estas rela¸c˜oes de recorrˆencia permitem obter um novo Pn ou relacionar derivadas, a partir de outros. Apresentam-se a seguir algumas destas rela¸c˜oes de recorrˆencia. Os detalhes podem ser consultados em [6]. A primeira rela¸c˜ao, bastante utilizada, permite obter um polinˆomio a partir de outros dois de menor ordem,

nPn(u) = (2n−1)uPn−1(u)−(n−1)Pn−2(u). (1.4) A pr´oxima, relaciona o polinˆomio e as derivadas de polinˆomios consecutivos

uPn0(u)−Pn−10 =nPn(u). (1.5) Por fim, tem-se a rela¸c˜ao de polinˆomio com a derivada de outros dois

(2n+ 1)Pn(u) = Pn+10 (u)−Pn−10 (u). (1.6)

(19)

Por (1.3), P0(u) = 1 e P1(u) = u. A rela¸c˜ao (1.4) permite a obten¸c˜ao r´apida de P2(u) = 32u212, a seguir P3(u) = 52u332u, e assim por diante. Geralmente, esse ´e o processo usado em computa¸c˜ao, para se evitar os fatoriais de ordem alta, sendo que estes tˆem grande custo computacional.

A figura abaixo mostra os polinˆomios de Legendre de graus 0,1,2 e 3.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

t

Solução

P0(u) P1(u) P2(u) P3(u)

Figura 1.1: Polinˆomios de LegendrePn(u).

O conjunto deN pontos de coloca¸c˜ao Legendre-Gauss-Radau (LGR), Lengendre- Gauss(LG) e Legendre-Gauss-Lobatto(LGL) s˜ao definidos no dom´ınio [−1,1] como:

LG : ra´ızes de PN;

LGR : ra´ızes de PN−1+PN;

LGL : ra´ızes de ˙PN juntamente com os pontos−1 e 1,

onde ˙PN denota a derivada do polinˆomio de Legendre PN. Note que os pontos de LG n˜ao incluem nenhum dos extremos do intervalo [−1,1], os pontos LGR incluem um dos seus extremos, e os pontos LGL incluem ambas as extremidades do intervalo. Outra dife- ren¸ca ´e que os pontos de LGR, ao contr´ario dos outros dois conjuntos, s˜ao relativamente assim´etricos em rela¸c˜ao `a origem. Neste trabalho concentra-se a aten¸c˜ao nos pontos LGR.

Forma de Lagrange do Polinˆomio de Interpola¸c˜ao

Interpolar uma fun¸c˜aof consiste em aproximar essa fun¸c˜ao por uma outra fun¸c˜ao g, escolhida entre uma classe de fun¸c˜oes definida a priori e que satisfa¸ca algumas propri- edades. A necessidade de se fazer esta aproxima¸c˜ao surge em v´arias situa¸c˜oes, como por exemplo, quando s˜ao conhecidos somente os valores num´ericos da fun¸c˜aof para um con- junto de pontos e ´e necess´ario calcular o valor da fun¸c˜ao em um ponto que n˜ao se saiba seu valor ou ainda quando a fun¸c˜ao f tem uma express˜ao tal que opera¸c˜oes como a di- ferencia¸c˜ao e a integra¸c˜ao s˜ao dif´ıceis, ou imposs´ıveis, de serem realizadas. Considera-se

(20)

aqui o caso de interpola¸c˜ao polinomial [27] ou seja em que a fun¸c˜ao ´e aproximada por um polinˆomio.

Dados n pontos (x1, f(x1)), ...,(xn, f(xn)), o objetivo ´e aproximar f por um po- linˆomio pn−1, de grau menor ou igual a n−1, tal que, parak = 1,2, ..., n:

f(xk) = pn−1(xk).

Teorema 1.2 Existe um ´unico polinˆomio pn−1, de grau menor ou igual a n−1, tal que, parak = 1,2, ..., n

pn−1(xk) = f(xk), desde que xk 6=xj, j 6=k.

Demonstra¸c˜ao. [27, Teo.8.1].

Considere que osnpontosx1, . . . , xnpertencem a um intervalo (a, b). Consideref cont´ınua e sendon vezes diferenci´avel nosn pontos no intervalo (a, b). Denoteyi =f(xi) para i = 1, . . . , n. Seja pn−1 o polinˆomio de grau menor ou igual a n−1 que interpola f em x1, . . . , xn. Pode-se representar pn−1 na forma pn−1(x) = y1`1(x) +...+yn`n(x), onde os polinˆomios `k s˜ao de graun−1. Para cada i, a condi¸c˜aopn−1(xi) =yi deve ser satisfeita, ou seja

pn−1(xi) =y1`1(xi) +...+yn`n(xi) =yi. A forma mais simples de se satisfazer esta condi¸c˜ao ´e impor

`k(xi) =

( 0 se k 6=i 1 se k =i, e assim define-se `k(x) por

`k(x) =

n

Y

j=1 j6=k

x−xj xk−xj

que satisfaz a condi¸c˜ao acima. Como o numerador de`k(x) ´e um produto de n−1 fatores, ent˜ao `k ´e um polinˆomio de grau n−1 e al´em disso, para x=xi com i= 1, . . . , ntem-se

pn−1(xi) =

n

X

k=1

yk`k(xi) =yi`i(xi) = yi. Ent˜ao, a forma de Lagrange para o polinˆomio interpolador ´e

pn−1(x) =

n

X

k=1

yk`k(x). (1.7)

(21)

onde yk =f(xk) e `k(x) =

n

Y

j=1 j6=k

x−xj xk−xj

.

1.2.2 Discretiza¸ c˜ ao do problema

O objetivo aqui ´e discretizar o problema de controle ´otimo (1.2), e para isto utilizam-se os pontos de coloca¸c˜ao LGR, que s˜ao pontos definidos no dom´ınio [−1,1], como visto na Se¸c˜ao 1.2.1. Note que o problema (1.2) est´a definido em um intervalo [t0, tf], o qual pode ser facilmente transformado no intervalo [−1,1], atrav´es da transforma¸c˜ao afim

t = tf −t0

2 τ+ t0+tf

2 , (1.8)

para t∈[t0, tf] eτ ∈[−1,1]. Derivando a igualdade (1.8) tem-se que dt

dτ = tf −t0 2 , e pela regra da cadeia,

dx dt = dx

dτ dτ

dt = 2 tf −t0

dx

dτ. (1.9)

De (1.8) e (1.9), o problema (1.2) pode ser reescrito em fun¸c˜ao da nova vari´avel da seguinte forma

minimizar R1

−1r(x(τ), u(τ))dτ sujeito a dx

dτ = tf −t0

2 f(x(τ), u(τ)) x(−1) =x0

x(1) =xf.

(1.10)

Discretiza¸c˜ao da condi¸c˜ao diferencial

O intervalo [−1,1] ´e discretizado considerando N pontos de coloca¸c˜ao LGR, τ1, τ2,· · · , τN ∈[−1,1], comτ1 =−1 e τN <1, vistos na Se¸c˜ao 1.2.1.

Utilizando (1.7), a j-´esima componente de estado ´e aproximada por uma soma da forma:

xj(τ)≈

N

X

i=1

xij`i(τ) (1.11)

onde `i(τ) =

N

Y

m=1 j6=i

τ−τm

τi−τm, para i= 1,· · · , N,s˜ao polinˆomios de Lagrange. Derivando a aproxima¸c˜ao em rela¸c˜ao a τ tem-se que

dxj dτ (τ)≈

N

X

i=1

xijd`i

dτ(τ). (1.12)

(22)

Avaliando (1.12) emτk e denotando ˙`ik) =Dki, tem-se

˙

xjk)≈

N

X

i=1

Dkixij. (1.13)

A matrizDN×N = [Dki] cujo elemento (k, i) ´e dado por

Dki = ˙`ik) (1.14)

´e chamada deMatriz de Diferencia¸c˜ao.

Agora sejaXN×na matriz formada pelos coeficientes xij de (1.11). Multiplicando a matrizDporX, tem-se uma matriz [DX]N×n. Por (1.13) o elemento (i, j) dessa matriz pode ser visto como

[DX]ij ≈x˙ji). (1.15)

SejaUN×m = [uij] uma matriz cujo elemento (i, j) denota a aproxima¸c˜ao discreta para a j-´esima componente de controle avaliada no i-´esimo ponto de coloca¸c˜ao, ou seja, uij ≈uji).

A seguir um lema que permitir´a relacionar a linha da matriz X com x(τ).

Lema 1.3 Para todoi= 1, . . . , N, ai-´esima linha Xi da matrizX cont´em as componen- tes da aproxima¸c˜ao discreta x(τi)T.

Demonstra¸c˜ao. Lembrando que`i(τ) =

N

Y

m=1 j6=i

τ −τm

τi−τm tem-se que,

`ik) =

( 0 se i6=k 1 se i=k

e por (1.13) conclui-se que a j-´esima componente de x(τi)T ´e xij, que ´e exatamente a j-´esima componente de Xi.

Considere agora a matriz

F(X, U)N×n = [Fij(X, U)] = [fj(Xi, Ui)], (1.16) ondefj ´e a j-´esima componente da restri¸c˜ao do problema (1.10). Pelo Lema 1.3, (1.10) e 1.15 conclui-se que

DX = tf −t0

2 F(X, U). (1.17)

Discretiza¸c˜ao da fun¸c˜ao custo

A fun¸c˜ao custo do problema (1.2) envolve uma integral. Recorre-se ent˜ao `as t´ecnicas de integra¸c˜ao num´erica. Nesta se¸c˜ao apresenta-se a regra da quadratura, que pode ser vista com detalhes em [9, Cap.4].

(23)

A ideia b´asica da quadratura consiste em escrever uma aproxima¸c˜ao da integral de uma fun¸c˜ao, geralmente estabelecida como um somat´orio com pesos dos valores assumidos pela fun¸c˜ao em pontos espec´ıficos dentro do dom´ınio de integra¸c˜ao.

Uma regra de quadratura de N pontos ´e constru´ıda para produzir um resultado exato para polinˆomios de grau 2N −1 ou menor para uma escolha adequada dos pesos wi para i = 1, ..., N associado a cada ponto. O dom´ınio de integra¸c˜ao de tal regra ´e por conven¸c˜ao tomado como [−1,1]. Sejam wi, com 1≤ i ≤N, os pesos da quadratura associados com os pontos LGR. Esses pesos tˆem a seguinte propriedade

Z 1

−1

P(τ)dτ =

N

X

i=1

wiP(τi) (1.18)

para qualquer polinˆomio P de grau no m´aximo 2N −2. Por [1], os pesos associados a cada valor deP(τi) s˜ao calculados por

wi = Z 1

−1 N

Y

k=1 k6=i

τ −τk τi−τk

dτ. (1.19)

Assim, usando (1.17), o problema (1.10) ´e escrito na forma discretizada como minimizar

N

X

i=1

wir(Xi, Ui)) sujeito a DX = tf −t0

2 F(X, U) X1 =x0

XN+1 =xf

(1.20)

onde XN+1 refere-se `a vari´avel de estado no pontoτN+1 = 1.

1.2.3 Condi¸ c˜ oes de Karush-Kuhn-Tucker

Como em [22], considere o problema na forma minimizar Φ(x(1))

sujeito a dx =f(x(τ), u(τ) x(−1) =x0,

(1.21)

e em sua forma discretizada

minimizar Φ(XN+1) sujeito a DX =F(X, U)

X1 =x0.

(1.22)

(24)

Nesta se¸c˜ao s˜ao desenvolvidas as condi¸c˜oes de KKT (ver Apˆendice A.3.2) para o problema (1.22) de uma maneira distinta de [22]. Considere Λ ∈ IRN×n a matriz composta pelos multiplicadores de Lagrange associados `as restri¸c˜oes do problema (1.22) e seja o vetor linha µ ∈ IRn composto pelos multiplicadores de Lagrange associados `a condi¸c˜ao inicial X1 =x0. Assim, tem-se

• Gradiente da fun¸c˜ao objetivo com rela¸c˜ao a X.

XΦ(XN+1) = eN+1⊗ ∇Φ(XN+1)T

(N+1).n×1.

• Gradiente da fun¸c˜ao objetivo com rela¸c˜ao a U

UΦ(XN+1) = 0.

• Produto do multiplicador de Lagrange Λ ∈ IRN×n pelo gradiente da restri¸c˜ao F(X, U)−DX = 0.

– Gradiente de DX em rela¸c˜ao a X.

(∇D(X))TΛ =

N

X

j=1 N

X

k=1

DjkEkΛTj, onde Ek =ek⊗In.

– Gradiente de DX em rela¸c˜ao a U: nulo.

– Gradiente de F(X, U) em rela¸c˜ao a X

(∇XF(X, U))TΛ =

N

X

i=1

ei⊗ ∇Xf(Xi, UiTi . – Gradiente de F(X, U) em rela¸c˜ao a U.

(∇UF(X, U))TΛ =

N

X

i=1

ei⊗ ∇Uf(Xi, UiTi .

• Produto do multiplicador µ∈IRn pelo gradiente dex0−X1 = 0.

(∇XX1)Tµ=e1µ.

(25)

Com todas as parcelas apresentadas, pode-se expressar as condi¸c˜oes de KKT do problema (1.22):

N

X

j=1

Dj1Λj = Λ1Xf(X1, U1)T −µ; (1.23)

N

X

j=1

DjkΛj = ΛkXf(Xk, Uk)T, 2≤k≤N; (1.24)

∇φ(XN+1) = DNTΛ; (1.25)

ΛkUf(Xk, Uk)T = 0, 1≤k ≤N. (1.26) Mas as igualdades (1.23) e (1.24) podem ser reescritas de forma conjunta como

DT1:NΛ =∇X hΛ, F(X, U)i −e1µ. (1.27) SejaDj:k a submatriz deDformada pelas colunasj at´ek e sejaXj:k a submatriz de X formada pelas linhas de j at´e k. Utilizando essa forma, as restri¸c˜oes do problema (1.22) podem ser escritas como

D2:NX2:N =F(X, U)−D1x0. (1.28) O pr´oximo resultado garante que a matrizD2:N, obtida pela omiss˜ao da primeira coluna matriz D tem inversa.

Proposi¸c˜ao 1.4 A matriz D2:N obtida deletando a primeira coluna de D ´e invert´ıvel.

Demonstra¸c˜ao. Tome p0 ∈ IRN−1 n˜ao nulo e considere p = (0, p0) ∈ IRN. Suponha agora queDp= 0. Mostra-se que D2:Np0 = 0 admite apenas solu¸c˜ao trivial e assim que D2:N ´e n˜ao-singular.

Seja P um polinˆomio de grau N tal queP(τk) = pk para 1≤k ≤N, ondepk´e o k-´esimo elemento de p, ou seja, o polinˆomio escolhido deve ter a formaP(τ) =

N

X

k=1

pk`(τ).

Note que para i= 1, . . . , N (Dp)i =

N

X

k=1

Dikpk=

N

X

k=1

pkki) = ˙P(τi),

ou seja, cada componente deDp´e a derivada deP avaliada nos pontos de coloca¸c˜ao. Por hip´otese Dp= 0, e assim (Dp)i = 0 para todo i= 1, . . . , N, logo

P˙(τi) = 0.

Por ˙Pser um polinˆomio de grauN−1 e se anular emN pontos segue que ˙P´e identicamente nulo e portanto P ´e um polinˆomio constante. Como P(τN) = pN = 0 segue que P ´e um

(26)

polinˆomio identicamente nulo. Ou seja, se Dp = 0, com a primeira coordenada de p nula, que ´e equivalente a ter D2:Np0 = 0 isto implica que p = 0, ou seja, p0 = 0 e assim D2:Np0 = 0 admite apenas a solu¸c˜ao trivial e desta formaD2:N ´e n˜ao-singular.

1.2.4 Sistema Adjunto Transformado

Agora reformula-se as condi¸c˜oes de KKT do problema (1.22), utilizando os pesos da discretiza¸c˜ao, de modo que se tornem condi¸c˜oes transformadas para o problema (1.21).

Desta forma, tem-se as condi¸c˜oes de KKT para o problema cont´ınuo e para o problema discreto.

SejaW ∈RN×N matriz diagonal cujos elementos s˜aowi. Sejaλ ∈IRN×ndefinido por

λ=W−1Λ. (1.29)

A fim de relacionar as equa¸c˜oes discretas `as equa¸c˜oes cont´ınuas, utiliza-se uma matriz D+∈IRN×N, uma vers˜ao modificada de D definida como:

D+11=−D11− 1

w1 e D+ij =−wj

wiDji. (1.30)

Usando (1.24), (1.29), (1.30), tem-se para i= 2, . . . , N, ΛiXf(Xi, Ui) =

N

X

j=1

DjiΛj =

N

X

j=1

−wi

wjDij+Λj =−

N

X

j=1

wiD+ijλj.

Pela igualdade acima e (1.29), tem-se

N

X

j=1

Dij+λj =−Λi

wiXf(Xi, Ui) = −λiXf(Xi, Ui). (1.31) Por outro lado, usando (1.23), (1.29) e (1.30), obt´em-se:

Λ1Xf(X1, U1)−µ=

N

X

j=1

Dj1Λj.

=D11Λ1+

N

X

j=2

Dj1Λj

=

−D11+ − 1 w1

Λ1+

N

X

j=2

−w1 wj

D+1jΛj

=−D+11Λ1−λ1

N

X

j=2

D1j+w1λj.

(27)

Dividindo ambos os membros da igualdade por w1 e usando (1.29) tem-se

−D11+λ1− λ1 w1

N

X

j=2

D1j+λj1Xf(X1, U1)− µ w1, donde segue que

N

X

j=1

D+1jλj =−λ1Xf(X1, U1) + 1

w1(µ−λ1), (1.32) que ´e an´aloga a (1.23).

Para cada i = 1, . . . , N, dividindo a igualdade (1.26) por wi e usando (1.29), resulta que

λiUf(Xi, Ui) = 0. (1.33) Agora discute-se a igualdade (1.25). Tome um polinˆomio P tal que P(τi) = 1, para 1 ≤ i ≤ N. Pela defini¸c˜ao dos polinˆomios de Lagrange discutidos na Se¸c˜ao 1.2.1, tem-se que P(τ) = 1 para todo τ, e assim ˙P(τ) = 0. Considere v ∈ IRN um vetor de componentes unit´arias e (Dv)k a k-´esima componente do produtoDv. Assim

(Dv)k =

N

X

i=1

Dkivi =

N

X

i=1

Dki =

N

X

i=1

ik) = ˙P(τk) = 0.

Consequentemente 0 =Dv=

N

X

j=1

Dj =

N−1

X

j=1

Dj +DN. Logo

DN =−

N−1

X

j=1

Dj. (1.34)

Utilizando (1.34) tem-se

DTNΛ =

N

X

i=1

ΛiDi,N =−

N

X

i=1 N

X

j=1

ΛiDij.

Com (1.30) e fazendo mudan¸ca de ´ındices vem que

N

X

i=1 N

X

j=1

ΛiDij = Λ1

w1 +

N

X

i=1 N

X

j=1

ΛiDji+wj

wi = Λ1

w1 +

N

X

i=1 N

X

j=1

ΛjD+ijwi

wj.

(28)

Utiliza-se (1.29) e se isolaλ1 de (1.32) da´ı Λ1

w1 +

N

X

i=1 N

X

j=1

ΛjD+ijwi

wj = λ1+

N

X

i=1 N

X

j=1

wiλjD+ij

= −w1 N

X

j=1

D1j+λj −λ1w1Xf(X1, U1) +µ

! +

N

X

i=1 N

X

j=1

wiλjDij+.

Finalmente, com (1.31) e reorganizando as contas segue que

−w1

N

X

j=1

D+1jλj −λ1w1Xf(X1, U1) +µ

! +

N

X

i=1 N

X

j=1

wiλjDij+=−λ1w1Xf(X1, U1) +µ

+

N

X

i=2

(−λiwiXF(Xi, Ui))

= µ−

N

X

i=1

λiwiXf(X1, Ui).

Tem-se, finalmente, as condi¸c˜oes transformadas de KKT:

µ=∇Φ(XN+1) +

N

X

i=1

wiλiXf(Xi, Ui) D+λ=−∇X hλ, F(X, U)i+ 1

w1e1(µ−λ1)

Uhλ, F(X, U)i= 0.

Considere agora o seguinte resultado.

Teorema 1.5 [22, Teo.1] Considere P um polinˆomio de grau no m´aximo N −1, com N ≥ 1, e p ∈ IRN um vetor cuja i-´esima componente ´e dada por pi = P(τi). Se D+ satisfaz, para todo i= 1, . . . , N,

(D+p)i = ˙P(τi),

ent˜ao D+ ´e a matriz de diferencia¸c˜ao para o espa¸co de polinˆomios de grau N−1 definida em (1.30).

Demonstra¸c˜ao. Sejam P um polinˆomio de grau no m´aximo N com P(1) = 0 e Q um polinˆomio de grau no m´aximo N −1, com N ≥1. Usando integra¸c˜ao por partes, vale a seguinte igualdade

Z 1

−1

P˙(τ)Q(τ)dτ =−P(−1)Q(−1)− Z 1

−1

P(τ) ˙Q(τ)dτ. (1.35) Note que, ˙PQ e PQ˙ s˜ao polinˆomios de grau no m´aximo 2N −2. Assim, pela Se¸c˜ao

(29)

1.2.2, a quadratura de Gauss ´e exata e consequentemente as integrais em (1.35) podem ser substitu´ıdas por suas quadraturas equivalentes, ou seja,

N

X

j=1

wjjqj =−p1q1

N

X

j=1

wjpjj,

onde pj =P(τj) e ˙pj = ˙P(τj). De forma compacta, isto pode ser reescrito como (Wp)˙ T q=−p1q1−(W p)T q.˙

Substituindo ˙p=D1:Np e ˙q =D+q,

pTD1:NT W q+p1q1+pTW D+q = 0 e assim,

pT D1:NT W +W D++e1eT1 q= 0.

Como p e q foram tomados arbitrariamente, ou seja, essa igualdade deve ser satisfeita para quaisquer pe q segue que

D1:NT W +W D++e1eT1 = 0, que implica (1.30).

1.2.5 Formula¸ c˜ ao Integral

Nesta se¸c˜ao mostra-se que a discretiza¸c˜ao pseudoespectral da equa¸c˜ao de estado, ou seja, da restri¸c˜ao do problema (1.22), tem uma formula¸c˜ao equivalente atrav´es de integrais.

Por (1.34) tem-se queD1+D2+· · ·+DN = 0 ent˜ao, se v ´e um vetor de compo- nentes unit´arias vale que

D1 =−

N

X

j=2

Dj =−D2:Nv. (1.36)

Pela Proposi¸c˜ao 1.4 a matrizD2:N ´e invert´ıvel ent˜ao

D2:N−1D1 =−v. (1.37)

Seja P um polinˆomio qualquer de grau no m´aximo N. Por D ser a matriz de diferencia¸c˜ao dos polinˆomios de grauN tem-se que Dp= ˙p onde pi =P(τi) e ˙pi = ˙P(τi)

(30)

para 1≤i≤N. Ent˜ao,

˙

p=Dp=

N

X

i=1

Dipi =D1p1 +D2:Np2:N,

multiplicando porD−12:N tem-se

D2:N−1 p˙ =D2:N−1 D1p1+p2:N. Utilizando (1.37), para i= 2, . . . , N vem que

pi =p1+ (D2:N−1p)˙ i. (1.38) Agora obt´em-se uma express˜ao diferente para p1 −pi baseado na integra¸c˜ao da interpola¸c˜ao da derivada. Seja`+j, paraj = 1, . . . , N o polinˆomio de Lagrange interpolador associado aos pontos de coloca¸c˜ao:

`+j =

N

Y

m=1 m6=j

τ−τm τj −τm.

Dado um polinˆomioP de grau no m´aximo N, sua derivada ˙P ´e um polinˆomio de grau no m´aximo N −1. Assim ˙P pode ser interpolado exatamente pelos polinˆomios de Lagrange `+j :

P˙(τ) =

N

X

j=1

˙ pj`+j . Integrando essa igualdade de−1 a τi tem-se

Z τi

−1

P˙(τ)dτ =

N

X

j=1

˙ pj

Z τi

−1

`+j (τ)dτ ,

pelo teorema fundamental do c´alculo e denotando Rτi

−1`+j (τ)dτ = Aij, para i = 2, . . . , N vem que

P(τi)− P(−1) =

N

X

j=1

˙

pjAij (1.39)

ou seja,

pi−p1 = (Ap)˙ i. (1.40)

As rela¸c˜oes (1.38) e (1.40) s˜ao satisfeitas para qualquer polinˆomio de grau no m´aximo N. Escolha um polinˆomio P tal que P(1) = 0, ou seja, p1 = 0. Da´ı por (1.38)

(31)

tem-se quepi = (D−12:Np)˙ i e por (1.40) tem-se pi = (Ap)˙ i e assim segue que D2:N−1p˙=Ap.˙

Tomando ˙p como a i-´esima coluna da matriz identidade na igualdade acima, conclui-se que, para todo i = 1, . . . , N −1, a i-´esima coluna de D2:N−1 ´e igual a i-´esima coluna da matrizA, ou seja,

A=D−12:N.

Sabendo isso, multiplicando a equa¸c˜ao (1.28) por A, e usando (1.37), para i = 2, . . . , N, se obt´em

Xi =x0+AiF(X, U) (1.41)

onde Ai ´e a i-´esima linha de A.

Assim, a forma diferencial da equa¸c˜ao de estado DX =F(X, U) ´e equivalente a forma integrada (1.41), onde os elementos de A s˜ao integrais do polinˆomio interpolador de Lagrange`+j, enquanto os elementos de D s˜ao as derivadas do polinˆomio de Lagrange

`i.

Para resumir, o que se tem em (1.41) ´e uma equa¸c˜ao que est´a na forma de um m´etodo de integra¸c˜ao global impl´ıcito, enquanto a aproxima¸c˜ao DX =F(X, U) est´a na forma de um m´etodo pseudoespectral.

O fato de que a integral ou a forma diferencial poder ser usada, mostra que o m´etodo de coloca¸c˜ao Radau pode ser visto como um m´etodo de integra¸c˜ao global impl´ıcito ou um m´etodo pseudoespectral. Em particular, usando a forma pseudoespectral dos pontos de coloca¸c˜ao LGR, resulta num sistema de equa¸c˜oes que n˜ao tem qualquer perda de informa¸c˜ao quando se passa para a forma integral.

1.3 M´ etodo de Euler

Esta se¸c˜ao, que tem [2, Sec. 3.1] como principal referˆencia, apresenta o m´etodo de Euler para obten¸c˜ao de uma solu¸c˜ao num´erica do problema (1.2). O m´etodo de Euler

´e baseado no Teorema de Taylor [26].

O intervalo de tempo [t0, tf] ´e discretizado em (N −1) subintervalos, de modo que:

t0 ≡t1 < t2 <· · ·< tN ≡tf.

Definindo as amplitudes de cada subintervaloi= 1,· · · , N−1 porhi =ti+1−ti, a vari´avel de estado x(t)∈IRn ´e expandida, segundo Taylor, como

x(ti+1) = x(ti+hi) =x(ti) +hidx

dt(ti) + h2i 2

d2x dt2i),

para algum ςi ∈ [ti, ti+1]. Assim, para valores suficientemente pequenos de hi, tem-se a

(32)

seguinte aproxima¸c˜ao

dx

dt(ti)≈ x(ti+1)−x(ti) hi

.

Como o estado xsatisfaz a equa¸c˜ao diferencial do problema (1.2) tem-se que x(ti+1)−x(ti)

hi =f(x(ti), u(ti)), para hi suficientemente pequeno.

Tomando-se amplitude h > 0 constante suficientemente pequena para todos os subintervalos e denotando x(tk) por xk e u(tk) por uk, a condi¸c˜ao diferencial acima ´e escrita da seguinte forma,

f(xk, uk) = xk+1−xk

h , (1.42)

para todok = 1,· · · , N −1. Analogamente, segundo [2], a discretiza¸c˜ao da fun¸c˜ao custo do problema (1.2) ´e dada por

N−1

X

k=0

r(xk, uk)h.

Assim o problema (1.2) ´e discretizado, segundo o m´etodo de Euler, como

minimizar

N−1

X

k=1

r(xk, uk)h

sujeito a f(xk, uk) = xk+1−xk

h parak= 1,· · · , N−1 x(t1) =x1

x(tN) =xN.

(1.43)

A resolu¸c˜ao deste problema de otimiza¸c˜ao leva a uma solu¸c˜ao num´erica do problema original. No pr´oximo cap´ıtulo, veremos um exemplo particular.

1.4 Outros m´ etodos

Dois m´etodos de coloca¸c˜ao LGR s˜ao apresentados em [14] e [15]. O m´etodo de Kameswaran e Biegler em [15] concentra-se na coloca¸c˜ao local usando pontos LGR. O m´etodo de Fahroo e Ross em [14] descreve um m´etodo global para resolver problemas de horizonte infinito. Nesta se¸c˜ao, um breve coment´ario sobre a forma como o m´etodo apresentado neste trabalho refere-se a estes trabalhos.

1.4.1 Compara¸ c˜ ao com o m´ etodo de Kameswaran e Biegler

O m´etodo pseudoespectral abordado neste trabalho tem semelhan¸cas com o m´etodo de Kameswaran e Biegler ([15]). A aproxima¸c˜ao para a vari´avel de estado usa tamb´em os polinˆomios de Lagrange. ´E observado, no entanto, que o m´etodo de Kameswaran e

(33)

Biegler usa coloca¸c˜ao local, utilizando v´arios subintervalos. O grau dos polinˆomios em cada subintervalo ´e fixo e a convergˆencia ´e conseguida atrav´es do aumento do n´umero de subintervalos. O m´etodo aqui tratado ´e um m´etodo de coloca¸c˜ao global, em que h´a um

´

unico intervalo e a convergˆencia ´e alcan¸cada atrav´es do aumento do grau de polinˆomios, ou seja, no aumento do N, dos pontos de coloca¸c˜ao, como visto pela Se¸c˜ao 1.2.1. O m´etodo de Kameswaran e Biegler ´e implementado de uma forma semelhante ao m´etodo de Euler tratado na Se¸c˜ao 1.3 (devido ao fato de que o intervalo de tempo ´e dividido em subintervalos), enquanto que o m´etodo do presente trabalho ´e implementado na forma de um m´etodo pseudoespectral. Nota-se que ambas as abordagens s˜ao v´alidas, mas a abordagem atual, segundo [22], ´e usada com mais frequˆencia na literatura de controle.

1.4.2 Compara¸ c˜ ao com o m´ etodo de Fahroo e Ross

Na abordagem pseudoespectral Lobatto como descrito em [21], a vari´avel de es- tado ´e aproximada por polinˆomios de grau N −1 e a dinˆamica do sistema ´e discretizado comN pontos de quadratura Lobatto. Para o problema de controle do horizonte infinito estudado em [14], Fahroo e Ross prop˜oem utilizar uma mudan¸ca de vari´aveis para trans- formar o intervalo de tempo infinito para o intervalo [−1,+1). Esta mudan¸ca de vari´aveis leva a uma singularidade na dinˆamica no ponto τ = +1. Desta forma, n˜ao ´e poss´ıvel utilizarτ = +1 como um ponto de coloca¸c˜ao. Para lidar com essa singularidade, Fahroo e Ross prop˜oem discretizar nos pontos de quadratura Radau paraτ =N <1.

A diferen¸ca fundamental entre o m´etodo pseudoespectral em [14] e o m´etodo pre- visto neste trabalho ´e que, em [14], a vari´avel de estado ´e aproximada por polinˆomios de grau N −1, enquanto que neste trabalho, a vari´avel de estado ´e aproximada usando polinˆomios de grauN. Esta mudan¸ca no grau dos polinˆomios leva a diferen¸cas fundamen- tais entre os dois esquemas. Por exemplo, uma vez que os polinˆomios de Lagrange s˜ao de diferentes graus, as matrizes de diferencia¸c˜ao s˜ao completamente diferentes. A matriz utilizada na diferencia¸c˜ao em [14] ´e singular, enquanto que a matrizeD2:N, segundo a Pro- posi¸c˜ao 1.4, ´e invert´ıvel. Se o controle e o estado inicial x0 s˜ao dados, ent˜ao a dinˆamica discretizada do problema [14] ´e um sistema de N equa¸c˜oes e de N −1 inc´ognitas,X2:N. Em contraste, 1.28 ´e um sistema deN −1 equa¸c˜oes com N −1 inc´ognitas, X2:N, onde a matriz de coeficientesD2:N ´e invert´ıvel.

Na abordagem de [14], XN+1, a estimativa da vari´avel de estado em τ = 1, ´e removido do problema usando polinˆomios de grauN−1 em vez de polinˆomios de grauN. Na abordagem aqui apresentada, a vari´avel de estado ´e aproximada emτi,1≤i≤N+ 1.

Assim,XN+1, a estimativa do estado, ´e uma vari´avel inclu´ıda no esquema pseudoespectral.

Avaliar o estado em τ = +1 ´e ´util quando a fun¸c˜ao objetivo depende do estado no momento final, ou quando h´a uma restri¸c˜ao de ponto final, como era o caso do problema abordado neste trabalho.

Referências

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