IDENTIFICAÇÃO DE FALHAS DE CONTATO EM COMPÓSITOS LAMINADOS. Luiz Alberto da Silva Abreu

(1)

IDENTIFICAÇÃO DE FALHAS DE CONTATO EM COMPÓSITOS LAMINADOS

Luiz Alberto da Silva Abreu

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Engenharia Mecânica.

Orientadores: Helcio Rangel Barreto Orlande Marcelo José Colaço

Rio de Janeiro Dezembro de 2014

(2)

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________ Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Marcelo José Colaço, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Carlos José Santos Alves, Ph.D.

________________________________________________ Prof. João Marcos Alcoforado Rebello, D.Sc. ________________________________________________

Prof. Nilson Costa Roberty, D.Sc.

________________________________________________ Profª. Carolina Palma Naveira-Cotta, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL DEZEMBRO DE 2014

(3)

iii Abreu, Luiz Alberto da Silva

Identificação de falhas de contato em Compósitos Laminados/ Luiz Alberto da Silva Abreu. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2014.

XX, 174 p.: il.; 29,7 cm.

Tese (doutorado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Mecânica, 2014.

Referências Bibliográficas: p. 157-162.

1. Problemas Inversos. 2. Condutância Térmica de Contato. 3. Funcional de Reciprocidade. 4. Metropolis-Hastings. I. Orlande, Helcio Rangel Barreto et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III. Titulo.

(4)

iv

“Nada te perturbe, nada te amedronte. Tudo passa, a paciência tudo alcança. A quem tem Deus nada falta. Só Deus basta!”

Santa Teresa D Ávila

.

Dedico este trabalho à Deus, minha esposa Milena

(5)

v

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus pelo dom de minha vida e por tantas oportunidades que tenho recebido, pelo seu amor incondicional e perceptível.

Agradeço a minha esposa Milena, que com carinho e paciência me motiva a cada dia, sem ela todo esforço em concluir este trabalho seria em vão.

Agradeço ainda ao aluno de graduação Gabriel Werneck, que tive a honra de ser seu co-orientador em sua iniciação científica, juntamente com Prof. Helcio Orlande. Sua participação durante a montagem experimental foi de enorme importância.

Agradeço ao meu orientador em Lisboa, Prof. Carlos Alves, que sempre motivou o trabalho e deu o suporte acadêmico necessário para que meu período de estudo em Portugal tivesse grande aproveitamento.

Agradeço ao meu orientador Prof. Marcelo Colaço pelo incentivo e ajuda em muitas etapas deste trabalho, especialmente por proporcionar a oportunidade única de trabalhar com o método de funcionais de reciprocidade em Lisboa e na COPPE.

Agradeço ao meu orientador, Prof. Helcio Orlande, não apenas pela sua excelência acadêmica, mas por sua disponibilidade durante todo o trabalho. Agradeço ainda pela paciência e amizade demonstradas em muitos momentos, felizes e difíceis.

Agradeço aos amigos do LabMEMS, Professora Carolina Palma Naveira-Cotta, Professor Renato Machado Cotta e ao Mr. José Martim pela construção das amostras utilizadas neste trabalho.

Agradeço aos colaboradores, amigos e professores: Prof. Diego Campos Knupp (IPRJ/UERJ), Prof. Wellington Bettencourt (UFES), Prof. João Marcos A. Rebello (UFRJ), César Pacheco (COPPE/LMT), Marcella Grosso (UFRJ/LNDC), Prof. Marcelo Rainha (UNIRIO).

Finalmente agradeço aos amigos do LTTC: Diego C. Estumano, José Mir Costa, Gino Andrade, Maycon Magalhães, Bernard Lamien, Milena França, Rafael F. Mendonça, Rodrigo Basto, Marcos Curi, Ricardo Padilha, Júlio César, Paulo Veiga, Paulo César, Evanise, Luciana.

(6)

vi

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)

Dezembro/2014

Programa: Engenharia Mecânica

Neste trabalho foi resolvido um problema inverso de condução de calor para a identificação da condutância térmica de contato entre as camadas de materiais compósitos laminados. Esta condutância térmica pode ser diretamente associada à qualidade da adesão entre as camadas destes materiais. Foram utilizadas e comparadas duas técnicas para a solução deste problema inverso. A primeira delas é formulada através da aplicação de um funcional de reciprocidade (RF). Nesta abordagem, tipicamente é preciso solucionar problemas de Cauchy, que são mal-postos e que necessitam de métodos específicos de solução, como o método das soluções fundamentais (MFS). Desta forma, neste trabalho propõe-se uma abordagem que transforma os problemas de Cauchy em problemas de Laplace, que podem ser resolvidos através de diversos métodos tradicionais. Uma segunda abordagem do problema inverso é Bayesiana, utilizando o método de Monte Carlo com Cadeias de Markov (MCMC) e fazendo uso de um modelo de priori não informativo de Variação Total dos Parâmetros (TVF). Neste trabalho, as temperaturas medidas disponíveis são comprimidas por transformação integral e o problema inverso é solucionado com os modos transformados destas temperaturas. Nesta abordagem obtêm-se grande redução do custo computacional. Os resultados, utilizando medidas simuladas e reais obtidas em um experimento desenvolvido neste trabalho, mostram que ambos os métodos são capazes de qualitativamente e quantitativamente identificar falhas em compósitos laminados através da identificação da condutância térmica de contato.

(7)

vii

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

IDENTIFICATION OF CONTACT FAILURES IN LAMINATED COMPOSITES

December /2014

Advisors: Helcio Rangel Barreto Orlande Marcelo José Colaço

Department: Mechanical Engineering

This work deals with the solution of an inverse heat conduction problem of identifying the interface thermal contact conductance between layers of multi-layered composite materials. This interface thermal contact conductance can be directly associated to the quality of the adhesion between the composite layers, so that we can use this approach to create a non-destructive method for detection of failures in laminated composites. Two techniques are used and compared for the solution of the inverse problem. One of these techniques is formulated in terms of a reciprocity functional approach (RF). In this approach typically are solved Cauchy problems, which can be unstable and require specific methods for its solution, such as the method of fundamental solutions (MFS). This work proposes the transformation of the Cauchy problems into Laplace problems that can be solved by traditional methods. The other technique used to solve the inverse problem in this work is the Markov chain Monte Carlo (MCMC) method, within the Bayesian framework, where a Total Variation Function (TVF) was used as the prior information. In this work we compress the measured data by using Integral Transformation and the inverse problem is solved with transformed modes of the measured temperature, thus obtaining significant reduction of the computational time using the MCMC method. The results, using simulated and real measurements obtained in an experiment developed in this work, reveals that both methods are capable of qualitatively and quantitatively failures in composite laminates, by identifying the thermal contact conductance.

(8)

viii

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ... 1 1.1 MOTIVAÇÃO ... 1 1.2 OBJETIVOS ... 2 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ... 3

CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 5

2.1 MATERIAIS COMPOSTOS OU COMPÓSITOS ... 5

2.2 PROBLEMAS INVERSOS ... 10

CAPÍTULO 3 - PROBLEMA FÍSICO ... 15

CAPÍTULO 4 - PROBLEMA DIRETO ... 18

4.1 MÉTODO HÍBRIDO – GITT/MDF ... 18

CAPÍTULO 5 - PROBLEMA INVERSO ... 24

5.1 O MÉTODO MCMC ... 27

5.2 MÉTODO MCMC COM MEDIDAS TRANSFORMADAS ... 31

5.3 SOLUÇÃO DO PROBLEMA INVERSO VIA RF ... 34

CAPÍTULO 6 - CONFIGURAÇÃO EXPERIMENTAL ... 46

6.1 TERMOGRAFIA POR INFRAVERMELHO ... 46

6.2 DESCRIÇÃO DO APARATO EXPERIMENTAL ... 48

CAPÍTULO 7 - RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 59

7.1 MEDIDAS SIMULADAS DE TEMPERATURA ... 60

7.2 MEDIDAS REAIS DE TEMPERATURA ... 121

CAPÍTULO 8 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES ... 154

CAPÍTULO 9 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 157

(9)

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1 - Meio compósito laminado constituído por ‘lmax’ camadas. ... 15

Figura 3.2 - Meio compósito laminado constituído por 2 camadas. ... 17

Figura 5.1 – Esquema de distribuição das medidas discretas (pixels)... 26

Figura 6.1 – Câmeras termográficas empregadas nos experimentos: (a) FLIR SC-660 (b) FLIR A325sc. ... 47

Figura 6.2 – Vista geral da bancada experimental... 48

Figura 6.3 - Sistema de aquecimento. ... 50

Figura 6.4 – Exemplos de Amostras fabricadas em acrílico. ... 51

Figura 6.5 – Amostra pintada com tinta grafite (Graphit 33, Kontact Chemie). ... 52

Figura 6.6 - Configuração experimental supondo superfície inferior isolada. ... 52

Figura 6.7 - Configuração experimental supondo superfície inferior a uma temperatura prescrita. ... 53

Figura 6.8 - Configuração experimental supondo superfície inferior e superior expostas a convecção natural. ... 54

Figura 6.9 - Tela do software FLIR ResearchIR™, durante a aquisição de medidas de uma amostra sem falhas de contato. ... 56

Figura 6.10 - Tela do software FLIR ResearchIR™, durante a aquisição de medidas de uma amostra com falha de contato circular. ... 56

Figura 6.11 - Analise da distância entre as camadas de uma amostra, com falha retangular, unida apenas com clorofórmio. A figura (a) mostra as regiões aproximadas onde foram feitas as análises das figuras (b),(c) e (d). ... 58

Figura 7.1 - Distribuição de temperatura na superfície, no tempo final t = 20000s. ... 62

Figura 7.2 - Analise de convergência do MDF em t e z. (a) Análise do transiente até 10s. (b) Análise da distribuição das temperaturas em z, para o regime permanente (tf=20000s)... 63

Figura 7.3 - Condutância térmica exata para os quatro casos analisados nesta seção. ... 67

Figura 7.4 – Perfil de Temperaturas exatas para o CASO 1... 68

Figura 7.5 – Medidas de Temperatura Simuladas para o CASO 1. ... 69

Figura 7.6 – Condutância térmica estimada, para o CASO 1. ... 70

(10)

x

Figura 7.8 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 1. Em (a) com início da cadeia de Markov em Bic=1 e em (b) com início da cadeia de Markov em

Bic=15... 71

Figura 7.9 – Histogramas para um ponto na região de contato, para o CASO 1. ... 72

Figura 7.10 – Histogramas para um ponto na região de falha, para o CASO 1. ... 73

Figura 7.11 – Perfil de Temperaturas exatas para o CASO 2. ... 73

Figura 7.14 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 2. ... 75

Figura 7.15 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 2. ... 76

Figura 7.16 – Histogramas para um ponto na região de falha e outro na de contato, para o CASO 2. ... 76

Figura 7.20 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 3. ... 79

Figura 7.21 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 3. ... 79

Figura 7.22 – Histogramas para um ponto na região de falha e um na de contato, para o CASO 3. ... 79

Figura 7.24 – Medidas de Temperatura Simuladas para o CASO 4.a. ... 81

Figura 7.25 – Medidas de Temperatura Simuladas para o CASO 4.b. ... 81

Figura 7.26 – Condutância térmica estimada, para o CASO 4.a. ... 82

Figura 7.27 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.a. ... 82

Figura 7.28 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4.a... 82

Figura 7.29 – Histogramas para um ponto na região de falha e um na região de contato, para o CASO 4.a. ... 83

Figura 7.30 – Condutância térmica estimada, para o CASO 4.b. ... 83

Figura 7.31 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4.b. ... 84

Figura 7.32 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.b. ... 84

Figura 7.33 – Histogramas para uma região de falha e uma de contato, para o CASO 4.b... 85

Figura 7.34 – Condutância térmica estimada, para o CASO 1, estimando o hiperparâmetro γ. ... 86

(11)

xi

Figura 7.35 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 1, estimando o hiperparâmetro γ. ... 86 Figura 7.36 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 1, estimando o hiperparâmetro γ. ... 86 Figura 7.37 – Histogramas para um ponto na região de falha e um na de contato, para o CASO 1, estimando o hiperparâmetro γ. ... 87 Figura 7.38 – Convergência da cadeia de Markov, para o CASO 1, estimando o hiperparâmetro γ. ... 87 Figura 7.39 – Histograma para o hiperparâmetro  , para o CASO 1. ... 88 Figura 7.40 – Condutância térmica estimada, para o CASO 2, estimando o hiperparâmetro γ. ... 88 Figura 7.41 – Estados da cadeia de Markov, para o CASO 2, estimando o hiperparâmetro γ. ... 89 Figura 7.42 – Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 2, estimando o hiperparâmetro γ. ... 89 Figura 7.43 - Condutância térmica estimada, para o CASO 3, estimando o hiperparâmetro γ. ... 90 Figura 7.44 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 3, estimando o hiperparâmetro γ ... 90 Figura 7.45 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 3, estimando o hiperparâmetro γ. ... 91 Figura 7.46 Condutância térmica estimada, para o CASO 4.a, estimando o hiperparâmetro γ. ... 91 Figura 7.47 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.a, estimando o hiperparâmetro γ ... 91 Figura 7.48 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4.a, estimando o hiperparâmetro γ. ... 92 Figura 7.49 - Condutância térmica estimada, para o CASO 4.b, estimando o hiperparâmetro γ. ... 92 Figura 7.50 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.b, estimando o hiperparâmetro γ ... 93 Figura 7.51 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4.b, estimando o hiperparâmetro γ. ... 93

(12)

xii

Figura 7.52 – Analise dos modos transformados ... 95 Figura 7.53 – Analise de modos transformados maiores do que 50, até o tempo adimensional que corresponde a 10s... 95 Figura 7.54 – Perfil de Temperatura exata e medida para o CASO 1. ... 96 Figura 7.55 – Recuperação do perfil de temperaturas através da equação da Inversa, utilizando diferentes números de modos transformados. ... 97 Figura 7.56 - Condutância térmica estimada, para o CASO 1,utilizando diferentes números de modos transformados das medidas. ... 98 Figura 7.57- Estados da cadeia de Markov, para o CASO 1, utilizando modos transformados das medidas. ... 99 Figura 7.58 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 1, utilizando modos transformados das medidas. ... 99 Figura 7.59 - Condutância térmica estimada, para o CASO 2,utilizando 50 modos transformados das medidas. ... 100 Figura 7.60 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 2, utilizando modos transformados das medidas. ... 101 Figura 7.61- Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 2, utilizando modos transformados das medidas. ... 101 Figura 7.62 - Condutância térmica estimada, para o CASO 3,utilizando 40 modos transformados das medidas. ... 102 Figura 7.63 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 3, utilizando 40 modos transformados das medidas. ... 102 Figura 7.64 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 3, utilizando 40 modos transformados das medidas. ... 103 Figura 7.65 - Condutância térmica estimada, para o CASO 4.b,utilizando 50 modos transformados das medidas. ... 103 Figura 7.66 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4., utilizando 50 modos transformados das medidas. ... 104 Figura 7.67 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.b, utilizando 50 modos transformados das medidas. ... 104 Figura 7.68 - Condutância térmica estimada, para o CASO 4.b,utilizando 30 modos transformados das medidas. ... 104 Figura 7.69 - Estados da cadeia de Markov, para o CASO 4.b, utilizando 30 modos transformados das medidas. ... 105

(13)

xiii

Figura 7.70 - Convergência da distribuição a posteriori para o CASO 4.b, utilizando 30

modos transformados das medidas. ... 105

Figura 7.71 – Condutância térmica exata para o CASO 5... 106

Figura 7.72 – Perfil exato de temperaturas para o CASO 5.a, tempo final 10s... 107

Figura 7.73 – Perfil exato de temperaturas para o CASO 5.a, tempo final 1000s... 108

Figura 7.74 – Convergência da temperatura no tempo para a posição x= 0 e y = 0, para o CASO 5.a. ... 108

Figura 7.75 – Perfil de Temperaturas simuladas, em (a) em t = 10s e em (b) em t = 1000s, com desvio padrão das medidas σ = 0.1°C, para o CASO 5.a. . 109

Figura 7.76 – Condutância térmica estimada, para o CASO 5.a, com medidas no campo da temperatura e sem estimar o hiperparâmetro γ. ... 109

Figura 7.77 – Convergência da temperatura no tempo para a posição x= 0 e y = 0, para o CASO 5.b. ... 110

Figura 7.78 – Perfil de Temperaturas simuladas, em (a) em t = 10s e em (b) em t = 200s, com desvio padrão das medidas σ = 0.1°C, para o CASO 5.b. ... 110

Figura 7.79 – Condutância térmica estimada, para o CASO 5.b, com medidas no campo da temperatura e sem estimar o hiperparâmetro γ. ... 111

Figura 7.80 – Analise de recuperação do condições de contorno, problema auxiliar w1, CASO 5a. ... 113

Figura 7.81 – Comparação entre os resultados obtidos com os métodos MCMC, RF e MRF, para o CASO 5.a. ... 113

Figura 7.82 – Comparação entre os resultados obtidos com os métodos MCMC, RF e MRF, para o CASO 5.b... 114

Figura 7.83 – Funções de condutância térmica de contato, usadas em COLAÇO e ALVES (2013). ... 115

Figura 7.84 – Temperaturas simuladas nos CASOS 6.a-f com desvio padrão dos erros de σ = 0.5%. ... 116

Figura 7.85 – Resultados obtidos para determinação do h(x) nos CASOS 6.a-f, com desvio padrão dos erros de σ = 0.5% da temperatura máxima. ... 117

Figura 7.86 – Resultados obtidos para determinação do (T2-T1) nos CASOS 6.a-f, com desvio padrão dos erros de σ = 0.5% da temperatura máxima. ... 118

Figura 7.87 – Resultados obtidos para determinação do (−k2∂nT2) nos CASOS 6.a-f, com desvio padrão dos erros de σ = 0.5% da temperatura máxima. .... 119

(14)

xiv

Figura 7.89 - Imagem termográfica obtida através da câmera FLIR A325sc no experimento utilizando amostra sem falhas de contato. ... 123 Figura 7.90 – Imagens termográficas na amostra sem falhas para: (a) tempo inicial e (b) após 100 segundos de experimento. ... 124 Figura 7.91 – (a) Evolução das medidas de temperatura no tempo para uma tensão elétrica de 100V. (b) Histograma produzido nos 10s iniciais de experimento... 124 Figura 7.92 - (a) Evolução no tempo da temperatura estimada e de temperaturas medidas em diferentes posições. (b) Diferença entre a temperatura estimada e a temperatura medida em diferentes posições. ... 126 Figura 7.93 - Fluxo de calor com variação no tempo estimado para o caso com tensão elétrica de 100V, utilizando o método MCMC. ... 128 Figura 7.94 – Estados da cadeia de Markov em dois tempos discretos, para a estimativa do fluxo de calor através do método MCMC, com tensão elétrica aplicada de 100V... 128 Figura 7.95 – Histogramas em dois tempos discretos, para a estimativa do fluxo de calor através do método MCMC, com tensão elétrica aplicada de 100V. ... 129 Figura 7.96 – Desvio padrão, σq, obtido para o fluxo de calor através do método MCMC. ... 129 Figura 7.97 - (a) Evolução no tempo da temperatura estimada e de temperaturas medidas em diferentes posições. (b) Diferença entre a temperatura estimada e a temperatura medida em diferentes posições. ... 130 Figura 7.98 – Comparação entre o fluxo de calor estimado com o método MCMC e com o método de PACHECO et al. (2014). ... 131 Figura 7.99 – Resultados obtidos com o Código de PACHECO et al. (2014) para o fluxo de calor, utilizando tensão elétrica de 100V. ... 132 Figura 7.100 – Distribuição espacial do fluxo de calor ... 133 Figura 7.101 – Avaliação da repetitividade experimental, resultados obtidos para 3 experimentos distintos. ... 134 Figura 7.102 – Resultados para estimativa do fluxo de calor com superfície inferior isolada e com aplicação de tensão elétrica de 80V. ... 135 Figura 7.103 – Comparação de temperaturas e resíduos para o caso com superfície inferior isolada e com aplicação de tensão elétrica de 80V. ... 136

(15)

xv

Figura 7.104 – (a) Fluxo de calor até regime permanente e (b) desvio padrão do fluxo, para superfície inferior com temperatura prescrita e com aplicação de tensão elétrica de 80V. ... 137 Figura 7.105 - (a) Evolução da temperatura no tempo até regime permanente e (b) analise de resíduos. Para o caso com superfície inferior com temperatura prescrita e com aplicação de tensão elétrica de 80V. ... 138 Figura 7.106 – Validação problema direto com método Híbrido utilizando neste trabalho, para tensão de 100V e assumindo Bic= 0. ... 139 Figura 7.107 – Validação problema direto com método Híbrido utilizando neste trabalho, para tensão de 100V e assumindo Bic=12. ... 140 Figura 7.108 – Temperatura medida após 100s de experimento com falha circular e tensão 100V. ... 142 Figura 7.109 – Analise de modos transformados falha circular, V=100V. ... 143 Figura 7.110 – Imagem filtrada de temperaturas, utilizando 50 modos transformados.

... 144 Figura 7.111 – Estimativa da condutância térmica de contato para amostra com falha circular, com V=100V. ... 145 Figura 7.112 – Histogramas dos 10 segundos iniciais das medidas transformadas para o caso experimental estudado 1, com V=100V. ... 145 Figura 7.113 – Convergência da Posteriori para o caso experimental 1, com falha circular e tensão aplicada de 100V. ... 146 Figura 7.114 – Convergência da cadeia de Markov para região de falha e de contato perfeito para o caso experimental 1, com V=100V. ... 146 Figura 7.115 – Histogramas para uma região de falha e uma região de contato, para o caso experimental 1 com V=100V. ... 147 Figura 7.116 – Comparação entre as temperaturas medidas e estimadas e a diferença entre elas, para o caso experimental 1. ... 147 Figura 7.117 – Fluxo de Calor médio dado como entrada e fluxo estimado, para caso experimental 1, com aplicação de tensão elétrica de 100V. ... 148 Figura 7.118 – Medidas de temperatura: (a) após 100s com V=100V; (b) após 3500s com V=80V; ... 148 Figura 7.119 – Temperatura filtrada para o caso com falha retangular ... 149 Figura 7.120 – Condutância térmica de contato estimada para o caso experimental 2, com falha retangular e tensão aplicada de 100V. ... 149

(16)

xvi

Figura 7.121 – Comparação entre as temperaturas medidas e estimadas e a diferença entre elas, para o caso experimental 2. ... 150 Figura 7.122 Convergência da posteriori para o caso experimental 2, com falha retangular e tensão aplicada de 100V. ... 151 Figura 7.123 - Convergência da cadeia de Markov para região de falha e de contato perfeito para o caso experimental 2, com V=100V. ... 151 Figura 7.124 – Histogramas para uma região de falha e uma região de contato, para o caso experimental 2 com V=100V. ... 152 Figura 7.125 - Fluxo de Calor médio dado como entrada e fluxo estimado, para caso experimental 2. ... 152 Figura 7.126 – Resultados obtidos para a estimativa da condutância térmica de contato utilizando o método MCMC e o método MRF. ... 153 Figura 7.127 - Resultados obtidos para determinação do (T2-T1) na interface e para

2 2

( k _nT). ... 153 Figura 8.1 – Corpo de Prova cedido pelo Laboratório LNDC, confeccionados em resina epóxi, reforçada com fibra de vidro e unidos com uma resina epoxílica. ... 156 Figura 9.1 – Esquema de distribuição de pontos de colocação nos contornos (linha inteira) e dos pontos fonte, externos ao domínio (linha tracejada). ... 164 Figura 9.2 – Geometria bidimensional de um meio composto por duas camadas. ... 166 Figura 9.3 - Esquema de distribuição de pontos de colocação nos contornos (linha inteira) e dos pontos fonte, externos ao domínio (linha tracejada) para o caso bidimensional em geometria retangular. ... 169

(17)

xvii

LISTA DE TABELAS

Tabela 5.1 – Resumo dos Problemas Auxiliares I e II, com problemas de Cauchy

(COLAÇO e ALVES, 2013). ... 41

Tabela 5.2 – Resumo dos Problemas Auxiliares I e II, com problemas de Laplace (ABREU et al., 2014b). ... 43

Tabela 5.3 – Resumo dos Problemas Auxiliares I e II, com problemas de Laplace (ABREU et al., 2014b), para o caso particular onde k1=k2. ... 44

Tabela 6.1 – Dados técnicos das câmeras termográficas FLIR A325sc e FLIR SC660. 48 Tabela 7.1 – Materiais Compostos analisados... 59

Tabela 7.2 - Propriedades termofísicas dos materiais utilizados. ... 60

Tabela 7.3 - Análise de convergência da série em X e Y, para o teste 1 em regime permanente. ... 62

Tabela 7.4 - Tabela de temperatura versus posição para um hc alto, em regime permanente. ... 63

Tabela 7.5 - Análise de convergência da série em X e Y para o CASO 1 em t=10s. ... 69

Tabela 7.6 - Análise de convergência da série em X e Y para o CASO 2 em t=10s. ... 74

Tabela 7.7 - Análise de convergência da série em X e Y, para o CASO 3. ... 77

Tabela 7.8 - Análise de convergência da série em X e Y, para CASO 4. ... 80

(18)

xviii

LISTA DE SÍMBOLOS

SÍMBOLOS LATINOS

a, b, c

- Dimensões do compósito laminado, [m]. , ,

A B C - Números adimensionais referentes às dimensões a, b, c.

Bi - Número de Biot.

c

Bi - Condutância térmica, adimensional, no contato.

D - Número total de medidas.

h - Coeficiente de transferência de calor, [W/m2 K].

c

h - Condutância térmica no contato entre camadas [W/m2 _K].

IC - Intervalos de Confiança.

IJF - Número máximo de modos transformados reordenados.

k - Condutividade térmica [W/mK]. LMM - Levenberg-Marquardt Method

M - Número de elementos na malha espacial (pixels).

máx

n - Número de medidas transientes.

N - Integrais de normalização.

P - Vetor de parâmetros.

p - Função de distribuição proposta

q - Fluxo de calor [W/m2].

RH - Razão de Hastings.

s - Posições fora do domínio.

t - tempo [s].

T - Temperatura [°C]. VR - Valores de Referência.

W - Inversa da matriz de covariância dos erros de medição. , ,

x y z - Coordenadas espaciais. , ,

X Y Z - Coordenadas espaciais adimensionais. x, X - Vetores contendo coordenadas espaciais.

(19)

xix

SÍMBOLOS GREGOS

 - Difusividade térmica [m2/s].

 - Autovalores para a direção x.  - Autovalores para a direção y.

 - Temperaturas adimensionais.

 - Autovalores reordenados.

 - Média dos parâmetros da informação a priori Gaussiana.

 - Desvio padrão das medidas [°C].

 - Tempo adimensional.

 - Domínios do compósito laminado.

 - Superfícies do compósito laminado.

SUBSCRITOS

1, 2 - Componente 1 e 2 do compósito laminado.

, , ,

i j m u - Ordem dos autovalores nas direções X e Y.

,

ij mu - Ordem dos autovalores reordenados.

l - número de camadas.

conv - Indica um valor/parâmetro relacionado com convecção.

ref - Valores de referência. - Superfície inferior.

- Superfície superior.

c

- Superfície de contato entre camadas. max - indica um valor/parâmetro máximo. ini - indica temperaturas iniciais.

SOBRESCRITOS

t

- Estados da Cadeia de Markov

- Transformação Integral nas direções x e y.

* - Indica propriedades ou parâmetros adimensionais.

, ,

i j ij - Funções de base nas direções x, y e vetor agrupando as duas, respectivamente

(20)

xx

ABREVIATURAS

GITT - Generalized Integral Transform Technique CITT - Classical Integral Transform Technique TVF - Total Variation Function

RF - Reciprocity Functional

MFS - Modified Functional Reciprocity END - Ensaios Não destrutivos

MCMC - Markov Chain Monte Carlo Method. TSVD - Truncated Singular Value Decomposition PMMA - Polimetil-metacrilato, acrílico

(21)

1

CAPÍTULO 1 -

INTRODUÇÃO

1.1 MOTIVAÇÃO

A formulação e solução de problemas que permitam avaliar a adesão entre dois ou mais materiais tem grande importância em diversas áreas do conhecimento, como a eletrônica, telecomunicação, aviação, indústrias da defesa e petrolífera, entre muitas outras.

Em transferência de calor pode-se analisar esta adesão através da avaliação da resistência térmica de contato entre os materiais unidos. Esta análise, entretanto, pode ser empregada em diversas outras aplicações, uma vez que consiste na determinação da resistência térmica de contato entre as camadas do composto. A avaliação de contato entre componentes eletrônicos e sistemas de resfriamento, reatores nucleares ou na detecção de falhas na junção entre materiais que formam compósitos laminados são algumas das aplicações comuns (ABREU, 2011).

Em aplicações utilizando a técnica de termografia por infravermelho para a detecção não intrusiva de falhas entre juntas de compósitos laminados é muito comum que a avaliação seja puramente qualitativa. Existem hoje esforços para que o conhecimento sobre transferência de calor seja aplicado, neste sentido, para que as analises realizadas apenas qualitativamente sejam realizadas quantitativamente. De fato, nem sempre apenas com ensaios qualitativos é possível identificar falhas de adesão ou aderência. Muitas vezes os gradientes de temperatura provocados por regiões de falhas são muito pequenos ou mesmo em algumas situações a espessura dos materiais e suas temperaturas de transição vítrea impedem que grandes gradientes sejam provocados e as falhas sejam identificadas apenas pela imagem termográfica (MEOLA e CARLOMAGNO, 2004; ABREU et al., 2014a).

A aplicação de materiais compósitos tem crescido devido principalmente as possibilidades de se ajustar às características dos componentes construídos de forma a terem desempenho otimizado, sejam eles tubos, paredes ou outros.

Nos casos citados é essencial que o conhecimento sobre transferência de calor em meios compostos seja aplicado de forma a otimizar a aplicação do fluxo de calor no ensaio não destrutivo utilizando termografia por infravermelho e ainda a garantir que as os resultados e as conclusões sejam corretos.

(22)

2

Na dissertação de mestrado do autor desta tese, foi iniciado um trabalho de análise de falhas na junção entre camadas de compósitos laminados (ABREU, 2011). Através da Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) foi resolvido um problema direto de transferência calor tridimensional em regime transiente. Considerou-se naquele trabalho a existência de uma resistência térmica de contato entre as interfaces das placas que compõem os compósitos laminados analisados, com variação espacial da mesma. No referido trabalho iniciou-se ainda a solução do problema inverso, através da estimativa de parâmetros da formulação do problema, utilizando o método de Monte Carlo com Cadeia de Markov (MCMC).

Aquele trabalho demonstrou grandes possibilidades para trabalhos futuros, tais como: utilização de modelos de informação a priori do tipo Markov Random Field, solução do problema inverso usando modos transformados das medidas, compactando assim as medidas utilizadas, além da possibilidade de comparar os resultados obtidos com uma nova abordagem utilizando funcionais de reciprocidade (RF).

1.2 OBJETIVOS

O objetivo deste trabalho é a detecção qualitativa e quantiva da condutância térmica de contato na interface entre camadas de materiais multicamadas, fazendo uso da solução de um problema inverso de transferência de calor. A identificação da condutância térmica de contato na interface entre camadas de materiais compósitos laminados permite que a técnica não intrusiva de termografia por infravermelho possa ser utilizada de forma quantitativa na analise de falhas nestes materiais.

Como contribuição deste trabalho considera-se especialmente a transformação integral bidimensional das medidas experimentais, que possibilitarão a compressão de dados obtidos com a câmera de termografia por infravermelho e assim a utilização dos modos transformados na solução do problema inverso via inferência Bayesiana. Esta compressão de dados permite manter as características das medidas e possibilita um aumento da velocidade computacional na solução do problema inverso. Como contribuição deste trabalho, inclui-se ainda um estudo matemático com componente numérica e computacional, com vista a estabelecer, através de um funcional de reciprocidade, uma relação entre as medições efetuadas e a resistência térmica de contato entre as placas solucionando dois problemas auxiliares de Laplace. Isso permitiu

(23)

3

desenvolver um algoritmo numérico de identificação através de funções de base apropriadas, que foi implementado computacionalmente. Foi realizada uma comparação entre os dois métodos e os resultados foram validados experimentalmente utilizando um aparato experimental totalmente desenvolvido neste trabalho, para analisar as metodologias propostas para a detecção de falhas em amostras de materiais compostos contendo falhas com formato controlado.

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

No capítulo 2 apresenta-se uma revisão bibliográfica sobre assuntos pertinentes e relacionados com o presente trabalho. Buscou-se especificamente referências que tratam de técnicas de estatística Bayesiana e analíticas na solução de problemas inversos, especificamente aquelas que utilizam métodos de Monte Carlo com Cadeias de Markov (MCMC) e aplicação de funcionais de reciprocidade (RF). Foram estudados trabalhos anteriores para detecção da condutância térmica de contato e analises quantitativas de falhas em meios compostos. Desta forma, pôde-se situar o presente trabalho no atual contexto dos estudos existentes na literatura.

No capítulo 3 é proposto um modelo físico e matemático para o problema direto de condução de calor tridimensional transiente através de um meio composto, com coeficiente de transferência de calor no contato. Este coeficiente tem variação na seção transversal do material, o que distingue o presente trabalho da maior parte dos trabalhos realizados neste contexto. Propõe-se uma formulação geral e outra particularizada para um caso envolvendo um material composto por duas camadas.

No capítulo 4, o problema direto é solucionado para o caso particular envolvendo duas camadas de um compósito laminado, através de um método híbrido (analítico/numérico) que combina o método de diferenças (MDF) com a técnica de transformada integral generalizada (GITT).

No capítulo 5 é apresentada a solução do problema inverso de transferência de calor, utilizando dois métodos: o método de Monte Carlo com Cadeia de Markov (MCMC) e um método utilizando funcionais de reciprocidade (RF).

No Capítulo 6 é apresentada a montagem do aparato experimental desenvolvido para a realização de experimentos que visam validar e avaliar os métodos propostos neste trabalho.

(24)

4

No Capítulo 7 são apresentados e discutidos os resultados obtidos. Utilizando a solução do problema direto, foram simuladas medidas de temperatura com erros controlados para gerar resultados de alguns casos da solução do problema inverso, envolvendo materiais comumente utilizados na indústria. Neste capítulo também são analisados casos envolvendo medidas experimentais reais obtidas no aparato descrito no Capítulo 7, para amostras fabricadas com falhas de contato controladas.

O capítulo 8 apresenta as conclusões do trabalho, contendo um balanço daquilo que foi realizado e propondo possíveis futuros trabalhos.

(25)

5

CAPÍTULO 2 -

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste capítulo pretende-se apresentar a revisão da literatura deste trabalho considerando os diferentes aspectos tratados no mesmo. Desta forma, são aspectos considerados importantes: estudos relacionados com materiais compósitos, o estudo da resistência térmica de contato, transferência de calor em meios compostos, problemas inversos em transferência de calor (via inferência Bayesiana e via funcional de reciprocidade), técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) e finalmente o Método das Soluções Fundamentais (MFS). Focou-se, portanto, nas referencias bibliográficas que estão diretamente relacionadas com os materiais e técnicas utilizadas neste trabalho.

2.1 MATERIAIS COMPOSTOS OU COMPÓSITOS

Um material composto ou compósito é definido como resultado da combinação de diferentes materiais cujas propriedades, em algum sentido, são melhores do que às dos materiais que os constituem. Diferente do caso da formação de ligas metálicas, neste caso trata-se da combinação de materiais que quando unidos preservam individualmente suas propriedades mecânicas, químicas, físicas, etc. Desta forma, pode-se considerar que trata-pode-se então de um meio heterogêneo onde a combinação das características de seus materiais constituintes apresenta um desempenho diferente daqueles dos materiais constituintes (JONES, 1975; CAMPBELL, 2003). Avanços nos processos de fabricação e a necessidade de que existam materiais específicos, com características ótimas em sua aplicação, têm feito com que a procura e aplicação deste tipo de material venha crescendo significativamente. Classifica-se atualmente os materiais compósitos basicamente em: Compósitos Fibrosos; Compósitos Particulados e Compósitos Laminados (GIBSON, 1994).

Os compósitos laminados são formados pela laminação de materiais distintos em

diferentes camadas (por exemplo, fibra de vidro, resinas, etc). O objetivo da combinação destas camadas é produzir um novo material cujas características são melhoradas de acordo com a expectativa de aplicação do mesmo (GIBSON, 1994). Algumas características frequentemente necessárias nas indústrias aeronáutica, petrolífera ou naval são: aumento da resistência mecânica, durabilidade, resistência à corrosão, menor peso, maior facilidade na instalação entre outras (ONKAR et al., 2007).

(26)

6

Nos processos automáticos de laminação, que de fato são os mais utilizados pela indústria, existe controle da temperatura e a pressão de maneira reduzir a ocorrência de falhas internas. Um dos tipos de compósitos laminados mais comum é aquele formado por estruturas em sanduíche. A ideia de sanduíche se deve ao fato de que um componente apresenta duas camadas externas feitas, no caso, de laminados de materiais compostos, e um núcleo, normalmente feito com alguma forma de espuma expansível (poliestireno, poliuretano) ou o “honeycomb”, ou “colméia” (GAY et al., 2003).

É comum que as camadas dos compósitos laminados sejam reforçadas com fibras e outros materiais, que vistos microscopicamente são meios heterogêneos. Uma vez que neste trabalho estas camadas serão analisadas apenas do ponto de vista macroscópico, as mesmas serão tratadas como meios homogêneos(REDDY, 1997). Desta forma, as propriedades serão analisadas através de seus valores efetivos em cada camada do material. Destaca-se que do ponto de vista macroscópico, o tratamento dado para os compósitos laminados pode ser dado a qualquer material composto constituído por várias placas.

Entre as inúmeras razões para o surgimento de falhas em compósitos laminados, destaca-se aquelas provocadas por danos provenientes do processo de fabricação e a presença de tensões internas entre as camadas do compósito ou nas fibras que estas contêm em sua construção (LIU, 1988). Os danos encontrados em compósitos laminados normalmente estão presentes internamente no material e são observados externamente apenas em situações extremas (MORAES, 1999). Existem diferentes classificações para os tipos de danos em materiais compósitos laminados. De maneira geral os principais termos são: “delaminations” ou “disbonds”, “debonds” e “kissing

bonds” (GAY et al., 2003).

Delaminação referem-se ao descolamento de uma lâmina ou uma parte de uma lâmina que compõe o material compósito laminado. Debonds é o termo utilizado quando esta falha ocorre numa região onde já havia sido realizado um reparo e, finalmente, kissing bonds é o termo utilizado para falhas ocorridas por falta de material aderente entre as interfaces (GAY et al., 2003). Entretanto estas são apenas as mais utilizadas, já que existem inúmeras outras nomenclaturas utilizadas para diferentes casos de falhas em compósitos laminados.

Conclui-se que é de grande importância conhecer, quantificar e qualificar estas falhas internas devido às diversas aplicações envolvendo grandes custos, transporte de materiais com alto risco para o meio ambiente,(como na indústria petrolífera),

(27)

7

segurança aérea e outros. Para detectar falhas em compósitos laminados, grandes esforços vêm sendo realizados atualmente. Em especial, utilizando métodos não destrutivos, cita-se: Exames de ultrassonografia do tipo “C-Scanning”, de radiografia, inspeção visual, exame por transmissão de luz, microscopia, termografia de infravermelho, etc., (MORAES, 1999).

De acordo com FRANCO et al. (2006), a caracterização de fraturas de laminados de tecidos de fibras de vidro-epóxi, através de técnicas de investigação e análise de falhas, permite estabelecer o início da falha e qual a sequência de falhas no laminado. Os autores observaram através múltiplos cisalhamentos do ensaio de cisalhamento interlaminar, além de cisalhamento intralaminar nos compósitos analisados. Neste referido trabalho, a microscopia eletrônica de varredura não pode determinar a direção ou modo da falha.

De acordo com GAY et al. (2003), existem muitos métodos para detecção de falhas em compósitos laminados, através de diversos tipos de END’s. Entretanto, poucos são eficientes aos detectar delaminações. Em seu trabalho, SCHÖNTAG et al. (2010) proposeram um estudo para caracterizar a profundidade em que se localizam defeitos internos em materiais compósitos, apresentando um estudo sobre shearografia associada ao carregamento vibracional.

Segundo HUNG et al. (2007), existe a possibilidade de se detectar a profundidade da falha de maneira inversa, quando é conhecida a temperatura do material e as propriedades do mesmo (o que é proposto neste trabalho). Entretanto, encontrou-se naquele trabalho apenas a metodologia direta, onde aplica-se calor uniformemente sobre a superfície do material a ser avaliado e monitora-se as alterações na distribuição de temperaturas por um determinado período de tempo.

Nos métodos diretos, aplica-se uma fonte uniforme de calor numa superfície e, utilizando uma câmera termográfica, monitora-se a mesma. Desta forma, quando uma estrutura está livre de falhas, a distribuição de temperaturas não muda conforme a superfície se aquece e se resfria, e permanece uniforme. Entretanto, as áreas com falha se aquecem mais em comparação com áreas bem coladas, devido a um baixo coeficiente de troca térmica de contato entre as placas do material. Nestas abordagens, a região superficial onde existe falha é determinada, mas a profundidade onde esta falha ocorre não é mensurada, diferente do que ocorre na abordagem através do problema inverso. Assim, de maneira simplificada, conhecer a profundidade onde a falha se encontra

(28)

8

significa determinar a posição exata onde a mesma ocorre e assim todas as suas dimensões.

Em diversas aplicações de engenharia, a transferência de calor acontece através de um meio composto por várias camadas, seja através de um material compósito laminado como paredes de aviões, seja através da junção de dois materiais, como em tubos recobertos por isolantes ou ainda em juntas de tubulações. Desta forma, são inúmeras as ocorrências em engenharia onde camadas de materiais, diferentes ou não, são unidas.

Soluções analíticas para problemas de difusão de calor são encontradas na literatura (ÖZIŞIK, 1993) para diversos casos de equações diferenciais parciais (homogêneas e não homogêneas), inclusive para problemas de difusão de calor em meios compostos. No referido trabalho, é utilizada a técnica de separação de variáveis e a Técnica da Transformada Integral Clássica (CITT). Encontram-se soluções para o meio composto por um único material para diversas classes de problemas, com modelos transientes uni, bi e tridimensionais com condições de contorno homogêneas e não-homogêneas (ÖZIŞIK, 1993), inclusive para alguns casos onde o meio é considerado heterogêneo e suas propriedades termofísicas variam em seu interior.

Foram obtidas ainda (ÖZIŞIK, 1993) soluções para meios compostos por várias camadas de materiais diferentes, cujas propriedades são constantes dentro de cada uma delas (abordagem a ser utilizada no presente trabalho para o problema de difusão de calor em compósitos laminados). Para este caso, as soluções são mais restritas devido à complexidade do mesmo. São encontradas soluções analíticas apenas para problemas unidimensionais, com a existência de uma resistência de contato constante ou problemas tridimensionais onde considerou-se a hipótese de contato térmico perfeito.

Soluções analíticas para problemas de difusão de calor estão compiladas considerando sete classes de formulações (MIKHAILOV e ÖZIŞIK, 1984). As soluções obtidas para os materiais compostos são considerados como um caso especial do problema de classe II. Nestes casos existe a necessidade da solução de um problema de autovalor associado e de uma busca por seus autovalores. Este trabalho é de grande complexidade, pois envolve equações transcendentais que dificultam muito a busca por estes autovalores (COTTA, 1993). Nestes casos precisa-se de uma técnica mais acurada para encontrar os autovalores, como a contagem de sinais ou a Transformada Integral Generalizada (COTTA, 1993), que constitui um avanço na solução de problemas de Sturm-Liouville. A técnica da Transformada Integral Clássica posteriormente foi

(29)

9

acrescida de uma abordagem híbrida, dando origem à Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT), oferecendo assim a possibilidade de resolver problemas antes tratados como não transformáveis, através de uma abordagem numérico-analítica (COTTA, 1993).

Soluções puramente numéricas utilizando métodos de diferenças finitas, volumes finitos ou elementos finitos são encontrados na literatura para casos envolvendo transferência de calor tridimensional ou em meios compostos. Observou-se que o custo computacional destas técnicas é alto (WANG et al., 2003). Tal custo computacional torna difícil a solução do problema inverso através do método MCMC (KAIPIO e SOMERSALO, 2005), o qual necessita da solução do problema direto milhares de vezes durante sua execução.

Problemas de autovalor envolvendo meios heterogêneos, com propriedades internas dos meios variando unidimensionalmente, foram resolvidos (NAVEIRA-COTTA et al., 2011), inclusive expandindo as propriedades termofísicas do meio em autofunções, permitindo uma abordagem totalmente analítica do sistema transformado.

A técnica da transformada integral generalizada (GITT) foi aplicada na análise dos problemas direto e inverso de condução de calor em meios heterogêneos, incluindo uma abordagem de análise inversa no campo transformado, realizando a transformação integral unidimensional dos dados experimentais (NAVEIRA-COTTA et al., 2011).

Quando um sistema térmico composto é formado, duas superfícies de materiais são unidas, seja através de algum adesivo, solda ou simplesmente por meio de pressão. Microscopicamente, apenas frações destes materiais estão realmente em contato entre si, havendo uma mudança de temperatura através da interface de contato entre as superfícies. Atribui-se esta mudança de temperatura na interface ao que é conhecido na literatura como resistência térmica de contato, Rc, ou sua inversão que é conhecida como condutância térmica de contato hc=1/Rc.

Em geral, quando existe a união de dois materiais sólidos, a resistência térmica de contato é provocada principalmente pela rugosidade dos materiais unidos, ou seja, o contato direto entre as camadas acontece microscopicamente em apenas algumas regiões, sendo que nas outras os espaços são preenchidos pelo fluido ambiente ou mais comumente por ar.

Visando a previsão da resistência térmica de contato, existem muitos trabalhos teóricos e experimentais de análise. Em geral, os mais utilizados em projetos práticos são os trabalhos experimentais. Entretanto, determinar a variação espacial da resistência

(30)

10

térmica na superfície de contato é uma tarefa bastante difícil e, em geral, muitos trabalhos determinam valores globais desconsiderando esta variação. O método da placa quente normatizado pode ser utilizado para determinar descontinuidades de temperatura na interface entre materiais, com a desvantagem de prever apenas valores globais da resistência térmica de contato e de requerer aparelhos experimentais complicados, associados ou não a medições intrusivas de temperatura (WOLFF e SCHNEIDER, 1998; COLAÇO e ALVES, 2013).

Medidas não-invasivas, através do método de flash de laser com o método de Gauss, foram utilizados para estimar a resistência de contacto entre dois sólidos (MILOSEVC et al., 2002; MILOSEVIC et al., 2003). Para amostras de materiais com condutividade térmica alta ou para materiais com pequenas espessuras da camada, foi possivel estimar valores constantes da condutância térmica de contato. Não obteve-se bons resultados quando as regiões de mau contato termico eram pequenas.

Pode-se encontrar ainda métodos semi-analíticos para solucionar estes problemas. Entretanto, estes métodos fazem uso de casos onde a solução fundamental está disponível e onde as funções relacionadas com o problema são contínuas (ALVES e LEITÃO, 2006). Como este trabalho tem o interesse de detectar descontinuidades na região de interface entre camadas de compostos laminados, é essencial que o método de solução do problema direto permita a existência de funções descontínuas.

2.2 PROBLEMAS INVERSOS

Problemas inversos em transferência de calor tratam essencialmente da estimativa de termos desconhecidos, encontrados em formulações matemáticas de problemas físicos em ciências térmicas, utilizando medições que podem ser de fluxo de calor, temperaturas, intensidades de radiação, etc. A análise inversa tem sido frequentemente utilizada para a solução de problemas que abrangem desde a estimativa de parâmetros constantes em transferência de calor até um mapeamento do espaço e no tempo para funções, tais como: fontes de calor, fluxos, e propriedades termofísicas, etc (ORLANDE, 2012).

Este trabalho está focado na solução de um problema inverso de condução de calor com o objetivo de utilizar medidas de temperatura para determinar qualitativamente e quantitativamente falhas em compósitos laminados. Como já foi dito anteriormente, a solução particular deste problema inverso é de grande interesse para as indústrias de materiais, petrolífera e aeroespacial, entre outras.

(31)

11

Existem diversas obras literárias clássicas sobre problemas inversos em transferência de calor. Destacam-se inicialmente alguns trabalhos pioneiros, os quais venceram as primeiras grandes dificuldades impostas pelo caráter mal posto típico desta classe de problemas. Entre os cientistas pioneiros pode-se citar: A. N. Tikhonov, O.M. Alifanov e J. V. Beck (ÖZIŞIK e ORLANDE, 2000). Os conceitos fundamentais sobre problemas inversos de condução de calor podem ser encontrados em ÖZIŞIK e ORLANDE (2000), juntamente com quatro técnicas de solução de problemas inversos em transferência de Calor, tanto para estimativa de parâmetros como para estimativa de funções, além de soluções de interesse prático na engenharia envolvendo problemas de condução, convecção e radiação.

Na estatística Bayesiana tenta-se utilizar toda a informação disponível a fim reduzir a quantidade de incertezas em um problema. Ou seja, enquanto a informação nova é obtida, com ela será combinada toda a informação precedente, dando a base para procedimentos estatísticos. O mecanismo formal usado para combinar a informação nova com a informação previamente disponível é o teorema de Bayes (WINKLER, 2003; TAN et al., 2006; KAIPIO e SOMERSALO, 2005).

O algoritmo de Metropolis-Hastings é um dos Métodos de Monte Carlo com Cadeias de Markov (MCMC) (KAIPIO e SOMERSALO, 2005). A cadeia de Markov é um caso particular de um processo estocástico com estados discretos e apresenta a propriedade Markoviana (uma homenagem ao matemático Andrei A. Markov). Esta propriedade, também chamada de memória Markoviana, define que os estados anteriores são irrelevantes para a predição dos estados seguintes, desde que o estado atual seja conhecido. Desta forma o processo Markoviano futuro depende apenas do estado atual (GAMERMAN e LOPES, 2006; ORLANDE et al., 2008).

Técnicas Bayesianas foram utilizadas para identificar simultaneamente a condutividade térmica, a capacidade térmica e um fluxo de calor, num problema inverso unidimensional não-linear de transferência de calor. Utilizou-se para isto o algoritmo Metropolis-Hastings, citado anteriormente (MOTA et al., 2010). Neste trabalho utilizou-se uma informação a priori de campo aleatório Markoviano (MRF- Markov

Randon Field)

Na identificação de propriedades e parâmetros termofísicos variáveis, utilizando técnicas Bayesianas de estimativa de parâmetros e funções, o erro da técnica de termografia por infravermelho é de grande interesse, fornecendo uma quantidade representativa de medidas, tanto no espaço quanto no tempo, criando assim novos

(32)

12

horizontes na análise da condução de calor em meios heterogêneos (FUDYM, 2006; FUDYM et al., 2007).

Um problema inverso de condução de calor foi solucionado (FIEBERG e KNEER, 2008) para estimar o fluxo de calor na interface entre dois sólidos. Foram realizadas medidas de temperatura por uma câmara de infravermelho na interface, exigindo que houvesse algum acesso direto à mesma.

Foi resolvido um problema inverso de condução de calor para estimar a distribuição espacial da resistência de contato (GILL et al., 2009). Os autores mencionam o fato de que os modelos mais comuns consideram a resistência térmica de contato constante. Os resultados obtidos foram sensíveis a erros de medição, sendo necessárias tecnicas de regularização. As temperaturas foram medidas muito perto da interface, tornando o método bastante intrusivo. No entanto, a principal contribuição deste trabalho foi estimar a variação espacial da resistência térmica de contato em vez de usar um valor constante.

Em ABREU (2011) e ABREU et al.(2011) foi realizada a detecção e analise de falhas em compósitos laminados utilizando medidas simuladas de temperatura. Estes trabalhos tratam da solução de um problema direto de transferência calor tridimensional em regime transiente de transferência de calor, que foi solucionado através de um método híbrido utilizando transformada integral generalizada (GITT) juntamente com o método de diferenças finitas. Considerou-se nestes trabalhos a existência de uma resistência térmica de contato entre as interfaces das placas que compõem os compósitos laminados analisados, variando espacialmente. No trabalho de ABREU (2011) foi proposta uma solução do problema inverso através da estimativa deste coeficiente de troca térmica no contato, utilizando o método de Monte Carlo com cadeia de Markov. Foram estudados casos pouco complexos onde até mesmo com informações a priori não informativas permitiam boas estimativas da condutância termica de contato. Em ABREU et al. (2014a) o mesmo problema foi tratado utilizando abordagem Bayesiana com uma informação a priori do tipo variação total dos parâmetros (TVF), onde obteve-se resultados para casos mais complexos do que aqueles tratados em

ABREU et al.(2011) para a estimativa bidimensional da condutância térmica de contato em meios compositos laminados. Utilizando medidas simuladas de temperatura, examinou-se diferentes tamanhos e formas de falhas de interface obtendo excelentes resultados mesmo em casos onde a região de falha era pequena.

(33)

13

Numa outra abordagem para analise de falhas de interface, são utilizados funcionais de reciprocidade para obter informação interna pelo uso simultâneo das fórmulas de Green e através de uma escolha apropriada de funções teste, em uma perspectiva semelhante a uma formulação fraca, adequada ao problema inverso em análise. Dessa forma, podem se estabelecer resultados teóricos de unicidade que asseguram quais as medições que levam a uma identificação única das falhas internas. Uma das primeiras aplicações desta técnica pode ser encontrada para uma localização parcial de falhas internas por inspeção térmica (BEN ABDA e ANDRIEUX, 1996). A escolha apropriada de funções teste para o funcional de reciprocidade estabelece uma relação direta entre as medições e as alterações na resistência térmica de contato, levando a um algoritmo de identificação cuja implementação será algo semelhante à já efetuada noutros problemas (ROBERTY e ALVES, 2008), mas com as necessárias adaptações.

Nas soluções utilizando funcionais de reciprocidade (RF), tipicamente aparecem problemas de Cauchy auxiliares. Através da literatura, sabe-se que o método das soluções fundamentais (MFS) é bastante eficiente para solucionar tais problemas de Cauchy (ALVES e MARTINS, 2009). Sendo assim, ao utilizar os funcionais de reciprocidade deve prever-se uma resolução a priori de problemas de Cauchy para a construção das funções teste envolvidas na solução do problema inverso.

Um problema inverso de transferência de calor para determinação da resistência térmica de contato foi solucionado através da aplicação de um funcional de reciprocidade associado a soluções de problemas de Cauchy (COLAÇO e ALVES, 2013). Considerou-se a condução de calor em um material formado por duas camadas e o problema foi solucionado em regime permanente, sem variação espacial do fluxo de calor imposto numa das faces do material estudado. Neste trabalho, foram obtidos bons resultados em problemas bidimensionais para diversas possíveis funções da resistência térmica de contato.

Em ABREU et al. (2014b) foi proposta uma extensão para a metodologia de solução do problema inverso solucionado em COLAÇO e ALVES (2013). Na solução do problema original eram solucionados dois problemas auxiliares de Cauchy e na metodologia proposta uma relação linear foi aplicada para transformar os mesmos em problemas de Laplace. Os resultados mostraram que a nova metodologia é mais estável e permitirá que diferentes métodos possam ser aplicados na solução destes problemas auxiliares.

(34)

14

Em COLAÇO et al. (2014) foi proposta uma extensão para o trabalho de COLAÇO e ALVES (2013). Neste artigo é apresentada uma abordagem aplicando funcionais de reciprocidade, na estimativa da condutância térmica de contato com variação unidimensional, num problema de transferência de calor em regime transiente. No artigo original o problema era solucionado em problemas de transferência de calor em regime permanente. Os resultados, utilizando medições simuladas de temperatura, mostraram a robustez do método nos casos estudados e mostraram ainda que existe pouca acurácia na estimativa de funções descontínuas da condutância térmica de contato.

No presente trabalho, o problema inverso de transferência de calor solucionado por (ABREU, 2011) será resolvido, aplicando a abordagem proposta por (NAVEIRA-COTTA, 2009). A solução do problema inverso de transferência de calor será então solucionada através do método MCMC utilizando modos de medidas transformadas. Como caráter inédito considera-se a transformação bidimensional das temperaturas através do método da transformada integral generalizada e a aplicação, neste problema, de informações a priori não informativas do tipo Total Variation Function (TVF).

Outro aspecto inédito do presente trabalho consiste em um método que permite utilizar a abordagem de solução via funcionais de reciprocidade proposta por COLAÇO e ALVES (2013), sem que sejam resolvidos problemas auxiliares de Cauchy. A abordagem proposta no presente trabalho, permite que os problemas de Cauchy sejam transformados em problemas de Laplace, eliminando possíveis limitações geradas pelo mau condicionamento associado à resolução de problemas de Cauchy.

(35)

15

CAPÍTULO 3 -

PROBLEMA FÍSICO

Considera-se um meio composto por lmax camadas, cuja soma de suas espessuras

cl resulta em uma espessura total c. Todas as placas, nesta abordagem terão o mesmo comprimento a e a mesma largura b, tal como ilustrado na Figura 3.1. Pode-se então definir um domínio Ω total, formado pelos subdomínios Ωl, que representam cada camada do compósito. Neste capítulo, o subscrito l = 1, 2, ... , lmax corresponderá ao

número de cada camada que compõe o compósito.

Figura 3.1 - Meio compósito laminado constituído por ‘lmax’ camadas.

Na superfície de contato Гc,l entre cada uma das l camadas, assume-se a existência de uma condutância térmica, modelada através de um coeficiente de transferência de calor de contato hc,l(x,y). Tal coeficiente é muito pequeno nas posições onde houver falha e muito grande onde houver contato térmico perfeito entre as camadas. Por simplicidade, será utilizado o sistema cartesiano de coordenadas retangulares (vetor posição dado por x = {x,y,z}) e serão consideradas propriedades térmicas constantes dentro de cada camada que constitui o compósito laminado.

Nas superfícies laterais Гl, a perda de calor é considerada desprezível e as superfícies inferior e superior, respectivamente Гo e Гoo estarão submetidas à troca de

calor por convecção, sendo na superfície inferior com um meio a uma temperatura ambiente To e na superfície superior, com um meio a uma temperatura diferente, Too.

(36)

16

Considera-se ainda a imposição de fluxo de calor q(x,y,t) sobre a superfície superior, conforme indicado na figura 3.1. O compósito estará sujeito a uma temperatura inicial uniforme.

A formulação matemática de transferência de calor, considerando um problema geral de transferência de calor em regime transiente num meio com lmax camadas, com

variação espacial do coeficiente de troca térmica na interface, pode ser escrita da seguinte forma (ÖZIŞIK, 1993):

 

2

 

, , em , para 0 tTl t  l Tl t l t  x x   (3.1.a)

 

1 n 1 , o o 1 , em o, para 0 k T x t  h T_ T x t _  t (3.1.b)

 





max max , oo oo max , , , em oo, para 0

l n l l k  T x t h _T T x t _q x y t  t (3.1.c)

 

, 1 1

 

, em ,, para 0 n l n l c l l l k T x t k T x t  t (3.1.d)

 

, ,



,



1

 

,

 

, em ,, para 0 n l l l l Tl hc x y T T c l k x t    x t  x t   t  (3.1.e)

 

, 0 em , para 0 n lT t l t  x    (3.1.f)

onde α é a difusividade térmica, k corresponde a condutividade térmica e h corresponde ao coeficiente de troca térmica. Considera-se que o material estará inicialmente a uma temperatura constante:

 

, i o para 0, em l

l t Tin t

T x  T   (3.1.g)

Particularizando-se a formulação geral dada pelo problema (3.1) para o caso envolvendo apenas duas camadas (ilustrado na figura 3.2), o qual será abordado neste estudo, o mesmo será reescrito da seguinte forma: