P
P
PO
O
OL
L
LI
I
IN
N
NÔ
Ô
ÔM
M
MI
I
IO
O
OS
S
S
I
I
I
01. (ITA-1995) A divisão de um polinômio P(x) por x2 - x resulta no quociente 6x2 + 5x + 3 e resto -7x. O resto da divisão de P(x) por 2x + 1 é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Alternativa: E
02. (FEI-1996) A soma de dois polinômios P(x) + Q(x) é um polinômio de grau 6, e a diferença P(x) - Q(x) é um polinômio de grau 4. É válido afirmar-se que:
a) a diferença Q(x) - P(x) tem grau 6. b) P(x) e Q(x) têm o mesmo grau. c) P(x) tem grau 5.
d) Q(x) tem grau 4. e) P(x) tem grau 4. Alternativa: B
03. (Vunesp-2000) Ao dividirmos um polinômio p(x) por (x - c), obtemos quociente q(x) = 3x3 - 2x2 + x - 1 e resto 3. Sabendo-se que p(1) = 2, determine:
a) o valor de c;
b) o polinômio p(x).
Respostas: a) c = 2
b) p(x) = 3x4 -8x3 + 5x2 + 3x + 5
04. (Vunesp-2002) Considere a função polinomial de 3º grau, p(x) = x3– 3x + 1. Calcule p(–2), p(0), p(1), p(2) e esboce o gráfico. Respostas: p(x) = x3– 3x + 1 p(–2) = – 8 + 6 + 1 à p(–2) = – 1 p(0) = 0 – 0 + 1 à p(0) = 1 p(1) = 1 – 3 + 1 à p(1) = – 1 p(2) = 8 – 6 + 1 à p(2) = 3
05. (FGV-2005) Dividindo o polinômio P(x) por x2 + x - 1obtém-se quociente igual a x - 5 e resto igual a 13x + 5. O valor de P(1) é: a) 12 b) 13 c) 15 d) 16 e) 14 Alternativa: E
06. (Fuvest-1999) Dividindo-se o polinômio p(x) por 2x2 - 3x + 1, obtêm-se quociente 3x2 + 1 e resto -x + 2. Nessas condições, o resto da divisão de p(x) por x - 1 é:
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 Alternativa: B
07. (UFSCar-2009) Em relação a P(x), um polinômio de terceiro grau, sabe-se que P(-1) = 2, P(0) = 1, P(1) = 2 e P(2) = 7.
a) Determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto em que o gráfico da função polinomial P(x) cruza o eixo y, sabendo que essa reta tem coeficiente angular numericamente igual à soma dos coeficientes de P(x).
b) Determine P(x). Respostas: a) y = 2x + 1 b) P(x) = 3 1 x3 + x2 – 3 1 x + 1
08. (UFC-2003) O coeficiente de x3 no polinômio p(x) = (x - 1)·(x + 3)5 é: a) 30 b) 50 c) 100 d) 120 e) 180 Alternativa: E
09. (UEL-1996) O polinômio p tem grau 4n + 2 e o polinômio q tem grau 3n - 1, sendo n inteiro e positivo. O grau do polinômio p.q é sempre:
a) igual ao máximo divisor comum entre 4n + 2 e 3n - 1. b) igual a 7n + 1. c) inferior a 7n + 1. d) igual a 12n2 + 2n + 2. e) inferior a 12n2 + 2n + 2. Alternativa: B 10. (UFPA-1984) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d é idêntico a Q(x) = 5x2 - 3x + 4. Então, temos que a + b + c
SÉRIE: 2º ANO TURMA: 2º BIMESTRE
DATA: / / 2011
ALUNO(A): Nº:
NOTA:
PROFESSOR:
+ d é igual a: a) 6 b) 5 c) 4 d) 0 e) -3 Alternativa: A
11. (CPCAR-2002) O resto da divisão do polinômio
( )
x
=
x
4−
2
x
3+
2
x
2−
x
+
1
p
por x + 1 é um númeroa) ímpar menor que 5 b) par menor que 6 c) primo maior que 5 d) primo menor que 7 Alternativa: C
12. (Cesgranrio-1994) O resto da divisão do polinômio P(x) = (x2 + 1)2 pelo polinômio D(x) = (x - 1)2 é igual a: a) 2 b) 4 c) 2x-1 d) 4x-2 e) 8x-4 Alternativa: E
13. (UECE-2005) O resultado da divisão do polinômio x5 +1 por x + 1 é: a) x4 + x3 + x2 + x + 1 b) x4 - x3 + x2 - x + 1 c) x4 + 1 d) x4 - 1 Alternativa: B
14. (UFC-2007) Os números reais a, b, c e d são tais que, para todo x real, tem-se:
ax3 + bx2 + cx + d = (x2 + x – 2)(x – 4) – (x + 1)(x2 – 5x + 3).
Desse modo, o valor de b + d é: a) –2 b) 0 c) 4 d) 6 e) 10 Alternativa: D 15. (UFC-2004) Se a expressão
1
2x
b
1
2x
a
1
4x
5
2x
2−
=
+
+
−
+
, onde a e b são constantes,
é verdadeira para todo número real x ¹ ±
2
1
, então o valor de a + b é: a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3 Alternativa: C16. (Vunesp-2006) Se a, b, c são números reais tais que ax2 + b(x + 1)2 + c(x + 2)2 = (x + 3)2 para todo x real, então o valor de a - b + c é a) -5. b) -1. c) 1. d) 3. e) 7. Alternativa: E
17. (Fatec-1996) Se f é uma função de IR em IR definida por f(x)=
3
x
3
x
2+
−
, então a expressão1
x
f(1)
f(x)
−
−
, para x¹1, é equivalente a: a)3)
2(x
3
x
2+
+
b)3)
2(x
3
x
2+
−
c)3)
2(x
1
x
2+
+
d)3)
2(x
1
x
2+
−
e)x
1
−
Alternativa: A 18. (PUC-MG-1992) Se o polinômio P(x) = (2m + 3n - p)x2 + (m + 2n - 5p)x + (p - 2) é identicamente nulo, a soma m +n + p é igual a: a) -3 b) -6 c) 8 d) 5 e) 0 Alternativa: B 19. (Cesgranrio-1998) Se o polinômio P(x) = 2x3 - 4x + a é divisível por D(x) = x - 2, o valor de a é:a) -8 b) -6 c) -4 d) -2 e) +2 Alternativa: A
20. (PUCCamp-1998) Se os graus dos polinômios f, g, h são, respectivamente, 4, 3 e 2, então o grau do polinômio: a) g2 é 9 b) f.g é 7 c) f + h é 6 d) g - h é 1 e) 3. f é 12 Alternativa: B 21. (UNIFESP-2007) Se
2
3
2− x
+
x
x
=1
−
x
a
+2
−
x
b
é verdadeira para todo x real, x ≠ 1, x ≠ 2, então o valor de a.b é a) – 4. b) – 3. c) – 2. d) 2. e) 6. Alternativa: C22. (UEL-1984) Sejam os polinômios f = 2x3 - 3x2 + 3, g = x2 + 3 e h = x3 - 2x2. Os números reais a e b, tais que f = ag + bh, são, respectivamente: a) -2 e -1 b) -2 e 1 c) -1 e -2 d) 1 e -2 e) 1 e 2 Alternativa: E
23. (UFJF/MG) O resto da divisão do polinômio
( )
x
=
3
x
2−
17
x
+
27
p
porq
( )
x
= x
−
4
é: a) 4. b) 7. c) 2x. d) 5. e) 5x – 20.24. (UFV/MG) O inteiro 2 é raiz do polinômio
( )
x
x
x
x
k
p
=
4
3−
4
2−
11
+
, onde k é uma constante real.a) Determine o valor de k.
b) Determine as outras raízes de p(x). c) Determine os intervalos onde p(x) > 0.
25. (UFPB/PB) Determine os valores de A, B e C para que os polinômios
P
( )
x
=
Ax
3+
(
2
A
−
5
)
x
2+
C
e( ) (
x
=
4
−
B
)
x
3+
Bx
2+
1
Q
sejam idênticos.26. (UFPB/PB) Se
P
( )
x
eQ
( )
x
são polinômios de grau 4(quatro) eS
( )
x
=
P
( )
x
+
Q
( )
x
, entãoS
( )
x
:A) pode ter grau 2. B) pode ter grau 5. C) pode ter grau 6. D) tem grau 4. E) tem grau 8. 27. Sendo 3 x q 2 x p 6 x 5 x 3 x 2 2− + = − + − − , podemos afirmar que 3p + q é: a) 1 b) 0 c) − 2 d) 3 e) − 4
28. Na divisão de um polinómio pelo binômio ax + b, usou-se o dispositivo prático de Briot-Ruffini e encontrou-se:
1 p −3 4 −5
−2 q −4 5 R 7
Os valores de a, b, p, q e r são, respectivamente: a) 1, -2, 1, -6 e 6
b) 1, -2, 1, 1 e 4 c) 1, 2, -2, -2 e -6 d) 1, 2, 1, -4 e 4 e) 1, 2, -2, 1 e -6
29. Sendo a e b tais que
2 x b 2 x a 4 x 2 x 5 2− = − + + − é uma identidade, a expressão b − 2a vale:
a) −3 b) −2 c) −1 d) 0 e) 1
30. O resto da divisão de um polinômio P(x) = x3 − x + 1 pelo polinômio D(x) = x2 + x + 1 é igual a:
a) 0 b) x + 2 c) x − 2 d) −x + 2 e) −x − 2
31. (UEL/PR-2005) Sobre um polinômio
p
( )
x
de grau 1, sabe-se que:• sua raiz é igual a 2.
•
p
( )
−
2
é igual ao dobro de sua raiz. nestas condições, é correto afirmar: a)p
( )
x
= x
−
+
2
b)
p
( )
x
= x
2
−
4
c)p
( )
x
= x
−
2
d)p
( )
x
=
x
2−
x
−
2
e)p
( )
x
=
−
x
2+
x
+
2
32. (UFPB/PB-1995) Escreva um polinômio de grau 3 na forma
P
( )
x
=
x
3+
ax
2+
bx
+
c
, cujas raízes sejam-2, 0 e 1.
33. (UFBA/BA-2000) Sobre expressões
algébricas e polinômios, pode-se afirmar:
(01)
(
x
+
2
)
3=
x
3+
8
,
∀
x
∈
R
.
(02)
(
)
1
,
{
1
,
0
,
1
}
1
2
1
1
3 2 2−
∀
∈
−
−
+
=
−
−
−
+
R
x
x
x
x
x
x
x
x
.
(04) Se
(
mx
2−
nx
+
1
)
(
x
−
1
)
=
x
3−
2
x
2+
2
x
−
1
,
então
m
⋅ n
=
1
.
(08) O resto da divisão
x
3−
2
x
2−
6
x
+
1
por
1
+
x
é − 6.
(16)
Se 2 é raiz do polinômio
( )
x
=
x
3−
2
x
2+
mx
+
1
P
, então
2
1
−
=
m
.
34. (UFMT/MT-2002) Considere os polinômios
A
(x
)
, de graum
, eB
(x
)
, de graun
, comm
≥
n
, ambos decoeficientes reais, e, julgue os itens.
(0) O grau do polinômio
S
(
x
)
=
A
(
x
)
+
B
(
x
)
ém
+
n
. (1) O polinômioP
(
x
)
=
A
(
x
)
⋅
B
(
x
)
é de graum
⋅
n
.(2) Se
Q
(x
)
é o quociente da divisãoA
(
x
)
÷
B
(
x
)
, com0
)
(
x
≠
B
, entãoQ
(x
)
é um polinômio de graun
m
−
.G
G
GE
E
EO
O
OM
M
M.
.
.
A
A
AN
N
NA
A
AL
L
LÍ
Í
ÍT
T
TI
I
IC
C
CA
A
A
–
–
–
R
R
RE
E
ET
T
TA
A
AS
S
S
I
I
II
I
I
01. (FMTM/MG) Os pontos (2 – k, k – 5) e (-2, -4) pertencem à reta r. Os pontos (k, k – 3) e (1, -4) pertencem à reta s. Sendo r e s paralelas, um valor possível de k é: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
02. (UNIFEI/MG) A área do polígono formado pela interseção das retas y – x + 3 = 0, y – x = 0, y – 1 e y = 7 mede, em unidades de área:
A) 16. B) 18. C) 20. D) 22.
03. (MACK/SP) Na figura, se a equação da reta r é 3x + y – 4 = 0, a área do triângulo ABC é:
a) 240 b) 220 c) 200 d) 260 e) 280 04. (PUC/RS) As representações das funções definidas por
f x
( )
=
x
2−
4
x
+
3,
g x
( )
=
2
x
+
3
e h x
( )
= −
1
, estão na figura abaixo. A área do triângulo ABC é:A) 3 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16
05. (UFV/MG) Considere os pontos A =(2, −2) e )
, (0 4
=
B do plano euclidiano.
a) Determine o valor da constante k para que a reta
k
kx
y
=
+
passe pelo ponto médio do segmento AB. b) Calcule a distância da origem (0,0) à reta obtida no item anterior.06. (UFPE/PE) Planeja-se construir duas estradas em uma região plana. Colocando coordenadas cartesianas na região, as estradas ficam representadas pelas partes dos gráficos da parábola y = - x2 + 10x e da reta y = 4x + 5, com 2 ≤ x ≤ 8. Qual a soma das coordenadas do ponto que representa a intersecção das estradas?
A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40
07. (UFPE/PE) Considere o triângulo com lados sobre as
retas
6
3
,
2
=
=
−
+
=
x
y
x
e
y
x
y
. Estude a veracidadedas seguintes afirmações:
A) O ponto (2,1) está no interior do triângulo. B) O ponto (5,5) está no exterior do triângulo. C) O maior lado do triângulo mede 2 5. D) O triângulo tem área 15/2.
E) O circuncentro do triângulo é o ponto (2,3/2).
08. (UFPA/PA) Escreva a equação da reta, que passa pelo ponto P
1
2
,−
1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
e é perpendicular a uma reta que forma com o sentido positivo do eixo dos x, um ângulocuja tangente é
5
2
.09. (UFPA/PA) Em um triângulo
ABC
, os pontosmédios dos lados
AB
eBC
são, respectivamente,M
(
−
4
,
5
)
eP
( )
0
,
3
. Sabendo-se queC
(
1
,
-
2
)
, escreva a equação da retaAC
.10. (UFMT/MT) Num determinado instante t (em minutos), as posições de duas partículas P e Q são dadas, respectivamente, pelas equações paramétricas
das retas ⎩ ⎨ ⎧ + = + = t 1 y t 2 1 x e ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + = t 6 3 y t 4 x .
A partir das informações dadas, julgue os itens.
m As trajetórias se interceptam no ponto (5, 3). n As partículas se chocam no ponto (5, 3).
o A partícula Q passa, em (5, 3), 1 minuto depois que a partícula P.
11. (UFPA/PA) Um agricultor recebe uma herança e
decide investir em terras para aumentar sua produção. Resolve comprar um terreno ao lado do seu, e o corretor cobra R$ 2.000,00 a unidade de área (u). O terreno tem a forma de um quadrilátero de vértices A, B, C e D. Em sua representação no plano cartesiano, em que a unidade em cada um dos eixos representa a unidade de comprimento sobre o terreno, tem-se A=(0,0), B=(0,1) e D=(3,0). Sabe-se que a equação da reta que contém os pontos D e C é 3x+2y=9, enquanto que a reta que contém os pontos B e C também passa pelo ponto (4,2). Faça os cálculos necessários e determine o valor que o agricultor irá pagar pelo terreno.
12. (PUC/RS) A reta r de equação y = a x + b passa pelo ponto (0, –1), e para cada unidade de variação de x há uma variação em y, no mesmo sentido, de 7 unidades. Sua equação é: A) y = 7x – 1 B) y = 7x + 1 C) y = x – 7 D) y = x + 7 E) y = –7x – 1
13. (UFPB/PB) Sabendo-se que a equação (m + n - 1)x2
+ (m - n + 1)y2 + x + y - 1 = 0 representa uma reta no
plano xy, determine m e n.
14. (UFMA/MA) A reta r: x – 7y +13 = 0 forma um ângulo de 45º com a reta s, que passa pela intersecção das retas
3x + 2y – 9 = 0 e 10x + y – 13 = 0. Ache a reta s.
15. (UFMA/MA) A reta r passa pelos pontos
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛− 5
,
4
3
e( )
3
,
0
. A reta s é perpendicular à reta r e passa pela origem. Determine o ponto de interseção entre as retas r e s.De acordo com gráfico abaixo, assinale (as) proposições verdadeiras x s y 0 1 −2 • • • • • 3 1 r 01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0. 02. A reta s e a reta r são perpendiculares.
04. As retas r e s se interceptam no ponto de abscissa
5 4 .
08. A distância da origem do sistema de coordenadas
cartesianas à reta r é de 2
2
unidades.
área da região do plano limitada pelas retas r, s e
pelo eixo das abscissas é igual a 10
3
unidades de área.
17. (UFSC/SC) Dados os pontos A(1, –1), B(–1, 3) e
C(2, 7), determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao lado BC..
18. (UFMA/MA) As equações paramétricas de uma reta r
são:
⎩
⎨
⎧
+
=
−
=
t
y
t
x
4
1
2
3
. Então o coeficiente angular da reta r
é: a) –3 b) 1 c) –2 d) 4 e) 2
19. (UFMA/MA) A soma dos coeficientes linear e angular da reta que passa pelos pontos A (0, K) e B(K, 0), sendo
0
≠
K
, vale: a) K – 1 b) – K – 1 c) K + 1 d) K e)1 +
1
K
20. (UFMA/MA) Consideremos os pontos
A
(
−
1
;
5
)
,(
3;
1
)
B
−
eC
(
5
;
−
4
)
e as seguintes afirmações: I. Os pontos A, B e C são colineares.II A distância entre os pontos B e C é
d
=
8
. III A razão em que B divideAC
é r = 2.Então:
a) I, II estão corretas. b) I, II e III estão corretas. c) I está correta.
d) I e III estão corretas. e) II e III estão corretas.
21. (UFMA/MA) Calcule a área do triângulo formado pela
reta
1
8
6
−
=
y
x
e os eixos coordenados.22. (UFMS/MS) Sejam r, s e t as retas definidas no plano cartesiano da figura nº 2. Se P = (a,b) é o ponto de interseção das retas s e t, calcular 10a + 2b.
t r s 6 4 -2 -3 2 . . x y Figura nº 2
23. (UFMA/MA) Seja a reta r que passa pelos pontos
(0,5) e (10,0). Uma reta s perpendicular a r passa pelos pontos A(a,1) e B(1,b). A relação entre a e b é:
a) b=3 – 2a b) b=2 – 3a c) b=5 - 2a d) b= – (a + 2 e)
4
2
a
b
=
−
24. (UFOP/2003) Sejam as retas r: x + 2y + 3 = 0 e t
⊥
r. Se t passa pelo ponto P(2, 3), então sua equação é dada por:a) 2x + y - 3 = 0 b) 2x + y + 1 = 0 c) 2x - y - 1 = 0 d) 2x - y + 3 = 0
25. (UFOP/2005) A curva C, a seguir, é gráfico da função f(x) = 2x. A equação da reta r que passa pelos pontos P e Q é: a) y =
3
2
x - 1 b) y =2
3
x - 1 c) y =3
2
x + 1 d) y =2
3
x + 126. (UFJF/2008) Considere o triângulo limitado pelas retas
y
=
x
,
y
=
−
x
+
2
e
y
=
ax
,
com
a
>
1
. O valor dea
, de forma que a área desse triângulo seja,
2
2
é: a) 22
+ 3 b) 32
+ 2 c)2
+ 1 d)2
- 1 e)2
APLICAÇÕES27. O período de incubação do cólera pode ser de algumas horas e até 5 dias, porém sua disseminação ocorre com mais facilidade onde as condições de higiene são precárias. Analisando uma colônia de vírus do cólera, um pesquisador registrou a disseminação do número desses vírus durante algumas horas e verificou um crescimento linear conforme o gráfico abaixo, o qual apresenta duas dessas observações.
Quantos vírus havia nessa colônia no inicio da observação?
28. Dois mísseis, em treinamento de interceptação, deslocam-se em movimento retilíneo e uniforme numa mesma direção e sentido. O gráfico mostra a posição, em metros, desses mísseis no decorrer do tempo, em segundo.
a) Qual o instante em que o míssil B intercepta o míssil A?
b) Em que posição eles se encontram?
Com base no texto abaixo, responda as
questões 29 e 30.
O radar é um aparelho que, por meio de pulsos de onda radioelétricas, é capaz de detectar objetos que estejam no interior de seu círculo de alcance. Esse círculo tem centro no radar e seu raio, que depende da potência do aparelho, é denominado raio de alcance do radar.
Suponha que um radar esteja localizado em um porto marítimo, no centro de um sistema de coordenadas xOy, como ilustra a figura a seguir, em que as distâncias são medidas em quilômetros.
Suponha, ainda, que um navio percorreu a trajetória retilínea entre os pontos A(-100,-500) e B(500,100), com velocidade constante de 75km/h.
Considerando que os pulsos do radar prolongam-se em linha reta, resolva os itens a seguir.
29. Seja um pulso que partiu do radar interceptou a trajetória do navio perpendicularmente, então as coordenadas (x,y) do percurso desse pulso satisfazem à equação: a) –x + y = 0. b) –x – y = 0. c) x – y = 0. d) x + y = 0. e) x + 2y = 0
30. Se as trajetórias do navio e de um pulso do radar cruzaram-se perpendicularmente, então essas trajetórias interceptam-se no ponto das coordenadas:
a) (200,-200). b) (-200,200). c) (-200,-200). d) (200,200). e) (220,-220).
