Opera»c~oes Bin arias

Opera»c~

oes Bin¶

arias

Neste cap¶³tulo, faremos mais preciso o conceito de opera»c~ao bin¶aria, (ou sim-plesmente opera»c~ao), e introduziremos tamb¶em a nomenclatura j¶a consolidada de propriedades not¶aveis de opera»c~oes bin¶arias.

Em alguns exemplos explorados, admitiremos familiaridade com os conjuntos

Q dos n¶umeros racionais, R dos n¶umeros reais e C dos n¶umeros complexos, bem

como com propriedades elementares de suas opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao.

3.1

Opera»c~

oes Bin¶

arias

De¯ni»c~ao 3.1 (Opera»c~ao bin¶aria) Seja A um conjunto n~ao vazio. Uma

ope-ra»c~ao bin¶aria em A (ou simplesmente uma opera»c~ao em A), denominada tamb¶em uma lei de composi»c~ao interna em A, ¶e uma aplica»c~ao

': A £ A ! A

Sendo ' uma opera»c~ao em A, para cada par_{(a; b) 2 A, denotamos a imagem} do par _{(a; b), pela opera»c~ao ', por}

'(a; b) = a ' b

Opera»c~oes s~ao geralmente denotadas por s¶³mbolos, tais como _{+; ¢; ¤; ±; t}u, etc., em lugar de letras dos alfabetos latino e grego, tais como f; g; '; Ã, etc.

O elemento imagem de um par _{(a; b), por uma opera»c~ao ¤, ¶e indicado,} conforme conven»c~ao feita acima, por a¤ b, e ¶e chamado de composto de a e b pela opera»c~ao ¤.

Exemplo 3.1 A opera»c~ao adi»c~ao em N. Sendo a primeira opera»c~ao de nossa

forma»c~ao matem¶atica, ¶e a opera»c~ao

+: N £ N ! N; 44

sendo restri»c~ao, ao conjuntoN, da opera»c~ao adi»c~ao em Z de¯nida axiomaticamente no cap¶³tulo 1.

A imagem de um par (m; n) 2 N £ N, pela opera»c~ao +, ¶e denotada por m + n e ¶e chamada soma de m e n.

Exemplo 3.2 (Potencia»c~ao em N) A opera»c~ao potencia»c~ao em N ¶e de¯nida

pela aplica»c~ao t u: N £ N ! N de¯nida por t u (a; n) = a tu n = an_{, sendo} ² a0 _{= 1}

² Para cada n 2 N, uma vez de¯nido an_{, de¯ne-se a}n+1 _{= a}n_{¢ a.}

Assim, por exemplo, 0 tu 0 = 00 = 1, 3 tu 2 = 32 = 9 e 2 tu 3 = 23 = 8. A imagem de um par (a; n), por esta opera»c~ao, ¶e chamada pot^encia de base a e expoente n.

Exemplo 3.3 (Uma opera»c~ao de¯nida abstratamente) Considere em Z a

opera»c~ao ¤: Z £ Z ! Z, de¯nida por

a ¤ b = a + b ¡ a ¢ b;

sendo + e ¢ as opera»c~oes adi»c~ao e multiplica»c~ao em Z, respectivamente. Neste exemplo,

2 ¤ 3 = 2 + 3 ¡ 2 ¢ 3 = ¡1,

0 ¤ (¡3) = 0 + (¡3) ¡ 0 ¢ (¡3) = ¡3,

(¡2) ¤ (¡2) = ¡2 + (¡2) ¡ (¡2)(¡2) = ¡8.

Exemplo 3.4 (Uma \n~ao opera»c~ao") Como todos sabemos, a potencia»c~ao de

inteiros, com expoentes inteiros, ¶e uma aplica»c~ao (fun»c~ao) que associa a cada par (a; n) de n¶umeros inteiros, com a 6= 0 e n qualquer, ou com a = 0 e n ¸ 0, o n¶umero racional an, de¯nido conforme as regras:

1. a0 _{= 1 e a}1 _{= a,} 2. se n¸ 2, an_{= a ¢ ¢ ¢ a| {z }} n fatores , (sendo ¢ a multiplica»c~ao em Z). 3. se a6_{= 0 e n ¸ 1, a}¡n₌ 1 an

Sendo a e n inteiros, denotemos ent~ao a tu n = an

Temos por¶em duas raz~oes pelas quais tu est¶a longe de ser uma opera»c~ao em

Z:

² Embora 2 tu (¡1) = 2¡1 _{= 1=2 fa»ca sentido como um n¶umero racional |}

admitindo aqui familiaridade com os n¶umeros racionais | o \resultado" de a tu n, a e n inteiros, nem sempre ¶e um inteiro.

² Al¶em disso, h¶a inst^ancias em que a tu n nem est¶a de¯nido, como no caso 0 tu (¡1) (0¡1 n~ao ¶e de¯nido pois a equa»c~_{ao 0 ¢ x = 1 n~ao tem solu»c~ao).}

3.2

Nomenclatura de propriedades not¶

aveis das

opera»c~

oes

De¯ni»c~ao 3.2 Seja ¤ uma opera»c~ao de¯nida num conjunto n~ao vazio A.

1. Dizemos que ¤ ¶e uma opera»c~ao associativa se

8a; b; c 2 A; (a ¤ b) ¤ c = a ¤ (b ¤ c) 2. Dizemos que ¤ ¶e uma opera»c~ao comutativa se

8a; b 2 A; a ¤ b = b ¤ a

3. Dizemos que um elemento e2 A ¶e um elemento neutro da opera»c~ao ¤ se 8a 2 A; e ¤ a = a ¤ e = a

Teorema 3.1 (Unicidade do elemento neutro) Seja ¤ uma opera»c~ao em um

conjunto n~ao vazio A e suponhamos que e₁ e e₂ s~ao elementos neutros da opera»c~ao ¤. Ent~ao e₁ = e2. Em outras palavras, se uma opera»c~ao tem elemento neutro, ele

¶ e ¶unico.

Demonstra»c~ao. Como e₁ ¶e elemento neutro de ¤, tem-se e₁¤ e_{2 = e2} Como e₂ ¶e tamb¶em elemento neutro de¤, tem-se e₁ ¤ e_{2 = e1} Logo, e_{1 = e2}.

De¯ni»c~ao 3.3 Seja ¤ uma opera»c~ao de¯nida num conjunto n~ao vazio A, tendo

um elemento neutro e. Dado um elemento a 2 A, dizemos que a ¶e invert¶³vel ou invers¶³vel na opera»c~ao ¤ se existe um elemento a0 2 A satisfazendo

a ¤ a0 _{= a}0 _{¤ a = e}

Nesse caso, um tal elemento a0 ¶e chamado elemento inverso de a (ou sim¶ e-trico de a) na opera»c~ao ¤.

Teorema 3.2 (Unicidade de inversos numa opera»c~ao associativa) Seja ¤

uma opera»c~ao associativa num conjunto n~ao vazio A. Suponhamos que¤ tem um elemento neutro e. Ent~ao cada elemento de A, invert¶³vel na opera»c~ao ¤, possui um ¶unico elemento inverso. Em outras palavras, se a0 e a00 s~ao inversos de a na opera»c~ao ¤ ent~ao a0 _{= a}00.

Demonstra»c~ao. Sejam a0 e a00 elementos inversos de a na opera»c~ao ¤. Ent~ao a0 _{= a}0_{¤ e = a}0_{¤ (a ¤ a}00_{) = (a}0_{¤ a) ¤ a}00_{= e ¤ a}00 _{= a}00

Note que, na igualdade central, ¯zemos uso da associatividade de ¤.

Teorema 3.3 Seja ¤ uma opera»c~ao associativa num conjunto n~ao vazio A.

Supo-nhamos que ¤ tem um elemento neutro e.

1. Se a2 A ¶e invert¶³vel na opera»c~ao ¤, com inverso a0 2 A, ent~ao a0 tamb¶em ¶

e invert¶³vel na opera»c~ao ¤, com inverso (a0₎0 _{= a.}

2. Se a e b s~ao elementos de A, invert¶³veis na opera»c~ao¤, ent~ao a ¤ b tamb¶em ¶

e invert¶³vel na opera»c~ao ¤, com inverso (a ¤ b)0 _{= b}0 ¤ a0, sendo b0 e a0, respectivamente, inversos de b e a na opera»c~ao ¤.

Demonstra»c~ao.

1. Como a¤ a0 _{= a}0 ¤ a = e, segue, pela de¯nic~ao e unicidade do elemento inverso, que o inverso de a0, na opera»c~ao ¤, ¶e igual a a.

2. Sejam a0 e b0, respectivamente, os inversos de a e b na opera»c~ao ¤. Ent~ao, pela associatividade de ¤, teremos

(a ¤ b) ¤ (b0¤ a0) = a ¤ [b ¤ (b0¤ a0)] = a ¤ [(b ¤ b0) ¤ a0] = a ¤ (e ¤ a0) = a ¤ a0 = e

Analogamente, podemos mostrar que _(b0 ¤ a0_{) ¤ (a ¤ b) = e.} Portanto, o elemento inverso de a¤ b na operac~ao ¤ ¶e b0¤ a0.

Observa»c~ao 3.1 As conven»c~oes descritas aqui s~ao adotadas universalmente.

Quando uma opera»c~ao num conjunto A ¶_{e denotada por +, ela ¶e denominada} adi»c~ao em A e, nesse caso, assume-se implicitamente que ela ¶e associativa e comutativa.

Em outras palavras, causa estranheza denotar opera»c~oes n~ao comutativas ou n~_{ao associativas por \+".}

Quando uma adi»c~ao tem elemento neutro, ele ¶_{e geralmente denotado por 0,} e ¶e denominado zero.

Al¶em disso, se um elemento a 2 A tem elemento inverso na opera»c~ao +, este ¶e chamado oposto de a ou sim¶etrico de a, ou ainda inverso aditivo de a, e ¶e denotado por ¡a.

Observa»c~ao 3.2 Tamb¶em certas regras s~ao impl¶³citas quando uma opera»c~ao num

conjunto A ¶e denotada por \¢".

Em geral, assume-se que uma opera»c~ao denotada multiplicativamente ¶e as-sociativa, mas n~ao necessariamente comutativa.

Em v¶arios exemplos elementares ela ¶e chamada multiplica»c~ao em A, mas este n~ao ¶e o nome \obrigat¶orio" dado a opera»c~oes denotadas por \¢".

Se a opera»c~ao ¢ em A tem elemento neutro, sendo a 2 A um elemento invert¶³vel nessa opera»c~ao, seu elemento inverso ¶e chamado inverso multiplicativo de a, ou inverso multiplicativo de a, e ¶e denotado por a¡1.

Exemplo 3.5 Como sabemos, a opera»c~ao adi»c~ao em N ¶e associativa, comutativa,

e tem elemento neutro e = 0. O ¶unico elemento invert¶³vel na adi»c~ao em N ¶e o elemento neutro pois, em N, a + a0 _{= 0 ) a = a}0 _{= 0.}

Exemplo 3.6 A multiplica»c~ao em Z ¶e associativa, comutativa, tem elemento

neu-tro e = 1 e, os elementos invert¶³veis nessa opera»c~ao s~ao 1 e ¡1, uma vez que, em

Z, ab = 1 ) a = b = §1, sendo ent~ao 1¡1 _{= 1 e (¡1)}¡1 _{= ¡1.}

Exemplo 3.7 Consideremos agora a opera»c~ao ¤ em Z, do exemplo 3.3, de¯nida

por

a ¤ b = a + b ¡ ab; 8a; b 2 Z

Que propriedades not¶aveis tem esta opera»c~ao? Ela tem elemento neutro? Consideremos tr^es inteiros gen¶ericos a, b e c. Ent~ao

(a ¤ b) ¤ c = (a ¤ b) + c ¡ (a ¤ b) ¢ c

= (a + b ¡ ab) + c ¡ (a + b ¡ ab)c = a + b + c ¡ ab ¡ ac ¡ bc + abc Por outro lado,

a ¤ (b ¤ c) = a + (b ¤ c) ¡ a ¢ (b ¤ c)

= a + (b + c ¡ bc) ¡ a(b + c ¡ bc) = a + b + c ¡ bc ¡ ab ¡ ac + abc

Portanto, ¤ ¶e associativa.

Al¶em disso, a¤ b = a + b ¡ ab = b + a ¡ ba = b ¤ a, isto ¶e, ¤ ¶e tamb¶em comutativa.

Tem ¤ um elemento neutro? Para responder a esta quest~ao , note que se e ¶

e elemento neutro de uma opera»c~ao tu, ent~ao e tu e = e. No nosso caso

e ¤ e = e ) e + e ¡ e2 _{= e ) e}2_{¡ e = 0 ) e(e ¡ 1) = 0 ) e = 0 ou e = 1}

Agora, se a2 Z, ent~ao a ¤ 0 = a + 0 ¡ a ¢ 0 = a e 0 ¤ a = 0 + a ¡ 0 ¢ a = a, portanto 0 ¶e o elemento neutro de ¤.

Quais s~ao os elementos de Z, invert¶³veis na opera»c~ao ¤?

Obviamente 0 ¶e um deles, j¶a que o elemento neutro de uma opera»c~ao ¶e sempre invert¶³vel.

Seja x2 Z, e suponhamos que x ¶e invert¶³vel na opera»c~ao ¤ com inverso y. Ent~ao

x ¤ y = y ¤ x = 0 ) x + y ¡ xy = 0

Da¶³, x(1 ¡ y) = ¡y e y(1 ¡ x) = ¡x. Disto deduzimos que x ¶e fator de y (x divide y) e que y ¶_{e fator de x (y divide x). Logo, x = §y.}

Se x = y, ent~ao x + y ¡ xy = 0 ) 2x ¡ x2 = 0 ) x = 0 ou x = 2. Bem, x = 0 era um elemento invert¶³vel j¶a previsto. A \novidade" aqui ¶e o elemento invert¶³vel x = 2, cujo inverso ¶e y = 2.

Se x = ¡y, ent~ao x + y ¡ xy = 0 ) ¡x2 = 0 ) x = 0, e novamente \redescobrimos" 0 como um elemento invert¶³vel de ¤.

Assim, os ¶unicos elementos invert¶³veis na opera»c~ao ¤ s~ao 0 e 2, sendo cada um deles o elemento inverso de si mesmo.

Exemplo 3.8 (Uma opera»c~ao importante, sem \propriedades not¶aveis")

Considere a opera»c~ao tu de potencia»c~ao em N (exemplo 3.2), de¯nida por a tu b = ab_{; 8a; b 2 N}

Ent~ao

2 tu 3 = 23 = 8 e 3 tu 2 = 32 = 9 e portanto tu n~ao ¶e comutativa (em geral, ab 6_{= b}a). Al¶em disso,

(2 tu 3) tu2 = 8 tu 2 = 82 = 64 enquanto que

2 tu (3 tu 2) = 2 tu 9 = 29 = 512

Se tu tiver um elemento neutro e, ele dever¶a satisfazer e tu e = e; ou seja, ee_{= e}

Agora, para cada natural n ¸ 2, temos nn > n. Logo, para o elemento neutro de tu s¶o restam as possibilidades e = 0 ou e = 1, sendo e = 1 a ¶unica soluc~ao de ee_{= e.}

Veri¯cando se e = 1 ¶e, de fato, elemento neutro de tu, encontramos, para um inteiro gen¶erico a2 N:

a tu 1 = a1 _{= a e 1 tu a = 1}a _{= 1}

de onde deduzimos que tu n~ao possui elemento neutro.

De¯ni»c~ao 3.4 Sendo ¤ e tu duas opera»c~oes de¯nidas num conjunto A, dizemos

que ¤ ¶e distributiva em rela»c~ao a tu se, 8a; b; c 2 A, a ¤ (b tu c) = (a ¤ b) tu (a ¤ c); (a tu b) ¤ c = (a ¤ c) tu (b ¤ c)

Como exemplo, considere as opera»c~_{oes + e ¢ em Z. Como sabemos, ¢ ¶e distributiva} em rela»c~_{ao a +, ou seja, 8a; b; c 2 Z,}

a ¢ (b + c) = (a ¢ b) + (a ¢ c); (a + b) ¢ c = (a ¢ c) + (b ¢ c)

De¯ni»c~ao 3.5 (Restri»c~ao de uma opera»c~ao) Sejam A um conjunto n~ao vazio,

¤ uma opera»c~ao em A, e B um subconjunto n~ao vazio de A. 1. Dizemos que B ¶e fechado na opera»c~ao ¤ se

x; y 2 B ) x ¤ y 2 B; 8x; y 2 A

isto ¶e, se a composi»c~ao x¤ y de dois elementos quaisquer x e y de B ¶e tamb¶em um elemento de B.

Por exemplo, se A = Z e ¤ = ¢ ¶e a multiplica»c~ao usual em Z, ent~ao

Z¤

+ = fx 2 Z j x > 0g ¶e fechado nessa opera»c~ao, j¶a que, conforme o

axioma de ordem O4, 8x; y 2 Z; x > 0 e y > 0 ) x ¢ y > 0.

2. Se B ¶e um subconjunto de A, fechado na opera»c~ao ¤, ent~ao a opera»c~ao

B £ B ! B

(b1; b2) 7! b1 ¤ b2

¶

e chamada restri»c~ao da opera»c~ao ¤ ao conjunto B.

Habitualmente, denotamos a restri»c~ao de uma opera»c~ao pela mesma nota»c~ao da opera»c~ao, isto ¶e, indicamos a restri»c~ao de ¤ tamb¶em por ¤.

De¯ni»c~ao 3.6 (T¶abua de uma opera»c~ao num conjunto ¯nito) Seja A um

conjunto ¯nito de n elementos, A = fx1; x2; : : : ; xng, com (n ¸ 1), e seja ¤ uma

opera»c~ao em A.

A t¶abua de¤ ¶e uma tabela da forma

¤ x₁ x₂ : : : x_n x₁ a₁₁ a₁₂ : : : a_1n x₂ a₂₁ a₂₂ : : : a_2n .. . ... ... ... x_n a_n1 a_n2 : : : a_nn em que, para cada par de ¶³ndices i; j, com 1 · i; j · n,

a_{ij = xi}¤ xj

Exemplo 3.9 Seja A = f1; i; ¡1; ¡ig, sendo i a unidade imagin¶aria dos n¶umeros

complexos (i2 = ¡1). Seja ¢ a multiplica»c~ao de n¶umeros complexos, isto ¶e, a multiplica»c~ao em C. ¶E f¶acil ver que A ¶e fechado na opera»c~ao ¢. A t¶abua da multiplica»c~ao, restrita a A, ¶e dada abaixo.

¢ 1 i ¡1 ¡i 1 1 i ¡1 ¡i i i ¡1 ¡i 1 ¡1 ¡1 ¡i 1 i ¡i ¡i 1 i ¡1

3.2.1

Problemas complementares

1.

°

(ii) se ¤ ¶e comutativa;

(iii) se ¤ tem elemento neutro;

(iv) caso ¤ tenha elemento neutro, quais s~ao os elementos de A invert¶³veis nessa opera»c~ao. Para cada elemento invert¶³vel, determine o respectivo elemento inverso. (a) A_{= R,} x ¤ y =p3 x3_{+ y}3 (b) A_{= R,} x ¤ y = x (c) A_{= N,} x ¤ y = min fx; yg (d) A_{= N,} x ¤ y = mdc (x; y) (e) A_{= R+= fx 2 R j x ¸ 0g,} x ¤ y = x + y 1 + xy

(f) A_{= Q,} x ¤ y = x + y ¡ xy

2. Seja A um conjunto n~ao vazio e seja }_{(A) o conjunto das partes de A, isto} ¶

e, o conjunto dos subconjuntos de A. Assim, X 2 }(A) se, e somente se, X ½ A.

Por exemplo, se A_{= f1; 2; 3g, ent~ao}

}(A) = f

¿

Em }_{(A) de¯nem-se as opera»c~oes habituais da teoria dos conjuntos, sendo} elas as opera»c~oes reuni~_{ao ([), interse»c~ao (\), diferen»ca (¡), e diferen»ca} sim¶_{etrica (4), de¯nidas por}

X [ Y = fa 2 A j a 2 X ou a 2 Y g; X \ Y = fa 2 A j a 2 X e a 2 Y g; X ¡ Y = fa 2 A j a 2 X e a 62 Y g; X 4 Y = (X [ Y ) ¡ (X \ Y );

8X; Y 2 }(A).

Determine, seguindo o roteiro do exerc¶³cio anterior, as propriedades de ca-da uma ca-das quatro opera»c~oes em }_{(A). [Sugest~ao simpli¯cadora: utilize} diagramas de Venn.]

3.

°

(a) A opera»c~ao [ ¶e distributiva em rela»c~ao a \; (b) A opera»c~ao \ ¶e distributiva em rela»c~ao a [; (c) A opera»c~ao \ ¶e distributiva em rela»c~ao a 4.

(d) A opera»c~ao 4 n~ao ¶e, em geral, distributiva em rela»c~ao a \. 4.

°

(a) Quantas opera»c~oes bin¶arias distintas podemos de¯nir num conjunto ¯nito de n elementos? [Sugest~ao: Conte o n¶umero de t¶abuas dessas opera»c~oes.]