Sistemas Lineares e Matrizes

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Sistemas Lineares e Matrizes

Obs. Este texto ainda está em fase de reda¸cão. Por isso, pe¸co a gentileza de avisar-me sobre a ocorrência de erros conceituais, gráficos ou de digita¸cão. Além disso, cr´ıticas e sugestões serão bem vindas.

1 Introdu¸c˜ ao

Muitos problemas oriundos das diversas engenharias, das ciências humanas aplicadas e da própria matemática necessitam da resolu¸cão de sistemas lineares para serem analisa- dos ou solucionados. Em Álgebra linear, a resolu¸cão de sistema lineares é um problema fundamental. Embora estejam dispon´ıveis métodos computacionais eficientes, que en- contram a solu¸cão numérica de sistemas lineares com milhares de equa¸cões e incógnitas, um estudo teórico do mesmo através da Álgebra Linear é importante por possibilitar a aprendizagem de conceitos e ferramentas necessários à resolu¸cão de outros problemas da vida real. Nas próximas se¸cões serão apresentados alguns problemas práticos cuja solu¸cão depende de sistemas de equa¸cões lineares.

Um exemplo de aplica¸cão dos sistemas lineares é o cálculo dos coeficientes do po- linômio interpolador de um determinado grau n. A interpola¸cão polinomial é uma importante ferramenta matemática comumente utilizada em cálculos de estimativas de- mográficas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´ıstica (IBGE) e por outras ins- titui¸cões. A técnica permite calcular a estimativa populacional de uma determinada cidade, por exemplo, em anos que não foram cobertos por censos. Para exemplificar essa técnica, considere a Tabela 1 com a popula¸cão do mun´ıcipio de Petrolina em vários anos.

Tabela 1: Popula¸c˜ao de Petrolina (IBGE) Ano Popula¸c˜ao

1991 175406 1996 189983 2000 218538 2007 268339 2010 293962

Observe que a tabela não apresenta a popula¸cão referente ao ano de 2005. De fato, o IBGE realiza censo a cada 10 anos e, portanto, a popula¸cão em anos intermediários de-

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vem ser estimadas por meio de algum método adequado. Nesse sentido, tem-se duas questões importantes sobre estimativas populacionais. A primeira é: como pode-se estimar a popula¸cão em um determinao ano localizado entre dois censos realizados?

Por várias razões, conhecer uma estimativa dessa popula¸cão é importante para diversos

´

orgãos públicos de planejamento. A segunda, e mais interessante, questão é: como realizar uma estimativa da popula¸cão em uma data futura, por exemplo, a popula¸cão do munic´ıpio no ano de 2018? A primeira questão pode ser resolvida, com certa precisão, por meio da interpola¸cão polinomial, enquanto que a segunda necessita de um método mais sofisticado, como por exemplo, o método dos quadrados m´ınimos.

Agora, considere calcular uma estimativa para a popula¸cão de Petrolina no ano de 2005 por meio de um polinômio interpolador grau 2. Isto é, um polinômio do tipo

p(x) =a0+a1x+a2x². (1) Como deseja-se calcular uma estimativa para o ano de 2005, escolhem-se, na Tabela 1, três pares de dados referentes aos anos mais próximos de 2005. Por exemplo, os pares (2000, 218538), (2007, 268339) e (2010, 293962). Dessa forma, o polinômio interpolador p(x) deve satisfazer as seguintes condi¸cões:

p(2000) = 218538, p(2007) = 26833 e p(2010) = 293962.

Substituindo esses dados em (1), obtêm-se as três seguintes equa¸cões lineares:

a₀+a₁·2000 +a₂·2000² = 218538 a0+a1·2007 +a2·2007² = 268339 a0+a1·2010 +a2·2010² = 293962

(2)

sendoa₀,a₁ ea₂ as suas incógnitas. Um conjunto de equa¸cões lineares como o representado em (2) é chamado desistema linear. Uma solu¸cão para tal sistema linear é um tripla ordenada de números reais (a0, a1, a2) que é solucão das três equa¸cões simultaneamente. Estes e outros conceitos relacionados a sistemas lineares serão apresentados ao longo desse texto. Com rela¸cão ao problema da interpola¸cão polinomial, que uma vez calculados os valores de (a0, a1 e a2) tem-se determinado esse polinômio. O resultado numérico do sistema linear (2) encontra-se resolvido na última sessão desse texto.

2 Sistemas Lineares - Primeiros Exemplos

São muitos os problemas reais ou não que necessitam de sistemas lineares para serem resolvidos. A seguir serão apresentados três problemas, certamente você já resolveu algum parecido, que ilustram bem esse fato.

1. Problema 1. Quais são os dois números cuja soma é igual a 10 e a soma de um com o dobro do outro é igual a 16?

(3)

Resolu¸cão. Chamando um número de x e o outro de y, o problema pode ser representado por meio das seguintes equa¸cões

x + y = 10

x + 2y = 16.

Subtraindo, membro a membro, a primeida equa¸cão da segunda equa¸cão, obtem- sey = 6. Substituindo esse valor na primeira equa¸cão, obtem-sex = 4. Logo, os números procurados são 4 e 6.

2. Problema 2. Em um s´ıtio há galinhas e bodes. No total existem 10 cabe¸cas e 32 patas. Quantas são as galinhas e quantos são os bodes existentes no s´ıtio?

Resolu¸cão. Denotando o número de galinhas por x e o número de bodes por y, o problema pode ser representado por meio das seguintes equa¸cões

x + y = 10 2x + 4y = 32.

Para resolver o sistema linear resultante, podemos multiplicar a primeira equa¸c˜ao por−2 e somar com a segunda equa¸c˜ao, dessa forma obtem-se:

-2x - 2y = -20

2x + 4y = 32

0 + 2y = 12.

Isto é, 2y = 12, donde vem que y = 6. Substituindo o valor de y na primeira equa¸cão (poderia ser na segunda também) obtem-se x = 4. Logo, a solu¸cão do sistema é x= 4 ey = 6. Portanto, no s´ıtio há 4 galinhas e 6 bodes.

Observe que os sistemas lineares oriundos do primeiro e do segundo problema, apesar de serem diferentes, apresentaram a mesma solu¸c˜ao: x= 4 ey= 6. Quando isso acontece, diz-se que os sistemas s˜ao sistemas equivalentes.

3. Problema 3. Um grupo de estudantes planejam comprar um presente para o seu professor de matemática: se cada estudante contribuir com 8 reais, sobrarão 3 reais. Por outro lado, se cada estudante pagar 7 reais, faltarão 4 reais. Quantos estudantes são e qual é o pre¸co do presente?

8x = y+3 7x = 3y-4

Resolu¸c˜ao. Tente vocˆe mesmo resolver esse sistema linear.

Os problemas 1, 2 e 3 apresentados anterioremente, são sem dúvida alguma, problemas bem interessantes, mas pouco relevantes do ponto de vista prático (atual). No entanto, técnicas análogas as utilizadas para resolver esses sistemas lineares, podem ser

(4)

empregadas para resolver sistemas lineares maiores, isto é, sistemas com um número maior de equa¸cões e envolvendo mais incógnitas. Em cursos como os da área de enge- nharia você irá encontrar problemas mais desafiadores, cuja solu¸cão requer o tratamento de sistemas lineares. Por isso, o estudo formal e aprofundado da teoria matemática e das técnicas de resolu¸cão de sistemas lineares é muito relevante nessa área. Tal estudo será feito nas se¸cões seguintes.

3 Sistemas Lineares - Conceitos B´ asicos

Umsistema linearcommequa¸cões enincógnitas é um conjunto de equa¸cões do tipo:











a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + . . . + a_1nx_n = b₁ a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

. . .

a_m1x₁ + a_m2x₂ + . . . + a_mnx_n = b_m

, (3)

sendo aij números reais, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Observe que em cada equa¸cão i = 1,2, ..., m, cada incógnita xi é multiplicada apenas por um número real constante a_ij. Isto é, não aparecem expressões do tipox₁x₂ ou x²₃. Essa é a essencia das equa¸cões lineares.

Uma solu¸cão do sistema linear (3) é uma n-upla (x1, x2, ..., xn) de números reais que satisfaz simultaneamente as suas mequa¸cões.

Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes se, e somente se, toda solu¸cão de qualquer um dos sistemas também é solu¸cão do outro. Equivalentemente, pode-se dizer que dois sistemas lineares são equivalentes se um pode ser obtido do outro através das seguintes opera¸cões, chamadas deopera¸cões elementares, sobre as suas equa¸cões:

1. Troca de duas equa¸c˜oes de lugar;

2. Multiplica¸cão uma equa¸cão por um número diferente de zero;

3. Substitui¸cão de uma equa¸cão pela soma de duas (ou mais) equa¸cões.

Exemplo 1. Os sistemas lineares (b) e (c) seguintes foram obtidos do sistema (a) realizando-se opera¸cões elementares em suas linhas. Logo, esses três sistemas são equivalentes.

(a)







1x₁ + 12x₂ + 3x₃ = 8 2x1 + 4x2 + 16x3 = 14 3x₁ + 16x₂ + 9x₃ = 5

(5)

(b)







1x₁ + 12x₂ + 3x₃ = 8 1x₂ + −1

2 x₃ = −1 10

1x3 = 2

(c)







1x1 = 3

1x₂ = -2

1x₃ = 2

Os sistemas lineares (a), (b) e (c) s˜ao sistemas equivalentes. No entanto, observe que o sistemas (b) e (c) s˜ao mais simples de resolver do que o sistema (a).

E comum classificarmos um sistema linear quanto a existˆ´ encia e n´umero de solu¸c˜oes.

Dizemos que um sistema é imposs´ıvel quando não possui solu¸cão;poss´ıvel e determinado quando possui uma única solu¸cão; e poss´ıvel e indeterminado quando possui infinitas solu¸cões.

4 Forma Matricial de Um Sistema Linear

Um sistema linear também pode ser representado por meio de matrizes. Isso é poss´ıvel, devido ao modo como o produto entre duas matrizes está definido. Usando a nota¸cão de matrizes, o sistema linear (3) pode ser escrito da seguinte forma:







a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a21 a22 . . . a2n

. .

am1 am2 . . . amn











 x₁ x2

. . . xn







=





 b₁ b2

. . . bn







. (4)

A matriz A =







a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a21 a22 . . . a2n

. .

a_m1 a_m2 . . . a_mn







, chamada de matriz dos coeficientes; a

matrizX =





 x₁ x2

.. x._n







´e chamada dematriz das inc´ognitas; e a matrizB =





 b₁ b2

.. b.n







´ e a matriz dostermos independentes.

De forma simplificada, o sistema linear (4) pode ser representado por AX =B.

(6)

E comum usarmos tamb´´ em a nota¸c˜ao Ax=b para nos referirmos ao sistema linear na forma matricial.

Chamamos de matriz ampliadaoumatriz aumentadado sistema linear a matriz obtida quando juntamos em uma ´unica matriz a matriz dos coeficientes A e a matriz dos termos independentesB, do seguinte modo:

[A|B] =







a₁₁ a₁₂ . . . a_1n | b₁ a₂₁ a₂₂ . . . a_2n | b₂

. . . | .

. . | .

am1 am2 . . . amn | bn







(5)

Note que a matriz ampliada possui uma coluna a mais do que a matriz dos coeficientes, justamente a coluna formada pelos termos independentes do sistema linear.

Exemplo 2. Para o sistema linear (a) apresentado anteriormente, temos: a matriz dos coeficientes A =





1 12 3 2 4 16 3 16 9



, a matriz dos termos independentes B =



 8 14

5



 e a

matriz ampliada





1 12 3 8

2 4 16 14

3 16 9 5



.

Exemplo 3. A forma matricial do sistema linear (2) apresentado na introdu¸c˜ao desse cap´ıtulo ´e :





1 2000 2000² 1 2007 2007² 1 2010 2010²







 a0

a1

a₂



=





218538 268339 293962



.

5 Resolu¸c˜ ao de Sistemas Lineares por Escalonamento

5.1 Opera¸c˜oes Elementares sobre as linhas matrizes

Em muitas situa¸cões é interessante transformar uma dada matrizAem outra matriz Ã, que seja, de alguma forma mais simples, mas ainda preservando propriedades importantes da matriz A. No contexto da resolu¸cão de sistemas lineares, essas transforma¸cões consistem em transformar uma matrizA qualquer em uma ou mais matrizes que sejam triangulares. Tais transforma¸cões podem ser feitas, por exemplo, efetuando nas linhas da matriz A opera¸cões similares as opera¸cões elementares realizadas nas equa¸cões de sistemas lineares para transformar um sistema linear em outro equivalente.

Seja A uma matriz de ordem m×n. Definimos as opera¸c˜oes elementares nas linhas de A do seguinte modo:

(7)

1. Troca das linhas Li e Lk,

Li ←→L_k

2. Multiplica¸c˜ao de uma linha Li por um n´umero real cdiferente de zero, L_i→cL_i

3. Substitui¸c˜ao de uma linhaLi pela soma desta com um m´ultiplo de uma outra linha L_k.

Li →Li+cLk

Sejam A e B matrizes de ordem m×n. A matriz A é dita ser equivalente por linhas à matrizB, se B pode ser obtida de A pela aplica¸cão sucessiva de um número finito de opera¸cões elementares sobre linhas.

Observamos que a equivalência de matrizes por linhas corresponde à no¸cão de equi- valência de sistemas lineares quando se efetuam as respectivas opera¸cões sobre as suas equa¸cões. Além disso, temos o seguinte resultado: Aé equivalente por linhas a B se, e somente se, B é equivalente por linhas a A.

A seguir apresentamos o enunciado de um teorema fundamental no cálculo da solu¸cão do sistema linear AX = B. A demonstra¸cão do mesmo pode ser obtida em livros de Algebra Linear ou An´´ alise matricial.

Teorema. Sejam os sistemas lineares AX =B e ÃX = ˜B tais que as matrizes au- mentadas [A|B] e [ Ã|B˜] são matrizes equivalentes por linhas. Então os sistemas lineares AX =B e ÃX = ˜B têm a mesma solu¸cão.

5.2 Elimina¸c˜ao Gaussiana

O método da Elimina¸cão Gaussiana ou Método de Gauss é um dos métodos mais utilizados para resolver sistemas lineares. A ideia do método é usar opera¸cões elementares sobre as linhas da matriz ampliada [A|B], do sistema linear AX = B, de modo a obter uma matriz equivalente [ Ã|B], por´˜ em com a caracter´ıstica de que o sistema linear AX˜ = ˜B é mais simples de resolver do que o sistema original. No caso em que o sistema linear tem número de equa¸cões igual ao número de incógnitasl, a matriz Ã em [ Ã|B] se˜ reduz à uma matriz triangular superior.

Uma matriz A = [a_ij]m×n est´a na forma escalonada reduzida se possui as propriedades:

(i) Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas n˜ao nulas;

(ii) O primeiro elemento não nulo de uma linha, chamado de pivô, é igual a 1;

(8)

(iii) O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior;

(iv) Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos são iguais a zero.

Exemplos. Apenas as matrizesA eE, abaixo, est˜ao na forma escalonada reduzida.

A=





0 1 2 0 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0



B =





1 0 0 0

0 1 −2 0

0 0 1 0



C=





0 3 1

1 0 −1

0 0 0





D=





1 3 7 2 0 2 5 1 0 0 0 3



E =





1 0 0 3 0 1 0 4 0 0 1 5





Note que a matrizB n˜ao possui a propriedade (iv) e as matrizesC eDn˜ao possuem a propriedade (i).

Se uma matriz satisfaz as propriedades (i) e (iii), mas não necessariamente (ii) e (iv), dizemos simplesmente que ela está na forma escalonada. As matrizes B e D do exemplo anterior estão na forma escalonada. Dessa maneira, na forma escalonada, o pivô, em cada linha não nula, não precisa ser necessariamente o número real 1. Além disso, para a matriz escalonada, o item (iv) pode ser reescrito do seguinte modo: se uma coluna possui um pivô, então todos os elementos dessa coluna que estão abaixo do pivô são iguais a zero.

E poss´ıvel provar que toda matriz ´´ e equivalente por linha a uma única matriz na forma escalonada reduzida. Prova-se também que toda matriz é equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada. O método conhecido como método de Gauss- Jordan usa opera¸cões elementares para transformar a matriz aumentada do sistema AX =B em um matriz na forma escalonada reduzida. Já o método que apresentaremos aqui, método de Gauss, transforma a matriz aumentada do sistema em uma matriz na forma escalonada. Este método é também chamado de método da Elimina¸cão Gaussiana.

5.3 M´etodo de Gauss

O método de Gauss consiste no uso de opera¸cões elementares sobre as linhas da matriz ampliada do sistema linear com o intuito de obter a forma escalonada da mesma . Em seguida, resolsve o sistema triangular obtido por meio de substitui¸cões retroativas, isto

´e, de tr´as para frente.

Vamos apresentar o método de Gauss através da resolu¸cão de alguns sistemas lineares.

(9)

1. Resolver o sistema linear







x+ 4y+ 7z= 2 2x+ 3y+ 6z= 2 5x+ 5y−z= 8

. Resolu¸c˜ao.

Primeiro escrevemos a matriz aumentada do sistema:





1 4 7 | 2

2 3 6 | 2

5 5 −1 | 8



.

Em seguida, come¸camos o escalonamento da matriz aumentada. Na primeira etapa devemos come¸car escolhendo o pivô na primeira linha. Como, neste caso, o primeiro elemento da primeira linha é não nulo, pois e igual a 1, ele será escolhido como pivô e não há necessidade de efetuar trocas de linhas.

Lembramos que nessa etapa, o objetivo é zerar os elementos que estão na primeira coluna e abaixo do pivô. Dessa forma, as opera¸cões elementares a serem efetuadas nas linhas da matriz devem ser cuidadosamente escolhidas para chegar a esse fim.

Nesse caso, faremos a opera¸c˜ao

L₂→ −2L₁+L₂ para zerar o elemento da segunda liinha; e

L3→ −3L₁+L3

para zerar o elemento da terceira linha. Em palavras, o que iremos fazer ´e substituir a segunda linha pelo resultado da soma da segunda linha mais a primeira linha multiplicada por -2; e a terceira linha ser´a substituida pelo resultado da soma da terceira linha com a primeira linha multiplicada por -3. Ao final dessa primeira etapa obtemos a seguinte matriz:





1 4 7 | 2

0 −5 −8 | −2

0 −15 −36 | −2



.

Agora, na segunda etapa do processo de escalonamento, o pivô deve ser escolhido na segunda linha. Será o primeiro elemento não nulo dess linha. Se necessário efetuamos troca de linhas. Mas, nesse caso, não será necessário. O pivô é o elemento−5, e como o objetivo nessa etapa é zerar o elemento da segunda coluna que está abaixo do pivô, a opera¸cão elementar escolhida será:

L₃ → −3L₂+L₃. Assim, ap´os esse processo, obtemos a seguinte matriz:





1 4 7 | 2

0 −5 −8 | −2

0 0 −12 | 4



.

(10)

Como não há mais linhas abaixo da terceira linha, o processo termina e a matriz obtida é a matriz aumentada do sistema em sua forma escalonada.

Agora, reescrevemos o sistema utilizando a matriz escalonada







x+ 4y+ 7z= 2

−5y−8z=−2

−12z= 4

e o resolvemos por substitui¸cões retroativas, isto é, efetuando as substitui¸cões de baixo para cima. Note que z pode ser facilmente calculado da terceira equa¸cão, de onde obtemos z =−1

3. Substituindo esse valor na terceira equa¸c˜ao, obtemos y= 14

15. Finalmente, substituindo os valores deyezna primeira equa¸c˜ao, obtemos x= 3

5. Portanto, a solu¸c˜ao do sistema dado ´e tripla ordenada (3 5,14

15,−1 3).







x+ 2y+z= 1 4x+ 3y+ 5z= 5 3x+y+ 4z= 4

. Resolu¸c˜ao.

Primeiro escrevemos a matriz aumentada do sistema





1 2 1 | 1 4 3 5 | 5 3 1 4 | 4



.

Como nessa primeira etapa, o objetivo é zerar os elementos que estão na primeira coluna e abaixo do pivô, as opera¸cões elementares a serem efetuadas nas linhas da matriz devem ser

L₂→ −4L₁+L₂ para zerar o elemento da segunda linha; e

L3→ −3L₁+L3

para zerar o elemento da terceira linha. Ao final dessa primeira etapa obtemos a seguinte matriz:





1 2 1 | 1

0 −5 1 | 1 0 −5 1 | 1



.

Agora, na segunda etapa do processo de escalonamento, o pivô deve ser escolhido na segunda linha. O objetivo nessa etapa é zerar o elemento da segunda coluna que está abaixo do pivô. Sendo assim, a opera¸cão elementar escolhida será:

L₃ → −1L₂+L₃.

(11)

Assim, ap´os esse processo, obtemos a seguinte matriz:





1 2 1 | 1

0 −5 1 | 1

0 0 0 | 0



.

Como não há mais linhas abaixo da terceira linha, o processo termina e a matriz assim obtida é a matriz aumentada do sistema em sua forma escalonada.

Agora, reescrevemos o sistema utilizando a matriz escalonada x+ 2y+z= 1

−5y+z= 1 e o resolvemos por substitui¸c˜oes retroativas.

Note que ficamos com menos equa¸cões do que incógnitas. Isso aconteceu pelo fato de que todos os elementos da última linha da matriz escalonada serem iguais a zero. Note que neste caso o sistema terá infinitas solu¸cões. Para encontrar a forma geral dessas solu¸cões, procedemos do seguinte modo: isolamos uma variável na segunda equa¸cão, por exemplo,

z= 1 + 5y;

e a substituimos na primeira equa¸c˜ao, de onde obtemos x+ 2y+ 1 + 5y= 1⇒x=−7y.

Neste caso,y é uma variável livre. Portanto, a solu¸cão do sistema é {(−7y, y,1 + 5y);y∈R}.

Se quisermos uma solu¸cão particular desse sistema, basta atribuir um valor real qualquer para a variável y. Por exemplo, se y = 1 obtemos a solu¸cão particular (−7,1,6).







x+ 3y+ 13z= 9 y+ 5z= 2

−2y−10z=−8 . Resolu¸c˜ao.

Primeiro escrevemos a matriz aumentada do sistema





1 3 13 | 9

0 1 5 | 2

0 −2 −10 | −8



.

Observe que todos os elementos da primeira coluna que est˜ao abaixo da diagonal s˜ao nulos. Logo, podemos pular a primeira etapa. Para realizarmos a segunda

(12)

etapa do processo de escalonamento, escolhemos o pivˆo 1 e a seguinte a opera¸c˜ao elementar:

L₃ → −2L₂+L₃. Assim, ap´os esse processo, obtemos a seguinte matriz:





1 3 13 | 9

0 1 5 | 2

0 0 0 | −4



.

Como não há mais linhas abaixo da terceira linha, o processo termina e a matriz obtida é a matriz aumentada do sistema em sua forma escalonada.

Agora, reescrevemos o sistema utilizando a matriz escalonada







x+ 3y+ 13z= 9 y+ 5z= 2 0z=−4

.

Da terceira equa¸cão podemos concluir que o sistema é imposs´ıvel, pois não existe z∈Rtal que 0z=−4.

Até agora resolvemos sistemas lineares nos quais não precisamos efetuar troca de linhas das matrizes e t´ınhamos a sorte do pivô encontrado ser sempre igual a 1.

Os dois pr´oximos exemplos s˜ao mais completo nesse sentido.

2x+ 5y= 1 3x+ 2y= 2 . Resolu¸c˜ao.

Primeiro escrevemos a matriz aumentada do sistema 2 5 | 1

3 2 | 2

.

Nesse caso, como o pivˆo na primeira linhar ´e diferente de 1, podemos multiplicar a primeira linha por 1

2 , para facilitar os c´alculos. Dessa maneira, podemos iniciar o escalonamento com a opera¸c˜ao

L₁ → 1 2L₁. Assim, obtemos a matriz

1 5/2 | 1/2

3 2 | 2

.

(13)

Agora para zerar o elemento da primeira coluna que está abaixo do pivô 1, realizamos a opera¸cão

L₂ → −3L₁+L₂. Assim, obtemos a matriz escalonada

1 5/2 | 1/2 0 −11/2 | 1/2

,

e podemos reescrever o sistema da seguinte forma:





 x+5

2y= 1 2

−11 2 y= 1

2.

Da´ı resolvemos o mesmo fazendo as substitui¸cões retroativas. Isto é, da segunda equa¸cão obtemos y=− 1

11, que subtistuindo na primeira nos d´ax= 8 11.

5. Resolva o sistema linear











x₃+ 3x₄ = 4 x1−x2+x4 = 1

−x₃−3x₄ =−4

−x₁+x₂−x₄ =−1 .

Resolu¸c˜ao.

Escrevendo a matriz aumentada do sistema , obtemos:







0 0 1 3 | 4

1 −1 0 1 | 1

0 0 −2 −6 | −8

−1 1 0 −1 | −1





 .

Nesse caso, come¸camos efetuando uma troca de linhas para obtermos pivˆo 1 na primeira linha. Isso pode ser feito atrav´es da troca da segunda linha com a primeira.

Isto ´e, realizamos a opera¸c˜ao

L₁ ↔L₂ e obtemos a seguinte matriz:







1 −1 0 1 | 1

0 0 1 3 | 4

0 0 −2 −6 | −8

−1 1 0 −1 | −1





 .

Agora para zerar o elemento da primeira coluna que está abaixo do pivô 1( na quarta linha), realizamos a opera¸cão

L₄→L₁+L₄.

(14)

Assim, obtemos a matriz :







1 −1 0 1 | 1

0 0 1 3 | 4

0 0 −2 −6 | −8

0 0 0 0 | 0





 .

Agora, note que o pivô da segunda linha é o elemento 1 que está na terceira coluna.

Com a opera¸c˜ao elementar

L₃ →2L₂+L₃

zeramos o único elemento não nulo elemento da terceira coluna que está abaixo do pivô. Depois de realizada a opera¸cão, obtemos a matriz







1 −1 0 1 | 1

0 0 1 3 | 4

0 0 0 0 | 0







e o processo de escalonamento termina.

Agora, reescrevendo o sistema com a matriz escalonada obtemos:

x₁−x₂+x₄ = 1 x₃+ 3x₄= 4 .

Note que o sistema tem quatro incógnitas mas apenas duas equa¸cões, logo trata-se de um sistema indeterminado. Além disso, note que a matriz escalonada apresenta duas linhas nulas, logo o sistema possui duas variáveis livres.

Na segunda equa¸c˜ao isolamos uma das vari´aveis, por exemplo, podemos fazer x₃ = 4−3x₄.

Na primeira equa¸cão, isolamos a variável x4 obtendo x4 = 1−x1+x2. Substituindox4 na equa¸cão anterior, obtemos

x₃ = 3 +x₁−x₂.

Portanto, o conjunto de solu¸c˜oes do sistema linear ´e dado por {(x₁, x2,3 +x1−x2,1−x1+x2);x1, x2, x3, x4 ∈R}.

(15)

6 Sistema Linear Homogˆ eneo

O sistema linear é chamado desistema homogêneose é da forma











a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + . . . + a_1nx_n = 0 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0 .

. .

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0

, (6)

Na forma matricial temos

AX = 0

onde 0 indica a matriz nula de m linhas e 1 coluna. Um sistema linear homogêmo é sempre poss´ıvel, pois admite a solu¸cãoX = 0, que é chamada de solu¸cão trivial.

Exerc´ıcio. Mostre que seX₁eX₂são solu¸cões distintas do sistema linear homogêneo AX =B, então X1+X2 e αX1 ( α∈R) também são solu¸cões.

7 Aplica¸c˜ oes

7.1 Circuitos El´etricos

Qual a intensidade I₁,I₂ e I₃ das correntes que percorrem o circuito el´etrico mostrado

abaixo?

I₂ =I₁+I₃ (7)

I₁+I₃=I₂ 2·I1+ 1·I2+ 2·I1= 8 1·I2+ 4·I3= 16

(16)

I2 =I1+I3 (8) I₁+I₃=I₂

2·I₁+ 1·I₂+ 2·I₁= 8 1·I₂+ 4·I₃= 16

Organizando as equa¸c˜oes, obtemos o seguinte sistema linear:







I1−I2+I3 = 0 4I₁+I₂ = 8 I₂+ 4I₃ = 16

8 Posto e Nulidade

Defini¸cão. SejaA uma matriz de ordemm×ne Ãa sua forma escalonada. Definimos opostop da matrizA como o número de linhas não nulas de Ã. A nulidadede Aé o númeron−p.

Dado o sistema linearAX =B, ondeAtem ordemm×n, sejapAo posto da matriz dos coeficientes Ae p_AB o posto da matriz aumentada [A|B].

1. Se p_A=p_AB =n, então o sistema possui solu¸cão única;

2. Se p_A=p_AB < n, ent˜ao o sistema admite infinitas solu¸c˜oes;

3. Se pA6=pAB, então o sistema não possui solu¸cão.

Exemplos. Observe os escalonamentos realizados nas matrizes dos coeficientes dos sistemas lineares utilizados anteriormente nos exemplos 1, 2 3 e 4. No Exemplo 1, temos pA=pAB = 3 . Neste caso, o sistema linear possui única solu¸cão; no Exemplo 2, temos p_A = p_AB = 2, mas a dimensão do sistema linear é 3. Logo o sistema possui infinitas solu¸cões (1 variável livre); Já no Exemplo 3, o postopAda matriz dos coeficientes é igual a 2, enquando o postoPAB da matriz ampliada é igual a 3. Logo,pA6=pAB e o sistema não tem solu¸cão; No Exemplo 4, temos p_A = p_AB = 2 (o sistema linear possui única solu¸cão); Por fim, no Exemplo 5, o sistema linear possui dimensão 4, masp_A=p_AB = 2.

Logo o sistema linear possui infinitas solu¸c˜oes. Note que o sistema possui duas vari´aveis livres.

9 A Matriz Inversa

Matriz Inversa. Dada uma matriz quadrada A de ordemn, chamamos de inversa de A a matriz quadradaX de ordem ntal que

AX =XA=I.

(17)

E comum usarmos a nota¸c˜´ aoX=A⁻¹. Logo, se a matrizApossui uma inversaA⁻¹, ent˜ao

AA⁻¹ =A⁻¹A=I.

Usando a matriz inversa na resolu¸cão de sistemas lineares. Dado o sistema linear AX = B, se soubermos que a matriz A é invert´ıvel e soubermos como calcular sua inversa, então a solu¸cão do sistema é dada porX =A⁻¹B. Pois

AX =B ⇒A⁻¹AX =A⁻¹b⇒IX =A⁻¹B ⇒X=A⁻¹B.

Na prática esta não é uma boa estratégia para calcular a solu¸cão do sistema linear. De fato, o cálculo da matriz inversa, em geral, é muito trabalhoso.

A seguir enunciaremos alguns teoremas relacionados com a matriz inversa.

Teorema. Uma matriz quadrada de ordem né invert´ıvel se, e somente se, ela tem posto n. Uma matriz invert´ıvel é também chamada de não-singular.

Procedimento pr´atico para o c´alculo da Matriz Inversa.

Teorema. Uma matriz quadrada A de ordem n é invert´ıvel se, e somente se, a matrizI_n é equivalente por linhas à matrizA. Isto é, seI_n pode ser obtida deA através de opera¸cões elementares sobre as linhasA. Nesse caso, a mesma sequência de opera¸cões elementares transformam In em A⁻¹.

Este Teorema nos fornece o seguinte procedimento para calcular a matriz inversa de uma matriz quadradaA de ordem npor meio dos seguintes passos:

1. Escrevemos a matriz

M = [A|I_n], ondeI_n ´e a matriz identidade de ordem n.

2. Efetuamos opera¸cões elementares sobre as linhas da matrizM até transformarmos a matriz A na matriz indentidade I_n (note que esse procedimento implicará em transforma¸cões na matriz In à direita da matrizA).

3. Ao final do processo a matrizM ter´a sido transformada em uma matriz ˜M do tipo M˜ = [I_n|X]

4. A matrizX ´e a matriz inversa da matriz A. Isto ´e,X =A⁻¹.

Exemplo. Considere calcular a inversa da matrizA= 2 3

1 4

. Resolu¸c˜ao.

(18)

1. Primeiro escrevemos a matriz:

2 3 | 1 0 1 4 | 0 1

;

2. Efetuamos opera¸c˜oes elementares sobre as linhas dessa matriz (escalonamento);

3. Ao final do processo obtemos a forma escada equivalente:

1 0 | 4/5 −3/5 0 1 | −1/5 2/5

.

4. A matriz inversa de A ´e a matriz

4/5 −3/5

−1/5 2/5

.

9.1 Propriedades da Matriz Inversa

Sejam A eB matrizes invert´ıveis de ordem n. Ent˜ao, valem as seguintes propriedades:

1. AB ´e invert´ıvel e (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹. 2. A⁻¹ ´e invert´ıvel e(A⁻¹)⁻¹ =A.

10 Determinantes

O determinante é uma fun¸cão matricial que associa a cada matriz quadrada A um escalar. Em geral, o determinante da matriz A é representado por det(A) e, uma vez estando dispon´ıvel, podemos usá-lo para detectar a existência de solu¸cões do sistema linearAx=bou a existência da matriz inversa deA.

Neste texto iremos apresentar um defini¸c˜ao indutiva para o determinante de uma matriz quadradaA de ordem n, fazendo uma indu¸c˜ao sobren≥1.

Se n= 1, ent˜ao a matriz Apossui apenas o elementoa11. Neste caso, det(A) =a₁₁.

Vamos supor agora que n > 1 e que det(A) esteja definido para todas as matrizes de ordemr tal que 1 ≤r ≤n−1. Isto ´e, podemos calcular o determinante de todas as matrizes quadradas de ordem at´en−1.

Agora sejaA uma matriz quadrada de ordemn. Para cada par (i, j) defina a matriz A_ij formada a partir da matriz A retirando sua i-ésima linha e j-ésima coluna. A matriz assim formada é chamada de menor complementar da matriz A em rela¸cão ao elemento A_ij. Note que dessa forma, A_ij é uma matriz de ordem n−1, e portanto, o seu determinantedet(A_ij) já está definido.

Finalmente, o determinante da matrizA ´e definido como sendo det(A) =

n

X

j=1

(−1)^j+1a_1jdet(A_1j). (9)

(19)

Exemplo 1. Considere a matriz A=

a₁₁ a₁₂ a21 a22

. Pela defini¸c˜ao de menor complementar temosA11= [a22] e A12= [a21]. Dessa forma,

det(A) = (−1)¹⁺¹a₁₁det(A₁₁) + (−1)¹⁺²a₁₂det(A₁₂)

=a11a22−a12a21.

Portanto,det(A) =a₁₁a₂₂−a₁₂a₂₁. Esse resultado, pode ser reescrito como uma regra, comumente utilizada para o c´alculo do determinante de matrizes de ordem 2.

Regra para o cálculo do determinante de matrizes de ordem 2: O determinante de uma matrizAde ordem 2 é igual ao produto do elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

Exemplo 2. Considere a matrizA=





a11 a12 a13

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃



.

Pela defini¸c˜ao anterior, temosA₁₁=

a₂₂ a₂₃ a₃₂ a₃₃

,A₁₂=

a₂₁ a₂₃ a₃₁ a₃₃

eA₁₃=

a₂₁ a₂₂ a₃₁ a₃₂

. Agira usando a regra apresentada no Exemplo 1, obtemos:

det(A11) =a22a33−a23a32, det(A12) =a21a33−a23a31, det(A₁₃) =a₂₁a₃₂−a₂₂a₃₁.

Agora, substituindo na f´ormula da defini¸c˜ao, obtemos

det(A) = (−1)¹⁺¹a₁₁det(A₁₁) + (−1)¹⁺²a₁₂det(A₁₂) + (−1)¹⁺³a₁₃det(A₁₃)

=a₁₁det(A₁₁)−a₁₂det(A₁₂) +a₁₃det(A₁₃).

Substituindo os valores de det(A₁₁), det(A₁₂), det(A₁₃) e efetuando os cálculos ne- cessários, obtem-se o valor do det(A). Na prática, o determinante de uma matriz de ordem 3 é calculado usando uma regra conhecida comoRegra de Sarrus.

Na defini¸cão de determinantes apresentada aqui consideramos realizar uma soma utilizando os elementos da primeira linha e determinantes de matrizes menores. A nossa op¸cão pela primeira linha foi apenas por conveniência. Na verdade, esse é um caso particular de uma defini¸cão mais geral, onde essa soma pode ser realizada usando-se qualquer uma das linhas ou colunas da matriz A. Na prática, escolhemos a linha ou coluna que apresenta o maior número de elementos nulos. Essa escolha se justifica pelo fato de que a quantidade de zeros presentes na linha ou coluna, implica na mesma quantidade de parcelas nulas desta soma, reduzindo assim a quantidad de cálculos necessários para achar o determinante. Observa¸cão. Essa regra utilizada para calcular determinantes é conhecida como Regra de Laplace.

(20)

Exemplo 3. Calcule o determinante da matrizA=







2 1 −1 1

4 0 3 2

−1 3 1 0

1 0 1 1





 . Resolu¸c˜ao.

Fazendo o desenvolvimento pela linha 2 temos

det(A) = (−1)²⁺¹a21det(A21) + (−1)²⁺²a22det(A22) + (−1)²⁺³a23det(A23) + (−1)²⁺⁴a24det(A24)

=−2det(A₂₁) + 0det(A22)−3det(A23) + 2det(A24)

=−2det(A₂₁)−3det(A₂₃) + 2det(A₂₄).

Se em vez disso, us´assemos a coluna 2 ter´ıamos

det(A) = (−1)¹⁺²a12det(A12) + (−1)²⁺²a22det(A22) + (−1)³⁺²a32det(A32) + (−1)⁴⁺²a42det(A42)

= 1det(A₂₁) + 0det(A₂₂)−3det(A₂₃) + 0det(A₂₄)

=det(A₂₁)−3det(A₂₃).

Ou seja, neste caso, s´o ter´ıamos que calcular dois determinantes de ordem 3.

10.1 Propriedades dos Determinantes

Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n e k ∈ R. Ent˜ao, valem as seguintes propriedades:

1. det(AB) =det(A)det(B);

2. det(A) =det(B^T);

3. det(kA) = (det(A))^k.

4. Se a matrizA ´e invert´ıvel, ent˜aodet(A⁻¹) = (det(A))⁻¹.

5. SeA é uma matriz triangular, então odet(A) é igual ao produto da elementos da diagonal principal.

10.2 Aplica¸c˜oes do Determinante

1. Existˆencia da matriz inversa. Uma matriz quadradaAde ordemn´e invert´ıvel se, e somente,det(A)6= 0.

2. Existência de solu¸cão única para sistema linear. Seja A uma matriz quadrada de ordem n . O sistem linear Ax = b admite uma única solu¸cão se, e somente, det(A)6= 0.

3. Regra de Cramer. A regra de Cramer é uma conhecida regra para o cálculo da solu¸cão de um sistema linear por meio do cálculo de determinantes. Como, na prática, essa regra é pouco utilizada não a apresentaremos neste texto.

(21)

11 Exerc´ıcios Propostos

1. Dada o sistema







3x+ 5y = 1 2x+z= 3 5x+y−z= 0

(a) Escreva a matrizA dos coeficientes do sistema linear e calcule o seu determinante.

(b) Escreva a matriz ampliada do sistema e fa¸ca o escalonamento da mesma.

(c) Obtenha a solu¸c˜ao do sistema.

2. Determine k, para que o sistema







−4x₁ + 3x2 = 2

2x₁ + x₃ = 0

5x1 + x2 = k

, admita solu¸c˜ao.

Sugest˜ao. Fa¸ca o escalonamento da matriz ampliada do sistema e analise o posto das matrizes dos coeficientes e da matriz ampliada.

3. Explique porque a nulidade de uma matriz nunca ´e negativa.

4. Encontre os valores de k, tais que o sistema homogˆeneo







2x−5y+ 2z= 0 x+y+z= 0 2x+kz= 0 tenha uma solu¸c˜ao distinta da solu¸c˜ao trivialx=y=z= 0 .

5. Dado do sistema linear











x+y−w= 0 x−z+w= 2 y+z−w=−3 x+ 2y−2w= 1

.

Calcule o posto da matriz dos coefiencientes e da matriz ampliada do sistema.

Determine, se existir, a solu¸c˜ao do sistema.

6. Dado o sistema linear











2x₁+x₂+x₃+x₄ = 1 x1+ 2x2+x3+x4 = 2 x1+x2+ 2x3+x4 = 3 x₁+x₂+x₃+ 2x₄ = 4

.

(a) Escreva a matrizA dos coeficientes do sistema linear e calcule o seu determinante.

(b) Escreva a matriz ampliada do sistema e fa¸ca o escalonamento da mesma.

(c) Obtenha a solu¸c˜ao do sistema.

(22)

12 Recursos Computacionais para ´ Algebra Linear

12.1 O SoftwareScilab

OScilab é um software para computa¸cão cient´ıfica e visualiza¸cão, gratuito, com código fonte aberto e interface para as linguagens FORTRAN e C. Ele permite a solu¸cão de problemas numéricos em uma fra¸cão do tempo que seria necessário para escrever um programa em uma linguagem como FORTRAN, Pascal ou C, devido às suas centenas de fun¸cões matemáticas. Mais informa¸cões sobre o Scilab, bem como o link para download do mesmo, podem ser obtidas no site www.scilab.org.

12.2 C´alculo da solu¸c˜ao de Sistemas Linerares

A seguir apresentamos a resolu¸cão emScilabdos sistemas lineares apresentados no exemplos da se¸cão 5. NoScilab dado a matriz dos coeficientesA e o vetor do lado direitob, a solu¸cão do sistema linear Ax=bpode ser calculada através do comando x=A\b.







x+ 4y+ 7z= 2 2x+ 3y+ 6z= 2 5x+ 5y−z= 8

.

−−>A=[ 1 4 7; 2 3 6 ; 5 5 -1]

A = 1. 4. 7.

2. 3. 6.

5. 5. - 1.

−−>b= [ 2; 2; 8]

b = 2.

2.

8.

−−>x=A\b x =

0.6 0.9333333 - 0.3333333







x+ 2y+z= 1 4x+ 3y+ 5z= 5 3x+y+ 4z= 4

.

−−>A=[ 1 2 1; 4 3 5; 3 1 4]

A =

(23)

1. 2. 1.

4. 3. 5.

3. 1. 4.

−−>b=[1;5;4]

b = 1.

5.

4.

−−>x=A\b

Aviso: A matriz é quase singular ou possui má escala. rcond = 0.0000D+00 Computando a solu¸cão de m´ınimos quadrados (ver lsq).

x = 0.

- 1.526D-15 1.

Observa¸cão. Na resolu¸cão da equa¸cão Ax = b, o comando x=A\b do Scilab computa uma solu¸cão aproximada (solu¸cão de quadrado quadrado) com no máximo P_A, posto deA, componentes não nulas. Observe ainda que, neste exemplo, P_A= 2. A sigla lsq significaleast square, ou seja, quadrado m´ınimo.







x+ 3y+ 13z= 9 y+ 5z= 2

−2y−10z=−8 .

−−>A = [ 1 3 13; 0 1 5; 0 -2 -10]

A = 1. 3. 13.

0. 1. 5.

0. - 2. - 10.

−−>b=[ 9; 2; -8]

b = 9.

2.

- 8.

−−>x=A\b

Aviso: A matriz é quase singular ou possui má escala. rcond = 0.0000D+00 Computando a solu¸cão de m´ınimos quadrados (ver lsq).

x =

(24)

- 0.36 0.

0.72

12.3 C´alculo da Matriz Inversa

Dado a matriz quadrada A, o comando inv(A) calcula a inversa da matriz A. No caso da matriz não ser invert´ıvel, o programa retorna a informa¸cão de que o ”problema é singular”; além disso, devido a erros de aprxima¸cões, um aviso pode ser impresso na tela informando queA possui má escala ou é quase singular.

1. Calcular a inversa da matriz dos coeficientes do sistema linear do Exemplo 1 da Se¸c˜ao 5.

−−>A=[ 1 4 7; 2 3 6; 5 5 -1]

A = 1. 4. 7.

2. 3. 6.

5. 5. - 1.

−−>X=inv(A) X =

- 0.55 0.65 0.05

0.5333333 - 0.6 0.1333333 - 0.0833333 0.25 - 0.0833333

−−>Y=A*X Y =

1. 0. - 1.110D-16 0. 1. 0.

- 1.527D-16 0. 1.

Observa¸cão. Note que, por defini¸cão, sendo X a matriz inversa da matriz A, a matriz Y =AX deveria ser igual a matriz identidade I₃. Porém, note que os elementos x13 e x31 são diferentes de zero, contudo os mesmos são da ordem de 10⁻¹⁶. Ou seja, são números muito próximos de zero. Fatos como este ocorrem em cálculos numéricos realizados por computadores e por isso as implementa¸cões de algoritmos numéricos para resolver problemas matemáticos devem ser feitas cuidadosamente e de modo a minimizar esse tipo de erro.

2. Calcular a inversa da matriz dos coeficientes do sistema linear do Exemplo 2 da Se¸c˜ao 5. −−>A=[ 1 2 1; 4 3 5; 3 1 4]

A =

(25)

1. 2. 1.

4. 3. 5.

3. 1. 4.

−−>X=inv(A)

!–error 19

O problema ´e singular.

Observa¸cão. Neste caso, o programa retorna uma mensagem de erro e a informa¸cão de que o problema é singular. Isto significa que a matriz A não é invert´ıvel.

12.4 C´alculo do determinante

O determinante de uma matriz quadrada A pode ser calculado no Scilab por meio do comandodet(A). Observe o c´alculo dos determinantes das matrizes dos exemplos ante- riores:

−−>A=[ 1 4 7; 2 3 6; 5 5 -1]

A = 1. 4. 7.

2. 3. 6.

5. 5. - 1.

−−>det(A) ans = 60.

−−>B=[ 1 2 1; 4 3 5; 3 1 4]

B = 1. 2. 1.

4. 3. 5.

3. 1. 4.

−−>det(B) ans = 0.

−−>C=[1 3 13; 0 1 5; 0 -2 -10]

C = 1. 3. 13.

0. 1. 5.

0. - 2. - 10.

−−>det(C) ans = 0.

(26)

12.5 Resolu¸c˜ao do sistema linear da Introdu¸c˜ao

O problema proposto na Introdu¸c˜ao consistia em determinar o polinˆomio interpolador de grau 2

p(T) =a₀+a₁T+a₂T².

onde os coeficientes a₀, a₁ e a₂ são obtidos por meio do cálculo da solu¸cão do sistema linear:

a0+a1·2000 +a2·2000² = 218538 a0+a1·2007 +a2·2007² = 268339 a₀+a₁·2010 +a₂·2010² = 293962.

NoScilab a entrada dos dados e o c´alculo da solu¸c˜ao podem ser realizados da seguinte maneira:

−−> A= [1 2000 2000²; 1 2007 2007²; 1 2010 2010²] A =

1. 2000. 4000000.

1. 2007. 4028049.

1. 2010. 4040100.

−−>b=[ 218538; 268339; 293962]

b =

218538.

268339.

293962.

−−>x=A\b x =

5.586D+08 - 564512.74 142.65714

Dessa forma, o polinˆomio interpolador de grau 2 obtido ´e:

p(T) = 5.586D+ 08−564512.74T+ 142.65714T².

Uma estimativa para a popula¸c˜ao do munic´ıpio de Petrolina no ano de 2009 pode ser obtida calculando-se p(2009). Efetuando-se os c´alculos, obtemos p(2009) = 269677.61.

Da´ı, podemos estimar que a popula¸c˜ao em 2009 era de aproximadamente 269678 habi- tantes.