Modelos Dinâmicos Estocásticos de Equilíbrio Geral (DSGE) com Choques Heterocedásticos

(1)

Modelos Dinˆ

amicos Estoc´

asticos de

Equil´ıbrio Geral com Choques

Heteroced´

asticos

Tese de Doutorado

por

Cristian Andres Cruz Torres

DME - IM - UFRJ

2015

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Modelos Dinˆ

amicos Estoc´

asticos de

Equil´ıbrio Geral com Choques

Heteroced´

asticos

Cristian Andres Cruz Torres

Tese de Doutorado submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matemática - De-partamento de Métodos Estat´ısticos da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do grau de Doutor em Estat´ıstica.

Aprovada por:

Prof. Helio S. Migon, Ph.D., IM-UFRJ - Orientador.

Profa. Tha´ıs C. Fonseca, Ph.D., IM-UFRJ - Co-orientadora.

Prof. Dani Gamerman, Ph.D., IM-UFRJ.

Prof. Ralph dos Santos Silva, Ph.D., IM-UFRJ.

Prof. Hedibert Freitas Lopes, Ph.D., Insper.

Prof. Fl´avio Ziegelmann, Ph.D., PPGE-UFRGS.

Rio de Janeiro, RJ - Brasil 2015

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CIP - Catalogação na Publicação

Elaborado pelo Sistema de Geração Automática da UFRJ com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).

C955m

Cruz Torres, Cristian Andres

Modelos Dinâmicos Estocásticos de Equilíbrio Geral com Choques Heterocedásticos / Cristian Andres Cruz Torres. -- Rio de Janeiro, 2015. 121 f.

Orientador: Helio dos Santos Migon. Coorientadora: Thaís Fonseca.

Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Estatística, 2015.

1. Modelos DSGE. 2. Distribuição t-Student. 3. Volatilidade Estocástica. I. Migon, Helio dos Santos, orient. II. Fonseca, Thaís, coorient. III. Título.

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Agradecimentos

A Deus, pela vida, saúde e por iluminar meus caminhos. Aos meus pais Andres Cruz e Candida Torres, por serem minha fortaleza à distância, por seu apoio constante e por seus ensinamentos de vida. À minha irmã Melissa Cruz por me apoiar nesta travessia longe de casa.

Ao meu orientador Helio Migon por me ensinar, por responder às minhas perguntas e por me dirigir em todo o doutorado. À minha co-orientadora a professora Tha´ıs Fonseca por sempre disposta a tirar minhas dúvidas. Ao professor Ralph por me atender quando precisei de sua ajuda, assim como todos os outros professores do Programa de P´ os-gradua¸cão em Estat´ıstica da UFRJ por todo o conhecimento transmitido. Aos meus professores do mestrado do IMPA e aos meus professores da gradua¸cão em Matemática da UNAH por estabelecer todas as minhas bases de conhecimento.

A todos os companheiros de P´os-gradua¸c˜ao com os quais tive o prazer de conviver por estes anos, especialmente Pamela, Mariana, Aniel, William, Teresa, Kelly, Leonel, Jonathan, Larissa, Felipe e Carlos.

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Resumo

Modelos DSGE (Dynamic Stochastic General Equilibrium) são modelos frequente-mente usados em macroeconomia cujo objetivo é tentar explicar fenômenos econômicos agregados, como o crescimento econômico ou os ciclos econômicos. Estes modelos se caracterizam pelo fato de que o valor de suas variáveis presentes estão ligadas a seu valor futuro; além disso, essas variáveis incluem fontes de incerteza em sua formula¸cão. Estes modelos são altamente não lineares, o que dificulta encontrar sua solu¸cão anal´ıtica. Tra-dicionalmente, se recorre a métodos de log-lineariza¸cão para poder resolver estes modelos, onde pode ser demonstrado que o modelo pode ser reescrito como um modelo de espa¸co de estados.

Nesse contexto, se é assumida normalidade nos choques, o filtro de Kalman pode ser aplicado. Neste trabalho, exploraremos estes modelos log-linearizados quando relaxamos a hipótese de normalidade nos choques. Numa dire¸cão, introduzimos choques t-Student correlacionados e generalizamos a t-Student para poder incorporar diferentes graus de liberdade para diferentes componentes. Em outra dire¸cão, exploramos os DSGE impondo uma estrutura na variância dos choques, construindo um modelo normal com volatilidade estocástica e um modelo t-Student com volatilidade estocástica.

Neste trabalho, foi feito um estudo de simula¸cão e um exemplo simulado. Além disso, apresenta-se uma aplica¸cão de uma economia real para ambas abordagens, a compara¸cão dos modelos sendo feita por um critério de ajuste. Finalmente, são apresentadas as conclusões e os trabalhos futuros.

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Abstract

DSGE (Dynamic Stochastic General Equilibrium) models are very famous models. They are used in macroeconometrics with the goal of attempting to explain aggregated economic phenomena, such as economic growth or business cycles. These models are characterized by the fact that the values of their present variables are linked to its future values; also, in their formulation sources of uncertainty are included. Another feature of these models is that they are highly nonlinear, which makes it difficult to find a analytical solution. Traditionally, in order to solve these models, it is useful to use methods of log-linearization where it can be shown that the model can be written in state space.

If Gaussian shocks are assumed, the Kalman filter can be used. In this work, these log-linearized models will be explored when we relax the hypothesis of normality in these shocks. On the one hand, it is introduced correlated Student-t shocks and the Student-t distribution is generalized to be able to incorporate several degrees of freedom. On the other hand, the DSGE models are explored imposing a structure on the variance of the shocks, building a normal model with stochastic volatility and a Student-t model with stochastic volatility.

In this work, a simulation study and a simulated example are made, as well as an application of a real economy for both approaches. A comparison is established between models by a fit criterion. Finally, this work is finished with the conclusions and future works.

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Sum´

ario

1 Introdu¸cão 1 1.1 Revisão da literatura . . . 1 1.2 Organiza¸cão da tese . . . 5 2 Modelos DSGE 6 2.1 O problema do consumidor . . . 7

2.1.1 Vari´aveis de estado e de controle . . . 8

2.2 Equa¸c˜oes de equil´ıbrio . . . 10

2.2.1 Estado est´avel das vari´aveis . . . 11

2.3 Log-lineariza¸c˜ao . . . 12

2.4 M´etodos de solu¸c˜ao para um sistema log-linearizado . . . 14

2.4.1 M´etodo de Blanchard-Kahn . . . 15

2.4.2 M´etodo de Klein . . . 18

2.4.3 M´etodo dos coeficientes indeterminados . . . 19

2.5 Representa¸c˜ao em espa¸co de estado . . . 22

2.6 Estima¸c˜ao dos parˆametros do modelo . . . 23

2.7 Considera¸c˜oes finais . . . 25

3 DSGE com variância não estruturada 26 3.1 Modelo DSGE com distribui¸cão t-Student . . . 27

3.1.1 Modelo t-Student multivariado . . . 27

3.1.2 Modelo t-Student generalizado . . . 28

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3.2.1 Amostrando os parˆametros θ . . . 31

3.2.2 Amostrando os estados S1:n . . . 32

3.2.3 Amostrando as vari´aveis de mistura λ1:n . . . 32

3.2.4 Calculo da verossimilhan¸ca marginal . . . 33

3.3 Estudo de simula¸c˜ao . . . 36

3.3.1 Cenário 1: Amostras geradas do modelo t-Student multivariado . 38 3.3.2 Cenário 2: Amostras geradas do modelo t-Student generalizado . 41 3.4 Aplica¸cão . . . 44

3.4.1 A fam´ılia representativa . . . 44

3.4.2 A firma representativa . . . 45

3.4.3 As firmas intermedi´arias . . . 46

3.4.4 Equil´ıbrio sim´etrico . . . 47

3.4.5 Choques eficientes e ineficientes . . . 48

3.4.6 O sistema estacion´ario . . . 49

3.4.7 O estado est´avel . . . 51

3.4.8 O sistema linearizado . . . 51

3.4.9 Condi¸c˜oes de equil´ıbrio . . . 52

3.4.10 Especifica¸c˜ao das distribui¸c˜oes a priori . . . 54

3.4.11 Resultados . . . 55

3.5 Conclus˜oes . . . 65

4 DSGE com variˆancia estruturada 68 4.1 Modelo de volatilidade estoc´astica . . . 69

4.2 DSGE com estrutura de volatilidade estoc´astica . . . 72

4.2.1 DSGE-t-Student com volatilidade estoc´astica . . . 72

4.3 Estima¸c˜ao dos parˆametros . . . 73

4.3.1 Amostrando os parˆametros θ . . . 75

4.3.2 Amostrando os estados S1:n . . . 76

4.3.3 Amostrando as vari´aveis de mistura λ1:n . . . 76

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4.3.5 Calculo da verossimilhan¸ca marginal . . . 77

4.4 Exemplo . . . 79

4.4.1 Um modelo DSGE simples em espa¸co de estado . . . 80

4.5 Aplica¸c˜ao . . . 83

4.5.1 Resultados . . . 86

4.6 Conclus˜oes . . . 92

5 Conclus˜oes e trabalhos futuros 94 5.1 Trabalhos futuros . . . 95

A O problema do consumidor em detalhe 99 A.1 Estabelecendo a existência e outras propriedades básicas da solu¸cão . . . 100

A.2 Métodos de solu¸cão: Programa¸cão dinâmica . . . 102

A.2.1 M´etodos recursivos . . . 103

A.2.2 Equa¸c˜ao de Euler . . . 104

B M´etodo de Klein aplicado ao modelo de Ireland 107

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Lista de Figuras

3.1 Dados trimestrais do Crescimento do Produto, Infla¸cão e Taxa de Juros Nominal a curto prazo de U.S. no per´ıodo de 1980:I até 2003:I. . . 54 3.2 Distribui¸cão a priori e posteriori para os parâmetros estruturais estimados

com o modelo t-Student generalizado . . . 59 3.3 Histograma das distribui¸c˜oes a posteriori das correla¸c˜oes estimadas com o

modelo t-Student generalizado . . . 60 3.4 Compara¸c˜ao entre a verossimilhan¸ca e posteriori para alguns pares de

parâmetros do modelo de Ireland . . . 61 3.5 Médias a posteriori e intervalos de credibilidade do 95% das variáveis de

mistura λjt do modelo t-Student generalizado. . . 63 3.6 Fun¸c˜ao de resposta ao impulso para o modelo t-Student generalizado

(média e intervalo de credibilidade do 95%). Respostas do crescimento do produto, infla¸cão e taxa de juros aos impulso de choques nas preferências, custos de produ¸cão, tecnologia e taxa de juros . . . 67

4.1 Log-verossimilhan¸ca para uma grade de valores dos parâmetros da matriz de estado mantendo os outros parâmetros fixos em seus valores verdadeiros para um modelo DSGE simples em espa¸co de estado. . . 81 4.2 Distribui¸cão a priori e posteriori para os parâmetros estruturais estimados

com o modelo t-Student com volatilidade estocástica . . . 88 4.3 Histograma das distribui¸cões a posteriori das correla¸cões estimadas com o

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4.4 Volatilidade estocástica estimada e intervalo de credibilidade do 95% para os choques de preferência e custos de produ¸cão do modelo DSGE de Ireland 89 4.5 Médias a posteriori e intervalos de credibilidade do 95% das variáveis de

mistura λjt do modelo t-Student com volatilidade estoc´astica. . . 90 4.6 Fun¸c˜ao de resposta ao impulso para o modelo t-Student com volatilidade

estocástica (média e intervalo de credibilidade do 95%). Respostas do crescimento do produto, infla¸cão e taxa de juros aos impulso de choques nas preferências, custos de produ¸cão, tecnologia e taxa de juros . . . 93

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Lista de Tabelas

3.1 Propriedades frequentistas para 500 replica¸cões geradas de um modelo t-Student multivariado com uma única correla¸cão e sendo estimados com o modelo t-Student multivariado com uma única correla¸cão . . . 39 3.2 Propriedades frequentistas para 500 replica¸cões geradas de um modelo

t-Student multivariado com uma única correla¸cão e sendo estimados com o modelo t-Student multivariado . . . 39 3.3 Propriedades frequentistas para 500 replica¸cões geradas de um modelo

t-Student multivariado com uma única correla¸cão e sendo estimados com o modelo t-Student generalizado . . . 40 3.4 Propor¸cões de decisões corretas no estudo de simula¸cão para dados

ge-rados de um modelo t-Student multivariado e estimados com os modelos t-Student multivariado com uma única correla¸cão, t-Student multivariado e t-Student generalizado . . . 41 3.5 Propriedades frequentistas para 500 replica¸cões geradas do modelo t-Student

generalizado, sendo estimado com o modelo t-Student multivariado com uma única correla¸cão . . . 42 3.6 Propriedades frequentistas para 500 replica¸cões geradas do modelo t-Student

generalizado, sendo estimado com o modelo t-Student multivariado . . . 42 3.7 Propriedades frequentistas para 500 replica¸c˜oes geradas do modelo t-Student

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3.8 Propor¸cões de decisões corretas no estudo de simula¸cão para dados ge-rados de um modelo t-Student generalizado e estimados com os modelos t-Student multivariado com uma única correla¸cão, t-Student multivariado e t-Student generalizado . . . 43 3.9 Distribui¸cões a priori dos parâmetros estruturais no modelo de Ireland . . 55 3.10 Média a posteriori e intervalo de credibilidade de 95% para os parâmetros

estruturais no modelo de Ireland, estimado com os cinco modelos propos-tos: Modelo Gaussiano, Modelo t-Student diagonal com ν fixo, Modelo t-Student multivariado com ν fixo, Modelo t-Student multivariado com ν estimado e Modelo t-Student generalizado . . . 57 3.11 M´edia a posteriori e intervalo de credibilidade de 95% dos parˆametros

t-Student e correla¸c˜ao estimados com os cinco modelos propostos: Modelo gaussiano, Modelo t-Student diagonal com ν fixo, Modelo t-Student mul-tivariado com ν fixo, Modelo t-Student mulmul-tivariado com ν estimado e Modelo t-Student generalizado . . . 58 3.12 Log-verossimilhan¸ca marginal para os cinco modelos propostos: Modelo

Gaussiano, Modelo t-Student diagonal com ν fixo, Modelo t-Student mul-tivariado com ν fixo, Modelo t-Student mulmul-tivariado com ν estimado e Modelo t-Student generalizado, aplicados no modelo de Ireland . . . 62

4.1 M´edia a posteriori e intervalo de credibilidade do 95% para o modelo DSGE simples em espa¸co de estado com choques t-Student com volatilidade es-toc´astica. . . 82 4.2 Log-verossimilhan¸ca marginal para os modelos propostos (Normal e

t-Student com volatilidade estocástica) aplicado aos dados gerados do mo-delo DSGE simples (4.17). . . 82 4.3 Prioris usadas para os parâmetros do modelo de Ireland . . . 85 4.4 Prioris usadas para os parâmetros que pertencem ao modelo de volatilidade

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4.5 M´edia a posteriori e intervalos de credibilidade do 95% estimados com modelo normal e t-Student, ambos supondo volatilidade estoc´astica . . . 87 4.6 Log-verossimilhan¸ca marginal para os quatro modelos propostos:

Mo-delo normal diagonal, MoMo-delo t-Student diagonal, MoMo-delo normal corre-lacionado e Modelo t-Student correcorre-lacionado, todos com volatilidade es-toc´astica, aplicados no modelo de Ireland . . . 91

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Modelos Dinâmicos Estocástiscos de Equil´ıbrio Geral (do inglês, Dynamic Stochastic General Equilibrium - DSGE) são modelos macroeconômicos que visam explicar o com-portamento dos ciclos econômicos. A principal caracter´ıstica que os distingue é que sua teoria é derivada de fundamentos microeconômicos. Estes modelos geralmente assumem que os agentes otimizam suas escolhas, o que gera expectativas racionais em suas decisões. Além disso, cada agente maximiza uma fun¸cão de utilidade, que está sujeita a algumas restri¸cões próprias de cada agente.

Estes modelos geralmente assumem uma fam´ılia representativa e um conjunto de firmas. As fam´ılias consomem bens, ofertam trabalho e acumulam capital afim de ma-ximizar sua fun¸cão de utilidade sujeito a várias restri¸cões (por exemplo, restri¸cão de or¸camento, restri¸cão de demanda de trabalho, lei de movimento de capital, etc.). As fir-mas, por outro lado, produzem bens, contratam trabalho e maximizam seu lucro sujeito a suas respectivas restri¸cões (por exemplo, restri¸cão de demanda). Os modelos DSGE são, então, complementados por uma fun¸cão rea¸cão de uma autoridade monetária.

1.1 Revis˜

ao da literatura

O artigo de Kydland e Prescott (1982) ´e considerado um marco na literatura macro-econom´etrica. Pela primeira vez os macroeconomistas tinham um modelo coerente da economia, constru´ıdo com base na modelagem dos agentes envolvidos, esperan¸cas

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racio-nais e compensa¸cão de mercado, sendo capazes de reproduzir dados que se assemelhavam com as variáveis observáveis e que não tivessem alta especifica¸cão nos modelos.

Subsequentemente, muitos autores vêm desenvolvendo abordagens econométricas, que formalizam aspectos de calibra¸cão para evitar a falta de especifica¸cão nos modelos. Ao mesmo tempo, macroeconomistas têm desenvolvido modelos estruturais e relaxando mui-tas das restri¸cões de má especifica¸cão da primeira gera¸cão de modelos DSGE. Como consequência, técnicas econométricas mais tradicionais são aplicáveis.

Os modelos DSGE originalmente tentam explicar fenômenos econômicos agregados, como o crescimento econômico ou os ciclos econômicos, assim como os efeitos macroe-conômicos das pol´ıticas monetária e fiscal. Talvez a caracter´ıstica diferencial dos modelos DSGE seja o fato que são dinâmicos, isto é, o valor das variáveis presentes estão liga-das a seu valor futuro. Além disto, os modelos DSGE são estocásticos porque na sua formula¸cão incluem fontes de incerteza tais como: varia¸cões na produtividade total dos fatores, o efeito de câmbio nas exporta¸cões e importa¸cões de um pa´ıs ou, erros na tomada das decisões das pol´ıticas econômicas que não são antecipadas. Isto é o que o diferencia dos modelos de equil´ıbrio geral Walrasianos (Walras, 1954)1_.

Existe uma variedade de modelos atualmente usados em macroeconomia. A maior parte deles são baseado em dois cenários (Canova, 2007): uma estrutura competitiva, onde as aloca¸cões são, em geral Pareto ótimas2 e uma estrutura competitiva mono-pol´ıstica, onde um dos agentes pode fixar o pre¸co dos bens e, portanto, a aloca¸cão é sub-ótima. Tipicamente, uma expressão para as variáveis de interesse em fun¸cão de for¸cas exógenas e de estado é encontrada. Quando as aloca¸cões competitivas são Pareto ´

otimas, os princ´ıpios de programa¸cão dinâmica (Stokey e Lucas, 1989) são tipicamente usados e itera¸cões da equa¸cão de Bellman são empregadas para calcular a fun¸cão valor e pol´ıticas monetária e fiscal, levando em conta sua existência e unicidade (ver, por exem-plo, McCandless (2008)). Calcular a fun¸cão valor é uma tarefa complicada, exceto para

1_{Equil´ıbrio Walrasiano se refere ao equil´ıbrio no qual h´}_{a igualdade entre oferta agregada e demanda}

agregada nos mercados de bens e fatores.

2_{Uma situa¸}_c˜_{ao econˆ}_{omica ´}_{e ´}_{otima no sentido de Pareto se n˜}_{ao for poss´ıvel melhorar a situa¸}_c˜_{ao, ou,}

mais genericamente, a utilidade de um agente, sem degradar a situa¸c˜ao ou utilidade de qualquer outro

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casos simples e muitas vezes irreais economicamente. Para especifica¸cões gerais das pre-ferências e tecnologia, aproxima¸cões quadráticas da fun¸cão da utilidade e discretiza¸cão do problema de programa¸cão dinâmica são geralmente aplicadas.

Quando a aloca¸cão de equil´ıbrio é realocada, isto é, quando existe um poder de mer-cado como um monópolio, se deve alterar a formula¸cão do problema de programa¸cão dinâmica. Neste caso, a equa¸cão de Bellman não tem uma cobertura padrão na metodo-logia de multiplicadores de Lagrange estocástico, onde se usam as condi¸cões de primeira ordem, restri¸cões e condi¸cão de transversalidade para encontrar a solu¸cão. As solu¸cões são dif´ıcies de encontrar mesmo com o Lagrangiano, dado que o problema é não linear e envolve esperan¸cas de variáveis futuras. Métodos de equa¸cão de Euler que aproximam as condi¸cões de primeira ordem, equa¸cões com esperan¸cas ou fun¸cões de pol´ıtica podem ser usadas.

O equil´ıbrio não tem solu¸cão anal´ıtica de forma fechada. Isto significa que só podemos estudar uma aproxima¸cão dela. A falta de uma forma anal´ıtica fechada da solu¸cão do modelo complica a tarefa de encontrar a verossimilhan¸ca. O procedimento padrão para resolver estes modelos é a log-lineariza¸cão. Isto pode ser feito diretamente nas condi¸cões que descrevem o equil´ıbrio (condi¸cões de primeiro ordem, restri¸cões, etc), ou gerando uma aproxima¸cão quadrática da fun¸cão de utilidade dos agentes. Ambas abordagens implicam que a decisão ótima é linear com respeito aos estados na economia. O sistema linear resultante de equa¸cões em diferen¸ca pode ser resolvido por métodos padrão de esperan¸cas racionais (ver Blanchard e Kahn (1980), Klein (2000) e Uhlig (1999)). O sistema resultante tem uma representa¸cão linear em espa¸co de estado. Se também assu-mirmos que os choques exógenos são normais, o filtro de Kalman pode ser usado para resolver o modelo.

Nos últimos anos, algumas extensões foram feitas nos modelos DSGE. Por exemplo: quando temos um modelo log-linearizado, alguns autores assumem choques exógenos t-Student independentes (ver Chib e Ramamurthy (2014) e Curdia et al. (2014)). Outros autores assumen choques normais com estrutura de volatilidade estocástica independente no modelo linearizado, como por exemplo em Justiniano e Primiceri (2008) e Fernandez-Villaverde et al. (2015). O artigo de Curdia et al. (2014) faz uma modelagem conjunta

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dos DSGE incluindo choques independentes t-Student com estrutura de volatilidade es-tocástica. Além disso, o artigo de Grabek et al. (2011) introduz um modelo DSGE linearizado com choques normais assimétricos na estrutura.

Existem outras tentativas de resolver os modelos DSGE sem passar pelo processo de lineariza¸cão. Por exemplo, Schmitt-Grohe e Uribe (2004) fazem uso de aproxima¸cões de segunda ordem nas equa¸cões de equil´ıbrio para, ao final, poder escrever um modelo em espa¸co de estado de potência quadrática. No artigo de Chen et al. (2010) fazem uso desta aproxima¸cão quadrática para logo poder aproximar a verossimilhan¸ca por filtro de part´ıculas e estimar sequencialmente os parâmetros fixos do modelo. Por outro lado, alguns autores trabalham diretamente com as equa¸cões de equil´ıbrio, que se caracterizam por serem não lineares e terem esperan¸cas de variáveis futuras. Alguns autores propõem resolver estas esperan¸cas por métodos de proje¸cão ou elementos finitos, como em Judd (1992) e Aruoba et al. (2006). Uma vez que o sistema é reescrito como espa¸co de estado não linear, o artigo de Fernandez-Villaverde e Rubio-Ramirez (2005) propõe fazer uma mistura de algoritmos: eles aplicam o filtro de part´ıculas para aproximar a verossimi-lhan¸ca do modelo e usam MCMC (do inglês, Markov Chain Monte Carlo) para estimar os parâmetros, aplicando esta abordagem para resolver um modelo DSGE de uma economia simples.

Na Europa, estes modelos DSGE são usados pelos bancos centrais de certos pa´ıses para descrever suas economias. Esses modelos estão baseados no modelo proposto por Smets e Wouters (2003). No Brasil, tem se desenvolvido o modelo SAMBA (do inglês, Stochastic Analytical Model with a Bayesian Approach), que consiste basicamente em um modelo DSGE feito para a economia brasileira. O modelo foi desenvolvido por pesquisa-dores do próprio Banco Central e contempla caracter´ısticas comuns aos modelos DSGE, incluindo também caracter´ısticas espec´ıficas do Brasil, buscando, então, descrever da melhor maneira poss´ıvel a economia brasileira.

A contribui¸cão desta tese visa considerar modelos DSGE log-linearizado escritos em espa¸co de estado, mas considerando choques heterocedásticos. Numa primeira dire¸cão, consideramos choques com variância não estruturada, exploramos modelos t-Student mul-tivariado e a introdu¸cão da distribui¸cão t-Student generalizada. Como segunda

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contri-bui¸cão, considera-se uma estrutura na variância dos choques, especificamente uma estru-tura de volatilidade estocástica nos choques, tanto para distribui¸cões normais como para t-Student.

1.2 Organiza¸

c˜

ao da tese

Esta tese está organizada da seguinte forma: no Cap´ıtulo 2, explicamos os fundamen-tos dos modelos DSGE, o procedimento padrão que é usado para resolvê-los quando a suposi¸cão de normalidade dos choques é suposta. No Cap´ıtulo 3, apresentamos nossa pri-meira contribui¸cão: resolvemos os modelos DSGE linearizados com variância não estru-turada, ou seja, supondo choques com distribui¸cão t-Student multivariado e a introdu¸cão da distribui¸cão t-Student generalizada. No Cap´ıtulo 4, apressentamos nossa segunda contribui¸cão, que consiste em introduzir uma estrutura de volatilidade estocástica com choques correlacionados. Finalmente, no Cap´ıtulo 5 apresentamos conclusões e propostas de trabalhos futuros.

Cabe mencionar que todas as implement¸cões computacionais feitas nesta tese foram programadas no programa R (Team, 2011). Tais implementa¸cões foram feitas com o objetivo de ilustrar os algoritmos propostos. Logo, apesar do esfor¸co em programar da maneira mais eficiente poss´ıvel, as rotinas não foram programadas de forma ótima, não permitindo compara¸cões precisas entre tempos computacionais dos algoritmos.

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Cap´ıtulo 2

Modelos DSGE

Um modelo DSGE é composto dos seguintes agentes: uma firma que produz um bem final, um número cont´ınuo de bens intermediários produzidos por outras firmas que atuam como monopolistas, uma fam´ılia representativa e o governo que faz o papel de autoridade fiscal e monetária.

Para descrever o modelo é necessário especificar explicitamente o ambiente: pre-ferências, tecnologia, recursos e informa¸cão. Além disto, precisamos estabelecer o objeto de estudo. Diferentes alternativas estão dispon´ıveis:

1. O problema do planejador social. É quando supomos que temos um só agente que toma as decisões numa economia. Temos como exemplo o problema do consumidor, ou o problema da firma.

2. O equil´ıbrio competitivo. ´E quando supomos que todos os agentes participam no mercado para definir um equil´ıbrio, isto ´e, as fam´ılias, firmas e o governo.

3. A teoria de jogos. Quando olhamos a economia como um jogo e os agentes como jogadores.

Uma vez definido o objeto de estudo, precisamos resolver o modelo. Estes modelos DSGE tipicamente incluem três componentes: a caracteriza¸cão do ambiente onde o to-mador de decisões está, o conjunto de regras de decisões que ditam seu comportamento e a caracteriza¸cão da incerteza na qual se tem que enfrentar na tomada de decisões.

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Coletivamente, estes componentes tomam a forma de um sistema não linear de equa¸cões a diferen¸ca envolvendo esperan¸cas. Tais sistemas não têm solu¸cão anal´ıtica fechada em análises emp´ıricas, mas podem ser convertidos num sistema implementável através da finaliza¸cão de um processo geral de passos, que será detalhado neste cap´ıtulo.

O primeiro passo consiste na constru¸cão de uma aproxima¸cão linear do modelo. As equa¸cões não lineares do modelo podem ser aproximadas linearmente via expansões em série de Taylor, ficando em fun¸cão das equa¸cões a diferen¸ca envolvendo esperan¸cas. O segundo passo consiste em resolver o sistema resultante de aproxima¸cões lineares. A solu¸cão é escrita em termos das variáveis expressas como desvios de seus valores em estado estável, pronto para ser implementado. O último passo consiste no processo de estima¸cão. Neste ponto, o sistema pode ser escrito como modelo em espa¸co de estado: se assumirmos que os choques que afetam o sistema têm distribui¸cão normal, a verossimilhan¸ca do modelo pode ser encontrada por filtro de Kalman e os parâmetros do sistema podem ser estimados.

Nas se¸cões seguintes, para poder exemplificar a metodologia, nos concentraremos no problema do planejador social, especificamente no problema do consumidor, e ilustrare-mos as ferramentas necessárias para reescrever o problema como um modelo de espa¸co de estado, para logo depois estimar os parâmetros do modelo.

2.1 O problema do consumidor

Para ilustrar a metodologia usada para resolver os modelos DSGE, considere o seguinte problema que representa o modelo de crescimento neoclássico estocástico. Suponha que existe um agente representativo na economia, cujo objetivo é maximizar em {ct, kt+1}∞t=1 sua fun¸cão de utilidade esperada e descontada:

m´ax E0 ∞ X

t=1

βtu(ct), (2.1)

onde cté seu consumo, kt o capital, E0 = E[.|I0] é o operador de esperan¸ca, condicional sob a informa¸cão dispon´ıvel no tempo 0, I0; β ∈ (0, 1) é o fator de desconto. A fun¸cão de utilidade u é uma fun¸cão limitada, duas vezes diferenciável, estritamente crescente e

(23)

estritamente côncava em todos os seus argumentos. A maximiza¸cão de (2.1) está sujeita as seguintes restri¸cões:

i. fun¸c˜ao de produ¸c˜ao: yt = eztf (kt);

ii. capital: kt+1 = it+ (1 − δ)ktonde ité o investimento e δ é a deprecia¸cão do capital;

iii. choque tecnol´ogico: zt= ρzt−1+ t com t ∼ N (0, σ2), onde ρ ∈ (0, 1); e

iv. além disto, a economia satisfaz a restri¸cão de compensa¸cão do mercado: ct+it = yt.

onde f deve ser uma fun¸cão cont´ınua duas vezes diferenciável, estritamente crescente e côncava em kt. Suponhamos os valores iniciais k0 e z0 como dados no tempo 0 e denotaremos o vetor de parâmetros por θ que consiste de todas aquelas variáveis que não dependem do tempo: θ = (β, δ, ρ, σ)0.

2.1.1 Vari´

aveis de estado e de controle

Pode ser de grande ajuda separar o conjunto de variáveis que dependem do tempo. Elas são separadas em dois conjuntos: variáveis de estado e variáveis de controle. Num per´ıodo t, as variáveis de estado são aquelas cujos valores são determinados por nossas a¸cões no passado ou por algum outro processo, tal como a natureza. As variáveis de controle são aquelas variáveis cujos valores são escolhidos explicitamente com o objetivo de maximizar alguma fun¸cão objetivo. Frequentemente, o agente tem a liberdade de decidir quais variáveis serão de estado e quais de controle.

Em nosso exemplo (2.1), o capital kt é uma variável de estado predeterminada e conhecida. Note também que zt é uma variável de estado, representando um choque externo que não pode ser controlado pelo agente. Usualmente kt é chamada de variável endógena ou predeterminada e zt é chamada de variável exógena.

Existem muitas maneiras de escolher a variável de controle. Por exemplo, o consumo ct pode ser a variável de controle. Uma vez escolhida no per´ıodo t, a quarta restri¸cão determina o investimento it, pois yt é uma variável observável, e a segunda restri¸cão determina o capital no tempo t + 1, kt+1.

(24)

Outra alternativa seria escolher a quantidade de capital que estará dispon´ıvel no tempo t + 1, kt+1 como variável de controle. Neste caso, combinando com a primeira, segunda e quarta restri¸cão o consumo pode ser escrito como:

ct = eztf (kt) + (1 − δ)kt− kt+1. Substituindo na fun¸c˜ao objetivo obtemos a utilidade esperada

m´ax E0 ∞ X t=1 βtu(ezt_{f (k} t) + (1 − δ)kt− kt+1).

Neste caso, kt+1é nossa variável de controle no tempo t. Outra forma seria escolher ct e kt+1 como variáveis de controle: neste caso ter´ıamos um vetor de controle, portanto, o problema ficaria formulado da mesma forma como foi dado em (2.1). Levando em conta que temos duas variáveis de estado [kt, zt]0 e duas variáveis de controle [ct, kt+1]0, esta será a abordagem usada nas proximas se¸cões.

Em resumo, em nosso exemplo (2.1), temos duas varáveis de estado: kt, zt; duas variáveis de controle: ct, kt+1; uma variável observável: yt; e um conjunto de parâmetros: θ = (β, δ, ρ, σ), onde este conjunto θ pode aumentar conforme tornamos o modelo (2.1) mais complexo, por exemplo: se definimos f (kt) = kαt, α ∈ (0, 1), então α passa a ser um parâmetro.

Uma vez definidas as vari´aveis de estado e controle, o procedimento para resolver o problema do consumidor, ´e o seguinte:

1. Encontrar as equa¸cões que caracterizam o equil´ıbrio, isto é, restri¸cões, condi¸cões de primeiro ordem, etc;

2. Encontrar o estado est´avel das vari´aveis de estado e controle;

3. Log-linearizar as equa¸cões que caracterizam o equil´ıbrio do sistema para fazer as equa¸cões aproximadamente lineares com respeito aos log-desvios do estado estável;

4. Resolver recursivamente as equa¸cões de equil´ıbrio e restri¸cões com algum método de esperan¸cas racionais;

(25)

6. Finalmente, implementar algum algoritmo de estima¸c˜ao para os parˆametros θ.

Nas se¸c˜oes seguintes explicaremos com mais detalhes cada um dos passos descritos acima.

2.2 Equa¸

c˜

oes de equil´ıbrio

Para encontrar as equa¸cões que caracterizam o equil´ıbrio, precisamos encontrar as equa¸cões de primeira ordem. É preciso utilizar técnicas de programa¸cão dinâmica para encontrar a solu¸cão (para um tratamento mais profundo ver o Apêndice A, ou, se preferir uma análise mais rigorosa ainda, ver o livro de Stokey e Lucas (1989)). Temos que formular o La-grangiano L e calcular as condi¸cões necessárias de otimalidade com respeito as variáveis de controle ct, kt+1 e os multiplicadores de Lagrange λt para cada tempo t, portanto, o problema consiste em maximizar em {ct, kt+1, λt}∞t=1 o Lagrangiano;

m´ax E0 ∞ X

t=1

βt[u(ct) − λt(ct+ kt+1− eztf (kt) − (1 − δ)kt)]. (2.2) Notemos que maximizar o valor esperado no tempo presente de uma variável futura é equivalente a uma maximiza¸cão sequencial (Soyer e Tanyeri, 2006), assim, se L(.) é nossa fun¸cão de utilidade, então:

máx E0[L(ct)] = máx E0[máx E1[. . . máx Et[L(ct)] . . .]],

onde Et denota o valor esperado condicional a informa¸c˜ao no tempo t, It, i.´e., Et[.] = E[.|It] com It = {yt, It−1}.

Em nosso exemplo, derivando o Lagrangiano com respeito a λt e as vari´aveis de controle, ct e kt+1 para cada tempo t e igualando a zero, obtemos:

∂L ∂λt : ct+ kt+1− eztf (kt) − (1 − δ)kt = 0, ∂L ∂ct : u0(ct) − λt= 0, ∂L ∂kt+1 : −λt+ βEt[λt+1(ezt+1f0(kt+1) + 1 − δ)] = 0. (2.3)

(26)

A equa¸c˜ao (2.3) ´e menos evidente e merece ser detalhada. Para obter o resultado basta notar que o Lagrangiano em termos dos tempos t e t + 1, se reduz a:

. . . +Etβt[u(ct) − λt(ct+ kt+1− eztf (kt) − (1 − δ)kt)]

. . . +Etβt+1[u(ct+1) − λt+1(ct+1+ kt+2− ezt+1f (kt+1) − (1 − δ)kt+1)] . . . + . . .

Diferenciando com respeito a kt+1 e igualando a zero obtemos (2.3). A esperan¸ca Et permanece, porque a informa¸cão no tempo t+1 não é ainda conhecida no tempo t quando escolhemos kt+1. As condi¸cões de primeira ordem geralmente também são conhecidas como as Equa¸cões de Euler. Este sistema pode ser simplificando para obter as equa¸cões de equil´ıbrio: 1 = βEt " u0(ct+1) u0_(c t) (ezt+1_f0_(k t+1) + 1 − δ) # , (2.4) ct+ kt+1 = eztf (kt) + (1 − δ)kt, (2.5) zt = ρzt−1+ t. (2.6)

Excelentes referências sobre como encontrar as equa¸cões de equil´ıbrio para diferentes exemplos de modelos DSGE são os livros de Canova (2007), DeJong e Dave (2011), McCandless (2008) e o artigo seminal de Uhlig (1999).

2.2.1 Estado est´

avel das vari´

aveis

A economia no estado estável é um conceito totalmente f´ısico, sendo os componentes f´ısicos restringidos e endogenamente dados. Uma economia pode chegar a um estado estável após grandes per´ıodos de expansão ou após per´ıodos de recessão. O objetivo é estabelecer isto em uma escala sustentável que não exceda os limites ecológicos. Supõe-se que a economia se estabiliza depois de um tempo muito grande, o que representa que já não se tem mais incerteza nas variáveis envolvidas, ou seja, que as variáveis depois de um tempo viram constante. Para poder encontrar o estado estável das variáveis envolvidas no sistema, deve-se supor que o sistema não tem choques aleatórios e deve-se encontrar os valores limite das variáveis.

(27)

Calculando o estado estável das variáveis envolvidas no nosso exemplo, suponha σ = 0. Então zt = ρzt−1= ρtz0, ∀t, já que |ρ| < 1. Tomando limite em t, vemos que zt→ 0 quando t → ∞, o que implica que ezt _{→ 1. Portanto, substituindo nas outras restri¸c˜}_oes

e equa¸c˜oes de equil´ıbrio, tomando limite, chegamos as express˜oes:

ys = lim t→∞yt = limt→∞e zt_{f (k} t) = f (ks), cs+ ks = f (ks) + (1 − δ)ks. Logo obtemos: cs= f (ks) − δks. E, finalmente, substituindo em (2.4) 1 = βEt " u0(cs) u0_(c s) (f0(ks) + 1 − δ)) # .

Que, simplificando, fornece

1 = β(f0(ks) + 1 − δ).

Notemos que a quantidade que est´a dentro de Et n˜ao depende de t.

2.3 Log-lineariza¸

c˜

ao

Tratar de resolver modelos com substancial não linearidade é muitas vezes dif´ıcil. As equa¸cões de equil´ıbrio (2.4)-(2.6) são não lineares e, muitas vezes, encontrar uma solu¸cão anal´ıtica é imposs´ıvel; portanto, aproxima¸cões da solu¸cão são necessárias.

Modelos linearizados são muitas vezes fáceis de resolver e existem métodos muito bem desenvolvidos para resolvê-los. O problema é converter um modelo não linear em uma aproxima¸cão linear adequada tal que as solu¸cões da aproxima¸cão linear sejam úteis para entender o comportamento do sistema não linear. Um método padrão para aproxima¸cões lineares é a log-lineariza¸cão do modelo em torno de seu estado estável. Esta suposi¸cão vem de que, se o modelo não está tão longe de seu estado estável, a versão linear que resulta se aproxima ao modelo original.

(28)

O princ´ıpio consiste em fazer uso da aproxima¸cão em séries de Taylor em torno do estado estável das variáveis para logo substituir todas as equa¸cões de equil´ıbrio por estas aproxima¸cões, que são lineares em fun¸cão dos desvios logar´ıtmicos.

Formalmente, seja at a variável de interesse e, as seu estado estável, defina ât = log at− log as, ou, equivalentemente at = aseât. Uma vez feita as sustitui¸cões, faremos uso das seguintes aproxima¸cões (Uhlig, 1999):

eˆat+rˆbt _{≈ 1 + ˆ}_a

t+ rˆbt,

ˆ

atˆbt≈ 0.

Estas são usadas para qualquer variável ât e ˆbt log-linearizada. A primeira aproxima¸cão corresponde a uma aproxima¸cão em série de Taylor de primeira ordem da fun¸cão expo-nencial e a segunda aproxima¸cão, partindo do fato de que cada variável com chapéu é uma quantidade perto de zero, portanto o produto delas é aproximadamente zero.

Para ilustrar esta técnica, considere a equa¸cão de equil´ıbrio (2.5): ct+kt+1 = eztf (kt)+ (1 − δ)kt. Suponha que a fun¸cão de produ¸cão é uma Cobb-Gouglas dependendo só do capital, isto é: f (kt) = kαt.

Substituindo e fazendo as aproxima¸cões nas variáveis log-linearizadas at = aseaˆt ≈ as(1 + ât) obtemos para cada variável de interesse:

cseˆct + kse ˆ kt+1 _{= e}zt_kα se αˆkt_{+ (1 − δ)k} se ˆ kt_, cs(1 + ˆct) + ks(1 + ˆkt+1) = ksα(1 + zt+ αˆkt) + (1 − δ)ks(1 + ˆkt).

Da equa¸c˜ao do estado est´avel temos: cs+ ks = ksα + (1 − δ)ks = f (ks) + (1 − δ)ks. Logo, simplificando:

csˆct+ kskˆt+1 = ksα(zt+ αˆkt) + (1 − δ)ksˆkt,

cscˆt+ ksˆkt+1− (αksα+ (1 − δ)ks)ˆkt− kαszt = 0,

onde esta última equa¸cão é linear com respeito as variáveis em desvios logar´ıtmicos. Equivalentemente, o mesmo pode ser feito com a outra equa¸cão de equil´ıbrio (2.4). Uma vez que todas as equa¸cões estão log-linearizadas, o seguinte passo é resolver as esperan¸cas que possam aparecer no sistema, como é descrito na se¸cão seguinte.

(29)

2.4 M´

etodos de solu¸

c˜

ao para um sistema log-linearizado

Geralmente, uma vez que o sistema está log-linearizado, equa¸cões com esperan¸cas de variáveis futuras podem aparecer no sistema; isto é, o modelo é um sistema de equa¸cões a diferen¸cas lineares envolvendo esperan¸cas. Portanto, precisamos resolver estas esperan¸cas antes de escrever o modelo como uma aproxima¸cão linear do modelo original.

A seguir, mostraremos os métodos em sua forma geral. Definiremos ˆxt como o vetor n × 1 composto pelas variáveis de estado endógenas log-linearizadas no tempo t e as variáveis de estado exógenas zt que seguem um processo autorregressivo. Definiremos, também, por ˆyt o vetor m × 1 composto das variáveis de controle log-linearizadas no tempo t e vtvetor nv× 1 dos choques. Pode ser demostrado que, após a log-lineariza¸cão, fazendo-se das aproxima¸cões e simplifica¸cões, o sistema de equa¸cões de equil´ıbrio log-linearizadas pode ser escrito como:

A    ˆ xt+1 Etyˆt+1   = B    ˆ xt ˆ yt   + Cvt+1, (2.7)

onde as matrizes A, B e C são fun¸cões dos parâmetros θ envolvidos no problema de maximiza¸cão.

De maneira ilustrativa, considere o conjunto de equa¸cões de equil´ıbrio (2.4)-(2.6). Defina a fun¸cão de produ¸cão por f (kt) = ktα e a fun¸cão de utilidade como u(ct) = c1−τ_t /(1 − τ ), τ ∈ (0, 1), onde τ denota o coeficiente de aversão ao risco. Portanto, se definirmos ˆxt= (ˆkt−1, ˆkt, zt)0, ˆyt = ˆct, vt = t e A =           1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 α2           , B =           0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ρ 0 0 −α1α3/ks α4 τ + α1cs/ks           , C =           0 0 1 0           com α1 = −βα(α − 1)ksα−1, α2 = βτ (αksα−1 + 1 − δ), α3 = αkαs + ks(1 − δ) e α4 = α1ksα−1 + βαρkα−1s . Conclu´ımos que as equa¸cões de equil´ıbrio (2.4)-(2.6) estão escritas como um sistema log-linearizado da forma (2.7).

(30)

Notemos que o sistema log-linearizado (2.7) possui uma esperan¸ca condicional de uma variável futura e, para escrever o sistema em espa¸co de estado, precisamos resolver esta esperan¸ca. Os métodos que resolvem estas esperan¸cas em um sistema log-linearizado são conhecidos como métodos das esperan¸cas racionais.

A seguir, explicaremos três métodos para resolver esperan¸cas racionais. Os métodos são: Método de Blanchard-Kahn (Blanchard e Kahn, 1980), Método de Klein (Klein, 2000) e Método dos coeficientes indeterminados (Uhlig, 1999).

2.4.1 M´

etodo de Blanchard-Kahn

Considere o sistema log-linearizado (2.7). Dado que o vetor ˆxtcontém variáveis endógenas e exógenas, n = ns+ nv e ˆyt é de dimensão m × 1. O total de equa¸cões é n + m. A e B são matrizes de (n + m) × (n + m). C é uma matriz de (n + m) × nv. Et é o operador de esperan¸ca condicional com informa¸cão até o per´ıodo t.

Para resolver o sistema, supondo que A é não singular, multiplicamos na esquerda por A−1. No caso que a matriz A seja singular, outros métodos serão discutidos posteri-ormente. Assuma que A é não singular. Depois de multiplicar por A−1, obtemos:

   ˆ xt+1 Etyˆt+1   = A −1 B    ˆ xt ˆ yt   + A −1 Cvt+1. (2.8)

Para simplificar nota¸c˜ao redefinamos as matrizes:

   ˆ xt+1 Etyˆt+1   = F    ˆ xt ˆ yt   + Gvt+1. (2.9)

F ´e uma matriz de (n + m) × (n + m) e G ´e uma matriz de (n + m) × nv.

Aplicando a decomposi¸c˜ao espectral (decomposi¸c˜ao de Jordan) para a matriz F ob-temos: F = HJ H−1 = [d1 d2 . . . dn+m]           λ1 0 0 0 0 λ2 0 0 0 0 . .. 0 0 0 0 λn+m           [d1 d2 . . . dn+m]−1, (2.10)

(31)

onde {λi}n+mi=1 são os autovalores e os vetores colunas {di}n+mi=1 são os autovetores associ-ados a F . {λi}n+mi=1 são ordenados tal que:

|λ1| < |λ2| < . . . < |λn+m|.

Seja h o número de autovalores fora do c´ırculo unitário. Então pode-se estabelecer a condi¸cão de Blanchard-Kahn.

Condi¸c˜ao de Blanchard-Kahn

(i) Se h = m, a solu¸cão do sistema é única. (ii) Se h > m, então não existe solu¸cão do sistema. (iii) Se h < m, existem infinitas solu¸cões.

Assuma que temos uma única solu¸cão do sistema (h = m). Seja a parti¸cão da matriz J tal que a parte superior esquerda contenha somente os autovalores que pertencem ao circulo unitário, seja G também particionado de acorde. Portanto, obtemos:

   ˆ xt+1 Etyˆt+1   = H    J1 0 0 J2   H −1    ˆ xt ˆ yt   +    G1 G2   vt+1. (2.11)

Multiplicando a esquerda, por H−1 temos:

H−1    ˆ xt+1 Etyˆt+1   =    J1 0 0 J2   H −1    ˆ xt ˆ yt   + H −1    G1 G2   vt+1. (2.12)

Particionamos as matrizes H e H−1 como segue:

H =    H11 H12 H21 H22   , H −1 =    ˆ H11 Hˆ12 ˆ H21 Hˆ22   .

Para simplificar nota¸c˜ao, defina:

   ˜ xt ˜ yt   = H −1    ˆ xt ˆ yt    e    ˜ G1 ˜ G2   = H −1    G1 G2   .

Usando a nova nota¸c˜ao, (2.12) fica:

   ˜ xt+1 Ety˜t+1   =    J1 0 0 J2       ˜ xt ˜ yt   +    ˜ G1 ˜ G2   vt+1. (2.13)

Notemos duas coisas: primeiro, que como J ´e matriz diagonal, podemos separar a parte de cima e de baixo; segundo, dado que reordenamos os autovetores, as equa¸c˜oes associadas

(32)

com as primeiras n linhas são estáveis (correspondente aos autovalores que estão no c´ırculo unitário) e as demais equa¸cões correspondem a solu¸cões não estáveis. Olhando a parte não estável do sistema:

Ety˜t+1 = J2y˜t+ ˜G2vt+1. (2.14)

Resolvendo para ˜yt temos:

˜

yt= J2−1Ety˜t+1− J2−1G˜2vt+1. (2.15) A mesma equa¸c˜ao um per´ıodo na frente:

˜

yt+1= J2−1Ety˜t+2− J2−1G˜2vt+2. (2.16) Substituindo na equa¸c˜ao (2.14), onde J₂−2 = (J₂−1)2_{, segue:}

˜

yt= J2−2Ety˜t+2− J2−2EtG˜2vt+2− J2−1G˜2vt+1. (2.17) Mantendo estas itera¸c˜oes sucessivamente obtemos:

˜

yt= −J2−1G˜2vt+1− J2−2EtG˜2vt+2− J2−3EtG˜2vt+3− . . . (2.18) Em muitos casos temos, Et[vt+1] = Et[vt+2] = . . . = 0. Portanto, a ´ultima equa¸c˜ao pode ser simplificada como:

˜

yt = −J2−1G˜2vt+1. (2.19)

Substituindo na f´ormula para ˜yt obtemos:

ˆ

H21xˆt+ ˆH22yˆt= −J2−1[ ˆH21G1 + ˆH22G2]vt+1. (2.20)

Que resulta em:

ˆ

yt= − ˆH22−1Hˆ21xˆt− ˆH22−1J −1

2 [ ˆH21G1+ ˆH22G2]vt+1. (2.21) Esta equa¸cão (2.21) fornece uma regra de decisão ótima (mapeia de ˆxt e vt+1 em ˆyt). Uma vez que temos uma fun¸cão de ˆxt e vt+1 em ˆyt, podemos usar a lei de movimento de ˆ

xt+1:

ˆ

xt+1 = F11xˆt+ F12yˆt+ Gvt+1, (2.22)

para obter ˆxt+1 de ˆxt, vt+1 e ˆyt. Se queremos obter a lei de movimento de ˆxt+1 como um mapeamento de ˆxt e vt+1, podemos substituir:

ˆ

xt+1 = [F11− F12Hˆ22−1Hˆ21]ˆxt+ [G − ˆH22−1J −1

(33)

2.4.2 M´

etodo de Klein

Considere novamente o sistema definido em (2.7):

A    ˆ xt+1 Etyˆt+1   = B    ˆ xt ˆ yt   + Cvt+1.

O método de Klein (Klein, 2000) faz uso da decomposi¸cão complexa generalizada de Schur. Notemos que A pode ser matriz singular, o que identifica matrizes unitárias Q e Z tal que:

QAZ = S, QBZ = T.

Ambas S e T s˜ao matrizes triangulares superiores, onde os autovalores generalizados de A e B podem ser recuperados a partir dos elementos da diagonal de S e T :

λ(A, B) = {tii/sii|i = 1, 2, . . . , n + m}.

As matrizes Q, Z, S e T podem ser sempre arranjadas tal que os autovalores generalizados fiquem em ordem ascendente. Se o número de variáveis predeterminadas ou de estado coincide com o número de autovalores que pertencem ao circulo unitário, significa que o sistema tem solu¸cão única (condi¸cão de Blanchard-Kahn). Assuma que se cumpre esta condi¸cão, particionemos as matrizes Q, Z, S e T , tal que:

Q =    Q1 Q2   , Z =    Z11 Z12 Z21 Z22   , S =    S11 S12 0 S22   , T =    T11 T12 0 T22   . Defina:    ˜ xt ˜ yt   = Z 0    ˆ xt ˆ yt   .

Dado que Z ´e unit´aria, Z0Z = I ou Z0 = Z−1 e portanto:

   ˆ xt ˆ yt   = Z    ˜ xt ˜ yt   .

Usando este fato podemos reescrever (2.7) como:

AZ    ˜ xt+1 Ety˜t+1   = BZ    ˜ xt ˜ yt   + Cvt+1.

(34)

Pr´e-multiplicando por Q obtemos: S    ˜ xt+1 Ety˜t+1   = T    ˜ xt ˜ yt   + QCvt+1,

ou, em termos da parti¸c˜ao matricial:

S11x˜t+1+ S12Ety˜t+1 = T11x˜t+ T12y˜t+ Q1Cvt+1, (2.24)

e

S22Ety˜t+1= T22y˜t+ Q2Cvt+1. (2.25)

Notemos que a equa¸cão (2.25) tem a mesma forma que a equa¸cão (2.14), portanto, a partir daqui, se pode proceder a resolver o sistema da mesma forma como foi apresentado no método de Blanchard-Kahn.

2.4.3 M´

etodo dos coeficientes indeterminados

Para poder encontrar a solu¸cão geral usando o método dos coeficientes indeterminados (Uhlig, 1999), precisamos que nosso sistema linearizado tenha a seguinte representa¸cão matricial:

0 = Aˆkt+1+ Bˆkt+ C ˆyt+ Dzt, (2.26)

0 = Et[F ˆkt+2+ Gˆkt+1+ H ˆkt+ J ˆyt+1+ K ˆyt+ Lzt+1+ M zt], (2.27)

zt+1 = N zt+ vt+1, Et(vt+1) = 0, (2.28)

ˆ

kt é o vetor de variáveis de estado endógenas (ns × 1), ˆyt é um vetor de variáveis de controle (m × 1) e zt é um vetor de variáveis de estado exógenas (nv × 1). vt+1 é um vetor de choques (nv × 1). C é de tamanho ns× ns. F é de tamanho m × ns e N tem só autovalores estáveis. Pode ser demostrado que o sistema (2.7) pode ser escrito como o conjunto de equa¸cões acima, fazendo várias manipula¸cões algébricas e rearranjando termos onde vários dos coeficientes podem ser identicamente a matriz zero. Portanto, pode ser detalhado o caso geral.

A regra de decis˜ao ´otima pode ser expressada como segue:

ˆ

kt+1 = P ˆkt+ Qzt, (2.29)

ˆ

(35)

Substituimos (2.29) e (2.30) nas equa¸c˜oes (2.26) e (2.27):

0 = A(P ˆkt+ Qzt) + Bˆkt+ C(Rˆkt+ Szt) + Dzt,

0 = Et[F (P (P ˆkt+ Qzt) + Q(N zt+ vt+1)) + G(P ˆkt+ Qzt) + H ˆkt

+J (R(P ˆkt+ Qzt) + S(N zt+ vt+1)) + K(Rˆkt+ Szt) + L(N zt+ vt+1) + M zt].

Usando o fato que Et[vt+1] = 0:

0 = (AP + B + CR)ˆkt+ (AQ + CS + D)zt,

0 = (F P2+ GP + H + J RP + KR)ˆkt

+(F P Q + F QN + GQ + J RQ + J SN + KS + LN + M )zt.

Dado que as duas equa¸c˜oes tˆem que se satisfazer para qualquer ˆkt e zt, implica que:

0 = AP + B + CR, (2.31)

0 = AQ + CS + D, (2.32)

0 = F P2+ GP + H + J RP + KR, (2.33)

0 = F P Q + F QN + GQ + J RQ + J SN + KS + LN + M. (2.34)

Note que (2.31) e (2.33) contˆem s´o P e R. Resolvendo (2.31) para R e substituindo em (2.33) obtemos:

F P2+ GP + H + J (−C−1AP − C−1B)P + K(−C−1AP − C−1B) = 0.

Reescrevendo:

(F − J C−1A)P2− (JC−1B + KC−1A − G)P − (KC−1B − H) = 0. (2.35) Para simplificar nota¸c˜ao, expressemos (2.35) como segue:

ΨP2− ΓP − Θ = 0. (2.36)

onde Ψ = F − J C−1A, Γ = J C−1B + KC−1A − G e Θ = KC−1B − H.

Esta é uma equa¸cão matricial quadrática para P . Para resolver esta equa¸cão será usado o método do problema do autovalor generalizado (decomposi¸cão QZ). Um atrativo deste método é que não requer a invertibilidade de Ψ.

(36)

Em geral, suponha que temos duas matrizes do mesmo tamanho X e Y . O pro-blema do autovalor generalizado consiste em encontrar os autovalores λi e autovetores generalizados di que satisfazem:

Xdi = λiY di.

Quando Y = I, voltamos ao problema padr˜ao de autovalores. Definamos as matrizes:

Ξ =    Γ Θ Ins 0ns   , ∆ =    Ψ 0ns 0ns Ins   ,

onde Ins representa a matriz identidade ns× ns e 0ns representa a matriz de zeros ns× ns,

dado que Γ e Ψ s˜ao matrizes ns× ns, Ξ e ∆ s˜ao matrizes 2ns× 2ns. Aplicando o problema do autovalor generalizado para o par de matrizes.

   Γ Θ Ins 0ns       di,1 di,2   = λi    Ψ 0ns 0ns Ins       di,1 di,2   .

Se separamos a parte de cima e de baixo da equa¸c˜ao obtemos:

Γdi,1+ Θdi,2 = λiΨdi,1,

di,1 = λidi,2.

A segunda equa¸cão pode ser substitu´ıda na primeira em di,1. Agora temos só uma equa¸cão (redefina di = di,2)

Γλidi+ Θdi = λiΨλidi. (2.37)

Suponha que podemos encontrar ns autovalores correspondente a ns autovetores linear-mente independentes. Teremos, ent˜ao, a contraparte da condi¸c˜ao de Blanchard-Kahn (Uhlig, 1999).

Proposi¸cão: Se todos os ns autovalores pertencem ao circulo unitário, a solu¸cão é estável.

Supondo que a condi¸c˜ao ´e satisfeita. Combinamos (2.37) para todos os i como segue:

(37)

onde Ω ´e uma matriz de ns× ns que cont´em todos os autovetores em cada coluna e Λ ´

e uma matriz diagonal de ns× ns com ns autovalores. Multiplicando (2.38) por Ω−1 na direita, obtemos:

ΨΩΛ2Ω−1− ΓΩΛΩ−1− Θ = 0. (2.39)

Comparando (2.39) com (2.36), a equa¸c˜ao (2.39) implica que P = ΩΛΩ−1. Portanto, uma vez que implementamos a decomposi¸c˜ao generalizada dos autovalores com respeito a Ξ e ∆, obtemos P .

Uma vez P obtida, podemos obter R como:

R = −C−1(AP + B). (2.40)

Da mesma maneira resolvendo para S:

S = −C−1(AQ + D). (2.41)

Substituindo em (2.34):

(F P +G+J R−KC−1A)Q+(F −J C−1A)QN −J C−1DN −KC−1D+LN +M = 0. (2.42)

Esta equa¸cão contem só Q como desconhecida, mas não é trivial, já que Q está embutida em alguns termos. Neste caso, pode ser usada a vetoriza¸cão.

vec(AXB) = (B0⊗ A)vec(X). Aplicando a vetoriza¸c˜ao a (2.42) obtemos:

vec(Q) = (I ⊗ (F P + G + J R − KC−1A) + (N0⊗ (F − JC−1A)))−1

∗ vec(J C−1DN + KC−1D − LN − M ). (2.43)

Uma vez que Q ´e obtida, podemos calcular S. Portanto o sistema (2.29) pode ser resol-vido.

2.5 Representa¸

c˜

ao em espa¸

co de estado

Uma vez que é aplicado qualquer um dos três métodos descritos anteriormente, o sistema pode ser escrito como um modelo em espa¸co de estados. Lembremos que o vetor ˆxt

(38)

esta composto de variáveis endógenas ˆkt e exógenas zt, i.e. ˆxt = (ˆkt, zt) e ˆyt é o vetor de variáveis de controle, defina o vetor St = (ˆyt−1, ˆkt, zt), portanto podemos escrever o sistema como:

St+1 = GSt+ F vt+1,

onde as matrizes G e F estão compostas pelas matrizes definidas nos métodos anteriores que dependem dos parâmetros. As matrizes G e F geralmente tem a seguinte forma:

G =        0 Gyk Gyz 0 Gkk Gkz 0 0 N        e F =        0 0 I        ,

onde as matrizes Gij, i, j = y, k, z, são fun¸cões dos parâmetros. Certas variáveis contidas em St são observáveis e outras não. Seja Yt = (Y1t, . . . , Yrt) o conjunto de variáveis observáveis num per´ıodo t. Portanto, o modelo em espa¸co de estado tem a forma:

Yt = a + HSt, (2.44)

St+1 = GSt+ F vt+1, (2.45)

onde a e H são matrizes de constantes conhecidas ou fun¸cões dos parâmetros. Notemos a ausência de erros nas medidas, dado que zt, o vetor de estado St, é parcialmente determin´ıstico.

Note que a evolu¸cão do processo para as inova¸cões zt permanece isolado na equa¸cão (2.45), já que ele foi definido como um processo VAR (do inglês, Vector Autoregressive) estacionário

zt+1 = N zt+ vt+1,

onde, por simplicidade, N foi assumido matriz diagonal e vt+1 ∼ N (0, Σ) uma distribui¸c˜ao normal multivariada com matriz de dispers˜ao diagonal Σ = diag(σ2₁, . . . , σ2_n_v).

2.6 Estima¸

c˜

ao dos parˆ

ametros do modelo

Dado que o sistema acima está escrito em espa¸co de estado e são assumidos choques nor-mais na equa¸cão (2.45), podemos usar o filtro de Kalman para avaliar a verossimilhan¸ca

(39)

condicionada aos parâmetros θ. Para maior detalhe de como é feita a aproxima¸cão da verossimilhan¸ca, ver Apêndice C ou Fernandez-Villaverde e Rubio-Ramirez (2005). Logo depois, estamos prontos para incorporar esta verossimilhan¸ca que denotamos por pF K(Y1, . . . , Yn|θ) num processo de estima¸cão.

Em uma abordagem bayesiana, a principal ferramenta de inferência é a distribui¸cão a posteriori dos parâmetros condicionada nas observa¸cões, p(θ|Y1, . . . , Yn). A densidade a posteriori é proporcional ao produto da verossimilhan¸ca e uma distribui¸cão a priori. Portanto, precisamos especificar a priori dos parâmetros, p(θ), e avaliar a fun¸cão de verossimilhan¸ca.

Em muitos casos, a distribui¸cão a posteriori dos parâmetros não tem a forma de uma distribui¸cão conhecida, portanto, métodos de simula¸cão estocástica são usados. O algoritmo de Metropolis-Hastings é o mais utilizado. O algoritmo para simular cadeias {θi}Mi=1 de p(θ|Y1, . . . , Yn) é o seguinte:

Passo 0, Inicializa¸c˜ao: Seja i = 0 e um valor inicial θi. Avalie o modelo em espa¸co de estados por algum m´etodo de esperan¸cas racionais e avalie p(θi) e pF K(Y1, . . . , Yn|θi). Coloque i = i + 1.

Passo 1, Amostrar uma proposta: Obtenha uma proposta θ_ip = θi−1 + i, onde i ∼ N (0, Σp).

Passo 2, Resolvendo o modelo: Resolva o modelo para θ_ip, i.´e., avaliar o modelo em espa¸co de estados por algum m´etodo de esperan¸cas racionais.

Passo 3, Avaliando a proposta: Avalie p(θ_ip) e pF K(Y1, . . . , Yn|θpi). Passo 4, Aceita¸c˜ao/Rejei¸c˜ao: Amostre χi ∼ U (0, 1). Se χi ≤

p(θp_i)pF K(Y1,...,Yn|θ_ip)

p(θi−1)pF K(Y1,...,Yn|θi−1)

então fa¸ca θi = θip em caso contrário, fa¸ca θi = θi−1. Se i < M , então fa¸ca i = i + 1 e vá pra o passo 1. Do contrário, termine.

Cabe notar que no passo 2, quando resolvemos o modelo para a proposta θ_ip, este é resolvido por um método de esperan¸cas racionais, como os que foram descritos na se¸cão 2.4, e no Apêndice B é descrito detalhadamente o método de Klein para uma aplica¸cão real que será dada no cap´ıtulo 3.

(40)

Uma vez obtido {θi}Mi=1, qualquer momento pode ser calculado através de p(θ|Y1, . . . , Yn). Para ver a convergência do algoritmo é preciso o uso de diagnósticos de convergência. Na prática, é extremamente importante ajustar a variância das inova¸cões da densidade proposta para obter uma taxa de aceita¸cão apropriada. Se a taxa é baixa demais, a ca-deia pode não visitar regiões da distribui¸cão a posteriori. Se a taxa de aceita¸cão é alta, a cadeia não permanece o tempo suficiente nas regiões de alta probabilidade. Na literatura ´

e sugerido uma taxa de aceita¸c˜ao entre o 20% e 40% para obter uma boa convergˆencia.

2.7 Considera¸

c˜

oes finais

Neste cap´ıtulo foi detalhado como é resolvido um modelo DSGE desde a formula¸cão como um problema de maximiza¸cão da utilidade esperada até a estima¸cão dos parâmetros en-volvidos. Notemos que em todo o processo de resolu¸cão foi suposto normalidade nos choques. Nos cap´ıtulos seguintes, exploraremos outras alternativas para a distribui¸cão dos choques; por exemplo, Chib e Ramamurthy (2014) consideram erros t-Student inde-pendentes e Fernandez-Villaverde et al. (2015) analisam modelos DSGE com estrutura de volatilidade estocástica independente.

Nos cap´ıtulos subsequentes pretendemos generalizar estas abordagens. No cap´ıtulo 3, estudamos modelos DSGE log-linearizados escritos em espa¸co de estado com estru-turas t-Student multivariadas e correlacionadas e introduzimos a distribui¸c˜ao t-Student generalizada. E, no cap´ıtulo 4, estendemos estes modelos para introduzir volatilidade estoc´astica dependente entre os choques.

(41)

Cap´ıtulo 3

DSGE com variˆ

ancia n˜

ao

estruturada

No Cap´ıtulo 2 foi discutido como todo modelo DSGE, quando é formulado como um problema de maximiza¸cão da utilidade esperada, pode ser escrito como equa¸cões de espa¸co de estados. Para isso, é necessário encontrar as equa¸cões de equil´ıbrio, estado estável, log-lineariza¸cão e resolu¸cão das esperan¸cas racionais. Após obter as equa¸cões de espa¸co de estados, pode-se aplicar o filtro de Kalman e aproximar a verossimilhan¸ca condicionada aos parâmetros para finalmente estimar os parâmetros.

Em todo esse processo geralmente supõe-se normalidade entre os choques envolvi-dos, e, portanto, o filtro de Kalman pode ser aplicado quando escreve-se o sistema como espa¸co de estado. No entanto, uma pergunta natural surge: por que não supor que os cho-ques seguem alguma outra distribui¸cão, como sugerem alguns artigos que estudam esta questão, Chib e Ramamurthy (2014) e Curdia et al. (2014), que consideram distribui¸cões t-Student independentes para os choques?

O propósito deste cap´ıtulo é estender o modelo, considerando uma distribui¸cão t-Student multivariada com correla¸cão entre os choques e, também, a distribui¸cão t-Student generalizada entre os choques.

(42)

3.1 Modelo DSGE com distribui¸

c˜

ao t-Student

No cap´ıtulo 2 foi mostrado que todo modelo DSGE pode ser representado em espa¸co de estado (2.44)-(2.45) como:

Yt = a + HSt, t ≤ n, (3.1)

St+1 = GSt+ F vt+1, t ≤ n, (3.2)

onde Yt é o vetor de observa¸cões e St é o vetor de estado definido como St= (ˆyt−1, ˆkt, zt), onde ˆkt representa as variáveis endógenas, zt as variáveis exógenas e ˆyt as variáveis de controle. As variáveis exógenas zt: q×1 sáo definidas como um processo VAR estacionário com matriz diagonal N :

zt= N zt−1+ vt.

Muitos autores consideram vt ∼ N (0, Σ) uma distribui¸c˜ao normal multivariada com matriz de dispers˜ao diagonal Σ = diag(σ2

1, . . . , σq2). O artigo de Chib e Ramamurthy (2014) assume uma distribui¸cão t-Student para vt, tal que Σ, uma matriz diagonal, cada elemento vjt de vt está definido como uma mistura de normais introduzindo as variáveis λjt, de forma que:

vjt = λ −1/2

jt j, λjt ∼ Ga(νj/2, νj/2), j ≤ q, t ≤ n,

onde j ∼ N (0, σ2j). Quando integramos λjt obtemos a distribui¸cão t-Student, dado que Σ é diagonal e os componentes são não correlacionados. Note que, dadas as variáveis de mistura, λjt; zjt|zjt−1, λjt é gaussiano.

3.1.1 Modelo t-Student multivariado

Em algumas aplica¸cões, a matriz de covariâncias diagonal nos choques não é suficiente para explicar o comportamento das variáveis já que a dependência entre choques não está sendo capturada. Portanto, nossa abordagem consiste em usar uma distribui¸cão t-Student para vt, assumindo Σ não diagonal e considerando a mistura normal-gama (Bernardo e Smith, 1994).

(43)

Note que num contexto bayesiano é preciso especificar uma distribui¸cão a priori para Σ. Nesta tese usaremos a decomposi¸cão proposta por Barnard et al. (2000), considerando a matriz de covariância como:

Σ = diag(S) R diag(S),

onde R é a matriz de correla¸cão e diag(S) representa uma matriz diagonal cujos elementos são o vetor de desvios padrão de Σ. É razoável considerar uma priori independente para S e R, isto é:

p(S, R) = p(S)p(R).

Esta decomposi¸cão nos permite tratar o desvio padrão e a correla¸cão separadamente, ao invés de usar diretamente uma priori para a matriz de covariâncias Σ. A priori que será usada para R tem distribui¸cão uniforme, isto é, p(R) ∝ 1. Note que esta priori conjunta não implica necessariamente em uma priori uniforme marginal para cada componente de R, devido à restri¸cão de que R tem que ser positiva definida. Para o vetor de desvios padrão S = (σ1, . . . , σq)0 atribu´ımos uma priori Gama Inversa para cada σj, j ≤ q dada por:

σj ∼ GI(0, 001 ; 0, 001), j = 1, . . . , q.

Se consideramos os graus de liberdade como desconhecidos, daremos uma priori indepen-dente para ν proposta por Fonseca et al. (2008):

p(ν) ∝ _ν ν + 3 1/2( ϑ0(ν/2) − ϑ0((ν + 1)/2) − 2(ν + 3) ν(ν + 1) )1/2 , (3.3)

onde ϑ(a) = d logΓ(a)/da e ϑ0(a) = d{ϑ(a)}/da s˜ao as fun¸c˜oes digama e trigama, respectivamente.

3.1.2 Modelo t-Student generalizado

Ao invés de usar uma única variável misturadora no modelo, nos propomos a usar mais de uma variável misturadora, uma para cada elemento da diagonal na matriz de covariância Σ. Considere a mistura para vt como:

vt ∼ N (0, Λ 1/2 t ΣΛ 1/2 t ), Λt = diag(λ−11t , . . . , λ −1 qt ), (3.4) λjt ∼ Ga(νj/2, νj/2), j ≤ q, t ≤ n.

(44)

Notemos que Λ1/2_t ΣΛ1/2_t produz a mesma matriz de correla¸cão que Σ, mas a mistura de variáveis por componente pode ser útil para detectar quebras estruturais na equa¸cão de estado. Além disso, note que, quando Σ é diagonal, o modelo geral é reduzido a distribui¸cões t-Student independentes univariadas com diferentes graus de liberdade.

A seguir formulamos um lema que diz como esta transforma¸cão preserva a correla¸cão entre as variáveis.

Lema: Seja X ∼ N (0, Σ) e Y = Λ1/2X com Λ1/2 = diag(λ−1/2₁ , . . . , λ−1/2_q ). Portanto, a matriz de correla¸cão de Y é a mesma que a matriz de correla¸cão de X.

Prova: ´E s´o notar que:

var(Y ) = Λ1/2 _{var(X) Λ}1/2_{= Λ}1/2_{diag(S) R diag(S)Λ}1/2 _{= diag(S}∗_{) R diag(S}∗₎

onde S∗ = (λ−1/2₁ σ1, . . . , λ−1/2q σq), o que implica que a matriz de correla¸c˜ao R coincide para ambas vari´aveis.

3.2 Estima¸

c˜

ao dos parˆ

ametros

Suponha o modelo escrito em espa¸co de estado da forma que foi dada em (3.1)-(3.2), onde Yt denota as observa¸cões, St os estados, vt o vetor de choques e as matrizes H, G e F dependem dos parâmetros θ. Seja p(θ) a distribui¸cão a priori dos parâmetros, e p(Y1:n|θ) a distribui¸cão amostral dos dados condicionado a θ. Nosso interesse está na distribui¸cão a posteriori:

p(θ|Y1:n) ∝ p(Y1:n|θ)p(θ). (3.5)

O objetivo, portanto, ´e sumarizar numericamente a posteriori nos baseando nas amos-tras {θi}N

i=1. A seguir, descrevemos o algoritmo MCMC a ser usado. Note que p(Y1:n|θ) não é fácil de calcular, ele requer uso de um método de aproxima¸cão, como ser o filtro de part´ıculas. Mas, condicionada a λt = {λjt}qj=1, p(Y1:n|θ, λ1:n) está dispon´ıvel pelo filtro de Kalman. Portanto, a posteriori condicional p(θ|Y1:n, λ1:n) será amostrada por passeio aleatório num Metropolis-Hastings. Dada a estrutura gaussiana condicional do sistema, S1:n|λ1:n, θ e λ1:n|S1:n, θ pode ser amostrada diretamente.

(45)

caso t-Student, e vt ∼ N (0, Λ1/2t ΣΛ 1/2 t ), Λt = diag(λ−11t , . . . , λ −1 qt ) λjt ∼ Ga(νj/2, νj/2), j ≤ q, t ≤ n,

no caso da t-Student generalizada.

A distribui¸cão conjunta dos dados e as variáveis não observáveis (parâmetros e variáveis latentes) está dada por:

p(v1:n|λ1:n, θ) ∝ n Y t=1 λ1/2_t |Σ|−1/2exp[− n X t=1 1 2λtv 0 tΣ −1 vt]. (3.7)

No caso da se¸c˜ao 3.1.2 (t-Student generalizada), se obtˆem como:

p(v1:n|λ1:n, θ) ∝ n Y t=1 |Λ1/2_t ΣΛ1/2_t |−1/2 exp[− n X t=1 1 2v 0 t(Λ 1/2 t ΣΛ 1/2 t )−1vt]. (3.8)

O algoritmo a usar ´e o seguinte:

1. Seja i = 1 e inicialize θ0 _{e λ}0 1:n;

2. Para cada i, escreva o modelo em espa¸co de estado usando algum m´etodo das esperan¸cas racionais;

3. Amostrar θi_|Y

1:n, λi−11:n por passeio aleat´orio num Metropolis-Hastings;

4. Amostrar Si

t de St|Yt, θi, λi−1t , para t ≤ n usando o esquema FFBS;

5. Amostrar λi_t de λjt|Yt, θi, Sti, j ≤ q, t ≤ n segundo o caso da se¸c˜ao 3.1.1 ou da se¸c˜ao 3.1.2;

6. Incrementar i para i + 1 e vai pra o passo 2;

7. Retornar a amostra {θi}M i=1.

(46)

3.2.1 Amostrando os parˆ

ametros θ

Notemos que amostrar de θ pode ser um pouco complicado, já que θ está composto daqueles parâmetros que aparecem como fun¸cão das matrizes no modelo escrito em espa¸co de estado (3.1)-(3.2), das correla¸cões e os graus de liberdade νj, j ≤ q. Portanto, para poder calcular p(Y1:n|λ1:n, θ) para um valor de θ dado, primeiro precisamos resolver o modelo por algum método de esperan¸cas racionais (para ver um algoritmo detalhado, no Apêndice B é apresentado o método de Klein para uma aplica¸cão). A fun¸cão de verossimilhan¸ca é complicada para este tipo de modelos (inclusive os de pequena escala), e uma fun¸cão aproximada dela tem que ser calculada. No Apêndice C é dado um algoritmo geral para aproximar a verossimilhan¸ca para um modelo em espa¸co de estado com choques normais usando o filtro de Kalman. Este algoritmo será usado para nosso modelo t-Student, já que o modelo em espa¸co de estado condicionado aos parâmetros de mistura tem distribui¸cão normal. Com suas devidas modifica¸cões, o algoritmo do Apêndice C pode ser aplicado.

Para usar o amostrador de Gibbs com passos de Metropolis, precisamos calcular a condicional completa de θ, dada por:

e calculado usando o filtro de Kalman no modelo em espa¸co de estado (3.1)-(3.2). A amostra é obtida de um passeio aleatório num passo de Metropolis-Hasting. O algoritmo para simular uma amostra θi, para cada i = 1, . . . , M de p(θ|Y1:n, λ1:n) está dado por:

Passo 0, Inicializa¸cão: Para o valor de θi−1, avalie o modelo em espa¸co de esta-dos (3.1)-(3.2) pelo método de Klein (Apêndice B) e avalie p(θi−1), p(Y1:n|λi−11:n, θi−1) e p(λi−1_1:n|θi−1).

Passo 1, Amostrar uma proposta: Obtenha uma proposta θ_ip = θi−1 + i, onde i ∼ N (0, Σp), com Σp matriz diagonal.