3.3 Estudo de simula¸c˜ ao
3.3.1 Cen´ ario 1: Amostras geradas do modelo t-Student multivariado
Fazemos uma simula¸c˜ao Monte Carlo para estudar as propriedades frequentistas dos esti- madores bayesianos dos parˆametros. Geramos 500 r´eplicas de uma distribui¸c˜ao t-Student multivariada de dimens˜ao 3 como uma mistura normal-gama, vt ∼ N (0, λ−1t Σ), λt ∼ Ga(ν/2, ν/2), com grau de liberdade ν = 4 e,
Σ = 1
11(I + aιι 0
),
ι ´e um vetor cujos elementos s˜ao todos iguais a 1. Se a igual a 1 implica em uma correla¸c˜ao comum de 0,5; e se a igual a 10 implica uma correla¸c˜ao de 0,91, como foi proposto por Barnard et al. (2000).
Dada a matriz Σ, fazemos a decomposi¸c˜ao detalhada na se¸c˜ao 3.1.1. As prioris para S e R onde S = (σ1, σ2, σ3)0, est˜ao dadas por:
σi ∼ GI(0, 001 ; 0, 001), i = 1, 2, 3 e p(R) ∝ 1.
Geramos quatro tipos de amostras diferentes para dois tamanhos de n = 40 e n = 80 e para duas correla¸c˜oes diferentes de ρ = 0, 5 e ρ = 0, 91. Estudamos as propriedades frequentistas dos estimadores bayesianos dos parˆametros. As medidas calculadas s˜ao: a raiz quadrada do erro quadr´atico m´edio relativo (EQMR), o vi´es e a cobertura. Suponha que ˆρ(k) ´e a m´edia a posteriori de ρ para cada replica¸c˜ao k. Ent˜ao:
EQM (ρ) =
P500
k=1( ˆρ(k)− ρ)2
500 .
Portanto, EQM R(ρ) =qEQM (ρ)/ρ. O vi´es ´e calculado como:
vi´es(ρ) =
P500
k=1|ˆρ(k)− ρ|
500 .
Para cada replica¸c˜ao calculamos o intervalo de credibilidade do 95% para todos os parˆametros. Portanto a cobertura (que ser´a abreviada por cob) ´e calculada como:
cob(ρ) = 1 500 500 X k=1 1Ak(ρ),
onde Ak ´e o intervalo de credibilidade do 95% de ρ para cada replica¸c˜ao k, isto ´e, Ak = (rk0,025; rk0,975) onde rlk denota l × 100% a sa´ıda da cadeia MCMC da replica¸c˜ao k. Analogamente ´e feito para o resto dos parˆametros.
Nas tabelas 3.1, 3.2 e 3.3 mostramos EQM R, o vi´es e a cobertura para os quatro tipos de amostras geradas neste cen´ario. Estas amostras s˜ao estimadas com os trˆes modelos descritos na subse¸c˜ao anterior.
n=40 n=80
ρ = 0, 5 ρ = 0, 91 ρ = 0, 5 ρ = 0, 91
EQMR vi´es cob EQMR vi´es cob EQMR vi´es cob EQMR vi´es cob σ1 0,148 0,050 0,938 0,167 0,141 0,856 0,104 0,037 0,950 0,123 0,102 0,904
σ2 0,151 0,053 0,930 0,165 0,142 0,944 0,102 0,036 0,976 0,124 0,105 0,900
σ3 0,136 0,047 0,950 0,163 0,142 0,940 0,114 0,040 0,908 0,124 0,102 0,934
ρ 0,200 0,081 0,954 0,039 0,028 0,944 0,153 0,059 0,936 0,029 0,019 0,868 ν 0,469 1,375 0,936 0,528 1,217 0,890 0,304 0,887 0,970 0,284 0,929 0,900 Tabela 3.1: Propriedades frequentistas para 500 replica¸c˜oes geradas de um modelo t- Student multivariado com uma ´unica correla¸c˜ao e sendo estimados com o modelo t- Student multivariado com uma ´unica correla¸c˜ao (M1).
n=40 n=80
ρ = 0, 5 ρ = 0, 91 ρ = 0, 5 ρ = 0, 91
EQMR vi´es cob EQMR vi´es cob EQMR vi´es cob EQMR vi´es cob σ1 0,157 0,052 0,866 0,170 0,138 0,900 0,114 0,040 0,918 0,116 0,093 0,912 σ2 0,128 0,043 0,958 0,167 0,135 0,902 0,099 0,034 0,944 0,117 0,094 0,904 σ3 0,138 0,047 0,960 0,171 0,135 0,912 0,093 0,031 0,976 0,115 0,093 0,926 ρ12 0,327 0,126 0,944 0,041 0,029 0,944 0,202 0,078 0,962 0,026 0,018 0,944 ρ13 0,271 0,108 0,968 0,043 0,029 0,926 0,183 0,075 0,976 0,026 0,018 0,966 ρ23 0,254 0,099 0,964 0,041 0,029 0,910 0,214 0,080 0,932 0,029 0,020 0,934 ν 0,346 1,181 0,900 0,370 1,244 0,888 0,251 0,823 0,966 0,320 0,937 0,886 Tabela 3.2: Propriedades frequentistas para 500 replica¸c˜oes geradas de um modelo t- Student multivariado com uma ´unica correla¸c˜ao e sendo estimados com o modelo t- Student multivariado (M2).
Notemos que os modelo 2 e 3 sup˜oem correla¸c˜oes diferentes em suas estimativas, dado que os dados foram gerados do modelo 1, que considera uma ´unica correla¸c˜ao. Portanto, quando estes dados s˜ao estimados com os modelos 2 e 3 eles estimam como diferentes das correla¸c˜oes que s˜ao iguais, o que implica que as estimativas de ρ12, ρ13 e ρ23 devem
n=40 n=80
ρ = 0, 5 ρ = 0, 91 ρ = 0, 5 ρ = 0, 91
EQMR vi´es cob EQMR vi´es cob EQMR vi´es cob EQMR vi´es cob σ1 0,460 0,165 0,910 0,403 0,325 0,944 0,399 0,156 0,860 0,382 0,338 0,878 σ2 0,460 0,163 0,928 0,403 0,326 0,958 0,400 0,153 0,894 0,383 0,342 0,850 σ3 0,446 0,162 0,918 0,414 0,333 0,930 0,393 0,153 0,840 0,390 0,345 0,876 ρ12 0,322 0,131 0,884 0,043 0,034 0,790 0,226 0,091 0,880 0,036 0,028 0,866 ρ13 0,317 0,128 0,884 0,050 0,037 0,760 0,234 0,094 0,860 0,034 0,028 0,862 ρ23 0,320 0,130 0,876 0,045 0,035 0,760 0,226 0,089 0,872 0,034 0,028 0,896 ν1 0,466 1,557 0,928 1,799 5,105 0,840 0,498 1,496 0,938 2,538 7,925 0,894 ν2 0,480 1,532 0,910 1,638 5,016 0,838 0,550 1,590 0,916 2,477 7,938 0,908 ν3 0,479 1,536 0,946 1,629 4,791 0,822 0,512 1,527 0,934 2,558 7,965 0,928
Tabela 3.3: Propriedades frequentistas para 500 replica¸c˜oes geradas de um modelo t- Student multivariado com uma ´unica correla¸c˜ao e sendo estimados com o modelo t- Student generalizado (M3).
mostrar propriedades similares, j´a que neste caso ρ = ρ12 = ρ13= ρ23. Analogamente, o mesmo acontece com os graus de liberdade no modelo 3.
Podemos observar que, para cada tabela quando o tamanho de amostra aumenta. O EQMR ´e reduzido para todos os parˆametros, independentemente se as amostras foram geradas com uma correla¸c˜ao comum de 0,5 ou 0,91. Dado que os dados foram gerados de um modelo com uma correla¸c˜ao e um grau de liberdade, o modelo 1 ´e o que possui os menores EQMR e vi´es em rela¸c˜ao aos modelos 2 e 3. Finalmente, se os dados s˜ao de natureza simples, estim´a-los com modelos complexos pode talvez n˜ao melhorar sua estimativa. Mas, em geral, como n˜ao se conhece a natureza dos dados com os que se trabalha, considerar o modelo mais simples pode n˜ao ser uma boa pr´atica, como ficar´a evidenciado no cen´ario 2.
A tabela 3.4 mostra a propor¸c˜ao de acertos dos modelos para este cen´ario. Para cada replica¸c˜ao foi calculada a log-verossimilhan¸ca marginal dos trˆes modelos ajustados. Foi escolhido aquele modelo que apresenta a log-verossimilhan¸ca marginal maior. Notemos que os dados foram gerados de um modelo simples; por esta raz˜ao, todos os trˆes modelos podem capturar sua natureza, que ´e reflexo na propor¸c˜ao de acerto.
Dados/Modelo Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 t-Student multivariado 0,416 0,280 0,304
Tabela 3.4: Propor¸c˜oes de decis˜oes corretas no estudo de simula¸c˜ao para dados gerados de um modelo t-Student multivariado e estimados com os modelos t-Student multivariado com uma ´unica correla¸c˜ao (M1), t-Student multivariado (M2) e t-Student generalizado (M3).
3.3.2
Cen´ario 2: Amostras geradas do modelo t-Student gene-
ralizado
Suponha que geramos 500 r´eplicas do modelo da se¸c˜ao 3.1.2, que corresponde ao modelo t-Student generalizado e se caracteriza por considerar v´arias vari´aveis de mistura e v´arios graus de liberdade. Geramos para dois tamanhos diferentes de amostras, n = 40 e n = 80, fixando os valores dos parˆametros em σ2
1 = σ22 = σ23 = 0, 18, ν1 = 2, ν2 = 4, ν3 = 6 e R = 1 0, 9 0, 7 0, 9 1 0, 4 0, 7 0, 4 1 .
Neste cen´ario tamb´em estudamos as propriedades frequentistas dos estimadores baye- sianos: EQMR, o vi´es e a cobertura. Nas tabelas 3.5, 3.6 e 3.7 mostramos os resultados destas propriedades para os dados gerados, estimados com os modelos descritos anteri- ormente.
Notemos que, dado que o modelo 1 sup˜oe que todas a correla¸c˜oes e graus de liberdade s˜ao iguais, temos ˆρ12 = ˆρ13 = ˆρ23 = ˆρ(k), onde ˆρ(k) ´e a m´edia posteriori para cada replica¸c˜ao k estimada com o modelo 1. Ent˜ao,
EQM (ρij) = P500 k=1( ˆρ(k)− ρij)2 500 . Portanto, EQM R(ρij) = q
EQM (ρij)/ρij. Para cada replica¸c˜ao calculamos o inter- valo de credibilidade do 95% para todos os parˆametros. A cobertura ´e calculada como:
cob(ρij) = 1 500 500 X k=1 1Ak(ρij).
n=40 n=80 EQMR vi´es cob EQMR vi´es cob σ1 0,226 0,073 0,902 0,181 0,059 0,878 σ2 0,189 0,066 0,856 0,136 0,048 0,862 σ3 0,173 0,067 0,888 0,130 0,046 0,874 ρ12 0,392 0,345 0 0,381 0,338 0 ρ13 0,233 0,146 0,644 0,213 0,138 0,362 ρ23 0,429 0,157 0,626 0,427 0,161 0,320 ν1 0,726 0,883 0,956 0,501 0,717 0,886 ν2 0,444 1,585 0,614 0,381 1,412 0,474 ν3 0,582 3,367 0,278 0,569 3,342 0,116
Tabela 3.5: Propriedades frequentistas para 500 replica¸c˜oes geradas do modelo t-Student generalizado, sendo estimado com o modelo t-Student multivariado com uma ´unica cor- rela¸c˜ao (M1).
n=40 n=80
EQMR vi´es cob EQMR vi´es cob σ1 0,214 0,070 0,886 0,162 0,053 0,870 σ2 0,201 0,072 0,834 0,151 0,055 0,826 σ3 0,201 0,072 0,820 0,164 0,059 0,760 ρ12 0,203 0,173 0,820 0,190 0,095 0,892 ρ13 0,151 0,080 0,758 0,164 0,076 0,855 ρ23 0,307 0,077 0,916 0,273 0,069 0,866 ν1 0,430 0,547 0,966 0,303 0,435 0,948 ν2 0,484 1,826 0,483 0,443 1,703 0,286 ν3 0,640 3,773 0,178 0,621 3,693 0,048
Tabela 3.6: Propriedades frequentistas para 500 replica¸c˜oes geradas do modelo t-Student generalizado, sendo estimado com o modelo t-Student multivariado (M2).
Onde Ak ´e o intervalo de credibilidade do 95% de ρij para cada replica¸c˜ao k, isto ´e Ak = (r0,025k ; rk0,975), onde rlk denota o percentil l × 100 da sa´ıda da cadeia do MCMC da replica¸c˜ao k. Similarmente ´e feito para os graus de liberdade e para o modelo 2.
Notemos que os dados foram gerados de um modelo onde se sup˜oe que as correla¸c˜oes e os graus de liberdade s˜ao diferentes. Portanto, quando os dados s˜ao ajustados com o modelo 1 se vˆe reflexo no vi´es, EQMR e, principalmente, na cobertura a incapacidade de estimar os parˆametros, j´a que o modelo 1 estima como iguais os parˆametros que s˜ao diferentes. Notemos tamb´em que o EQMR e o vi´es fica reduzido e a cobertura aumentada no modelo 3 em rela¸c˜ao ao modelo 1 e 2. Por outro lado, os desvios padr˜ao em geral s˜ao
n=40 n=80 EQMR vi´es cob EQMR vi´es cob σ1 0,190 0,069 0,916 0,140 0,042 0,904 σ2 0,169 0,063 0,920 0,138 0,043 0,934 σ3 0,180 0,059 0,935 0,126 0,042 0,913 ρ12 0,176 0,098 0,884 0,157 0,085 0,902 ρ13 0,174 0,083 0,915 0,165 0,073 0,928 ρ23 0,294 0,071 0,930 0,266 0,060 0,932 ν1 0,545 0,952 0,932 0,550 1,029 0,952 ν2 0,365 1,322 0,862 0,348 1,214 0,908 ν3 0,347 1,941 0,896 0,318 1,459 0,878
Tabela 3.7: Propriedades frequentistas para 500 replica¸c˜oes geradas do modelo t-Student generalizado, sendo estimado com o modelo t-Student generalizado (M3).
bem estimados nos trˆes modelos. Podemos concluir que, se os dados tˆem uma natureza complexa, um modelo simples n˜ao ´e capaz de capturar seu comportamento. Portanto, em dados reais onde a natureza pode ser complexa, o modelo 3 que corresponde ao da se¸c˜ao 3.1.2 (Modelo t-Student generalizado) se espera que se desempenhe melhor que os outros modelos mais simples.
Na tabela 3.8 mostramos a propor¸c˜ao de acertos dos modelos para este segundo cen´ario. Notemos que, dado que os dados forem gerados de um modelo mais complexo (Modelo t-Student generalizado), somente o modelo 3 pode capturar o comportamento dos dados.
Dados/Modelo Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 t-Student generalizado 0,006 0,042 0,952
Tabela 3.8: Propor¸c˜oes de decis˜oes corretas no estudo de simula¸c˜ao para dados gerados de um modelo t-Student generalizado e estimados com os modelos t-Student multivariado com uma ´unica correla¸c˜ao (M1), t-Student multivariado (M2) e t-Student generalizado (M3).
Portanto, a partir destes estudos de simula¸c˜ao podemos concluir que aqueles dados que possuem uma estrutura complexa nos choques s´o poder˜ao ser estimados com o mo- delo t-Student generalizado, como pode ser comprovado na tabela 3.8. Dado que em uma aplica¸c˜ao real, geralmente n˜ao ´e conhecida a natureza dos dados, n˜ao ´e uma boa
pr´atica estimar esses dados com o modelo mais simples, j´a que n˜ao se estaria capturando informa¸c˜ao relevante dos dados. Por outro lado, estimar esses dados com o modelo t- Student generalizado da um maior chance de capturar informa¸c˜ao importante dos dados. Este ponto ficar´a mais evidente na aplica¸c˜ao descrita na se¸c˜ao a seguir.
3.4
Aplica¸c˜ao
Considere o modelo proposto por Ireland (2004) de um equil´ıbrio competitivo que consiste em: uma fam´ılia representativa, uma firma representativa que produz um produto final, um n´umero cont´ınuo de firmas intermedi´arias e um banco central. Daremos uma vers˜ao simplificada do modelo. Para maiores detalhes matem´aticos e econˆomicos, ver as notas de Ireland (2004).