Ao longo deste cap´ıtulo foi discutido como um modelo DSGE pode ser implementado con- siderando a modelagem da variˆancia de forma n˜ao estruturada. Para isso, foi proposto um modelo t-Student multivariado considerando a correla¸c˜ao e um modelo t-Student generalizado constru´ıdo usando as misturas de Normal-Gama. O modelo t-Student gene- ralizado foi constru´ıdo usando uma vari´avel misturadora para cada componente seguindo cada uma delas uma distribui¸c˜ao gama univariada.
Foi feito um estudo de simula¸c˜ao para comparar o desempenho dos modelos e, final- mente, foi feita uma aplica¸c˜ao de dados reais, onde estes modelos se mostraram superiores
aos modelos tradicionais (normal e t-Student diagonal). Com estes resultados, conclui- se que ´e boa pr´atica considerar caudas pesadas nos choques, pois esta suposi¸c˜ao traz melhor ajuste do modelo. Al´em disso, considerar dependˆencia entre choques pode ser muitas vezes explicativo. Isto pode iniciar uma nova gera¸c˜ao nos modelos DSGE, tentar aplicar em economias mais complexas para obter um melhor grau de ajuste e explica¸c˜ao do comportamento das vari´aveis envolvidas.
5 10 15 20 −1.0 0.0 0.5 5 10 15 20 −1.0 0.0 0.5 5 10 15 20 −1.0 0.0 0.5 5 10 15 20 −1.0 0.0 0.5 5 10 15 20 −1.0 0.0 0.5 5 10 15 20 −1.0 0.0 0.5 5 10 15 20 −1.0 0.0 0.5 5 10 15 20 −1.0 0.0 0.5 5 10 15 20 −1.0 0.0 0.5 5 10 15 20 −1.0 0.0 0.5 5 10 15 20 −1.0 0.0 0.5 5 10 15 20 −1.0 0.0 0.5
Figura 3.6: Fun¸c˜ao de resposta ao impulso para o modelo t-Student generalizado (m´edia e intervalo de credibilidade do 95%). Respostas do crescimento do produto, infla¸c˜ao e taxa de juros (colunas) aos impulso de choques nas preferˆencias, custos de produ¸c˜ao,
Cap´ıtulo 4
DSGE com variˆancia estruturada
No cap´ıtulo 3 foi estudado um modelo DSGE com variˆancia n˜ao estruturada, isto ´e, os choques que afetam os processos seguindo a distribui¸c˜ao t-Student multivariada e a distribui¸c˜ao t-Student generalizada.
Seguindo a mesma analogia do cap´ıtulo anterior, iremos, neste cap´ıtulo, impor uma es- trutura na variˆancia. Existem pelo menos trˆes possibilidades neste contexto: volatilidade estoc´astica, modelo GARCH (do inglˆes, Generalized Autoregressive Conditional Heteros- kedasticity) e mudan¸ca de regime (do inglˆes, Markov switching). Na literatura recente existem poucos artigos que abordam os modelos DSGE com volatilidade estoc´astica. Por exemplo, os artigos de Fernandez-Villaverde et al. (2015) e Justiniano e Primiceri (2008) analisam alguns modelos DSGE impondo uma distribui¸c˜ao normal para os choques com estrutura de volatilidade estoc´astica independente e, o artigo de Curdia et al. (2014) trata um DSGE com distribui¸c˜ao t-Student e volatilidade estoc´astica independente entre os choques.
Numa estrutura GARCH a variˆancia num determinado tempo depende somente de seu passado e da inova¸c˜ao do choque elevada ao quadrado. Isto significa que, se te- mos grandes inova¸c˜oes teremos grandes volatilidades no per´ıodo seguinte, n˜ao podemos separar os choques da volatilidade do n´ıvel do choque. Assim como foi dito em Fernandez- Villaverde et al. (2015), a volatilidade estoc´astica por ter mais um choque, proporciona uma flexibilidade maior do que os modelos GARCH.
assuma somente um n´umero discreto de valores, o que ´e um tanto quanto restritivo no sentido que tanto a volatilidade estoc´astica, como os modelos GARCH podem assumir um n´umero cont´ınuo de valores. No entanto, pelas razo˜es explicadas no par´agrafo anterior, n´os enfocaremos este cap´ıtulo somente na volatilidade estoc´astica e nossa contribui¸c˜ao vai em considerar correla¸c˜ao entre os choques.
O prop´osito deste cap´ıtulo ´e explorar os modelos DSGE considerando volatilidade estoc´astica com erros Normais e t-Student multivariado.
4.1
Modelo de volatilidade estoc´astica
Um modelo de volatilidade estoc´astica univariado como foi definido em Chib et al. (2009) e Asai et al. (2006) ´e dado por:
yt = exp(ht/2)t, t = 1, . . . , n, (4.1) ht = µ + φ(ht−1− µ) + ηt, t = 2, . . . , n, (4.2) h1 ∼ N (µ, σ2η/(1 − φ 2)), (4.3) t ηt |ht ∼ N2(0, Σ), Σ = 1 0 0 σ2 η ,
onde yt ´e univariada, ht´e a vari´avel latente univariada e N (0, σ2) e Nm(0, Σ) denotam a distribui¸c˜ao normal univariada com m´edia 0 e variˆancia σ2 e a distribui¸c˜ao multivariada de dimens˜ao m com m´edia 0 e matriz de covariˆancias Σ respectivamente. Neste modelo, condicionado aos parˆametros (µ, φ, σ2
η), a primeira equa¸c˜ao representa a distribui¸c˜ao de yt condicionada a ht e a segunda equa¸c˜ao representa a evolu¸c˜ao markoviana de ht dado ht−1. Este modelo de volatilidade estoc´astica ´e, portanto, um modelo em espa¸co de estados com uma evolu¸c˜ao linear na vari´avel de estado ht, mas com uma equa¸c˜ao de observa¸c˜ao n˜ao linear. Notemos que var(yt|ht) = exp(ht), logo, ht pode ser entendido como o logaritmo da variˆancia condicional a cada tempo t. Para assegurar que a evolu¸c˜ao destas log-volatilidades seja estacion´aria, assume-se que |φ| < 1.
No contexto multivariado, suponha o vetor de observa¸c˜oes ´e yt = (y1t, . . . , ypt); lem- brando que nosso objetivo ´e modelar a matriz de covariˆancias condicionais de ytvariando
no tempo. Existem muitas maneiras disto ser implementado (ver, por exemplo, Asai et al. (2006) e Jacquier et al. (2004), para uma aplica¸c˜ao em duas dimens˜oes ver Yu e Meyer (2006)). Considere a forma mais simples, que pode ser generalizada do modelo univariado como: yt = V 1/2 t t, t = 1, . . . , n, (4.4) ht = µ + Φ(ht−1− µ) + ηt, t = 2, . . . , n, (4.5) h1 ∼ Np(µ, Σ0), (4.6)
com Vt1/2 = diag(exp(h1t/2), . . . , exp(hpt/2)) e
t ηt |ht∼ N2p(0, Σ), Σ = Σ 0 0 Σηη ,
onde ht = (h1t, . . . , hpt). Para reduzir o custo computacional, especialmente quando p ´e grande, as log-volatilidades podem ser assumidas condicionalmente independentes. Neste caso: Φ = diag(φ11, . . . , φpp) e Σηη = diag(σ1,ηη2 , . . . , σ 2 p,ηη),
s˜ao ambas matrizes diagonais. Por prop´ositos de identifica¸c˜ao, os elementos da diagonal de Σ devem ser uns, o que significa que Σ = R ´e a matriz de correla¸c˜ao de t. Portanto, condicionado em ht, var(yt) = V
1/2
t RV
1/2
t varia no tempo, mas a matriz de correla¸c˜ao R n˜ao varia no tempo.
Dado que estamos considerando Φ como diagonal, isto implica que n˜ao se est´a permi- tindo efeitos de causalidade de Granger entre as volatilidades; al´em disso, ao considerar Σηη diagonal, n˜ao se est´a considerando dependˆencia cruzada entre as volatilidade. Fi- nalmente, notemos que cov(t, ηt|ht) = 0, o que significa que n˜ao efeitos de alavancagem (leverage) s˜ao considerados entre os choques observacionais e de volatilidade.
Harvey et al. (1994) trabalham com este modelo em particular para estimar os parˆametros (φ11, . . . , φpp), µ, Σηη e R, linearizando a equa¸c˜ao de observa¸c˜ao (4.4), ele- vando ao quadrado ambos lados da equa¸c˜ao e tomando logaritmos. Seja wit = log yit2,
note que log 2it tem uma distribui¸c˜ao log-qui quadrada com m´edia e variˆancia:
E(log 2it) = ψ(1) − log 2 ' −1, 2704, var(log 2it) = π2/2 ' 4, 9348,
onde ψ(.) ´e a fun¸c˜ao digama. Portanto, um modelo linear em espa¸co de estado ´e obtido:
wt = (−1, 2704)1 + ht+ ξt, (4.7)
ht = µ + Φ(ht−1− µ) + ηt, t = 2, . . . , n, h1 ∼ Np(µ, Σ0),
onde wt = (w1t, . . . , wpt)0, ξt = (ξ1t, . . . , ξpt)0, ξit = log 2it+ 1, 2704 e 1 = (1, . . . , 1)0. Embora ξtn˜ao siga uma distribui¸c˜ao normal, Kim et al. (1998) aproximam a distribui¸c˜ao de log 2it como a mistura de sete distribui¸c˜oes gaussianas, tal que os primeiros quatro momentos de ambas densidades sejam iguais.
Kastner e Fruhwirth-Schnatter (2014) usam o algoritmo ASIS (do inglˆes, Ancillarity- Sufficiency Interweaving Strategy) proposto por Yu e Meng (2011) para estimar modelos de volatilidade estoc´astica. Este algoritmo surge como uma alternativa `a amostragem por MCMC, basicamente, o que faz ´e uma esp´ecie de entrela¸camento entre uma parame- triza¸c˜ao centrada (PC) e uma parametriza¸c˜ao n˜ao centrada (PNC) do modelo, tomando vantagem das discordˆancias de ambas parametriza¸c˜oes, a suficiˆencia do PC com a anci- laridade do PNC, reduzindo substancialmente a dependˆencia markoviana. Por exemplo: o modelo (4.1)-(4.3) seria um modelo PC, mas se definirmos ˜ht = ht− µ e reescrevermos (4.1)-(4.3) em fun¸c˜ao desta nova vari´avel ˜ht, o modelo passaria a formar parte da classe PNC.
Cabe mencionar que o artigo de Kastner e Fruhwirth-Schnatter (2014) tamb´em prop˜oe um algoritmo para amostrar as vari´aveis de estado de volatilidade num contexto MCMC. Este algoritmo, que ´e conhecido como AWOL (do inglˆes, All Without A Loop), que surge como alternativa ao FFBS proposto por Carter e Kohn (1994).
Neste cap´ıtulo, faremos a an´alise de volatilidade estoc´astica usando o MCMC tradici- onal e o esquema FFBS para amostrar as vari´aveis de estado, mas fica como um trabalho futuro usar estas estrat´egias de Harvey et al. (1994) e Kastner e Fruhwirth-Schnatter (2014) para a estima¸c˜ao dos parˆametros num DSGE. Na pr´oxima se¸c˜ao incorporaremos uma estrutura de volatilidade estoc´astica nos modelos DSGE escrito em espa¸co de estado.