21030 0809 AF2 resolucaoV2

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Actividade Formativa 2

Recomendac

¸˜

oes importantes:

• A resolu¸cão correcta das questões envolve, além da óbvia correçcão do resultado final, a capacidade de escrever clara, objectiva e correctamente, de estruturar lo-gicamente as respostas e de desenvolver e de apresentar os cálculos e os racioc´ınios matemáticos utilizando nota¸cão apropriada.

• Justifique cuidadosa e detalhadamente todos os c´alculos, racioc´ınios e afirma¸c˜oes que efectuar.

1. Determine os dom´ınios das seguintes fun¸cões reais de variável real e diga, justificando cuidadosamente, se são, ou não, cont´ınuas no seu dom´ınio

f(x) = x log log x2, g(x) = 10log| cos x|, h(x) = 1 x +

√ cos x,

2. Mostre, recorrendo directamente à defini¸cão de continuidade de uma fun¸cão num ponto, que a fun¸cão u(x) = 1

x2 ´e cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio. Investigue

se esta fun¸cão é, ou não, uniformemente cont´ınua. Calcule, recorrendo à defini¸cão, o valor de lim

x→0u(x), ou prove que este limite n˜ao existe.

3. Considere uma fun¸c˜ao cont´ınua ψ : [0, 1] → [0, 1]. Mostre que ψ tem um ponto fixo em [0, 1], ou seja, existe (pelo menos) um x0 ∈ [0, 1] tal que ψ(x0) = x0.

4. Para cada uma das fun¸cões reais de variável real seguintes, determine (caso exista) a sua fun¸cão derivada, indicando, para cada caso, também o dom´ınio de diferenciabilidade

θ(x) = log_xe, v(x) =p|x|, ℓ(x) = min{|x|, |x − 1|},

5. a) Considere uma fun¸cão G cont´ınua em R e seja F a fun¸cão definida em R pela igualdade F(x) = 1+xG(x). Prove que F é diferenciável no ponto 0 e determine uma equa¸cão da recta tangente ao gráfico de F no ponto de interseçcão deste com o eixo das ordenadas. Mostre que, se G for estritamente monótona, o gráfico de F e a tangente que determinou apenas se intersectam no ponto de tangencia.

b) Utilize o Teorema de Lagrange para concluir que √_{66 ∈}8 + 1 9,8 +

1 8

c) Calcule os limites seguintes lim x→0 sin x − x x_{− tan x}, limx→0 1 xsin x− 1 x2 , lim x→0 sin x x 1x . 6. Fa¸ca um estudo anal´ıtico da fun¸c˜ao definida pela express˜ao ξ(x) = x+8

π arctan 1

x tendo em aten¸cão os seguintes aspectos: dom´ınio, continuidade, diferenciabilidade, intervalos de monotonia, extremos, assimptotas. Esboce o gráfico de ξ tendo em conta a informa¸cão fornecida pelo seu estudo.

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resoluc¸˜ao da actividade formativa 2

1. Consideremos a fun¸cão f e comecemos por observar que esta fun¸cão é obtida pela multi-plica¸cão de duas fun¸cões: a fun¸cão x 7→ x e a fun¸cão x 7→ log log x2_{. O dom´ınio de f é} o conjunto dos x para os quais as opera¸cões indicadas na sua defini¸cão fazem sentido e portanto terão de ser os x para os quais as duas fun¸cões cuja multiplica¸cão dá f fazem sentido, ou seja, terá de ser a interseçcão dos dom´ınios destas duas fun¸c oes. No caso da primeira fun¸cão qualquer valor de x pode ser considerado já que a transforma¸cão indicada por x 7→ x deixa tudo na mesma (é, por isso, normalmente designada por fun¸cão, ou aplica¸cão, identidade). Consequentemente o seu dom´ınio é R. Quanto à segunda fun¸cão, x 7→ log log x2_, _{observe-se que esta é obtida pela seguinte} com-posi¸cão de fun¸cões: come¸cando com o “objecto” x, este é primeiro transformado no seu quadrado, x 7→ x2_{, ao qual depois se aplica o logaritmo (neperiano), x}2 _{7→ log x}2_, e depois, ao resultado desta opera¸cão, é novamente aplicado o logaritmo (neperiano) log x2 _{7→ log log x}2_{. O resultado destas três etapas sucessivas é a fun¸cão composta} x_{7→ log log x}2_:

Qual é o dom´ınio desta fun¸cão: será o conjunto dos x para os quais estas três opera¸cões fazem, todas elas, sentido, ou seja, simbolicamente,

D =x ∈ R : x ∈ Dquadrado∧ x2 ∈ Dlog∧ log x2 ∈ Dlog .

Como Dquadrado = R e Dlog = R+, a primeira condi¸c˜ao, x ∈ Dquadrado, ´e sempre satisfeita e a segunda, x2

∈ Dlog, for¸ca a que x 6= 0. A última restri¸cão é, neste caso, a mais relevante, já que log x2 _{∈ D}

log significa que se tem de ter log x2 ∈ R+, ou seja, log x2 _> _{0. Para determinarmos ue valores de x respeitam esta restri¸cão podemos} aplicar a exponencial (de base e) a ambos os membros desta desigualdade (aten¸cão: como a fun¸cão exponencial é monótona crescente o sentido da desigualdade não se alterará). Fazendo isto tem-se

log x2 _>

0 ⇔ elogx2

> e0 _{⇔ x}2 >_{1 ⇔ (x > 1 ∨ x < −1),} e portanto o dom´ınio de x 7→ log log x2 _´e

D = {x ∈ R : x ∈ R ∧ x 6= 0 ∧ (x > 1 ∨ x < −1)} =] − ∞, −1[∪]1, +∞[

e portanto o dom´ınio de f será Df = R ∩ (] − ∞, −1[∪]1, +∞[) =] − ∞, −1[∪]1, +∞[. Quanto à continuidade de f podemos argumentar de modo análogo: a fun¸cão x 7→ x é cont´ınua no seu dom´ınio. Quanto à fun¸cão x 7→ log log x2_{, ela é composta de} fun¸cões (quadrado e logaritmos) que também são cont´ınuas em todos os pontos dos seus dom´ınios e, portanto, é cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio. Consequen-temente o produto destas duas fun¸cões (ou seja, f ) é cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio.

Consideremos agora a fun¸cão g. O tipo de argumento é análogo ao utilizado ante-riormente: g é a composi¸cão de várias fun¸cões: do coseno, do módulo, do logaritmo

(3)

log|cos x|

log|cos x| cos x

x |cos x|

coseno modulo logaritmo exponencial de base 10

10

g

(neperiano) e da exponencial (de base 10), Portanto, para que a expressão que define g fa¸ca sentido, é necessário que os x sejam tais que qualquer das fun¸cões indicadas no esquema acima fa¸ca sentido, ou seja, o dom´ınio de g é o conjunto

Dg =x ∈ R : x ∈ Dcos∧ cos x ∈ D_|·|∧ | cos x| ∈ Dlog∧ log | cos x| ∈ D10(·) .

Relembrando que Dcos = R, D|·|= R, Dlog = R+ e D10(·) = R conclui-se que

Dg =x ∈ R : x ∈ R ∧ cos x ∈ R ∧ | cos x| ∈ R+∧ log | cos x| ∈ R .

Destas condi¸cões, apenas | cos x| ∈ R+ _{é, de facto, uma restri¸cão (as restantes são} sempre _{satisfeitas) e equivale a dizer que cos x 6= 0, ou seja, x ∈ R \}π₂ _{+ kπ, k ∈ Z} . Consequentemente, o dom´ınio de g é

Dg = R \ nπ

2 + kπ, k ∈ Z o

A continuidade de g pode ser estudada de modo inteiramente análogo ao que foi feito para f : como todas as fun¸cões que entram na constru¸cão de g são cont´ınuas nos respectivos dom’inios, a fun¸cão g também é cont´ınua em todo o seu dom´ınio.

Por último considere-se o caso da fun¸cão h. A fun¸cão é obtida pela adi¸cão de duas fun¸cões parcelas: a fun¸cão x 7→ 1

x e a fun¸c˜ao x 7→ √

cos x. A primeira destas está definida em todo o R \ {0}; a segunda é a composta do coseno com a ra´ız quadrada: e para que esta expressão fa¸ca sentido é necessário que cada uma das suas fun¸cões

cos x

x cos x

coseno raiz quadrada

componentes fa¸cam sentido, ou seja, que x esteja no conjunto D =nx_{∈ R : x ∈ D}cos∧ cos x ∈ D√

o .

Como Dcos = R e D√ = [0, +∞[, o conjunto D pode ser escrito como D = {x ∈ R : x ∈ R ∧ cos x ∈ [0, +∞[} .

(4)

Atendendo ao que conhecemos da fun¸c˜ao coseno, a segunda restri¸c˜ao equivale a dizer que se tem de tomar o x em ₋π

2, π 2 , ou em 3π 2 , 5π 2 , ou em 7π 2 , 9π 2 , ou em. . . . Abreviando, h´a que se ter

x_∈ [ k∈Z h (4k − 1)π₂,(4k + 1)π 2 i

e, portanto, o dom´ınio de h ´e

Dh = (R \ {0}) ∩ [ k∈Z h (4k − 1)π₂,(4k + 1)π 2 i ! = [ k∈Z h (4k − 1)π₂,(4k + 1)π 2 i ! \ {0}

O estudo da continuidade é análogo ao feito nos dois casos anteriores e conclui-se, do mesmo modo, que a fun¸cão h é cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio Dh. 2. Para provar, recorrendo à defini¸cão, que a fun¸cão u(x) = 1

x2 ´e cont´ınua em qualquer

ponto a do seu dom´ınio temos que provar que, se o x estiver muito próximo de a, o u(x) estará muito próximo de u(a), ou seja, um pouco mais rigorosamente, temos de conseguir satisfazer o seguinte: para cada a no dom´ınio de u (ou seja, para cada a 6= 0), se nos derem um δ > 0 arbitrário, temos de conseguir determinar um valor de ε (que dependerá, normalmente, do δ e do a considerados) de tal modo que se x estiver a uma distância de a inferior a ε, então temos a garantia de que u(x) distará de u(a) menos que o tal δ dado no in´ıcio, ou seja, simbolicamente,

∀δ > 0, ∃ε > 0 : |x − a| < ε ⇒ |u(x) − u(a)| < δ.

Para conseguirmos provar isto é conveniente come¸carmos por considerar a expressão |u(x) − u(a)| e tentarmos manipulá-la (com igualdades ou majora¸cões) de modo a obtermos algures um termo |x − a|, já que é a custa do que se passa com este termo que pretendemos concluir algo sobre |u(x) − u(a)|. Vejamos então:

|a+x|

x2_a2 e temos de garantir que este termo permanece limitado quando |x − a| se torna

tão pequeno quanto necessitarmos (pois caso contrário o produto dos dois poderia ser ilimitado e, portanto, não seria inferior ao tal δ > 0 dado arbitrariamente no in´ıcio). Para garantir que, quando |x − a| < ε, a quantidade |a+x|x2_a2 permanece limitada,

come-cemos por observar que, pela desigualdade triangular, temos |a + x| 6 |a| + |x|. Por outro lado, tem-se tamb´em1 _{|x − a| >}

|x| − |a|

> |x| − |a|, donde se conclui que

1_{Esta versão da desigualdade triangular é f´}_{acil de obter, a partir da versão usual, do seguinte modo: na}

desigualdade triangular usual |u + v| 6 |u| + |v| considere-se u = x e v = y − x. Ent˜ao |y| = |x + (y − x)| 6 |x| + |y − x|, ou seja |y − x| > |y| − |x|. Repetindo estes c´alculos com u = y e v = x − y conclui-se que |x − y| > |x| − |y|. Conjugando estas duas desigualdades tem-se |y − x| >

|y| − |x| .

(5)

|x| 6 |x − a| + |a| e portanto |a + x| 6 |a| + |x| 6 2|a| + |x − a|. Como tamb´em se tem |x−a| > |x|−|a| = |a|−|x|

>|a|−|x|, obt´em-se a minora¸c˜ao |x| > |a|−|x−a|. Sendo |x − a| < ε tem-se, utilizando as desigualdades anteriores e assumindo que ε < |a|,

|a + x| x2_a2 6 2|a| + ε (|a| − ε)2_a2 < 3|a| (|a| − ε)2_a2.

O problema que se coloca nesta altura é o de garantir que podemos escolher o ε de modo a que o denominador no membro direito da desigualdade acima não fique arbitrariamente pequeno (caso em que a fra¸cão ficaria arbitrariamente grande). Para tal a restri¸cão ε < |a| não é suficiente, mas podemos tentar majorar o ε de modo a que, digamos, 0 < ε < |a|₂ ,_{caso em que |a| − ε > |a| −}|a|₂ = |a|₂ (a fraçcão |a|₂ que majora ε não é importante: poderia ser |a|₃ , ou 9₁₀|a|_{, ou qualquer outra coisa entre 0 e |a| de} modo a que tenhamos a garantia de que |a| − ε não pode aproximar-se de zero). Retome-se agora a estimativa inicial e considere-se que |x − a| < ε, com 0 < ε < |a|2 < |a|. Pelo que deduzimos acima pode-se escrever

|u(x) − u(a)| = |x − a||a + x|_x2_a2 < ε 3|a| (|a| − ε)2_a2 < ε 3|a| |a| 2 2 a2 = ε 12 |a|3,

e, para que esta quantidade seja menor que δ, basta que seja poss´ıvel escolher ε de modo a que

ε 12

|a|3 < δ. (1)

Mas agora ´e imediato concluir que a desigualdade (1) ´e satisfeita sempre que ε < 1

12δ|a|

3 _{para o ε que fix´amos inicialmente em ]0,}|a|

2 [. Deste modo conclu´ımos o que pretendiamos: dados a 6= 0 e um δ > 0 basta escolher ε < minn|a|2 ,

δ|a|3

12 o

para que |x − a| < ε nos garanta que |u(x) − u(a)| < δ. Ou seja, prov´amos que u ´e cont´ınua em a, qualquer que seja a no dom´ınio de u.

Repare-se que, como δ|a|₁₂3 _{→ 0 quando a → 0, não é poss´ıvel escolher um valor de} ε _{que sirva para todos os pontos a 6= 0, i.e., que sirva uniformemente para todos os} pontos do dom´ınio de u. Isto não prova ainda que a fun¸cão u não é uniformemente cont´ınua (porque poder´ıamos ter sido demasiado descuidados a fazer as majora¸cões acima) mas é uma indica¸cão que algo problemático poderá ocorrer. Para ver que, de facto, a fun¸cão não é uniformemente cont´ınua teremos de mostrar que

∃δ > 0 : ∀ε > 0, ∃x, a ∈ R \ {0} : |x − a| < ε ∧ 1 x2 − 1 a2 > δ.

Mas se fixarmos a 6= 0 e considerarmos x ∈]0, a[ suficientemente pequeno, teremos

_x12 − _a12

tão grande quanto quizermos (e portanto também maior que δ). Isto permite-nos concluir que, como suspeitávamos, a fun¸cão não é uniformemente cont´ınua no seu dom´ınio.

Para calcular, pela defini¸c˜ao, o limite lim

x→0u(x) comecemos por observar que é natural esperar que, quanto menor for x em valor absoluto, tanto maior será o seu inverso (e, obviamente, também o quadrado do seu inverso). Portanto, é natural esperar que

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o limite em causa seja +∞. Para provar isto pela defini¸c˜ao teremos que conseguir concluir que, ∀K > 0, ∃ǫ : |x| < ǫ ⇒ 1 x2 > K.

Apesar do aspecto ser um pouco diferente do que acontecia com a continuidade, o tipo de argumento a usar ´e semelhante: com a hip´otese de |x| < ǫ tem-se 1_x

> 1_ǫ, e portanto 1 x2 = 1 x 2 > 1 ǫ2 > K, pelo que basta escolher ǫ < _√1

K para que se conclua o pretendido.

3. Comecemos por reparar que podem exitir mais do que um ponto nas condi¸cões do enun-ciado. De facto, podem até existir infinitos pontos nessas condi¸cões, como o terceiro gráfico da Figura 1 ilustra.

0 0 1 1 x0 x0 y= x y = ψ(x) 0 0 1 1 y = x y= ψ(x) 0 0 1 1 y= x y= ψ(x)

Figura 1: Exemplos de fun¸c˜oes ψ, nas condi¸c˜oes do enunciados, com um, quatro, e infinitos pontos fixos (indicados a tipo carregado).

Para provarmos a existência de (pelo menos) um x0 ∈ [0, 1] tal que ψ(x0) = x0 repare-se que um ponto nestas condi¸cões terá de satisfazer ψ(x0) − x0 = 0 e para concluirmos a existência de um zero de uma fun¸cão cont´ınua é natural considerarmos o corolário do teorema de Bolzano, o qual afirma que, se num intervalo [a, b], uma fun¸cão cont´ınua tem sinais contrários em a e em b, então terá de existir (pelo menos) um c ∈]a, b[ no qual a fun¸cão seja nula.

Pela observa¸cão anterior, é natural considerarmos a fun¸cão ϕ definida pela expressão ϕ_{(x) = ψ(x) −x. Sendo ϕ a diferen¸ca de duas fun¸cões cont´ınuas (a fun¸cão ψ e a fun¸cão} identidade x 7→ x) conclui-se imediatamente que ψ é também cont´ınua em [0, 1]. Por outro lado, como o contradom´ınio de ϕ é [0, 1], tem-se que ψ(0) = 0 ou ψ(0) > 0. No primeiro caso nada mais temos a fazer (já que o ponto 0 será, então, um ponto fixo), pelo que consideraremos que ψ(0) > 0 o que significa que ϕ(0) = ψ(0) − 0 > 0. Analogamente, tem de se ter ψ(1) = 1 ou ψ(1) < 1 e considerando o segundo caso (no primeiro caso temos que 1 é um ponto fixo, pelo que nada mais há a provar) conclui-se que ϕ(1) = ψ(1) − 1 < 0. Então, aplicando o corolário do Teorema de Bolzano,

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conclui-se que existe pelo menos um x0 ∈]0, 1[ tal que ϕ(x0) = 0. Conjugando isto com os casos em que o ponto fixo era 0 ou 1 podemos concluir que existe sempre (pelo menos) um x0 ∈ [0, 1] tal que ψ(x0) = x0, como se pretendia.

4. Para a fun¸c˜ao θ observe que θ(x) = log_xe= _logloge_x = 1

logx. Ent˜ao θ′(x) = 1 log x ′ = − 1 x (log x)2 = − 1 x(log x)2.

Pela expressão anterior conclui-se imediatamente que o dom´ınio de diferenciabilidade de θ (i.e., o conjunto dos x para os quais a derivada de θ existe e é finita) é o conjunto

Dθ′ = x_{∈ R : −} 1 x(log x)2 ∈ R = {x ∈ R : x 6= 0 ∧ x ∈ Dlog} = x ∈ R : x 6= 0 ∧ x ∈ R+_{= R}+

Para o caso da fun¸cão v é importante ter presente que a fun¸cão | · | não é diferenciável em todo o R: a origem x = 0 é um ponto onde a fun¸cão módulo, x 7→ |x|, não é diferenciável. Para trabalhar com fun¸cões nestas condi¸cões (não diferenciáveis em algum ponto) utilizando as regras usuais de diferenciabilidade é conveniente re-escrever a expressão da fun¸cão de modo a evidenciar os intervalos onde as fun¸cões em causa sejam diferenciáveis e depois analisar com cuidado o que se passa nas fronteiras desses intervalos. No presente caso tem-se, atendendo à defini¸cão da fun¸cão módulo, a saber

|x| = ( x se x > 0 −x se x < 0, tem-se v(x) = (√ x se x > 0 √ −x se x < 0 e portanto v′(x) = ( ₁ 2√x se x > 0 − 1 2√−x se x < 0 = sgn(x) 2p|x| sendo “sgn” a fun¸c˜ao “sinal”, definida por

sgn(x) = (

+1 se x > 0 −1 se x < 0.

Para verificar o que acontece em x = 0 basta observar que derivada à direita de zero não é finita,

lim x→0+ √_x −√0 x_{− 0} = limx→0+ √_x x = limx→0+ 1 √ x = +∞,

para concluir imediatamente que v não é diferenciável na origem. Consequentemente, o dom´ınio de diferenciabilidade de v é R \ {0}.

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Recorrendo novamente à defini¸cão da fun¸cão módulo e atendendo ao gráfico da Figura 2 tem-se a seguinte expressão para a fun¸cão ℓ

ℓ(x) =          −x se x 6 0 x se 0 < x 6 1 2 1 − x se 1 2 < x 61 x_{− 1 se x > 1,} e daqui conclui-se que

ℓ(x) = ( −1 se x < 0 ∨ 1 2 < x <1 1 se 0 < x < 1 2 ∨ x > 1. ´

E imediato observar que nos pontos x0 = 0, 1₂ e 1 a fun¸cão não é diferenciável, visto que os limites laterais das respectivas razões incrementais lim

x→x0

ℓ_{(x) − ℓ(x}0) x_{− x}0

são diferentes à esquerda e à direita do ponto. Assim, o dom´ınio de diferenciabilidade é R \ {0,1

2,1}. 0 1 1 2 x y y= ℓ(x) y _{= |x|} y_{= |x − 1|}

Figura 2: Esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao ℓ(x) = min{|x|, |x − 1|} (a vermelho).

5.a) Para provar que F (x) = 1 + xG(x) é diferenciável no ponto x = 0 basta observar que F′(0) = lim x→0 F_{(x) − F (0)} x_{− 0} = limx→0 xG(x) x = limx→0G(x) = G(0) ∈ R, onde a última igualdade vem da condi¸cão de continuidade de G.

O ponto onde F intersecta o eixo das ordenadas é (0, F (0)), ou seja (0, 1). O declive da recta tangente ao gráfico de F nesse ponto é igual a F′_{(0), que observámos acima} que é igual a G(0). Portanto, a expressão da recta tangente ao gráfico de F em (0, 1) é y = 1 + G(0)x.

Suponha-se que G é estritamente crescente. Então G(x) > G(0) para qualquer x > 0 e também G(x) < G(0) para qualquer x < 0. Portanto, se designarmos por ytan(x) a ordenada de um ponto da recta tangente com abcissa x, e sendo yF(x) a ordenada de um ponto do gráfico de F com abcissa x, conclui-se que

(9)

e ainda

x <_{0 =⇒ y}F(x) = 1 + xG(x) < 1 + xG(0) = ytan(x).

Mas isto significa que os gráficos da fun¸cão F e da recta tangente apenas se intersectam no ponto de tangência x = 0. Se G for estritamente decrescente tudo se passa do mesmo modo com a altera¸cão óbvia das desigualdades envolvidas.

5.b) Considere-se o teorema de Lagrange aplicado `a fun¸c˜ao√x_{no intervalo [a, b] ⊂ [0, +∞[.} Sabemos, pelo teorema de lagrange, que existe um ponto ξ ∈]a, b[ tal que √b−_b−a√a =

√ ξ′

= 1

2√ξ. Apliquemos esta estimativa `a fun¸c˜ao ra´ız quadrada no intervalo

2 _{[a, b] =} [64, 66]: da express˜ao acima conclui-se que existe ξ ∈]64, 66[ tal que √66−8

2 =

1 2√ξ, ou seja √66 = 8 + _√1

ξ. Como ξ > 64 conclui-se que √

66 < 8 + _√1

64 = 8 + 1

8. Por outro lado, como ξ < 66 < 81 tem-se tamb´em √66 > 8 + _√1

66 >8 + 1 √ 81 = 8 + 1 9, e portanto conclui-se que √_{66 ∈} 8 +1 9,8 + 1 8 , como se pretendia.

5.c) Consideremos o primeiro destes limites. Aplicando directamente as regras alg´ebricas sobre limites obter-se-ia o simbolo sem sentido 0

0. Aplicando a regra de Cauchy para o levantamento de indetermina¸c˜oes tem-se

lim x→0 (sin x − x)′ (x − tan x)′ = lim_x→0 cos x − 1 1 − 1 cos2_x

Novamente, aplicando directamente as regras algébricas dos limites à expressaão do membro direito, chega-se mais uma vez a 0

0. Aplicando novamente a regra de Cauchy vem lim x→0 (cos x − 1)′ 1 − 1 cos2_x ′ = lim x→0 − sin x −2 sinx cos3_x = lim x→0 1 2cos 3 x= 1 2

Como este limite existe, ent˜ao tamb´em o limite que pretendemos calcular existe e tem o mesmo valor.

Vejamos agora o caso do segundo limite. A aplica¸cão directa das regras algébricas sobre os limites resulta no s´ımbolo sem sentido ∞ − ∞. Para tentarmos investigar se o limite existe ou não é conveniente tentar transformar a expressão numa outra para a qual se possa aplicar regra de Cauchy. Observando que

1 xsin x − 1 x2 = x_{− sin x} x2_{sin x}

e tendo em conta que, quando x → 0 a expressão do membro direito resulta em 0 0, iremos aplicar a regra de cauchy a esta última expressão:

lim x→0 (x − sin x)′ (x2_{sin x)}_′ = lim_x→0 1 − cos x 2x sin x + x2_{cos x}.

A aplica¸c˜ao directa das regras alg´ebricas dos limites ao limite do membro direito re-sultaria em 0

0 pelo que se aplica mais uma vez a regra de Cauchy para se obter lim

x→0

(1 − cos x)′

(2x sin x + x2_{cos x)}′ = lim_x→0

sin x

2 sin x + 4x cos x − x2_{sin x}.

2_{Como pretendemos estimar} √_{66 ´e natural considerar 66 como um dos extremos do intervalo. Como a}

estimativa pretendida envolve 8, que é a ra´ız quadrada de 64, é natural considerar 64 como o outro extremo do intervalo de estudo. Mesmo que não fosse dada qualquer indica¸cão directa que nos sugerisse a utiliza¸cão do número 64, este seria sempre o mais óbvio candidato para o outro extremo do intervalo, visto que é o número (inteiro) mais próximo de 66 para o qual se conhece a ra´ız quadrada exacta.

(10)

Aplicando directamente o limite x → 0 ao membro direito temos outra vez um simbolo de indetermina¸c˜ao 0

0. Para ultrapassarmos este problema podemos novamente aplicar a regra de Cauchy, ou ent˜ao, relembrando que sinx

x → 1 quando x → 0, podemos simplesmente dividir o numerador e o denominador da ´ultima express˜ao acima para obter

lim x→0

sin x

2 sin x + 4x cos x − x2_{sin x} = lim_x→0

1 2 + 4_sinx_x_{cos x − x}2 = 1 2 + 4 − 0 = 1 6. Daqui se conclui que todas os limites referidos acima existem e têm este valor e portanto o valor do limite que pretendiamos calcular é também igual a 1

6. Para calcular o valor do limite lim

x→0

sin x x

x1

comece-se por observar que a aplica¸cão directa das regras algébricas dos limites resulta num simbolo (sem sentido) 1∞_. _tal como nos casos anteriores comecemos por tentar transfor esta expressão numa outra em que não surjam simbolos de indetermina¸cão, ou, se continuarem a surgir estes simbolos sem significado, que eles sejam do tipo 0

0 (ou ∞∞), para os quais ´e poss´ıvel aplicar a regra de Cauchy.

Note-se que, usando a express˜ao ab _{= e}logab

= eb log a _{´e poss´ıvel escrever da seguinte} forma a express˜ao cujo limite pretendemos calcular:

sin x x 1x = ex1log( sin x x ) = e log(sin xx ) x .

Note-se que aplicando directamente as regras sobre limites (quando x → 0) a esta ´

ultima express˜ao resulta num simbolo 0

0 no expoente. Se conseguirmos levantar esta indetermina¸c˜ao resolvemos o problema. Recorrendo maios uma vez `a regra de Cauchy (apenas para o expoente!) tem-se

lim x→0

log sinx_x ′

x′ = lim_x→0

(log sin x − log x)′

1 = limx→0 cos x sin x − 1 x = limx→0 x_{cos x − sin x} xsin x

A aplica¸cão das regras algébricas sobre limites ao limite no membro direito desta expressão resulta ainda num simbolo sem sentido, 0

0. Aplicando novamente a regra de Cauchy tem-se lim x→0 (x cos x − sin x)′ (x sin x)′ = − lim_x→0 xsin x sin x + x cos x

Podemos tentar aplicar novamente a regra de Cauchy, mas ´e mais f´acil relembrar que sinx

x → 1 quando x → 0 e dividir o numerador e o denominador da ´ultima express˜ao por x para obter

lim x→0

xsin x

sin x + x cos x = limx→0

sin x sinx x + cos x = 0 1 + 1 = 0. Consequentemente tem-se lim x→0 log sinx x x = 0 e, por ´ultimo, lim x→0 sin x x 1x = lim x→0 exp " log sinx x x #! = exp " lim x→0 log sinx x x # = e0 _{= 1.}

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6. Considere-se a fun¸c˜ao ξ definida pela express˜ao ξ(x) = x + 8

π arctan 1

x.A fun¸cão é obtida pela soma de duas fun¸cões,a fun¸cão identidade x 7→ x e a fun¸cão x 7→ 8

π arctan 1 x, ela própria obtida de x por inversão algébrica (x 7→ 1

x), seguida de aplica¸c˜ao da fun¸c˜ao arctan (1

x 7→ arctan 1

x) e posterior multiplica¸c˜ao do resultado pela constante 8

π. Conse-quentemente, o dom´ınio de ξ ´e

Dξ = x_{∈ R : x ∈ D}_x7→x_{∧ x ∈ D}_x7→1/x_∧ 1 x ∈ Darctan = x_{∈ R : x 6= 0,}1 x ∈ R = R \ {0}.

Como quaisquer das fun¸cões que entram na constru¸cão de ξ são cont´ınuas nos respec-tivos dom´ınios, conclui-se que ξ também é cont´ınua no seu dom´ınio, i.e., em todos os pontos de R \ {0}. O mesmo argumento vale para a diferenciabilidade: como quer x _{7→ x, quer x 7→} 1_x, quer a fun¸cão arctan são diferenciáveis nos respectivos dom´ınios, a fun¸cão ξ também é diferenciável e todo o seu dom´ınio. A sua derivada pode ser calculada utilizando as regras usuais do cálculo:

ξ′(x) = x+ 8 π arctan 1 x ′ = 1 + 8 π −1 x2 1 + 1 x 2 = 1 − 8 π 1 x2_{+ 1}.

Observe-se que a certa altura no processo de obten¸cão desta última expressão para ξ′(x) multiplicámos ambos os termos de uma fra¸cão por x2_{, o que só é válido porque} estamos a trabalhar com x no dom´ınio de ξ, ou seja, com x ∈ R \ {0}. Utilizando a expressão obtida para ξ′ _{podemos estudar os intervalos de monotonia de ξ investigando} quais os intervalos em que o sinal de ξ′ _{se mantem inalterado. Comecemos por estudar} quando é que ξ′_{(x) > 0:}

1 −_π8_x21_{+ 1} >0 ⇔ 8 π 1 x2_{+ 1} <1 ⇔ 8 π <1 + x 2 ⇔ x2 _> 8 π − 1, pelo que se conclui que tem de se ter x ∈ i−∞, −q8

π − 1 h ∪iq8 π − 1, +∞ h Para o estudo dos conjuntos para os quais ξ′_{(x) < 0 procede-se do mesmo modo e obtem-se x ∈} i −q8 π − 1, q 8 π − 1 h \ {0} = i−q8 π − 1, 0 h ∪i0,q8 π − 1 h

. Conclui-se, portanto, que ξ ´e estritamente crescente em i_{−∞, −}q8

π − 1 h e em iq8 π − 1, +∞ h e ´e estritamente decrescente em i₋q8 π − 1, 0 h e em i0,q8 π − 1 h

. Conclui-se daqui que o ponto x = −q8

π − 1 é um ponto onde a fun¸cão assume um máximo local (porque é crescente à esquerda e decrescente à direita desse ponto) e no ponto x =q8

π − 1 a fun¸cão assume um m´ınimo local (porque decresce à esquerda desse ponto e cresce à sua direita). Para terminar o estudo, vejamos o que acontece à fun¸cão quando x se aproxima da fronteira do dom´ınio (i.e, quando x → 0 ou quando x → ±∞). Comecemos por considerar primeiro o caso em que x → 0 por valores à direita de 0:

lim x→0+ξ(x) = lim_x→0+ x+ 8 πarctan 1 x = 0 + 8 π +π 2 = 4.

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Agora se nos aproximarmos de 0 pela esquerda de 0 tem-se lim x→0−ξ(x) = lim_x→0− x+ 8 π arctan 1 x = 0 + 8 π −π₂= −4.

Observe-se que se conclui daqui que não existe limite (os limites à esquerda e à direita são diferentes) e que também não existe ass´ımptota vertical em x = 0 (visto que para existir assimptota vertical os limites laterais teriam de ser ±∞).

Para verificar o que acontece quando x → +∞ observe-se que lim x→+∞ξ(x) = limx→+∞ x+ 8 π arctan 1 x = +∞

e portanto obtém-se imediatamente que não existe ass´ımptota horizontal deste lado do dom´ınio (que existiria se e só se esse limite fosse um número real). Para investigarmos se existe ass´ımptota obliqua vejamos primeiro se o declive da nossa fun¸cão estabiliza (se esta quantidade não se aproximar de um valor fixo não há qualquer esperan¸ca que o gráfico da nossa fun¸cão se aproxime de uma recta, a qual tem, por defini¸cão, um declive fixo): como

lim x→+∞ ξ(x) x = limx→+∞ 1 + 8 xπ arctan 1 x = 1.

Sabendo que o declive da nossa fun¸cão converge para 1 quando x → +∞ (esta in-forma¸cão também poderia ter sido obtida pelo limite da derivada ξ′_{) temos de verificar} se, de facto, o gráfico da fun¸cão se aproxima, ou não, de uma recta com o declive acima determinado, 1, ou seja se ξ(x) se aproxima de x + b para algum parâmetro b (a ordenada na origem). Para tal basta investigar o que limite

lim x→+∞(ξ(x) − x) = limx→+∞ 8 πarctan 1 x = 0.

Este valor é o valor da ordenada na origem da recta que aproxima o gráfico de ξ quando x_{→ +∞ e portanto a ass´ımptota obl´ıqua à direita é a recta y = x.}

Observando que ξ_{(−x) = (−x) +} 8 π arctan 1 −x = −x + 8 πarctan −1_x = −x −_π8 arctan1 x = −ξ(x) conclui-se que o gráfico de ξ é simétrico em rela¸cão à origem das coordenadas e, por-tanto, o limite de ξ(x) quando x → −∞ é igual a −∞ e o gráfico possui uma ass´ımptota obl´ıqua à esquerda que é a mesma (porquê?!) da ass´ımptota à direita, i.e., tem equa¸cão y = x.

Com todos estes ingredientes podemos agora esbo¸car o gr´afico de ξ, o qual se apresenta na Figura 3:

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0 x y

y= x y= ξ(x)

Figura 3: Poss´ıvel esbo¸co (a verde) do gr´afico da fun¸c˜ao ξ(x) = x + 8

π arctan 1

x, compat´ıvel com as informa¸c˜oes obtidas pelo estudo anal´ıtico.