Taguchi “on line” para atributos com refugo e produção de itens
conformes finito
Carlos Takeo Akamine (FATEC-SP / FAAP) Carlos.akamine@uol.com
Wagner de Souza Borges (IME-USP) wborges@ime.usp.br
Resumo: O presente trabalho, analisou sistemas que utilizam o procedimento Taguchi “On Line” para monitoramento da qualidade em atributos e com produção de itens conformes pre-estabelecido (sob encomenda). Os itens não conformes (aleatório) gerados no processo são considerados como refugos do processo e, dessa forma, a quantidadede de itens conformes a ser fabricado torna-se uma variável aleatória que decresce com a produção. O modelo desenvolvido nos dá a freqüência de inspeção pela otimização do custo do monitoramento da qualidade e resolvido por busca direta simulando o modelo obtido
Palavras-chave: Taguchi; otimização; Controle da Qualidade.
1. Introdução
Os trabalhos de BORGES, HO e TUNES (2000), NAYEBPOUR e WOODALL (1993) e AKAMINE, BORGES HO (2004) analisam o procedimento Taguchi “On Line” para variáveis da qualidade como atributos. A produção é feita de uma em uma peça e o monitoramento da qualidade é realizada de m em m itens produzidos e, em seqüência. Se o item inspecionado atende às especificações (sob controle), nenhuma ação sobre o processo é tomada, caso contrário, o processo é interrompido para ajuste (processo fora de controle), voltando a operar após as correções necessárias.
Quando o processo encontra-se sob controle admite-se a probabilidade de gerar itens não conformes é zero e, quando fora de controle a probabilidade de gerar itens não conformes será um. Sendo p a probabilidade do processo passar do estado sob controle para o estado fora de controle e T o número de itens conformes a ser produzido pré-estabelecido (sob encomenda) o número de itens não conformes será uma variável aleatória e a quantidade de itens conformes que faltam para completar os T itens também será uma variável aleatória que decai de T a zero.
O presente trabalho encontrou a relação analítica que permite obter a freqüência de amostragem que minimize o custo do controle da qualidade e a solução foi obtida por simulação do modelo proposto.
2. Processo de Produção com não conformes considerados como refugo
Nesse processo produtivo, os itens são produzidos um a um e a inspeção do processo será realizada de m em m unidades produzidas. Devido ao refugo dos itens não conformes, o processo permanece ativo até que um lote com T itens conformes seja produzido e, esta particularidade caracteriza uma operação em horizonte aleatório e não propriamente finito.
Nesse processo supõe-se que a inspeção de um item e a correção do processo são instantâneas, e que o número de itens produzidos até a mudança do estado de controle para o estado fora de controle tem distribuição geométrica com parâmetro p. A FIGURA 1 apresenta um ciclo típico de produção, caracterizado por uma seqüência (de comprimento geométrico) de itens conformes e seguida de uma seqüência de itens não conformes, interrompida pelo
inspeção inspeção inspeção inspeção
so b co n tro le fo ra d e c o n tro le
m u d a n ça n o esta d o
FIGURA 1. Esquema da mudança no estado do processo de produção.
Na detecção de não conformidade o processo é reajustado e volta a operar sob o mesmo esquema até completar o lote. O intervalo de inspeção, entretanto, irá variar de acordo com a quantidade de itens conformes a ser produzido e, se a quantidade a ser produzido é maior que m, a freqüência de amostragem continua m e, caso contrário, esse intervalo será igual à quantidade de itens conformes que faltam produzir para completar T.
Considere uma seqüência
{
Wi;i≥1}
de variáveis aleatórias independentes com distribuição geométrica, com parâmetro p. Mais precisamente, PW w qwi pi
i = )= ⋅
( , com
0<p<1 e wi = 0, 1, 2, 3, ... (1)
Não é difícil ver que o evento A1=
{
W1≥T}
representa a situação em que a produção do lote não requer paradas do processo para ajuste. Neste caso, temos apenas um ciclo de itens em que:- o tamanho do ciclo C1 = T;
- o número de itens conformes V1 = T;
- o número de itens não conformes D1 = 0;
- o número de inspeções programadas :
= m T L1 ;
- o número de inspeções retrospectivas Z1 = 0. (2)
onde m T
é o menor inteiro maior ou igual a T/m.
De maneira análoga, para k>1 o evento
{
W1 T, ..., W1 ... W 1 T, W1 ... W T}
Ak = < + + k- < + + k ≥ representa a situação em que a produção do lote requer exatamente k–1 paradas do processo para ajuste e, neste caso, são formados k ciclos de itens. Assim, se denotarmos por Ni, 1 ≤ i ≤ k, o número de unidades
conformes que faltam ser produzidas para completar o lote, imediatamente antes de iniciar a produção do ciclo i, não é difícil ver que, para o ciclo 1:
⋅ = 1 1 1 min m,N m W C
- Número de itens conforme V1 = W1 ;
- Número de itens não conformes será: 1 1 1
1 1 1 min m,N W m W W C D − ⋅ = − =
- Número de inspeções retrospectivas
⋅ − = ⋅ − > = 1 se 1 -1 se 1 1 1 1 1 1 1 m m W W D m m W W D Z
- Número de inspeções programadas:
= m C L1 1 (3)
Para os ciclos i, 2 ≤ i ≤ k-1, teremos: - Tamanho do cicloserá: ⋅ = i i m N m W C min 1 , ;
- Número de itens conforme Vi = Wi;
- Número de itens não conformes será: i i i
i i i m, N W m W W B D − ⋅ + = − = min 1 ;
- Número de inspeções retrospectivas será:
⋅ − = ⋅ − > = 1 se 1 -1 se m m W W D m m W W D Z i i i i i i i
- Número de inspeções programadas será:
= m B L i i (4)
Finalmente, para o ciclo k (último ciclo), teremos: - Tamanho do bloco: Ck = Nk;
- Número de itens conformes: Vk = Nk;
- Número de itens não conformes: Dk = 0;
- Número de inspeções retrospectivas Zk = 0;
- Número de inspeções = m C Lk k (5)
As variáveis Ci, Vi, Di, Zi e Li introduzidas acima podem ser definidas para todo i ≥ 1, a
partir da seqüência
{
Wi;i≥1}
. Para isto basta definir a seqüência{
Ni;i≥1}
recursivamente, + ∧ ⋅ = i i i i N m N W C min m 1 , ;
(
i i)
i i i i m N W N m N W D − ∧ ⋅ + ∧ =min 1 , ; < ⋅ − = = contrário caso D e 1 se 1 -i i i i i i i N W m m W W D Z ; e = m B L i i (6)Com estas definições, podemos então obter uma expressão matemática de produção de um lote com T itens conformes com custo total esperado de, E[CT]. Para tanto, vamos
considerar os seguintes fatores de custo: custo de inspeção (Cinsp), o custo de ajuste (Cajuste) e o
custo de item defeituoso (Cdef).
Assim,
( )
∑
(
)
∞ = = 1 ; k k T T E C A CE e não é difícil ver que
⋅ = m N C CT insp 1 (7) e que
[
C(
)
]
(
1)
k 1 i insp∑
= ⋅ − + ⋅ + + ⋅ = i i def i ajuste T L Z C D k C C em Ak, k > 1. (8) Assim,[ ]
∑∑
[
(
)
]
∑
(
) ( )
∞ = ∞ = = ⋅ − + ⋅ + + = 1 1 1 1 ; k k k k i k i def i i insp T EC L Z C D A k P A C E .Se observarmos ainda que
{
Ak ;k ≥ 1}
é uma partição do espaço amostral e que Ni = 0 entãoBj = Vj = Dj = Zj =Lj = 0, j ≥ i, podemos expressar E[CT] como :
[ ]
∑
[
]
∑
∞[
(
)
]
= ∞ = < + ⋅ + + ⋅ + ≥ ⋅ = 1 i 1 i ; W W ; i i ajuste i def i i insp i i i insp T C E L N EC L Z C D C N C E (9)A obtenção de uma expressão fechada e explícita para E[CT] em função de m,
entretanto, esbarra na dificuldade de se obter os valores esperados nas expressões acima. A obtenção de um valor de m próximo do valor ótimo pode, todavia, ser feito através de um modelo de simulação. Foi desenvolvido um programa de simulação no software S-Plus e este, simula a geração de itens (conformes ou não conformes) até completar T itens conformes. Este processo é repetido várias vezes (no caso em particular foi realizado 5000 repeticões) para cada valor de m, que varia de 1 a T. Os resultados da simulação serão analisados na próxima seção.
Os gráficos da Figura 2 e a Tabela 2 mostram o resultado da simulação quando adotamos os seguintes valores: - T =100; p = 0.1; p = 0,01; p = 0,001 e p = 0,0001; - Custo de Inspeção = 10; - Custo de Ajuste = 400; - Custo de Defeito = 50;
Os gráficos da FIGURA 2 mostram o comportamento do custo esperado total em função de m e de p. ********** ****** ****** ******** ********* ********** **** * **** * *** ************* ********** * ***** * ******** p=0,1
a) intervalo entre inspeções m
C u s to T o ta l E s p e ra d o 0 20 40 60 80 100 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 * * *************** ******* ** * *** ****** ***** * * * * * ** * * **** * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** * * ****** * * * * **** * * * ** * * * * * p=0,01
b) intervalo entre inspeções m
C u s to T o ta l E s p e ra d o 0 20 40 60 80 100 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 * * * * * ** ******** ** ***** *** * ****** * ** ** * * ** ********* * * * * * * * **** * * * * * * * * * ** * ** * * * ** * * * * * * * * * ** * * * * * * * * * p=0,001
c) intervalo entre inspeções m
C u s to T o ta l E s p e ra d o 0 20 40 60 80 100 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0 * * * * ***** ************************************************ ************************ * ******* ** * * ******* p=0,0001
d) intervalo entre inspeções m
C u s to T o ta l E s p e ra d o 0 20 40 60 80 100 0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0
FIGURA 2. Gráficos do custo total esperado em função de m para: a) p = 0,1; b) p = 0,01; c) p = 0,001 e d) p = 0,0001.
Podemos verificar através dos gráficos que a dispersão dos pontos cresce em função de m. Isso ocorre principalmente porque o número de combinações de eventos possíveis aumenta com m. Podemos verificar através da TABELA 1 e dos gráficos da Figura 2, que o intervalo ótimo de amostragem aumenta quando diminuímos o valor de p. Observe que quando p é muito baixo ( 0,0001 ) a função parece decrescente, sem ponto de mínimo local e, portanto, o valor ótimo de m será m = T.
TABELA 1: Tabela do valor de m mínimo para vários valores de p.
Caso P m ótimo
1 0,1 2
2 0,01 6
4. Conclusões
Neste trabalho estudou-se o procedimento Taguchi “On-Line” para atributos com número de itens conformes a ser produzido pré-estabelecido (sob encomenda) e, com os itens não conformes considerados como refugos do processo. Para a solução desse problema desenvolveu-se um modelo analítico com grande dificuldade para obter uma expressão fechada da freqüência ótima de amostragem mas possível de resolvê-la por simulação do modelo. Verificou-se, através da simulação, que o valor ótimo da freqüência de amostragem tende a aumentar quando diminuímos o valor da probabilidade do processo sair de controle.
Referências
AKAMINE, C.T.; BORGES, S.W.; HO,L.L.- Procedimento Taguchi “On line” para Atributos para
Produção em Pequenos Lotes. ENEGEP, 2004-2, Florianópolis, SC.
CARLYLE, M.W., MONTGOMERY, D.C., RUNGER, G.C.. Optimization Problems and Methods in
Quality Control and Improvement. Journal of Quality Technology, 32 (1), 1-17, (2000)
HO, C. & CASE, K..Economic design of control-charts: a literature review for 1981-1991. Journal of Quality Technology, 26), 39-53, (1994).
MONTGOMERY, D.C.; HEIKES, R.G. & MANCE, J.F.. Economic Design of Fraction Defective Control
Charts. Management Science, 21, 1272-1284, (1975)
MONTGOMERY , D.C.. The Economic Design of Control Chart: A Review and Literature Survey. Journal of Quality Technology, 40-43, (1982).
NAYEBPOUR, M.R.& WOODALL, W.H. An Analysis of Taguchi´s on-line quality monitoring procedures
for attributes, Technometrics. 35, 53-60, (1993).
ROSS, S.M. .Stochastic Process. John Wiley & Sons, New York, (1983).
TAGUCHI, G. .On-line Quality Control During Production. Japanese Standars Association, Tokyo, (1981). TAGUCHI, G. Quality Engineering in Japan. Communications in Statistics Theory and Methods, 14, 2785-2801, (1985).
TAGUCHI, G. Introduction to Quality Engineering, Tokyo. Asian Productivity Association, (1996). TAGUCHI, G.; ELSAYED, E.A.& HSIANG, T.C. Quality Engineering in Production Systems. McGraw-Hill, New York, N.Y., (1989).
