Dinâmica das Rotações 1 Movimento Plano

Dinâmica das Rotações 1 – Movimento Plano

1.

Um cilindro uniforme de raio 𝑅 rola sem deslizar sobre um plano horizontal até

atingir um plano inclinado de um ângulo 𝛼 com a horizontal, como mostra a figura

abaixo. Determine o maior valor da velocidade inicial 𝑣𝑜 que permite que o cilindro

passe para a seção inclinada sem saltar. A gravidade local vale 𝑔.

2.

Uma pequena partícula de massa 𝑚 é cuidadosamente colocada na superfície

interna de uma casca esférica cilíndrica de massa 𝑀 e raio 𝑅, como mostrado na figura ao lado. Inicialmente, o cilindro se encontra em repouso sobre um plano horizontal e a

partícula está localizada a uma altura 𝑅 acima do plano. Determine a força entre a

partícula e o cilindro no momento em que a partícula passa pelo ponto mais baixo da trajetória. Assuma que o atrito entre a partícula e o interior do cilindro é desprezível e

3.

Uma partícula de massa 𝑚 se move sem atrito sobre a superfície interna de uma

casca esférica homogênea de massa 𝑀 e raio 𝑅, cuja secção é mostrada na figura

abaixo. A esfera está livre para rolar sem deslizamento ao longo de uma superfície horizontal. A partícula então sofre um pequeno deslocamento com relação com relação à posição de equilíbrio. Calcule a frequência angular das pequenas oscilações da massa pontual.

4.

Um globo homogêneo de massa 𝑀 e raio 𝑅 gira livremente e sem atrito com uma

velocidade angular inicial 𝜔𝑜 em torno de um eixo vertical fixo. Uma partícula de

massa 𝑚 sai do pólo N e se move em direção ao polo S ao longo de um meridiano com

velocidade constante 𝑣 (relativa ao globo). O eixo de rotação do globo se mantém

inalterado. Encontre, durante o intervalo de tempo em que o inseto percorre o caminho

de N até S, o ângulo ∆𝜃 que o globo girou em torno de seu eixo. Você pode querer

usar o seguinte resultado: ∫ 𝑑𝑥

𝑎+𝑏.cos 𝑥 2𝜋

0 =

2𝜋 √𝑎2−𝑏2

5.

Uma esfera homogênea de raio 𝑅 e massa 𝑚 rola sem deslizar com velocidade 𝑣𝑜

sobre um piso horizontal. Ela encontra um degrau de altura ℎ < 𝑅 e sobe por cima do

degrau. Assuma que a esfera fique sempre em contato com a quina do degrau até o momento em que o centro da esfera fica direta-mente acima da quina. Mostre que,

para que a esfera consiga subir o degrau a velocidade 𝑣𝑜 deve satisfazer:

𝑣_𝑜 ≥ √ 10𝑔ℎ 7 (1 − 5ℎ 7𝑅) −1

6.

Um disco homogêneo de raio 𝑅 e massa 𝑀 rola sem deslizar ao longo de um plano

inclinado que faz um ângulo 𝜃 com a vertical, como mostra a figura abaixo. O disco é mantido em contato com o plano inclinado em todos os instantes. O disco é atraído por

um ponto 𝐴 localizado a uma distância vertical 𝑑 acima da superfície. Assuma que a

força de atração entre 𝐴 e o centro do disco é proporcional à distância entre os dois:

𝐹 = −𝑘𝑟, onde 𝑟 é a distância do ponto 𝐴 até o centro de massa do disco e 𝑘 é uma constante positiva.

a) Determine a posição de equilíbrio do disco em relação ao ponto 𝐵. Isto é, determine a distância entre o ponto 𝐵 (que está localizado verticalmente abaixo do ponto 𝐴) e o ponto de contato do disco com o plano.

b) Suponha que o disco sofre um pequeno deslocamento a partir da posição inicial. Determine a frequência angular de pequenas oscilações em torno desse ponto de equilíbrio.

7.

Uma barra uniforme de massa 𝑚 e comprimento 𝐿 está livre para rotacionar em torno de um pivô 𝑃 que passa pelo seu centro. A barra rotaciona apenas em um plano vertical e estava inicialmente na direção horizontal, como mostra a figura abaixo. Uma

aranha também de massa 𝑚 cai verticalmente sobre a barra com velocidade 𝑣𝑜 e se

prende sobre o ponto médio entre o ponto 𝑃 e a extremidade livre da barra.

Imediatamente depois da colisão inelástica entre a barra e a aranha, a aranha começa a andar ao longo da barra de modo que a velocidade angular do sistema barra+aranha permanece constante.

a) Demonstre que a distância 𝑥(𝑡) entre a aranha e o pivô varia de acordo com a

equação

𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝐵𝑡) + 𝐶 e determine as constantes 𝐴, 𝐵 e 𝐶.

b) Determine os valores de 𝑣_𝑜 para que a aranha atinja a extremidade da barra antes de

a barra atingir a posição vertical.

8.

Uma esfera uniforme de massa 𝑚 é colocada em cima de uma barra de massa 𝑀,

inicialmente em repouso sob um plano horizontal sem atrito, como mostra a figura

abaixo. Uma força horizontal constante 𝐹 é aplicada à barra. Determine a aceleração

da barra e do centro da esfera, sabendo que não há deslizamento entre a barra e a esfera.

9.

Uma bola de massa 𝑚, raio 𝑅 e momento de inércia 𝛽𝑚𝑅2 é liberada do repouso de

cima de um plano inclinado de massa 𝑀 e ângulo de inclinação 𝜃, como mostra a

figura abaixo. O plano está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Assumindo que a bola rola sem deslizar ao longo do plano, calcule a aceleração horizontal do plano.

10.

Uma barra uniforme de massa 𝑀 e comprimento 𝐿 é colocada em contato com

uma parede vertical e um piso horizontal, como mostra a figura abaixo. Desconsidere

todos os atritos. A barrra é liberada do repouso, fazendo um ângulo 𝛼 com a vertical.

Demonstre que, no momento em que a barra é liberada, as forças de reação normal sobre a barra valem

{ 𝐹_{𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒} = 3𝑚𝑔 sin(2𝛼) 4 𝐹_{𝑐ℎã𝑜} = 𝑚𝑔 (1 −3 4𝑠𝑖𝑛 2_𝛼)

Demonstre também que o ângulo 𝜃 que a barra faz com a vertical no momento em que

a barra perde contato com a parede vertical satisfaz a relação 3 cos 𝜃 = 2 cos 𝛼.

11.

Uma partícula 𝐴 está fixada sobre a superfície interna de uma casca cilíndrica de

plano horizontal. No momento em que a partícula 𝐴 atinge a posição mais baixa, o

centro do cilindro se move com velocidade 𝑣, como mostra a figura abaixo. Calcule os

valores de 𝑣 para que o cilindro não perca contato com o piso.

12.

Uma esfera sólida de raio 𝑟 é colocada no fundo de um hemisfério esférico de

raio 𝑅. Quando a esfera sofre uma pequena perturbação, ela oscila em torno do fundo. O movimento oscilatório é descrito pela equação diferencial no formato

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2 + 𝜔

2_{𝜃 = 0}

onde 𝜃 é o ângulo entre a vertical e a linha que liga o centro do hemisfério ao centro

da esfera.

a) Qual o valor de 𝜔2?

b) Determine a força de atrito que age sob a esfera em função do ângulo 𝜃.

13.

Um disco uniforme de raio 𝑅 gira com velocidade angular 𝜔 em torno de um

eixo perpendicular ao disco e que passa por seu centro de massa. O disco é então cuidadosamente colocado sobre uma superfície horizontal. Por quanto tempo o disco

se manterá girando, se o coeficiente de atrito entre o disco e a superfície é 𝜇? A

pressão exercida pelo disco sobre a superfície pode ser dada como constante.

14.

Uma esfera de raio 𝑟 e massa 𝑚 é colocada no interior de um cilindro de raio 𝑅

cujo eixo permanece na horizontal. O cilindro roda em torno de seu eixo com uma

aceleração angular constante 𝛼 e a bola pode rolar livremente em seu interior.

interior do cilindro sem que seu centro mude de posição. Considere 𝑔 a gravidade local.

15.

Uma barra de massa 𝑚 e comprimento 𝐿 é colocada inicialmente em repouso

sobre um hemisfério fixo de raio 𝑅. A barra sofre então um pequeno deslocamento

com relação à posição de equilíbrio e começa a oscilar. Assumindo que não há deslizamentos entre a barra e o hemisfério, calcule o período de pequenas oscilações da barra em torno da posição de equilíbrio. A gravidade local vale 𝑔.

16.

Um anel rígido de massa 𝑀 e raio 𝑅 está pivotado no

ponto 𝑃, e localizado em uma superfície horizontal sem

atrito, como mostra a figura ao lado. Um inseto de massa 𝑚 corre ao longo do perímetro do anel com velocidade

constante 𝑢 (com relação ao anel). O inseto parte do ponto

𝑃, com o anel em repouso nesse instante. Calcule a força normal radial entre o inseto e o anel no instante em que ele passa pelo ponto 𝑄 (diametralmente oposto ao ponto 𝑃).

17.

Uma pequena esfera de massa 𝑚 e raio 𝑟 colide na extremidade B de uma longa

barra homogênea de massa 𝑀 = 4𝑚 e comprimento 𝑏 = 9𝑎, como mostrado na figura

abaixo.

Considere que a colisão é elástica, que o coeficiente de atrito entre a esfera e a barra é

𝜇 = 0,6 e que o ângulo entre a velocidade inicial 𝑣_𝑜 da esfera e o eixo da barra é 𝛼, de

acordo com a figura.

a) Determine, em função de 𝑚, 𝑣𝑜 e 𝛼, o valor dos impulsos 𝐽 e 𝐾 da esfera sobre a

barra, nas direções 𝑦 e 𝑥, respectivamente. Qual o ângulo formado entre o eixo da

barra e a velocidade da esfera imediatamente após a colisão? Qual a condição sobre 𝛼

para que a esfera seja jogada para cima após a colisão?

b) Determine a velocidade angular 𝜔_𝑒 da esfera após a colisão em função de 𝑣_𝑜, 𝑟 e 𝛼.

c) Determine a velocidade angular 𝜔 e a velocidade do centro de massa 𝑣_𝑐𝑚 da barra

logo após a colisão. Expresse seu resultado em função de 𝑣𝑜, 𝑏 e 𝛼.

d) Determine a tração 𝑇 na corda (de comprimento 𝑎) que segura a barra um instante

logo após a colisão com a esfera. Considere a aceleração da gravidade local igual a 𝑔.

Expresse seu resultado em função de 𝑚, 𝑔, 𝑣_𝑜, 𝑎 e 𝛼.

18.

Uma das extremidades de uma barra uniforme está ligada a um ponto 𝑃 que está

livre para deslizar sobre um trilho horizontal sem atrito. A barra inicialmente faz um

partir do repouso. Assuma que a barra consegue, de alguma maneira, atravessar o trilho horizontal e passar para baixo do mesmo.

a) Demonstre que, no instante que a barra está horizontal, a força normal sobre a barra

vale 𝑚𝑔/4, independentemente do ângulo 𝜃₀.

b) Se 𝜃0 = 0 (ou seja, uma pequena perturbação colocou a barra para se mover),

mostre que a normal vale 13𝑚𝑔 quando a barra está na posição mais baixa (𝜃 = 𝜋).

c) Se 𝜃₀ = 0, encontre uma equação que determina o ângulo 𝜃 no qual a força normal

𝑁 assume o valor mínimo.

19.

Um lápis de massa 𝑚 e comprimento 𝐿 é colocado verticalmente sobre uma

mesa, com a ponta para baixo (figura abaixo) e deixado cair, rodando sobre sua ponta. Assuma que o lápis é muito fino e considere que há atrito entre o lápis e a mesa.

a) Determine a velocidade angular e a aceleração angular em função do ângulo de inclinação do lápis (modelado como uma barra homogênea de comprimento 𝐿) com a vertical, antes de o lápis começar a deslizar.

b) Mostre que, nas condições do item anterior, a força de reação normal da mesa sobre o lápis vale

𝑁 = 𝑚𝑔 (3 cos 𝜃 − 1

2 )

2

c) Mostre que o lápis escorregará sempre antes de atingir uma inclinação de 70,5°.

d) Mostre que se o lápis escorregar para um ângulo superior a 48°, ele deslizará na

direção em que está a cair.

e) Determine o valor máximo do coeficiente de atrito estático 𝜇_𝑒 para que o lápis

deslize na direção oposta à do lado em que ele está caindo e mostre que quando 𝜇𝑒 é

máximo o lápis desliza quando 𝜃 > 35°.

20.

Um disco horizontal gira em torno de seu eixo de simetria (passando pelo ponto

𝑂) com velocidade angular constante 𝜔. Uma barra uniforme 𝐴𝐵 de comprimento 𝐿

possui sua extremidade 𝐴 fixa no disco a uma distância 𝑎 do seu eixo, como mostra a

figura abaixo. A barra sofre então uma pequena perturbação com relação à posição de equilíbrio. Calcule o período das pequenas oscilações da barra.

21.

Uma esfera homogênea de raio 𝑅 é colocada em repouso sobre uma mesa

horizontal, como mostra a figura ao lado. Depois de um pequeno impulso, a esfera rola para fora da borda da mesa. A gravidade local vale 𝑔.

a) Determine o ângulo 𝛼 em que a esfera perde contato com a mesa.

22.

Um disco uniforme de massa 𝑀 e diâmetro 2𝑅 se move em direção a outro disco

uniforme de massa 2𝑀 e diâmetro 2𝑅 ao longo de uma superfície horizontal sem

atrito. O primeiro disco recebe uma velocidade inicial 𝑣0 e uma velocidade angular

inicial 𝜔₀ como mostra a figura abaixo, ao passo que o segundo disco estava

inicialmente em repouso. Quando o primeiro disco atinge o segundo, eles instantaneamente grudam (colisão inelástica) e passam a se mover como um único objeto.

a) Calcule a velocidade linear e a velocidade angular dos dois discos combinados depois da colisão? Indique as magnitudes e as direções.

b) Para qual valor de 𝜔₀ o sistema final não rotaciona?

23.

Uma barra rígida de comprimento 𝐿 possui uma de suas extremidades presa a um poste que gira com velocidade angular 𝜔 em torno de um eixo vertical, como mostra a

figura abaixo. Sabendo que a gravidade local vale 𝑔, calcule o período de pequenas

oscilações da barra em torno das possíveis posições de equilíbrio estável. Analise os possíveis casos separadamente.

24.

Um semicilindro uniforme de raio 𝑅 e massa 𝑀 está inicialmente em repouso

sobre uma superfície horizontal com atrito.

a) Determine o momento de inércia do semicilindro com relação a um eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo ponto de contato com o solo.

b) Um impulso 𝑃 é aplicado à uma das extremidades do semicilindro, como mostra a

figura abaixo. O semicilindro rola sem deslizar, mantendo o contato com o solo. Determine o mínimo impulso necessário para girar o disco.

25.

Um cilindro uniforme de massa 𝑀 e raio 𝑅 rola sem deslizar sobre um plano

horizontal e atinge uma pequena barreira vertical de altura 𝑅/3. Sua velocidade antes

de atingir a barreira era 𝑣.

a) Suponha, como mostra a figura (a), que o cilindro passa a rolar sobre a barreira depois de atingi-la, e que não há deslizamentos durante o processo. Calcule a energia perdida durante o impacto em função de 𝑀 e 𝑣.

b) Calcule a mínima velocidade que permite que o cilindro atravesse a barreira. Expresse sua resposta em função de 𝑅 e 𝑔 (aceleração gravitacional local).

c) Para maiores velocidades, o cilindro perde contato com a barreira logo que começa a rolar por cima desta, se comportando como um projétil, como mostra a figura (b). Calcule a mínima velocidade para que isso aconteça em função de 𝑅 e 𝑔.

d) Para a situação da parte (c), calcule o maior deslocamento vertical do centro do cilindro. Expresse sua resposta em função de 𝑅.

26.

Um semi-cilindro de raio 𝑅 rola sem deslizar ao longo de uma superfície plana

com atrito, como mostra a figura abaixo. Sendo 𝑔 a gravidade local, calcule o período

de pequenas oscilações do semi-cilindro com relação à posição de equilíbrio.

27.

Uma escada consiste de duas barras idênticas ligadas entre si por um pivô 𝑃 no

topo de cada uma delas e por uma corda sem massa, como mostra a figura abaixo. As

barras estão em repouso fazendo um ângulo de 60° com a horizontal. A corda é então

rapidamente cortada. Calcule a aceleração do ponto 𝑃 no instante em que a corda foi

28.

Uma roda de raio interno 𝑟 e raio externo 𝑅 se encontra em um piso horizontal. O eixo da roda é horizontal. Um fio ideal é amarrado em torno da parte interna da roda,

como mostra a figura abaixo. A extremidade livre do fio faz um ângulo 𝛼 com a

horizontal (o ângulo 𝛼 também pode ser negativo). O momento de inércia da roda é 𝐼

e sua massa é 𝑀. Assuma que a roda gira sem deslizar.

a) A extremidade livre do fio é puxada com velocidade 𝑢 paralela ao fio. Determine a

velocidade do centro da roda.

b) Suponha agora que a roda estava em repouso. Uma força 𝐹 é aplicada sobre a extre-midade livre do fio (a força é paralela ao fio). Determine a aceleração do centro da roda.

c) Determine qual deve ser, em função de 𝛼, o coeficiente de atrito 𝜇 para garantir que

não haja deslizamentos entre a roda e o piso.

d) Considere agora que a roda rola pelo piso horizontal com velocidade 𝑢, dessa vez

sem o fio. A roda atinge um degrau de altura 𝐻 < 𝑅 e o impacto é perfeitamente

inelástico. Qual é a velocidade 𝑣 da roda imediatamente após o impacto?

e) Determine a velocidade 𝑤 da roda depois de esta ter subido no degrau. Assuma que 𝑢 é suficiente para que irá rolar para cima do degrau sem perder o contato com sua quina.

f) Se a velocidade 𝑢 for grande, ou mais especificamente, maior que um valor 𝑢𝑜, a

roda irá perder contato com a quina durante o processo. Determine essa velocidade

29.

Dois cilindros homogêneos de massa 𝑀 e raio 𝑅 repousam sobre uma mesa lisa

sem atrito. Num determinado instante um impulso 𝐼 é aplicado a um dos cilindros,

num plano que passa pelo centro de massa (CM) do mesmo, como mostra a figura abaixo.

a) Determine o momento de inércia de um cilindro em torno do seu eixo.

b) O impulso 𝐼 é aplicado a uma distância 𝑑 abaixo do centro do cilindro. Determine a

velocidade do CM (𝑉𝑐𝑚) e a velocidade angular (𝜔) do cilindro após a aplicação do

impulso.

O primeiro cilindro se desloca sobre a mesa lisa até se chocar elasticamente com outro

cilindro igual. Os cilindros possuem um coeficiente de atrito 𝜇 entre si. Sendo assim,

determine:

c) As velocidades angular (𝜔₁) e do CM (𝑉₁) do cilindro 1 (da esquerda).

d) As velocidades angular (𝜔2) e do CM (𝑉2) do cilindro 2 (da direita).

e) A altura máxima atingida pelo cilindro 2.

f) Voltando ao início do problema, a que distância 𝑑 do CM deveria ser aplicado o

impulso 𝐼 para que o primeiro cilindro se deslocasse num rolamento puro sobre a

mesa? Essa distância é acima ou abaixo do CM?

30.

Uma partícula de massa 𝑚 é fixada na superfície interna de uma casca cilíndrica

de massa 𝑀 = 3𝑚 e raio 𝑅, como mostra a figura abaixo. O cilindro é então colocado

sobre uma superfície horizontal sem atrito. Inicialmente, a massa 𝑚 está em repouso

a) Encontre a aceleração do centro do cilindro no momento em que a partícula está na mesma altura que o centro do cilindro.

b) Calcule a força que o solo aplica sobre o cilindro neste instante em função de 𝑚 e

da gravidade 𝑔.

31.

Considere uma barra de comprimento 𝐿, massa 𝑚 que está inicialmente em

repouso sobre uma mesa horizontal. Uma corda que passa por uma polia possui sua seção horizontal ligada perpendicularmente à barra e sua seção vertical ligada à um

peso de massa 𝑀, como mostra a figura abaixo. A massa da polia e o atrito são

desprezíveis.

a) Qual ponto da barra possui aceleração zero no momento em que o peso é liberado?

b) Calcule a razão 𝑚/𝑀 para que a aceleração do centro da barra neste instante seja

32.

Três cilindros homogêneos de massa 𝑚 e raio 𝑅 (momento de inércia 𝑚𝑅2_/2)

estão situados no formato de um triângulo, como mostra a figura abaixo. Encontre a aceleração inicial de queda do cilindro de cima nas duas situações a seguir:

a) Existe atrito entre os dois cilindros de baixo e o piso (de modo que eles rolam sem deslizar), mas não existe atrito entre os cilindros.

b) Não existe atrito entre os dois cilindros de baixo e o piso, mas existe atrito entre os cilindros (de modo que eles não deslizam com relação ao outro).

33.

Um cilindro sólido e homogêneo de massa 𝑀 e raio 𝑅 se encontra em contato

com uma parede vertical e um piso horizontal, como mostra a figura abaixo. Uma corda sem massa passa pelo cilindro, por uma polia, e possui sua outra extremidade

ligada à um bloquinho de massa 𝑚. O coeficiente de atrito cinético entre o cilindro e

34.

Uma barra rígida de comprimento 𝐿 está apoiada no canto de uma sala (vide figura abaixo). A extremidade A desliza pela parede enquanto o extremo B desliza pelo solo. Encontre a aceleração do ponto C (centro da barra) em função do ângulo 𝛼,

se o ponto B for puxado com velocidade constante e igual a 𝑣. Despreze todos os

atritos. Gabaritos 1) 𝑣𝑜 ≤ _√ 𝑅𝑔 3 (7 cos 𝛼 − 3) 2) 𝐹 = 3𝑚𝑔(1 + 𝑚 3𝑀) 3) 𝜔 = √( 5𝑀+3𝑚 5𝑀 ) 𝑔 𝑅 4) ∆𝜃 = 𝜋𝜔𝑜𝑅 𝑣 _√ 2𝑀 2𝑀+5𝑚 5) Demonstração 6) a) 𝑥_𝑜 = (𝑚𝑔 𝑘 − 𝑑) cos 𝜃 b) Ω = √ 2𝑘 3𝑚 7) a) 𝐴 = 49𝑔𝐿2 288𝑣₀2, 𝐵 = 12𝑣₀ 7𝐿 e 𝐶 = 𝐿 4

b) Condição é que 𝐴 + 𝐶 ≥ 𝐿/2, o que nos dá 𝑣_𝑜 ≤ 7

6_√ 𝐿𝑔

8) 𝑎𝑀 = 7𝐹 7𝑀+2𝑚 (𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎) e 𝑎𝑚 = 2𝐹 7𝑀+2𝑚 (𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎) 9) 𝑎 = 𝑚𝑔 tan 𝜃 𝑀+(𝑀+𝑚)(𝑡𝑎𝑛2_{𝜃+𝛽𝑠𝑒𝑐}2_𝜃) 10) Demonstração 11) _{𝑣 ≤ √8𝑅𝑔} 12) a) 𝜔2 = 5𝑔 7(𝑅−𝑟) b) 𝑓 = 2 7𝑚𝑔 sin 𝜃 ≈ 2 7𝑚𝑔𝜃 13) 𝑡 = 3𝜔𝑅 4𝜇𝑔 14) 𝜃 = sin−1(2𝛼𝑅 5𝑔 ) 15) 𝑇 = 2𝜋 √ 𝐿2 12𝑅𝑔 16) 𝑁 = 𝑚𝑢2 𝑅 ( 𝑀+𝑚 𝑀+2𝑚) 2 17) a) 𝐽 = 𝑚𝑣_𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼; 𝐾 =3 5𝑚𝑣𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼

O ângulo que a velocidade final da esfera faz com a barra vale zero graus (a partícula sai com velocidade na direção da barra) e a condição para que ela suba é 𝑡𝑔𝛼 < 5/3.

b) 𝜔_𝑒 =3𝑣𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼 2𝑟 c) 𝜔 =𝑣𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼 6𝑎 ; 𝑣𝑐𝑚 = 𝑣_𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼 4 d) 𝑇 = 11𝑚𝑣𝑜2𝑠𝑒𝑛2𝛼 18𝑎 18) a) Demonstração b) Demonstração c) 3𝑐𝑜𝑠3𝜃 − 9𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 12𝑐𝑜𝑠𝜃 − 4 = 0 19) a) 𝜔 = √ 3𝑔 𝐿 (1 − cos 𝜃) e 𝛼 = 3𝑔 sin 𝜃 2𝐿 b) Demonstração c) Demonstração d) Demonstração

20) Ω = √ 3𝑎 2𝐿𝜔 21) a) cos 𝛼 = 10/17 b) 𝑣 = √ 10𝑅𝑔 17 22) a) 𝑣 = 𝑣0 3 (para a direita) e 𝜔 = ( 3 25𝜔0− 8 25 𝑣0

𝑅) (para fora do papel)

b) 𝜔₀ = 8 3 𝑣₀ 𝑅 c) Δ𝐸 = −19 9 𝑀𝑣0 2 23) 24) a) 𝐼 = (3 2− 8 3𝜋) 𝑀𝑅 2 _{= 0,65𝑀𝑅}2 b) 𝑃_{𝑚𝑖𝑛 = 0,867𝑀√𝑅𝑔} 25) a) Δ𝐸 = 8 27𝑀𝑣 2 b) 𝑣 =6 7√𝑅𝑔 c) 𝑣 = 3 7√6𝑅𝑔 d) ℎ = 5 27𝑅 26) 𝑇 = 𝜋 2𝑔√2(9𝜋 − 16)𝑅𝑔 27) 𝑎 = 3𝑔/8 28) a) 𝑢′ = 𝑢𝑅 |𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑟| b) 𝑎 = 𝐹 𝑀[ 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑟/𝑅 1+𝐼/𝑀𝑅2] c) 𝜇 ≥ | 𝑟 𝑅 − 𝐼 𝑀𝑅2𝑐𝑜𝑠𝛼| (1+ 𝐼 𝑀𝑅2)| 𝑀𝑔 𝐹−𝑠𝑒𝑛𝛼| d) _{𝑣 = 𝑢 (1 −} 𝐻/𝑅 1+ 𝐼 𝑀𝑅2 ) e) 𝑤 = √ 𝑣2₋ 2𝑔𝐻 1+ 𝐼 𝑀𝑅2

f) 𝑢_𝑜 = √ 𝑔 𝑀(𝑅 − 𝐻 ) 1+ 𝐼 𝑀𝑅2 1+ 𝐼 𝑀𝑅2 − 𝐻 𝑅 29) a) 𝑀𝑅2/2 b) 𝑣𝑐𝑚 = 𝐼/𝑀 e 𝜔 = 2𝐼𝑑/𝑀𝑅2 c) 𝑉1 = 0 e 𝜔1 = 2𝐼(𝑑−𝜇𝑅) 𝑀𝑅2 d) 𝑉₂ = 𝐼 𝑀√1 + 𝜇 2 _{E 𝜔} 2 = 2𝜇𝐼 𝑀𝑅 e) ℎ𝑚𝑎𝑥 = 𝜇2𝐼2 2𝑀2_𝑔

f) 𝑑 = 𝑅/2 (acima do centro de massa)

30) a) 𝑎𝑐𝑖𝑙 = 𝑔/8

b) 𝑁 = 15𝑚𝑔/4

31) a) Se localiza a uma distância 𝐿/6 do centro da barra (na metade que não está ligada à corda).

b) A razão entre as massa 𝑚

𝑀 → 0 e a aceleração máxima vale 𝑔/4.

32) a) 𝑔/10 b) 𝑔/11 33) _{𝑎 = [}𝑚(1−𝜇+2𝜇 2_{)−𝑀(𝜇+𝜇}2₎ 𝑚(1−𝜇+2𝜇2₎₊𝑀 2(1+𝜇2) ] 𝑔 34) 𝑎 = 𝑣2 2𝐿𝑠𝑒𝑛3_𝛼