Equação do Calor com dado inicial singular

Universidade Federal de Sergipe

Centro de Ciˆ

encias Exatas e Tecnologia

Programa de P´

os-Graduac

¸˜

ao em Matem´

atica

Nat˜

a Firmino Santana Rocha

Equa¸

c˜

ao do Calor com dado inicial singular

S˜

ao Cristov˜

ao

2016

Nat˜

a Firmino Santana Rocha

Equa¸

c˜

ao do Calor com dado inicial singular

Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´ os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal de Sergipe, como requisito para a ob-ten¸c˜ao do grau de MESTRE em Matem´atica.

Orientador: Prof. Bruno Luis de Andrade Santos

S˜

ao Cristov˜

ao

2016

Dedicat´

oria

`

Agradecimentos

Resumo

Nesta disserta¸c˜ao, vamos utilizar as t´ecnicas vistas em [2] para analisar a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao cl´assica para a equa¸c˜ao do calor n˜ao-linear

           ut− ∆u = |u|p−1u em (0, T ) × Ω, u = 0 em (0, T ) × ∂Ω, u(0, x) = u0(x) em Ω,

quando u0 ∈ Lq(Ω) com algumas condi¸c˜oes sobre 1 ≤ q ≤ ∞, onde Ω ⊂ RN ´e um dom´ınio

limitado suave e p > 1.

Abstract

In this dissertation, we will use the techniques established in [2] to analyze the existence and uniqueness of classical solution to the nonlinear heat equation

           ut− ∆u = |u|p−1u in (0, T ) × Ω, u = 0 on (0, T ) × ∂Ω, u(0, x) = u0(x) in Ω,

provided u0 ∈ Lq(Ω) with some conditions on 1 ≤ q ≤ ∞, where Ω ⊂ RN is a smooth

bounded domain and p > 1.

Sum´

ario

1 Preliminares 9

1.1 Semigrupos de Operadores Lineares . . . 9

1.2 Semigrupos fortemente cont´ınuos . . . 16

1.3 O Teorema de Hille-Yosida . . . 21

1.4 O Semigrupo do Calor . . . 26

2 Equa¸c˜ao do Calor 29 2.1 Equa¸c˜ao do Calor linear com potencial . . . 29

2.2 Equa¸c˜ao do Calor com dado inicial singular . . . 37

Introdu¸

c˜

ao

Essa disserta¸c˜ao tem como requisito b´asico a teoria de semigrupos de operadores lineares em espa¸cos de Banach. Essa teoria foi impulsionada com a demonstra¸c˜ao do Teorema de Hille-Yosida em 1948, que ´e apresentado nessa disserta¸c˜ao como principal resultado do primeiro cap´ıtulo. Al´em das aplica¸c˜oes em ´areas tradicionais como, por exemplo, em equa¸c˜oes dife-renciais parciais, a teoria de semigrupo tamb´em ´e aplicada com grande sucesso em equa¸c˜oes diferenciais funcionais e equa¸c˜oes decorrentes da dinˆamica populacional e teoria de transpor-tes.

O texto foi dividido em trˆes cap´ıtulos. No Cap´ıtulo 1, introduzimos a teoria de semigrupos de operadores lineares em espa¸cos de Banach com suas principais defini¸c˜oes e resultados cl´assicos, entre esses est´a o Teorema de Hille-Yosida, o qual fornece uma caracteriza¸c˜ao para um operador linear ser o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente cont´ınuo. A ´ultima se¸c˜ao desse cap´ıtulo ´e dedicada ao semigrupo do calor em Lp_{(Ω) com Ω ⊆ R}N um dom´ınio limitado, o qual tem uma crucial propriedade de suaviza¸c˜ao que ´e utilizada quase constantemente nesse trabalho. O Cap´ıtulo 2, tem como principal objetivo investigar existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao cl´assica para a equa¸c˜ao do calor n˜ao-linear sobre dom´ınios limitados do RN no caso onde o dado inicial est´a em um espa¸co Lq com algumas condi¸c˜oes no expoente q. Para isso, iniciamos na primeira se¸c˜ao o estudo da equa¸c˜ao do calor com potencial, o qual fornecer´a importantes resultados para conclus˜ao do trabalho. J´a o Cap´ıtulo 3 ´e composto pelo Apˆendice que tr´as algumas defini¸c˜oes e resultados gerais utilizados no decorrer da disserta¸c˜ao.

Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1

Semigrupos de Operadores Lineares

Nesta se¸c˜ao, faremos uma introdu¸c˜ao sobre a teoria de semigrupos de operadores lineares limitados, abordando os semigrupos uniformemente e fortemente cont´ınuos e trazendo alguns resultados cruciais para a teoria geral e para este trabalho. Algumas nota¸c˜oes s˜ao importantes ressaltar neste momento, como N, R e C que representar˜ao o conjunto dos n´umeros naturais, reais e complexos, respectivamente. O par (X, k · k) que denotar´a um espa¸co de Banach e (B(X), k · kB(X)) que ser´a o espa¸co dos operadores lineares limitados em X com norma

kT kB(X) = sup kxk≤1

{kT xk}.

Defini¸c˜ao 1.1 Seja X uma espa¸co de Banach. Uma fam´ılia (T (t)), 0 ≤ t < ∞, de operadores lineares limitados de X em X ´e um semigrupo de operadores lineares em X se

(i) T (0) = I, onde I ´e o operador identidade em X. (ii) T (t + s) = T (t)T (s), ∀ t, s ≥ 0.

Defini¸c˜ao 1.2 Um semigrupo de operadores lineares limitados, (T (t))t≥0, ´e uniformemente

cont´ınuo se

lim

Defini¸c˜ao 1.3 O operador linear A : D(A) ⊂ X −→ X definido por Ax = lim t→0+ T (t)x − x t = d+_{T (t)x} dt      t=0 para x ∈ D(A) com D(A) =  x ∈ X : lim t→0+ T (t)x − x t existe 

´e o gerador infinitesimal do semigrupo (T (t))t≥0, onde D(A) ´e o dom´ınio de A.

Observa¸c˜ao 1.4 Se (T (t))t≥0 ´e um semigrupo uniformemente cont´ınuo de operadores

line-ares limitados, ent˜ao

lim

s→tkT (s) − T (t)kB(X) = 0.

De fato, para analisar os limites laterais faremos uso das mudan¸cas de vari´aveis h = s − t no caso (1) e h = t − s no caso (2), temos:

(1) kT (t + h) − T (t)kB(X) = kT (h)T (t) − T (t)kB(X) = k(T (h) − I)T (t)kB(X) ≤ kT (h) − IkB(X)kT (t)kB(X) h→0+ −−−→ 0 (s → t+_{, onde s = h + t com h > 0);} (2) kT (t − h) − T (t)kB(X) = kT (t − h) − T (t − h)T (h)kB(X) = kT (t − h)(I − T (h))kB(X) ≤ kT (t − h)kB(X)kI − T (h)kB(X) h→0+ −−−→ 0 (s → t−_{, onde s = h − t com h > 0).}

Teorema 1.5 Um operador linear A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo uniforme-mente cont´ınuo se, e souniforme-mente se, A ´e um operador linear limitado.

Demonstra¸c˜ao.

(⇐) Seja A um operador linear limitado em X. Definamos a fam´ılia de operadores

T (t) = etA = ∞ X n=0 (tA)n n! , t ≥ 0. Note que essa s´erie converge absolutamente,

∞ X n=0 (tA)n n! B(X) = ∞ X n=0 tn n!kA n_k B(X) ≤ ∞ X n=0 tn n!kAk n B(X) = e tkAkB(X) _{< ∞, ∀ t ≥ 0,}

kT (t)k = ∞ X n=0 (tA)n n! B(X) ≤ ∞ X n=0 (tA)n n! _B(X) ≤ etkAkB(X) _{< ∞, ∀t ≥ 0,}

ou seja, (T (t))t≥0´e uma fam´ılia de operadores lineares limitados, onde a linearidade de T (t)

segue de forma simples. Agora vamos verificar as seguintes propriedades: • T (0) = I; • T (t)T (s) = ∞ X k=0 tk_Ak k! ∞ X k=0 sk_Ak k! = ∞ X n=0 n X k=0 tn−k_An−k (n − k)! sk_Ak k! = ∞ X n=0 (t + s)n_An n! = T (t + s), para todo t, s ≥ 0. Aqui usamos o produto de Cauchy1_{. Logo, (T (t))}

t≥0 ´e um semigrupo de

operadores lineares limitados.

Para provar que (T (t))t≥0 ´e um semigrupo uniformemente cont´ınuo, observe que

T (t) − I = ∞ X n=0 tnAn n! − t0A0 0! = t 0_A0 0! + ∞ X n=1 tn_An n! − t0_A0 0! = ∞ X n=1 tn_An n! = ∞ X n=1 tAtn−1An−1 n! = tA ∞ X n=1 tn−1An−1 n! = tA ∞ X n=0 tn_An (n + 1)!,

1_{O Produto de Cauchy entre duas s´eries infinitas ´e definido pela convolu¸c˜ao discreta como a seguir:} ∞ X i=0 ai ! ·   ∞ X j=0 bj  = ∞ X k=0 ck, onde ck= k X l=0 albk−l.

para todo t ≥ 0. Com isso podemos determinar que kT (t) − IkB(X) = tA ∞ X n=0 tn_An (n + 1)! B(X) ≤ tkAkB(X) ∞ X n=0 tn_kAkn B(X) (n + 1)! ≤ tkAkB(X) ∞ X n=0 tn_kAkn B(X) n! = tkAkB(X)etkAkB(X).

Fazendo t → 0+ na desigualdade acima, obtemos

lim

t→0+kT (t) − IkB(X) = 0,

o que prova que (T (t))t≥0 ´e um semigrupo uniformemente cont´ınuo.

Resta provar que A ´e o gerador infinitesimal de (T (t))t≥0. J´a vimos acima que

T (t) − I = tA ∞ X n=0 tn_An (n + 1)!, o que implica T (t) − I t − A = A ∞ X n=0 tn_An (n + 1)! − A = A ∞ X n=0 tnAn (n + 1)! − I ! = A t 0_A0 0! ∞ X n=1 tnAn (n + 1)! − A 0 ! = ∞ X n=1 tn_An+1 (n + 1)! = ∞ X n=2 tn−1_An n! .

Logo, T (t) − I t − A B(X) = ∞ X n=2 tn−1_An n! B(X) ≤ ∞ X n=2 tn−1kAkn B(X) n! = 1 t ∞ X n=2 tn_kAkn B(X) n! = 1 ttkAk + 1 t ∞ X n=2 tn_kAkn B(X) n! − 1 ttkAk = 1 t ∞ X n=1 tn_kAkn B(X) n! − kAk = 1 t 1 + ∞ X n=1 tnkAkn B(X) n! − 1 ! − kAk = 1 t ∞ X n=0 tn_kAkn B(X) n! − 1 ! − kAk. Segue que T (t) − I t − A B(X) t→0+ −→ 0, pois lim t→0+ etkAkB(X) − 1 t = d+_etkAkB(X) dt      t=0 = kAkB(X).

(⇒) Reciprocamente, suponha que A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo unifor-memente cont´ınuo de operadores lineares limitados (T (t))t≥0 em X. Como (T (t))t≥0 ´e um

semigrupo uniformemente cont´ınuo, ent˜ao dado ε = 1, exite δ tal que kT (t) − IkB(X) < 1, para 0 < t < δ. Logo, para 0 < ρ < δ 1 ρ Z ρ 0 T (t)dt − I B(X) = 1 ρ Z ρ 0 T (t)dt − 1 ρ Z ρ 0 dt B(X) = 1 ρ Z ρ 0 (T (t) − I)dt B(X) ≤ 1 ρ Z ρ 0 kT (t) − IkB(X)dt < 1,

com isso conclu´ımos que 1 ρ

Z ρ

0

T (t)dt ´e invert´ıvel e assim que Z ρ

0

T (t)dt tamb´em ´e invert´ıvel. Agora, veja que para h < ρ

1 h(T (h) − I) Z ρ 0 T (s)ds = 1 h Z ρ 0 T (h)T (s)ds − Z ρ 0 T (s)ds  = 1 h Z ρ 0 T (h + s)ds − Z ρ 0 T (s)ds  = 1 h Z ρ+h h T (s)ds − Z ρ 0 T (s)ds  = 1 h Z ρ h T (s)ds + Z ρ+h ρ T (s)ds − Z h 0 T (s)ds − Z ρ h T (s)ds  = 1 h Z ρ+h ρ T (s)ds − Z h 0 T (s)ds  , o que implica 1 h(T (h) − I) = 1 h Z ρ+h ρ T (s)ds − Z h 0 T (s)ds  Z ρ 0 T (s)ds −1 . (1.1)

Como ρ > 0 ´e fixo, e s 7→ T (s) ´e cont´ınua, obtemos que lim

h→0+ Z h 0 T (s)ds = I. Mais ainda, lim h→0+ Z ρ+h ρ T (s)ds = lim h→0+ Z h 0 T (s + ρ)ds = T (ρ) lim h→0+ Z h 0 T (s)ds = T (ρ). Fazendo h → 0+ _{em (1.1), obtemos que}

A = (T (ρ) − I) Z ρ 0 T (s)ds −1 ,

o que prova que A ´e um operador linear limitado, concluindo assim a demonstra¸c˜ao do

Teorema. _

Teorema 1.6 Sejam (T (t))t≥0 e (S(t))t≥0 semigrupos uniformemente cont´ınuos de

operado-res lineaoperado-res limitados. Se

lim t→0+ T (t) − I t = A = limt→0+ S(t) − I t , ent˜ao T (t) = S(t) para t ≥ 0.

Demonstra¸c˜ao. Mostraremos que dado a > 0 fixo, T (t) = S(t), ∀ 0 ≤ t ≤ a. Note que, as fun¸c˜oes

s˜ao cont´ınuas pela Observa¸c˜ao 1.4. Ent˜ao, pelo Teorema de Weierstrass, existe uma constante C tal que

kT (t)kB(X)kS(s)kB(X) ≤ C, para 0 ≤ s, t ≤ a. (1.2)

Al´em disso, temos que lim t→0+ T (t) − I t = A = limt→0+ S(t) − I t .

Assim, dado ε > 0, existem δ1, δ2 > 0 tais que

T (t) − I t − A B(X) < ε 2aC, para 0 ≤ t < δ1 S(t) − I t − A B(X) < ε 2aC, para 0 ≤ t < δ2. Escolha δ = min{δ1, δ2} e teremos

1 hkT (h) − S(h)kB(X) ≤ T (h) − I h − A B(X) + S(h) − I h − A B(X) < ε 2aC + ε 2aC = ε aC, para 0 < h < δ. (1.3) Seja 0 ≤ t ≤ a e escolha n ≥ 1 tal que _nt < δ. Ent˜ao, pela propriedade de semigrupo e por (1.3) segue que

kT (t) − S(t)kB(X) = n−1 X k=0  T  (n − k)t n  S kt n  − T  (n − k − 1)t n  − S (k + 1)t n  B(X) ≤ n−1 X k=0 T  (n − k)t n  S kt n  − T  (n − k − 1)t n  S (k + 1)t n  _B(X) = n−1 X k=0 T  (n − k − 1)t n  S kt n   T  t n  − S t n  B(X) ≤ n−1 X k=0 T  (n − k − 1)t n  B(X) S kt n  B(X) T t n  − S t n  B(X) = n−1 X k=0 T  (n − k − 1)t n  B(X) S kt n  B(X) T _nt
− S t n
B(X) t n t n < n−1 X k=0 Ct n ε aC = nc t n ε aC = t aε ≤ ε.

A desigualdade restrita ´e justificada por (1.2). Logo, T (t) = S(t), para todo 0 ≤ t ≤ a. Para t ≤ a, escreva t = na + r, onde 0 ≤ r < a e n ∈ N. Nestas condi¸c˜oes,

S(t) = S(na + r) = S(na)S(r) = S(a + · · · + a)S(r) = S(a) · · · S(a)S(r) = T (a) · · · T (a)T (r) = T (na + r) = T (t).

Portanto, T (t) = S(t) para todo t ≥ 0. _

1.2

Semigrupos fortemente cont´ınuos

Defini¸c˜ao 1.7 Um semigrupo (T (t))t≥0 de operadores lineares limitados em X ´e um

semi-grupo fortemente cont´ınuo de operadores lineares limitados se lim

t→0+T (t)x = x, para todo x ∈ X.

Um semigrupo fortemente cont´ınuo de operadores lineares limitados em X tamb´em ´e chamado de um C0-semigrupo.

Teorema 1.8 Seja (T (t))t≥0 um C0-semigrupo em X. Ent˜ao, existem constantes ω ≥ 0 e

M ≥ 1 tais que

kT (t)kB(X) ≤ M eωt, para 0 ≤ t < ∞.

Demonstra¸c˜ao. Note primeiro que existe b > 0 tal que kT (t)kB(X)´e uniformemente limitado

para 0 ≤ t ≤ b.

De fato, caso contr´ario, existiria uma sequˆencia (tn)n∈N de n´umeros positivos tal que

lim

n→∞tn = 0 e kT (tn)kB(X) ≥ n. Com isso, pelo Princ´ıpio da Limita¸c˜ao Uniforme, existiria

x ∈ X tal que kT (tn)xk seria ilimitado. Absurdo, pois contraria o fato de (T (t))t≥0 ser um

C0-semigrupo.

Logo, existe M > 0 tal que kT (t)kB(X) ≤ M para 0 ≤ t ≤ b. Como T (0) = I, ent˜ao

M ≥ 1. Seja ω = ln M

b ≥ 0. Dado t ≥ 0, fazendo t = nb + r com 0 ≤ r < b, pela propriedade

de semigrupo e pela primeira parte desta demonstra¸c˜ao segue que kT (t)kB(X) = kT (r)T (b)nkB(X) ≤ kT (r)kB(X)kT (b)knB(X) ≤ M M

n_{≤ M M}t_{b = M e}ωt_.

Corol´ario 1.9 Se (T (t))t≥0 ´e um C0-semigrupo, ent˜ao para cada x ∈ X, t 7→ T (t)x ´e uma

fun¸c˜ao cont´ınua de (0, ∞) em X.

Demonstra¸c˜ao. Pelo Teorema 1.8, existem M ≥ 1 e ω ≥ 0 tais que kT (t)kB(X) ≤ M eωt

para t ≥ 0. Veja que, para x ∈ X, t, h ≥ 0,

kT (t + h)x − T (t)xkX = kT (t)(T (h)x − x)kX ≤ kT (t)kXkT (h)x − xkX → 0,

quando h → 0+, pois (T (t))t≥0 ´e um C0-semigrupo.

Al´em disso, para 0 ≤ h ≤ t,

kT (t − h)x − T (t)xkX = kT (t − h) − T (t − h + h)kX

≤ kT (t − h)kXkx − T (h)xkX

≤ M eω_{(t − h)kx − T (h)xk}

X → 0,

quando h → 0+_{. Com isso, conclu´ımos a demonstra¸c˜ao. }

Teorema 1.10 Sejam (T (t))t≥0 um C0-semigrupo e A seu gerador infinitesimal. Ent˜ao

(i) Para x ∈ X, lim h→0 1 h Z t+h t T (s)xds = T (t)x. (ii) Para x ∈ X, Z t 0 T (s)xds ∈ D(A) e A Z t 0 T (s)xds  = T (t)x − x.

(iii) Para x ∈ D(A), T (t)x ∈ D(A) e d

dtT (t)x = AT (t)x = T (t)Ax. (iv) Para x ∈ D(A),

T (t)x − T (s)x = Z t s T (τ )Axdτ = Z t s AT (τ )xdτ.

Demonstra¸c˜ao.

(i) Pelo Corol´ario 1.9, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que kT (s)x − T (t)xk < ε, quando |s − t| < δ. Consequentemente, para 0 ≤ h < δ temos

1 h Z t+h t T (s)xds − T (t)x = 1 h Z t+h t [T (s)x − T (t)x]ds ≤ 1 h Z t+h t kT (s)x − T (t)xkds < 1 h Z t+h t εds = ε.

Com isso, mostramos que lim

h→0+

1 h

Z t+h

t

T (s)xds = T (t)x. A prova do limite `a esquerda ´e feita de forma semelhante. De fato, para −δ < h ≤ 0 temos que

1 h Z t+h t T (s)xds − T (t)x = −1 h Z t t+h [T (s)x − T (t)x]ds ≤ −1 h Z t t+h kT (s)x − T (t)xkds < −1 h Z t t+h εds = ε.

(ii) Sejam x ∈ X e h > 0. Ent˜ao, T (h) − I h Z t 0 T (s)xds = 1 h Z t 0 [T (s + h)x − T (s)x]ds = 1 h Z t+h h T (s)xds − 1 h Z t 0 T (s)xds = 1 h Z t h T (s)xds + Z t+h t T (s)xds  −1 h Z h 0 T (s)xds + Z t h T (s)xds  = 1 h Z t+h t T (s)xds − 1 h Z h 0 T (s)xds.

Agora, usando (i) obtemos lim h→0+ T (h) − I h Z t 0 T (s)xds = T (t)x − x. Logo, Z t 0 T (s)xds ∈ D(A) e A Z t 0 T (s)xds = T (t)x − x.

(iii) Seja x ∈ D(A) e h > 0. Veja que T (h) − I h T (t)x = T (t + h) − T (t) h x = T (t)  T (h) − I h  x. Logo, lim h→0+ T (h) − I h T (t)x = T (t)Ax.

Com isso, conclu´ımos que T (t)x ∈ D(A) e AT (t)x = T (t)Ax. Al´em disso, d+

dtT (t)x = T (t)Ax = AT (t)x. Por outro lado, se 0 < h < t

T (t − h)x − T (t)x −h − T (t)Ax = T (t − h) T (h)x − x h  − T (t)Ax ≤ T (t − h) T (h)x − x h − Ax  + kT (t − h)Ax − T (t)Axk ≤ kT (t − h)k T (h)x − x h − Ax + kT (t − h)Ax − T (t)Axk , o que permite concluir que

d−

dsT (t)x = T (t)Ax. Portanto, d

dtT (t)x = AT (t)x = T (t)Ax para todo t ≥ 0 e x ∈ D(A), o que completa a prova de (iii).

(iv) Se x ∈ D(A) ent˜ao, pelo Teorema Fundamental do C´alculo para integral de Bochner e por (iii), T (t)x − T (s)x = Z t s dT (r)x dr dr = Z t s T (r)Axdr = Z t s AT (r)xdr.

Isto completa a demonstra¸c˜ao. _

Corol´ario 1.11 Se A ´e o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo (T (t))t≥0, ent˜ao A ´e

um operador linear fechado e D(A) ´e denso em X. Demonstra¸c˜ao. Para x ∈ X e t > 0, definamos

xt= 1 t Z t 0 T (s)xds.

Pelo item (ii) do Teorema 1.10, temos que xt ∈ D(A) para todo t > 0. J´a por (i) do

mesmo Teorema,

lim

t→0+xt = x.

Consequentemente, x ∈ D(A), o que mostra que X = D(A). Vejamos agora que A ´e um operador fechado. Com efeito, seja (x, y) ∈ Gr(A) ent˜ao existe (xn, Axn) ∈ D(A) tal que

(xn, Axn) → (x, y) quando n → ∞. Pelo item (iv) to Teorema 1.10, segue

T (t)xn− xn =

Z t

0

T (s)Axnds. (1.4)

Afirmamos que T (s)Axn→ T (s)y, quando n → ∞, uniformemente em intervalos

limita-dos. De fato, para 0 < s ≤ t vemos que

kT (s)Axn− T (s)yk ≤ kT (s)kkAxn− yk ≤ M eωtkAxn− yk → 0, quando n → ∞,

onde M, ω s˜ao as constantes do Teorema 1.8.

Usando a afirma¸c˜ao acima e fazendo n → ∞ em (1.4) T (t)x − x =

Z t

0

T (s)yds. (1.5)

Finalmente, por (1.5) e pelo item (i) do Teorema 1.10, deduzimos Ax = lim t→0+ T (t)x − x t = limt→0+ 1 t Z t 0 T (s)yds = y,

Teorema 1.12 Sejam (T (t))t≥0 e (S(t))t≥0 C0-semigrupos com geradores infinitesimais A e

B, respectivamente. Se A = B, ent˜ao T (t) = S(t) para t ≥ 0.

Demonstra¸c˜ao. Seja x ∈ D(A) = D(B). Pelo item (iii) do Teorema 1.10, sabemos que a fun¸c˜ao s 7→ T (t − s)S(s)x ´e diferenci´avel. Segue disto que

d

dsT (t − s)S(s)x = −AT (t − s)S(s)x + T (t − s)BS(s)x = −T (t − s)AS(s)x + T (t − s)BS(s)x = 0,

e assim a fun¸c˜ao θ(s) = T (t − s)S(s)x ´e constante sobre [0, t]. Por outro lado, θ(0) = θ(t), o que mostra T (t)x = S(t)x, para todo x ∈ D(A).

Mostraremos agora que a propriedade acima ´e v´alida para todo x ∈ X. Com efeito, para cada x ∈ X, existe uma sequˆencia (xn) em D(A) tal que xn → x. Como T (t) e S(t) s˜ao

cont´ınuas, ent˜ao

T (t)xn→ T (t)x e S(t)xn → S(t)x.

Usando as convergˆencias acima e o fato que T (t)xn= S(t)xn, para todo n ∈ N, pela unicidade

do limite T (t)x = S(t)x, para todo x ∈ X, como quer´ıamos. _

1.3

O Teorema de Hille-Yosida

Defini¸c˜ao 1.13 Um C0-semigrupo (T (t))t≥0 tal que kT (t)k ≤ M eωt ´e chamado um C0

-semigrupo de contra¸c˜ao se ω = 0 e M = 1.

Defini¸c˜ao 1.14 Seja A : D(A) ⊂ X → X. O conjunto resolvente de A ´e definido por ρ(A) =λ ∈ C : (λI − A)−1 := R(λ : A) existe e ´e limitado .

Defini¸c˜ao 1.15 Seja A um operador linear com ρ(A) 6= ∅. Definimos para λ ∈ ρ(A) a aproxima¸c˜ao de Yosida de A por

Lema 1.16 Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador linear fechado tal que D(A) = X, ρ(A) ⊃ (0, ∞) e kR(λ : A)k ≤ _λ1, ∀λ > 0. Ent˜ao

(i) lim

λ→∞λR(λ : A)x = x para x ∈ X.

(ii) lim

λ→∞Aλx = Ax para x ∈ D(A).

(iii) Para cada λ > 0, Aλ ´e ogerador infinitesimal de um semigrupo de contra¸c˜ao

uniforme-mente cont´ınuo (etAλ₎

t≥0. Al´em disso, para x ∈ X, λ > 0 e µ > 0 temos

ketAλ_{x − e}tAµ_{xk ≤ tkA}

λx − Aµxk.

Demonstra¸c˜ao.

(i) Seja x ∈ D(A). Da equa¸c˜ao (λI − A)R(λ : A) = I segue que λR(λ : A) − I = AR(λ : A). Assim

kλR(λ : A)x − xk = kAR(λ : A)xk = kR(λ : A)Axk ≤ 1

λkAxk → 0, quando λ → ∞. Seja agora x ∈ X. Como D(A) = X, ent˜ao existe uma sequˆencia (xn) em D(A) tal que

xn→ x. Logo, dado ε > 0, existe nε∈ N e L(ε) > 0 tais que kx − xnk < ₃ε para n ≥ nε, e

kλR(λ : A)xnε − xnεk <

ε

3, para todo λ > L(ε). Disto, para λ > L(ε) temos

kλR(λ : A)x − xk ≤ kλR(λ : A)kB(X)kx − xnεk + kλR(λ : A)xnε− xnεk + kx − xnεk < ε,

com isso mostramos que lim

λ→∞λR(λ : A)x = x, para todo x ∈ X.

(ii) Se x ∈ D(A), segue pelo item (i) e da defini¸c˜ao de Aλ que

lim

λ→∞Aλx = limλ→∞λR(λ : A)Ax = Ax.

(iii) Segue da defini¸c˜ao que Aλ ´e um operador linear limitado. Logo, pelo Teorema 1.5,

Aλ ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo uniformemente cont´ınuo (Tλ(t))t≥0 dado por

Tλ(t) = etAλ. Al´em disso, ketAλ_k B(X) = ketλ 2_R(λ:A) e−λtkB(X) = e−λtketλ 2_R(λ:A) kB(X) ≤ e−λtetλ 2_kR(λ:A)k B(X) _{≤ e}−λt_eλt_{= 1,}

o que mostra que (etAλ₎

t≥0 ´e um semigrupo de contra¸c˜ao. ´E f´acil ver que os operadores

(etAλ₎

t≥0 e Aµ comutam, para λ, µ > 0. Usando isto e o item (iii) do Teorema 1.10, segue

ketAλ_{x − e}tAµ_{xk =} Z 1 0 d dse tsAλ_et(1−s)Aµ_xds = Z 1 0

[tAλetsAλet(1−s)Aµx − tetsAλAµet(1−s)Aµx]ds

≤ Z 1 0

tketsAλ_et(1−s)Aµ_kkA

λx − Aµxkds

≤ tkAλx − Aµxk,

o que completa a prova do Teorema. _

Lema 1.17 Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador linear fechado. Se f : [0, a] −→ X ´e tal que f ([0, a]) ⊂ D(A) e Af ∈ L1([0, a], X), ent˜ao

A Z a 0 f (s)ds = Z a 0 Af (s)ds.

Teorema 1.18 (Hille-Yosida) Um operador linear A : D(A) ⊂ X → X ´e o gerador infi-nitesimal de um C0-semigrupo de contra¸c˜ao se, e somente se,

(i) A ´e um operador fechado e D(A) = X;

(ii) ρ(A) ⊃ (0, ∞) e kR(λ : A)kB(X) ≤ _λ1 para λ > 0.

Demonstra¸c˜ao.

(⇒) Seja A o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo de contra¸c˜ao (T (t))t≥0 em X. A

condi¸c˜ao (i) ´e consequˆencia direta do Corol´ario 1.11.

Agora mostraremos (ii). Para λ > 0 e x ∈ X definamos o operador R(λ)x =

Z ∞

0

e−λtT (t)xdt.

Como (T (t))t≥0 ´e um semigrupo de contra¸c˜ao, da estimativa

kR(λ)xk ≤ Z ∞ 0 e−λtkT (t)kB(X)kxkdt ≤ kxk Z ∞ 0 e−λtdt = 1 λkxk,

conclu´ımos que R(λ) ∈ B(X) e kR(λ)kB(X) ≤ 1_λ para todo λ > 0. Mais ainda, para x ∈ X e h > 0, vemos que T (h) − I h R(λ)x = 1 h Z ∞ 0 e−λtT (t + h)xdt − 1 h Z ∞ 0 e−λtT (t)xdt = 1 h Z ∞ h e−λ(t−h)T (t)xdt − 1 h Z ∞ 0 e−λtT (t)xdt = 1 h  eλh Z ∞ h e−λtT (t)xdt − 1 h Z ∞ 0 e−λtT (t)xdt  = 1 h  eλh Z ∞ 0 e−λtT (t)xdt − Z h 0 e−λtT (t)xdt  − 1 h Z ∞ 0 e−λtT (t)xdt  = e λh_{− 1} h Z ∞ 0 e−λtT (t)xdt − e λh h Z h 0 e−λtT (t)xdt. (1.6)

Quando h → 0+, o lado direito de (1.6) converge para λR(λ)x − x, o que implica que R(λ)x ∈ D(A) e que AR(λ)x = λR(λ)x − x. Ou seja,

(λI − A)R(λ)x = x. (1.7)

Por outro lado, usando o item (iii) do Teorema 1.10 e o Lema 1.17, vejamos que para x ∈ D(A) R(λ)Ax = Z ∞ 0 e−λtT (t)Axdt = Z ∞ 0 Ae−λtT (t)xdt = AR(λ)x. Da´ı, por (1.7)

R(λ)(λI − A)x = x, para todo x ∈ D(A). (1.8)

Segue de (1.7) e (1.8) que R(λ) = R(λ : A), para λ > 0. Com isso conclu´ımos a primeira parte dessa demonstra¸c˜ao.

(⇒) Suponha agora que as condi¸c˜oes (i) e (ii) s˜ao verificadas. Se x ∈ D(A) e t ≥ 0 ent˜ao, pelo item (iii) do Lema 1.16,

ketAλ_{x − e}tAµ_{xk ≤ tkA}

λx − Aµxk ≤ tkAλx − Axk + tkAx − Aµxk, para λ, µ > 0.

Logo, por (ii) do Lema 1.16, (etAλ_x)

λ>0 ´e de Cauchy e desde que X seja um espa¸co de

Banach, temos (etAλ_x)

λ>0 convergente para cada x ∈ D(A). Al´em disso, pela desigualdade

acima, vemos que est´a convergˆencia ´e uniforme para t em intervalos limitados. Mais ainda, como D(A) ´e denso em X e cada (etAλ_x)

que (etAλ_x)

λ>0 ´e convergente para todo x ∈ X. De fato, para x ∈ X, t ∈ [0, a] e a > 0,

fixemos λ0 > 0 tais que kx − yk < ε e ketAλy − etAµyk < ε, para todo λ, µ > λ0. Assim, para

λ, µ > λ0 e t ∈ [0, a] obtemos

ketAλ_{x − e}tAµ_{xk ≤ ke}tAλ_{x − e}tAλ_{yk + ke}tAλ_{y − e}tAµ_{yk + ke}tAµ_{y − e}tAµ_xk

≤ ketAλ_{kkx − yk + ke}tAλ_{y − e}tAµ_{yk + ke}tAµ_{kky − xk}

< 3ε.

Considerando o que acabamos de fazer, definamos a fam´ılia de de operadores T (t)x = lim

λ→∞e

tAλ_{x, x ∈ X. (1.9)}

Note que, T (t) ´e um operador linear em X, para todo t ≥ 0. Al´em disso, usando o fato de (etAλ₎

t≥0 ser de contra¸c˜ao, temos que

kT (t)xk = k lim λ→∞e tAλ_{xk ≤ lim} λ→∞ke tAλ_k B(X)kxk ≤ kxk,

o que implica que kT (t)kB(X) ≤ 1 para todo t ≥ 0.

Mostraremos agora que (T (t))t≥0´e um C0-semigrupo e que A ´e seu gerador infinitesimal.

Segue facilmente de (1.9) que T (0)x = x para todo x ∈ X. Para mostrar a propriedade de semigrupo, sejam x ∈ X, s, t ≥ 0 e da´ı,

T (t + s)x = lim λ→∞e (t+s)Aλ_{x = lim} λ→∞e tAλ_esAλ_x. No entanto, da desigualdade kesAλ_etAλ_{x − T (s)T (t)xk = ke}sAλ_(etAλ_{x − T (t)x) + (e}sAλ_{− T (s))T (t)xk} ≤ kesAλ_kketAλ_{x − T (t)xk + ke}sAλ_{T (t)x − T (s)T (t)xk} ≤ ketAλ_{x − T (t)xk + ke}sAλ_{T (t)x − T (s)T (t)xk,}

segue facilmente que esAλ_etAλ_{x converge para T (s)T (t)x quando λ → ∞, mostrando que}

T (t + s) = T (t)T (s). Isto, juntamente com o fato que kT (t)kB(X) ≤ 1 mostra que (T (t))t≥0

´e um semigrupo de contra¸c˜ao em X. Mais ainda, como esAλ_{x converge uniformemente para}

t ∈ [0, a], a > 0, obtemos que T (·)x ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em [0, a]. Portanto, (T (t))t≥0 ´e

Finalmente, mostremos que A ´e o gerador infinitesimal de (T (t))t≥0. Sejam x ∈ X e

t > 0, note que kesAλ_A

λx − T (s)Axk ≤ kesAλ(Aλx − Ax)k + k(esAλT (s))Axk

≤ kesAλ_k

B(X)kAλx − Axk + k(esAλT (s))Axk

≤ kAλx − Axk + k(esAλT (s))Axk,

donde implica que esAλ_A

λx converge uniformemente, para s em intervalos limitados, para

T (s)Ax, quando λ → ∞. Agora, usando (1.9) e (iv) do Teorema 1.10, temos T (t)x − x t = 1 t λ→∞lim(e tAλ_{x − x) =} 1 t λ→∞lim Z t 0 esAλ_A λxds = 1 t Z t 0 T (s)Axds, x ∈ D(A). Sendo B o gerador infinitesimal de (T (t))t≥0 e fazendo t → 0+ na igualdade acima, temos

Bx = lim t→0+ 1 t Z t 0 T (s)Axds = Ax,

o que nos permite concluir que x ∈ D(B) e Bx = Ax, logo, B : D(B) ⊂ X → X ´e uma extens˜ao de A. Mais ainda, como B ´e o gerador infinitesimal de (T (t))t≥0 ent˜ao 1 ∈ ρ(B),

j´a que vale a condi¸c˜ao (ii) deste Teorema. Como B = A em D(A) e por hip´otese 1 ∈ ρ(A), vemos que (I − B)D(A) = (I − A)D(A) = X. Portanto, D(A) = (I − B)−1X = D(B) e

ent˜ao A = B. Isto completa a prova. _

Corol´ario 1.19 Seja A : D(A) ⊂ X → X o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo de

contra¸c˜ao (T (t))t≥0. Se Aλ ´e a aproxima¸c˜ao de Yosida de A, ent˜ao

T (t)x = lim

λ→∞e

tAλ_{x para x ∈ X.}

Corol´ario 1.20 Seja A : D(A) ⊂ X → X o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo de

contra¸c˜ao (T (t))t≥0. Ent˜ao ρ(A) ⊃ {λ ∈ C : Re(λ) > 0} e para tais λ vale

kR(λ : A)k ≤ 1 Re(λ).

Seja Ω ⊂ Rn _{um dom´ınio limitado com fronteira suave e considere o operador A definido} em Lq(Ω), 1 ≤ q ≤ ∞, por    D(A) = W₀1,q∩ W2,q_,

Au = −∆u, para todo u ∈ D(A)

(1.10)

O Teorema 1.18 de Hille-Yosida garante a existˆencia de um C0-semigrupo de contra¸c˜ao que

tem como gerador infinitesimal o operador A. A partir desse momento trataremos apenas desse semigrupo especial, denotaremos este por (T (t))t≥0 e chamaremos de semigrupo do

calor. Mais detalhes sobre essa t´ecnica podem ser vistos em [5]. O Lema a seguir ´e o mais importante resultado utilizado nesta disserta¸c˜ao e este tr´as uma crucial propriedade do semigrupo do calor, por´em decidimos omitir sua demonstra¸c˜ao mas esta tamb´em pode ser encontrada em [5].

Lema 1.21 Seja 1 ≤ β ≤ γ ≤ ∞. Ent˜ao T (t) : Lβ(Ω) −→ Lγ(Ω) satisfaz

kT (t)ϕkLγ_(Ω) ≤ t N 2( 1 γ− 1 β)kϕk Lβ_(Ω), para todo t > 0 e ϕ ∈ Lβ_(Ω).

Como consequˆencia do resultado anterior obtemos o seguinte Lema acerca do comporta-mento do Semigrupo do Calor.

Lema 1.22 Dado um conjunto compacto K ⊂ Lq_{(Ω) e q < r ≤ ∞, existe uma fun¸c˜ao}

γ : (0, 1] −→ (0, ∞) com

lim

t→0+γ(t) = 0,

tal que

tαkT (t)u0kLr_(Ω) ≤ γ(t),

para todo t ∈ (0, 1) e todo u0 ∈ K, onde α = N₂

 1 q − 1 r  .

a Desigualdade de Minkowski e logo ap´os o Lema 1.21 com γ = r e β = q, temos tαkT (t)u0kLr_(Ω) = tαkT (t)(u₀ − v₀+ v₀)k_Lr_(Ω) ≤ tα_{kT (t)(u} 0 − v0)kLr_(Ω)+ tαkT (t)v₀k_Lr_(Ω) ≤ tα_t−α_ku 0− v0kLq_(Ω)+ Ctαkv₀k_L∞_(Ω) = ku0− v0kLq_(Ω)+ Ctαkv₀k_L∞_(Ω),

para qualquer v0 ∈ L∞(Ω). Assim,

lim sup

t→0+

tαkT (t)u0kLr_(Ω) ≤ ku₀− v₀k_Lq_(Ω).

Como v0 foi escolhido arbitrariamente, ent˜ao basta escolher v0 = u0 e o resultado segue.

No caso geral, dado qualquer ρ > 0, existe uma cobertura finita de bolas B(ui, ρ) de K.

De maneira similar ao caso anterior, temos

tαkT (t)u0kLr_(Ω) ≤ tαkT (t)(u₀− u_i)k_Lr_(Ω)+ tαkT (t)u_ik_Lr_(Ω)

≤ tα_t−α_ku

0− uikLq_(Ω)+ tαkT (t)u_ik_Lr_(Ω)

≤ ρ + tα_{kT (t)u}

ikLr_(Ω).

Cap´ıtulo 2

Equa¸

c˜

ao do Calor

2.1

Equa¸

c˜

ao do Calor linear com potencial

Nesta se¸c˜ao estudaremos a teoria de existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do calor linear com um potencial a

          

ut− ∆u − a(t, x)u = 0,

u|∂Ω = 0,

u(0) = u0,

(2.1)

sob algumas condi¸c˜oes sobre este potencial. Para isto, escreveremos a equa¸c˜ao (2.1) em sua forma integral, isto ´e, na forma

u(t) = T (t)u0+

Z t

0

T (t − s)a(s)u(s)ds (2.2)

Teorema 2.1 Seja 0 < T < ∞, seja σ > N₂, σ ≥ 1, e seja a ∈ L∞((0, T ), Lσ_{(Ω)). Dado}

u0 ∈ Lr(Ω), 1 ≤ r < ∞, existe uma ´unica solu¸c˜ao u ∈ C([0, T ], Lr(Ω)) ∩ L∞loc((0, T ), L ∞_(Ω))

da equa¸c˜ao (2.1). Al´em disso, existe uma constante C dependendo somente de N, σ, r, |Ω| tal que u satisfaz

ku(t)kL∞ ≤ CeCtkak β

L∞((0,T ),Lσ )_t−2rNku

0kLr, (2.3)

para todo t ∈ (0, T ], com β = _2σ−N2σ .

A unicidade tamb´em ´e mantida na classe L∞((0, T ), Lr_{(Ω)) fornecido r ≥ σ}0 _{(sem ter que}

Demonstra¸c˜ao. Por uma solu¸c˜ao u ∈ C([0, T ], Lr_{(Ω)) ∩ L}∞ loc((0, T ), L ∞_{(Ω)) da equa¸c˜ao} (2.1) queremos dizer      u(t) = T (t − ε)u(ε) + Z t ε T (t − s)a(s)u(s)ds, u(t)t→0−→ u+ 0 em Lr(Ω). (2.4)

Se r ≥ σ0 e u ∈ L∞((0, T ), Lr_{(Ω)) ent˜ao, pela desigualdade de H¨older e o mergulho entre}

espa¸cos Lp_{, temos que au ∈ L}∞_{((0, T ), L}1_{(Ω)). Desta forma, a equa¸c˜ao (2.2) faz sentido em}

L1_{(Ω) e ´e equivalente a (2.4). Agora, vamos proceder em quatro etapas.}

Etapa 1: Dado u0 ∈ L∞(Ω), existe uma ´unica solu¸c˜ao u ∈ L∞((0, T ), L∞(Ω)) de (2.2)

em (0, T ), e satisfaz ku(t)kL∞_(Ω) ≤ 2eCtkak β L∞((0,T ),Lσ (Ω))ku 0kL∞_(Ω), (2.5) para todo t ∈ (0, T ).

Vamos aplicar o princ´ıpio da contra¸c˜ao para a fun¸c˜ao Ψ : L∞((0, T ), L∞(Ω)) → L∞((0, T ), L∞(Ω)) definida por

Ψ(u)(t) = T (t)u0+

Z t

0

T (t − s)a(s)u(s)ds

para t ∈ (0, T ). Aplicando o Lema 1.21 com γ = ∞, β = σ e a desigualdade de H¨older no caso _σ1 = _σ1 +_∞1 , temos kΨ(u)(t) − Ψ(v)(t)kL∞_(Ω) = Z t 0 T (t − s)a(s)[u(s) − v(s)]ds L∞_(Ω) ≤ Z t 0 kT (t − s)a(s)[u(s) − v(s)]kL∞_(Ω)ds ≤ C Z t 0 (t − s)N2( 1 ∞− 1 σ)ka(s)[u(s) − v(s)]k Lσ_(Ω)ds ≤ C Z t 0 (t − s)−2σNka(s)k_Lσ_(Ω)ku(s) − v(s)k_L∞_(Ω)ds ≤ CkakL∞_{((0,T ),L}σ_(Ω)) Z t 0 (t − s)−2σNku(s) − v(s)k L∞_(Ω)ds ≤ CT1−_2σN_kak L∞_{((0,T ),L}σ_(Ω))ku − vk_L∞_{((0,T ),L}∞_(Ω)).

Agora, note que usando a pen´ultima desigualdade acima, determinamos que kΨ2_{(u)(t) − Ψ}2_(v)(t)k L∞_(Ω) = kΨ(Ψ(u))(t) − Ψ(Ψ(v))(t)k_L∞_(Ω) ≤ CkakL∞_{((0,T ),L}σ_(Ω)) Z t 0 (t − s)−2σNkΨ(u)(s) − Ψ(v)(s)k_L∞_(Ω)ds ≤ CkakL∞_{((0,T ),L}σ_(Ω)) Z t 0 (t − s)−2σNCkak_L∞_{((0,T ),L}σ_(Ω)) Z s 0 (s − r)−2σNku(r) − v(r)k_L∞_(Ω)drds = [CkakL∞_{((0,T ),L}σ_(Ω))]2 Z t 0 (t − s)−2σN Z s 0 (s − r)−2σNku(r) − v(r)k L∞_(Ω)drds ≤ [CT 1−_2σN_kak L∞_{((0,T ),L}σ_(Ω))]2 2! ku − vkL∞((0,T ),L∞(Ω)). Similarmente, kΨ3_{(u)(t) − Ψ}3_(v)(t)k L∞_(Ω) = kΨ2(Ψ(u))(t) − Ψ2(Ψ(v))(t)k_L∞_(Ω) ≤ [CkakL∞_{((0,T ),L}σ_(Ω))]2 Z t 0 (t − s)−2σN Z s 0 (s − r)−2σNkΨ(u)(r) − Ψ(v)(r)k L∞_(Ω)drds ≤ [CkakL∞_{((0,T ),L}σ_(Ω))]2 Z t 0 (t − s)−2σN Z s 0 (s − r)−2σN CkakL∞_{((0,T ),L}σ_(Ω)) Z r 0 (r − q)−2σNku(q) − v(q)k_L∞_(Ω)dqdrds = [CkakL∞_{((0,T ),L}σ_(Ω))]3 Z t 0 (t − s)−2σN Z s 0 (s − r)−2σN Z r 0 (r − q)−2σNku(q) − v(q)k_L∞_(Ω)dqdrds ≤ [CT 1−_2σN_kak L∞_{((0,T ),L}σ_(Ω))]3 3! ku − vkL∞((0,T ),L∞(Ω)). Argumentando indutivamente conclu´ımos que

kΨn(u)(t) − Ψn(v)(t)kL∞_(Ω) ≤

[CT1−2σNkak_L∞_{((0,T ),L}σ_(Ω))]n

n! ku − vkL∞((0,T ),L∞(Ω)). Logo, Ψn _{´e uma contra¸c˜ao para n suficientemente grande. Portanto, pelo Teorema 3.3, Ψ}

Etapa 2: Existe uma constante C tal que para cada r ∈ [1, ∞] e cada u0 ∈ L∞(Ω), a

solu¸c˜ao u de (2.2) dada pela Etapa 1 satisfaz ku(t)kLr_(Ω) ≤ 2eCtkak

β

L∞((0,T ),Lσ (Ω))ku

0kLr_(Ω), (2.6)

para todo t ∈ (0, T ).

Por dualidade, deduzimos de (2.5) que ku(t)kL1_(Ω) ≤ 2eCtkak

β

L∞((0,T ),Lσ (Ω))ku

0kL1_(Ω). (2.7)

O caso geral 1 < r < ∞ segue por (2.5), (2.7) e o Teorema 3.7.

Etapa 3: Existe uma constante C tal que para cada u0 ∈ L∞(Ω), a solu¸c˜ao u de (2.2)

dada pela Etapa 1 satisfaz

ku(t)kL2_(Ω)≤ CeCtkak β

L∞((0,T ),Lσ (Ω))_t−N4ku₀k_L1_(Ω), (2.8)

para todo t ∈ (0, T ).

Podemos assumir u0 6= 0. Multiplicando a equa¸c˜ao (2.1) por u temos

hut, ui + h−∆u, ui − ha(t, x)u, ui = 0 ⇒

1 2

d

dthu, ui + h∇u, ∇ui = a(t, x)hu, ui Com isso, obtemos

1 2 d dt Z Ω u2+ Z Ω |∇u|2 = Z Ω au2. (2.9)

Pelas desigualdades de H¨older e de interpola¸c˜ao de Gagliardo-Nirenberg no caso _2σ10 =

1 2 − 1 N
_N 2σ+ 1−_2σN 2 , temos Z Ω au2 ≤ kakLσ_(Ω)ku2k Lσ0_(Ω) = kakLσ_(Ω)kuk2 L2σ0_(Ω) ≤ CkakLσ_(Ω)k∇uk 2N 2σ L2_(Ω)kuk 2₍1−_2σN₎ L2_(Ω) = CkakLσ_(Ω) Z Ω |∇u|2 _2σN Z Ω u2 2σ−N_2σ .

Agora, pela desigualdade de Young CkakLσ_(Ω) Z Ω |∇u|2 _2σN Z Ω u2 2σ−N_2σ = C Z Ω |∇u|2 _2σN  kak 2σ 2σ−N Lσ_(Ω) Z Ω u2 2σ−N_2σ ≤ 1 2 Z Ω |∇u|2₊ C 2kak β Lσ_(Ω) Z Ω u2. Portanto, 1 2 d dt Z Ω u2+ Z Ω |∇u|2 _≤ 1 2 Z Ω |∇u|2₊C 2kak β Lσ_(Ω) Z Ω u2, ou seja, d dt Z Ω u2+ Z Ω |∇u|2 _{≤ Ckak}β Lσ_(Ω) Z Ω u2. (2.10)

Por outro lado, pelas desigualdades de interpola¸c˜ao de Gagliardo-Nirenberg no caso 1₂ =

1 2 − 1 N
_N N +2+ 1−_{N +2}N 1 e (2.7), temos Z Ω u2 N +2_N = kuk2( N +2 N ) L2_(Ω) ≤ Ck∇uk2( N +2 N ) N N +2 L2_(Ω) kuk 2(N +2_N )(1−_{N +2}N ) L1_(Ω) = C Z Ω |∇u|2  kukN4 L1_(Ω) (2.11) ≤ C Z Ω |∇u|2_2eCtkakβ_{L∞((0,T ),Lσ (Ω))ku} 0kL1_(Ω) _N4 = Z Ω |∇u|2CeCtkak β L∞((0,T ),Lσ (Ω))ku 0kL1_(Ω) _N4 . Logo, temos por (2.10) e (2.11) que

d dt Z Ω u2+CeCtkakβL∞((0,T ),Lσ (Ω))ku 0kL1_(Ω) −_N4 Z Ω u2 N +2_N ≤ d dt Z Ω u2+ Z Ω |∇u|2 _{≤ Ckak}β Lσ_(Ω) Z Ω u2.

Da´ı, segue que a fun¸c˜ao

f (t) = Z

Ω

u2(t, x)dx

satisfaz a desigualdade diferencial

f0(t) + Af (t)N +2N ≤ Bf (t), com A =CeCtkak β L∞((0,T ),Lσ (Ω))ku 0kL1_(Ω) −N4 e B = Ckakβ_L∞_{((0,T )L}σ_(Ω)).

Isto produz f (t) ≤  2 N At N₂ eBt,

que ´e a estimativa desejada.

Etapa 4: Se u0 ∈ L∞(Ω), ent˜ao para cada 1 ≤ r ≤ ∞ a estimativa (2.3) vale.

Por dualidade, deduzimos de (2.8) que ku(t)kL∞_(Ω) ≤ CeCtkak β L∞((0,T ),Lσ (Ω))t− N 4ku₀k L2_(Ω). (2.12)

Combinando (2.8) e (2.12), deduzimos que ku(t)kL∞_(Ω) ≤ CeCtkak

β

L∞((0,T ),Lσ (Ω))_t−N2ku₀k

L1_(Ω). (2.13)

A estimativa (2.3) segue de (2.5), (2.13) e do Teorema 3.7.

Etapa 5: Existˆencia na classe C ([0, T ], Lr(Ω)) ∩ L∞_loc((0, T ), L∞(Ω)). Seja u0 ∈ Lr(Ω) e (un0)n≥0 ⊂ L∞(Ω) tal que un0

n→∞

−→ u0 em Lr(Ω). Seja un a solu¸c˜ao

correspondente de (2.2) dada pela Etapa 1. Segue por (2.6) e (2.3) que un converge para um limite u em C([0, T ], Lr_{(Ω)) e em C([ε, T ], L}∞_{(Ω)) para cada 0 < ε < T . Portanto, u resolve}

a equa¸c˜ao (2.4) e satisfaz a estimativa (2.3).

Etapa 6: Unicidade na classe C([0, T ], Lr(Ω)) ∩ L∞_loc((0, T ), L∞(Ω)). Suponha u0 = 0. Segue da Etapa 4 que

ku(t + ε)kL∞_(Ω) ≤ CeCtkak β

L∞(0,T ),Lσ (Ω)_t−2rNku(ε)k

Lr_(Ω),

para todo t ∈ (0, T − ε). Fazendo ε → 0+_{, obtemos u(t) = 0 para todo t ∈ (0, T ). Dada duas}

solu¸c˜oes v, w de (2.1), basta escolher u = v − w que pelo argumento acima, conclu´ımos que u = w.

Se u e v s˜ao duas solu¸c˜oes, ent˜ao ku(t) − v(t)k_Lσ0_(Ω) = Z t 0 T (t − s)a(s)[u(s) − v(s)]ds Lσ0_(Ω) ≤ Z t 0 (t − s)N2( 1 σ0−1)ka(s)[u(s) − v(s)]k L1_(Ω)ds ≤ Z t 0 (t − s)−2σNka(s)k Lσ_(Ω)ku(s) − v(s)k Lσ0_(Ω)ds ≤ kakL∞_{((0,T ),L}σ_(Ω)) Z t 0 (t − s)−2σNku(s) − v(s)k Lσ0_(Ω)ds,

e segue pelo Teorema 3.6 que u = v. Isto completa a prova. _

Lema 2.2 Seja vn solu¸c˜ao de

           − (vn)t− ∆vn= anvn em (0, t0) × Ω, vn = 0 em (0, t0) × ∂Ω, vn(t0) = ψ em Ω,

Para cada 2 ≤ r < ∞ existe uma constante C (C depende de r) tal que sup

n≥0

kvnkL∞_((0,t

0),Lr(Ω))≤ CkψkLr(Ω).

Demonstra¸c˜ao. ´E conveniente introduzirmos wn(t) = vn(t0− t) tal que wn satisfaz

           (wn)t− ∆wn = bnwn em (0, t0) × Ω, wn= 0 em (0, t0) × ∂Ω, wn(0) = ψ em Ω, (2.14)

onde bn(s) = an(t0− s). Multiplicando a equa¸c˜ao (2.14) por |wn|r−2wn, obtemos

1 r d dt Z Ω |wn(t)|r+ 4(r − 1) r2 Z Ω |∇|wn| r 2|2 ≤ Z Ω |bn||wn|r ≤ Z Ω |b||wn|r (2.15)

com b(t) = a(t0 − t) para 0 ≤ t ≤ t0. Dado j ≥ 0 para ser escolhido suficientemente grande,

escrevemos b = b − bj + bj, estimamos Z Ω |b||wn|r ≤ Z Ω |b − bj||wn|r+ Z Ω |bj||wn|r ≤ kb − bjk_LN 2(Ω)kwnk r LN −2N r _(Ω)+ jkwnk r Lr_(Ω) = kb − bjk_LN 2(Ω)k|wn| r 2k2 LN −22N _(Ω)+ jkwnk r Lr_(Ω) (2.16) ≤ Ckb − bjk_LN 2(Ω) Z Ω |∇|wn| N 2|2+ jkw_nkr Lr_(Ω),

onde a ´ultima estimativa segue pela desigualdade de Gagliardo-Niremberg-Sobole (Teorema 3.5). Agora escolhemos j suficientemente grande (independente de n) tal que

Ckb − bjk_LN 2(Ω) ≤ 4(r − 1) r2 . (Lembrando que bj j→∞ −−−→ b em C([0, t0], L N

2(Ω)). Aqui usamos o fato que a ∈ C([0, T ], L N

2(Ω));

a ∈ L∞((0, T ), LN2(Ω)) n˜ao seria suficiente.) Agora, veja que por (2.15) e (2.16) temos

1 r d dt Z Ω |wn(t)|r≤ jkwnkrLr_(Ω).

Da´ı, pela forma diferencial da desigualdade de Gronwall, deduzimos que kwnkrLr_(Ω)≤ kψkr_Lr_(Ω)ejrt.



Teorema 2.3 Assuma N ≥ 3. Seja T > 0 e a ∈ C([0, T ], LN2(Ω)). Se u ∈ L∞((0, T ), Lq(Ω))

com q > _{N −2}N satisfaz

u(t) = Z T

0

T (t − s)a(s)u(s)ds, para todo t ∈ [0, T ], ent˜ao u(t) ≡ 0.

Demonstra¸c˜ao. Note que, au ∈ L∞((0, T ), Lr0_{(Ω)) com} 1

r0 =

1 q +

2

N, pois, pelo Teorema de

H¨older,

kaukLr0(Ω) ≤ kak

LN2_(Ω)kukLq(Ω).

Em particular, 1 < r0 < ∞, pela regularidade maximal, temos

u ∈ Lp((0, T ), W2,r0_{(Ω) ∩ W}1,r0

0 (Ω))

para cada p < ∞, e u satisfaz

ut− ∆u = au (2.17)

em Lr0(Ω) para quase todo t ∈ (0, T ).

Agora, usaremos o argumento de dualidade. Fixe t0 ∈ (0, T ), e ψ ∈ D(Ω). Seja (an)n≥0 ⊂

C([0, T ], LN2(Ω)) ∩ L∞((0, T ) × Ω). Al´em disso, similarmente a demonstra¸c˜ao do Lema 2.6,

an→ a em C([0, T ], L

N

Seja vn solu¸c˜ao de            − (vn)t− ∆vn = anvn em (0, t0) × Ω, vn= 0 em (0, t0) × ∂Ω, vn(t0) = ψ em Ω,

Multiplicando a equa¸c˜ao (2.17) por vn obtemos

Z Ω uvn t0 0 = Z t0 0 Z Ω (u(vn)t+ utvn) = Z t0 0 Z Ω

(u(−∆vn− anvn) + vn(∆u + au))

= Z t0 0 Z Ω (a − an)uvn. Portanto, Z Ω u(t0)ψ = Z t0 0 Z Ω (a − an)uvn.

Consequentemente, pela desigualdade de H¨older,     Z Ω u(t0)ψ     ≤ t0ka − ank_C([0,t 0],L N 2(Ω))kukL∞((0,t0),Lq(Ω))kvnkL∞((0,t0),Lθ(Ω)), (2.18) onde 1_θ = 1 − 1_q − 2

N > 0. Em particular, temos θ < ∞. Pelo Lema 2.2, kvnkL∞((0,t0),Lr(Ω)) ´e

limitada para n ≥ 0. Logo, fazendo n → ∞ em (2.18), obtemos Z

Ω

u(t0)ψ = 0.

Como t0 ∈ (0, T ) e ψ ∈ D(Ω) foram escolhidos arbitrariamente, ent˜ao podemos deduzir que

u ≡ 0. _

2.2

Equa¸

c˜

ao do Calor com dado inicial singular

Esta ´e a principal se¸c˜ao desta disserta¸c˜ao. Utilizamos as t´ecnicas vistas em [2] para obter resultados de existˆencia e unicidade para o problema

           ut− ∆u = |u|p−1u em (0, T ) × Ω, u = 0 em (0, T ) × ∂Ω, u(0, x) = u0(x) em Ω, (2.19)

onde Ω ⊂ RN ´e um dom´ınio limitado suave e p > 1. Estamos interessados com o que acontece quando u0 ∈ Lq(Ω) para 1 ≤ q < ∞. Visto que no caso u0 ∈ L∞(Ω) existe uma ´unica solu¸c˜ao

definida no intervalo maximal [0, Tmax), que satisfaz:

• u ´e uma solu¸c˜ao cl´assica de (2.19) em (0, T ) × Ω (2.20) (u est´a em C1 quando t ∈ (0, Tmax) e C2 quando x ∈ Ω),

• u ∈ L∞((0, T ) × Ω) para todo T < Tmax, (2.21)

• ku(t) − T (t)u0kL∞_(Ω) → 0, quando t → 0+, (2.22)

onde (T (t))t≥0 ´e o semigrupo gerado pelo Laplaciano (ver [5]).

Teorema 2.4 Assuma q > N (p−1)₂ (respectivamente q = N (p−1)₂ ) e q ≥ 1 (resp. q > 1), N ≥ 1. Dado qualquer u0 ∈ Lq(Ω), existe um tempo T = T (u0) > 0 e uma ´unica fun¸c˜ao

u ∈ C([0, T ], Lq_{(Ω)) com u(0) = u}

0, onde u ´e uma solu¸c˜ao cl´assica de (2.19) em (0, T ) × Ω

( no sentido de (2.20)) e satisfaz ku(t) − v(t)kLq_(Ω)+ t

N

2qku(t) − v(t)k

L∞_(Ω)≤ Cku₀− v₀k_Lq_(Ω), (2.23)

para todo t ∈ (0, T ] onde T = min{T (u0), T (v0)} e C pode ser estimado em termos de

ku0kLq_(Ω) e kv₀k_Lq_(Ω).

Al´em disso, para cada conjunto limitado (resp. conjunto compacto) K em Lq_{(Ω), existe}

um tempo (uniforme) T = T (K) talque para qualquer u0 ∈ K a solu¸c˜ao de (2.19) existe em

[0, T ].

Demonstra¸c˜ao. Essa demostra¸c˜ao ser´a dividida em quatro etapas. Etapa 1: Existˆencia de solu¸c˜ao cl´assica com q > N (p − 1)

2 e q ≥ 1. Primeiramente, estabeleceremos a existˆencia de uma solu¸c˜ao

Para tanto, usaremos o Teorema do Ponto Fixo de Banach. Fixe M ≥ ku0kLq_(Ω), seja

E = L∞((0, T ), Lq(Ω)) ∩ L∞_loc((0, T ), Lpq(Ω))

e

K = K(T ) = {u ∈ E : ku(t)kLq_(Ω) ≤ M + 1 e tαku(t)k_Lpq_(Ω)≤ M + 1 para t ∈ (0, T )},

com α = N (p − 1) 2pq < q pq < 1 p < 1. Definamos d : K × K −→ R por d(u, v) = sup 0<t<T tα_{ku(t) − v(t)k} Lpq_(Ω) .

Note que d est´a bem definida, pois

tαku(t) − v(t)kLpq_(Ω) ≤ tαku(t)k_Lpq_(Ω)+ tαkv(t)k_Lpq_(Ω) ≤ 2(M + 1), ∀t ∈ (0, T ),

j´a que u, v ∈ K. Logo, segue que (K, d) ´e um espa¸co m´etrico completo e n˜ao vazio. Definamos tamb´em Φ : K −→ K por

Φ(u)(t) = T (t)u0+

Z t

0

T (t − s)|u(s)|p−1u(s)ds, (2.24)

para todo t ≥ 0. Vejamos que Φ est´a bem definida. Com efeito, aplicando a Desigualdade de Minkowski e o Lema 1.21 com γ = β = q, temos

kΦ(u)(t)kLq_(Ω) = T (t)u0+ Z t 0 T (t − s)|u(s)|p−1u(s)ds Lq_(Ω) ≤ kT (t)u0k_Lq_(Ω)+ Z t 0 T (t − s)|u(s)|p−1u(s)ds Lq_(Ω) ≤ ku0kLq_(Ω)+ Z t 0 T (t − s)|u(s)|p−1u(s) Lq_(Ω)ds ≤ ku0kLq_(Ω)+ Z t 0 |u(s)|p−1_u(s) Lq_(Ω)ds = ku0kLq_(Ω)+ Z t 0 ku(s)kp_Lpq_(Ω)ds = ku0kLq_(Ω)+ Z t 0 spα spαku(s)k p Lpq_(Ω)ds ≤ ku0kLq_(Ω)+  sup 0<t<T tα_ku(t)k Lpq_(Ω) pZ t 0 s−pαds ≤ ku0kLq_(Ω)+ (M + 1)p T1−pα 1 − pα,

para todo u ∈ K e t > 0. Al´em disso, utilizando o Lema 1.21 com γ = pq e β = q e fazendo a mudan¸ca de vari´avel σ = s_t, obtemos

tαkΦ(u)(t)kLpq_(Ω) = tα T (t)u0+ Z t 0 T (t − s)|u(s)|p−1u(s)ds Lpq_(Ω) ≤ tα_{kT (t)u} 0kLpq_(Ω)+ tα Z t 0 T (t − s)|u(s)|p−1u(s) Lpq_(Ω)ds ≤ tα_t−α_ku 0kLq_(Ω)+ tα Z t 0 (t − s)−α |u(s)|p−1_u(s) Lq_(Ω)ds = ku0kLq_(Ω)+ tα Z t 0 (t − s)−αs pα spαku(s)k p Lpq_(Ω)ds ≤ ku0kLq_(Ω)+ tα(M + 1)p Z t 0 (t − s)−αs−pαds = ku0kLq_(Ω)+ tα(M + 1)p Z 1 0 t−α−pα+1(1 − σ)−ασ−pαdσ ≤ ku0kLq_(Ω)+ T1−pα(M + 1)p Z 1 0 (1 − σ)−ασ−pαdσ,

para todo u ∈ K, t > 0 e a integral que aparece est´a bem definida pois se trata da fun¸c˜ao beta1 com 1 − σ, 1 − pα > 0. Similarmente ao que foi feito acima, usando a desigualdade do termo n˜ao linear2_{e a Desigualdade de H¨older no caso} 1

q = 1 pq+ p−1 pq , para u, v ∈ K mostramos que tαkΦ(u)(t) − Φ(v)(t)kLpq_(Ω) = tα Z t 0 T (t − s) |u(s)|p−1u(s) − |v(s)|p−1v(s)
ds Lpq_(Ω) ≤ tα Z t 0 T (t − s) |u(s)|p−1u(s) − |v(s)|p−1v(s)
_Lpq_(Ω)ds ≤ tα Z t 0 (t − s)−α |u(s)|p−1_{u(s) − |v(s)|}p−1_v(s) Lq_(Ω)ds ≤ Ctα Z t 0 (t − s)−α (|u(s)|p−1+ |v(s)|p−1)|u(s) − v(s)| Lq_(Ω)ds ≤ Ctα Z t 0 (t − s)−α |u(s)|p−1_{+ |v(s)|}p−1 L pq p−1_(Ω) ku(s) − v(s)k_Lpq_(Ω)ds ≤ Ctα Z t 0 (t − s)−αk|u(s)|p−1_k L pq p−1_(Ω)+ k|v(s)| p−1_k L pq p−1_(Ω)  ku(s) − v(s)k_Lpq_(Ω)ds = Ctα Z t 0 (t − s)−αs (p−1)α_sα spα  ku(s)kp−1_Lpq_(Ω)+ kv(s)k p−1 Lpq_(Ω)  ku(s) − v(s)k_Lpq_(Ω)ds ≤ Ctα_{2(M + 1)}p−1_{d(u, v)} Z t 0 (t − s)−αs−pαds ≤ CT1−pα(M + 1)p−1d(u, v) Z 1 0 (1 − σ)−ασ−pαdσ.

Segue das estimativas acima que se T ´e suficientemente pequeno (dependendo somente de M), ent˜ao Φ : K −→ K ´e uma contra¸c˜ao estrita. Logo, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, Φ tem um ´unico ponto fixo em K.

Para completar a demonstra¸c˜ao ´e suficiente mostrar que

u ∈ C([0, T ], Lq(Ω)) ∩ L∞_loc((0, T ), L∞(Ω))

1_{A fun¸c˜ao beta, tamb´em chamada por integral de Euler de primeiro tipo, ´e uma fun¸c˜ao especial definida}

por B(x, y) =R1

0 t

x−1_{(1 − t)}y−1_{dt, para n´umeros complexos x e y cuja parte real seja positiva.} 2_||u|p−1_{u − |v|}p−1_{v| ≤ C(|u|}p−1_{+ |v|}p−1_{)|u − v|.}

(desde que u ∈ L∞_loc((0, T ), L∞(Ω)), deve ser uma solu¸c˜ao cl´assica em (0, T )×Ω). Uma vez que u ∈ K e pα < 1, temos |u|p−1u ∈ L1((0, T ), Lq(Ω)). Isto implica que u ∈ C([0, T ], Lq(Ω)). (Recordamos que, de forma geral, se f ∈ L1_{((0, T ), X) e u(t) =} Rt

0 T (t − s)f (s)ds, ent˜ao

u ∈ C([0, T ], X).)

Em seguida, proveremos que u ∈ L∞_loc((0, T ), L∞(Ω)). Com efeito, temos

u ∈ L∞_loc((0, T ), Lpq(Ω)).

Logo, podemos aplicar o Teorema 2.1, com r = pq e σ = _p−1pq , em cada intervalo (ε, T − ε), com a = |u|p−1_.

Note que, a escolha de T depende somente de M . Isto estabelece a ´ultima afirma¸c˜ao do Teorema.

Etapa 2: Existˆencia de solu¸c˜ao cl´assica com q = N (p − 1)

2 e q > 1.

Nesta etapa, a estrat´egia ser´a a mesma da etapa anterior com algumas diferen¸cas t´ecnicas. Fixe r ∈ (q, pq), r ≥ p, defina e E = L∞((0, T ), Lq(Ω)) ∩ {u ∈ L∞_loc((0, T ), Lr(Ω)); tαu ∈ L∞((0, T ), Lr(Ω))} e E = L∞((0, T ), Lq(Ω)) ∩ {u ∈ L∞_loc((0, T ), Lr(Ω)); tαu ∈ C0([0, T ], Lr(Ω))} , com α = N₂ 1_q − 1 r  < N₂ 1_q − 1 pq  = N₂ p−1_pq  = _pqq = 1_p < 1, pois r < pq. Aqui C0 ´e o

conjunto das fun¸c˜oes que se anulam em t = 0. Fixe M ≥ ku0kLq_(Ω). Dado δ > 0 para ser

escolhido posteriormente, defina

e

K = eK(T ) = {u ∈ eE; ku(t)kLq_(Ω) ≤ M + 1 e tαku(t)k_Lr_(Ω) ≤ δ para t ∈ (0, T )},

e

K = K(T ) = eK ∩ E. Vamos equipar eK com a m´etrica

d(u, v) = sup

0<t<T

tα_{ku(t) − v(t)k}

e assim, ( eK, d) e (K, d) s˜ao espa¸cos m´etricos completos n˜ao vazios. Considere a mesma fun¸c˜ao Φ dada em (2.24). Seja a = N₂  p r − 1 q 

. Para u ∈ eK, usaremos o Lema 1.21 com γ = q e β = r_p, j´a que r_p < q ⇔ r < pq. Logo, kΦ(u)(t)kLq_(Ω) = T (t)u0+ Z t 0 T (t − s)|u(s)|p−1u(s)ds Lq_(Ω) ≤ kT (t)u0kLq_(Ω)+ Z t 0 T (t − s)|u(s)|p−1u(s)ds Lq_(Ω) ≤ ku0kLq_(Ω)+ Z t 0 T (t − s)|u(s)|p−1u(s) Lq_(Ω)ds ≤ ku0kLq_(Ω)+ Z t 0 (t − s)N2( 1 q− p r) |u(s)|p−1_u(s) Lrp_(Ω)ds = ku0kLq_(Ω)+ Z t 0 (t − s)−aku(s)kp_Lr_(Ω)ds = ku0kLq_(Ω)+ Z t 0 (t − s)−as pα spαku(s)k p Lr_(Ω)ds ≤ ku0kLq_(Ω)+  sup 0<t<T tα_ku(t)k Lr_(Ω) pZ t 0 (t − s)−as−pαds ≤ ku0kLq_(Ω)+ δp Z 1 0 t−(a+pα)+1(1 − σ)−aσ−pαdσ = ku0kLq_(Ω)+ δp Z 1 0 (1 − σ)−aσ−pαdσ = ku0kLq_(Ω)+ δpC₁,

uma vez que a + pα = 1 e C1 :=

R1

0(1 − σ)

−a_σ−pα_{dσ (lembre que a constante C}

1 ´e a fun¸c˜ao

beta e temos 1 − a, 1 − pα > 0.). Note que a constante C1 (e as constantes C2 e C3 que

definiremos a seguir) depende somente de p, q, r, e N . Escolhendo δ suficientemente pequeno tal que

C1δp ≤ 1, (2.25)

teremos

Em seguida, aplicando o Lema 1.21 com γ = r e β = _pr, obtemos tαkΦ(u)(t)kLr_(Ω) = tα T (t)u0 + Z t 0 T (t − s)|u(s)|p−1u(s)ds Lr_(Ω) ≤ tα_{kT (t)u} 0k_Lr_(Ω)+ tα Z t 0 T (t − s)|u(s)|p−1u(s) Lr_(Ω)ds ≤ sup 0<t<T n tαkT (t)u0k_Lr_(Ω) o + tα Z t 0 (t − s)N2( 1 r− p r)k|u(s)|p−1u(s)k L r p_(Ω)ds = sup 0<t<T n tαkT (t)u0k_Lr_(Ω) o + tα Z t 0 (t − s)−N (p−1)2r s pα spαku(s)k p Lr_(Ω)ds ≤ sup 0<t<T n tαkT (t)u0k_Lr_(Ω) o +tα  sup 0<t<T n tαku(t)k_Lr_(Ω) opZ t 0 (t − s)−N (p−1)2r s−pαds ≤ sup 0<t<T n tαkT (t)u0k_Lr_(Ω) o + δptα Z 1 0 t−(N (p−1)2r +pα)+1(1 − σ) −N (p−1) 2r σ−pαdσ = sup 0<t<T n tαkT (t)u0kLr_(Ω) o + δptα Z 1 0 t−(α+1)+1(1 − σ)−N (p−1)2r σ−pαdσ = sup 0<t<T n tαkT (t)u0k_Lr_(Ω) o + δp Z 1 0 (1 − σ)−N (p−1)2r σ−pαdσ = sup 0<t<T n tαkT (t)u0kLr_(Ω) o + δpC2,

uma vez que N (p−1)_2r + pα = α + 1 e C2 :=

R1 0(1 − σ) −N (p−1) 2r σ−pαdσ. Portanto, tαkΦ(u)(t)kLr_(Ω) ≤ sup 0<t<T n tαkT (t)u0k_Lr_(Ω) o +δ 2, (2.26)

desde que δ seja escolhido satisfazendo

C2δp−1≤

1

2. (2.27)

Similarmente as estimativas acima, para u, v ∈ eK, encontramos tαkΦ(u)(t) − Φ(v)(t)kLr_(Ω) ≤ C₃δp−1d(u, v) ≤

1

2d(u, v), (2.28)

escolhido δ tal que

C3δp−1≤

1

2, (2.29)

para alguma constante C3. Das estimativas acima, conclu´ımos que Φ : eK −→ eE.

Vamos fixar δ > 0 suficientemente pequeno tal que (2.25), (2.27) e (2.29) sejam satisfeitas. A escolha de δ depende somente de N, p, q, r.

Agora, fixaremos T > 0 tal que sup 0<t<T n tαkT (t)u0k_Lr_(Ω) o ≤ δ 2. (2.30)

Pelo Lema 1.22, a escolha de T depende somente do compacto K ⊂ Lq_{(Ω). Isto estabelece a}

´

ultima afirma¸c˜ao deste Teorema.

Por (2.28), (2.26) e (2.30), Φ : eK −→ eK ´e uma contra¸c˜ao estrita e assim, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, Φ tem um ´unico ponto fixo em eK.

Agora, afirmamos que este ponto fixo pertence a K. Para isso, ´e suficiente verificar que Φ : K −→ K. Vamos mostrar que Φ(u) ∈ C((0, T ], Lr_{(Ω)) e que lim}

t→0+t

α_{Φ(u)(t) = 0 em}

Lr_{(Ω). Pelo Lema 1.22, T (t)u}

0 satisfaz os requisitos acima, podemos sempre assumir que

u0 = 0. ´E claro que Φ(u) ∈ K quando u ∈ C([0, T ]L∞(Ω)). Desde que K ∩ C([0, T ]L∞(Ω))

´e denso em K equipado com a m´etrica d, o resultado segue por (2.28).

Agora provaremos que u ∈ L∞_loc((0, T ), L∞(Ω)). De fato, temos u ∈ L∞_loc((0, T ), Lr_(Ω)).

Logo, podemos aplicar o Teorema 2.1, com σ = _p−1r , em cada intervalo (ε, T − ε), onde a = |u|p−1_{. Com efeito, r ≥ p > p − 1, de modo que σ > 1; r > q =} N (p−1)

2 , assim σ > N

2; e

por r ≥ p temos r ≥ σ0.

Finalmente, provaremos que u ∈ C([0, T ], Lq_{(Ω)). De fato, temos u ∈ K, de modo}

que, em particular, u ∈ C((0, T ], Lr_{(Ω)) ⊂ C((0, T ], L}q_{(Ω)). Portanto, resta mostrar que}

u(t) − T (t)u0 t→0+

−−−→ 0 em Lq_{(Ω). Utilizando ideias de estimativas anteriores, temos}

ku(t) − T (t)u0kLq_(Ω)≤ C₁ sup

0<s<t

(sαku(s)kLr_(Ω))p t→0 +

−−−→ 0, uma vez que u ∈ E.

Etapa 3: Unicidade.

Para todo u0 ∈ Lq(Ω), denotamos por U (t)u0 a solu¸c˜ao constru´ıda nas etapas 2 e 3 em

algum intervalo [0, T (u0)]. Vamos precisar do seguinte Lema.

Lema 2.5 Seja u0 ∈ L∞(Ω) e considere a solu¸c˜ao cl´assica ˜u de (2.19) definida no intervalo

maximal [0, Tmax(u0)) e dados (2.20)—(2.22). Ent˜ao T (u0) < Tmax(u0) e ˜u = U (t)u0 para

Demonstra¸c˜ao. ´E claro queu ∈ K(τ ) para algum 0 < τ ≤ T (u_e 0) suficientemente pequeno.

Pela unicidade em K(τ ) temos

e

u = U (t)u0, para 0 ≤ t ≤ τ.

Ap´os o tempo τ , ambos _eu ∈ K(τ ) e U (t)u0 s˜ao solu¸c˜oes cl´assicas. Segue o resultado. 

Vamos retornar a prova da unicidade. Primeiramente vamos provar o caso q = N (p−1)₂ e q > 1. Seja ν ∈ C([0, T ], Lq_{(Ω)) ∩ L}∞

loc((0, T ), L

∞_{(Ω)) uma solu¸c˜ao de (2.19) com ν(0) = u} 0.

Recordamos que ν ´e uma solu¸c˜ao cl´assica de (2.19) em (0, T ) × Ω. Estamos em busca de mostrar que ν(t) = U (t)u0 em algum intervalo [0, T0). Ent˜ao, ν(t) = U (t)u0 quando ambos

existem, pela unicidade padr˜ao em L∞(Ω). Seja

K = ν([0, T ]) e M = sup

0≤t≤T

{kν(t)kLq_(Ω)}.

Note que, K ´e um conjunto compacto em Lq_{(Ω), pois ´e imagem de um compacto por uma}

fun¸c˜ao cont´ınua. Ent˜ao, existe T1 > 0(uniforme) tal que U (t)ν0 est´a bem definido, para todo

ν0 ∈ K e todo t ∈ [0, T1]. Al´em disso, uma vez que U (t)ν(s) ∈ K(T1) (considerando como

uma fun¸c˜ao de t), temos

kU (t)ν(s)kLq_(Ω) ≤ M + 1 e tαkU (t)ν(s)k_Lr_(Ω) ≤ δ, (2.31)

para todo s ∈ (0, T ) e todo t ∈ (0, T1).

Fixe qualquer 0 < s < T . Segue pelo Lema 2.5 que

ν(t + s) = U (t + s)u0 = U (t)U (s)u0 = U (t)ν(s), para 0 ≤ t ≤ min{T − s, T1}. (2.32)

Combinando (2.31) e (2.32), obtemos

kν(t + s)kLq_(Ω) ≤ M + 1 e tαkν(t + s)k_Lr_(Ω) ≤ δ,

para 0 < t < min{T − s, T1}. Fazendo s → 0+, deduzimos

kν(t)kLq_(Ω) ≤ M + 1 e tαkν(t)k_Lr_(Ω)≤ δ,

para 0 < t < min{T, T1}. Portanto, ν(t) ∈ eK(T0) onde T0 = min{T, T1}. Ent˜ao

ν(t) = T (t)u0+

Z t

0

isto ´e, ν = Φ(ν). Por (2.28) conclu´ımos que ν(t) = U (t)u0 em [0, T0].

Etapa 4: Prova de (2.23).

Para essa demonstra¸c˜ao vamos considerar trˆes casos, com m´etodos muitos parecidos.

Caso a: q > N (p − 1)

2 , q ≥ p − 1 e q ≥ 1.

Vamos aplicar o Teorema 2.1 com a dado por (2.40) e σ = _p−1q . Note que, σ > N₂ e σ ≥ 1, pois q > N (p−1)₂ e q ≥ p − 1. Al´em disso, pelos c´alculos feitos em (2.41), conclu´ımos que a ∈ L∞((0, T ), Lσ_{(Ω)). Ent˜ao, por (2.3) temos}

ku(t) − v(t)kL∞_(Ω) ≤ CeCtkak α L∞((0,T ),Lσ (Ω))_t− N 2qku 0− v0kLq_(Ω), com α = N (p−1)_2pq

Por constru¸c˜ao, u, v ∈ K onde M ´e escolhido tal que M ≥ ku0kLq_(Ω), M ≥ kv₀k_Lq_(Ω) e

T = min{T (u0), T (v0)}. Tomando o sup t∈(0,T ]

n

eCtkakαL∞((0,T ),Lσ (Ω))

o

e incluindo esse a constante, segue a estimativa L∞.

Por outro lado, utilizando o Lema 1.21 com γ = β = q e as Desigualdades do termo n˜ao linear, Minkowski e H¨older no caso 1

q = 1 pq + p−1 pq , temos ku(t) − v(t)kLq_(Ω) = T (t)(u0− v0) + Z t 0 (|u(s)|p−1u(s) − |v(s)|p−1v(s))ds Lq_(Ω) ≤ ku0− v0kLq_(Ω)+ C Z t 0 k(|u(s)|p−1_{+ |v(s)|}p−1_{)|u(s) − v(s)|k} Lq_(Ω)ds (2.34) ≤ ku0− v0kLq_(Ω)+ C Z t 0 k|u(s)|p−1_{+ |v(s)|}p−1_k L pq p−1_(Ω)ku(s) − v(s)kLpq(Ω)ds ≤ ku0− v0kLq_(Ω)+ C Z t 0  ku(s)kp−1_Lpq_(Ω)+ kv(s)k p−1 Lpq_(Ω)  ku(s) − v(s)kLpq_(Ω)ds.

Como u, v ∈ K, ent˜ao sαku(s)kLpq_(Ω) ≤ M + 1 e sαkv(s)k_Lpq_(Ω) ≤ M + 1, para todo

s ∈ (0, T ), onde T = min{T (u0), T (v0)}. Assim

ku(s)kp−1_Lpq_(Ω)+ kv(s)k p−1 Lpq_(Ω) ≤ 2 sα(p−1)(M + 1) p−1_{, ∀ s ∈ (0, T ).}

Logo, ku(t) − v(t)kLq_(Ω) ≤ ku₀− v₀k_Lq_(Ω)+ 2C(M + 1)p−1+ Z t 0 1 sα(p−1) sα sαku(s) − v(s)kLpq(Ω)ds ≤ ku0− v0kLq_(Ω)+ C(M + 1)p−1 sup 0<t<T tα_{ku(t) − v(t)k} Lpq_(Ω) Z T 0 s−αpds = ku0− v0kLq_(Ω)+ C(M + 1)p−1 sup 0<t<T tα_{ku(t) − v(t)k} Lpq_(Ω) . (2.35)

Aqui, usamos o fato que αp < 1. Al´em disso, usando t´ecnicas similares a (2.34) com exce¸c˜ao do Lema 1.21 que agora ser´a aplicado com γ = pq e β = q, temos

ku(t) − v(t)kLpq_(Ω) ≤ kT (t)(u₀− v₀)k_Lpq_(Ω)+ + Z t 0 kT (t − s)(|u(s)|p−1_{u(s) − |v(s)|}p−1_v(s))k Lpq_(Ω)ds ≤ tN2( 1 pq− 1 q)ku 0− v0kLq_(Ω)+ + Z t 0 (t − s)N2( 1 pq− 1 q)k|u(s)|p−1_{u(s) − |v(s)|}p−1_v(s)k Lq_(Ω)ds ≤ t−α_ku 0− v0kLq_(Ω)+ +C Z t 0 (t − s)−αk(|u(s)|p−1_{+ |v(s)|}p−1_{)|u(s) − v(s)|k} Lq_(Ω)ds ≤ t−αku0− v0kLq_(Ω)+ +C Z t 0 (t − s)−αs α(p−1) sα(p−1)  ku(s)kp−1_Lpq_(Ω)+ kv(s)k p−1 Lq_(Ω)  ku(s) − v(s)kLpq_(Ω)ds ≤ t−αku0− v0kLq_(Ω)+ CB Z t 0 (t − s)−αs−α(p−1)ku(s) − v(s)kLpq_(Ω)ds, onde B = sup 0<s<T n sα(p−1)  ku(s)kp−1_Lpq_(Ω)+ kv(s)k p−1 Lq_(Ω) o e α = N₂  1 q − 1 pq  . Aplicaremos o Teorema 3.6 sobre as seguintes hip´oteses:

• A = ku0− v0kLq_(Ω)≥ 0;

• 0 < α = β = N (p−1)_2pq < 1;

• f (s) = CBs−α(p−1)_{≥ 0, ∀ s ∈ (0, T ) e f ∈ L}p_{(0, T ), ∀ 0 < p < ∞;}

• ϕ(t) = ku(t) − v(t)kLpq_(Ω) ∈ L∞(0, T ).

Ent˜ao, pelo Teorema 3.6,

Combinando (2.35) e (2.36), obtemos

ku(t) − v(t)kLq_(Ω) ≤ ku₀− v₀k_Lq_(Ω)+ C(M + 1)p−1ku₀− v₀k_Lq_(Ω)

≤ Cku0− v0kLq_(Ω).

Com isso, conclu´ımos a estimativa Lq _{e encerramos esse caso.}

Caso b: q > N (p − 1)

2 e 1 ≤ q < p − 1.

Neste caso, n˜ao podemos aplicar o Teorema 2.1 com o mesmo σ, j´a que σ = _p−1q < 1. Por´em, a prova da estimativa Lq _{´e inalterada. Agora, vamos provar a estimativa L}∞ _de

(2.23).

Utilizaremos o Teorema 2.1 no intervalo t

2, t
com r = pq, σ = pq p−1 e a dado por (2.40). Note que, • pq > q > N (p − 1) 2 ⇒ pq p − 1 > N 2; • pq ≥ p > p − 1 ⇒ pq p − 1 > 1.

Al´em disso, de maneira similar a (2.41), determinamos que ka(s)kLσ_(Ω) ≤ C  ku(s)kp−1_Lpq_(Ω)+ kv(s)k p−1 Lpq_(Ω)  , ∀ s ∈ t 2, t  . Com isso, conclu´ımos que a ∈ L∞ t₂, t
, Lσ_{(Ω)
e que kak}

L∞₍₍t 2,t),Lσ(Ω)) ≤ C(M +1) p−1_t−α(p−1)_. Segue que ku(t) − v(t)kL∞_(Ω)≤ CeCt(M +1) 2σ(p−1) 2σ−N _(t−α(p−1)₎ 2σ 2σ−N (1 + t−2pqN )ku(t/2) − v(t/2)k Lpq_(Ω), e assim ku(t) − v(t)kL∞_(Ω) ≤ CeCt(M +1) 2σ(p−1) 2σ−N _tγ (1 + t−2pqN )ku(t/2) − v(t/2)k Lpq_(Ω), com γ = 1 − 2σα(p − 1)

2σ − N . Desde que γ > 0, obtemos ku(t) − v(t)kL∞_(Ω) ≤ Ct−

N

2pqku(t/2) − v(t/2)k

Portanto,

ku(t) − v(t)kL∞_(Ω) ≤ Ct− N 2pq_tαku

0− v0kLq_(Ω),

o que mostra a estimativa L∞ de (2.23).

Caso c: q = N (p − 1) 2 e q > 1. Note que, u(t) − v(t) = T (t)u0+ Z t 0 T (t − s)|u(s)|p−1u(s)ds − T (t)v0− Z t 0 T (t − s)|v(s)|p−1v(s)ds = T (t)u0+ Z t 0

T (t − s)|u(s)|p−1u(s)ds − T (t)v0+ T (t)u0− T (t)u0

− Z t

0

T (t − s)|v(s)|p−1v(s)ds = Φ(u)(t) − Φ(v)(t) + T (t)(u0− v0).

Com isso, por (2.28) e o Lema 1.21 com γ = r e β = q, temos

tαku(t) − v(t)kLr_(Ω) = tαkT (t)(u₀− v₀) + Φ(u)(t) − Φ(v)(t)k_Lr_(Ω)

≤ tα_{kT (t)(u} 0− v0)kLr_(Ω)+ tαkΦ(u)(t) − Φ(v)(t)k_Lr_(Ω) ≤ tα_{kT (t)(u} 0− v0)kLr_(Ω)+ 1 2d(u, v) ≤ ku0− v0kLq_(Ω)+ 1 2d(u, v), com α = N (r−p)_2qr e d(u, v) = sup

0<t<T tα_{ku(t) − v(t)k} Lr_(Ω) . Logo, d(u, v) = sup 0<t<T tα_{ku(t) − v(t)k} Lr_(Ω) ≤ ku₀− v₀k_Lq_(Ω)+ 1 2d(u, v). Portanto, d(u, v) ≤ 2ku0− v0kLq_(Ω) (2.37)