Segunda Lista de Exercícios Macro II(solução)

Segunda Lista de Exercícios — Macro II (solução)

Mauro Rodrigues

Departamento de Economia, FEA/USP

1. Considere o modelo de crescimento endógeno de Romer como visto em sala (a notação é idêntica à da aula). Em particular, o produto final é gerado com capital (K) e trabalho (LY), por meio de uma função de produção Cobb-Douglas:

Yt = Ktα(AtLY t)1−α, 0 < α < 1

Uma fração s do produto é alocada para poupança/investimento, i.e., It = sYt, com

0 < s < 1. O estoque de capital físico evolui de acordo com a seguinte regra:

·

Kt = It−δKt, 0 < δ < 1

Além disso, o setor de pesquisa utiliza trabalho e o estoque de ideias correntes (A) para gerar ideias novas:

·

At= λLγAtA φ t

Em que γ ∈ (0, 1), φ ∈ (0, 1] e λ > 0. Uma fração sA dos trabalhadores é alocada para

a geração de pesquisa, ou seja, LAt = sALt e LY t = (1 − sA)Lt. O número total de

trabalhadores cresce à taxa exógena n:

·

Lt

Lt

= n

No longo prazo, o estoque de ideias, a renda por trabalhador e o capital por trabalhador crescem à taxa g, constante no tempo. Ao longo desse problema, suponha φ = 1 e que não há crescimento populacional, isto é, n = 0 e Lt= L

(a) Calcule a taxa g como função dos parâmetros desta economia. 1

Como φ = 1 e Lt= L, segue que: g = · At At = λ(sAL)γ

(b) Defina agora capital e produto por trabalhador efetivo da forma usual, i.e., kt=

Kt/(AtLt) e yt = Kt/(AtLt). Utilize as equações do modelo para escrever a lei de

movimento de kt(ou seja, escreva ·

ktem função de kte dos parâmetros do modelo).

Em um gráfico, desenhe o investimento e a depreciação por trabalhador efetivo. Da função de produção do bem final:

Yt= Ktα[At(1 − sA)L]1−α = (1 − sA)1−αKtα(AtL)1−α

Dividindo por AtL:

yt= (1 − sA)1−αkαt

Usando a lei de movimento do capital:

· Kt= sYt−δKt Dividindo por AtL: · Kt AtL = s(1 − sA)1−αkαt −δkt (1)

Diferenciando kt= Kt/(AtL) com relação ao tempo: · kt = 1 L · KtAt−Kt · At A2 t = · Kt AtL − Kt AtL · At At · Kt AtL = · kt+ λ(sAL)γkt (2) Combinando (1) e (2): · kt+ λ(sAL)γkt = s(1 − sA)1−αktα−δkt · kt = s(1 − sA)1−αktα−[δ + λ(sAL)γ]kt 2

O gráfico está exposto na Figura 1 (todas as figuras estão no fim deste documento). Suponha que a economia encontre-se inicialmente em estado estacionário (isto é, kte yt são constantes ao longo do tempo). No instante t0, ocorre um aumento na

proporção de trabalhadores alocados no setor de pesquisa (sA).

(c) Faça gráficos descrevendo a evolução do capital e do produto por trabalhador efetivo.

O aumento em sA desloca para baixo a curva de investimento por trabalhador

efetivo, e torna mais inclinada a linha de depreciação por trabalhador efetivo (veja Figura 2). Isso faz com que o capital por trabalhador efetivo de estado estacionário diminua. Mas a economia não se move diretamente para o novo estado estacionário. No momento da mudança, o capital por trabalhador efetivo está em seu nível anterior (estado estacionário antigo), e a mudança faz com que a curva de investimento fique abaixo da linha de depreciação. Consequentemente, o capital por trabalhador efetivo diminui ao longo do tempo, tendendo para o novo estado estacionário no longo prazo (veja Figura 3).

A mesma figura expõe também o comportamento do produto por trabalhador efetivo. No instante t0 essa variável sofre uma queda discreta, por conta da

diminuição do número de trabalhadores envolvidos na produção do bem final. Ao longo do tempo o produto por trabalhador efetivo cai ainda mais (de maneira suave), seguindo o comportamento do capital por trabalhador efetivo.

(d) Analise como mudanças em sA afetam o nível e a taxa de crescimento do produto

per capita no longo prazo. Explique.

Um aumento em sA implica que há mais trabalhadores engajados na produção de

pesquisa. Isso faz com que a taxa de produção de conhecimento novo aumente, elevando a taxa de crescimento de longo prazo (veja parte (a)). Por outro lado, há uma diminuição no número de trabalhadores na produção do bem final, o que reduz o nível do produto por trabalhador de longo prazo.

(e) Faça gráficos descrevendo a evolução do log do capital e do produto por trabal-hador.

Veja Figura 4. Note que no longo prazo essas variáveis tendem a trajetórias mais inclinadas, dado que a mudança eleva a taxa de crescimento de longo prazo. Além disso, o produto por trabalhador efetivo sofre uma queda discreta em t0

(novamente pela redução no número de trabalhadores envolvidos na produção do bem final), mas passa a crescer mais rápido após isso.

2. Considere o mesmo enunciado da questão 1, porém supondo 0 < φ < 1 e n > 0. (a) Calcule a taxa g nesse caso. É possível gerar crescimento de longo prazo, mesmo

com n = 0? Compare com o caso da parte (a) da questão 1 e interprete intuiti-vamente.

Da função de produção de pesquisa, segue que: g = · At At = λAφ−1t L γ At= λA φ−1 t (sALt)γ

que no longo prazo é constante no tempo. Aplicando logs dos dois lados: ln g = ln λ + (φ − 1) ln At+ γ(ln sA+ ln Lt)

Diferenciando no tempo (levando em conta que g, λ e sA são constantes):

0 = (φ − 1) · At At + γ · Lt Lt Logo: g = γn 1 − φ

No exercício anterior, com φ = 1, não há retornos marginais decrescentes do conhecimento corrente com relação ao conhecimento novo. Desse modo, a taxa de crescimento depende da quantidade de pessoas alocadas no setor de pesquisa. Em outras palavras, mesmo com n = 0, a taxa de crescimento será positiva. No presente exercício supomos φ < 1, ou seja, os retornos marginais passam a ser decrescentes, de modo que o número de trabalhadores fazendo pesquisa passa a afetar apenas o nível tecnológico, e não mais a taxa de crescimento. Agora, para alterar a taxa de crescimento tecnológica, é preciso elevar a taxa de crescimento do emprego no setor de pesquisa (isto é, n).

(b) Como mudanças em sAafetam a taxa de crescimento de longo prazo? Interprete,

comparando com os resultados encontrados na questão 1. 4

O parâmetro sA afeta o nível do emprego no setor de pesquisa, e não sua taxa

de crescimento. Como vimos na parte (a), isso implica que mudanças em sA não

levarão a mudanças na taxa de crescimento de longo prazo caso φ < 1. Esse resultado contrasta com os da questão 1 (φ = 1), em que mudanças em sA afetam

sim a taxa de crescimento. A intuição é a mesma da parte (a): o efeito de sA

sobre a taxa de crescimento depende da existência ou não de retornos marginais decrescentes do conhecimento atual sobre a produção de conhecimento novo. (c) Encontre uma expressão para a renda por trabalhador de longo prazo.

No longo prazo, o investimento por trabalhador efetivo (sy∗_{) deve ser igual à}

depreciação por trabalhador efetivo ((δ + n + g)k∗_):

sy∗ _{= (δ + n + g)k}∗_{, g =} γn 1 − φ Ou: s(1 − sA)1−αk∗α = (δ + n + g)k∗ k∗ _{= (1 − s} A) s δ + n + g 1 1−α

O produto por trabalhador efetivo de longo prazo é: y∗ _{= (1 − s} A)1−αk∗α= (1 − sA) s δ + n + g α 1−α

A renda por trabalhador de longo prazo é dada por: yt = y∗At= (1 − sA) s δ + n + g α 1−α At (3)

Para encontrar At, note da função de produção de pesquisa que:

g = · At At = λAφ−1t L γ At = λA φ−1 t (sALt)γ At = λsγ_A g 1 1−φ L γ 1−φ t

Como a taxa de crescimento populacional é constante e igual a n, segue que 5

Lt = L0ent. Portanto: At = λsγ_A g 1 1−φ L γ 1−φ 0 e nγ 1−φt (4)

Combinando (3) e (4), podemos encontrar a renda por trabalhador de longo prazo: yt = (1 − sA) s δ + n + g α 1−α λsγ A g 1 1−φ L γ 1−φ 0 e gt_{, em que g =} γn 1 − φ

(d) Como mudanças em sA afetam o nível da renda por trabalhador de longo prazo?

Interprete, comparando com os resultados encontrados na questão 1.

A expressão encontrada na parte (c) pode ser dividida entre nível e taxa de cresci-mento. yt= (1 − sA) s δ + n + g α 1−α λsγ A g 1 1−φ L γ 1−φ 0 Nível (N) egt Taxa

Para entender como o nível N varia de acordo com sA, aplique logs sobre N:

ln N = ln(1 − sA) +

γ

1 − φln sA+ R

em que R é um termo que não depende de sA. Derivando com relação a sA, temos

que: d ln N dsA = − 1 1 − sA + γ 1 − φ 1 sA Note que: d ln N dsA = 1 N dN dsA Logo: dN dsA = N − 1 1 − sA + γ 1 − φ 1 sA

Assim, a derivada acima é positiva para sA baixo, e negativa para sAelevado. Ou

seja, aumentos em sA provocam elevação no nível da renda por trabalhador de

longo prazo, quando sA é relativamente baixo; mas quando sA é alto, aumentos

nessa variável levam a queda no nível de y de longo prazo. A relação entre sA e

N está exposta na Figura 5.

Intuitivamente, uma elevação em sA tem dois efeitos, que atuam em direções

opostas sobre N: (i) o aumento na fração de trabalhadores envolvidos em pesquisa 6

faz com que o nível tecnológico se eleve, o que contribui para aumentar N; (ii) há uma redução da fração de trabalhadores envolvidos na produção do bem final, o que contribui para diminuir N. Quando sA é pequeno, há muitos trabalhadores

envolvidos na produção do bem final, o que implica que o produto marginal do trabalho é relativamente baixo nesse setor (lembre-se, o produto marginal do trabalho é decrescente). Isso significa que, se diminuirmos um pouco esse insumo na produção do bem final, a perda de produto não será muito elevada por esse canal (dado pelo efeito (ii)). Em outras palavras, o efeito (ii) acima tende a ser menor quando sA é pequeno, de modo que o efeito (i) predomina, e o nível do

produto aumenta frente a um aumento em sA.

Por outro lado, valores mais elevados de sA implicam maior produto marginal

do trabalho no setor do bem final. Nesse caso, novos aumentos em sA levarão a

perdas cada vez mais elevadas pelo efeito (ii). Se sA for suficientemente grande,

o efeito (ii) passa a ser dominante, e elevações em sA levam a quedas no nível do

produto per capita de longo prazo.

Comparação com os resultados da questão 1:

Na questão 1, aumentos em sAelevam a taxa de crescimento da tecnologia, e não

o nível tecnológico. Isso implica que o efeito (i) está ausente nesse caso, de modo que elevações em sAsempre levam a reduções no nível do produto por trabalhador

de longo prazo.

3. Considere a seguinte versão do modelo Schumpeteriano de crescimento, em que o esforço de pesquisa afeta o tamanho das inovações, ao invés da probabilidade de ocorrência. Além disso, ao contrário do que foi feito em sala, a pesquisa é realizada pelo monopolista (incumbente).

Mais precisamente, há um bem final, produzido com trabalho e um bem intermediário, por meio da seguinte função de produção (notação idêntica à da aula):

𝒀_𝒕 = 𝒙_𝒕𝜶(𝑨_𝒕𝑳)𝟏−𝜶

No setor do bem final, há concorrência perfeita. A força de trabalho é constante e igual a L.

(a) Formule e resolva o problema de um produtor do bem final. Encontre a demanda pelo bem intermediário.

O problema do produtor final será maximizar: 𝜋_𝑡𝑓 = 𝑝_𝑌𝑡𝑌_𝑡− 𝑝_𝑡𝑥_𝑡− 𝑤_𝑡𝐿_𝑡

Considerando pYt igual a 1 (numerário), e substituindo Yt:

𝜋_𝑡𝑓 = 𝑥_𝑡𝛼(𝐴𝑡𝐿𝑡)1−𝛼 − 𝑝𝑡𝑥𝑡− 𝑤𝑡𝐿𝑡

Maximizando o lucro (com relação a xt):

𝜕𝜋_𝑡𝑓

𝜕𝑥_𝑡 = 𝛼𝑥𝑡

𝛼−1_(𝐴

𝑡𝐿𝑡)1−𝛼− 𝑝𝑡 = 0

Supondo L constante no tempo, temos a demanda pelo bem intermediário: 𝑝𝑡 = 𝛼𝑥𝑡𝛼−1(𝐴𝑡𝐿)1−𝛼

Há apenas um produtor do bem intermediário (monopolista). O custo de produção unitário nesse setor é constante e igual a 1, de modo que o lucro do monopolista é:

𝝅𝒕 = 𝒑𝒕𝒙𝒕 − 𝒙𝒕

(b) Formule e resolva o problema do monopolista. Encontre preço, quantidade produzida e lucro.

O monopolista tem como restrição a curva de demanda de mercado por seu bem, derivada na parte (a):

Logo, o produtor escolhe pt e xt de modo a maximizar πt, sujeito à curva de demanda.

Substituindo essa última na equação do lucro e maximizando para xt:

𝜋_𝑡 = 𝛼𝑥_𝑡𝛼_(𝐴 𝑡𝐿)1−𝛼− 𝑥𝑡 𝜕𝜋_𝑡 𝜕𝑥_𝑡 = 𝛼[𝛼𝑥𝑡 𝛼−1_(𝐴 𝑡𝐿)1−𝛼] − 1 = 0

Sendo que a expressão entre colchetes é o próprio preço pt. Portanto:

𝑝_𝑡 = 1 𝛼

A quantidade xt e o lucro πt são dados por:

𝑝_𝑡 = 𝛼𝑥_𝑡𝛼−1(𝐴_𝑡𝐿)1−𝛼 = 1 𝛼 𝑥_𝑡𝛼−1₌ 1 𝛼2(𝐴𝑡𝐿)𝛼−1 𝑥𝑡 = 𝛼 2 (1−𝛼) ⁄ 𝐴𝑡𝐿 𝜋𝑡 = (𝑝𝑡− 1)𝑥𝑡 = ( 1 𝛼− 1) 𝛼 2 (1−𝛼)⁄ _𝐴 𝑡𝐿 = 𝜌𝐴𝑡𝐿 ; ( 1 𝛼− 1) 𝛼 2 (1−𝛼)⁄ _{= 𝜌}

Para referência futura, calculamos também o produto dessa economia: 𝑌_𝑡= 𝑥_𝑡𝛼_(𝐴 𝑡𝐿)1−𝛼 = 𝛼 2𝛼 (1−𝛼) ⁄ (𝐴𝑡𝐿)𝛼(𝐴𝑡𝐿)1−𝛼 𝑌𝑡= 𝛼 2𝛼 (1−𝛼) ⁄ 𝐴𝑡𝐿

Isso implica, ainda, que a taxa de crescimento do produto será igual à taxa de crescimento da tecnologia.

Em cada período t, o monopolista realiza pesquisa para melhorar a qualidade de seu produto (ou seja, para afetar At). Especificamente, At evolui de acordo com a

seguinte regra:

𝑨_𝒕 = 𝜸_𝒕𝑨_𝒕−𝟏

Sendo que γt é afetado pela atividade de pesquisa, isto é:

𝜸_𝒕 = 𝝓 ( 𝑹𝒕 𝑨_𝒕−𝟏)

Em que ϕ(0) = 1, ϕ’(.) > 0 e ϕ’’(.) < 0. O monopolista escolhe o esforço de pesquisa Rt de modo a maximizar seus ganhos:

𝑺_𝒕 = 𝝅_𝒕− 𝑹_𝒕

(c) Resolva o problema do esforço ótimo de pesquisa.

O monopolista escolherá o valor de Rt que maximiza St:

𝑆_𝑡 = ρ𝐴_𝑡𝐿 − 𝑅_𝑡= ρL𝐴_𝑡−1𝜙 ( 𝑅𝑡 𝐴_𝑡−1) − 𝑅𝑡 𝜕𝑆_𝑡 𝜕𝑅𝑡 = ρL𝜙′( 𝑅𝑡 𝐴𝑡−1 ) − 1 = 0 ρL𝜙′₍ 𝑅𝑡 𝐴_𝑡−1) = 1 𝜙′₍ 𝑅𝑡 𝐴_𝑡−1) = 1 ρL

(d) Analise como a taxa de crescimento do produto depende de L. Interprete.

Seja 𝑛_𝑡 = 𝑅𝑡 𝐴_𝑡−1 ⁄ 𝜙′(𝑛𝑡) = 1 ρL (∗) => 𝑛𝑡 = 𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜

Portanto n é constante no tempo e determinado implicitamente pela equação acima. Dado n é possível obter γ, que também será constante no tempo:

𝛾 = 𝜙(𝑛) (∗∗), em que 𝑛 é tal que 𝜙′(𝑛) = 1 ρL

A taxa de crescimento do produto, como vimos anteriormente, é igual à taxa de crescimento da tecnologia, que é dada por:

𝑔 =𝐴𝑡− 𝐴𝑡−1

𝐴_𝑡−1 = 𝛾 − 1 = 𝜙(𝑛) − 1

Como a taxa de crescimento g depende de L? Um aumento em L reduz o lado direito da equação (*), o que implicará uma redução também no lado esquerdo. Como 𝜙′(𝑛) é decrescente n (a segunda derivada da função é negativa), isso significa que n terá que aumentar.

Da equação (**), o aumento em n faz com que γ aumente (a primeira derivada da função ϕ é positiva), o que eleva também a taxa de crescimento g. Portanto, um aumento em L leva a uma elevação na taxa de crescimento do produto.

Intuitivamente, o aumento em L corresponde a uma demanda mais elevada pelo produto final, que se traduz em uma demanda também maior para o produtor intermediário, o que eleva seus lucros. A atividade de pesquisa envolve um tradeoff entre o custo de realizar a pesquisa, e a perspectiva de elevar os lucros de monopólio. Quando o lucro do monopólio aumenta (no caso, com o aumento em L), aumenta também o incentivo a fazer pesquisa, o que acaba elevando o tamanho da inovação γ e a taxa de crescimento do produto.

(e) Suponha agora que o monopolista não pode cobrar preços superiores a χ > 1 (caso contrário, potenciais produtores poderiam copiar o produto e roubar seu mercado). Como isso altera o problema? Como a taxa de crescimento e o nível do produto dependem de χ? Interprete.

Caso χ > pt = 1/α, então a restrição não afeta o monopolista, e ele continuará praticando

o mesmo preço identificado anteriormente, sendo mantidos os demais resultados.

No entanto, caso χ < pt = 1/α, então o monopolista praticará o preço máximo que exclui

seus concorrentes. Logo pt = χ.. Analisamos em detalhe esse caso a seguir.

Da demanda pelo bem intermediário segue que: 𝑝_𝑡 = χ = 𝛼𝑥_𝑡𝛼−1_(𝐴 𝑡𝐿)1−𝛼 𝑥_𝑡 = (𝛼 𝜒) 1 (1−𝛼) ⁄ (𝐴_𝑡𝐿) O lucro do monopolista será:

𝜋_𝑡 = 𝜒 (𝛼 𝜒) 1 1−𝛼 ⁄ (𝐴_𝑡𝐿) − (𝛼 𝜒) 1 (1−𝛼) ⁄ (𝐴_𝑡𝐿) = 𝛽𝐴_𝑡𝐿 ; 𝛽 = (𝜒 − 1) (𝛼 𝜒) 1 (1−𝛼) ⁄

Problema do esforço ótimo de pesquisa:

max 𝑅𝑡 (𝜒 − 1) (𝛼 𝜒) 1 (1−𝛼) ⁄ 𝐿𝐴_𝑡−1𝜙 ( 𝑅𝑡 𝐴_𝑡−1) − 𝑅𝑡

Condição de primeira ordem: (𝜒 − 1) (𝛼 𝜒) 𝛼 (1−𝛼) ⁄ 𝐿𝐴_𝑡−1𝜙′₍ 𝑅𝑡 𝐴𝑡−1 ) 1 𝐴𝑡−1 = 1 𝜙′₍ 𝑅𝑡 𝐴_𝑡−1) = 1 𝐿(𝜒 − 1)( 𝜒 𝛼) 1 1−𝛼 ⁄

𝑙𝑛𝜙′_{(𝑛) = −𝑙𝑛𝐿 − ln(𝜒 − 1) +} 1

1 − 𝛼(𝑙𝑛𝜒 − 𝑙𝑛𝛼)

Diferenciando totalmente com relação a n e χ: 𝜙′′(𝑛) 𝜙′(𝑛)𝑑𝑛 = − 1 𝜒 − 1𝑑𝜒 + 1 1 − 𝛼 1 𝜒𝑑𝜒 Logo: 𝜕𝑛 𝜕𝜒= 𝜙′(𝑛) 𝜙′′(𝑛)[ 1 𝜒(1 − 𝛼)− 1 𝜒 − 1] = 𝜙′(𝑛) 𝜙′′(𝑛) 𝛼𝜒 − 1 𝜒(𝜒 − 1)(1 − 𝛼)

Como χ < pt = 1/α, então 𝛼𝜒 − 1 < 0. Além disso, a primeira derivada da função ϕ é

positiva e a segunda derivada é negativa. Tudo isso faz com que: 𝜕𝑛 𝜕𝜒> 0 Adicionalmente, como 𝑔 = 𝜙(𝑛) − 1. 𝜕𝑔 𝜕𝜒= 𝜙 ′_(𝑛)𝜕𝑛 𝜕𝜒> 0

Assim, quando χ aumenta, temos um aumento no esforço de pesquisa e no tamanho das inovações, assim como na taxa de crescimento. Intuitivamente, um aumento nesse parâmetro eleva o custo dos rivais, o que permite que o monopolista eleve seu preço e seu lucro – equivale a uma melhora na proteção à patente do monopolista.

Com o aumento dos lucros, eleva-se o incentivo a fazer pesquisa, propiciando um aumento no esforço de pesquisa e no tamanho das inovações, assim como na taxa de crescimento do produto.

Efeito sobre o nível:

𝑌𝑡= 𝑥𝑡𝛼(𝐴𝑡𝐿)1−𝛼 ; 𝑥𝑡 = ( 𝛼 𝜒) 1 (1−𝛼) ⁄ 𝐴𝑡𝐿 𝑌_𝑡= (𝛼 𝜒) 𝛼 (1−𝛼) ⁄ 𝐴_𝑡𝐿

Como At cresce à taxa g, segue que At = (1 + g)tA0. Logo: 𝑌_𝑡= (𝛼 𝜒) 𝛼 (1−𝛼) ⁄ 𝐴₀𝐿(1 + 𝑔)𝑡

O nível do produto é, portanto:

(𝛼 𝜒) 𝛼 (1−𝛼) ⁄ 𝐴₀𝐿 que é decrescente em χ.

Assim, o aumento em χ reduz o nível do produto (apesar do efeito positivo sobre a taxa de crescimento). Isso ocorre porque aumenta o poder de monopólio do produtor do bem final, que cobrará preços mais elevados e produzirá menos.

[𝛿 + λ 𝑠

_𝐴

𝐿

𝛾

]𝑘

𝑘

𝑘

∗

𝑠(1 − 𝑠

_𝐴

)

1−𝛼

𝑘

𝛼

Figura 2

𝑠(1 − 𝑠

_𝐴

)

1−𝛼

𝑘

𝛼

𝑠(1 − 𝑠

_𝐴

′

)

1−𝛼

𝑘

𝛼

[𝛿 + λ 𝑠

_𝐴

𝐿

𝛾

]𝑘

[𝛿 + λ 𝑠

_𝐴

′

𝐿

𝛾

]𝑘

𝑘

∗

𝑘

∗′

𝑘

tempo

t

tempo

t

Figura 3

𝑘

_𝑡

𝑦

_𝑡

ln(K/L) t₀ tempo inclinação = λ 𝑠𝐴𝐿 𝛾 inclinação = λ 𝑠_𝐴′𝐿 𝛾 ln(Y/L) t₀ tempo inclinação = λ 𝑠𝐴𝐿 𝛾 inclinação = λ 𝑠_𝐴′𝐿 𝛾

Figura 4

s

_A

𝛾

𝛾 + (1 − 𝜙)

Figura 5

1

N