NOME:
LOCAL:
IDENTIDADE:
INSCRIÇÃO:
DATA: 18/11/2018
Assinatura do Candidato:SALA:
ORDEM:
Em um saco, há 16 bolas numeradas de 1 a 16: umas pretas e outras brancas, todas de mesmo tamanho, mas com pesos diferentes. Cada bola preta pesa 60 g e cada bola branca pesa 48 g. Sabe-se que 25% das bolas do saco são pretas e que as demais, brancas.
A Determine o peso médio das bolas do saco. RESPOSTA
No saco há 4 bolas pretas e 12 bolas brancas. O peso médio é 51 6 1 8 4 2 1 0 6 4 = ⋅ + ⋅ g. GRADE DE CORREÇÃO
0% – Em branco ou nada pertinente.
25% – Obtenção do nº de bolas brancas e pretas nº p=25%16=4,nº de bolas pretas, nº b = 16 – 4 = 12 bolas brancas. 50% – Estabelecer a média ponderada, sem calculá-la. peso médio= (4.60+12.48)/16.
75% – Algum erro de conta, no intervalo pm ≠51com 49≤pm≤52, onde pm = peso médio. 100% – Resposta correta pm = 51 g.
C Determine o número de bolas pretas (iguais às outras) que devem ser colocadas no saco para que a porcentagem de bolas pretas no saco aumente para 80%.
B Dos números de 1 a 16, dois são sorteados e as bolas correspondentes são retiradas do saco. Determine a probabilidade de que sejam da mesma cor. RESPOSTA Np (PP ou BB) 60% 5 3 5 1 1 1 6 1 2 1 5 1 3 6 1 4⋅ + ⋅ = = = . GRADE DE CORREÇÃO
0% – Em branco ou nada pertinente.
25% – Obtenção de duas pretas ou a obtenção de duas bolas brancas, com a reposição da 1ª bola antes da retirada da 2ª bola. P(p)=4/16 . 3/15=1/20 ou P(b)=12/16 . 11/15=11/20.
50% – Obtenção das duas probabilidades, onde P(p) = saírem 2 bolas pretas, e P(B) = saírem 2 bolas brancas. P(p)=1/20 e P(b)=11/20.
75% – Algum erro de conta, na simplificação das frações, com p = P(p) + P(b), p≠60% e 58%≤p≤62%. 100% – Obtenção da resposta correta p = P(p) + P(b) = 60%.
RESPOSTA
Suponha que sejam colocadas x bolas pretas no saco. As bolas brancas, que são 12, estarão representando 20% do total de bolas, que é igual a 16+x.Então, 12=20/100 (16+x) e, portanto, x=44.
GRADE DE CORREÇÃO
0% – Em branco ou nada pertinente.
25% – Montagem da fração (4+x)/(16+x), onde x = nº de bolas pretas a serem adicionadas. 50% – Montagem da proporção (4+x)/(16+x)=80%.
75% – Erro de conta com x≠44 e 42≤x≤46. 100% – Obtenção da resposta x = 44.
Considere o retângulo ABCD de centro O da figura abaixo, com AB = 15 cm e BC =10 cm.
A Um ponto P move-se a partir do ponto A sobre o contorno do retângulo, no sentido anti-horário, com velocidade de 1 cm/s. Determine a distância de O ao ponto P dois minutos após o início do movimento.
RESPOSTA
O perímetro do retângulo é de 50cm. Após 2 minutos, ou seja, 120 segundos, o ponto P deu duas voltas completas no retângulo e percorreu mais 20cm. Isso significa que, após esse tempo, o ponto P está no ponto médio do lado BC.
A distância do ponto O ao ponto P é de 7,5 cm. Resposta: 7,5 cm.
GRADE DE CORREÇÃO
0% – Em branco ou nada pertinente.
25% – Calculou o perímetro do retângulo e/ou a distância de deslocamento do ponto P, mas não avançou ou avançou incorretamente.
50% – Especificou que, decorridos os dois minutos, o ponto P se localiza no ponto médio do segmento BC, mas não avançou para calcular a distância do ponto P ao ponto O.
75% – Não percebeu que a distância de P a O correspondia a metade do lado maior do retângulo e procurou calcular a distância por meio de outra forma, com erro de conta.
B Calcule o menor ângulo formado pelas duas diagonais do retângulo. Use, se necessário, a relação cos2θ=cos2θ−sen2θ .
RESPOSTA
O ângulo formado pelas diagonais do retângulo é o ângulo BÔC que se vê na figura ao lado. Se P é o ponto médio do lado BC, façamos BÔP = PÔC = θ e vamos observar ainda que CÂB = θ.
Devemos então calcular o cosseno do ângulo 2θ
A diagonal do retângulo mede: AC= 152+102 =5 13
Assim, no triângulo ABC temos,
3 1 2 3 1 5 5 1 cos 3 1 2 3 1 5 0 1 = = = = = = C A B A C A C B sen θ θ
Usando a relação dada no enunciado do problema temos:
3 1 5 3 1 4 3 1 9 2 cos θ= − = Resposta: 3 1 5 GRADE DE CORREÇÃO
0% – Em branco ou nada pertinente.
25% – Iniciou a resolução, por exemplo identificando o ângulo buscado e calculando a diagonal do retângulo, mas avançou de forma incorreta. 50% – Identificou o ângulo procurado (2θ), calculou senθ e/ou cosθ e/ou tgθ, mas não avançou / avançou incorretamente.
75% – Buscou usar a relação oferecida no enunciado ou outra possível, por exemplo tg(2θ), mas apresentou erro simples de conta no processo. 100% – Indicou que cos2θ=5/13 ou indicou alguma relação igualmente correta sobre 2θ.
C Trace a semirreta OA. A partir de O, trace mais quatro semirretas de forma que o retângulo fique dividido em cinco partes de mesma área. Determine a posição do ponto de interseção de cada semirreta com o contorno do retângulo.
RESPOSTA
A distância de O aos lados AD e BC é
2 5 1
e a distância de O aos lados AB e CD é 5. A área do retângulo é 150 e, portanto, cada parte deve ter área igual a 30. O triângulo OAE tem área igual a 30.
0 3 2 5 = ⋅ E A Daí, AE = 12 e, portanto, EB = 3.
A soma das áreas dos triângulos OEB e OBF é igual a 30.
0 3 2 2 / 5 1 2 5 3⋅ +EB⋅ = Daí, EB = 6 e, então, FC = 4.
A soma das áreas dos triângulos OFC e OCG é igual a 30.
0 3 2 5 2 2 / 5 1 4 = ⋅ + ⋅ CG Daí, CG = 6 e, então, GD = 9. O triângulo OHA tem área igual a 30.
0 3 2 2 / 5 1 = ⋅ A H Daí, HA = 8 e, então, DH = 2. Resposta: GRADE DE CORREÇÃO
0% – Em branco ou nada pertinente.
25% – Apresentou esboço plausível das semirretas ou apontou que cada uma das cinco partes tem área igual a 30.
50% – Apresentou esboço plausível das semirretas e apontou que cada uma das cinco partes tem área igual a 30, mas não foi capaz de oferecer as posições dos pontos de interseção.
75% – Apresentou esboço plausível das semirretas e apontou que cada uma das cinco partes tem área igual a 30, mas ofereceu apenas parte das posições dos pontos de interseção.
Uma prova de certo concurso contém 40 questões objetivas. Para a pontuação, o candidato ganha 5 pontos para cada questão que acerta, perde 2 pontos para cada questão que erra e não perde nem ganha nada se não responder.
A João fez 127 pontos e não respondeu 9 questões. Quantas questões ele acertou? RESPOSTA
Em cada item sejam:
x= número de questões que o candidato acertou. y= número de questões que o candidato errou. z= número de questões que o candidato não respondeu. Temos as equações: = − = + + pontos e d total y x z y x 2 5 0 4 7 2 9 8 1 7 7 2 1 2 5 2 6 2 2 7 2 1 2 5 0 4 9 = ⇒ = ⇒ = − = + ⇒ = − = + + x x y x y x y x y x Resposta: 27. GRADE DE CORREÇÃO
0% – Em branco ou nada pertinente ou não encontrou a resposta correta por tentativa e erro.
25% – Considerou o número (31) de acertos na prova ou escreveu a equação: 5.(acertos) – 2.(erros) = 127. 50% – Montou corretamente o sistema de equações: 5.(acertos) – 2.(erros) = 127(acertos) + (erros) + 9 = 40. 75% – Cometeu algum erro na resolução do sistema de equações.
B Lucas acertou e errou o mesmo número de questões e fez 51 pontos. Quantas questões ele não respondeu?
C Marcelo fez 100 pontos. No máximo, quantas questões ele acertou? RESPOSTA 6 7 1 1 5 3 0 4 2 1 5 2 5 0 4 = ⇒ = ⇒ = = + ⇒ = − = + + z x x z x y x z y x Resposta: 6. GRADE DE CORREÇÃO
0% – Em branco ou nada pertinente ou não encontrou a resposta correta por tentativa e erro. 25% – Escreveu a equação: 5.(acertos) – 2.(erros) = 51.
50% – Montou o sistema de equações: 5.(acertos) – 2.(erros) = 51(acertos) + (erros) + (não respondidas) = 40 e não soube calcular o número correto de questões não respondidas.
75% – Encontrou o valor (17) de erros e acertos, mas deu a reposta “23” (40 – 17) para o número de questões não respondidas.
100% – Encontrou o valor (17) de erros e acertos, e deu a reposta correta: “6” (40 – 2.(17)) para o número de questões não respondidas, ou encontrou a resposta correta por tentativa e erro.
RESPOSTA 7 2 0 8 1 2 0 8 1 7 0 0 1 2 5 2 0 8 2 2 0 0 1 2 5 0 4 z x z x y x z y x y x z y x − = ⇒ − = ⇒ = − − = + ⇒ = − − = +
Para obter o maior valor de x, o valor de z deve ser o menor número natural que torne o numerador um múltiplo de 7. Esse valor é z=6 e 24 2 6 2 0 8 1 = ⋅ − = x Resposta: Marcelo acertou, no máximo, 24 questões.
GRADE DE CORREÇÃO
0% – Em branco ou nada pertinente ou não encontrou a resposta correta por tentativa e erro. 25% – Escreveu a equação: 5.(acertos) – 2.(erros) = 100.
50% – Montou o sistema de equações: 5.(acertos) – 2.(erros) = 100 (acertos) + (erros) + (não respondidas) = 40 ou chegou à equação: 7.(acertos) = 180 e não encontrou a resposta correta.
75% – Resolveu o sistema e encontrou a equação: 7.(acertos) + 2.(não respondidas) = 180, mas não soube continuar.
100% – Resolveu o sistema e encontrou a equação: 7.(acertos) + 2.(não respondidas) = 180 e encontrou a resposta correta: no máximo 24 acertos, ou encontrou a resposta correta por tentativa e erro.
