Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Minicurso 1 PAVIMENTAÇÕES DO PLANO POR POLÍGONOS REGULARES E
VISUALIZAÇÃO EM CALEIDOSCÓPIOS
Marli Regina dos Santos Universidade Federal de Viçosa marliregs@hotmail.com Claudemir Murari Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho” murari@vivax.com.br Resumo: Neste mini curso serão realizadas atividades de investigação das propriedades geométricas envolvidas na reflexão de imagens em caleidoscópio na visualização de pavimentações regulares do plano. Vários assuntos da Educação Básica serão abordados, como simetria, polígonos regulares, ângulos, segmentos e retas, etc. Para a realização de um trabalho em grupo, que possibilite a troca de idéias entre os participantes, será utilizado o caleidoscópio modificado. Neste texto, apresentaremos as principais propriedades, conceitos e atividades que serão abordados no decorrer do mini curso.
Palavras-chave: Caleidoscópios; Polígonos regulares; Pavimentações do plano; Reflexão de imagens.
Introdução
Pavimentar um plano é preenchê-lo completamente através do uso repetido de figuras planas, sem sobreposições nem lacunas.
A arte de desenhar pavimentações é muito antiga entre diversos povos. Os mosaicos estavam presentes no artesanato e nos utensílios das civilizações babilônica, grega, chinesa, entre outras, sendo que muitos apresentavam padrões geométricos com simetrias ornamentais, formando desenhos harmoniosos.
Já o estudo das propriedades matemáticas das pavimentações por polígonos é recente, e muitas partes deste tema permanecem ainda por explorar. O astrônomo Joannes Kepler (1580-1630) parece ter sido o pioneiro no estudo da geometria das pavimentações. Na sua obra Harmonice Mundi, em 1619, apresenta uma classificação das pavimentações, obtidas a partir dos trabalhos de Platão e Arquimedes sobre poliedros. Kepler provou a existência de exatamente onze pavimentações constituídas por polígonos regulares lado-a-lado. As pavimentações com polígonos regulares mostraram ter aplicações em
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Minicurso 2
cristalografia pelo fato de os átomos, em vários cristais, aparecerem em camadas que se projetam segundo os nós de pavimentações.
Algumas pavimentações regulares do plano podem ser visualizadas em caleidoscópios por meio de “bases” colocadas no seu interior. O termo Caleidoscópio é composto por três palavras gregas: Kalos (belo), eidos (forma) e skopein (ver). Qualquer conjunto de espelhos planos pode ser classificado como caleidoscópio desde que possibilite a obtenção repetida de imagens idênticas. Neste minicurso será utilizado somente o caleidoscópio eqüilátero de dois ou três espelhos.
Reflexão
Colocando um espelho na frente de uma figura visualizamos a sua imagem.
Dizemos que a imagem é a reflexão da figura através do espelho. Note que o espelho está à mesma distância da figura e da imagem.
Dois pontos (P e P’) são simétricos entre si, em relação a uma reta r, quando o segmento que os possui (PP’) é perpendicular à reta e as distâncias dos pontos até a reta r são iguais.
1) Coloque um espelho sobre a reta r, perpendicularmente à folha, e visualize e marque a reflexão A' do ponto A.
2) Onde devemos colocar um espelho perpendicular à folha para que A’ seja imagem de A?
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Minicurso 3
3) Onde está o simétrico de cada ponto em relação ao eixo e?
4) Encontre o segmento simétrico ao segmento AB em relação ao eixo e:
5) A curva abaixo tem orientação horária. Construa a sua imagem em relação ao eixo e. Qual é a orientação da sua imagem.
6) A orientação do triângulo ABC é horária. Qual é a orientação da sua imagem refletida através da reta r?
7) Coloque um espelho sobre a reta r, perpendicularmente à folha, e visualize e marque a reflexão A' do ponto A.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Minicurso 4
Simetria
Uma figura no plano é simétrica se podemos dividi-la de tal modo que as partes resultantes desta divisão coincidam perfeitamente quando sobrepostas. A figura ao lado pode ser dividida de modo que uma das partes seja a imagem (ou reflexão) da outra.
O segmento que divide a figura em duas partes simétricas é o seu eixo de simetria. Uma figura pode ter um eixo de simetria, vários, nenhum ou até infinitos.
10) Verifique quantos eixos de simetria possui cada figura.
11) Os quadriláteros abaixo são classificados de acordo com suas propriedades. Descreva as características de cada um e determine seus eixos de simetria:
12) Verifique se é possível, a partir da imagem do lado esquerdo, obter a(s) imagem(s) do lado direito, utilizando apenas um espelho.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Minicurso 5
Polígonos Regulares
Um polígono é uma figura plana (bidimensional), formada por segmentos de reta que determinam uma região fechada.
Um polígono possui lados, vértices e ângulos.
Os polígonos são nomeados pelo número de lados: Número de lados nome
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
7 Heptágono
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Minicurso 6 9 Eneágono 10 Decágono 12 Dodecágono 20 Icoságono
Um Polígono regular possui lados de mesmo comprimento e ângulos internos de mesma medida.
13) Faça um triângulo qualquer em cartolina, corte próximo aos vértices e verifique a soma de seus ângulos internos. Quanto mede cada ângulo interno de um triângulo eqüilátero?
14) Complete a tabela abaixo, determinando a medida do ângulo interno dos polígonos regulares: POLÍGONO REGULAR NÚMERO DE LADOS NÚMERO DE TRIÂNGULOS SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS MEDIDA DE CADA ÂNGULO INTERNO triângulo eqüilátero 3 1 1*180 180/3=60o quadrado 4 2 2*180 pentágono regular 5 3 hexágono regular 6 4 heptágono regular 7 octógono regular 8 Eneágono regular 9
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Minicurso 7 Pavimentações por polígonos regulares
Um conjunto de polígonos regulares forma uma pavimentação do plano se o cobre sem sobreposição ou vazios. Na prática não conseguimos pavimentar todo o plano, pois sua superfície é infinita, o que torna a tarefa impossível. Dizemos, então, que um conjunto finito de polígonos pavimenta o plano parcialmente ou que é uma pavimentação parcial do plano. Aqui, trataremos apenas das pavimentações lado-a-lado, ou seja, aquelas em que os lados que se tocam têm mesma medida. Os vértices dos polígonos são os nós da pavimentação e os lados são suas arestas.
15) Utilizando um só tipo de polígono regular, verifiquem quais pavimentam o plano e complete a tabela: Polígo no regular Pavimenta? Quantos em cada nó? Repres entação Triâng ulo Quadr ado Pentág ono Hexág ono Heptá gono
Quando um polígono regular pavimenta o plano?
16) Um arranjo é um conjunto de polígonos ao redor de um ponto (ou nó), encostados lado a lado, sem buraco ou sobreposição. Forme arranjos utilizando mais de um tipo de polígono e complete a tabela:
Quais polígonos?
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Minicurso 8 2 pentágono e 1 decágono (5,5,10) 108º +108º +144º (3,3,4,3,4) (3,3,3,4,4) ...
17) Verifique se na composição de polígonos abaixo a soma dos ângulos ao redor do ponto é 360º:
Visualização em Caleidoscópio
O caleidoscópio formado por três espelhos, perpendiculares a um plano e articulados entre si, permite a visualização de algumas pavimentações uniformes do plano, através de bases que são colocadas no seu interior. Nos caleidoscópios são formadas imagens múltiplas, pois as imagens obtidas num dos espelhos formam novas imagens nos outros dois, e assim, sucessivamente, estendendo-se por todo o plano.
18) Forme um caleidoscópio abrindo os espelhos articulados em 60o e encostando o terceiro espelho em ambos, de modo que todos estejam perpendiculares a carteira:
a) Qual é o nome triângulo formado na base do caleidoscópio? b) As imagens são todas congruentes (iguais) à base?
19) Coloque o caleidoscópio sobre a base eqüilátera. Coloque uma tira colorida encostada na base de um dos espelhos. Que polígonos aparecem?
20) Coloque o caleidoscópio sobre a base eqüilátera. Coloque uma tira colorida encostada na base de cada um dos espelhos. Que polígonos aparecem?
21) Coloque o caleidoscópio sobre a base eqüilátera e verifique a reflexão de uma tira colorida no seu interior. Onde deve ser colocada a tira para obtermos uma pavimentação por triângulos eqüiláteros?
22) Construa uma bissetriz da base eqüilátera e pinte cada região com cores diferentes. Visualize nos espelhos. Qual é a pavimentação gerada?
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Minicurso 9 Referências
BARBOSA, R. M. Descobrindo Padrões em Mosaicos. São Paulo, Atual, 1993.
MURARI, C. Ensino-Aprendizagem de Geometria nas 7ª e 8ª séries, via caleidoscópios.
Tese de Doutorado, vol. I e II, UNESP/IGCE, Rio Claro, 1999.
DAFFER, P. G. O.; CLEMENS, R. S. Geometry: an investigative approach. Menlo Park: Addson Wesley, 1997.
