Matemática
Pedro Paulo
GEOMETRIA ESPACIAL VI
1 – TETRAEDRO REGULAR
É uma piramide regular triangular, cujas faces são triângulos equiláteros de lado
Figura 1 – tetraedro regular
A figura mostra um tetraedro regular . Sejm o polígono da base, o seu vértice e a projeção ortogonal de sobre o plano .
Como , vale . Logo, é o centro do triângulo equilátero (isto é, é baricentro, incentro, circuncentro, ortocentro).
O ponto está no segmento e é o centro do tetraedro. Então
Na figura , é o ponto médio de . Assim, é mediana. Logo, pela propriedade do baricentro, se , e .
Como o triângulo é equilátero, a mediana também é altura. Logo √ . Então:
√ √ √ √
Usando Pitágoras no triângulo retângulo :
( √ )
√ √
Como é a projeção ortogonal de sobre o plano da base, a altura do tetraedro regular é
√
2 – ÁREAS E VOLUME DO TETRAEDRO
REGULAR
2.1 – Área lateral
A área lateral do tetraedro regular é a soma
das áreas dos triângulos equiláteros que são faces laterais do tetraedro
√
2.2 – Área da base
A área da base do tetraedro regular é a área do triângulo equilátero da sua base
√
2.3 – Área total
A área total do tetraedro regular é a soma
da área lateral com a área da base:
√ √ √ √
2.4 – Volume
O volume do tetraedro regular é do produto da área da sua base pela sua altura:
√ √ √ √ √
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I1. (MACKENZIE - 14) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento , então podemos afirmar que a) a altura é igual a √ b) a altura é igual a c) a altura é igual a d) o volume é igual a √ e) o volume é igual a √
2. Atividade para Sala nº 1, Geometria Espacial VI 3. (UFSJ - 12) Se o volume de um tetraedro regular é √ a medida de sua aresta é, em centímetros: a) b) c) d) 4. (UEPB - 12) A área de uma circunferência circunscrita à base de um tetraedro regular de aresta é:
a) b) c) d) e) 5. (UFRGS - 11) A superfície total do tetraedro regular representado na figura abaixo é √ . Os vértices do quadrilátero são os pontos médios de arestas do tetraedro, como indica a figura.
O perímetro do quadrilátero é
a) b) √ c) d) √ e) √ 6. Atividade Proposta nº 2, Geometria Espacial VI 7. (ITA - 05) Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no plano, três vértices de um tetraedro regular são dados por , e √ √ . O volume do tetraedro é
a) b) c) √
d) √ e) 8. (UEPB - 13) A altura de um tetraedro regular que possui área total e volume numericamente iguais, é: a) √ b) c) d) √ e)
9. (UFPE - 12) Um joalheiro fabricou um pingente maciço de prata banhado a ouro, no formato de tetraedro regular com de aresta. O custo com material para confeccionar o pingente foi ( em prata e em ouro). Quanto o joalheiro gastará com material para confeccionar outro pingente do mesmo tipo com aresta ? Considere que a espessura do banho de ouro permanece constante nos pingentes.
Nível II
10. (UNIFESP - 07) Quatro dos oito vértices de um cubo de aresta unitária são vértices de um tetraedro regular. As arestas do tetraedro são diagonais das faces do cubo, conforme mostra a figura.
a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela é igual a dois terços da diagonal do cubo.
b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o volume do tetraedro.
11. Atividade para Sala nº 4, Geometria Espacial VI 12. (UNIFESP - 13) Na figura, é um paralelepípedo reto-retângulo, e é um tetraedro regular de lado , conforme indica a figura. Sabe-se ainda que:
— e pertencem, respectivamente, às faces e ;
— pertence à aresta ̅̅̅̅
— é baricentro do triângulo e pertence à diagonal ̅̅̅̅ da face ;
— ̂ é um arco de circunferência de centro .
a) Calcule a medida do arco ̂ em centímetros. b) Calcule o volume do sólido , em
3 Geometria CASD Vestibulares 13. (FUVEST - 12) Em um tetraedro regular de lado ,
a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a
a) √ b) √ c) √ d) √ e) √ 14. Atividade Proposta nº 9, Geometria Espacial VI 15. (ITA - 10) Sejam , , e os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem . Se é o ponto médio do segmento ̅̅̅̅ e e o ponto médio do segmento ̅̅̅̅, então a área do triangulo , em , é igual a
a) √
b) √
c) √
d) √
e) √
16. Atividade Proposta nº 7, Geometria Espacial VI 17. (FGV - 12) Arestas opostas de um tetraedro são arestas que não têm ponto em comum. Um inseto anda sobre a superfície de um tetraedro regular de aresta partindo do ponto médio de uma aresta e indo para o ponto médio de uma aresta oposta à aresta de onde partiu. Se o percurso foi feito pelo caminho mais curto possível, então o inseto percorreu a distância, em centímetros, igual a
a) √ b) c) √ d) e) √
18. (UERJ - 11) Um artesão retirou, de uma pedra com a forma inicial de um prisma triangular reto de base , um tetraedro regular . Observe a figura abaixo:
Considere os seguintes dados:
- ∙ os vértices e pertencem a duas faces laterais do prisma;
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Determine o volume inicial da pedra.
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1. Sabe-se que a aresta do tetraedro vale √ √ √ √ √ 2. Sabe-se que a aresta do peso vale
√ Aplicando uma regra de três simples, tem-se que:
3. Seja a aresta do tetraedro. Então, tem-se:
√
√ √
√ 4. A base de um tetraedro regular é um triângulo equilátero, como o triângulo da figura 1. O raio da circunferência circunscrita é o valor de . Como a aresta vale , tem-se:
√ √ √ A área do círculo é ( √ )
5. A figura do problema é a seguinte:
Seja a aresta do tetraedro. Como a área total é √ : √ √ √ Logo, .
No triângulo , é base média de , logo
No triângulo , é base média de , logo
No triângulo , é base média de , logo
No triângulo , é base média de , logo
6. A aresta do tetraedro é . A área lateral é:
√ √ √
√ Como o preço do ouro é por , o custo do ouro será √ √
A área da base do tetraedro é:
√ √ √ √ Como o preço da prata é por , o custo do ouro será √ √
Logo, o custo total do recobrimento, em reais, é √ √ √ 7. Como e , tem-se:
√
√ √ √ √ √
Logo, a aresta do tetraedro é √ . Então, o seu volume é: √ ( √ ) √ √ √ √ 8. Seja a aresta do tetraedro. Como a sua área total e o seu volume são numericamente iguais, tem-se:
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 9. Como o pingente é maciço de prata e é banhado a ouro, o seu volume é feito de prata e a sua superfície (área total) é feita de ouro. Assim, a quantidade de
prata é proporcional ao cubo da aresta (pois √ ) e a quantidade de ouro é proporcional
ao quadrado da aresta (pois √ ). Assim, quando a aresta passa de para , a aresta duplicou. Logo, o volume foi multiplicado por e a área total foi multiplicada por . Assim, a quantidade de prata foi multiplicada por e a quantidade de ouro foi multiplicada por . Então o custo com a prata foi multiplicado por e o custo com o ouro foi multiplicado por . Assim, o novo custo com a prata é e o novo custo com o ouro é . O novo custo total é
10. a) A figura do problema é a seguinte:
O tetraedro é formado pelos vértices , , , . Note que a a aresta do cubo é (aresta unitária). Usando Pitágoras no triângulo retângulo , tem-se que √ . Então, a aresta do tetraedro é √ . Seja a altura do tetraedro. Então, tem-se:
√ √ √ √ Lembre-se que a diagonal do cubo é √
b) Sejam o volume do cubo e o volume do tetraedro. Então, . Além disso, tem-se:
√ √ √ √ √ √ √
11. O sólido em questão é um octaedro regular. Seja o lado do octaedro. Em cada face do tetraedro, o lado do octaedro é base média da aresta do tetraedro. Logo √ √ . Sejam a pirâmide que representa uma das metades do octaedro, a sua base, o centro da base e o seu vértice. A figura do problema é:
Usando Pitágoras no triângulo retângulo : ( √ ) ( √ ) ( √ ) Note que o volume do octaedro é o dobro do volume da pirâmide superior.
5 Geometria CASD Vestibulares 12. a) O retângulo está ilustrado abaixo:
Como é um tetraedro regular de lado , e .
Uma circunferência de raio teria um comprimento . Como ̂ é um arco de (que é de ), o seu comprimento é do comprimento da circunferência, isto é, é b) Como é baricentro do triângulo (que é equilátero), também é o incentro (encontro das bissetrizes). Logo
Como ̂ é um arco de circunferência de centro ,
No triângulo retângulo , tem-se:
√ √ é a altura do tetraedro, cuja aresta é . Então:
√ √ √ O volume do sólido é:
√ √ √ √ √
13. Seja o tetraedro, onde é o ponto médio de e é o ponto médio da aresta oposta . Seja a sua aresta. A figura do problema é a seguinte:
Como é ponto médio de , as medianas (no triângulo equilátero ) e (no triângulo equilátero ) também são alturas, logo √ Assim, o triângulo é isósceles de base . Portanto, a mediana é a altura relativa ao lado Usando Pitágoras no triângulo retângulo
( √ ) ( )
14. Seja . Note que a figura é exatamente a mesma da questão 13. Dos cálculos da questão 13:
√ √ √
15. A figura do problema é a seguinte (com ):
Como é ponto médio de , as medianas (no triângulo equilátero ) e (no triângulo equilátero ) também são alturas, logo √ Assim, o triângulo é isósceles de base . Portanto, a mediana é a altura relativa ao lado Dos cálculos da questão 13: √
√
16. A figura do problema é a seguinte:
Sejam o centro da face e o centro da face . Então e são os baricentros dos triângulos e , respectivamente. Seja o ponto médio de . Então e são medianas dos triângulos e , respectivamente. Logo, √ (altura do triângulo equilátero). Além disso, pela propriedade do baricentro, e Como , tem-se que √ . Então, os triângulos e são semelhantes (pelo caso L.A.L), onde a razão de semelhança é . Logo, , isto é, a aresta do tetraedro exterior é o triplo da aresta do tetraedro interior. Como o volume do tetraedro é proporcional ao cubo da aresta, se a aresta é multiplicada por , o volume do tetraedro é multiplicado por . Então:
17. Seja o tetraedro, onde é o ponto médio de (que é o ponto de partida do inseto) e é o ponto médio da aresta oposta (que é o ponto de chegada do inseto). A figura do problema é a seguinte:
Planificando esse tetraedro, obtemoso losango :
Como e são pontos médios de e , respectivamente, então e são paralelos. Logo, , que é a aresta do tetraedro.
18. A figura do problema é a seguinte:
Seja o ponto médio da aresta . Como é um tetraedro regular, . Como e são alturas dos triângulos equiláteros e , respectivamente, tem-se que √ Usando a Lei dos cossenos no triângulo :
̂ (√ ) (√ ) √ √ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ Usando a relação fundamental da trigonometria:
̂ ̂ ( ) ̂
̂ ( ) ̂ √
Como pertence à face lateral , tem-se que e são paralelos, logo ̂ ̂ . Assim:
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ √
̂ √
√
O prisma possui base e altura (pois o prisma é reto), logo o seu volume é:
√
7 Geometria CASD Vestibulares
GABARITO
1. E 2. E 3. D 4. D 5. C 6. C 7. A 8. E9. O joalheiro gastará com material 10. a) A altura do tetraedro é √
b) A razão entre o volume do cubo e o volume do tetraedro é 11. C 12. a) O arco ̂ mede b) O volume do sólido é √ 13. D 14. D 15. B 16. E 17. D
