LISTA DE EXERCÍCIOS PARA RECUPERAÇÃO DE MATEMÁTICA PROFESSOR MOABI
LISTA DE CILINDROS - 2011
1. A altura de um cilindro reto vale 6cm e o raio da base mede 2cm. Determine a área total e o volume do cilindro. 2. O volume de um cilindro equilátero vale
54
cm
3. Determine o raio da base e a área total desse cilindro.3. A secção meridiana de um cilindro equilátero tem perímetro igual a 16cm. Determine a área lateral, a área total e o volume do cilindro.
4. A figura mostra a planificação da superfície lateral de um cilindro reto. Determine seu volume.
5. (FEI SP) Um cilindro reto tem volume igual a
32
m
3. Sabendo que a medida de sua altura é o dobro da medida de seu raio, podemos afirmar que o seu raio mede:a)
2
m
b)2
2
m
c)16
m
d)2
32
m
e)4
m
6. (FATEC) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10 cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta uma secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é:
a)
1250
b)1250
2 c)6
,
25
2 d)625
e)625
27. (UFG GO) Uma empresa de engenharia fabrica blocos na forma de um prisma, cuja base é um octógono regular de lado 20 cm e altura 1 m. Para fabricar esses blocos, a empresa utiliza um molde na forma de
um cilindro circular reto, cujo raio da base e a altura medem 1 m, conforme a figura. Calcule o volume do material necessário para fabricar o molde para esses blocos. Use:
67
º
,
50
2
,
41
e
3
,
14
tg
.8. (FGV) Em certa loja, as panelas são anunciadas de acordo com sua capacidade. Uma panela dessa loja, com a etiqueta "4 litros", tem 20cm de diâmetro. A altura dessa panela é aproximadamente:
a) 7cm b) 9cm c) 11cm d) 13cm e) 15cm.
9. (UFOP MG) Um recipiente cilíndrico, com graduação, na altura, em centímetros, está cheio de água até a marca 30. Imerge-se nele uma pedra, elevando-se o nível da água para 40. O raio da base do recipiente mede 8cm e a densidade da pedra é 2 kg/L (quilogramas por litro). Considerando
3
,
1
, a massa da pedra, em quilogramas, está mais próxima de: a) 2 b) 4 c) 6 d) 810. (FGV) Inclinando-se em 45º um copo cilíndrico reto de altura 15 cm e raio da base 3,6 cm, derrama-se parte do líquido que completava totalmente o copo, conforme indica a figura. Admitindo-se que o copo tenha sido inclinado com movimento suave em relação à situação inicial, a menor quantidade de líquido derramada corresponde a um percentual do líquido contido inicialmente no copo de:
a) 48% b) 36% c) 28% d) 24% e) 18% 11. (UFU-MG) Um “caminhão pipa” transporta álcool em um tanque de formato cilíndrico com 2 metros de diâmetro e 12 metros de comprimento. Sabendo-se que a altura do nível do álcool é de 1,5 metros, conforme esboçado na figura determine o volume, em litros, do álcool existente no tanque.
12. (UEG GO) Uma caixa d’água com capacidade para 1.000 litros tem a forma de um cilindro circular reto de raio da base r e altura h. Aumentando o raio da base em 10% e diminuindo a altura também em 10%, quantos litros caberão nessa nova caixa d’água?
LISTA DE CILINDROS - 2012
1) (UEMG) O diâmetro da base de um cilindro reto tem 10cm. Sabendo que a altura do cilindro é 12cm, o seu volume é: a) 120 πcm³ c) 1440πcm³ b) 300πcm³ d) 1200πcm³
2. Qual é a altura de um cilindro reto de 12,56cm² de área da base sendo a área lateral o dobro da área da base? Use π = 3,14.
3. Determine a razão entre a área lateral e a área da secção meridiana de um cilindro.
4. Quantos metros cúbicos de terra foram escavados para a construção de um poço que tem 10m de diâmetro e 15m de profundidade?
5. Calcular a área lateral de um cilindro equilátero sendo 289cm² a área de sua secção meridiana.
6. Determinar o raio da base de um cilindro equilátero sabendo-se que a área lateral excede de 4πcm² a área da secção meridiana.
7. Um pluviômetro cilíndrico tem um diâmetro de 30 cm. A água colhida pelo pluviômetro depois de um temporal é colocada em um recipiente também cilíndrico, cuja circunferência da base mede 20πcm. Que altura havia alcançado a água no pluviômetro sabendo que no recipiente alcançou 180 mm?
8. (UNIFOR) Um combustível líquido ocupa uma altura de 8 m em um reservatório cilíndrico. Por motivos técnicos, deseja-se transferir o combustível para outro reservatório, também cilíndrico, com raio igual a 2,5 vezes o do primeiro. A altura ocupada pelo combustível nesse segundo reservatório, em metros é:
a) 1,08 b) 1,28 c) 1,75 d) 2,18 e) 2,66
9. (UNIFOR) Pretende-se construir uma caixa d’água, com a forma de um cilindro reto, cujo diâmetro da base mede 3 m. Se essa caixa deve comportar no máximo 16740 litros d’água, quantos metros ela deverá ter de altura? (Use: π3,1). a) 2,75 b) 2,40 c) 2,25 d) 1,80 e) 1,75 10. (UFRN) Um depósito cheio de combustível tem a forma de um cilindro circular reto. O combustível deve ser transportado por um único caminhão distribuidor. O tanque transportador tem igualmente a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro da base mede 1/5 do diâmetro da base do depósito e cuja altura mede 3/5 da altura do depósito.
O número mínimo de viagens do caminhão para o esvaziamento completo do depósito é: a) 41 b) 42 c) 40 d) 43
11. (UFJF) Aumentando-se o raio de um cilindro em 4 cm e mantendo-se sua altura, a área lateral do novo cilindro é igual à área total do cilindro original. Sabendo-se que a altura do cilindro original mede 1 cm, então o seu raio mede, em cm: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6
12. Qual a massa de mercúrio, em quilogramas, necessária para encher completamente um vaso cilíndrico de raio interno 6 cm e altura 18 cm, se a densidade do mercúrio é 13,6 g/cm³?
13. Um rótulo retangular, contendo a prescrição médica, foi colado em toda a superfície lateral de um recipiente de forma cilíndrica de um certo remédio, contornando-o
até as extremidades se encontrarem, sem haver superposição. Sabendo-se que o volume do recipiente (desprezando-se a sua espessura) é 192 cm³, pode-se afirmar que a área do rótulo, em cm², é igual a
a) 96 b) 80 c) 76 d) 72 e) 70
14) Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico, inicialmente vazio, com raio da base também igual a 3 cm.
LISTA DE ESFERAS - GABARITO (Fonte: Colégio Estadual Augusto Meyer – RS) 1) Uma esfera tem raio 15 cm. Calcule:
a) Seu volume
b) Sua área c) A área da secção feita a 9 cm do centro Solução. A figura ilustra a esfera indicada. Aplicando as fórmulas, temos:
a) 3 3 3
4500
)
1125
(
4
3
)
3375
(
4
3
)
15
(
4
3
4
cm
R
V
b)A
4
R
2
4
(
15
)
2
4
(
225
)
900
cm
2 c) 2 2 2 sec 2 2 2.
144
)
12
.(
.
12
144
144
81
225
)
9
(
)
15
(
cm
r
A
cm
r
r
ção
2) Calcule o volume da esfera circunscrita a um cone eqüilátero cujo raio da base mede
3
3
m
.Solução. O apótema do triângulo eqüilátero coincide corresponde a um terço da altura, pois vale a distância do baricentro do triângulo à base. Como o triângulo é eqüilátero, o lado vale o dobro do raio do cone. Aplicando as fórmula do triângulo eqüilátero e esfera, temos:
3 3 3 2 2 2 3 3.
288
)
72
(
4
3
)
216
(
4
3
)
6
(
4
3
4
6
36
3
3
)
3
(
3
3
9
3
9
2
)
3
)(
6
(
2
3
3
6
2
3
3
6
3
3
2
2
cm
R
V
cm
R
R
cm
h
ap
cm
l
h
cm
r
l
esfera
3) Calcule o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 12cm e ângulo central de 60º.
Solução. A figura ilustra a situação. Observe que a área total da cunha envolve a área do fuso e a soma das áreas de duas semicircunferências máximas que corresponde a um círculo
máximo. Aplicando as fórmulas, temos:
a) 3 3 3 3
384
)
96
(
4
18
)
1728
(
4
18
)
12
(
4
)
º
360
(
3
)
º
60
.(
)
12
(
4
)
º
360
(
3
.
4
cm
R
V
cunha
b)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2240
144
96
144
)
12
(
.
96
)
24
(
4
6
)
144
(
4
6
)
12
(
4
º
360
)
º
60
.(
)
12
(
4
º
360
.
4
cm
cm
cm
A
cm
R
A
cm
R
A
cunha círculo fuso
4) Uma esfera de raio 9cm é seccionada por um plano que dista 6cm do seu centro. Calcule: a) O volume dessa esfera
b) A área da superfície esférica c) A área da secção determinada pelo mencionado plano de corte Solução. A figura ilustra a esfera indicada. Aplicando as fórmulas, temos:
a) 3 3 3
972
)
243
(
4
3
)
729
(
4
3
)
9
(
4
3
4
cm
R
V
b)A
4
R
2
4
(
9
)
2
4
(
81
)
324
cm
2 c)
2 2 2 sec 2 2 2.
45
5
3
.
.
5
3
45
45
36
81
)
6
(
)
9
(
cm
r
A
cm
r
r
ção
5) Calcule a capacidade de uma esfera cuja superfície esférica tem área igual a 144
m2. Solução. Utilizando as fórmulas correspondentes, temos:3 3 3 2 2 2
288
)
72
(
4
3
)
216
(
4
3
)
6
(
4
3
4
6
36
36
4
144
144
4
144
4
cm
R
V
m
R
R
R
A
R
A
6) Seccionando-se uma esfera por um plano que dista 3m do seu centro, obtém - se uma secção de área
2
72 m
,determine o volume dessa esfera. Solução. Aplicando as fórmulas de área e relação de Pitágoras no triângulo formado pelos raios da secção e da esfera, temos;
3 3 3 2 2 2 2 2 2 sec972
)
243
(
4
3
)
729
(
4
3
)
9
(
4
3
4
9
81
81
72
9
2
6
3
2
6
72
72
72
72
cm
R
V
m
R
R
m
r
r
r
A
r
A
ção
7) Considerando uma esfera cuja superfície tenha área 676
m2. A que distância do seu centro deve-se traçar um plano de corte para que a secção assim determinada tenha área de 25
m2? R:12
m
R
r
d
m
d
m
r
r
r
A
r
A
m
R
R
R
A
R
A
ção esfera12
144
25
169
)
5
(
)
13
(
5
25
25
25
25
13
169
4
676
676
4
676
4
2 2 2 2 2 2 2 2 sec 2 2 2
8) Calcule o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 9cm e ângulo central de 20º.
Solução. A figura ilustra a situação. Observe que a área total da cunha envolve a área do fuso e a soma das áreas de duas semicircunferências máximas que corresponde a um círculo máximo. Aplicando as fórmulas, temos: a) 3 3 3 3
54
)
5
,
13
(
4
54
)
729
(
4
54
)
9
(
4
)
º
360
(
3
)
º
20
.(
)
9
(
4
)
º
360
(
3
.
4
cm
R
V
cunha
b)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 299
81
18
81
)
9
(
.
18
)
5
,
4
(
4
18
)
81
(
4
18
)
9
(
4
º
360
)
º
20
.(
)
9
(
4
º
360
.
4
cm
cm
cm
A
cm
R
A
cm
R
A
cunha círculo fuso
9) Calcule o volume da esfera inscrita num cubo cuja área total é 216 cm2. Solução. Observando que o raio da esfera mede a metade da aresta do cubo, temos:
3 3 3 2 2 2
36
3
)
27
(
4
3
)
3
(
4
3
4
3
2
6
2
6
36
36
6
216
216
6
216
6
cm
V
R
V
cm
a
r
cm
a
a
a
A
a
A
esfera esfera cubo cubo
10) Calcule a área de uma esfera circunscrita a um cubo cujo perímetro de suas arestas é 24
3
cm.Solução. Lembrando que a esfera circunscrita passa pelos oito vértices do cubo, seu diâmetro possui a mesma medida da diagonal do cubo. Aplicando as fórmulas, temos:
3 3 336
3
)
27
(
4
3
)
3
(
4
3
4
3
2
6
2
6
3
3
2
3
3
2
12
3
24
3
24
12
3
24
2
12
2
cm
V
R
V
cm
d
r
cm
a
d
cm
a
a
P
a
P
esfera esfera cubo esfera cubo cubo cubo
11) Calcule o volume de uma esfera inscrita num cone eqüilátero cujo volume é
72
3
cm
3.Solução. A altura do cone é a altura do triângulo eqüilátero. O raio da esfera inscrita no cone coincide com o apótema do triângulo eqüilátero. A geratriz do cone eqüilátero (lado do triângulo) vale o diâmetro da base do cone. Utilizando estas informações, temos:
3 3 3 3 3 3 3 2 3.
3
32
3
3
24
4
3
3
2
4
3
.
4
3
2
3
3
6
3
6
216
216
3
72
3
3
3
3
3
3
3
2
3
2
2
3
cm
V
r
V
cm
h
ap
r
cm
R
R
R
R
R
R
V
R
R
l
h
esfera esfera cone
12) Uma esfera de raio 11cm é seccionada por um plano distante 5cm do seu centro. Calcular as distâncias polares.
Solução. Há duas distâncias polares. São as hipotenusas dos triângulos retângulos formados pela secção. Repare que os catetos dos triângulos são 6 e 16, respectivamente. Temos:
cm
dp
cm
dp
cm
R
r
22
4
352
96
256
6
4
16
'
33
2
132
96
36
6
4
6
6
4
96
96
25
121
5
11
2 2 2 2 2 2 2
13) Uma esfera é seccionada por um plano distante 8 cm de seu centro. Calcule as distâncias polares, sabendo-se que o raio da esfera é 10cm.
Solução. Aplicando as fórmulas, temos:
cm
dp
cm
dp
cm
R
r
10
6
360
36
324
6
18
'
10
2
40
36
4
6
2
6
36
36
64
100
8
10
2 2 2 2 2 2 2
14) Calcule a área da esfera circunscrita ao cone reto de raio 6 cm e altura 18 cm. R:
400 cm
2Solução. Observe que o centro da esfera não coincide com o centro do cone. O triângulo é isósceles e não eqüilátero. Calculamos o raio da esfera pela relação de Pitágoras indicada na figura.
2 2 2 2 2 2 2 2400
)
10
(
4
4
10
36
360
36
324
36
18
6
cm
R
A
R
R
R
R
R
R
esfera
15) Se duplicarmos o raio de uma esfera, o que acontece com o volume? E com a área da superfície?
Solução. Considerando V e A como o volume e a área iniciais da esfera e aplicando as transformações, temos:
A
R
R
R
A
V
R
R
R
V
R
raio
R
A
R
V
R
raio
.
4
4
4
4
4
2
4
'
.
8
3
4
8
3
8
4
3
2
4
'
2
4
3
4
2 2 2 3 3 3 2 3
Logo, o volume multiplica por 8 e a área da superfície quadruplica.
LISTA DE ESFERAS - 2011 - GABARITO 1. Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem área de
324
cm
2. Solução. Utilizando a fórmula da área e do volume, temos:3 3 3 esf era 2 2 2 esf era 2 esf era
cm
972
)
243
(
4
3
)
729
(
4
)
9
(
3
4
r
3
4
V
cm
9
81
r
81
r
4
324
r
324
r
4
324
A
r
4
A
.2. Uma bola de borracha, com 13 cm de raio, flutua sobre a água de uma piscina, afundando 1cm na mesma. Determine o raio da circunferência definida na superfície da água.
Solução. A ilustração, fora de proporção, mostra a situação. O raio pedido é o da secção determinada pelo plano da água que divide a esfera nas partes
submersas e emersas. A vista frontal mostra um triângulo retângulo de hipotenusa 13 e cateto 12.
Logo,
r
13
2
12
2
169
144
25
5
cm
.
3. Um reservatório tem a forma de um hemisfério. Se para pintar o piso gastaram-se 15 galões de tinta, quantos galões são necessários para pintar o restante da superfície interna?
Solução. A superfície total do reservatório é formada pela semi-esfera interna e o piso, que é uma circunferência de mesmo raio. Logo a área da semi-esfera vale 2пr2
, isto é, o dobro da área do piso:
30
galões
r
.
r
.
2
)
15
(
x
x
r
.
2
galões
15
r
.
2 2 2 2
.4. Um plano secciona uma esfera, determinando um círculo de
16
cm
2 de área. Determine o raio da esfera, sabendo que o plano dista 3 cm do centro da esfera.Solução. O raio da secção é determinado pela área indicada:
cm
4
16
r
16
r
.
16
A
r
.
A
2 ção sec 2 ção sec
.O raio da esfera é determinado pela relação de Pitágoras:
cm
5
16
9
R
)
4
(
)
3
(
R
r
)
3
(
R
2
2
2
2
2
2
.5. (FGV) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo α de 72º, como mostra a figura. Calcule a área do fuso esférico determinado por α.
Solução. A área é calculada pela regra de três em relação à área de toda a esfera:
2 2 2 f uso f uso 2m
20
5
100
5
25
.
4
5
5
.
4
360
r
.
4
)
72
(
A
A
º
72
r
.
4
º
360
.6. (UNAERP-SP) Determine o volume de uma cunha esférica, fabricada a partir de uma esfera de 6m de diâmetro e um ângulo diedro de 36º.
Solução. O volume é calculado pela regra de três em relação ao volume de toda a esfera:
3 3 3 cunha cunha 3 m 6 , 3 15 54 15 27 . 2 30 3 . 4 360 3 r . 4 ) 36 ( V V º 36 3 r . 4 º 360 .7. (UFPE) Um triângulo eqüilátero tem lado
18
3
cm
e é a base de um prisma reto de altura 48 cm. Calcule o raio da maior esfera contida neste prisma.Solução. A maior esfera tocará as faces laterais cujas distâncias serão as alturas do triângulo equilátero. A figura ilustra a vista frontal e superior. O raio será
o apótema do triângulo.
cm 9 6 ) 3 ( 18 6 3 3 18 3 2 3 l 3 h ap .OBS: O diâmetro será de 18cm, menor que a altura do prisma (48cm). Logo, caberá nas duas direções. 8. (UFOP) Um cilíndrico circular reto e uma esfera, são construídos de tal forma que a altura h e o raio r do cilindro são, respectivamente,
3
4
e3
1
do raio R da esfera. Qual soma dos volumes desses sólidos?Solução. Expressando o raio e altura do cilindro em função do raio e altura da esfera, temos:
27 R 40 27 R 36 R 4 3 R 4 27 R 4 : Soma 3 R 4 V ; 27 R 4 3 R 4 . 3 R . h . r . V 3 R 4 h 3 R r 3 3 3 3 3 3 esf era 3 2 2 cilindro .
9. (UFU-MG) Bóias de sinalização marítima são construídas de acordo com a figura abaixo, em que um cone de raio da base e altura r é sobreposto a um hemisfério de raio r. Aumentando-se r em 50%, o
volume da bóia fica multiplicado por que fração?
Solução. O volume inicial da bóia é a soma dos volumes do hemisfério e do cone.
bóia 3 3 3 bóia 3 3 3 3 bóia 3 2 2 cone 3 3 3 hemisf ério V . 8 27 8 27 . r 2 r 3 r 5 , 1 ' V r . 5 , 1 r %. 50 r ' r r 3 r 3 3 r 3 r 2 V 3 r 3 ) r .( r 3 h . r V 3 r 2 6 R 4 3 r 4 . 2 1 V .10. (UFJF-MG) Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular como mostra a figura. A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3m. Se a altura do reservatório é h = 6m, calcule a capacidade máxima de água comportada por
esse reservatório.
Solução. A capacidade do reservatório será a soma dos volumes do hemisfério e do cilindro. As medidas estão ilustradas na figura.
3 3 3 io reservatór 3 2 2 cilindro 3 3 3 3 hemisf ério m 45 m 27 m 18 V m 27 ) 3 .( ) 3 ( h . r V m 18 3 ) 3 ( 2 6 R 4 3 r 4 . 2 1 V .
11. (UEG GO) Dona Maria fez um único “brigadeirão” em forma de esfera para seus 8 netos. Para que cada um ficasse com a mesma quantidade de doce, resolveu fazer a divisão em 8 brigadeiros pequenos, todos também em forma de esferas. Que fração do raio do “brigadeirão” deverá ser o raio da esfera de cada um dos 8 brigadeiros?
Solução. Considerando “v” o volume dos brigadeiros pequenos com raio “r” e, “V” e “R” os respectivos volume e raio do “brigadeirão”, temos:
2 R r r 2 R 8 r R 8 r R 4 32 r R r 32 R 4 3 r 32 3 R 4 3 r 4 8 3 R 4 v 8 V 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 .
12. (FUVEST) Um cálice com a forma de cone contém V cm3 de uma bebida. Uma cereja de forma esférica com diâmetro de 2cm é colocada dentro do cálice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas laterais do cálice e o líquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4cm a partir do vértice do cone, determinar o valor de V.
Solução. Seja V’ o volume do cálice com a cereja. Isto é: V’ = V + V(cereja). O volume V’ é calculado encontrando o raio “x” do círculo do líquido sobre a cereja. Observando a semelhança dos triângulos, temos:
3 cereja 3 3 cereja 2 2 2 2 2 2cm
3
4
3
4
3
8
V
'
V
V
3
4
3
)
1
.(
4
3
r
.
4
V
)
ii
3
8
3
)
2
(
4
3
)
4
.(
2
.
3
h
.
x
.
'
V
)
iii
2
2
2
.
2
2
x
2
2
x
x
1
4
2
2
x
1
4
y
)
ii
2
2
8
y
1
9
y
y
1
3
)
i
.LISTA DE PIRÂMIDES - GABARITO
1 – Uma pirâmide quadrangular regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 6m. Calcule seu volume e a
área total.
Solução. Observando os elementos na figura, temos:
i) Volume:
3 248
)
4
).(
12
(
3
4
).
36
(
3
4
.
6
3
.
m
h
A
V
b pirâm ide
ii) Área total:
2 2 2 2 2 296
60
36
60
15
4
2
)
5
).(
6
(
.
4
36
)
6
(
5
16
9
4
3
m
A
A
A
m
A
m
A
m
g
l b t l b
2 – Calcular a área da base, área lateral, área total e o volume da pirâmide quadrangular regular de apótema
5cm e apótema da base 2cm.
Solução. Se o apótema da base mede 2cm, então a aresta da base mede 4cm. Observando os elementos na
figura, temos:
i) Áreas:
2 2 2 2 2 256
40
16
40
10
4
2
)
5
).(
4
(
.
4
16
)
4
(
21
2
5
cm
A
A
A
cm
A
cm
A
cm
h
l b t l b
ii) Volume:
33
21
16
3
)
21
.(
16
3
.
cm
h
A
V
b
3 – Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular de área da base
288
3
m
e apótema 13m.
Solução. A área da base é o sêxtuplo da área de um triângulo eqüilátero com lado de mesma medida da
aresta do hexágono. Temos:
m
l
l
l
A
l
A
b b3
8
192
6
)
288
).(
4
(
3
288
4
3
.
6
3
288
4
3
.
6
2 2 2
O apótema do hexágono é a altura do triângulo eqüilátero. A altura da pirâmide
é calculada com a relação de Pitágoras no triângulo retângulo de hipotenusa
13m.
3 2 23
480
)
5
.(
3
96
3
)
5
.(
3
288
3
.
5
25
144
169
12
13
12
2
)
3
)(
8
(
2
3
3
8
2
3
m
h
A
V
m
h
m
l
a
b p
4 – Uma pirâmide triangular regular tem 5cm de altura e o apótema da base mede 4cm. Calcule o volume da
pirâmide.
Solução. A base é um triângulo eqüilátero cujo apótema mede a terça parte da altura (o centro da
circunferência circunscrita é o baricentro do triângulo). Temos:
cm
l
l
l
a
a
p p3
8
3
3
.
3
24
3
24
6
3
4
2
3
3
1
4
O volume vale:
3 2 23
80
)
5
(
3
16
)
5
.(
12
3
)
3
(
64
3
)
5
.(
4
3
3
8
3
.
4
3
3
.
cm
h
l
h
A
V
b
5 – Considere uma pirâmide quadrangular regular inscrita em um cubo de 2cm de aresta. Calcule:
a) a área lateral da pirâmide; b) a área total da pirâmide;
c) a razão entre o volume da pirâmide e do cubo;
d) a razão entre as áreas totais da pirâmide e do cubo.
Solução. Observando a figura e seus elementos, temos:
a)
2 2 25
4
2
)
5
).(
2
(
.
4
5
1
2
1
2
cm
A
cm
g
cm
a
cm
h
l p
b)
2 2 2 25
1
4
5
4
4
)
2
(
cm
A
cm
A
cm
A
t l b
c)
3
1
8
1
.
3
8
8
3
8
8
)
2
).(
2
).(
2
(
3
8
3
2
.
4
3
.
3 3
cubo pirâm ide cubo b pirâm ideV
V
cm
V
cm
h
A
V
d)
6
5
1
)
2
.(
6
5
1
4
)
(
)
(
2
cubo pirâm idetotal
A
total
A
6 – Um prisma de base pentagonal possui 360m
3de volume. Qual o volume de uma pirâmide com mesma base
e mesma altura?
Solução. O volume do prisma é o triplo do volume da pirâmide:
33 3
120
3
360
3
360
m
m
V
V
m
V
prism a pirâm ide prism a
7- Numa pirâmide regular de base triangular, a aresta da base mede
2
3
cm
e a altura mede 4cm. Calcule o
apótema da base, o apótema da pirâmide e a aresta lateral.
Solução. O apótema da base é a medida da distância do baricentro do triângulo até a aresta.
Vale a terça parte da altura do triângulo eqüilátero.
i)
l
a
cm
a
a
p p1
2
3
3
2
3
1
2
3
3
1
3
2
ii)
g
cm
g
h
17
1
16
1
4
4
2 2
iii)
L
g
2
3
2
17
2
3
2
17
3
20
2
5
cm
8 – Uma pirâmide e um prisma têm a mesma base. A altura da pirâmide vale o sêxtuplo da altura do prisma.
Sendo V
1o volume da pirâmide e V
2o volume do prisma, mostre que V
1= 2V
2.
Solução. Expressando as medidas indicadas e estabelecendo as relações, temos:
1 1 2 12
.
2
3
)
6
.(
.
3
)
6
.(
V
h
A
h
A
V
h
A
V
V
h
A
V
V
b b b prism a b pirâm ide
9 – A base de uma pirâmide regular de altura 3r é um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio r.
Calcule o volume dessa pirâmide.
Solução. O lado do hexágono inscrito possui a mesma medida do raio. A área é o sêxtuplo da área do
triângulo eqüilátero.
2
3
3
3
)
3
.(
2
3
.
3
3
)
.(
2
3
.
3
4
3
.
6
3 2 2 2r
r
r
V
h
A
V
r
l
A
b pirâm ide b
10 – Calcule o volume de uma pirâmide triangular regular de aresta lateral igual a 13cm e cuja base está inscrita
num círculo de área
25 cm
.
2.
Solução. O triângulo inscrito é eqüilátero, pois a pirâmide é regular. A altura H da pirâmide intersecta a
base no baricentro do triângulo distante 2/3 da altura “h” em relação ao vértice. Calculando os elementos
da pirâmide, temos:
i)
x
h
cm
a
h
cm
r
a
cm
r
r
A
r
A
circunf circunf5
2
15
.
3
2
3
2
2
15
2
3
3
5
2
3
3
5
3
5
25
25
25
2 2
ii)
12
4
3
75
4
3
3
5
4
3
12
144
25
169
5
13
2 2 2 2 2 2 2H
a
A
cm
H
H
x
H
L
bii)
.(
12
)
75
3
312
3
75
3
)
12
.(
4
3
75
3
.
cm
H
A
V
b
11 – (VUNESP) As arestas do prisma triangular reto mostrado na figura a seguir têm todas a mesma medida.
Secciona-se o prisma por meio de um plano pelos vértices R e Q e por um ponto M da aresta AB. Para que o
tetraedro MBQR tenha volume igual a
3
1
do volume do outro sólido em que se dividiu o prisma, deve-se ter
BM igual a:
a)
AB
4
3
b)
AB
3
2
c)
AB
5
3
d)
AB
3
1
e)
AB
6
1
Solução. Todas as arestas possuem medida AB que também é a medida da altura
do prisma. Calculando os volumes do prisma e tetraedro, temos:
i)
4
3
.
4
3
.
3 2AB
AB
AB
h
A
V
prism a
b
ii)
12
3
.
.
4
3
.
3
1
3
.
2MB
AB
2MB
AB
h
A
V
b tetraedro
iii)
12
.
3
3
12
3
.
12
3
3
12
3
.
4
3
2 3 2 2 3MB
AB
AB
AB
MB
AB
AB
MB
AB
V
V
V
sólido
p
t
iii)
4
.
3
.
3
.
4
.
3
.
3
3
.
3
12
.
3
3
.
3
1
12
3
.
.
3
1
2 2AB
MB
AB
MB
MB
AB
MB
MB
AB
MB
MB
AB
AB
AB
MB
V
V
tetraedro Sólido
12 – (VUNESP) A figura a seguir mostra uma pirâmide regular de base quadrada cuja altura tem a mesma
medida que as arestas da base. Pelo ponto médio M da altura OQ, traça-se o segmento MN perpendicular à
aresta OA. Se “a” expressa a medida de MN, determine o volume da pirâmide em função de “a”.
Solução. Os triângulos ONM e OAQ são semelhantes. Temos:
3
2
2
2
6
4
2
6
4
2
2
6
2
2
2
2
6
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a
a
y
ay
y
y
y
y
a
OA
OM
AQ
NM
y
y
OA
y
y
y
OA
y
y
AQ
OQ
OA
diagonal
y
AQ
O volume da pirâmide vale:
8
3
3
3
3
8
3
3
2
3
3
.
3
.
3 3 3 3 2a
a
a
y
y
y
h
A
V
b
13 – (VUNESP) Na figura, os planos
e
são perpendiculares e se interceptam segundo a reta r. Os pontos A,
B, C, e D com A e D em r, são os vértices de um quadrado e P é o ponto de interseção das diagonais do
quadrado. Seja Q, em
, o ponto sobre o qual cairia P se o plano
girasse de 90° em torno de r, no sentido
indicado na figura, até coincidir com
. Se AB =
2
3
cm
, calcule o volume do tetraedro APDQ.
Solução. O segmento AD é aresta e possui a mesma medida de AB. Os segmentos AP e PD medem a
metade da diagonal do quadrado e APD é retângulo e isósceles. A altura “h”
do tetraedro vale a metade do lado do quadrado. Temos:
33
3
3
.
3
3
.
3
2
6
.
6
2
.
3
2
3
2
2
6
2
2
3
2
2
2
cm
h
A
V
AP
DP
A
a
h
a
AP
ADP tetraedro ADP14 – (VUNESP) A figura representa uma pirâmide com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD e a
face EAB é um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um
plano paralelo à base, na altura H. Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide EA'B'C'D' e um
tronco de pirâmide de altura H. Sabendo-se que H = 4cm, AB = 6cm, BC =
3cm e a altura h = AE = 6cm, determine:
a) o volume da pirâmide EA'B'C'D';
Solução. Considerando h’ a altura da pirâmide menor EA’B’C’D’ temos
que h’ = h – H = 6 – 4 = 2cm. Aplicando a propriedade da razão entre as
áreas, temos:
i)
2 ( ' ' ' ') 2 2 ) ' ' ' ' ( 2 2 ) ( ) ' ' ' ' (2
36
)
4
).(
18
(
6
2
)
3
)(
6
(
'
cm
A
A
h
h
A
A
D C B A D C B A ABCD D C B A
ii)
( ' ' ' ') ( ' ' ' ') 33
4
3
)
2
).(
2
(
3
'
.
cm
h
A
V
EABCD
ABCD
b) o volume do tronco de pirâmide.
Solução. O volume do tronco é a diferença entre os volumes das pirâmides maior e menor.
3 ) ' ' ' ' ( ) ( 3 ) ' ' ' ' ( ) ' ' ' ' ( 3 ) ( ) (
3
104
3
4
108
3
4
36
3
4
3
)
2
).(
2
(
3
'
.
36
3
)
6
).(
3
.
6
(
3
.
cm
V
V
V
cm
h
A
V
cm
h
A
V
D C B EA EABCD Tronco D C B A D C B EA ABCD EABCD
15 – (UNICAMP) Dado um cubo de aresta L, qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros das
faces do cubo?
Solução. O volume do octaedro é o dobro do volume da pirâmide quadrangular regular de aresta da base
“a”.
6
12
2
3
2
.
2
2
2
3
.
2
2
2
4
2
2
2
3 3 2 2 2 2L
L
L
L
h
A
V
L
L
L
L
a
b
16 – (UNICAMP) A figura mostrada é um cubo cuja aresta mede 2cm.
a) Calcule o volume da pirâmide ABCD
1Solução. A aresta AD
1é a altura da pirâmide.
3 ) ( ) ( 2 ) (
