PROPOSTA DE METODOLOGIA RECURSIVA-ITERATIVA PARA IDENTIFICAÇÃO FUZZY DE SISTEMAS NÃO LINEARES ESTOCÁSTICOS EM MALHA FECHADA

Texto

(1)Universidade Federal do Maranhão - UFMA Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Eletricidadce PPGEE Automação e Controle. Proposta de Metodologia Recursiva-Iterativa para IdentiĄcação Fuzzy de Sistemas Não Lineares Estocásticos em Malha Fechada. Autor: Hugo Alves Velozo Orientador: Prof. Dr. Ginalber Luiz de Oliveira Serra. São Luís, MA 2017.

(2) Hugo Alves Velozo. Proposta de Metodologia Recursiva-Iterativa para IdentiĄcação Fuzzy de Sistemas Não Lineares Estocásticos em Malha Fechada. Dissertação de Mestrado submetida à banca examinadora designada pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Eletricidade da Universidade Federal do Maranhão, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Engenharia de Eletricidade.. Universidade Federal do Maranhão - UFMA Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Eletricidadce - PPGEE. Orientador: Prof. Dr. Ginalber Luiz de Oliveira Serra. São Luís, MA 2017.

(3) Ficha gerada por meio do SIGAA/Biblioteca com dados fornecidos pelo(a) autor(a). Núcleo Integrado de Bibliotecas/UFMA. Velozo, Hugo Alves. Proposta de Metodologia Recursiva-Iterativa para Identificação Fuzzy de Sistemas Não Lineares Estocásticos em Malha Fechada / Hugo Alves Velozo. - 2017. 92 f. Orientador(a): Ginalber Luiz de Oliveira Serra. Dissertação (Mestrado) - Programa de Pós-graduação em Engenharia de Eletricidade/ccet, Universidade Federal do Maranhão, São Luís, MA, 2017. 1. Identificação em Malha Fechada. 2. Sistema Fuzzy. 3. Sistemas Não Lineares. 4. Variável Instrumental Refinada. I. Serra, Ginalber Luiz de Oliveira. II. Título..

(4) PROPOSTA DE METODOLOGIA RECURSIVA-ITERATIVA PARA IDENTIFICAÇÃO FUZZY DE SISTEMAS NÃO LINEARES ESTOCÁSTICOS EM MALHA FECHADA. Hugo Alves Velozo. Dissertação aprovada em 20 de fevereiro de 2017.. Prof. Dr. Ginalber Luiz de Oliveira Serra, IFMA (Orientador). Prof. Dr. Omar Andres Carmona Cortes, IFMA (Membro da Banca Examinadora). Prof. Dr. Francisco das Chagas de Souza, UFMA (Membro da Banca Examinadora).

(5) Aos meus pais, Ederneval e Ivanilde Aos meus irmãos, Mônia e Rodolfo Aos meus familiares À Cléssia e sua família.

(6) Agradecimentos Gostaria de agradecer a Deus por tudo. Aos meus pais Ederneval e Ivanilde pelas orações e apoio. Aos meus avós Antônio e Antônia. Aos meus irmãos Mônia e Rodolfo pelo incentivo. À Cléssia pelo apoio, companheirismo e os conselhos preciosos nos momentos difíceis. À Maria Helena por ser como uma mãe para mim. À Casa dos Estudantes Secundários do Maranhão (CESM) por esses dez anos de apoio e moradia. Aos professores do programa PPGEE-UFMA, pelos ensinamentos ao longo do mestrado. Aos amigos do laboratório ICAT-IFMA: Adriano Magalhães, Arnaldo Pinheiro, Edson Bruno, Luis Miguel, Selmo Eduardo, Paulo Melo, Jéssica Aguiar, Jéssica Santos, Danúbia Pires e Orlando Donato. Obrigado por todo suporte. Ao Prof. Dr. Ginalber Luiz de Oliveira Serra, pela orientação, pela paciência e ensinamentos preciosos durante esses dois anos. À CAPES, pelo suporte Ąnanceiro..

(7) Tornaste o meu pranto em folguedo; tiraste o meu cilício e me cingiste de alegria; para que a minha glória te cante louvores e não se cale; Senhor, Deus meu, eu te louvarei para sempre. (Salmos, 30: 11-12).

(8) Resumo A maioria dos métodos de identiĄcação de sistemas dinâmicos em malha fechada são desenvolvidos para sistemas lineares e determinísticos. Entretanto, a maioria dos sistemas operando em malha fechada são sistemas dinâmicos não lineares. Além disso, esses sistemas estão sujeitos a perturbações de natureza estocástica. Considerando essa problemática, este trabalho apresenta uma metodologia para identiĄcação de sistemas não lineares estocásticos em malha fechada. Para isso, a metodologia proposta utiliza uma abordagem local de identiĄcação de sistemas dinâmicos não lineares, ou seja, um conjunto de modelos locais Box-Jenkins são utilizados para identiĄcar a dinâmica do sistema não linear. Neste trabalho, o sistema não linear é modelado por meio de um sistema de inferência fuzzy Takagi-Sugeno, onde os parâmetros do antecedente das regras fuzzy são estimados com o algoritmo de agrupamento fuzzy Gustafson-Kessel e o parâmetros do modelo Box-Jenkins do consequente são estimados com os algoritmos RIV (ReĄned Instrumental Variable) fuzzy e IVARMA (Instrumental Variable ARMA) fuzzy. O método proposto é aplicado na identiĄcação de uma planta térmica não linear em malha fechada. Palavras-chaves: IdentiĄcação em Malha Fechada. Sistema Fuzzy. Sistemas Não Lineares. Variável Instrumental ReĄnada..

(9) Abstract Most methods of identiĄcation of closed-loop dynamic systems are developed for linear and deterministic systems. However, most closed loop systems are nonlinear dynamic systems. In addition, such systems are subject to stochastic perturbations. Considering this problem, this work presents a methodology for the identiĄcation of closed loop stochastic nonlinear systems. For this purpose, the proposed methodology uses a local approach to identify nonlinear dynamic systems, that is, a set of Box-Jenkins local models are used to identify the dynamics of the nonlinear system. In this work, the nonlinear system is modeled through a Takagi-Sugeno fuzzy inference system, where the parameters of the antecedent of the fuzzy rules are estimated with the fuzzy clustering algorithm GustafsonKessel and the consequent Box-Jenkins model parameters are estimated with the fuzzy fuzzy RIV (ReĄned Instrumental Variable) and fuzzy IVARMA (Instrumental Variable ARMA) algorithms. The proposed method is applied in the identiĄcation of a closed-loop nonlinear thermal plant. Keywords: Closed Loop System IdentiĄcation. Fuzzy System. Nonlinear Systems. ReĄned Instrumental Variable..

(10) Lista de ilustrações Figura 1 Ű Representação gráĄca do mapeamento do conjunto de dados de treina� mento Z para o modelo M θ ✝ realizado por meio de uma técnica de identiĄcação (identiĄcação caixa preta). . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 2 Ű Representação gráĄca do mapeamento do conjunto de dados de treina� mento Z e informações adicionais I para o modelo M θ ✝ realizado por meio de um técnica de identiĄcação (identiĄcação caixa cinza). . . Figura 3 Ű Representação gráĄca do processo de identiĄcação. . . . . . . . . . . . Figura 4 Ű Diagrama de blocos do sistema dinâmico linear operando em malha fechada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 5 Ű Representação gráĄca de um sistema em malha fechada. . . . . . . . . Figura 6 Ű Representação de conjuntos fuzzy em um universo de discurso contínuo. Figura 7 Ű Estrutura do sistema de inferência fuzzy. . . . . . . . . . . . . . . . . . � ✍1 Figura 8 Ű Hiperelipsoide deĄnida por z ✍ v✝ F z ✍ v✝ 1. O comprimento do Ô �-ésimo eixo desta hiperelipsoide é dado por Ú� e sua direções deĄnida por ϒ� , onde Ú� e ϒ� são os �-ésimo autovalor e autovetor da matriz de covariância fuzzy F, respectivamente (Adaptada: Babuska (1998, p. 63)). Figura 9 Ű Estrutura Box-Jenkis do modelo local M� . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 10 Ű Representação gráĄca da estrutura do modelo. . . . . . . . . . . . . . . Figura 11 Ű Caso 1: a variável explicativa � � ✝ é descorrelacionada do erro � � ✝, ou seja, Cov ✒� � ✝, � � ✝✘ 0;Caso 2:a variável explicativa � � ✝ é correlacionada com o erro � � ✝, ou seja, Cov ✒� � ✝, �✘ ❥ 0;Caso 3: a variável instrumental �� ✝ é descorrelacionada do erro � � ✝, ou seja, Cov ✒�, �✘ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 12 Ű Decomposição do pré-Ąltro �1 em duas parcelas. . . . . . . . . . . . . . Figura 13 Ű Procedimento esquemático para obtenção de uma estimativa para Ý � ✝ e � � ✝. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 14 Ű Metodologia proposta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 15 Ű Diagrama do sistema térmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 16 Ű Dados experimentais coletados em malha fechada. . . . . . . . . . . . . Figura 17 Ű Dados experimentais coletado em malha aberta. . . . . . . . . . . . . . Figura 18 Ű Curva característica do sistema térmico (em azul) aproximada por um 2 polinômio de segundo grau (pontos vermelhos), � �� ✝ �1 �� ✑ �2 �� ✑ �3 . Figura 19 Ű Agrupamento fuzzy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura 20 Ű Funções de pertinência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 28 30 33 36 43 46. 52 56 58. 63 64 67 71 73 74 75 75 76 77.

(11) �. 1�. 1�. 1�. 1� �. Figura 21 Ű Estimativa recursiva dos parâmetros ρ^1 � ✝ ✔�1 �2 �0 �0 ✚ do mo✍1 � 1 delo da planta �1 � , ρ^1 ✝ do consequente da regra R do sistema de inferência Takagi-Sugeno para cada iteração � (� ✧ r1, 2, 3, 4①). . . . . � 2� 2� 2� 2� � Figura 22 Ű Estimativa recursiva dos parâmetros ρ^2 � ✝ ✔�1 �2 �0 �0 ✚ do mo✍1 � 2 delo da planta �2 � , ρ^2 ✝ do consequente da regra R do sistema de inferência Takagi-Sugeno para cada iteração � (� ✧ r1, 2, 3, 4①). . . . . 3� 3� 3� 3� � � Figura 23 Ű Estimativa recursiva dos parâmetros ρ^3 � ✝ ✔�1 �2 �0 �0 ✚ do mo✍1 � 3 delo da planta �3 � , ρ^3 ✝ do consequente da regra R do sistema de inferência Takagi-Sugeno para cada iteração � (� ✧ r1, 2, 3, 4①). . . . . � 4� 4� 4� 4� � Figura 24 Ű Estimativa recursiva dos parâmetros ρ^4 � ✝ ✔�1 �2 �0 �0 ✚ do mo✍1 � 4 delo da planta �4 � , ρ^4 ✝ do consequente da regra R do sistema de inferência Takagi-Sugeno para cada iteração � (� ✧ r1, 2, 3, 4①). . . . . Figura 25 Ű Comparação entre resposta do sistema real em malha aberta e resposta de simulação livre do sistema com os parâmetros estimados. . . . . .. . 79. . 80. . 80. . 81 . 82.

(12) Lista de tabelas Tabela 1 Ű Propriedades da abordagem direta para identiĄcação em malha fechada. Tabela 2 Ű Propriedades da abordagem indireta para identiĄcação em malha fechada. Tabela 3 Ű Propriedades da abordagem conjunta entrada-saída para identiĄcação em malha fechada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela 4 Ű Análise de complexidade (tempo) referente ao algoritmo de agrumpamento fuzzy Gustafson-Kessel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela 5 Ű Análise de complexidade (espaço) referente ao algoritmo de agrupamento fuzzy Gustafson-Kessel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela 6 Ű Hipervolume fuzzy para diferentes números de clusters. . . . . . . . . . � ✍1 Tabela 7 Ű Parâmetros do modelo da planta � � , ρ^� ✝ estimados com o algoritmo RIV fuzzy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela 8 Ű Índice de validação RMSE para diferentes metodologias. . . . . . . . .. 38 39 41 53 54 76 79 82.

(13) Lista de abreviaturas e siglas ARMA. Autoregressive Moving Average. BELS. Bias-Eliminated Least-Squares. BJ. Box-Jenkins. GK. Gustafson-Kessel. IVARMA. Instrumental Variable ARMA. MIMO. Multiple-Inputs Multiple-Outputs. MMF. Multimodel Framework. MMQ. Método Mínimos Quadrados. RIV. ReĄned Instrumental Variable. SISO. Single-Input Single-Output. TS. Takagi-Sugeno. VI. Variável Instrumental.

(14) Lista de símbolos Z. Conjunto de dados de identiĄcação;. �. Representação de um instante de tempo;. Z�. Conjunto de dados de validação;. M. Modelo;. θ. Vetor de parâmetros;. I. Informações adicionais no procedimento de identiĄcação;. �. Número total de amostras;. S. Representação genérica de um sistema;. �. Critério de desempenho;. �. Polarização de uma estimativa;. �. Esperança Matemática;. ã. Vetor de regressores;. � �✝. Erro de estimativa;. �0. Modelo da planta;. ��. Controlador;. �0. Modelo do ruído;. �1. Perturbação na ação de controle;. �2. Sinal de referência;. �0. Função de transferência da sensibilidade da entrada;. �0. Função de transferência da sensibilidade da saída;. P. Planta;. ρ. Vetor de parâmetros do modelo da planta;. η. Vetor de parâmetros do modelo do ruído;.

(15) Θ. Conjunto de parâmetros;. G0. Matriz de transferência do sistema;. H0. Matriz de transferência do ruído;. ÛA � ✝. Função de pertinência do elemento � ao conjunto A;. �. Universo de discurso;. A¯. Complemento do conjunto A;. �. Função da norma-s;. �. Função da norma-t;. ➇. Norma-t (produto algébrico ou operação min);. z�. Objeto (vetor composto por amostra de variável);. �. Número total de clusters;. �. Representação genérica de um cluster � ✧ r1, 2, . . . , �① (equivalentemente, representação de genérica de uma regra fuzzy);. ♦. Conjunto vazio;. v�. Protótipo (elemento mais representativo) do cluster �;. ��. Medida de distância do objeto z� ao protótipo v� ;. F�. Matriz de covariância fuzzy do �-ésimo cluster;. O. Comportamento limite;. M�. Modelo local do consequente da �-ésima regra fuzzy;. ��. Função de transferência do modelo do sistema da �-ésima regra fuzzy;. ��. Função de transferência do modelo do ruído da �-ésima regra fuzzy;. ρ�. Vetor de parâmetros do modelo do sistema �� ;. η�. Vetor de parâmetros do modelo do ruído �� ;. �. Número total de regras fuzzy;. ˜ x. Vetor de variáveis linguísticas;. F. Conjunto fuzzy;.

(16) �ℎ. Hipervolume fuzzy;. γ�. Grau de ativação da �-ésima regra fuzzy;. Ü� � ✝. Saída "livre"de ruído;. �. Erro de predição; �. Pré-Ąltro do algoritmo RIV fuzzy na �-ésima regra;. �2. �. Pré-Ąltro do algoritmo IVARMA fuzzy na �-ésima regra fuzzy;. �. Representação �-ésima iteração;. ρ^��. Estimativa do vetor de parâmetros do modelo �� na �-ésima iteração;. η^��. Estimativa do vetor de parâmetros do modelo �� na �-ésima iteração;. ^ �� P. Estimativa da matriz de covariância dos parâmetros do modelo do sistema �� na �-ésima iteração;. ^ �� Q. Estimativa da matriz de covariância dos parâmetros do modelo do ruído �� na �-ésima iteração;. �¯�. Instrumento da saída obtido pelo método indireto fuzzy;. �¯�. Instrumento da saída obtido pelo método indireto fuzzy;. �1.

(17) Trabalhos Publicados Artigo Aceito (Publicado em Congresso) 1. Velozo, H.A; Serra, G.L.O. Método Recursivo-Iterativo com Variável Instrumental ReĄnada para IdentiĄcação nebulosa indireta de sistemas não-lineares em MalhaFechada. XXI Congresso Brasileiro de Automática (CBA 2016). Vitória-ES, 2016.. Artigo Aceito em Revista 1. Velozo, H.A; Serra, G.L.O. Instrumental Variable Algorithm for Fuzzy Indirect IdentiĄcation of Closed-Loop Nonlinear Systems. IEEE America Latina 2017..

(18) Sumário 1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.2 1.3 1.4. INTRODUÇÃO . . . . . . . Considerações Iniciais . . . . Projeto de Experimento . . . . Estrutura de Modelo Não Linear Contexto da Pesquisa . . . . Contribuições . . . . . . . . . Organização do Trabalho . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 19 19 20 20 22 25 26. 2 2.1 2.1.1. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 27 27 31. 2.2.1.3. IDENTIFICAÇÃO EM MALHA FECHADA . . . . . . . . . IdentiĄcação de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriedades Estatísticas de Estimadores . . . . . . . . . . . . . . Polarização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Consistência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IdentiĄcação em Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . Abordagens de IdentiĄcação em Malha Fechada . . . . . . . . . . Abordagem Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abordagem Indireta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abordagem Conjunta Entrada-Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 3.1 3.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3. SISTEMA DE INFERÊNCIA FUZZY TAKAGI-SUGENO . . Cojuntos Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema de Inferência Takagi-Sugeno . . . . . . . . . . . . . . Agrupamento Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partição Rígida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partição Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algoritmo Gustafson-Kessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 42 42 45 48 48 49 50. 4 4.1 4.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.4. METODOLOGIA PROPOSTA . . . . . . . . . . . . . . . . Estrutura do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estimativa dos parâmetros do antecedente . . . . . . . . . . Estimação dos parâmetros do consequente . . . . . . . . . . IdentiĄcação do modelo do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . IdentiĄcação do modelo do ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método Indireto fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 55 55 58 60 62 66 69. 5. RESULTADOS EXPERIMENTAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. 2.1.1.1 2.1.1.2. 2.2 2.2.1 2.2.1.1 2.2.1.2. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 31 32. 32 36 37 38 39.

(19) 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6. Planta Térmica . . . . . . . . . Projeto do Experimento . . . . Agrupamento Fuzzy . . . . . . Estrutura do Modelo . . . . . . Estimativa Recursiva-Iterativa Resultados de Validação . . . .. 6 6.1 6.2. CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 REFERÊNCIAS. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 72 73 76 77 78 81. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.

(20) 19. 1 Introdução 1.1 Considerações Iniciais Um sistema é um objeto constituído por um conjunto de variáveis internas interdependentes (estados) em que suas interações e estímulos externos (entradas e perturbações) produzem sinais observáveis denominados saídas (LJUNG, 1999; ARRUDA; BARROS, 2007; KEESMAN, 2011). Esse conceito está presente nas mais diversas áreas de conhecimento tais como, matemática, engenharia, informática, economia, biologia, medicina, etc. Com isso, obter uma representação abstrata do sistema denominado modelo é de fundamental importância para adquirir ou ampliar conhecimentos de diferentes fenômenos, analisar o comportamento de processos através de simulação, controlar processos, estimar variáveis de estados que não podem ser medidas facilmente e projetar algoritmos de controle, dentre outras aplicações. Um modelo é um conjunto de regras que descrevem o comportamento do sistema fornecendo informações sobre uma ou mais variáveis observáveis (ARRUDA; BARROS, 2007). Em particular, um modelo matemático é um conjunto de equações (equações diferenciais, funções de transferência) utilizadas para descrever o comportamento de alguma variável de interesse. Essas equações são determinadas por um procedimento denominado modelagem. Geralmente, a modelagem matemática é realizada com base em algum conhecimento teórico sobre o sistema (modelagem caixa-branca), por exemplo, um modelo de um circuito RLC pode ser facilmente obtido com base nas Leis de Kirchhof das Tensões e Leis de Kirchhof das Correntes. Entretanto, quando a dinâmica do sistema é complexa ou não existe conhecimento teórico suĄciente que determina o comportamento do sistema, a atividade de modelagem caixa-branca pode ser inviável ou até mesmo impossível. Para esses casos, pode-se obter equações diferenciais genéricas através de um conjunto de dados de entrada e saída do sistema por meio de um procedimento de identiĄcação de sistemas. Esse procedimento é composto de algumas etapas básicas: coleta de informações (o experimento), selecionar a estrutura do modelo para representar o sistema (a modelagem), selecionar os parâmetros do modelo (segundo um critério de qualidade) a partir dos dados coletados (a estimação dos parâmetros) e analisar a qualidade do modelo obtido (a validação do modelo). Nesta dissertação, a metodologia de identiĄcação proposta possui particularidades em todas essas etapas. Em particular, este trabalho está focado no projeto de experimento e na escolha da estrutura do modelo, conforme discutido a seguir..

(21) Capítulo 1. Introdução. 20. 1.1.1 Projeto de Experimento Na etapa de projeto de experimento, quanto a forma de coleta dos dados, pode-se distinguir os método de identiĄcação em identiĄcação em malha aberta e identiĄcação em malha fechada. Na grade maioria das vezes, os métodos de identiĄcação são realizados com dados coletados em malha aberta. Dessa forma, os dados de entrada do sistema são descorrelacionados com o ruído, pois não existe mecanismo de realimentação e a saída do sistema é a própria resposta do sistema à uma excitação. Entretanto, na prática, os sistemas operam em malha fechada e na grande maioria das vezes a realimentação não pode ser removida por vários fatores (MENDES, 2007), dentre eles pode-se citar: i) a realimentação é parte do mecanismo físico que gera os dados; ii) a retroação na planta industrial não pode ser aberta pelos seguintes motivos: • Segurança; • Continuidade; • Fatores econômicos. iii) A complexidade física do processo é tal que impede a manipulação do sistema; iv) O sistema tem comportamento instável quando em malha aberta; v) Testes em malha fechada são mais práticos de serem realizados. Além dessas limitações, outra razão para identiĄcar sistemas em malha fechada são as vantagens que esta possui quando o objetivo principal é o projeto de um controlador com desempenho superior ao já existente (MENDES, 2007 apud HOF, 2004, p. 141). Esta área de estudo é denominada IdentiĄcação para Controle. Com isso, torna-se necessário a utilização de métodos de identiĄcação em malha fechada. Nesta forma de identiĄcação, os dados de entrada do sistema são correlacionados com ruído. Esse fato leva a limitações dos métodos tradicionais de estimativa paramétrica como, por exemplo, o método mínimos quadrados (MMQ) que obtém estimativas polarizadas e inconsistentes (HOF, 1998; FORSSELL; LJUNG, 1999; AGUIRRE, 2015). Na próxima seção, é introduzida a problemática de identiĄcação de sistemas não lineares em malha fechada.. 1.1.2 Estrutura de Modelo Não Linear Uma importante classiĄcação de modelos matemáticos é quanto à sua linearidade. Modelos lineares são os mais utilizados na prática e com estudos consolidados na literatura, pois suas estrutura matemática é mais simples e eĄciente na modelagem de muitos sistemas encontrado na prática. Entretanto, a maioria dos sistemas reais são complexos, não lineares, estocásticos e operam em malha fechada. Quando o sistema é não.

(22) Capítulo 1. Introdução. 21. linear, pode-se realizar aproximações lineares para regiões de operação do sistema onde um modelo linear pode ser utilizado. Neste caso, regimes dinâmicos não lineares podem ser desconsiderados e aplicação de técnicas lineares de identiĄcação em malha fechada podem ser utilizadas, já que pequenas perturbações nesses sistemas não levam a sistemas não lineares ou caóticos. Porém, em situações onde a dinâmica não-linear do sistema não pode ser ignorada, é necessário técnicas de identiĄcação de sistemas não-lineares em malha fechada. Neste sentido, em Aguirre (2015), justiĄca-se como principal razão da utilização de modelos não-lineares, a necessidade da representação de regimes dinâmicos que modelos lineares não podem representar como: parâmetros variantes, ciclos limite, bifurcações, regimes quasi-periódicos, caóticos, histerese e zona morta. Na atualidade, o problema de identiĄcação de sistemas não lineares representa a área mais ativa em identiĄcação de sistemas. Apesar disso, a identiĄcação de sistemas dinâmicos não lineares em malha fechada é considerado um dos problemas em aberto em teoria de identiĄcação de sistemas (LJUNG, 2010a, p. 6). No presente trabalho, aborda-se o problema de identiĄcação de sistemas não lineares em malha fechada utilizando a metodologia multimodel framework (MMF) reconhecida na literatura por sua tratabilidade matemática, simplicidade e transparência (ADENIRAN; FERIK, 2016). Nesta metodologia, um modelo global não linear é decomposto em modelos locais lineares. Para essa Ąnalidade, a estutura de modelo global utilizada foi o sistema de inferência fuzzy Takagi-Sugeno (TS) (TAKAGI; SUGENO, 1985) constituído de regras fuzzy onde no consequente dessas regras encontra-se uma estrutura de modelo Box-Jenkins (BJ) (BOX; JENKINS, 1970; PINTELON; SCHOUKENS, 2006) contendo um modelo do ruído ARMA (do inglês, autoregressive moving average) caracterizando a função de transferência estocástica do consequente de cada regra. O procedimento de partição desses modelo global não linear é baseado em um agrupamento nebuloso do conjunto de dados experimentais realizado com o algoritmo de agrupamento Gustafson-Kessel (GK) que determina os conjuntos fuzzy do antecedente das regras fuzzy. Além das vantagens da metodologia MMF na abordagem do problema de identiĄcação de sistemas dinâmicos não lineares anteriormente citadas, com o particionamento do modelo global não linear em modelos locais representados com a estrutura BJ, técnicas de identiĄcação de sistemas lineares em malha fecha podem ser adaptadas para o contexto não linear, tendo em vista que vários trabalhos considerando essa estrutura para identiĄcação de sistemas lineares são encontrados na literatura (HOF; SCHRAMA, 1993b; GEVERS; LJUNG; HOF, 2001b; GILSON; HOF, 2005; GILSON et al., 2006; TóTH et al., 2012)..

(23) Capítulo 1. Introdução. 22. 1.2 Contexto da Pesquisa Ao longo dos anos, várias pesquisas foram realizadas para o desenvolvimento de técnicas especíĄcas para a identiĄcação de sistemas lineares em malha fechada. Para uma visão geral sobre esse tema, os trabalhos de Hof (1998) e Forssell e Ljung (1999) apresentam revisões sobre as principais abordagens e metodologias. Em estimação paramétrica com dados coletados em malha fechada, as três principais abordagens utilizadas são abordagem direta, abordagem indireta e abordagem conjunta entrada/saída (SODERSTROM; STOICA, 1989) que podem ser distinguidas pela forma como os parâmetros do modelo da planta são estimados e pela maneira como a contribuição do ruído na entrada é eliminado. Dessas abordagens, utiliza-se com maior frequência a primeira em contextos como controle preditivo (CAMACHO; ALBA, 2007) e controle adaptativo (ASTROM; WITTENMARK, 2008), justiĄca-se isso pela simplicidade dessa abordagem, pois o mecanismo de realimentação é simplesmente desconsiderado e métodos padrões de identiĄcação em malha aberta podem ser aplicados. Por sua vez, a abordagem indireta, proposta por Lindberger (1972), distingui-se da abordagem direta principalmente pela utilização de sinais externos como, o sinal de referência do sistema em malha fechada. Dentro dessa abordagem, se o controlador e o sinal de referência (ou qualquer outro sinal externo) são conhecidos, o método de identiĄcação indireta pode ser utilizado. Neste método, a realimentação pode ser considerada não linear Id., 1999, p. 1220 e descrições sobre o mesmo são encontradas em Hof e Callafon (1996) e Hof (2012). Outro método inserido nessa abordagem é o método de identiĄcação por fatores coprimos, onde as duas etapas descritas anteriormente são realizadas simultaneamente por meio da representação do sistema por um produto de fatores coprimos (HOF, 1998). Esse método é discutido detalhadamente em Id., 1995. Além desses métodos, o método de Parametrização Dual-Youla (DESOER et al., 1979) aplicado a identiĄcação de sistemas em malha fechada também está inserido na abordagem indireta. Esse método é discutido no contexto de sistemas mutivariáveis em Hof e Callafon (1996). Como mencionado anteriormente, a terceira abordagem de identiĄcação é a abordagem conjunta entrada-saída. Nesta abordagem, o controlador é considerado desconhecido. Pertencente a essa abordagem, dentre outros, encontram-se o método de dois-estágios e o método da projeção. O primeiro foi proposto por Hof e Schrama (1993b) que consiste em duas etapas de identiĄcação utilizando procedimentos padrões de identiĄcação em malha aberta. Esse método foi aplicado com sucesso em processos industriais como, um triturador de cana de açúcar (PARTANEN; BITMEAD, 1995) e uma planta de cristalização (EEK et al., 1996). Apesar de sua relativa simplicidade e robustez, esse método falha se o controlador for não linear e/ou possui algum sinal de perturbação desconhecido Id., 1999, p. 1224. Essa limitação pode ser contornada utilizando-se o método da projeção (FORSSELL; LJUNG, 2000). Em Gevers, Ljung e Hof (2001b), um estudo sobre as.

(24) Capítulo 1. Introdução. 23. expressões de variância assintóticas de modelos obtidos com base em dados coletados em malha fechada é realizado para abordagem direta e abordagem indireta. Na década passada, vários estudos sobre a aplicação de variável instrumental (VI) em identiĄcação de sistema dinâmicos lineares em malha foram realizados. Em Gilson e Hof (2001), realiza-se uma análise comparativa entre o método de correção de polarização BELS (do inglês, bias-eliminated least-squares) para o método de identiĄcação indireta proposto em Zheng e Feng (1995) e um estimador básico de VI aplicado em um preditor em função dos parâmetros da planta e do controlador. Vários métodos de identiĄcação de sistema lineares em malha fechada utilizando VI são propostos em Id., 2005. Nesse trabalho, o projeto, a escolha e o tipo de instrumentos são analisados para o estimador VI estendido. Além disso, apresenta-se um estimador com variância mínima, porém com a exigência do conhecimento exato do modelo do ruído. Em Gilson et al. (2008), métodos de VI para identiĄcação de sistemas lineares em tempo contínuo com base em dados coletados em malha fechada são propostos. Os mesmos autores apresentam em (GILSON et al., 2009) um algoritmo de estimativa paramétrica com propriedades estatísticas ótimas, RIV (do inglês, ReĄned Instrumental Variable), aplicado para identiĄcação de sistemas dinâmicos lineares em malha fechada. Esse algoritmo é discutido com detalhes em Young (2011) e Young (2015). Em Tóth et al. (2012), o algoritmo RIV é aplicado a sistemas lineares em malha fechada com parâmetros variantes no tempo utilizando uma estrutura de modelo BJ. Em Agüero, Goodwin e Hof (2011), uma generalização da abordagem direta e abordagem indireta é proposta denominada VCL (do inglês, virtual closed loop). Essa abordagem, possui como vantagens: robustez ao conhecimento inexato do controlador, não depende da linearidade do controlador e nem do modelo exato do ruído. Recentemente, os métodos de identiĄcação de sistemas dinâmicos lineares vêm sendo aplicados em diferentes contexto. Por exemplo, no contexto de identiĄcação para controle, a identiĄcação em malha fechada é utilizada para sintonia de controladores PI (do inglês, Propotional Integral) e PID (do inglês, Propotional Integral Derivative) no controle de válvuala de estrangulamento encontradas em campos petrolíferos ofshore robusto a grades perturbações de entrada e mudanças na planta (JAHANSHAHI; SKOGESTAD, 2013). Outra aplicação nesse contexto é o controle robusto de um veículo utilizando um modelo obtido com dados coletados em malha fechada (KATO; IGARASI; HIDAKA, 2013). Em Tavakoli-Kakhki e Tavazoei (2014), a estabilização proporcional de um processo instável com atraso puro de tempo operando em malha fechada e um algoritmo para identiĄcar esse processo são apresentados. Em González et al. (2014), um MPC (do inglês, Model Predictive Control) é proposto que garanta a estabilidade e um sinal adequado para identiĄcação em malha fechada. Um MMQ iterativo para identiĄcação de sistemas lineares multivariáveis em malha fechada é proposto por Jin, Wang e Wang (2014). Em Hou, Chen e Liu (2015), um método de subespaço recursivo para identiĄcação de sistemas lineares em malha fechada é proposto. Uma software denominado ITCLI (do inglês, Interactive.

(25) Capítulo 1. Introdução. 24. Tool for closed-Loop IdentiĄcation) para compreensão dos conceitos de identiĄcação de sistemas LTI (do inglês, Linear Time Invariante) e SISO (do inglês, Single-Input SingleOutput) operando em malha fechada é proposto em Guzmán et al. (2014) e Rivera et al. (2015). Um método de identiĄcação em malha fechada foi utilizado para obter um modelo para atividades elétricas da musculatura esquelética obtidas por meio de EMG (do inglês, electromyogram) (GOLKAR; KEARNEY, 2015). Em Shardt, Huang e Ding (2015), um importante estudo sobre excitação mínima para identiĄcabilidade de sistemas em malha fechada é realizado. Uma algoritmo de VI é utilizado para identiĄcar um sistema em malha fechada com uma estrutura BJ para sintonia de um PID é apresentado em Li, Li e Cao (2015). Em Jiang et al. (2015), um novo algoritmo de VI é proposto para identiĄcação de sistema dinâmicos lineares em malha fechada na presença de ruído colorido. Para esse mesmo tipo de sistema, em Jiang et al. (2016), o método GIV (do inglês, Generalized Instrumental Variable) é proposto. Um método de identiĄcação on-line de sistemas em malha fechada aplicado a processos químico é proposto em Cao et al. (2016). Conforme pode ser observado no contexto apresentado até aqui, a maioria dos trabalhos relacionados com identiĄcação de sistema em malha fechada supõem que o sistema seja linear. Entretanto, na maioria das situações práticas, os sistemas operando em malha fechada são não lineares e estão sujeitos aos mais diversos tipos de perturbações. Dai a necessidade de estudos relacionados a identiĄcação de sistemas não lineares em malha fechada. Um dos primeiros trabalhos a abordar essa problemática foi proposto em Dasgupta e Anderson (1996). Nesta trabalho, o método de parametrização Dual-Youla é generalizado para plantas não lineares. Outro trabalho pioneiro foi desenvolvido em Linard, Anderson e Bruyne (1997), onde dois métodos tradicionais de identiĄcação de sistemas em malha fechada são estendidos para o contexto não linear: identiĄcação por fatores coprimos (abordagem indireta) e método de dois-estágios (abordagem conjunta entradasaída). Esse mesmo trabalho é apresentado com mais detalhes em Linard, Anderson e Bruyne (1999). Em Fujimoto, Anderson e Bruyne (2000) e Fujimoto, Anderson e Bruyne (2001), utiliza-se o conceito de representação de kernel para converter um problema de identiĄcação de sistema não linear em malha fechada em um problema de identiĄcação de sistema não linear em malha aberta. Um algoritmo recursivo para identiĄcação de sistemas não lineares de tempo contínuo com dados experimentais coletados em malha fechada é proposto em Landau, Anderson e Bruyne (2001). Em Garrido e Miranda (2009), propõem-se uma abordagem para identiĄcação com dados coletados em malha fechada de um servomecanismo não linear. Em Laurain, Gilson e Garnier (2009), um método de identiĄcação de sistemas não lineares em malha fechada representado por um modelo Hammerstein e utilizando o método RIV é proposto. Entretanto, nesta abordagem saída do bloco não linear é dada por uma soma de funções de base consideradas conhecidas. Um método baseado em gradiente iterativo para identiĄcar de forma simultânea uma válvula de combustível de característica não linear e, uma planta linear em aplicações de turbina.

(26) Capítulo 1. Introdução. 25. a gás utilizando conhecimento a priori da não linearidade e da dinâmica do motor é proposto em Holcomb, Callafon e Bitmead (2014). O algoritmo GSA (do inglês, Gravitational Search Algorithm) é utilizado para otimização da função de aptidão baseada no erro quadrático médio na identiĄcação de um modelo Hammerstein em malha fechada (PAL et al., 2015). Em Jeng e Chen (2016), uma nova abordagem com método de subespaço é proposto para identiĄcação de sistemas não lineares em malha fechada representados pela estrutura de modelo Hammerstein. Em uma linha mais próxima da desenvolvida nesta dissertação, uma técnica de identiĄcação em malha fechada combinando parametrização Dual-Youla e sistema de inferência Takagi-Sugeno é proposta em (ABOUKHEIR, 2010). Entretanto, na simulação apresentada nessa metodologia desconsidera-se a presença de ruído e as funções de pertinências são projetadas com base no conhecimento a priori do sistema. Dado contexto de identiĄcação em malha fechada aqui apresentado, a presente dissertação propõem uma metodologia de identiĄcação de sistemas não lineares estocásticos utilizando a abordagem MMF com base em um sistema de inferência fuzzy TS. Duas abordagens padrões de identiĄcação em malha fechada foram utilizadas: abordagem indireta e abordagem conjunta entrada-saída. Na primeira abordagem, uma extensão para contexto fuzzy do método RIV para identiĄcação de sistemas dinâmicos lineares em malha fechada GILSON et al., op. cit. é desenvolvida e utilizada para estimar os modelos locais com estrutura BJ presentes no consequente de cada regra fuzzy. Na segunda abordagem, utiliza-se uma adaptação do método da projeção FORSSELL; LJUNG, op. cit. também para o contexto fuzzy.. 1.3 Contribuições Neste trabalho, propõem-se uma metodologia de identiĄcação de sistemas não lineares estocásticos com dados coletados em malha fechada, cujo as principais contribuições são: 1. Abordagem do problema de identiĄcação de sistema não lineares estocástico com Multimodel Framework que possibilita particionar o problema de identiĄcação de um modelo global não linear em modelo locais mais simples. 2. Formulação do problema de identiĄcação de sistemas não lineares estocásticos em malha fechada representados por sistema de inferência fuzzy Takagi-Sugeno; 3. Extensão da metodologia de identiĄcação de sistemas lineares em malha fechada utilizando variável instrumental reĄnada proposta em Gilson e Hof (2005) e Gilson et al. (2011) para o contexto de identiĄcação fuzzy de sistemas não lineares estocásticos utilizando RIV fuzzy..

(27) Capítulo 1. Introdução. 26. 1.4 Organização do Trabalho Este trabalho esta organizado da seguinte maneira: • Capítulo 2: faz uma introdução sobre identiĄcação de sistema discutindo cada uma das suas principais etapas e as particularidades dessas etapas para identiĄcação de sistemas em malha fechada. A formulação matemática de identiĄcação de sistemas lineares é mostrada. Além disso, as principais abordagem de identiĄcação em malha fechada são discutidas; • Capítulo 3: o conceito de conjuntos fuzzy e a estrutura do sistema de inferência fuzzy Takagi-Sugeno são introduzidos e suas particularidades são discutidas. Além disso, o conceito de agrupamento fuzzy é deĄnido. Por Ąm, apresenta-se o algoritmo de agrupamento fuzzy Gustafso-Kessel; • Capítulo 4: é proposto uma metodologia de identiĄcação de sistemas dinâmicos não lineares estocásticos em malha fechada baseada na abordagem multimodel framework (MMF) utilizando sistema de inferência fuzzy Takagi-Sugeno. Nesta metodologia, os parâmetros do antecedente de cada regra fuzzy são estimados utilizando o algoritmo Gustafson-Kessel e os parâmetros do consequente são estimados de forma recursivaiterativa com o algoritmo de variável instrumental reĄnada fuzzy; • Capítulo 5: os resultados obtidos na aplicação da metodologia proposta na identiĄcação de uma planta térmica com dados coletados em malha fechada são analisados e discutidos; • Capítulo 6: as conclusões e propostas para trabalhos futuros são apresentas..

(28) 27. 2 IdentiĄcação em Malha Fechada Este capítulo tem como objetivo apresentar uma introdução à identiĄcação de sistemas, formular o problema de identiĄcação de sistemas em malha fechada e mostra uma revisão bibliográĄca sobre as principais abordagens de identiĄcação de sistemas dinâmicos lineares. Na Seção 2.1 são apresentados o conceito de identiĄcação de sistemas e o procedimento de modelagem de sistemas por meio de identiĄcação utilizando dados experimentais. Além disso, expõem-se os principais conceitos sobre propriedades estatísticas do método mínimos quadras e sua limitação para o caso de utilização de dados experimentais coletados em malha fechada. Por Ąm, discutem-se as principais abordagens de identiĄcação de sistemas dinâmicos lineares: abordagem direta, abordagem indireta e abordagem conjunta entrada-saída.. 2.1 IdentiĄcação de Sistemas Segundo Ljung (2010b), a identiĄcação de sistemas é a arte e ciência que tem como objetivo principal a construção de modelos matemáticos a partir de dados de medições de um sistema que melhor representam o comportamento do mesmo. O conhecimento desses modelos é de grande importância para várias áreas do conhecimento, possibilitando uma interface entre o mundo real de aplicações e o mundo matemático de ciência exatas, ciências naturais, economia e engenharia. Do ponto de vista matemático, um sistema consiste em um conjunto de variáveis interdependentes (variáveis internas) que interagem e sofrem estímulos externos por meio de perturbações (não acessíveis) e entradas (acessíveis para manipulação) produzindo sinais observáveis de saída. Como exemplo de sistema pode-se citar, dentre outros, automóveis, aviões, máquinas elétricas, circuitos elétricos, fornos, algoritmos, robôs, etc. Esses sistemas podem ter uma representação simpliĄcada do seus comportamentos reais por meio de um modelo que fornece informações temporal de uma ou mais variáveis observadas. Estes modelos podem ser classiĄcados como, mentais, gráĄcos, algorítmicos e matemáticos. Neste trabalho, será representado uma estrutura de modelo M como um � mapeamento de conjunto de parâmetros DM ▲ R para um conjunto de modelos M. Cada vetor de parâmetros θ ✧ DM é a associado a um modelo M θ ✝ do conjunto de modelos M. Com isso, o problema da identiĄcação de sistemas consiste em construir uma estrutura de modelo M e estimar o vetor de parâmetros θ que seja o mais semelhante quanto possível ao sistema dinâmico real para sua relação entrada/saída. O grau de complexidade C da estrutura do modelo M representa o quão ŞidênticoŤ deseja-se que o modelo seja ao sistema, ou seja, dependendo da Ąnalidade da utilização do modelo pode-se utilizar modelo.

(29) 28. Capítulo 2. IdentiĄcação em Malha Fechada. simples como uma equação diferencial de primeira ordem até estruturas mais complexas como redes neurais ou sistemas de inferência fuzzy. � ✒�v pertencente ao Dada essas considerações, seja uma matriz de dados Z ✧ R conjunto de dados de medição Z, de número total de amostras � e número de variáveis observáveis �� , em identiĄcação em malha aberta, entrada e saída do sistema. Para modelos paramétricos, o processo de identiĄcação de um sistema S consiste em dado o conjunto de dados de observações Z conhecido como dados de estimativa (ou dados de treinamento), encontra-se uma estrutura de modelo (modelagem) M e um vetor de parâmetros θ ✧ DM que represente o comportamento do sistema atendendo um critério de desempenho � θ, Z ✝. O procedimento seleção dos parâmetros θ guiados pelos dados observados é conhecido como estimativa (ou aprendizagem) paramétrica. Nesse sentido, a identiĄcação de sistema caixa preta consiste em um mapeamento de uma matriz de dados � de estimativa Z ✧ Z para uma estrutura de modelo M θ ✝, conforme ilustra a Figura � 1. Se além do conjunto de dados Z , o procedimento de identiĄcação utilizar informação � auxiliar I, que não se encontra no conjunto de dados dinâmicos Z , esse procedimento é denominado de identiĄcação caixa cinza, conforme ilustra a Figura 2. Dados. Técnica de Modelo Identificação. Figura 1: Representação gráĄca do mapeamento do conjunto de dados de treinamento � Z para o modelo M θ ✝ realizado por meio de uma técnica de identiĄcação (identiĄcação caixa preta).. Dados Informação. Técnica de Modelo Identificação. Figura 2: Representação gráĄca do mapeamento do conjunto de dados de treinamento � Z e informações adicionais I para o modelo M θ ✝ realizado por meio de um técnica de identiĄcação (identiĄcação caixa cinza). O processo de modelagem do sistema por meio de identiĄcação possui algumas etapas básicas ilustradas na Figura 3 e descritas a seguir: �. • Projeto do experimento: consiste na coleta de dados Z que possuam informação adequada e suĄciente para aplicação de interesse, ou seja, a dinâmica do sistema deve está bem representada nos dados coletados. Essa etapa consiste em escolha das entradas, escolha dos sinais de excitação e escolha do tempo de amostragem. Sendo.

(30) Capítulo 2. IdentiĄcação em Malha Fechada. 29. os tipos de sinais utilizados para excitação: constante, impulso, degrau, retangular, PRBS (Pseudo-Random Binary Sequence) e entradas multissenos; • Escolha da estrutura do modelo: A escolha da estrutura tem importância fundamental na identiĄcação de sistemas e deve ser feita levando em consideração as características do sistema. Em Nelles (2001) são propostos os seguintes tópicos orientadores para escolha da estrutura do modelo M: tipo do problema, uso do modelo, dimensão do problema, qualidade e quantidade de dados disponíveis e complexidade do sistema. Outro ponto importante na escolha da estrutura do modelo M é a complexidade C. Um exemplo para complexidade C para uma estrutura de modelo linear seria a escolha da ordem e dos termos do modelo. Em Mendes (2007) são apresentados alguns critérios para escolha da complexidade de um modelo: Critério de Informação de Akaike (AIC) (AKAIKE, 1974), Erro de Predição Final (FPE)(AKAIKE, 1974), KhundrinŠs Law of Iterated Logarithm Criterion (LILC) (HANNAN; QUINN, 1979), Critério de Informação Bayesiano (BIC) (KASHYAP, 1977) e RissanenŠs Minimal Description Length (MDL) (RISSANEN, 1986); • Escolha do critério de desempenho: o critério de desempenho � consiste em uma medida escalar utilizada para veriĄcar a capacidade do modelo M θ ✝ em representar o sistema. Para essa Ąnalidade, o método mais utilizado é o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) que minimiza a soma do quadrado dos erros. • Estimativa dos parâmetros: essa etapa é realizada por um algoritmo de estimativa paramétrica que com base na estrutura do modelo M, na complexidade do modelo C e no critério de desempenho �. No caso de um modelo paramétrico, a estimativa do vetor de parâmetros θ. Quanto a forma de processamento do conjunto � de dados Z , o procedimento de estimativa utilizados pelos algoritmos estimadores podem ser classiĄcados em: estimativa em batelada e estimativa recursiva. Na pri� meira forma de estimativa, o conjunto de dados Z é processado em sua totalidade de uma só vez. Na segunda forma, a estimativa é em função da �-ésima amostra, ou seja, para cada amostra � o um vetor de parâmetros θ k✝ é estimado; • Validação: o procedimento de validação consiste na análise da capacidade do modelo estimado M θ^✝ em representar a dinâmica do sistema para um conjunto de � dados de validação Z� distintos do conjunto de dados utilizados para realizar a estimativa do modelo. Essa análise pode ser feita utilizando um dos procedimentos básicos de validação: validação estatística e validação dinâmica. Na validação estatística, considera-se que para um modelo ser consistente, os resíduos devem ser semelhantes ao ruído branco, ou seja, uma sequencia de valores independentes e identicamente distribuídos. No caso de validação de modelos não lineares, é necessários que o vetor resíduo apresente correlações não lineares. Para atender essa.

(31) 30. Capítulo 2. IdentiĄcação em Malha Fechada. Ąnalidade, um conjunto de funções para validação de modelos não lineares identiĄcados é mostrado em BlLLINGS e VOON (1986) e Billings (2013). Na validação dinâmica, o modelo estimado é testado com um novo conjunto de dados de validação � Z� . Geralmente, é realizado apenas uma inspeção visual por meio de uma simulação ou utiliza-se um índice de estimação para predição simulada, por exemplo, RMSE (Root-Mean-Square-Error). �. Quanto a forma de coleta dos dados Z , a identiĄcação de sistemas pode ser classiĄcada em: identiĄcação em malha aberta e identiĄcação em malha fechada. Na primeira forma de identiĄcação, os dados são coletados do sistema operando sem mecanismo de realimentação. Nessa condição, a entrada do sistema não possui correlação com ruído. No � segundo tipo de identiĄcação, os dados em Z são coletados com o sistema operando com realimentação. Dessa forma, os dados de entrada do sistema são correlacionados com o ruído. �. Como pode ser observado na Figura 3, a matriz de dados Z (coletada em malha ^ aberta ou malha fechada) é uma das entradas do procedimento de estimativa do modelo θ. � Dependendo da forma como Z foi coleta, o algoritmo de estimativa paramétrica possuirá problemas de polarização e consistência. A seguir, apresenta-se uma introdução a esses problemas. Conhecimento a-priori. Projeto do Experimento. Dados. Escolha da Estrutura do Modelo. Escolha do Critério de Desempenho. Estimativa dos Parâmetros. Valide o modelo Insucesso:. Sucesso: use o modelo. revise. Figura 3: Representação gráĄca do processo de identiĄcação..

(32) 31. Capítulo 2. IdentiĄcação em Malha Fechada. 2.1.1 Propriedades Estatísticas de Estimadores 2.1.1.1 Polarização A polarização é deĄnida como o valor esperado da estimativa θ^ e o valor real θ, em notação matemática: � ✂ � ✒θ^✘ ✍ θ (2.1) onde � ✒ ✘ representa a esperança matemática, θ^ é um vetor de variáveis aleatórias e θ é determinístico (mesmo que seu valor não seja conhecido a-priori). Dessa forma, a seguinte representação de um modelo dinâmico pode ser dada por: � �✝. å. �. � ✍ 1✝θ ✑ � � ✝,. (2.2). �. onde å � ✍ 1✝ representa o vetor de regressores e � � ✝ é o erro cometido na tentativa de explicar o valor observado � a partir do vetor de regressores e do vetor de parâmetros θ. Assim, o modelo dinâmico descrito em (2.2) pode ser reescrito como: y�. y�. ❩ � 1✝ ❬ ❫ ❴ ❫ ❴ ❫ ❴ ❫ ❴ ❫ ❴ ❴ ❫ � 2 ✝ ❴ ❫ ❴ ❫ ;Ψ ❴ ❫ ❴ ❫ ❫ ✝ ❴ ❴ ❫ ❫ ❴ ❫ ❴ ❫ ❫� � ✝❴ ❴ ❭ ❪. (2.3). Ψθ ✑ e � ❩ å 1✝ ❬ ❫ ❴ ❫ ❴ ❴ ❫ ❴ ❫ � ❴ ❫ ❴ ❫ å 2 ✝ ❴ ❫ ❴ ❫ ;e ❫ ❴ ❫ ❴ ❫ ❴ ✝ ❫ ❴ ❫ ❴ ❫ ❴ � ❫ ❫å � ✝❴ ❴ ❭ ❪. ❩ � 1✝ ❬ ❫ ❴ ❫ ❴ ❫ ❴ ❫ ❴ ❫ ❴ ❫ ❴ � 2 ✝ ❫ ❴ ❴ ❫ ❴ ❫ ❴ ❫ ❫ ✝ ❴ ❴ ❫ ❴ ❫ ❴ ❫ ❫ ❴ ❫� � ✝❴ ❪ ❭. (2.4). onde y� , Ψ e e são o vetor de observação, a matriz de regressão e o vetor de erro, respectivamente. Com base na formulação apresentada em Aguirre (2015), pode-se realizar uma análise das condições necessárias para um estimador não ser polarizado. A partir da equação matricial do modelo dinâmico em (2.3) é possível obter o vetor de parâmetros da seguinte maneira: θ^ Ay (2.5) onde A é uma matriz cujo elementos dependem dos regressores. Dessa forma, utilizando a deĄnição de polarização deĄnida em (2.1) tem-se: b. � ✒Ay✘ ✍ θ, � ✒A Ψθ ✑ e✝✘ ✍ θ, � ✒AΨθ ✑ Ae✘ ✍ θ � ✒AΨθ ✘ ✍ θ ✑ � ✒Ae✘ � ✒AΨ ✍ � ✘θ ✑ � ✒Ae✘.. (b. (2.6). Conforme pode ser observado em (2.6), para que o estimador não seja polarizado 0), as seguintes considerações devem ser satisfeitas:.

(33) 32. Capítulo 2. IdentiĄcação em Malha Fechada. Consideração 2.1.1 O produto da matriz A com a matriz de regressores deve ser igual a matriz identidade, em representação matemática, AΨ �. Consideração 2.1.2 A matriz A e o vetor erros e são estatisticamente independentes. Portanto � ✒Ae✘ � ✒A✘� ✒e✘. Consideração 2.1.3 O erro deve ter média nula, ou seja, � ✒e✘. 0.. Consideração 2.1.4 O vetor de erros e é ortogonal às linhas de A, ou seja, � ✒Ae✘. 0.. A Consideração 2.1.1 refere-se ao estimador em si e as Considerações 2.1.2 e 2.1.3 referem-se aos dados observados e à estrutura do modelo M. A Consideração 2.1.2 equivale ao modelo M θ^✝ ser capaz de representar o comportamento dinâmico presente nos dados, � ou seja, o modelo ψ θ^ consegue explicar informações contida em y� . A Consideração 2.1.4 consiste em uma interpretação geométrica das considerações 2.1.2 e 2.1.3. Pode ser veriĄcado que para identiĄcação de sistemas dinâmicos com dados coletados em malha fechada as Considerações 2.1.2 e 2.1.3 não podem ser atendidas. 2.1.1.2 Consistência Se a estimativa θ converge em probabilidade para o valor verdadeiro θ, o estimador utilizado para obtê-la é dito consistente, em termos matemáticos: � ��✒➯ lim θ^ � ✝ ✍ θ ➯ �. ➍. 0✘. 1. (2.7). Conforme pode ser observado em (2.7), um estimador é consistente, quando � ➍, a estimativa converge para o valor verdadeiro, ou seja, o estimador é assintoticamente não polarizado � ✒lim� ➍ θ^ � ✝✘ θ. Outra forma de analisar a consistência de um estimador é dada por: � lim � ✕✂θ^ ✍ θ ✟ ✂θ^ ✍ θ ✟ ✛ 0, (2.8) �. ➸➍. ou seja, a variância do valor esperado tende a zero a medida que �. ➸ ➍.. 2.2 IdentiĄcação em Malha Fechada Na prática, a maioria dos sistemas reais são controlados com base em mecanismo de realimentação e como visto na subseção 1.1.1 existem fatores (por exemplo, segurança, continuidade, fatores econômicos e instabilidade do sistema em malha aberta) que impossibilitam a remoção desse mecanismo para realização de experimentos em malha aberta..

(34) 33. Capítulo 2. IdentiĄcação em Malha Fechada. Além disso, alguns sistemas possuem mecanismo de realimentação inerentes como, sistemas biológicos e econômicos (HOF, 2012). Outra razão para o estudo e desenvolvimento de métodos de identiĄcação em malha fechada, conforme mostrado em Hof (2009), os modelos identiĄcados utilizando técnicas de identiĄcação em malha fechada capturam as características dinâmicas essenciais para projeto de controladores. Isso se deve pelo fato de um sistema identiĄcado com dados experimentais coletados em malha fechada garantir a qualidade do modelo (não polarizado e consistente) em regiões de frequência onde a planta opera. A seguir, será apresentado a formulação para obtenção do sistema de geração de dados S para um sistema linear operando em malha fechada. Considerando o sistema descrito no diagrama de blocos ilustrado na Figura 4, o sistema de geração de dados S pode ser representado da seguinte forma: � �✝ � 0 � ✝� � ✝ ✑ �0 � ✝� � ✝ (2.9) � �✝ �� ✝✒�2 � ✝ ✍ � � ✝✘ ✑ �1 � ✝ �✒� �✒� �✒� onde �� ✧ R , �0 ✧ R e �0 ✧ R representam as matrizes de transferência do controlador, do modelo do sistema e do modelo do ruído, respectivamente. Além disso, os � � sinais �1 ✧ R e �2 ✧ R representam os sinais externos ruído aditivo do atuador e sinal de referência, respectivamente. O sinal aleatório � � ✝ consiste em uma distribuição normal 2 � �✝ N 0, à ✝ e Ý � ✝ representa um ruído colorido, ambos não são mensuráveis. Os � � sinais � � ✝ ✧ R e � � ✝ ✧ R representam as � entradas do sistema (ações de controle) e as � saídas do sistema em malha fechada, respectivamente. Alguns métodos de identiĄcação em malha fechada, em especial métodos com variável instrumental, utilizam o inverso de um modelo do ruído como mecanismo de pré-Ąltragem para projeto de instrumentos. Dessa forma, faz-se necessário a Consideração 2.2.1 para garantir que o modelo do ruído é inversamente estável. S✇. + -. +. +. Figura 4: Diagrama de blocos do sistema dinâmico linear operando em malha fechada.. Consideração 2.2.1 A função de transferência do ruído �0 � ✝ é estável e sua inversa ✍1 �0 � ✝ também é estável. Além disso, o polinômio do denominador é dito mônico. Observa-se que para o modelo do sistema �0 � ✝ não existe nenhuma condição de estabilidade. Entretanto, como será visto adiante, alguns métodos de identiĄcação em.

(35) 34. Capítulo 2. IdentiĄcação em Malha Fechada. malha fechada exigem um conjunto de modelo M constituído apenas por modelos estáveis, portanto, obtêm-se apenas estimativas � ✂�, θ^✟ estáveis. Neste trabalho, assume-se �0 � ✝ estável, em situações particulares, será especiĄcado a característica instável de �0 � ✝. Considerando � � ✝ ✂ �1 � ✝ ✑ �� ✝�2 � ✝ e o sistema de geração de dados em (2.9), a ação de controle pode ser representada da seguinte forma: � �✝. � � ✝ ✍ �� ✝� � ✝. (2.10). onde � ✧ R . Considerando as equações (2.9) e (2.10), a saída do sistema pode ser reescrita seguindo o seguinte processo de manipulação algébrica: �. � �✝. �0 � ✝✒� � ✝ ✍ �� ✝� � ✝✘ ✑ �0 � ✝� � ✝. � �✝. �0 � ✝� � ✝ ✍ �0 � ✝�� ✝� � ✝✘ ✑ �0 � ✝� � ✝. � � ✝✒�. ✑. � �✝. �0 � ✝�� ✝✘. � 0 � ✝� � ✝ ✑ �0 � ✝� � ✝ ✍1 ✒� ✑ �0 � ✝�� ✝✘ ✒�0 � ✝� � ✝ ✑ �0 � ✝� � ✝✘.. (2.11). De forma semelhante, a entrada do sistema pode ser reescrita realizando as seguintes manipulações algébricas: � �✝. � � ✝ ✍ �� ✝� � ✝. � �✝. � � ✝ ✍ �� ✝✒�0 � ✝� � ✝ ✑ �0 � ✝� � ✝✘. � �✝. � � ✝ ✍ �� ✝�0 � ✝� � ✝ ✍ �� ✝�0 � ✝� � ✝. � � ✝✒�. ✑. � �✝. �� ✝�0 � ✝✘. � � ✝ ✍ �� ✝�0 � ✝� � ✝ ✍1 ✒� ✑ �� ✝�0 � ✝✘ ✒� � ✝ ✍ �� ✝�0 � ✝� � ✝✘.. (2.12). Com base nas Equações (2.11) e (2.12), os sistema de geração de dados pode ser reescrito conforme representado a seguir: � �✝ S✇ � �✝. ✍1 �0 � ✝�� ✝✘ ✒�0 � ✝� � ✝ ✑ �0 � ✝� � ✝✘ ✍1 ✒� ✑ �� ✝�0 � ✝✘ ✒� � ✝ ✍ �� ✝�0 � ✝� � ✝✘. ✒�. ✑. (2.13). Dado o sistema de geração de dados S representado em (2.13), para o caso sistema MIMO, pode-se representar a sensibilidade de entrada e a sensibilidade de saída da seguinte forma: �0 � ✝ �0 � ✝. ✍1 �� ✝�0 � ✝✘ , ✍1 ✒� ✑ �0 � ✝�� ✝✘ . ✒�. ✑. (2.14) (2.15). Dessa forma, considerando �0 � ✝ e �0 � ✝ obtêm-se o seguinte sistema de equações: S� �� ✇. � �✝ � �✝. � 0 � ✝ �0 � ✝ � � ✝ �0 � ✝ � � ✝. ✑ ✍. � 0 � ✝�0 � ✝� � ✝ . �� ✝�0 � ✝�0 � ✝� � ✝. (2.16).

(36) 35. Capítulo 2. IdentiĄcação em Malha Fechada. Entretanto, para o caso de um sistema SISO, a sensibilidade de entrada e saída são iguais (�0 � ✝ �0 � ✝), assim têm-se: S�� ✇. � �✝ � �✝. �0 � ✝✒�0 � ✝� � ✝ �0 � ✝✒� � ✝. ✑ ✍. �0 � ✝� � ✝✘ . �� ✝�0 � ✝� � ✝✘. (2.17). Essa formulação é utilizada como base para várias metodologias de identiĄcação de sistemas dinâmicos lineares em malha fechada. Em particular, a equação (2.17) é utilizada na formulação da metodologia proposta neste trabalho. Em Hof (2012), alguns critérios de avaliação das abordagens e métodos de identiĄcação de sistemas em malha fechada são apresentados. A seguir, esses critérios são enumerados e brevemente discutidos. Critério 1 Consistência de ✂� �, θ^✝, � �, η^✝✟: Se M é rico suĄciente para conter o sistema de geração de dados (S ✧ M) e o sinal de excitação da planta é persistentemente excitante, então o método deve ser capaz de identiĄcar consistentemente a função de transferência do sistema �0 �, θ ✝ e a função de transferência do ruído �0 �, η ✝. Critério 2 Consistência de � �, θ^✝: O método identiĄca � �, θ^✝ consistentemente independente da qualidade da modelagem de �0 �, η ✝. Esse critério é importante em situações onde a dinâmica de Ý � ✝ é complexa, portanto de difícil modelagem. Critério 3 Modelo de ordem Ąxa: Habilidade do método de identiĄcação em obter estimativas consistentes considerando o conjunto de modelos G de ordem Ąxa e pré-deĄnida. Esse critério é importante para projeto de controle baseado em modelo que limitam a complexidade C do modelo. Critério 4 Plantas instáveis: Habilidade para identiĄcar consistentemente plantas instáveis. Essa característica é importante para identiĄcar sistemas que operando em malha aberta são instáveis. Critério 5 Modelo (� �, θ^✝,�� ) Estabilizado: O modelo identiĄcado � �, θ^✝ possui uma garantia a-priori que será estabilizado com o controlador �� . Esse critério é importante para situações onde o modelo identiĄcado é utilizado para reprojeto de controlador.. Critério 6 Conhecimento do controlador �� :O conhecimento exato do controlador é necessário para o método de identiĄcação. Critério 7 Exatidão: O modelo estimado possui alta exatidão, ou seja, o modelo estimado possui variância assintótica..

(37) 36. Capítulo 2. IdentiĄcação em Malha Fechada. 2.2.1 Abordagens de IdentiĄcação em Malha Fechada A Figura 5 ilustra uma planta P operando em malha fechada. Conforme é possível observar por meio dessa Ągura, as informações básicas presentes neste sistema em malha fechada são:. r(k). x(k). 1. r(k) 2. + -. Cc. +. P u(k). +. y(k). Figura 5: Representação gráĄca de um sistema em malha fechada.. • Entrada � � ✝ e saída � � ✝ da planta P; • Sinais externos: referência �2 e entrada externa (por exemplo, ruído no atuador) � 1 � ✝; • Controlador �� ✝. A forma como essas informações são utilizadas caracteriza as diferentes abordagens e métodos de identiĄcação de sistemas dinâmicos lineares com dados experimentais coletados em malha fechada. Em outras palavras, estes métodos são caracterizados pelos dados mesuráveis e as informações a-priori disponíveis. Dessa forma, os métodos de identiĄcação podem ser distinguidos por meio das seguintes considerações: Consideração 2.2.2 Considera-se o mecanismo de realimentação desconhecido e utilizase os dados Z r� � ✝, � � ✝①, ignorado os sinais externos. Consideração 2.2.3 Considera-se tanto o controlador �� ✝ quanto o sinal externo �1 � ✝ e/ou �2 � ✝ conhecidos. Consideração 2.2.4 Considera-se conhecido apenas a estrutura do mecanismo de realimentação e não o controlador �� ✝. Geralmente, nas considerações 2.2.3 e 2.2.4 o controlador �� ✝ é considerado linear, porém as mesmas ideias podem ser aplicas para controladores não lineares e/ou variantes no tempo. Utilizando métodos de identiĄcação paramétrica, existem três abordagens principais para identiĄcação de sistemas em malha fechada:.