Um enfoque de variedades diferenciáveis com aplicações a equações diferenciais

(1)

Esta Tes e foi j u l g a d a a d e q u a d a p a r a a o b t e n ç ã o do tít\lo d è

" M E S T R E EM C I Ê N C I A S "

e s p e c i a l i d a d e em M a t e m á t i c a , e a p r o v a d a em sua forma final pelo C u r s o de P o s - G r a d u a ç ã o em M a t e m á t i c a da U n i v e r s i d a d e Fede ral de S a n t a C a t a r i n a

Prof. W i l l i a m G l e n n Whi triy , i?h . D C o o r d e n a d o r

B anca E x a m i n a d o r a :

J.

Prof. ítalo Jose Dejter, Ph . D . O r i e n t a d o r

(2)

U M E N F O Q U E DE V A R I E D A D E S D I F E R E N C I Á V E I S C O M A P L I C A Ç Õ E S A E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N C I A I S

S e l m a V e i g a Korb

(3)

iii A G R A D E C I M E N T O S A o P r o f e s s o r í ta lo J o s ê D e j t e r p o r sua v a l i o s a o r i e n t a ç ã o d u r a n t e a e l a b o r a ç ã o d e s t e t r ab a l h o . Aos C o l e g a s do D e p a r t a m e n t o de M a t e m á t i c a p e l o i n c e n t i v o , a p o i o e c o l a b o r a ç ã o : A o H e n r i q u e , ao S í d n e i e ao M a u r í c i o p el as h o r a s q u e d e les t irei p a r a p o d e r r e a l i z a r es te t r a b a l h o . Â U n i v e r s i d a d e F e d e r a l de S a n t a C a t a r i n a .

(4)

(5)

A B S T R A C T B y e s t a b l i s h i n g d i f f e r e n t i a b l e s t r u c t u r e s in g e n e r a l s et s w e g e t a t r e a t m e n t of d i f f e r e n t i a b l e m a n i f o l d s a n d w i t h t h i s w e g e t b a c k t h e u n d e r l y i n g t o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s . T h i s w a y w e d e v e l o p d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s of t h e / f i r s t a n d s e c o n d o r d e r in m a n i f o l d s , e s p e c i a l l y s p r a y s an d / th e e x p o n e n t i a l map.

(6)

ger ai s c o n s e g u i m o s u m t r a t a m e n t o das v a r i e d a d e s d i f e r e n c i á v e i s , c om o qu al r e c u p e r a m o s as p r o p r i e d a d e s t o p o l o g i c a s s u b j a c e n t e s .

A s s i m c o n s e g u i m o s t r a t a r e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s de pri^ m e i r a e s e g u n d a o r d e m em v a r i e d a d e s , em e s p e c i a l s p r a y s e a a p l i c a ç ã o e x p o n e n c i a l .

(7)

Í N D I C E I N T R O D U Ç Ã O ... ... 1 C A P Í T U L O 0 - N o t a ç ã o e T e r m i n o l o g i a ... ... . ... 2 C A P I T U L O I -1. V a r i e d a d e s d i f e r e n c i á v e i s ... ... 6 2. Fu nç õ e s d i f e r e n c i á v e i s e n t re duas v a r i e d a d e s .13 3. A T o p o l o g i a de uma v a r i e d a d e ... ... 20 4. D i f e r e n c i a ç ã o em um a v a r i e d a d e ...25 C A P Í T U L O II-1. C a m p o s de V e t o r e s ... ... 33 2. O p e r a d o r d i f e r e n c i a l ... 40 3. 0 f i b r a d o t a n g e n t e e su a e s t r u t u r a _ 00 p a d r ã o C ... 47 4. V a r i e d a d e s p a r a l e l i z ã v e i s ... ... ...51 5. V a r i e d a d e s o r i e n t á v e i s ... ...60 C A P Í T U L O III-1. C o n e x õ e s l i n e a r e s em u m a v a r i e d a d e ... 69 2. C u r v a t u r a e t o r sã o de uma c o n e x ã o l i n e a r ....75 C A P Í T U L O IV--1. E q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s de p r i m e i r a .o r d e m em uma v a r i e d a d e ... ... 31 2. E x i s t ê n c i a de c u r v a s i n t e g r a i s ... ...32 3. C u r v a s i n t e g r a i s m á x i m a s ... ... ... 89 4. F lu xo de um c a mp o de v e t o r e s ... 98 5. E q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s de s e g u n d a o r d e m em uma v a r i e d a d e ... ... ...105 vii

(8)

6 . E q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s d e f i n i d a s p o r u m ... s p r a y ... ... . . . ... 108 7. S p r a y a s s o c i a d o a um a c o n e x ã o l i n e a r ... H O

8 . A a p l i c a ç ã o e x p o n e n c i a l p a r a u m s p r a y ... 1^3

(9)

I N T R O D U Ç Ã O

Na a n a l i s e c l á s s i c a t r a t a m o s de f u n ç õ es c o m v a l o r e s reais d e f i n i d a s em |Rn . Para d e f i n i r uma f u nç ão c o n t í n u a e n t r e c o n j u n t o s mais g e ra is é n e c e s s á r i o dar a estes c o n j u n t o s uma e s t r u t u r a t o p o l õ g i c a . N e s t e t r a b a l h o e s s a i d é i a vai mais além, s e g u i n d o o r o t e i r o e s t a b e l e c i d o por F. B r i c k e l l e S. C l a r k /

(171)

. De fato, p a r a d e f i n i r uma f u n ç ã o d i f e r e n c i ã v e l entre dois c o n j u n t o s g erais, d a m os a e stes c o n j u n t o s u m a " e s t r u t u r a d i f e r e n c i ã v e l " c o m a q ua l eles se t o r n a m v a r i e d a d e s d i f e r e n - c iá ve is . Isto é o c o m e ç o p a r a a l g u m a s e x t e n s õ e s de l o ng o a l c a n ce da m a t e m á t i c a c l á s s i c a , t a n t o em A n á l i s e c o m o e m G e o m e t r i a . N e s t e t r a b a l h o p r e t e n d e m o s a t i n g i r a l g u n s dess es o b j e t i v o s . E m p a r t i c u l a r , o e s t u d o das p r o p r i e d a d e s t o p o l o g i c a s de v a r i e d a d e s e a p l i c a ç õ e s d i f e r e n c i á v e i s , c o m a l g u n s e x e m p l o s r e l e v a n t e s , e n t r e eles e x e m p l o s de e s t r u t u r a s d i f e r e n t e s em u m m e s m o c on j u n t o , ca mp o s de ve t or es , o p e r a d o r e s d i f e r e n c i á v e i s , f i b r a d o s t a n g e n t e s , v a r i e d a d e s p a r a l e l i zãveis , o r i e n t a b i lida- de e c o n e x õ e s l i n e a r e s . Como a p l i c a ç ã o d e s t e d e s e n v o l v i m e n t o , t r a t a r e m o s no c a p í t u l o IV e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s de p r i m e i r a e s e g u n d a o r d e m s o b r e v a r i e d a d e s , t e r m i n a n d o c om a a p l i c a ç ã o e x p o n e n c i a l do f i b r a d o t a n g e n t e de um a v a r i e d a d e n e s s a m e s m a v a r ie dade.

(10)

N o t a ç ã o e T e r m i n o l o g i a 0 t r a t a m e n t o da t e o r i a das v a r i e d a d e s d i f e r e n c i á v e i s s i m p l i f i c a - s e g r a n d e m e n t e , u s a n d o a s e g u i n t e m o d i f i c a ç ã o na d e f i n i ç ã o de função. D e f i n i ç ã o 1_ D a d o s dois c o n j u n t o s A e B, u m a f u n ç ã o f: A —^ B ê uma c o r r e s p o n d ê n c i a q u e a ca da e l e m e n t o a de u m sub co nj unto de A ( d e n o t a d o d o m (f)) c o r r e s p o n d e u m ú n i c o e l e m e n t o fa de B. fa ê o v a l o r da f em a. A e x p r e s s ã o "f em a ” e s c r e v e remos f . D e f i n i ç ã o 2 Se o d o m í n i o da f: A — *B ê A, d i r e m o s q u e f ê uma fun çã o em A e a c h a m a r e m o s de f u n çã o g l o b a l . P o r t a n t o a n o t a ç ã o f : A —> B não ê n e c e s s a r i a m e n t e g l o b al . D e f i n i ç ã o 3 D a d a uma f u n ç ã o f : A — » B e u m s u b c o n j u n t o VCLB, deno o n j u n t o f V v = ^ a £ A , tal qu e fa é v} t a r e m o s p o r f 1 V o c o n j u n t o

(11)

£ ê uma injeção quando fa = £a^ somente se a=a^ D e f i n i ç ã o 4_ Um a i n j e ç ã o f:A—JB cujo d o m í n i o é A e c u j a i m a g e m é B, ê c h a m a d a u m a b i j e ç ã o . D e f i n i ç ã o 5^ D a d o u m s u b c o n j u n t o V de A que i n t e r c e p t a o d o m í n i o U da f , d e f i n i m o s um a n o v a f u n çã o f|V : A --- > B c o m d o m í n i o U D V p e l a m e s m a lei a i---> fa f | V ê c h a m a d a a r e s t r i ç ã o d a f. D e f i n i ç ã o ^ Se a i m a g e m de f:A ---> B é B, d i r e m o s q u e f t e m v a l o r e s em B e ê uma f u n ç ã o s o b r e j e t i v a . D e f i n i ç ã o ]_ Sej a m f : A ----> B e g : B ---> C S e j a A-^ o c o n j u n t o de e l e m e n t o s a de A tal q u e fa e st a d e f i n i d a e p e r t e n c e ao d o m í n i o da g Se A-^ ê n ã o - v a z i o , d e f i n i m o s a f un ç ã o

(12)

Pa ra e x i s t i r g of p r e c i s a m o s que a i m a g e m da f inter s e ç ã o c o m o d o m í n i o da g não se ja v a z i o . D e f i n i ç ã o 8^ U m a fu nç ã o f : |Rn ■— * IR é de c l a s s e C°° em u m p o nt o z de s e u d o m í n i o se c a d a d e r i v a d a p a r c i a l da f e x i s t e e é con t ínua em a l g u m a v i z i n h a n ç a de z ~ - l S e j a m as f u n ç õ e s proj eçoes p^ : (R --- > (R n Â. U m a f u n ç a o f: IR -— > |R é de c l a s s e C°° e m z se as f u n ç õe s de v a l o r e s r eais f a = p o f ( - 1, . . . ,jjj são de c l a s s e C” em a z. -- o°

f s e r a c h a m a d a uma f u nç ão C se ela e de c l a s s e oo C em c a d a p o n t o de s e u d om í n i o . 0 d o m í n i o de tais f u n ç õ e s sao s u b c o n j u n t o s a b e r t o s de |Rn . D e f i n i ç ã o 9_ U m d i f e o m o r f i s m o f: (Rn ---> iRn é u m a i n j e ç ã o tal q u e - 1 — — 00 «■ ~

f e f sao f u n ç õ e s C . Seus d o m í n i o s nao p r e c i s a m s e r t od o o |Rn . D e f i n i ç ã o 10 *•' 00 n n - U m a fu nç a o C f: R. --- > |R e l o c a l m e n t e u m d i f e o m o r f ismo se c a d a p o n t o z de s eu d o m í n i o a d m i t e u m a v i z i n h a n ç a V , tal que f|V e u m d i f e o m o r f i s m o .

(13)

Um a f u n ç ã o d i f e r e n c i ã v e l f:M -— > M ' ê uma im er sã o se o p o s t o da f é igual ã d i m e n s ã o de M em cada p o n t o do se u d om ín io . A f u n ç ã o d e r i v a d a em cada e s p a ç o t a n g e n t e é p o r t a n t o / uma in jeção. Se o d o m í n i o da f é todo M, f é c h a m a d a u m a i m e r sã o de M em M', o n d e M e M são v a r i e d a d e s d i f e r e n c i á v e i s . D e f i n i ç ã o 12 U m a v a r i e d a d e d i f e r e n c i ã v e l M ê uma s u b v a r i e d a d e de u m a v a r i e d a d e d i f e r e n c i ã v e l M' se M ê u m s u b c o n j u n t o de M' e se a i n j e ç ã o n a t u r a l j : M --- > M ' ê u m a im ersão.

(14)

1. V a r i e d a d e s d i f e r e n c i á v e i s D e f i n i ç ã o 1.1 S e j a M u m c o n j u n t o q u a l q u e r e U C M U m a i n j e ç ã o x : M --->> |Rn , c o m d o m í n i o U, cu ja ima g e m ê um s u b c o n j u n t o a b e r t o de |Rn ê c h a m a d a uma c a r t a n - d i m e n s i o n a l . D e f i n i ç ã o 1.2 • S e j a m p..' IRn — -> IR as f u n ç õe s p r o j e ç õ e s . 1 • U m a c a r t a n - d i m e n s i o n a l x d e f i n e em s e u d o m í n i o U u m c o n j u n t o de f u n ç õe s c o o r d e n a d a s x 1 = p^ o x (i = 1 ,2 , ...,n) 0 c o n j u n t o das c o o r d e n a d a s de u m p o n t o m £ U , ê d e n o tado na c a r t a x p or x m = (x^m, ... , x n m)

Em geral, não é p o s s í v e l c o n s t r u i r uma c a r t a a d e q u a da p a r a u m c o n j u n t o M c u jo d o m í n i o é todo M. 0 m e l h o r que p o d e mos u s u a l m e n t e f azer é d e f i n i r uma c o l e ç ã o A de c a r t a s n - d i m e n s i o n a l p a r a M, c u jo s d o m í n i o s c o b r e m M. D e f i n i ç ã o 1.3 S e j a A uma c o l e ç ã o de c a r t a s n - d i m e n s i o n a l c ujos d o m í n i o s c o b r e m M % S e j a m x e y duas c a r t a s q u a i s q u e r de A c u j o s d o m í n i o s U c V se i n t e r c e p t a m

(15)

7 -A c o l e ç ã o -A ê c h a m a d a u m atlas C ” de M em (Rn se a m u d a n ç a de c o o r d e n a d a s - 1 *"n — |Rn ç u m d i f e o m o r f ismo ( C a p .O - D e f .9) y o x : | R E x e m p l o 1.1 1 -* 2 . S o c o n j u n t o dos p o nt os do c í r c u l o u n i t á r i o em IR* S e j a U = { (sen 2tts , c o s 2tts) , 0 < s < l } u m s u b c o n j u n t o de S 1 , A f un ç ã o x : S' -> |R d e f i n i d a em U p o r

(sen 2t t s, c o s 2irs ) I---- > s ê u m a i n j e ç ã o s o b r e

o s u b c o n j u n t o a b e r t o (0 ,1 ) de IR , P o r t a n t o x ê u m a c a r t a p a r a S*. E l a es tá r e p r e s e n t a d a como s e g u e 3 ~ r i i

T

(16)

S e j a IT = { (s en 2tts , cos 2tts)}, " l.< s< 1 o u t r o sub-2 2 _{c o n j u n t o} de S 1 . A fu nç ã o x : S^ --- > |R d e f i n i d a em U' p o r (sen 2t t s , cos 2t t s) »---- > s ê o u t r a c a r t a de S* c om o s eg ue 1 ^ U e U' c o b r e m S e U e U' se i n t e r c e p t a m c om o s eg u e A s s i m : x ' = x x ' = x - i , r < x < i 2 0 < x < 1_ 2

(17)

As m u d a n ç a s de c o o r d e n a d a s x' o x ^ : IR --- IR são

(x* o x " 1 ) s = V

s , s É (0 ,~ )

s - 1 , s £ ( i , 1 )

P o r t a n t o x 1 o x : IR ---> |R e u m dif e o m o r f ismo e as-i s i m as c a r t a s x e x' f o r m a m u m a t l as C de S em IR. D e f i n i ç ã o 1.4 CO U m c o n j u n t o M p o d e a d m i t i r m a i s que u m a t l a s C em n w oo IR . Se a u n i ã o de duas c o l e ç o e s de c a r t a s de d oi s atlas C — 00' ^ .

e u m at las C , e n t a o eles sao d i to s e q u i v a l e n t e s

D e f i n i ç ã o 1.5 00 ^ U m A t l a s C de u m c o n j u n t o M e di to c o m p l e t o se ele não es ta c o n t i d o em n e n h u m o u t r o A t l a s C°° de M. P r o p o s i ç ã o 1.1 C a d a A t l a s C°° de M em |Rn e st ã c o n t i d o em e x a t a m e n t e u m A t l a s C°° c o m p l e t o . P r o v a S e j a A u m a tlas C°° de M em |Rn , S e j a U o d o m í n i o de uma c a r t a x^ £ A , C o n s i d e r e m o s o c o n j u n t o A+ de todas as c a r t a s y : M --- ^ |Rn tal q u e se U i n t e r c e p t a o d o m í n i o V da c a r t a y , e n tã o y o x a ^ ê u m d i f e o m o r f ismo ,

(18)

V e j a m o s que: A+ ê um atlas C°° de M em |Rn . De fato E s c o l h a m o s duas c a r t a s y, y ' £ A+ cujos d o m í n i o s V e V' se i n t e r c e p t a m . Se z é u m p o n t o de y ( V f i V ) e x i s t e uma c a r t a x a £ A cu jo d o m í n i o c o n t ê m y - 1 z. P o r h i p o t i s e y o x 1 e x o y' 1 são d i f e o m o r f i s m o s a a e e ntao Cy o x - 1 ) „ (*<, y ' " 1) ^ ê u m d i f e o m o r f i s m o cu jo d o m í n i o ê uma v i z i n h a n ç a de z (o d o m í n i o ê um a r e s t r i ç ã o de y o y ' ~ ^ ) . P o r t a n t o y o y' 1 ê l o c a l m e n t e um d i f e o m o r f i s m o . M a s y o y' 1 ê u m a i n j e ç ã o e, assim, ê u m difeomorfis. mo. P o r t a n t o A + ê u m a t l a s C 00 .

Vej amos que

A+ ê u m atlas c o m p l e t o .

Q u a l q u e r atlas A , tal que A C A' d e v e e s t a r c o n t i d o em A+, isto ê: A C A' C A+ P o r t a n t o A+ ê u m atlas c o m p l e t o e é ú n i c o . D e f i n i ç ã o 1 .6 S e j a M u m c o n j u n t o . Se M p o s s u i um à tl a s C°° c o m p l e t o de M em IRn , d i z e m os que M p o s s u i uma e s t r u t u r a C"° de d i m e n s ã o n.

(19)

11 -A p r o p o s i ç ã o 1.1 m o s t r a qu e u m a e s t r u t u r a C ê d e te r uO m i n a d a em M p o r q u a l q u e r a t l as C de M. P o r t a n t o não p r e c i s a mos e s p e c i f i c a r u m a t l a s c o m p l e t o de M p a r a d e t e r m i n a r tal e s t ru tura. A t l a s C°° e q u i v a l e n t e s p e r t e n c e m ao m e s m o atlas c o m p l e 00 to e a s s i m d e t e r m i n a m a m e s m a e s t r u t u r a C em M. De fato A e q u i v a l e n t e a A' i m p l i c a q u e a U A' ê u m atlas C ™ . s e g u e p e l a p r o p o s i ç ã o 1.1 que ( A

U

A') C - A + P o r t a n t o A C A+ e A' C A+ 00 A t l a s C n ã o - e q u i v a i e n t e s p e r t e n c e m a a t la s c o m p l e t o s d i f e r e n tes e a s s i m d e t e r m i n a m e s t r u t u r a s C°° d i f e r e n t e s . I l u s t r a r e m o s c o m u m e x em pl o. E x e m p l o 1.2 3 A f u n ç a o y: IR ---> |R d e f i n i d a em IR p o r s i--- > s e CO ^ u ma c a r t a que d e t e r m i n a u m a e s t r u t u r a C em IR a q u a l e d i f e r e n te de sua e s t r u t u r a C 00 p a d r ã o ( d e f i n i d a abaixo) . V e j a m o s que y d e t e r m i n a u m a e s t r u t u r a C°° em |R. De fato 0 d o m í n i o da c a r t a y ê todo IR e a s s i m f o r n e c e u m a t la s C°° de |R e m |R.

Pela p r o p o s i ç ã o 1.1 este a tlas d e t e r m i n a u m a e s t r u t u r a C°° de d i m e n s ã o 1 em IR.

(20)

Do m e s m o m o d o a f un ç ã o x: |R ---^ |R d e f i n i d a p o r si---> s, d e t e r m i n a u m a e s t r u t u r a C°° em IR, c h a m a d a e s t r u t u r a c ’ p a d r ã o .

V e j a m o s qu e

Os a t l a s A e A', d e t e r m i n a d o s pelas ca rt a s y e x, respc c t i v a m e n t e nã o são e q u i v a l e n t e s . T e m o s que y : IR --- > IR e x : lR -- > IR 3 s »--- > S S I--- > s > r e p r e s e n t a d a s po r «R y } D e s d e que (x o y _ 1 )s .= x ( y ^s) = x $"5 = ^ s ~ , e n t ã o “ X “ CO ^ ^ x o y nao e C em s=0 , p o r t a n t o nao e u m d i f e o m o r f i s m o . S e g u e que A U A ' nã o ê u m a tlas C°° em |R, p o r t a n t o A e A' não são e q u i v a l e n t e s . A t l a s C°° n ã o - e q u i v a l e n t e s e s t ã o c o n t i d o s e m A t l a s C°° c o m p l e t o s d i f e r e n t e s , p o r t a n t o A e A' d e t e r m i n a m e s t r u t u r a s C°° d i f e r e n t e s em IR. D e f i n i ç ã o 1.7 U m c o n j u n t o M c o m um a e s t r u t u r a C°° de d i m e n s ã o n ê cha m a d a um a v a r i e d a d e d i f e r e n c i á v e l ( ou v a r i e d a d e ) de d i m e n s ã o n.

(21)

13 -U m a c a r t a do a t l a s c o m p l e t o qu e d e t e r m i n a e st a e s t r u t u r a ê c h a m a d a u m a c a r t a da v a r i e d a d e d i f e r e n c i ã v e l M e s e u do m í n i o é c h a m a d o d o m í n i o c o o r d e n a d o da v a r i e d a d e d i f e r e n c i a v e l M. U m a c a r t a em u m p o n t o m £ M, s i g n i f i c a d i z e r u m a carta da v a r i e d a d e M c u j o d o m í n i o U c o n t é m m. U é c h a m a d a v i z i n h a n ç a c o o r d e n a d a de m. 2. F u n ç õ e s d i f e r e n c i á v e i s e n t r e d u a s V a r i e d a d e s D e f i n i ç ã o 2.1 S e j a m M e M' v a r i e d a d e s d i f e r e n c i á v e i s de d i m e n s ã o n e n ' , r e s p e c t i v a m e n t e . S e j a f : M —— > M' e m u m p o n t o no d o m í n i o da f. C o n s i d e r e m o s duas ca rt a s x e x' em m e fm, r e s p e c t i v a m e n t e A f u n ç ã o F = x ' o f o x 1 : JRn p r é s e n t a n t e c o o r d e n a d o da f. n1 ** |R e c h a m a d a u m re-Rn

(22)

£ : M --- > M' é d i f e r e n c i ã v e l em m se F : |Rn ---> |Rn - 00 e de c l a s s e C em xm. • V e j a m o s qu e E s t a d e f i n i ç ã o ê i n d e p e n d e n t e da e s c o l h a do r e p r e s e n t a n t e c o o r d e n a d o . De fato S u p o n h a m o s q u e G = y' o f o y ^ s e j a o u t r o r e p r e s e n t a n t e c o o r d e n a d o da f . E n t ã o a r e s t r i ç ã o da G a u m s u b c o n j u n t o a b e r t o B do d o m í n i o A de G, c o m A f\ B f 0 ê da f orma 00 se C G | B = y' o x '"1 ox'. o f o x ^ ó x o y ^ e é d e cias d e s d e que Cy' o x' o x' o f o x ^ o (x o y = I 1—1 — 1 •- co =( y o x ) o F o ( x o y ) e de c l a s s e C De fato y' o x ^ e x o y**^ são d i f e o m o r f i s m o s ( p o r t a n t o de 00 •- 1 °° c l a s s e C ) e F e de c l a s s e C em xm, s e g u e que G = y' o f o y ^ é de c l a s s e C ™ ’ em y m , Uma f u n ç ã o f : M --- > M ' é d i f e r e n c i ã v e l se ê di fe r e n c i ã v e l em c a d a p o n t o de seu d om í n i o .

(23)

- 15 As e s t r u t u r a s d i f e r e n c i á v e i s e m m u i t a s v a r i e d a d e s são m e n c i o n a d a s p a r a c o n s t r u i r f u n ç õ e s d i f e r e n c i á v e i s . E x e m p l o 2.1 ([ 1 0J ) S e j a o p r o d u t o x de duas v a r i e d a d e s d i f e r e n c i á v ei s de d i m e n s õ e s n^ , tl^, r e s p e c t i v a m e n t e . S e j a m as p r o j e ç õ e s x d e f i n i d a s p o r = Pi V a m o s d e f i n i r u m a e s t r u t u r a C 00 em x M 2 a qual tor na c a d a tt . d i f e r e n c i á v e l . 1 Se x^ e X 2 são d ua s c a r ta s de , M 2 c o m d o m í n i o s e U 2 r e s p e c t i v a m e n t e , a f u nç ão x^ ^ x 2 • x ^ 2 ---- ^ x = + n2 ’ da da p o r x^ x X 2 (p^ , P 2) = (x iPi > x 2^ 2^ ® u m a in j e Ç ao c u ja i m a g e m ^x l^l^ x ^x 2^2^ ® a b e r t o em |Rn i + n 2 . P o r t a n t o ê u m a c ar ta pa ra x M 2 c o m d o m í n i o U-^ x S e y^

x

Y 2 ê u m a outra, c a r t a cu jo d o m í n i o V^

x

V 2 in t e r c e p t a x , a m u d a n ç a de c o o r d e n a d a s (y-l * x x 2^ ~ ^ 1 x y 2^ ^ ^ X 1 x x 2 ^ =

=

(y^ 0

x^

x

( y 2 0

x

2

^) ©

u m d i f e o m o r f i s m o d e s d e q u e p r o d u t o de d i f e o m o r f ismo é um d i f e o m o r f i s m o . P o r t a n t o o c o n j u n t o de t o da s tais cart as ê um atlas C50 e a s s i m d e f i n e u m a es

t r u t u r a C00 de d i m e n s ã o n^ + n 2 em x M 2 .

V e j a m o s que

(24)

TT M 1 X M 1 F = X j 0 Tf o l x 1 xx J " 1 O n d e x x x x 2 (Pj , p 2) - Cx1p 1 , x 2p 2) , isto é , X 1 X X 2 = ( X j O TT jjL , X 2 O TT 2 ) A s s i m F._i r e p r e s e n t a n t e s c o o r d e n a d o s de S e g u e que n 2 n. IR são os 00 d rada s a qual

F^ são f u n ç õ e s p r o j e ç õ e s que são de c l a s s e C

P o r t a n t o c a d a tt^ ê d i f e r e n c i ã v e l .

E x e m p l o 2.2

S e j a M ( n x. n, IR) o c o n j u n t o de todas as m a t r i z e s qua- r eais n x n.

V a m o s d e f i n i r u m a e s t r u t u r a d i f e r e n c i ã v e l em M ( n x n,|R) t o r n a a f u n ç ã o d e t e r m i n a n t e

det: M (n k n, |R) — —> JR uma f u n ç ã o d i f e r e n c i ã v e l . . S ej a a i n j e ç ã o x: M ( n x n, |R) ---- > IRn n d e f i n i d a por

(25)

1 7 -c a r t a -c u j o d o m í n i o é todo o -c o n j u n t o M (n x n , | R ) . Tal -c a r t a x d e f i n e e n t a o u m atlas C de M ( n x n,|R) em R o qual de t e r m i n a um a e s t r u t u r a C°° em M (n « p, IR) . U s a n d o as c a rt as x e i d e n t i d a d e p a r a M (n s n, IR) e|R, r e s p e c t i v a m e n t e , temos: |R n n --- X — --- ^ M (n x n, IR) - ^ ^ | R — - IR 1 —n F = id o det o x : | R --- >|R e uma f u n ç ã o p o l i n o m i al a qu al ê o r e p r e s e n t a n t e c o o r d e n a d o da f u n ç ã o d e t e r m i n a n t e . -• CO _ ^ C om o F ê de c l a s s e C e n t ao a f u n ç a o d e t e r m i n a n t e e dji f e r e n c i ã v e l . D e f i n i ç ã o 2 . 2 U m d i f e o m o r f i s m o f: M ---^ M' ê uma i n j e ç ã o tal q u e f e f ^ são a mbas f u n ç õ e s d i f e r e n c i á v e i s . D e f i n i ç ã o 2.3 Uma f u n ç ã o f: M ---> M' ê l o c a l m e n t e u m d i f e o m o r f i s m o , se c a d a p o n t o m de seu d o m í n i o t e m u m a v i z i n h a n ç a tal que

ê u m d i f e o m o r f i s m o . • I m D ua s v a r i e d a d e s d i f e r e n c i á v e i s M,M' são d i f e o m o r f i c a s se e x i s t e u m - d i f e o m o r f i s m o g l ob al de M em M ' . E x e m p l o 2.3 2 0 c o n j u n t o E de t odos os p o n t o s em |R da f o rm a (sen 2 s , s e n s ) , s £ lR ê c h a m a d o a F i g u r a O I T O r e p r e s e n t a d a a b a i x o . A i n j e ç ã o x : E ---- > IR d e f i n i d a p o r x ( s e n 2s, s e n s) = s , se 0 < s< 2tt ê s o b r e o i n t e r v a l o a b e r t o (0, 2tt) de |R e a s s i m x ê u m a c a r t a

(26)

c uj o d o m í n i o e todo E e p o r t a n t o x o x - l é a i d e n t i d a d e em (0,2 ir) .

S e g u e que x. f o r n e c e um atlas C°° de E e m IR e fica d e f i n i d a uma e s t r u t u r a C°° em E. x <r 0 2tt S e j a y : E ---- > |R d e f i n i d a por y ( s e n 2s , s e n s) = s , se -tt < s < ir y ê u m a i n j e ç ã o s o b r e o i n t e r v a l o a b e r t o (—tt, tt) de |R e s e u d o m í n i o ê todo E. P o r t a n t o f o r n e c e u m o u t r o a t la s C°° de E em |R e c o n s e q u e n t e m e n t e uma e s t r u t u r a C “ em E.

d e s d e que, y o x 1 : |R —--- >|R não é um. d i f e o m o r f ismo

De fato

(y o x s - y(x 1 s) = y ( s e n 2s , s e n s)

^ S , 0< S <7T 0 , s = u s - 2TT , 7T<S< 2TT

(27)

19

-ê d i f e r e n c i á v e l . S e g u e que y o x ^ não -ê u m d i f e o m o r f ismo e os dois A t l a s não são e q u i v a l e n t e s .

A s s i m as c a r t a s x e y d e t e r m i n a m e s t r u t u r a s d i f e r e n c i a v e i s d i f e r e n t e s s o b r e a F i g u r a OITO. S e g u e que, temos duas v a r i e d a de s E , E ' . V e j amos que E e E' são v a r i e d a d e s d i f e o m o r f i c a s . P a r a m o s t r a r a a f i r m a ç ã o d e v e m o s e x i b i r u m difeomorfi_s m o g l o b a l f: E ---- > E ' A f u n ç ã o f: E ---- ^ E 1 d e f i n i d a po r (sen 2s , s e n s) «--- > £ s e n 2 (s -tt) , s e n (s — ttJJ ê u m d i f e o m o r f i s m o d e s d e q u e o s e u r e p r e s e n t a n t e c o o r d e n a d o F e m t e r m o s das c a r t a s x e y de E,E' r e s p e c t i v a m e n t e ê a t r a n s l a ç ã o s «--- > s -ir s o b r e o i n t e r v a l o a b e r t o ( 0, 2tt) de |R. E (0 ,*) F = y o f o x -1 S-TT F s = ( y o f ó x 1 ) s = y f (x~*s) = = y j s e n 2 (s -tt) , sen(s-ufj = s -tt yf ( s e n 2s , s e n s ) =

(28)

A s s i m as in je ç õ e s F e F '''são f un ç õ e s C°° s o b r e (0 , 2ir) e (-tt.tt) r e s p e c t i v a m e n t e e p o r t a n t o são d i f e r e n c i á v e i s .

S e g u e que f ê u m d i f e o m o r f ismo globa l de E em E' e a£ s i m E e E' são v a r i e d a d e s d i f e r e n c i á v e i s d i f e o m ó r f i c a s . 3. A t o p o l o g i a de uma v a r i e d a d e P r o p o s i ç ã o 3.1 A c o l e ç ã o dos d o m í n i o s c o o r d e n a d o s de uma v a r i e d a d e M, f o r m a m u m a b a s e p a r a u m a t o p o l o g i a no c o n j u n t o M. P r o v a É s u f i c i e n t e m o s t r a r que a i n t e r s e ç ã o n ã o - v a z i a de q u a l q u e r p a r de d o m í n i o s c o o r d e n a d o s da v a r i e d a d e M ê t a m b é m um d o m í n i o c o o r d e n a d o ([3j) . S e j a m x e y c a r t a s de M, cujos d o m í n i o s U e V se i n t e r c e p t a m . E n t ã o a) y o x ^ ê u m d i f e o m o r f ismo cu jo d o m í n i o x ( u n v ) ê a b e r t o em |Rn . b) (Uf\V)

C

U. V a m o s m o s t r a r q u e x j u H V ê u m a c a r t a da v a r i e d a d e M. C om o x ê uma c a rt a da v a r i e d a d e M, x ê u m a i n j e ç ã o de M e m | R n c o m d o m í n i o U e c u j a i m a g e m é u m a b e r t o d e | R n . S e g u e que x | U flV é uma c a r t a do c o n j u n t o M. Co mo (xj ,j pjy) o y * é um a r e s t r i ç ã o do d o m í n i o do di- f e o m o r f i s m o x o y (x | U f\ V) o y ^ t a m b é m ê u m d i f e o m o r f i s m o .

(29)

S e g u e q u e x ]u n v é u m a c a r t a d o a t l a s c o m p l e t o q u e d e f i n e a e s t r u t u r a C°°do c o n j u n t o M, c o m d o m í n i o

u A v

. P o r t a n t o U f | V é u m d o m í n i o c o o r d e n a d o d a v a r i e d a d e d i f e r e n c i - ã v e l M. C o n s e q u e n t e m e n t e t e m o s q u e u m a e s t r u t u r a C°°em u m / c o n j u n t o M i n d u z u m a t o p o l o g i a s o b r e M. D e f i n i ç ã o 3 . 1 A t o p o l o g i a i n d u z i d a n o c o n j u n t o M p o r s u a e s t r u t u r a C°°é c h a m a d a t o p o l o g i a d a v a r i e d a d e M. C o m a t o p o l o g i a i n d u z i d a n o c o n j u n t o M, p o r s u a e s t r u t u r a cf°, ura s u b c o n j u n t o U n ã o v a z i o d e M é a b e r t o se e s ó s e c a d a p o n t o d e U t e m u m a v i z i n h a n ç a c o o r d e n a d a c o n t i d a e m U. C o n s e q u e n t e m e n t e a t o p o l o g i a d a v a r i e d a d e IRn é a t o p o l o g i a p a d r ã o d e IRn . A p r o p o s i ç ã o 3 . 1 m o s t r a q u e c a d a v a r i e d a d e d i f e - r e n c i á v e l t e m u m a e s t r u t u r a t o p o l ó g i c a i n d u z i d a . P r o p o s i ç ã o 3 . 2 S u p o n h a m o s q u e a u m c o n j u n t o M é d a d o u m a e s t r u t u r a t o p o l ó g i c a e u m a e s t r u t u r a Cf° . A t o p o l o g i a i n d u z i d a e m M c o i n c i d e c o m a t o p o l o g i a d a d a s e e s õ s e a s c a r t a s d e u m a t l a s d e M s ã o h o m e o m o r f i s m o s r e l a t i v o a ã t o p o l o g i a d a d a . P r o v a A c o n d i ç ã o é n e c e s s á r i a . P a r a v e r i s t o , d e v e m o s m o s t r a r q u e q u a l q u e r c a r t a x d e M é c o n t í n u a e a b e r t a . S u p o n h a m o s q u e U e V s e j a m o s d o m í n i o e i m a g e m , r e s p e c t i v a m e n t e , d a c a r t a x. a) S e j a V-^ u m s u b c o n j u n t o a b e r t o d e IR: e s e j a W = *— 1

(30)

arta de M c o m do m í n i o U O W = W. S e g u e qu e W ê a b e r t o em M. P o r t a n t o x é contínuã, b) S e j a U 'C U a b e r t o b ã s i c o . E n t ã o U' é o d o m í n i o de u ma c a r t a y de M. y o x * ê u m d i f e o m o r f i s m õ em |Rn e s e u d o m í n i o / x ( U O U ' ) = x U' ê a b e r t o e m l R n . Q u a l q u e r s u b c o n j u n t o a b e r t o de M ê a u n i ã o de c o n j u n t o s a b e r t o s b á s i c o s e a s s i m sua i m a g e m sob x ê a b e r t o e m J R n . S e g u e que x U ê a b e r t o em |Rn e p o r t a n t o x ê a- b ert a. V e j a m o s a g o r a que A c o n d i ç ã o ê s u f i c i e n t e . S e j a ^ l ^ a c o l e ç ã o de c o n j u n t o s a b e r t o s na t o p o l o g i a d a da e c o l e ç ã o de c o n j u n t o s a b e r t o s na t o p o l o g i a i n d u z i d a . V a m o s m o s t r a r que*lj[c *l/e • a) Se ja V€

Ve

x u m a c a r t a de u m a t l a s cujo d o m í n i o W i n t e r c e p t a V. E n t ã o V f ) W é a b e r t o r e l a t i v o ã t o p o l o g i a i n du zi da . C om o x 5 um h o m e o m o r f i s m o r e l a t i v o â t o p o l o g i a i n d u z i d a e n t ã o x (VflW) e a b e r t o e m | R n .

(31)

23 -M as p o r h i p ó t i s e x é u m h o m e o m o r f i s m o r e l a t i v o â topo l ogia d ad a e a s s i m V f l W é u m a b e r t o d e * ^ ^ S e g u e qu e V é a u n i ã o de e l e m e n t o s de <\|j3 a s s i m V £ V g K v e ^ e n ta o V c . % • b) S e j a U£^l|^e x uma' c a r t a de u m a t l as c u j o d o m í n i o W i n t e r c e p t a U. W 6 . e n t ã o W ê ^ ^ p o i s v i m o s q u e

V c {

u . -S e g u e q ue U O W £ ^ U ^ e a s s i m x ( U H W ) é u m a b e r t o e m |Rn p oi s x ê u m h o m e o m o r f i s m o na t o p o l o g i a dada. W £ x ê uma c a r t a de u m a tl as p o r t a n t o x é u m h o m e o m o r f i s m o r e l a t i v o â t o p o l o g i a i n du z id a. C o m o x ( U H W ) ê a b e r t o e m |Rn s e g u e que U fl W é a b e r t o re l a ti vo â t o p o l o g i a i n d u z i d a e a s s i m U ê a u n i ã o de e l e m e n t o s de v . P o r t a n t o U C om o U ^ e n t ã o ^ C “V . Por a) e b) < \ J L V -D e f i n i ç ã o 3.2

Um a v a r i e d a d e M e c o n e x a se, com. su a t o p o l o g i a induzi^ da, ela ê u m e s p a ç o t o p o l o g i c o conexo.

D e f i n i ç ã o 3.3

A t o p o l o g i a de uma v a r i e d a d e d i f e r e n c i ã v e l s a t i s f a z os a x i o m a s e o P r i m e i r o a x i o m a da e n u m e r a b i l i d a d e (C4J).

U ma v a r i e d a d e c uj a t o p o l o g i a s a t i s f a z o a x i o m a T^ (C4p) é c h a m a d a um a v a r i e d a d e de H a u s d o r f f .

(32)

P r o p o s i ç ã o 5.3 Se M ê u m a v a r i e d a d e de H a u s d o r f f e m ê u m p o n t o no do m í n i o de um a f u n ç ã o d i f e r e n c i á v e l g:M --- >|R, e x i s t e uma fu nç ã o g l o b a l G: M ---- >|R qu e c o i n c i d e c o m a g em a l g u m a v i z i n h a n ç a de m. P ro va S e j a x u m a c a r t a de M, cu jo d o m í n i o U c o n t e m m e m es tá n o d o m í n i o d a g . . S e j a m B e Bj b ol as a b e r t a s c o m c e n t r o em x m ^ £ IRn , tal que B C B C B 1 C B 1 C xU a) C o m o q u a l q u e r c a r t a x da v a r i e d a d e d i f e r e n c i á v e l M ê u m h o m e o m o r f i s m o , x ê c o n t í n u a e a b e r t a (fechada) e p o r t a n t o se V = x - 1 B e V 1 = x - 1B 1 , V = x _ 1 B e V 1= x " 1^ , b) C o m o a v a r i e d a d e IRn ê normal, e x i s t e u m a f u n ç ã o d if e r e n c i ã v e l F :IRn ---- ^|R, tal que F = 1 em B e F = 0 em |Rn - B^

C M ) - T e o r e m a de P. U r y s o h n ) . c) A f u n ç ã o d i f e r e n c i á v e l (Fox)g : M —>|R c o m d o m í n i o U e a f u n ç ã o zero no c o n j u n t o a b e r t o M-V-^ c o n c o r d a m na i n t e r s e ç ã o UVj de seus d o m í n i o s e a s s i m f ic a d e f i n i d a u m a f u n ç ã o d i f e r e n -c i á v e l G : M --- >|R, a q ua l -c o i n -c i d e -c o m a g em u m a v i z i n h a n ç a de m.

(33)

25 -4. D i f e r e n c i a ç ã o em uma v a r i e d a d e ■ - n 1 A d e r i v a d a de uma f u n ç a o d i f e r e n c i a v e l f:|R ---- >|R em um p o n t o z de s e u d o m í n i o ê d e f i n i d a como s e n d o u m a função l i n e a r (Df) : |Rn ---- ) |R . U s a n d o b a s e n a t u r a l a m a t r i z d e s t a f u n ç a o e ”*a m a t r i z J a c o b i a n a J£Z. E s t e n d e r e m o s esta i d é i a p a r a f u n ç õ e s d i f e r e n c i á v e i s 0 : M ---> M ' . C o m e s t e o b j e t i v o i n t r o d u z i r e m o s a n o ç ã o de e s p a ç o v e t o r i a l t a n g e n t e em c a d a p o n t o de um a v a r i e d a d e e então, d e f i n i r e m o s u m a f u n ç ã o l i n e a r d e r i v a d a e n tr e e s p a ç o s t a n g e n t e s . D e f i n i ç ã o 4.1 S e j a x u m a c a r t a c o m d o m í n i o U, de uiria v a r i e d a d e d ife- r e n c i ã v e l M. Um a f u n ç ã o d i f e r e n c i á v e l f: M ---- ^|R c o m d o m í n i o V, t e m u m r e p r e s e n t a n t e c o o r d e n a d o F tal q u e em r e l a ç ã o as c a r t a s x e i d e n t i d a d e em IR, f = F o x , e m U n v . A s s i m F :Rn---- ^ IR ê u m a f u n ç ã o d i f e r e n c i á v e l e p o r t a n t o p o s s u i d e r i v a d o s p a r c i a i s que d e n o t a r e m o s p o r F,i , ( i = l , . . ., n ) . D e f i n i m o s f u n ç õ e s d i f e r e n c i á v e i s c o m d o m í n i o Uf\ V por: ■ = F,i o x : M --->IR d * 1 Q u a n d o M = |Rn e x é a c a r t a i d e n t i d a d e tais f u n ç õ e s são as d e r i v a d a s p a r c i a i s . Se M ê um a v a r i e d a d e d i f e r e n c i á v e l de d i m e n s ã o n, o c o n j u nt o de f u n çõ es d i f e r e n c i á v e i s f: M ---)|R, c uj os d o m í n i o s i n c l u em m €M , s er á d e n o t a d o p o r ^ ( m ) . Um a f un ç ã o IR- l i n e a r em o ( m )

(34)

se-rã c h a m a d a o p e r a d o r l i n e a r em í ( m ) tal que: D e f i n i ç ã o 4 . 2 U ma d e r i v a ç ã o e m ^ ( m ) é u m o p e r a d o r l i n e a r A íf(nO — ->|R A (fg) = (fm)(Ag) + ( A f ) ( g m ) . . P r o p o s i ç ã o 4 .1 Se f, g são f u n ç õ e s d i f e r e n c i á v e i s de v a l o r e s r eais em M e se a, 3 £ |R, então:

U ) _3_ ( a f + eg)

+

3 - 3 x i « X 3x 3JL_ (ii) (fg) 3 x 3 x 9 x J P r o v a (i) U s a n d o u m a c a r t a x c o m d o m í n i o U e a c a r t a i d e n t i d a de em IR, t emos os s e g u i n t e s d i a g r a m a s c o m u t a t i v o s .

g

af +

0

g

M -> IR id M id M ■* (R

id

|Rn |R IRn G f e g são f u n ç õ e s d i f e r e n c i á v e i s em M c o m d o m í n i o s V e V' r e s p e c t i v a m e n t e e a s s i m p o s s u e m r e p r e s e n t a n t e s c o o r d e n a d o s F e G tal que: f = F o x e m U f ! V g = G o x e m U A V ' E n ta o o d o m í n i o de af + B g ê (U H V) (U f\ V ') e co mo é

(35)

27

-um a f u n ç ã o d i f e r e n c i ã v e l em M, p o s s u i u m r e p r e s e n t a n t e c o o r d e n a do a F + 3 G .

U s a n d o a d e f i n i ç ã o 4.1, temos em ( U A V) A (U fl V ')

8 ^ (af + 3.g) = (aF + 3C) 5i' Q x 3 x x

= (aF,i + 3 G , i ) o X

= a ( F , i o x) + 3 (G,i o x)

+ ■ B

3 X 1

3 x *

o n d e (a I* + 8 6 ) , i e (aF,i + 8 G,i) são os r e p r e s e n t a n tes c o o r d e n a d o s p a r a (af + 8 g) e a 3f +p. 3g , r e s p e c t i v a m e n

te. 3 X 1 3 x x 3 x X

(ii) D e m o d o a n á l o g o temos FG co mo r e p r e s e n t a n t e coor d e n a d o p a r a fg e 9.

(fg)

= ( F G ) ,i o x 3x = (FG,i + GF,i) o x = (FG,i) o x + (GF,i) o x = (F0 x ) ( G , i o x) + (G o x) (F,i o x) f 3g + g 3f 3 X 1 3 x X C o m o c o n s e q u ê n c i a d e s t a p r o p o s i ç ã o t e m o s que se x é u ma c a r t a de M c uj o d o m í n i o inc lu i u m p o n t o m, a f u n ç ã o ( —nr) :í ( m ) —— d e f i n i d a por: n 3x m ■ _{f i---- ^ (— j-J}_ ^ 3 f '1 _{e u m a d e r i v a ç a o em ^ ( m ) .}- j - - ‘Tr a 3 x D e f i n i ç ã o 4.3 0 c o n j u n t o de t od as as d e r i v a ç õ e s em ^ ( m ) ê u m e s p a ç o v e t o r i a l real o qual c h a m a r e m o s e s p a ç o t a n g e n t e T m M e m m.

(36)

C a d a d e r i v a ç ã o em cT(m) é um e l e m e n t o d e s t e e s p a ç o e a c h a m a r e m o s u m v e t o r t a n g e n t e em m. D e f i n i ç ã o 4 .4 Se x é u m a c a r t a de M cujo d o m í n i o inclui um p o n t o m, 3 os v e t o r e s (---=-) , (i = l ,. . . , n ) , f o r m a m u m a b a s e p a r a T M , c h a m a d a b a s e c a n ô n i c a p a r a T m M a s s o c i a d a c o m a c a r t a x. Por t an to T M t e m d i m e n s ã o n. _m C a d a d e r i v a ç ã o A e m ^ ( m ) p o d e ser e s c r i t a na forma: 8x P o r t a n t o se y ê u m a o u t r a c a r t a de M c u j o d o m í n i o i n clui m, u m a b a s e p a r a T ^ M ê da da por: ( J L ) = ayJ m ayJ m 3x m D e f i n i ç ã o 4.5 S e j a 0 : M > M ' u m a f u n ç ã o d i f e r e n c i ã v e l , m u m p on -• to no d o m í n i o da 0 e m' = 0m Se f € < £ ( m ' ) , f o 0€-jf(m). A f u n ç ã o d e f i n i d a p o r f i---- > u (f o 0) ê u m a d e r i v a ç ã o emcfcm ') , o n d e u ê u m v e t o r de T^M, d e s d e que: (af + bg) 0 0 = a ( f o 0) + b ( g o 0), a, b , £ l R (fg) o 0 = (f o 0 ) (g o 0 ) E st a d e r i v a ç ã o e p o r t a n t o u m v e t o r de T m M' e r e p r e s e n tamos po r 0 *m u *

(37)

29 -A função 0* : T M ---- > T ,M ' ^ * m m m d e f i n i d a d e s t e m o d o é c h a m a d a f un ç ã o l i ne ar d e r i v a d a em T M , V a m o s m o s t r a r que ela s a t i s f a z a d e f i n i ç ã o 4.2. (0 *m u) f g = u((fg),0 0 ) = u [ ( f 0 0 ) (g o 0 )] = = (f o 0 ) m .u(g 0 0 ) + u (f 0 0) • (g 0 0) rn = f ( 0ní). 0 *m g + 0 *m f . g ( 0m) f m' • 0 *m g + 0 *m f.gm' D e f i n i ç ã o 4 .6 S e j a m x , y c a r t a s de M e MJ em m e 0m, r e s p e c t i v a m e n t e . C o m o c ad a d e r i v a ç ã o A e m ^ ( m ) ê da f o r m a A=j[Ax*' ( -^-j-) , e nt ão o v e t o r w = 0* u de T , M ’ê r e p r e s e n t a d o por: ^ m m m r w = 0 * u = _{^ * m} y a ( —— ) a 7 K ^ a 0m o n d e po r d e f i n i ç ã o ; w y a = (0 *m u) y a = u ( y a o 0 ) C o n s e q u e n t e m e n t e a f u n ç ã o l i n e a r 0 * m : T m M --- ^0m^' a p l i c a d a aos v e t o r e s da b a s e p a r a T ^ M fica d e f i n i d a por:

( 3 . ) |--- ) (— ã— )

3 X 1 m ^ 3 X 1 m 8y a 0 m

C o m e st a b a s e a m a t r i z da f u n ç ã o l i n e a r 0* ê: m

(38)

9 ( y a o 0 ) 3x^ m J (xm) o n d e e a m a t r i z J a c o b i a n a do r e p r e s e n t a n t e c o o r d e n a do $ = y o 0 o x " 1 da f u n ç ã o 0 . E x e m p l o 4.1 Se e ^ e 2 > ••• ,eR e um a b a s e p a r a u m e s p a ç o v e t o r i a l real A, o i s o m o r f i s m o A ---- ^ IRn d e f i n i d o p o r ^ c ^ e - *----> (ct.l ...a11)

— ~ 00 ^ e um a c a r t a q u e d e f i n e a e s t r u t u r a p a d r ã o C p a r a o e sp a ç o ve to rial real A. D a d o q u a l q u e r v e t o r a £ A d e f i n i m o s u m i s o m o r f i s m o c a n ô n i c o J & : A ---- > T aA P or e i '----^ ~ ^ a ■ 3x S u p o n h a m o s a g o r a q u e A e B são e s p a ç o s v e t o r i a i s reais c o m sua e s t r u t u r a d i f e r e n c i ã v e l p a d r ã o e q u e f! : A ——^ B ê uma f un ç ã o d i f e r e n c i ã v e l . Se a ê um p o n t o no d o m í n i o de 0, temos d e f i n i d a uma / f u n ç ã o l i n e a r

:

V ---- > V B ■ Isto dã o r i g e m a u m a f un ç ã o l i n e a r c h a m a d a d e r i v a d a da 0 no p o n t o a , r e p r e s e n t a d a p o r (D 0 ) e d e f i n i d a por: a <D *» a = J f|a 0 0 J - - A — > B E n t ã o se | e j ^ e | ^ a ) sao b a s e s p a r a A e B r e s p e c t i v a m e n te e se x , y são as c o r r e s p o n d e n t e s c a r t a s p a d r õ e s , t e m o s :

(39)

31 -0 _J0ã "> T xA _a -> T B 0a B • i * - » « ■ ' t ? ’. . — < i i í - 2 4 i > . ( _ w , dX a 3x 9 y E ( 9 (y^ojZf) ) E a a 9 x ‘ A s s i m (D0) e ; a = j_ 1 (jgf (_2— ) ) 0 a * a a x i a = j " 1 f 0a V z (_ 3 ..(aLot.p_ j g ) > _9x ( a- "cr )0a ₎ 9 x a T e m o s o d i a g r a m a c o m u t a t i v o 0 2Y 1 e . € A i _a $ = y o 0 o x-1 y ( Y f .. ,Yn )€ lRn ■+ IR^ ? (BÍ-. . • ,3*) o n d e x (£ ( y1 e .) = ( y - , . . . , y n ) e y ( l g a E ) = ( 3 1 , . . ..gA ) ■ a P o r t a n t o a m a t r i z d a t r a n s f o r m a ç ã o l i n e a r ( D 0 ) a c o r r e s p o n d e n t e a e s c o l h a d a s b a s e s { e . } , { E } é J a , o n d e₁ _ot _^ $ = y o 0 o x -1

(40)

E x e m p l o 4.2 S e j a m A e B e s p a ç o s v e t o r i a i s reais de d i m e n s ã o finit a e 0 : A ---> B uma fu nç ã o linear. E n t ã o p a r a todo u £ A 0* (Ja o) = J 0a C0v) e ( D0 )a = 0 o n d e j é o i s o m o r f i s m o d e f i n i d o no e x e m p l o a n t e r i o r . a V a m o s m o s t r a r que 0* ^ a u ) = e no d e c o r r e r da d e m o n s t r a ç ã o f i c a r á e x p l í c i t o que (D0) =0. 3. te « S e j a m x e y as c a r t a s p a d r õ e s p a r a A e B r e s p e c t i v a m e n S e j a u = H u i e, £ A. E ntão J (u) = 2 Z u 1 (—^-) . 1 » r, X __{3x a} 0, CJa u) - 0 „ a ( 1 ) a a 3x 3x a 3 y “ 0a 0 ê u m a f u n ç ã o e n t r e dois e sp a ç o s v e t o r i a i s de d i m e n s ã o finita. Então: 0 u = 0 ^ u i e i = 2 ^ 0 C = 5 I u i (0 ei) = 2 Z u 1 E a Co mo u* E é u m v e t o r de B, em r e l a ç ã o as c a r t a s x e a a

y

ele ê da f o rm a y i ^ 3 (

y

o 0 )j E a 3x P o r t a n t o : J 0 a ^ ^ = J 0 a (2 I u Í E a ) = J 0a l ( E a \ 9x ^ — 3x 3 3y 0 a

(41)

33 -E assim: M - y o = J 0 a (0 «) E p o r t a n t o ( D 0 ) a u = Iü P r o p o s i ç ã o 4 . 2 Se 0 : M ---- ^ M' e \p : M' ---- são f u n ç õ e s d i f e r e n c i ã v e i s e se m p e r t e n c e ao d o m í n i o de ip o 0, e nt ão ( * 0 n *m = % o P r o v a £ i m e d i a t a u s a n d o a d e f i n i ç ã o 4.5 da f u n ç ã o l i n e a r d e rivada. P r o p o s i ç ã o 4.3 S e j a m as p r o j e ç õ e s : p : M x M ’ ---- ^ M p' : M x M' ---- > M ’ A f u nç ão

■' T ( a , a ' ) c M x M ' ) - - > T a M ® y - . M '

d e f i n i d a p o r w /---- ( p * , p ' * ) tfé um i s o m o r f i s m o .

(42)

P r o v a

C o n s t r u i r e m o s uma f u n çã o i n v e r s a p ar a X, d e f i n i n d o as l if er en c i ã v e i s p, : M' ----x M ’e p , : M ---> M x M'

^ or ‘ m ’ >----} (a,m') e m i--- ) (m,a')

C o n s i d e r e m o s a f u n ç ã o glob al X : T aM ® T a ,M' ---) T ( a a , , (M x M' ) d e f i n i d a p o r (u,u') |--- > P iU + P y ’ . a. * a* -C o m o p o p , , p ' o p. são f u n ç õ e s i d e n t i d a d e e p o p a a a ' P ' o Pa > sao f u n ç õ e s c o n s t a n t e s , s e g u e p e l a p r o p o s i ç ã o 4.2 q u e X (u,u') p r o j e t a - s e sob p*, p'* a u, u' r e s p e c t i v a m e n t e . P o r t a n to X o x e a f u n ç ã o i d e n t i d a d e em T M 0 - T ,M'._ci _â C o m o X e x sao f u n ç õ e s l i n e a r e s e n t r e e s p a ç o s v e t o r i a is de m e s m a d i m e n s ã o , X e x são f un ç õ e s i n v e r s a s u m a da outra. D e f i n i ç ã o 4.7 0 p o s t o de um a f u n ç ã o d i f e r e n c i ã v e l 0 : M ---> M' em u m p o n t o m de seu d o m í n i o é o p o s t o da f u n ç ã o l i n e a r d e r i v a d a 0* : T M ---- M', isto ê, ê a d i m e n s ã o da i m a g e m da f u n ç ã o m m 0m l i n e a r 0 * • _m D e f i n i ç ã o 4 .8 U m a f u n ç ã o d i f e r e n c i ã v e l 0 : M ---- ^ M 1 ê u m a s u b m e r s ã o se p o s t o 0 = d i m M' em c ad a p o n t o de s e u d o m í n i o . S e g u e q u e a f u n ç ã o d e r i v a d a em c a d a e s p a ç o t a n g e n t e ê s o b j e t i v a .

(43)

35 -Se o d o m í n i o da 0 é todo M, 0 ê c h a m a d a uma s u b m e r s ã o de M em M ' . D e f i n i ç ã o 4.9 U m a f i br a de um a funç ão 0 : M ----> M' ê o c o n j u n t o 0 ^p, o n d e p ê u m p o n t o na i m a g e m de 0 . D e f i n i ç ã o 4.10 S e j a p uma r e l a ç ã o de e q u i v a l ê n c i a s o b r e u m a v a r i e d a de de M. R e p r e s e n t a m o s p o r M / p o c o n j u n t o das c l a s s e s de equ.i v a l ê n c i a , isto é, o c o n j u n t o q u o c i e n t e . S e j a y : M ---- ^ M/-p a s o b r e j e ç ã o n a t u r a l qu e l e va cada p o n t o de M em sua c l a s s e áe e q u i v a l ê n c i a . Se aò c o n j u n t o M / p é dada a e s t r u t u r a de u m a v a r i e d a de d i f e r e n c i ã v e l M' tal q u é y : M ---- ^.M' ê uma s u b m e r s ã o , e n t ão M' ê c h a m a d a u m a v a r i e d a d e q u o c i e n t e de M » As c l a s s e s de e q u i v a l ê n c i a de p são as f i b r a s da s o b r e j e ç ã o n a t u r a l y : M --->-M/p. P r o p o s i ç ã o 4 .4 S e j a 0 um a s u b m e r s ã o de M em M ' . Se \p : M' ---- > M ' ' ê tal que ip 0 0 ê d i f e r e n c i ã v e l , e n t ã o ip ê d i f e r e n c i ã v e l . P r ov a S e j a p u m p o n t o no d o m í n i o de ip o 0. E x i s t e m c a r t a s x, y de M, M' em p e 0 p = m tal q u e o re p r e s e n t a n t e c o o r d e n a d o <j.=y o 0 o x ”1 ê (z,w) »---- * z.

(44)

S e j a q a c a r t a de M' ' em ipm.

S u p o n d o qu e o d o m í n i o da c a r t a x esta c o n t i d o no d o m í n i o de y o 0 , e nt ão se j F são os r e p r e s e n t a n t e s c o o r d e n a dos p a r a 0 , iJj r e s p e c t i v a m e n t e .

F o <í> = G é o rep re sen ta n te coordenado para

o 0.

S e j a U x V uma v i z i n h a n ç a de x p = ( a ',a 1 ') na qu al G é d i f e r e n c i ã v é l . Se z £ U, G (z , a ' ') = F O (z , a ’ ')) = F z , p o r t a n t o F ê d i f e r e n c i á v e l em U e c o n s e q u e n t e m e n t e 41 ê d i f e r e n - c i ã v e l em m. D e f i n i ç ã o 4.11 U m a t r a n s f o r m a ç ã o de uma v a r i e d a d e d i f e r e n c i á v e l M é u m d i f e o m o r f i s m o de M s o b r e M. D e f i n i ç ã o 4.12 . D i z e m o s qu e u m g r up o G age em M co mo u m g r u p o de t ra ns f o r m a ç ã o se temos u m a f u n ç ã o global. $ : G x M --- , tal qu e (i) A f u n ç ã o 0 , d e f i n i d a p a r a a l g u m g £ G por o m t---- > í (g,m) ê um a t r a n s f o r m a ç ã o de M. 0 m p o d e r á ser r e p r e s e n t a d o p o r gm. o

(45)

VH 3 7 -(ii) Se g, h £ G 0 0 0u = 0 u ^g h 10 gh A s s i m I : M ---- > M , 0, : M --- > M O m f ---- > $ (g,m) m i --- -> í> (h,m) 0 g h : M ---- > M m /--- > $ (gh,m) o n d e gh é a o p e r a ç ã o d e f i n i d a no g rupo G. D e f i n i ç ã o 4.13 U m g r u p o de t r a n s f o r m a ç ã o G em um a v a r i e d a d e M é d it o n uo se c a d a p o n t o m £ M t e m u m a v i z i n h a n ç a U tal que U 0 (0 U) é o c o n j u n t o v a z i o a m e n o s que o g s ej a o e l e m e n t o n e u t r o e.

(46)

D e f i n i ç ã o 1.1 A u n i ã o de todos os e s p a ç o s t a n g e n t e T m M, a m e d i d a q ue m v a r i a em M, ê c h a m a d a f i b r a d o t a n g e n t e T M da v a r i e d a d e d i f e r e n c i ã v e l M. P o r t a n t o T M é o c o n j u n t o de t o d o s os v e t o r e s t a n g e n t e s à v a r i e d a d e M. T M a d m i t e u ma p r o j e ç ã o ir: T M ---- > M , d e f i n i d a po r ir , = m se e so se u T M. u m D e f i n i ç ã o 1.2 U m a f u n ç ã o d i f e r e n c i ã v e l 0 : M ----^M' d e t e r m i n a u m a fun ção 0* : T M --- > T M 1 d e f i n i d a p o r u |--- —> 0 * u , o n d e m = ttu_m E s t a f u n ç ã o ê c h a m a d a d i f e r e n c i a l da f u n ç ã o 0. D e f i n i ç ã o 1♦3 S e j a m f u n ç õ e s q u a i s q u e r 0 : M ---- ^ M ' e ip : M' ---) M.

(47)

39 -Se 0 © tp e a f u nç ã o i d e n t i d a d e no d o m í n i o da ip , e n tão \p ê c h a m a d a uma s e c ç ã o da f u n çã o 0 , cia a c a d a p o n t o m do s e u d o m í n i o U C M u m v e t o r t a n g e n t e X m em m. Q u a n d o U i n t e r c e p t a o d o m í n i o V de u m a f u n çã o d i f e r e n c i ã v e l m i---- -> (Xm) f A s e c ç ã o X ê c h a m a d a u m c a m p o de v e t o r e s em M se t o das as f u n ç õ e s Xf são d i f e r e n c i á v e i s . Seus d o m í n i o s são n e c e s s a r i a m e n t e s u b c o n j u n t o s a b e r t o s de M. E x e m p l o 1.1 No d o m í n i o de u m a c a r t a x de M a f u n ç ã o 8 d e f i n i -• da p o r S x 1 D e f i n i ç ã o 1.4 U m a s e c ç ã o X : M ---- > T M da f u nç ão tt :TM M a s s o f : M ---- > .$1, d e f i n i m o s um a fu nç a o X f : M ---- ) |R em U D V , por: m l— jã q u e p e l o c a p í t u l o 1-4 e um a i

(48)

m í n i o s p o r m i---- ^ (am)(Xm) + (pm)(Ym) ê u m a s e c ç ã o de n e ê um c a m p o de v e t o r e s . "" 3 C om o os v e t o r e s (— , (i = 1, ... ,n), f o r m a m uma b a s e p a r a T ^ M ( d e f i n i ç ã o I - 4.4), q u a l q u e r c a m p o de v e t o r e s X c uj o d o m í n i o V i n t e r c e p t a o d o m í n i o U da c a r t a x, ê da f orma X =2l A 1 9 em UflV, a x 1

o n d e A 1 : M ---- > IR são d e f ini da s em U O V e A 1 = X x 1 são f u n çõ es d i f e r e n c i á v e i s , d e s d e qu e X x 1 é a f u n ç ã o p r o j e ç ã o na i- êsi m a c o o r d e n a d a de x = (pc1 , ... , x n ) . Se y ê o u t r a s c a r t a de M, cu jo d o m í n i o W i n t e r c e p t a U, s e g u e p e l a d e f i n i ç ã o 1-4.4 8 ='*s~ 9 em UflW, (i,j = 1, ... ,n) a y -1 9y^ 9x-2 - O p e r a d o r d i f e r e n c i a l No c a p í t u l o 1-4 d e f i n i m o s u m v e t o r e m u m p o n t o m £ M c o m o s e n d o uma d e r i v a ç ã o e m ^ j ( m ) . É p o s s í v e l c a r a c t e r i z a r u m c a m p o de v e t o r e s de uma for ma s i m i l a r por sua aç ão em fu nç õ e s de v a l o r e s reais.

(49)

41 -D e f i n i ç ã o 2.1 S e j a M uma v a r i e d a d e d i f e r e n i ã v e l e U um s u b c o n j u n t o a b e r t o de M. D e n o t e m o s p o r^ o c o n j u n t o de t o da s as f un ç õ e s dife ü

r e n c ia v e is f

: M ----

)|R> cujos domínios interceptam

U.

U m o p e r a d o r d i f e r e n c i a l x (de p r i m e i r a ordem) em U e uma f u n ç ã o g l o b a l lR-linear X : v / --- tal qu e se f,g & , U U U da f , (i) 0 d o m í n i o de x f é a i n t e r s e ç ã o de U c o m o d o m í n i o (ii)

x(fg) (xg) + (xf)g

o n d e os d o m í n i o s das f u n ç õ e s e n v o l v i d a s n ã o s ã o vazi os . P o r t a n t o se X e u m c a m p o de vetores" em U , a f u n ç ã o f I--- ) X f ê u m o p e r a d o r d i f e r e n c i a l em U, p oi s x ê u m a f u n ç ã o g l o b a l l i n e a r e s a t i s f a z as c o n d i ç õ e s (i),(ii). R e c i p r o c a m e n t e , temos: P r o p o s i ç ã o 2 . 1 . U m o p e r a d o r d i f e r e n c i a l

x

em u m s u b c o n j u n t o a b e r t o U de M s u r g e de u m ú n i c o c a m p o de v e t o r e s em U. P r ov a S ej a m £ U e h Ê ^ ( m ) Se h ê ^ ( m) , h ê um a f u n ç ã o d i f e r e n c i ã v e l de M em |R

q u e inc lu i o p o n t o m. E n t ã o p e l a c o n d i ç ã o (i) o n ú m e r o real (X h ) m e s t ã d e f i n i d o .

(50)

rP Se f £ , Xf = xf e a s s i m Xf ê d i f e r e n c i á v e l . Por- t an to X ê um c a m p o de v e t o r e s em U. D e f i n i r e m o s a g o r a u m o p e r a d o r d i f e r e n c i a l L = £x ,yJ em u m c o n j u n t o a b e r t o U C M , c h a m a d o C o l c h e t e de Li e dos campos de v e t o r e s X e Y . D e f i n i ç ã o 2.2

S u p o n h a que X , Y são c a m p o s de v e t o r e s em M, cujos d o m í n i o s i n t e r c e p t a m u m c o n j u n t o a b e r t o U d e M. V e j a m o s que a f u n ç ã o g l ob a l A_{L : 3 ^ --- ’} -

____

y i _{d e £ i n i d a P or} L f = X(Yf) - Y(Xf) ê u m o p e r a d o r d i f e r e n c ia l . S u p o n h a m o s q u e o d o m í n i o de Lf ê a i n t e r s e ç ã o de U c o m o d o m í n i o da f. Se a i n t e r s e ç ã o dos d o m í n i o s das f u n ç õ e s f e g e n c o n t r a m U, t e m o s :

(51)

X(Y (f g) ) = X [ f ( Y g ) + ( Y f ) gj = f ( X ( Y g ) ) + X ( Y f ) g + ( X f ) (Yg) + ( X g ) C Y £)' Y ( X ( £ g ) ) = Y [f(Xg) + (Xf)g] = f ( Y ( X g ) ) + Y ( X £ ) g + ( Y £ ) (Xg) + (Yg) (Xf) E n t ã o :

X

(

Y

(

f

g

)

-

Y

(

X

(

f

g

)

=

f

x

(

Y

£

)

-

Y

(

X

£

)

J

'

g

+

£

[x(Yg)

-

Y

(

X

g

)

}

L(fg) = (Lf)g + f(Lg) Se a, b 6 Rj t emos que: L ( a f + b g ) = a(Lf) + b (Lg) P o r t a n t o L ê u m o p e r a d o r d i f e r e n c i a l e m U e s u r g e de u m ú n i c o c a m p o de v e t o r e s em U. D e f i n i ç ã o 2.5 S e j a o c o n j u n t o de todos os c a m p o s de v e t o r e s e m M. A f u n ç ã o plM X plM ---> plM d e £ i n i d a P°r (X,Y) |---- > [x,y] ê (R-bilinear isto ê,

( a j X j * a 2X 2 ,Y) ,--- ) aj [ Xj .y] ♦ a 2 [x 2 ,y ] .

0 d o m í n i o do c a m p o s de v e t o r e s [ x . Y l ê a i n t e r s e ç ã o dos d o m í n i o s de X e Y.

(52)

P r o p o s i ç â o 2.2 Se X, Y são c am p o s de v e t o r e s em M e se U e um s u b c o n j u n t o a b e r t o de M, então: [X | U ,Y | U ] = [x ,y] | U P r o v a P or d e f i n i ç ã o : [x | U , Y |

_u

_]

f = X | IJ (Y | U f) - Y | U (X|U f) E n t ã o :

([X|U, Y] -

[x,Y])f

= X | U (Yf) - Y (X | U

f)

-- X(Yf)+Y(Xf)' = (X|U -- X) ( Y f ) + Y ( X f -- X | U f) = 0 d e s d e que x j u - X ê o c a m p o de v e t o r e s zero em U

e X f = X | U f, em UflV. O b s e r v e m o s que

[X|U, Y ] f= [X,Y] |Uf = X | U (Yf) - Y ( X | U f)

S e g u e que:

Ç x

|U,Y|U] -

[x,Y]

|U^f = X | U (Y |U f) - Y |U (X ]U f) - X |U (Yf)

+ Y (X|U f)

= X |UCY jU f - Yf) + (Y-Y |U) (X |U-f) = 0 d e s d e q u e Y |U f = Y f e (Y - Y |U) (X |U f) = 0

P o r t a n t o

(53)

P r o p r i e d a d e s do o p e r a d o r £ x ,Yj

(i) Se X, Y, Z são c a m p o s de v e t o r e s em M

C x , [y, z] ]+ [y, [ z,x] J + [z,[x,y]] = 0 ( i d e n t i d a d e de Jacobi)

(ii) Se x ê uma c a r t a de M c o m d o m í n i o U, e X,Y são c a mp os de v e t o r e s em M, então:

[x ,y]

I

U V ^ I t X t Y x 1 ) - Y ( X x x ))

1 dx

(iii) Se X , Y são c a m po s de v e t o r e s e f,g são fu nç õ e s d i f e r e n c i á v e i s r e ai s e m M, en tão [fX, gY] = fg [X,Y] + f(Xg) Y - g ( Y f )X P r o v a (i) S u p o n h a que os d o m í n i o s X, Y, Z i n t e r c e p t a m - s e em u m c o n j u n t o a b e r t o U de M. Se f £ jf , e n t ã o : U [X,

[Y,z]]f

= X ( [ Y , Z ]

f)

- [ Y , Z ] (Xf) = X (Y(Zf) - Z ( Y f ) ) - ( Y ( Z ( X f ) ) - Z ( Y ( X f ) ) = X(Y(Zf) - X ( Z ( Y f ) ) - Y ( Z ( X f ) ) + Z ( Y ( X f ) ) D e s e n v o l v e n d o temos: { [ x [ y , z ] ] ♦ [ y , [ z , x ] ] * [ z , [ x , y ] ] } £ = 0 - P D e s d e que isto e v e r d a d e i r o p a r a t o d o f 6 j+^, o c a m p o de v e t o r e s £ j em U d e v e se r zero.

(54)

(ii) S e j a m V e W d o m í n i o s dos ca mp o s de v e t o r e s X e Y, r e s p e c t i v a m e n t e . E n t ã o u H v n W ê o d o m í n i o do c a m p o de v e t o r e s /

[

x

.

y

] |

u

.

Se m p e r t e n c e ao d o m í n i o de £ x , y ] |U e n t ã o x m = (x^m, ... , x 1m, .... x n m) o n d e x 1 são f u n ç õ e s d i f e r e n c i a i s d e f i n i d a s e m u n v f l W . P or t a n t o : Y I U = y ~ Y x 1 J- e X I U = y ~ X x 1 9x 9x Pe la p r o p o s i ç ã o 2.2 |[X,y } |U = £ x | U ,

Y|uJ

. P or d e f i n i ç ã o : ^ [ x | ü , Y | u ] f = X | U ( Y | U f) - Y | U ( X | U f) o n d e f€ C o m o x 1 £ $ s e g u e que:

[x,Y] |U x1

ÇXÇYx1) - YCXx1)) — T '

3x' (iii) S u p o n h a qu e os d o m í n i o s da f, g e h se i n t e r c e p t a m e m u m c o n j u n t o a b e r t o U de M, o n d e f , g , h £ ^ j ^ . [f X , g Y ] h = f X ( g . Y h ) - g Y (f.Xh) = f

[

x

g

. (Yh Cm) ) + gCm) CXCYh))]-g[Yf .(XhCm) + + fmCYCXh))] = f (Xg) Y h C m ) g C Y f ) X h ( m ) + (f g C m ) ( X ( Y h ) ) -- g f C m ) ( Y ( X h ) ) ) = fCXg) Y h ( m ) - g ( Y f ) X h ( m ) + f g ( m ) [x ,yJ h.

(55)

3. 0 f i b r a d o t a n g e n t e e sua e s t r u t u r a p a d r ã o C ” V i m o s q u e uma s e c ç ã o X : M ---- ^ T M de ir é um c a m p o de v e t o r e s se e só se as f u n ç õ e s Xf : M ----y |R são d i f e r e n c i á v e i s e m U H V , o n d e U ê o d o m í n i o de X e V o d o m í n i o da f u n ç ã o d i f e r e n c iã v e l f : M ---- > |R. N o s s o o b j e t i v o a g o r a ê c a r a c t e r i z a r u m c a m p o de v e t o r e s X co mo u m a s e c ç ã o d i f e r e n c i á v e l de tt:TM --- > M. P a r a isto d e v e m o s e x i b i r u m r e p r e s e n t a n t e c o o r d e n a d o F p a r a X q ue s e j a d i f e r e n c i á v e l . D e f i n i ç ã o 3.1 S e j a x u m a c a r t a de M c o m d o m í n i o U. E n t ã o c ad a v e t o r ir p o d e s e r r e p r e s e n t a d o c om o v = ^> a* (— , o n d e a = ( a ^ , a n )ér |Rn e a s s i m p o d e m o s de-ax1 m f i n i r u m a i n j e ç ã o 9 vi (x ,y) : T M ---- > IR^n v |---- > (xm,a) As f u n ç õ e s c o o r d e n a d a s são d e f i n i d a s por: #^2 i i i i x v = x (ttv)=x m , y v = v* ( i= l, ...,n) yx 1 dá a p r o j e ç ã o de v na i - é s i m a c o o r d e n a d a .

(56)

V a m o s m o s t r a r a g o r a q ue o c o n j u n t o d e s t a s cart a s p a d r õ e s f o r m a m um a tl as q u e d e f i n e u m a e s t r u t u r a de d i m e n s ã o 2n no f i b r a d o t a n g e n t e TM. S e j a x' u m a o u t r a c a r ta de M c o m d o m í n i o U' e (3c'y') a c a r t a p a d r ã o a s s o c i a d a de T M a q ua l i n t e r c e p t a o d o m í n i o de (x,y) . E n t ã o os d o m í n i o s de x e x' se i n t e r c e p t a m e a m u d a n ça .de c o o r d e n a d a s f = x ' o x * é u m d i f e o m o r f i s m o . U s a n d o a e q u a ç ã o = 2 1 (— (def.I-4. 9x 8x 1,1 9 x ' 4.) s e g u e q u e a c o r r e s p o n d e n t e m u d a n ç a de c o o r d e n a d a s em T M esta d e f i n i d a em x ( U O U ' ) x lRn por: (z,a) i— ----> (£ z »[jf z ] a) o nde : |Rn ---- ^ M (n x n, (R) ê a m a t r i z J a c o b i a n a da f u n ç ã o 1 Tl Tl C°° , f = x' o x - : |R ---- }|R . S e g u e que e s t a m u d a n ç a de coo d e n a d a s ê u m d i f e o m o r m i s m o , pois ela é o p r o d u t o de u m d i f e o m o f i s m o c o m u m i s o m o r f i s m o linear. P o r t a n t o as c a r t a s p a d r õ e s fo m a m u m a t la s q u e d e f i n e u m a e s t r u t u r a C 00 de d i m e n s ã o 2n no f i b r a d o t a n g e n t e TM. U s a n d o q u a l q u e r c ar ta x de M c o m d o m í n i o U e a c o r r e s p o n d e n t e c a r t a p a d r ã o de T M ,tt e r e p r e s e n t a d a p o r u m a f u n ç ã o (z,a) I---- ^ z, c uj o d o m í n i o ê x U x R n . P r o p o s i ç ã o 3.1 Se 0 : M ---- > M ' ê u m a f u n ç ã o d i f e r e n c i ã v e l , sua d^L

(57)

49 -f e r e n c i a l 0* : T M ---- ^ T M ' ê t a m b é m d i -f e r e n c i ã v e l . P r o v a S e j a v u m p o n t o no d o m í n i o de 0* e as c a r t a s x,x' de M, M' c ujos d o m í n i o s i n c l u e m t tv, 0 (ttv) r e s p e c t i v a m e n t e . S e j a 0 = x' o 0 o x U s a n d o as c o r r e s p o n d e n t e s c ar t a s p a d r õ e s de T M e TM' e d e s d e que: 0* _*m : T M ---- > T ,M' foi d e f i n i d a em 1-4.6 p o r_m _m _r 3x a 3x * ’ s e g u e q u e o r e p r e s e n t a n t e c o o r d e n a d o p a r a 0 * f i c a d e f i n i d o em um a v i z i n h a n ç a de (xv,yv) por: (z ,a) «---- > (<*>z, [ J zj a), e p o r t a n t o ê d i f e r e n c i ã v e l n e s t e pont o. E s t a m o s a g o r a p r e p a r a d o s p a r a m o s t r a r q ue o f i b r a d o t a n g e n t e de M x M' ê n a t u r a l m e n t e d i f e o m õ r f i c o ao p r o d u t o T M x T M '. • P r o p o s i ç ã o 3.2 S e j a m as p r o j e ç õ e s : p: M x M' p ' : M x M ’ -> M ^ M '