Monómios e Polinómios

4xy

5

x



1

4

x



y

3



y

3x

4

3x

4

4xy

5

x



1

4

x



y

3



y

Monómios

(não há adições nem subtrações)

Polinómios

(adições e/ou subtrações de monómios)

 Um monómio é uma expressão onde não aparecem nem adições nem subtrações, ou seja, é um número ou uma letra ou um produto de um número e letras, estas com expoentes naturais.

Exemplos:

3

7 ;

; 5

e

.

2

a

x

b

x y





 Um polinómio é a soma algébrica de monómios.

Definições: Exemplos: 2

3

6

;

e

5

.

2

a

x

x

b

x y

 





 Monómios Semelhantes são os que têm a mesma parte literal.

Definições:

Num monómio podemos distinguir uma parte numérica ou

coeficiente e uma parte literal.

Por exemplo: 2

7

x y



coeficiente _{parte literal}

Exemplos: 3 3

1

;

7

;

e

4 .

5

 Grau de um monómio é a soma dos expoentes das letras.  Monómios Simétricos são monómios semelhantes com coeficientes simétricos. Exemplos: 3 3 2 5 2 5

7

x

e



7 ;

x



3

a b

e

3

a b

.

5

x y



grau: 2 4

 

6

2

x y

grau: 7 1 8





 

Monómio Coeficiente

Parte

Literal

Monómio

Simétrico

Grau do

monómio

8



8

0

3

x



3x

₁

7



7x

2

x

2

x y



2x y

7

2

3



a b

4

8

3x

7x



2x y

2

3

a b



2

3

a b

Perímetro

3

4

4

5

8

33

Para calcular o perímetro da figura vamos concretizar as variáveis

x

y

_x



₁

y



2

4xy

5

x



1

4

x



y

3



y

3x

4

3x

5

x



1

4

3



y

4xy

x



4

y

3

 

1

5

3

  

1

1

4

9

1



4

 

2

9

3

 

2

4

  

5

1

2

8

Adição algébrica de monómios e polinómios

A expressão

simplificada

do perímetro da figura é:

3

x



5

x

    

1 4 3

y

4

xy

 

x

4

y



4xy

5

x



1

4

x



y

3



y

3x

4

4

3

x

5

x

x

y

y

1 4

3

4

xy





  

   



5

9

x

y

6

4

xy





 

Só podemos somar ou subtrair monómios semelhantes,

ou seja, com a mesma parte literal.

Vamos simplificar as seguintes expressões:

2

8

5

4

3x



y

 

y

  

x

5

2

3

x

x

y

4

y

8



 



  

6

2

x

9y







2 2

3

x



xy



5

x

 

x

7

xy



3

x

5

x

x

y

7

xy

x









 

6

8x

xy

x







5

3

2

x

x

x



x









3

5

2

x

x

x

x













2

5

2

2

4

x

x

x











7

2

4

x

x







Produto de monómios

2xy

2xy

2 2





x



x



y



y



4



x y

2

xy



2

xy



A expressão

simplificada

da área do quadrado é:

4 2

4

Produto de um monómio por um polinómio

x

2

x

 

y

3

(2

3)

x

x

  

y

2

x

xy

3

x







(2

3)

x



x

  

y

A expressão

simplificada

da área do retângulo é:

2

3

x

x

x y

x

Vamos simplificar as expressões:

5 (

x x



2

x

 

1)

5

x

10

x

5

x







2

x

(3

x

)

x

2

x



 





6

x

2

x

x

2

x

 









2

x

7

x

2

x

 





3x

2x

4

2





Produto de polinómios

8



2 2



x



 

(4 3 )

x



A expressão

simplificada

da área do retângulo é:

2

6

x

14

x

8







8

6x

8x

6x

6x





8x



6x



a)

₍₅

_x



₁₎₍₃



_x

₎



2

15

x

5

x

3

x





  

Vamos simplificar as expressões:

2

5

x

14

x

3

 





_{(2 3 )(4}



_x

_x

 

₁₎

8

x

2 12

x

3

x



 





12

x

5

x

2

 





Fórmula do quadrado do binómio

2

2

3x

3x





9x



3

x

 

2



(3

x



2)



A expressão

simplificada

da área do quadrado é:

2

9

x

12

x

4







9x

6x

6x

4

6x





6x

 

4





3

x



2



2

9

x



12

x



4





3

x



2



 

3x

2

 

3x

2

2

Fórmula do quadrado do binómio





a



b



a



2

ab b



a)



₂

_x



₅





Calcula:



_x



₄





_x



₈

_x



₁₆



₃

_x



₁





9

x



6

x



1



₃



_5x





_{9 30}



_x



₂₅

_x

2



2x



5

5

4x

 

2x

20x





25

e)



_x



₃





_x



₆

_x



₉

f)



₄

_x



₁





16

x



8

x



1

g)





₅



₆

_x





_{25 60}



_x



₃₆

_x

Fórmula da diferença de quadrados

3x

3x



3

x



2 (3



x



2)



As duas figuras têm a mesma área:

2

2

9x

4

9

x



4

3x

3

x



2

2



1.º 2.º quadrado do 1.º quadrado do 2.º

 

3x

2



3

x



2



(

3

x



2

)



9

x



4

Fórmula da diferença de quadrados



a



b



a



b





a



b

quadrado do 1.º quadrado do 2.º 1.º 2.º 1.º 2.º

a)



₂

_x



₅



₂

_x



₅





_4x

Calcula:





_x



₃





_x



₃





_x



₉



₄

_x



₁



₄

_x

 

₁



₁₆

_x



₁





₅



_6x





₅



₆

_x





25 36x



5

 

2x

25



Fatorização de polinómios

Fatorizar um polinómio significa escrevê-lo como um produto de fatores diferentes de 1.

Para fatorizar um polinómio deve-se:

 ver se há fatores comuns para colocar em evidência

4

x



4

y



4



x



y





2

3

x



5

x



x



3

x



5





2

b) c) d)

a)

Fatoriza cada um dos polinómios pondo em

evidência os fatores comuns:

7

x



7

y



2

x



5

x



10

a



5

a



4

b



12



5

x



x

 

x

 ver se se trata de um caso notável da multiplicação 2

81

18x

x









 





9

9

9

x





x



x





b) c) d)

a)

Fatoriza cada um dos polinómios usando os casos

notáveis da multiplicação:

4

4

y



y

 

4

x



20

x



25



36

a





100 4x





16 24



x



9

x



9

y



49



Lei do anulamento do produto

0

a

  

b

0

0

a

b

 





Um produto é igual a zero quando pelo menos um dos factores é zero, ou seja,



x



3



x



5





0



5

0

0

3

x

x





 







Exemplo:

3

5

x

x

  







3,5



S

 

0 3

0 5

x

x

  



  



4

x



8



3x



1



 

0

4

x

8

0

3

x

1

0















Exercício:

4

x

8

3

x

1



 

  

1

, 2

3

S

 













8

1

4

3

x

x

 



  

1

2

3

x

x

 



 