MODELAMENTO FRACTAL DA FRATURA E DA PROPAGAÇÃO DE TRINCAS EM MATERIAIS

(1)

MODELAMENTO FRACTAL DA FRATURA

E DA PROPAGA

Ç

ÃO DE TRINCAS EM

MATERIAIS

Defesa da Tese de Doutorado de

Lucas M

á

ximo Alves

DOUTORANDO

Bernhard

Joachim Mokross

ORIENTADOR

Jos

é

de Anchieta Rodrigues

CO

(2)

Í

ndice



INTRODU

Ç

ÃO

-

Considera

ç

ões iniciais



FUNDAMENTO DA MF

_{FUNDAMENTO DA MF}

-

_-

CL

_CL

Á

_Á

SSICA

_SSICA



INTRODU

Ç

ÃO A TEORIA FRACTAL DE

MEDIDA



O MODELAMENTO FRACTAL DA SUPERF

Í

CIE

DE FRATURA



O MODELAMENTO FRACTAL DA FRATURA

EST

Á

VEL OU QUASE

-

EST

Á

TICA



RESULTADOS E DISCUSSÕES.



(3)

INTRODU

Ç

ÃO

-

Considera

ç

ões iniciais

Este trabalho foi motivado pelas seguintes circunstâncias

cient

cientííficas e tecnolficas e tecnolóógicas:gicas:

Compromisso entre resistência mecânica,

Compromisso entre resistência mecânica, _f_f, e tenacidade a , e tenacidade a fratura,

fratura, KK_IC_IC, (Ex, discrepância entre um vidro e um metal)., (Ex, discrepância entre um vidro e um metal).



 Qual _Qualé_é o limite m_{o limite m}á_áximo da resistência e da tenacidade a _{ximo da resistência e da tenacidade a}

fratura,

fratura, KK_IC_IC, de um material?, de um material?



 Entender o processo geomEntender o processo geoméétrico de dissipatrico de dissipaçção de energia ão de energia

na fratura (

na fratura (tenacificatenacificaççãoão) dos materiais.) dos materiais.



 A Mecânica da Fratura ClA Mecânica da Fratura Cláássica não leva em conta o ssica não leva em conta o

efeito da rugosidade na sua descri

efeito da rugosidade na sua descriçção matemão matemáática.tica.



 O que pode ser evidenciado de uma teoria fractal da O que pode ser evidenciado de uma teoria fractal da

fratura.



 Em compara_{Em compara}ç_ção com os resultados experimentais o que _{ão com os resultados experimentais o que}

esta teoria acrescenta no entendimento do fenômeno da

fratura.

(4)

Proposi

ç

ão

do

problema



 i)Existe atualmente uma teoria matem_{i)Existe atualmente uma teoria matem}á_ática, capaz de _{tica, capaz de}

fornecer uma descri

fornecer uma descriçção analão analíítica da superftica da superfíície de fratura cie de fratura rugosa, a fim de que esta descri

rugosa, a fim de que esta descriçção possa ser inserido no ão possa ser inserido no formalismo matem

formalismo matemáático da MFC? E qual tico da MFC? E qual éé esta teoria?esta teoria? 

 iiii) Como deveria ser o formalismo matem) Como deveria ser o formalismo matemáático da MFC, tico da MFC,

se na sua elabora

se na sua elaboraçção inicial, tivesse sido possão inicial, tivesse sido possíível inserir vel inserir analiticamente a descri

analiticamente a descriçção da rugosidade das superfão da rugosidade das superfíícies cies de fratura nas suas

de fratura nas suas equaequaççoesoes?? 

 iiiiii) O que pode ser evidenciado da fenomenologia da ) O que pode ser evidenciado da fenomenologia da

MFC, utilizando

MFC, utilizando--se a descrise a descriçção da superfão da superfíícies rugosas de cies rugosas de fratura, por meio da geometria fractal

fratura, por meio da geometria fractal 

 iviv) Em compara) Em comparaçção com os resultados experimentais, ão com os resultados experimentais,

qual

qual éé a precisão e o limite desta abordagem? Ela a precisão e o limite desta abordagem? Ela éé suficiente?

(5)

Metas e objetivos gerais do trabalho



 (i) Verificar, experimentalmente, e reformular os modelos _{(i) Verificar, experimentalmente, e reformular os modelos}

para a fratura, j

para a fratura, jáá exitentesexitentes na literatura, desenvolvidos com na literatura, desenvolvidos com base na teoria fractal;

base na teoria fractal;



 (₍ii_ii) Propor modelos para a propaga_{) Propor modelos para a propaga}ç_ção de trinca, em regime _{ão de trinca, em regime}

est

estáável, usandovel, usando--se a geometria fractal e a descrise a geometria fractal e a descriçção ão elastoelasto- -pl

pláástica dos fenômenos existentes na fratura quasestica dos fenômenos existentes na fratura quase--estestáática;tica;_



 (₍iii_iii) Conferir, reformular, adequar e/ou aperfei_{) Conferir, reformular, adequar e/ou aperfei}ç_çoar os _{oar os}

modelos propostos com base nos experimentos realizados

modelos propostos com base nos experimentos realizados, , para em seguida

para em seguida



 (₍iv_iv) Conhecer e explicar o comportamento das propriedades _{) Conhecer e explicar o comportamento das propriedades}

dos materiais em fun

dos materiais em funçção da microestrutura com a finalidade ão da microestrutura com a finalidade de

(6)



 (v) Gerar contribui(v) Gerar contribuiçções cientões cientííficas, no sentido de se ficas, no sentido de se

compreender melhor alguns dos mecanismos e processos

estruturais e

estruturais e microestruturaismicroestruturais envolvidos na dissipaenvolvidos na dissipaçção da ão da energia da fratura, tais como: defeitos, inclusões, contornos

energia da fratura, tais como: defeitos, inclusões, contornos

de grãos e fenômenos

de grãos e fenômenos elastoelasto--plpláásticos, estendendo os sticos, estendendo os resultados para materiais

resultados para materiais policristalinospolicristalinos, etc;, etc; 



 (vi) Estudar as propriedades mecânicas da fratura de _{(vi) Estudar as propriedades mecânicas da fratura de}

diferentes materiais, a fim de

diferentes materiais, a fim de comparcomparáá--laslas, e sugerir novas , e sugerir novas composi

composiçções ões com com novos novos mecanismos mecanismos tenacificantestenacificantes, , conforme a necessidade.

conforme a necessidade.



 Todo o conhecimento a ser adquirido neste trabalho, _{Todo o conhecimento a ser adquirido neste trabalho,}

permitir

permitiráá aproveitar as diversas propriedades oferecidas aproveitar as diversas propriedades oferecidas pelos materiais, somando

pelos materiais, somando--se as diferentes contribuise as diferentes contribuiçções ões oferecidas pela microestrutura, e otimizar as condi

oferecidas pela microestrutura, e otimizar as condiçções de ões de fabrica

fabricaçção e de uso da peão e de uso da peçça ou produto final. No caso de a ou produto final. No caso de materiais cerâmicos

materiais cerâmicos policristalinospolicristalinos, ser, seráá possivelpossivel projetar projetar novos materiais, capazes de resistir ao impacto em condi

novos materiais, capazes de resistir ao impacto em condiçções ões melhores do que os materiais j

(7)

Objetivos espec

í

ficos do trabalho



(i) Na parte te

ó

rica, caracterizar a geometria descrita

pela trinca, sob o aspecto fractal.





(

ii

)

Fundamentar

os

conceitos

geom

é

tricos,

extra

í

dos da teoria fractal, e

aplic

á

-

los

à

fratura,

visando

-

se



(

iii

) Construir uma linguagem precisa, para a

descri

ç

ão matem

á

tica da MFC, dentro da nova visão

da teoria fractal



(

iv

) Estabelecer, corretamente, a medida da

á

rea

rugosa da fratura.



(v) Modelar e descrever a estrutura irregular das

trincas e superf

(8)



 (vi) Medir a dimensão fractal e procurar _{(vi) Medir a dimensão fractal e procurar}relacion_relacioná_á-_-la_la com _com

o comprimento da trinca (ou com a

o comprimento da trinca (ou com a áárea da rea da superficiesuperficie de de fratura) e com a taxa de libera

fratura) e com a taxa de liberaçção da energia elão da energia eláástica, stica, GG, , ou

ou JJ.. com a finalidade de:com a finalidade de:



 (₍vii_vii) Relacionar a caracteriza_{) Relacionar a caracteriza}ç_ção _ãofractogr_fractográ_áfica_fica e fractal da _{e fractal da}

superf

superfíície de fratura com o processo quasecie de fratura com o processo quase--estestáático de tico de dissipa

dissipaçção de energia e instabilidade da trinca.ão de energia e instabilidade da trinca.



 (₍viii_viii) Explicar o crescimento da curva _{) Explicar o crescimento da curva}J_J-_-R_R nos materiais _{nos materiais}

atrav

atravéés da descris da descriçção matemão matemáática fractal da rugosidade,tica fractal da rugosidade, (

(ixix) Relacionar quaisquer outras grandezas que se fizerem ) Relacionar quaisquer outras grandezas que se fizerem necess

(9)

A forma de abordagem do

problema



Toda a problem

á

tica da descri

ç

ão

matem

á

tica da Mecânica da Fratura, tem

como base dois aspectos: a rugosidade das

superf

í

cies geradas e o campo de

tensão/deforma

ç

ão, aplicados ao corpo de

prova. Este trabalho tratou da descri

ç

ão

matem

á

tica, fractal, do primeiro aspecto,

isto

(10)

Metodologia teórico-experimental



Os

modelos

foram

desenvolvidos

generalizando

-

se o formalismo matem

á

tico da

MFC, com base na geometria fractal.



Essa generaliza

ç

ão, foi feita basicamente

atrav

é

s da rela

ç

ão entre a

á

rea projetada e a

á

rea

rugosa, que corresponde a

á

rea verdadeira do

processo.



Neste sentido, todas as equa

ç

ões cl

á

ssicas

contidas neste trabalho foram corrigidas pela

geometria fractal.

(11)



Para comprova

ç

ão dos modelos, utilizou

-

se

resultados de ensaios experimentais j

á

realizados

pela estudante, Rosana

Vilarim

da Silva, no

Laborat

ó

rio de Ensaios Mecânicos da EESC, tais

como: ensaio de flexibilidade e de

m

ú

tiplos

corpos

de prova, utilizando o conceito de curva

J

-

R

em

amostras de cerâmica, metal e pol

í

mero (PMMA)

e

poliuretano

(extra

í

do do

ó

leo da mamona).



Durante o ensaio de fratura, a taxa de energia

el

á

stica liberada,

G

, ou

J

, pôde ser obtida

indiretamente via software pelo sistema de

aquisi

ç

ão de dados, acoplado

à

m

á

quina de

ensaios, atrav

é

s da curva

Carga x Deslocamento

da trinca.

(12)



Ap

ó

s o ensaio, foram feitas as devidas

caracteriza

ç

ões geom

é

tricas das

superficies

de fratura, atrav

é

s da an

á

lise

fractogr

á

fica

por Microscopia Eletrônica de Varredura

(MEV).



A an

á

lise fractal da

superficie

de fratura, foi

feita por meio de um m

é

todo desenvolvido

pelo estudante de doutorado Lucas M

á

ximo

Alves, o qual chamou

-

se de

“

an

á

lise das

ilhas de contraste

”

. Este m

é

todo,

é

an

á

logo

ao m

é

todo das ilhas cortadas de

Mandelbrot

(13)

Arcabou

ç

o

do

desenvolvimento

do

trabalho

de

pesquisa

realizado

(14)

FUNDAMENTOS DA MECÂNICA DA

FRATURA CL

Á

SSICA



Modelo

de

uma placa

plana

e

infinita

de

espessura

desprez

espessura

desprez

í

vel

sujeita

a

uma tensão

remota

,



= cte

.



Esta teoria não leva

em

conta

a

rugosidade

das

superf

í

cies

de

fratura

.

Por

esta

razão

não

explica diversos efeitos

dependentes

da

dependentes

da

rugosidade

(15)



 BalanBalançço energo energéético de Griffithtico de Griffith--IrwinIrwin

dF

dF –– dUdU  dUdU



 CondiCondiçção quaseão quase--estestáática de propagatica de propagaçção (grampos ão (grampos

fixos)

dF =

dF = XduXdu= 0= 0 

 Irwin_Irwin-_-Orovan_Orovan

(

(22_eff_eff = 2= 2_e_e + + _p_p))



 Condi_Condiç_ção de deforma_{ão de deforma}ç_ção plana ou _{ão plana ou}triaxialidade _{triaxialidade}

( (_x_x, , _y_y, , , , _z_z) )  KK_IC_IC = = ctecte o o o o o o dL U F d J E L U ( ) 2 2       eff o o o o eff o dL dU R L U_  2     2 ) . ( 2 constante Ex vidro J R J Irwin Griffith de propagação de Critério ef o o o       E L dL dU J F p o o o o o 2 0 /      

(16)

INTRODU

Ç

ÃO A TEORIA FRACTAL DE

MEDIDA



 FRACTAL_FRACTAL -_- são objetos geom_{são objetos geom}é_étricos cuja a dimensão de _{tricos cuja a dimensão de}

Haussdorf

Haussdorf--BesicovitchBesicovitch excede excede estritamente estritamente a a dimensão dimensão topol

topolóógica e possuem estruturas em todas as suas escalas de gica e possuem estruturas em todas as suas escalas de amplia

ampliaçção, comumente com alguma similaridade entre elasão, comumente com alguma similaridade entre elas



 Invariância por transforma_{Invariância por transforma}ç_ção de escala_{ão de escala} -_- partes semelhantes _{partes semelhantes}

ao todo que pode ser por:

AUTO

AUTO--SIMILARIDADESIMILARIDADE ou ou AUTOAUTO--AFINIDADEAFINIDADE..

(Ex. um Pinheiro) (Ex. uma Trinca)



 A extensão do objetoA extensão do objeto, , MM_d_d, , depende do tamanho da rdepende do tamanho da réégua de gua de

medida utilizada,

medida utilizada, , isto , isto éé,,

M

M_d_d((_) = ) = MM_do_do_d-d-D D _se_se_{D = d}_{D = d}__ _M_M d

d(() = ) = MMdodo..



(17)



. Medida de uma

á

rea de dimensão

D = 2

, feita

com diversos padrões de medida

u

_D_D

= 1, 2, 3

.

         D para D para M D para M_D _Do     0 ) (

(18)



 Compara_Comparaç_ção entre a geometria euclidiana e a geometria _{ão entre a geometria euclidiana e a geometria}

fractal.

fractal. DD, , dd e e DD_f_frepresentam as dimensões topolrepresentam as dimensões topolóógica, gica, euclidiana e fractal, de um ponto, de um segmento, de

euclidiana e fractal, de um ponto, de um segmento, de

uma superf

(19)

Modelo Fractal de Estruturas



Padrão geom

é

trico auto

-

similar

construido

a partir

da itera

ç

ão de padrões geom

é

tricos com estruturas

em escalas sucessivas de amplia

(20)



Fractais ramificados, mostrando os elementos de

estrutura, ou as unidades

geometricas

elementares,

de dois fractais. a) Fractal matem

á

tico auto

-

similar

b) Fractal f

(21)

Tipos de Escalonamento



 Constru_Construç_ção matem_{ão matem}á_ática de um fractal, seguindo uma regra b_{tica de um fractal, seguindo uma regra b}á_ásica de _{sica de}

preencimento

preencimento do espado espaçço a) o a) CoalescênciaCoalescência: : ll_rk_rk = vari= variáávelvel , , LL_o_o = = ctecte, b) , b) Fragmenta

Fragmentaçção: ão: ll_rk_rk = vari= variáávelvel, , LL_o_o = = ctecte c) Crescimento: c) Crescimento: ll_o_o = = ctecte, , LL_rk_rk = = vari

(22)

Auto

-

Similaridade



 Fractal autoFractal auto-- similar similar DxDx = = DyDy = = Dz = D;Dz = D;

d

d  D D  d+1 ; d+1 ; DxDx + + DyDy + Dz = d+1+ Dz = d+1 d = dimensão de proje

(23)

Auto

-

Afinidade



Fractal auto

-

afim

Dx Dx = = DyDy  HH d d  D D  d+1d+1 Dx Dx + + DyDy + H = d+1+ H = d+1 d = dimensão de proje

d = dimensão de projeççãoão

d+ 1 = dimensão de imersão d+ 1 = dimensão de imersão

(24)

O MODELAMENTO FRACTAL DA

SUPERF

Í

CIE DE FRATURA



 Diferentes tipos de defeitos presentes num material que Diferentes tipos de defeitos presentes num material que

agem como concentradores de tensão e influenciam na

forma

(25)



 Diferentes nDiferentes nííveis hierveis hieráárquicos estruturais de uma fratura rquicos estruturais de uma fratura

em fun

em funçção da escala de observaão da escala de observaçção a) não a) níível atômico b) vel atômico b) nivel

nivel cristalino (degraus de clivagem) c) ncristalino (degraus de clivagem) c) níível vel microestrutural

microestrutural ((microsuperfmicrosuperfííciescies de fratura) e d) nde fratura) e d) níível vel macroestrutural

(26)

(27)



 SuperfSuperfíície ou perfil de cie ou perfil de

fratura (

fratura (triaxialidadetriaxialidade, , _x_x, ,



_y_y, , _z_z, ou deforma, ou deformaçção ão plana,

plana, KK_IC_IC = = ctecte))













































  1 2 2 2

1

2 )

2 (

1

H o o H o o o

L

l

L

l

H

dL



 Modelo matemModelo matemáático autotico auto-

-afim ( afim (Dx Dx = = DyDy  HH)) 2 2

1

2



















H o o o

L

l

L

(28)

Gr

á

fico

do

comprimento rugoso

,

L

,

mostrando

a

influência

dos

parâmetros

do

modelo



 Efeito da_{Efeito da} altura_altura, _,Ho,_Ho, sobre_sobre o _o

comprimento rugoso comprimento rugoso, , LL.. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 H_o = 0.00001 H o = 0.0001 H_o = 0.001 H_o = 0.01 H_o = 0.1 C om p ri m en to rugoso da t ri nca L (m m )

comprimento projetado da trinca L_o (mm)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 50 100 150 200 250 H = 0.2 H = 0.4 H = 0.6 H = 0.8 H = 1.0 C o m p ri m e n to r u g o s o d a t ri n c a L ( m m )



 Efeito _Efeitodo _doexpoente_expoente Hurst, _Hurst,H,_H,

sobre

sobre o o comprimento rugosocomprimento rugoso, ,

L L..

(29)

Postulados de transforma

ç

ão da MF

-

-Cl

Cl

á

ssica para a MF

-

Fractal



 Equivalência energEquivalência energéética de tica de IrwinIrwin

o U U deformação de Energia    

 Invariância das equa_{Invariância das equa}ç_ções para o caminho rugoso_{ões para o caminho rugoso}

o U U superfície de Energia    o effo o oc eff c G L L G L L 2



2



  

(30)

O MODELAMENTO FRACTAL DA

FRATURA EST

Á

VEL



 BalanBalançço energo energéético de Griffithtico de Griffith--IrwinIrwin ((dF dF –– dUdU  dUdU



 Condi_Condiç_ção de grampos fixos (_{ão de grampos fixos (}dF = _{dF =}Xdu_Xdu= 0_{= 0})₎



 CondiCondiçção Quaseão Quase--EstEstáática de Propagatica de Propagaçção ou Critão ou Critéério de rio de

Griffith

Griffith--IrwinIrwin ((JJoo  RRoo))

 

MF

_MF

-

Cl

á

ssica

 

MF

_MF

-

_-

Fractal

_Fractal

o o o o o o o dL dU R dL U F d J  (  ) ;   o eff o o o o o o dL dL dL dL R R dL dL dL dU R dL dL dL U F d J   2 ; ) ( 0     

(31)

Grandezas em fun

ç

ão da

Á

rea Projetada da

Fratura

corrigida pela rugosidade da

superf

í

cie de fratura

                   2 2 2 2 1 2 H o o o o L l E L U                    2 2 1 2 2 H o o o eff o L l L U_  



Energia de Deforma

ç

ão



Energia de Superf

í

cie



Taxa de Energia

Elasto

-

-Pl

Pl

á

stica Liberada Fractal

                   2 2 2 ) 2 ( 1 H o o o o L l H E L J 

(32)



 GrGrááfico da Energia de fico da Energia de

Deforma

Deformaçção, ão, UUoo x x LLoo



 GrGrááfico da Energia de fico da Energia de

Superf

Superfíície, cie, UU x x L_Loo

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2000 4000 6000 8000 10000 H = 0.2 H = 0.4 H = 0.6 H = 0.8 H = 1.0 E n e rg ia d e S u p e rf íc ie U o ( J )

Gr

á

ficos das

grandezas em fun

ç

ão da

Á

rea

Projetada da Fratura

corrigida pela

rugosidade da superf

í

cie de fratura

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -60000 -50000 -40000 -30000 -20000 -10000 0 H = 0.2 H = 0.4 H = 0.6 H = 0.8 H = 1.0 E n e rg ia d e D e fo rm a ç ã o U o ( J )

(33)

Balan

ç

o Energ

é

tico

de Griffith

-

Irwin

corrigido

pelo modelo

fractal

da rugosidade

 

MF

-

Cl

á

ssico

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 E n e rg ia T o ta l (U = U o + U  ) (J )

comprimento projetado da trinca L_o (mm) H = 0.2 H = 0.4 H = 0.6 H = 0.8 H = 1.0  

MF

-

Fractal

(34)

RESULTADOS da Superf

í

cie de Fratura



 AnAnáálise das lise das ““Ilhas de Ilhas de Contraste Contraste”” 100 1000 10000 10 100 1000 10000 B2CT2 Ajuste Linear lo g Á re a log Perímetro 

(35)



 Tabela _Tabelados _dosResultados da an_{Resultados da an}á_álise_lise das_das superf_superfí_íces_ces de _defratura pelo _{fratura pelo}

m

méétodotodo das das ““IlhasIlhas de de ContrasteContraste””

Amostras  = 2/D = 2/(2-H) D = 2 - H H = 2 - D A1CT1 1.0544 ± 0.0094 1.89681 ± 0.16910 0.10319 ± 0.00092 A1CT2 1.5468± 0.0297 1.29298 ± 0.02483 0.70702 ± 0.01357 B1CT2 1.6818± 0.0329 1.18922 ± 0.02326 0.81078 ± 0.01586 B1CT6 1.6315 ± 0.0435 1.22589 ± 0.03268 0.77411 ± 0.02064 B2CT2 1.4100 ± 0.1200 1.42000 ± 0.12085 0.58000 ± 0.04936 B2CT7 1.6437 ± 0.0186 1.21680 ± 0.01377 0.78320 ± 0.00886 B1SE[B]6 1.6525 ± 0.0260 1.21030 ± 0.01904 0.78970 ± 0.01242 B1SE[B]7 1.6106 ± 0.0224 1.2418 ± 0.01727 0.75820 ± 0.01054 PU0.5 1.3281 ± 0.0178 1.50590 ± 0.02018 0.49410 ± 0.00662 PU1.0 1.3330 ± 0.0122 1.50034 ± 0.01373 0.49966 ± 0.00457 Cerâmica 1.6632 ± 0.0200 1.2025± 0.0144 0.7975± 0.00959 Amostras  = 2/D = 2/(2-H) D = 2 - H H = 2 - D A1CT1 1.0544 ± 0.0094 1.89681 ± 0.16910 0.10319 ± 0.00092 A1CT2 1.5468± 0.0297 1.29298 ± 0.02483 0.70702 ± 0.01357 B1CT2 1.6818± 0.0329 1.18922 ± 0.02326 0.81078 ± 0.01586 B1CT6 1.6315 ± 0.0435 1.22589 ± 0.03268 0.77411 ± 0.02064 B2CT2 1.4100 ± 0.1200 1.42000 ± 0.12085 0.58000 ± 0.04936 B2CT7 1.6437 ± 0.0186 1.21680 ± 0.01377 0.78320 ± 0.00886 B1SE[B]6 1.6525 ± 0.0260 1.21030 ± 0.01904 0.78970 ± 0.01242 B1SE[B]7 1.6106 ± 0.0224 1.2418 ± 0.01727 0.75820 ± 0.01054 PU0.5 1.3281 ± 0.0178 1.50590 ± 0.02018 0.49410 ± 0.00662 PU1.0 1.3330 ± 0.0122 1.50034 ± 0.01373 0.49966 ± 0.00457 Cerâmica 1.6632 ± 0.0200 1.2025± 0.0144 0.7975± 0.00959 Amostras Amostras  = 2/D = 2/(2-H) = 2/D = 2/(2-H) D = 2 - HD = 2 - H H = 2 - DH = 2 - D A1CT1 A1CT1 1.0544 ± 0.00941.0544 ± 0.0094 1.89681 ± 0.169101.89681 ± 0.16910 0.10319 ± 0.000920.10319 ± 0.00092 A1CT2 A1CT2 1.5468± 0.02971.5468± 0.0297 1.29298 ± 0.024831.29298 ± 0.02483 0.70702 ± 0.013570.70702 ± 0.01357 B1CT2 B1CT2 1.6818± 0.03291.6818± 0.0329 1.18922 ± 0.023261.18922 ± 0.02326 0.81078 ± 0.015860.81078 ± 0.01586 B1CT6 B1CT6 1.6315 ± 0.04351.6315 ± 0.0435 1.22589 ± 0.032681.22589 ± 0.03268 0.77411 ± 0.020640.77411 ± 0.02064 B2CT2 B2CT2 1.4100 ± 0.12001.4100 ± 0.1200 1.42000 ± 0.120851.42000 ± 0.12085 0.58000 ± 0.049360.58000 ± 0.04936 B2CT7 B2CT7 1.6437 ± 0.01861.6437 ± 0.0186 1.21680 ± 0.013771.21680 ± 0.01377 0.78320 ± 0.008860.78320 ± 0.00886 B1SE[B]6 B1SE[B]6 1.6525 ± 0.02601.6525 ± 0.0260 1.21030 ± 0.019041.21030 ± 0.01904 0.78970 ± 0.012420.78970 ± 0.01242 B1SE[B]7 B1SE[B]7 1.6106 ± 0.02241.6106 ± 0.0224 1.2418 ± 0.017271.2418 ± 0.01727 0.75820 ± 0.010540.75820 ± 0.01054 PU0.5 PU0.5 1.3281 ± 0.01781.3281 ± 0.0178 1.50590 ± 0.020181.50590 ± 0.02018 0.49410 ± 0.006620.49410 ± 0.00662 PU1.0 PU1.0 1.3330 ± 0.01221.3330 ± 0.0122 1.50034 ± 0.013731.50034 ± 0.01373 0.49966 ± 0.004570.49966 ± 0.00457 Cerâmica Cerâmica 1.6632 ± 0.02001.6632 ± 0.0200 1.2025± 0.01441.2025± 0.0144 0.7975± 0.009590.7975± 0.00959

(36)

DISCUSSÕES



 Foi poss_{Foi poss}í_ível obter uma rela_{vel obter uma rela}ç_ção matem_{ão matem}á_ática entre o caminho _{tica entre o caminho}

rugoso,

rugoso, LL, e projetado, , e projetado, LL_o_o..



 O tamanho de r_{O tamanho de r}é_égua m_{gua m}í_ínima, _nima, l_l_o_o, aponta para o tamanho _{, aponta para o tamanho}

cr

críítico mtico míínimo para a fratura, nimo para a fratura, aa, sugerido por , sugerido por MishnaevskyMishnaevsky..



 A existência de um tamanho m_{A existência de um tamanho m}í_ínimo, _nimo,l_l_o_o= a_{= a}, para a fratura _{, para a fratura}

dependente das propriedades do material, implica em um

escalonamento fractal,

escalonamento fractal, = l_o/L_o = a/L_o , não arbitr, não arbitráário.rio.



 As medidas experimentais confirmam a _{As medidas experimentais confirmam a}fractalidade_fractalidade auto_auto-

-afim da superf

(37)

RESULTADOS da Fratura Quase

-

Est

á

tica

 

Gr

á

fico de

J

oo

x

L

oo

Te

ó

rico

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1000 2000 3000 4000 5000 H = 0,2 H = 0,4 H = 0,6 H = 0,8 H = 1,0 C u rv a J R ( J o u le s /m 2 )

comprimento projetado da trinca (mm)

 

Gr

á

fico de

J

oo

x

L

oo

Experimental

                          2 2 2 2 1 2 ) 2 ( 1 2 H o o H o o eff o L l L l H J 

(38)



 Tabela dos ajuste das curva JTabela dos ajuste das curva J--R para o Modelo AutoR para o Modelo Auto--AfimAfim

Material Amostra 2_e + _p (KJ/m2₎

lo(mm) H(teo) H(exp) Constante

(KJ.mm1-H₎ Metálico A1CT2 73,06782  9,24015 0,11671  0,02992 0,37721  0,01671 0,70702  0,01357 451,83955  200,54029 A2SE(B) 2 19,43401  0,05183  0,20463  0,05635 - 367,36682  B1CT6 _{19,86755 } 6,01971 0,17699  0,1327 0,49198  0,05436 0,77411  0,02064 72,21186  B2CT2 _{37,07451 } 4,59279 0,07472  0,02642 0,56948  0,00692 0,58000  0,04936 162,02324  80,45072 Polimérico PU0.5 0,02688  0,00035  0,36388  0,14761 0,49410  0,00622 6,94435  PU1.0 0,30541  0,00536  0,50060  0,18209 0,49966  0,00457 6,23528  Cerâmico Alumina 0,0301870 7  0,2493645  1.00000  0,79750  0,00959 0,03018707  Material Amostra 2_e + _p (KJ/m2₎

lo(mm) H(teo) H(exp) Constante

(KJ.mm1-H₎ Metálico A1CT2 73,06782  9,24015 0,11671  0,02992 0,37721  0,01671 0,70702  0,01357 451,83955  200,54029 A2SE(B) 2 19,43401  0,05183  0,20463  0,05635 - 367,36682  B1CT6 _{19,86755 } 6,01971 0,17699  0,1327 0,49198  0,05436 0,77411  0,02064 72,21186  B2CT2 _{37,07451 } 4,59279 0,07472  0,02642 0,56948  0,00692 0,58000  0,04936 162,02324  80,45072 Polimérico PU0.5 0,02688  0,00035  0,36388  0,14761 0,49410  0,00622 6,94435  PU1.0 0,30541  0,00536  0,50060  0,18209 0,49966  0,00457 6,23528  Cerâmico Alumina 0,0301870 7  0,2493645  1.00000  0,79750  0,00959 0,03018707  Material

Material AmostraAmostra 2_e + _p (KJ/m2₎

2_e + _p (KJ/m2₎

lo(mm)

lo(mm) H(teo)H(teo) H(exp)H(exp) Constante

(KJ.mm1-H₎ Constante (KJ.mm1-H₎ Metálico Metálico A1CT2 A1CT2 73,06782  9,24015 73,06782  9,24015 0,11671  0,02992 0,11671  0,02992 0,37721  0,01671 0,37721  0,01671 0,70702  0,01357 0,70702  0,01357 451,83955  200,54029 451,83955  200,54029 A2SE(B) 2 A2SE(B) 2 19,43401  19,43401  0,05183 0,05183  0,20463  0,05635 0,20463  0,05635 -- 367,36682  367,36682  B1CT6 B1CT6 _{19,86755 } 6,01971 19,86755  6,01971 0,17699  0,1327 0,17699  0,1327 0,49198  0,05436 0,49198  0,05436 0,77411  0,02064 0,77411  0,02064 72,21186  72,21186  B2CT2 B2CT2 _{37,07451 } 4,59279 37,07451  4,59279 0,07472  0,02642 0,07472  0,02642 0,56948  0,00692 0,56948  0,00692 0,58000  0,04936 0,58000  0,04936 162,02324  80,45072 162,02324  80,45072 Polimérico Polimérico PU0.5 PU0.5 0,02688 0,02688  0,00035 0,00035  0,36388  0,14761 0,36388  0,14761 0,49410  0,00622 0,49410  0,00622 6,94435  6,94435  PU1.0 PU1.0 0,30541 0,30541  0,00536 0,00536  0,50060  0,18209 0,50060  0,18209 0,49966  0,00457 0,49966  0,00457 6,23528  6,23528  Cerâmico

Cerâmico AluminaAlumina 0,0301870 7  0,0301870 7  0,2493645  0,2493645  1.00000  1.00000  0,79750  0,00959 0,79750  0,00959 0,03018707  0,03018707 

(39)



 Tabela dos ajuste das curva JTabela dos ajuste das curva J--R para o Modelo AutoR para o Modelo Auto--similarsimilar

Material Amos tra 2_e + _p

(KJ/ m2₎

l_o(mm) H(teo) H(e xp ) Constante

(KJ.mm1-H₎ Metálico A1CT2 15,24868  1,92835 0,00963  0,00247 0,41734  0,01849 0,70702  0,01357 360,9775  160,90 A2SE(B)2 2,20748  0,00382  0,20799  0,05727  325,2874  B1CT 6 3,98898  1,20863 0,00498  0,00373 0,57297  0,03804 0,77411  0,02064 54,78316  B2CT 2 15,15793  1,87776 0,01525  0,00539 0,59199  0,00408 0,58000  0,04936 117,6223  57,434 Polimérico PU0.5 1,21669  0,13085  0,47622  0,06543 0,49410  0,00622 5,37921  PU1.0 3,13883  1,01222  0,50291  0,06957 0,49966  0,00457 4,67078 

Cerâ mico Alumina 0,03018707



0,2493645 1.00000  0,7975 

0,00959

0,03018707 

Material Amos tra 2_e + _p

(KJ/ m2₎

l_o(mm) H(teo) H(e xp ) Constante

(KJ.mm1-H₎ Metálico A1CT2 15,24868  1,92835 0,00963  0,00247 0,41734  0,01849 0,70702  0,01357 360,9775  160,90 A2SE(B)2 2,20748  0,00382  0,20799  0,05727  325,2874  B1CT 6 3,98898  1,20863 0,00498  0,00373 0,57297  0,03804 0,77411  0,02064 54,78316  B2CT 2 15,15793  1,87776 0,01525  0,00539 0,59199  0,00408 0,58000  0,04936 117,6223  57,434 Polimérico PU0.5 1,21669  0,13085  0,47622  0,06543 0,49410  0,00622 5,37921  PU1.0 3,13883  1,01222  0,50291  0,06957 0,49966  0,00457 4,67078 

Cerâ mico Alumina 0,03018707

 0,2493645 1.00000  0,7975  0,00959 0,03018707  Material

Material Amos traAmos tra 2_e + _p

(KJ/ m2₎

2_e + _p

(KJ/ m2₎

l_o(mm)

l_o(mm) H(teo)H(teo) H(e xp )H(e xp ) Constante

(KJ.mm1-H₎ Constante (KJ.mm1-H₎ Metálico Metálico A1CT2 A1CT2 15,24868  1,92835 15,24868  1,92835 0,00963  0,00247 0,00963  0,00247 0,41734  0,01849 0,41734  0,01849 0,70702  0,01357 0,70702  0,01357 360,9775  160,90 360,9775  160,90 A2SE(B)2 A2SE(B)2 2,20748 2,20748  0,00382 0,00382  0,20799  0,05727 0,20799  0,05727   325,2874 325,2874  B1CT 6 B1CT 6 3,98898  1,20863 3,98898  1,20863 0,00498  0,00373 0,00498  0,00373 0,57297  0,03804 0,57297  0,03804 0,77411  0,02064 0,77411  0,02064 54,78316  54,78316  B2CT 2 B2CT 2 15,15793  1,87776 15,15793  1,87776 0,01525  0,00539 0,01525  0,00539 0,59199  0,00408 0,59199  0,00408 0,58000  0,04936 0,58000  0,04936 117,6223  57,434 117,6223  57,434 Polimérico Polimérico PU0.5 PU0.5 1,21669 1,21669  0,13085 0,13085  0,47622  0,06543 0,47622  0,06543 0,49410  0,00622 0,49410  0,00622 5,37921  5,37921  PU1.0 PU1.0 3,13883 3,13883  1,01222 1,01222  0,50291  0,06957 0,50291  0,06957 0,49966  0,00457 0,49966  0,00457 4,67078  4,67078  Cerâ mico

Cerâ mico AluminaAlumina 0,03018707

 0,03018707  0,2493645 0,2493645 1.00000 1.00000  0,7975  0,00959 0,7975  0,00959 0,03018707  0,03018707 

(40)

Dados calculados a partir dos modelos auto-afim e auto-similar Material Amostra _f(107 N/m2₎ E (107_N/m2₎ p/ l_o auto-similar K_IC(N.m-3/2₎ p/ l_oauto-similar E (107_N/m2₎ p/ l_oauto-afim K_IC(N.m-3/2₎ p/ l_oauto-afim Metálico A1CT2 5,16 0,52825463 283816,59245 1,3360761 988049,43125 A2SE(B)2 7,57 1,8112216 523969,17429 3,6282991 1,15982E6 B1CT6 7,71 2,33145 304960,77721 16,636541 1,81804E6 B2CT2 4,84 1,2735241 167668,69319 1,9627247 617605,14095 Polimérico PU0.5 0,407 0,55967058 82519,42803 0,067760635608 66 4267,79321 PU1.0 0,407 1,6782081 229512,74257 0,091331423748 51 16701,35627 Cerâmico Alumina 3,4 3000,0008 951636,66572 0,084214094818 90 159442,05139 Material Amostra _f(107 N/m2₎ E (107_N/m2₎ p/ l_o auto-similar K_IC(N.m-3/2₎ p/ l_oauto-similar E (107_N/m2₎ p/ l_oauto-afim K_IC(N.m-3/2₎ p/ l_oauto-afim Metálico A1CT2 5,16 0,52825463 283816,59245 1,3360761 988049,43125 A2SE(B)2 7,57 1,8112216 523969,17429 3,6282991 1,15982E6 B1CT6 7,71 2,33145 304960,77721 16,636541 1,81804E6 B2CT2 4,84 1,2735241 167668,69319 1,9627247 617605,14095 Polimérico PU0.5 0,407 0,55967058 82519,42803 0,067760635608 66 4267,79321 PU1.0 0,407 1,6782081 229512,74257 0,091331423748 51 16701,35627 Cerâmico Alumina 3,4 3000,0008 951636,66572 0,084214094818 90 159442,05139 Material

Material AmostraAmostra _f(107

N/m2₎ _f(107 N/m2₎ E (107_N/m2₎ p/ l_o auto-similar E (107_N/m2₎ p/ l_o auto-similar K_IC(N.m-3/2₎ p/ l_oauto-similar K_IC(N.m-3/2₎ p/ l_oauto-similar E (107_N/m2₎ p/ l_oauto-afim E (107_N/m2₎ p/ l_oauto-afim K_IC(N.m-3/2₎ p/ l_oauto-afim K_IC(N.m-3/2₎ p/ l_oauto-afim Metálico Metálico A1CT2 A1CT2 5,165,16 0,528254630,52825463 283816,59245283816,59245 1,33607611,3360761 988049,43125988049,43125 A2SE(B)2

A2SE(B)2 7,577,57 1,81122161,8112216 523969,17429523969,17429 3,62829913,6282991 1,15982E61,15982E6

B1CT6 B1CT6 7,717,71 2,331452,33145 304960,77721304960,77721 16,63654116,636541 1,81804E61,81804E6 B2CT2 B2CT2 4,844,84 1,27352411,2735241 167668,69319167668,69319 1,96272471,9627247 617605,14095617605,14095 Polimérico Polimérico PU0.5 PU0.5 0,4070,407 0,559670580,55967058 82519,4280382519,42803 0,067760635608 66 0,067760635608 66 4267,79321 4267,79321 PU1.0 PU1.0 0,4070,407 1,67820811,6782081 229512,74257229512,74257 0,091331423748 51 0,091331423748 51 16701,35627 16701,35627 Cerâmico

Cerâmico AluminaAlumina 3,43,4 3000,00083000,0008 951636,66572951636,66572 0,084214094818 90 0,084214094818

90

159442,05139 159442,05139

(41)

DISCUSSÕES



 Todas as influências do processo deixam traTodas as influências do processo deixam traçços sobre a os sobre a

morfologia da superf

morfologia da superfíície de fratura garantindo o sucesso do cie de fratura garantindo o sucesso do modelo fractal da fratura.

modelo fractal da fratura.



 Quanto maior a dificuldade para a trinca se propagar menor _{Quanto maior a dificuldade para a trinca se propagar menor}é_é

o

o HH e maior a rugosidade e maior o tamanho cre maior a rugosidade e maior o tamanho críítico, tico, LL_oc_oc..



 Uma nova propriedade para a fratura que pode ser chamada _{Uma nova propriedade para a fratura que pode ser chamada}

de

de ““Densidade Fractal de EnergiaDensidade Fractal de Energia””

constante l H L J_o _oH1  4_eff (2 ) _oH1  

 Rela_Relaç_ção de universalidade para as curvas J_{ão de universalidade para as curvas J}-_-R_R

1 2 1 1 ) 2 ( ) 2 ( 4         _o _oH _eff _oH _IC _oH f J EL E H l K H l K  ou

ou ““tenacidade fractal a fraturatenacidade fractal a fratura””, v, váálida para o inicio da lida para o inicio da propaga

propagaçção da trincaão da trinca

1  ( , ) 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 2 2 2 2 H f H J geométrica H H energética p e o _     _                 

(42)



 Confusão na literatura a respeito da correta expressão da _{Confusão na literatura a respeito da correta expressão da}

curva J

curva J--R pela teoria fractal.R pela teoria fractal.



 Foi poss_{Foi poss}í_ível separar a influência da rugosidade da _{vel separar a influência da rugosidade da}

influência da fun

influência da funçção ão Y(Y(LLoo/W)/W) no cno cáálculo da curva Jlculo da curva J--R.R.

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Jo /( 2 e + p )  (l_o/L_o) B2CT2 B1CT6 A2SEB2 PU05 PU10 A1CT2 

 Gr_Grá_áfico da rela_{fico da rela}ç_ção de universalidade para as curvas J_{ão de universalidade para as curvas J}-_-R_R

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Jo /( 2 e + p ) 1/ (L_o/l_o) B2CT2 B1CT6 A2SEB2 PU05 PU10 A1CT2

(43)

CONCLUSÕES



 A teoria fractal de medida _{A teoria fractal de medida}é_é imprescind_imprescindí_ível para _{vel para}

uma an

uma anáálise mais profunda do fenômeno da fratura.lise mais profunda do fenômeno da fratura.



 Todas as influências do processo deixam tra_{Todas as influências do processo deixam tra}ç_ços sobre _{os sobre}

a morfologia da superf

a morfologia da superfíície de fratura garantindo o cie de fratura garantindo o sucesso do modelo fractal da fratura.

sucesso do modelo fractal da fratura.



 A rugosidade da superf_{A rugosidade da superf}í_ície de fratura explica o _{cie de fratura explica o}

crescimento da curva J

crescimento da curva J--R.R.



 A _Aabordagem_abordagem fractal_fractal da_da MF_MF provê uma _{provê uma}ú_única_nica e_e

concisa ferramenta para determinar entre outras

propriedades

propriedades asas condicondiççõesões sob assob as quaisquais aa ramificaramificaçção ão da trinca toma lugar

(44)



O crescimento est

á

vel de trinca

é

caracterizado pela curva

J

-

R

e observa

-

se

que esta curva cresce com o aumento no

comprimento da fratura. Este crescimento

tem sido analisado por argumentos

qualitativos] mas nenhuma explica

ç

ão

definitiva e satisfat

ó

ria em termos da

MFEP tem sido apresentada.



Neste

trabalho

introduziu

-

se

a

geometria fractal no formalismo da MFEP

para descrever os efeitos da rugosidade

nas propriedades mecânicas.

(45)



A expressão cl

á

ssica da taxa de energia

elasto

-

pl

á

stica

liberada

foi

corrigida

introduzindo

-

se a

fractalidade

(rugosidade)

da superf

í

cie trincada.



Este procedimento tornou a expressão

cl

á

ssica, linear com o comprimento da

fratura, obtida pela MFEP,

eq

. (2.76), em

uma equa

ç

ão não

-

linear,

eq

. (4.69), que

reproduz precisamente o processo de

propaga

ç

ão quase

-

est

á

tico de trincas nos

materiais d

(46)



Mostrou

-

se portanto de forma

inamb

í

gua

como diferentes morfologias (rugosidades)

são correlacionadas com o crescimento da

curva

J

-

R

. Ou seja,



devido a equivalência energ

é

tica de

Irwin

para o caminho projetado da fratura, a curva

J

-

R

apresenta um crescimento proveniente

da influência da rugosidade que não era

computado anteriormente pelas equa

ç

ões

cl

á

ssicas da MFEP baseada na geometria

euclidiana.

(47)

(i) o problema do

(i) o problema do modelamentomodelamento fractal da fratura instfractal da fratura instáável (ou vel (ou catastr

catastróófica) com ramificafica) com ramificaçções de trinca que não foi ões de trinca que não foi feito neste trabalho. Este modelo dever

feito neste trabalho. Este modelo deveráá ser um extensão ser um extensão dos modelos de fratura aqui apresentados.

dos modelos de fratura aqui apresentados.

(

(iiii) o ) o modelamentomodelamento fractal da fragmentafractal da fragmentaçção por ramificaão por ramificaçção ão de trinca. Este

de trinca. Este éé um problema que deve ser resolvido um problema que deve ser resolvido devido a suas diretas aplica

devido a suas diretas aplicaçções tecnolões tecnolóógicas, mas gicas, mas éé necess

necessáário contar com o estrio contar com o estáágio sugerido pelo item gio sugerido pelo item anterior.

anterior.

(

(iiiiii) o ) o modelamentomodelamento fractal da nucleafractal da nucleaçção e do crescimento ão e do crescimento simultâneo de trincas ramificadas. Este modelo ser

simultâneo de trincas ramificadas. Este modelo seráá úútil til para resolver problemas de choque t

para resolver problemas de choque téérmico, fratura em rmico, fratura em solos e impacto.