VERIFICAÇÃO DO VOLUME OBTIDO POR REVOLUÇÃO DE UM MODELO 3D EM CAD
Edgar Della Giustina (1) (edg23@hotmail.com), Bruno Fernandes Couto (2) (bruno.couto@hotmail.com), Dalton Alexandre Kai (3) (dalton.alexandre@pucpr.br), Sander Costa Pinto (4) (sander.pinto@pr.senai.br)
(1)(2)(4) Faculdade de Tecnologia SENAI CIC; Departamento de Fabricação Mecânica (3) Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR); Departamento de Engenharia de Produção
RESUMO: Este trabalho teve como foco principal na verificação dos resultados de volume obtido por dois softwares que utilizam sistemas CAD (desenho auxiliado por computador), SOLIWORKS e INVENTOR, em uma peça mecânica com detalhes curvilíneos obtida por revolução. Para resolver o problema foi feita uma modelagem matemática na qual utilizou-se o método de fatiamento da peça, construções de funções relacionadas aos detalhes dessa peça para cada fatia e cálculos do volume por revolução dessas funções através da integral de volume. Seguindo esses passos, foi possível chegar ao resultado final do problema pelo modelamento. Os resultados retirados dos dois softwares CAD foram comparados à solução obtida pela modelagem e foram explicadas as possíveis diferenças de valores. Essas comparações mostraram que os softwares são confiáveis em relação a valores de volume de sólidos gerados através de revolução, pois as diferenças percentuais entre os resultados são pequenas e aceitáveis na maioria dos casos por estarem dentro das tolerâncias do software.
PALAVRAS-CHAVE: Sistemas CAD, Volume, Integral de Volume.
OBTAINED BY VOLUME OF VERIFICATION OF A REVOLUTION IN 3D CAD MODEL
ABSTRACT: This work was mainly focused on verification of the volume of results obtained by two software systems using CAD (computer-aided design), SOLIWORKS and INVENTOR, in a mechanical part with curvilinear details obtained by revolution. To solve the problem was made a mathematical model in which we used the piece of slicing method, construction of related functions to detail this piece for each slice and volume calculations per revolution of these functions through the full volume. Following these steps, it was possible to reach the final result of the modeling problem. The results taken from both CAD software were compared to the obtained solution for modeling and were explained the possible differences in values. These comparisons showed that the software is trusted in the solids volume ratio values generated by revolution, since the percentage differences in the results are small and acceptable in most cases as they are within the tolerances of the software.
1. INTRODUÇÃO
A utilização de sistemas CAD na fase que antecede a fabricação de componentes mecânicos é uma prática comum na indústria. Os resultados obtidos desses sistemas em cálculo de áreas, volumes, massa, centro de massa, momento de inércia entre outros, geralmente não são questionados devido a confiabilidade dos sistemas CAD (MARQUES et al, 2013).
Na indústria mecânica calcular o volume de um objeto é de extrema importância, pois a partir dessa informação é possível determinar custos de fabricação, ou seja, a partir da geometria do objeto é possível calcular, por exemplo, o volume de material a ser retirado na usinagem e assim determinar o tempo empregue e os melhores processos de fabricação, ou ainda o custo para submeter este componente a um tratamento superficial. O cálculo de volume de um componente mecânico também é muito utilizado para determinar os custos de operações de transporte e armazenagem do mesmo (ARBACHE, 2011).
Este trabalho pretende verificar os diferentes resultados obtidos para o volume, a partir de uma mesma modelagem paramétrica 3D, de uma peça mecânica cuja função é de guia para encaixe de outros componentes mecânicos, desenvolvida em dois sistemas CAD de mesmo porte, classificadas por Souza e Coelho (2003), sendo o SOLIDWORKS e o AUTODESK INVENTOR ambos nas suas últimas versões. A verificação será feita por meio de cálculo de Integrais de Volume e por fim comparados os resultados analíticos com os computacionais gerados pelos sistemas CAD.
Esse artigo mostra os materiais e métodos utilizados para a verificação dos resultados. Esses resultados são discutidos, com base nos dados coletados e nas comparações foi feita uma conclusão do trabalho.
2. MATERIAIS E MÉTODOS
A abordagem metodológica utilizada neste trabalho tem caráter experimental, pois pretende-se representar o fato de forma controlada, em uma amostra específica de softwares, a fim de se identificar o volume calculado pelo software. Tem-se, então, como problema a confiabilidade do cálculo de volume executado em sistemas CAD de médio porte. Dessa forma, o objetivo é identificar o volume calculado e comparar o resultado encontrado com o cálculo analítico do volume de um sólido.
O estudo se resume em abrir o arquivo teste em cada um dos softwares de sistema CAD selecionados e identificar o valor do volume calculado pelo software comparando-os com os valores obtidos através do cálculo analítico do volume de um sólido. Uma reaplicação do experimento foi necessária para a confirmação dos dados.
Para a realização deste estudo são necessárias algumas definições que irão assegurar o experimento e os resultados obtidos:
Definição do componente mecânico a ser utilizado;
Utilização de sistemas CAD de Médio Porte (Middle – End); Modelagem 3D do componente mecânico em formato STEP; Definição do método analítico para cálculo do volume
Fatiamento do componente mecânico para cálculo do volume; Comparativo entre os resultados obtidos.
A definição do componente mecânico a ser utilizado neste experimento segue alguns critérios que envolvem diretamente a modelagem tridimensional e que certamente iriam produzir diferentes valores nos sistemas CAD:
Ser um único componente;
Ter uma geometria tridimensional sólida;
Desconsiderar geometrias bidimensionais com recursos helicoidais;
Não fazer parte da biblioteca de componentes padronizados dos sistemas CAD utilizados. Sendo assim, buscou-se por um componente mecânico que atendesse aos critérios e chegou-se a peça da Figura 1:
FIGURA 1. Detalhamento técnico do componente mecânico selecionado.
Para a modelagem tridimensional foram utilizados dois sistemas CAD de médio porte, as licenças foram disponibilizadas para este trabalho pelas empresas detentoras, nas versões disponíveis, os softwares selecionados foram o SOLIDWORKS 2012/2013 e AUTODESK INVENTOR 2014. A modelagem do componente mecânico foi desenvolvida conforme o detalhamento técnico apresentado na Fig. 1 os arquivos gerados foram salvos em formato STEP.
O formato STEP foi escolhido para garantir a igualdade de condições para ambos os softwares, este tipo de formato mantém os dados de forma neutra facilitando o compartilhamento de informações entre diferentes sistemas CAD. Utiliza-se de uma linguagem de programação bem estruturada que torna os arquivos em modelo confiável (MOURA, 2003).
O fatiamento do componente mecânico foi realizado de maneira a permitir uma maior facilidade nas operações matemáticas e a compreensão do estudo. Dessa forma tem-se o fatiamento conforme a Figura 2.
FIGURA 2. Fatiamento do componente mecânico.
Para as partes V3, V5, V6, V8, V10, V12 e V13 utilizaram-se das fórmulas comuns para a obtenção do volume em sólidos, com isso, chegou-se a resultados de volumes exatos. Entretanto, as partes V2, V11 e V13 foram determinadas por funções polinomiais do 1º grau, chegando também a um resultado exato na determinação dos volumes dessas partes.
As outras partes, V1, V4, V7 e V9 exigiram um esforço maior e foram determinadas pela Integral de Volume. Foram determinadas funções polinomiais para cada uma dessas partes. Para cada caso, foi observada qual a função que mais se aproxima da função formado pela parte do modelo que está sendo analisada. Sendo que, observou-se desde funções quadráticas até funções polinomiais do 6º grau. Essa observação foi feita através da ferramenta computacional EXCEL.
Sólidos de revolução são gerados a partir da rotação de uma área plana em torno de um eixo do seu plano, chamado de eixo de revolução, como exemplo pode-se observar uma esfera que é obtida a partir da rotação de um semicírculo sobre um eixo em torno de seu diâmetro, ou ainda, um cilindro obtido a partir da rotação de um retângulo em torno de uma reta que passa por um de seus lados.
Considera-se o problema para determinação do volume de um sólido que pode ser observado na Figura 3. Pode-se notar que se trata de um exemplo de uma região demarcada pela função continua e os eixos X e Y. Ao revolucionar a região plana limitada pelo gráfico em torno do eixo X obtemos um sólido de revolução curvilíneo.
FIGURA 3. Área de uma função e sólido de revolução.
Segundo Flemming (2006), para determinar o Volume de Revolução obtido através de um perfil curvilíneo. Considera-se uma partição de [a, b], mostrado na Equação 1:
a = x0 < x1 < .... < xi-1 <... < xn = b (1)
Seja Δxi = xi - xi-1 o comprimento do intervalo [xi-1, xi].
Em cada intervalo [xi-1, xi], escolha-se um ponto qualquer ci. Para cada i, i = 1,..., n, constrói-se um retângulo de baconstrói-se (b) e altura (h). Fazendo a revolução de cada retângulo Ri, obtêm-constrói-se vários cilindros, cujo volume é determinado pela equação clássica (V = π×r²×h) do volume de um cilindro. Na Figura 4, podemos observar uma parte do sólido aproximada por um cilindro.
FIGURA 4. Aproximação da função por retângulos.
Somando os volumes de todos esses cilindros obtém a aproximação do volume do sólido. Quando o número de retângulos aumenta, aumenta também a precisão do resultado do volume.
De acordo com Guidorizzi (2001), para se obter um melhor resultado de volume é usada à soma de Riemann. Essa soma pode ser representada pela integral definida da função [f(x)] que tem limites a e b. Essa integral está representada na Equação 2:
(2)
Existem outras situações que podem ser consideradas na determinação do volume de um sólido com detalhes curvilíneos. Neste estudo será adotada a metodologia descrita acima utilizando a aproximação da função por integrais.
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES
A partir da modelagem tridimensional realizada em um sistema CAD foi possível obter o volume do sólido de revolução. O Arquivo STEP foi aberto em ambos os softwares solicitando-se as propriedades do modelo tridimensional para obtenção do valor do volume total. O resultado obtido pode ser observado na Figura 5, onde é destacado de vermelho o resultado do volume do eixo.
FIGURA 5. Volume total obtido nos softwares CAD, SOLIDWORKS e INVENTOR.
Os cálculos analíticos foram realizados seguindo o fatiamento apresentado na Figura 2. Os resultados encontrados são apresentados conforme a função polinomial utilizada e comparados com o resultado obtido nos softwares CAD para uma melhor compreensão.
Na primeira parte (V1), conforme apresentada na Figura 6, a função que mais se aproximou foi à função polinomial do 4º grau. O gráfico representado por uma linha contínua é o desejado e o gráfico representado por uma linha tracejada é o obtido pela aproximação, formando a função f(x) mostrada acima do Gráfico. O Volume obtido pela Integral de Volume mostrada na Equação 2 é de 81,80×10-9 m³ e o volume obtido nos softwares CAD é de 81,81×10-9 m³, trata-se de uma diferença
pequena.
FIGURA 6. Função Polinomial do 6º Grau da Parte V1.
Para as partes (V4, V7 e V9), utilizamos o mesmo método apresentado na parte V1. Mas, a função polinomial que mais se aproximou foi a do 6º grau. A Figura 7 mostra a função de aproximação da parte V4. Resolvendo a Integral de Volume chegou-se a um resultado de 1613,16×10-9 m³. O volume obtido nos softwares CAD para esta mesma parte é de 1613,34×10-9 m³.
FIGURA 7. Função Polinomial do 6º Grau da Parte V4.
Na Figura 8, é demonstrada a função de aproximação da parte V7. Resolvendo a Integral de Volume chegou-se a um resultado de 130,32×10-9 m³
f(x) = -0,324x4+ 1,9736x3- 4,4795x2+ 5,4893x + 0,3579 0 1 2 3 4 5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 f(x) = 0,0089x6- 0,1179x5+ 0,5916x4- 1,3711x3+ 1,558x2- 0,5891x + 9,046 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 1 2 3 4 5 6 f(x) = 888,47x6- 1179,1x5+ 591,58x4- 137,11x3+ 15,58x2- 0,5891x + 9,0046 8,9 9 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
FIGURA 8. Função Polinomial do 6º Grau da Parte V7.
Na Figura 9, mostra-se a função de aproximação da parte V9. Resolvendo a Integral de Volume chegou-se a um resultado de 141,83×10-9 m³ e o volume obtido nos softwares CAD para
esta mesma parte é de 141,80x10-9 m³.
FIGURA 9. Função Polinomial do 6º Grau da Parte V9.
A Tabela 1 apresenta os resultados obtidos nos sistemas CAD e pelo cálculo analítico de Integral de Volume de cada parte. Observa-se também, que a tabela mostra a diferença percentual entre os softwares e o Cálculo.
TABELA 1. Resultados de volume por fatias.
Fatias CAD (m³) Integral de Volume (m³) Diferença Percentual (%)
V1 81,81×10-9 81,80×10-9 0,0122 V2 1175,00×10-9 1174,94×10-9 0,0051 V3 2649,41×10-9 2649,40×10-9 0,004 V4 1613,32×10-9 1613,16×10-9 0,00992 V5 15239,87×10-9 15239,87×10-9 0 V6 4948,01×10-9 4948,01×10-9 0 V7 130,30×10-9 130,32×10-9 0,0153 V8 5216,61×10-9 5216,61×10-9 0 V9 141,80×10-9 141,83×10-9 0,0141 V10 35,57×10-9 35,56×10-9 0,0281 V11 267,08×10-9 267,15×10-9 0,0262 V12 2915,79×10-9 2915,79×10-9 0 V13 82,60×10-9 82,60×10-9 0
O volume total obtido no SOLIDWORKS foi de 34497,17×10-9 m³ e o volume total obtido no
AUTODESK INVENTOR foi respectivamente de 34497,27×10-9 m³, conforme a Figura 5. Uma f(x) = 22,866x6- 60,534x5+ 60,821x4- 28,327x3+ 6,6034x2- 0,51x + 6,5091 6,4 6,6 6,8 7 7,2 7,4 7,6 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
diferença de 0,08×10-9 m³. O volume obtido pela Integral de Volume foi de 34497,04×10-9 m³.
Conforme apresentado na Tabela 2.
TABELA 2. Resultados para o volume.
Método Volume (m3) Diferença para o Analítico
SOLIDWORKS 34497,17×10-9 0,00038 %
INVENTOR 34497,27×10-9 0,00067%
ANALÍTICO 34497,04×10-9 -
Os sistemas CAD possibilitam uma opção para refinamento de malha com a intenção de se atingir um resultado com maior ou menor precisão. É possível obter três resultados para o mesmo volume, isso se deve ao refinamento do cálculo solicitado, o refinamento é dividido em três níveis: baixo, médio e alto. Sendo assim, pode se ter uma variação, que neste estudo determinou-se como sendo uma tolerância da aproximação que o sistema CAD realiza por sua programação.
Nos softwares utilizados foram alterados os níveis de precisão da malha para observar as variações do volume e a grandeza dessa variação. A Tabela 3 mostra essa variação.
TABELA 3. Resultados para o volume conforme precisão da malha.
Nível de Precisão da Malha Volume (m3) Diferença em relação ao Analítico
Baixo 34498,75×10-9 0,0050%
Médio 34497,27×10-9 0,00067%
Alto 34497,17×10-9 0,00038 %
4. CONCLUSÕES
Esse trabalho teve como principal intuito comparar, através de Integrais de Volume, os resultados de volume obtidos por dois softwares CAD de médio porte. Esta comparação foi satisfatória em decorrências dos resultados serem semelhantes. A diferença que ocorreu, foi causada pelas aproximações que tanto os softwares quanto as funções e integrais fazem.
O modelo foi verificado através de comparações de resultados. Todos os resultados de volume, tanto analítico quanto o computacional, foram muito próximos. A comparação foi realizada utilizando três tipos de malhas nos softwares CAD, desde uma malha com baixa precisão, até uma malha com nível de precisão alta.
Observou-se também, que na determinação do volume de um sólido no SOLIDWORKS, utilizando um arquivo STEP, ao encerrar e abrir o programa ele gera um resultado diferente, mas dentro da tolerância do software.
Nos cálculos essa variação também pode ocorrer dependendo do grau da função utilizada e também o arredondamento. Portanto, para a validação o valor calculado deve estar dentro da tolerância obtida nos sistemas CAD. Tendo os resultados para volume da peça mecânica utilizada no experimento, nos dois sistemas CAD, sendo verificados, permite confiar nos mesmos.
Os experimentos realizados foram simples dado o objetivo do trabalho e envolveram apenas um arquivo teste aplicados a dois sistemas CAD de médio porte. Há a possibilidade de se realizar o trabalho de forma ampliada envolvendo mais sistemas CAD 3D de portes diferentes e geometrias mais complexas.
5.REFERÊNCIAS
ARBACHE, F. S. Gestão de logística, distribuição e trade marketing. 4ª ed, 178 p., Rio de Janeiro, Editora FGV, 2011.
FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6ªed, 464p., São Paulo, Makron Books, 2006.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Vol. 1, 5ªed, 329 p., Rio de Janeiro, LTC, 2001.
MARQUES, Â. S. et al. A importância dos sistemas CAE/CAD/CAM na fabricação de matrizes para o forjamento a quente de um flange. 17ª Conferência Internacional de Forjamento, Porto Alegre, Brasil, 2013.
MOURA, A. A. Contribuições para o Desenvolvimento de um Modelador Baseado em Form Features com Interface STEP - ISO 10303. Dissertação de Mestrado em Engenharia de Produção – Universidade Metodista de Piracicaba, 131 p., 2003.
SOUZA, A. F.; COELHO, R. T. Tecnologia CAD/CAM-Definições e estado da arte visando auxiliar sua implantação em um ambiente fabril. XXIII Encontro Nacional de Engenharia de Produção, Ouro Preto, Brasil, 2003.
6. DIREITOS AUTORAIS.
