Dengue: Modelo Matemático para Evolução das População de Mosquitos e Humanos Infectados em Diferentes Estratégias de Controle

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA

DE MINAS GERAIS – CEFET/MG

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO - DPPG PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA E

COMPUTACIONAL - PPGMMC

Dengue: Modelo Matemático para Evolução das

População de Mosquitos e Humanos Infectados em

Diferentes Estratégias de Controle

Atacílio Alves Cavalcante Filho

Dengue: Modelo Matemático para Evolução das População de

Mosquitos e Humanos Infectados em Diferentes Estratégias de

Controle

por

Atacílio Alves Cavalcante Filho

Dissertação de Mestrado submetido à Banca Examinadora designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção de título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional.

Linha de pesquisa: Métodos Matemáticos Aplicados

Orientador: Prof. Dr. José Luiz Acebal Fernandes

Elaboração da ficha catalográfica por Biblioteca-Campus II / CEFET-MG

Cavalcante Filho, Atacílio Alves

C376d Dengue: modelo matemático para evolução da população de humanos infectados em diferentes estratégias de controle / Atacílio Alves Cavalcante Filho. – 2011.

60 f.

Orientador: José Luiz Acebal Fernandes

Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional.

Dissertação (mestrado) – Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais.

1. Sistemas dinâmicos diferenciais – Teses. 2. Equações diferenciais não-lineares – Teses. 2. Dengue – Modelos matemáticos – Teses. 3. Epidemias – Controle – Modelos matemáticos – Teses. I. Fernandes, José Luiz Acebal. II. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. III. Título.

Dedico este trabalho aos meus pais, Rita Geraldo Pereira (In memorian) e Atacílio Alves Cavalcante e ao meu grande amigo e irmão Adair José Vila Nova

AGRADECIMENTOS

Ao CEFET-MG pelo apoio e oportunidade de poder crescer.

Ao Professor orientador e amigo José Luiz Acebal Fernandes pelo incentivo que sempre me deu desde quando era aluno em disciplina isolada, pela orientação, pelo apoio efetivo na construção deste trabalho. Sem ele acredito e temo não conseguir construí-lo.

Ao Professor e amigo Armando Gil Magalhães Neves da UFMG que na especialização em Matemática acreditou que alguém com muita dificuldade, poderia superar pela vontade.

À minha amiga, Professora Silvia, que mesmo muito atarefada, sempre me ajudou com ações e com suas palavras de apoio.

Ao grande amigo Adair José Vila Nova que conheço desde criança, a quem considero mais que um irmão.

Ao amigo Vinicius Marinho a quem conheci quando realizava em sua casa serviço pela Copasa.

À minha tia Maria Aparecida Antunes a quem considero respeito, agradeço pelo apoio e por acreditar sempre em mim como fazia minha mãe.

Ao Padre Geraldo Magella e ao Cardeal Dom Serafim Fernandes pelo apoio concedido em 2002, sem eles esta trajetória teria terminado naquele ano.

Ao meu amigo Celso Garcia atual diretor do instituto Politécnico da UNA, que acreditou em mim, possibilitando que eu tivesse a maior oportunidade profissional da minha vida, o que viabilizou este mestrado.

Ao meu amigo Michel Hell coordenador da Engenharia de Controle e Automação da UNA pela confiança e apoio no âmbito profissional e acadêmico.

Ao amigo Rafael Antunes Machado pela parceria e ajuda nas revisões.

A todos que direta ou indiretamente ajudaram na elaboração deste trabalho.

A todos os professores do programa que muito me acrescentaram com suas exposições teóricas e opiniões apresentadas.

“Não tentes ser bem sucedido, tenta antes ser um homem de valor” Albert Einstein

RESUMO

O dengue é uma doença viral cujo vetor é a fêmea do mosquito Aedes aegypti. Esta doença é atualmente objeto de grande atenção dos orgãos de saúde em todo território nacional. Dados da OMS - Organização Mundial de Saúde - mostram que 3 bilhões de humanos vivem em regiões onde o dengue pode afetá-los e que nos últimos 25 anos, a doença tornou-se hiper-endêmica nos trópicos e centros urbanos. Há expectativa de uma agravamento deste quadro com as mudanças climáticas em curso no planeta. O uso de modelos matemáticos aumenta a proximidade entre a teoria e a prática nas ações de saúde pública e, de forma mais geral, no estudo de populações. Neste trabalho, desenvolvemos e estudamos um modelo matemático baseado em sistemas de equações diferenciais ordinárias não-lineares para descrição da evolução das populações de vetores e humanos infectados. Mais específicamente, desejamos promover uma comparação matemática ao longo de uma fase epidêmica entre a evolução sem prevenção e entre as eficácias dos métodos controle ambiental com controle por remoção mecânica da fase aquática, do método de liberação em áreas de epidemia de machos estéreis obtidos através de irradiação e controle com uso de inseticidas.

Palavras-chave: Sistemas dinâmicos, dinâmica de populações, sistemas de

ABSTRACT

Dengue is a viral decease which the vector is the Aedes aegypti female mosquito. This disease is currently a major focus of the board of health nationwide. Data from the WHO - World Health Organization - have shown that 3 billion human beings live in areas where dengue might affect them and in the last 25 years the disease has become hyper-endemic in the tropics and urban centers. There is an expectation of worsening this framework as consequence of the ongoing climate changes on the planet. The use of mathematical models closes the theory to the practice in combating the disease and, more generally, in population studies. In this work, we wish to study and develop a mathematical model based on systems of ordinary differential equations non-linear to describe the evolution of populations of vectors and infected humans. More specifically, we wish to promote a mathematical comparison over an epidemic phases of evolution without prevention efforts between the efficiencies of the conventional methods of environmental management with control of the aquatic phase and release method in epidemic areas of sterile males obtained by irradiation.

Keywords: dynamical systems, population dynamics, systems of nonlinear differential equations

SUMÁRIO

1 Introdução...10

2 Referencial teorico...16

2.1 O modelo SIR...16

2.2 Modelo de Controle biológico...17

2.3 Controle ótimo aplicado na estratégia de combate ao Aedes aegypti utilizando inseticida e mosquitos machos estéreis...21

3 Biologia do vetor...22

3.1 Estratégias de controle...23

3.1.1 Controle por remoção mecânica na fase aquática...23

3.1.2 Controle por inserção de machos estéreis...24

3.1.3 Controle por uso de inseticidas...24

3.1.4 Descrição do modelo proposto na dissertação...24

3.2 Descrição do caráter sazonal da espécie...32

4 Dinâmica dos compartimentos ...34

4.1 Compartimento da fase aquática...34

4.2 Compartimento da fase alada...35

4.3 Compartimento de humanos...37

4.4 Estimativas...38

5 Experimentos computacionais...40

5.1 Caso 1: Inexistência de qualquer forma de controle do vetor...41

5.2 Caso 2: O controle biológico por inserção de machos estéreis...44

5.3 Caso 3: O controle biológico utilizando remoção mecânica na fase aquática...47

5.4 Caso 4: O controle biológico utilizando inseticida...50

5.5 Comportamento Sazonal do dengue...53

6 Conclusão...57

6.1 Trabalhos Futuros...58

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 : Distribuição da endemia do dengue no mundo 2007...10

Figura 1.2 : Evolução endêmica do dengue no Brasil de 1996 à 2006...11

Figura 1.3 : Infestação do dengue no Brasil...11

Figura1.4: O Caráter Sazonal...12

Figura 2.1: Diagrama do modelo SIR...16

Figura 2.2: Interação entre populações...18

Figura 3.1: Diagrama para a dinâmica populacional do dengue...25

Figura3.2: Migração de mosquitos da fase aquática para a fase alada...26

Figura 3.3: Interação entre machos naturais e fêmeas não acasaladas....27

Figura 3.4: Interação entre fêmeas e humanos...27

Figura 3.5: Mortalidade dos mosquitos do Aedes aegypti...28

Figura 3.6: Oviposição das fêmeas acasaladas...28

Figura 3.7: Métodos de Controle Inserção de machos estéreis e remoção na fase aquática...29

Figura 3.8: População de Fêmeas Removidas...30

Figura 3.9: Diagrama completo do sistema...30

Figura 3.10: Valores observados e previstos pelo modelo para número de ovitrampas positivas ao longo do período ago/2002 a 11/2004...33

Figura 5.1: Gráficos com as populações do modelo no caso de ausência de controle...43

Figura 5.2: Gráficos das populações do modelo no caso controle de introdução de machos estéreis...46

Figura 5.3: Gráficos com as populações do modelo no caso de controle por remoção mecânica...49

Figura 5.4: Gráficos com as populações do modelo no caso do uso de inseticida...52

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Parâmetros do Modelo...32

Tabela 2 – Parâmetros utilizados no sistema de controle...40

Tabela 3 – Condições iniciais do teste Caso 1...41

Tabela 4 – Parâmetros do teste Caso 1...43

Tabela 5 – Condições iniciais do teste Caso 2...45

Tabela 6 – Condições iniciais do teste Caso 2...46

Tabela 7 – Condições iniciais do teste Caso 3...48

Tabela 8 – Parâmetros do teste Caso 3...49

Tabela 9 – Condições iniciais do teste Caso 4...51

Tabela 10 – Parâmetros do teste Caso 4...52

Tabela 11 – Condições iniciais do teste do efeito sazonal...54

Introdução

Em 2005, o dengue foi considerado pela OMS - Organização Mundial de Saúde a mais importante doença viral veiculada por mosquitos devido à sua grande distribuição global. Tal distribuição é similar à da malária. Um total de 3 bilhões de humanos vive em regiões onde o dengue pode afetá-los (PUTANI, 2008). Nos últimos 25 anos, a doença tornou-se hiper-endêmica nos trópicos e centros urbanos. Há expectativa de um agravamento deste quadro com as mudanças climáticas em curso no planeta. (JUNIOR, 2005).

Em 2007, a OMS (Organização Mundial de Saúde) emitiu alerta sobre situação do dengue e seus diferentes sorotipos presentes no Brasil, ou seja, os diferentes tipos de vírus com os quais o ser humano pode se infectar. Quando o homem contrai um dos sorotipos, após se recuperar adquire imunidade relativa àquele, mas não adquire imunidade relativa aos demais sorotipos. Em uma eventual nova infecção, o ser humano tem maior probabilidade de desenvolver a forma hemorragica do dengue. O mapa da figura 1.3 ilustra a evolução dos sorotipos nos anos de 2001 à 2005, caracterizando uma endemia1.

Figura 1.1 : Distribuição da endemia do dengue no mundo 2007 Fonte: (Secretaria de vigilância em saúde RJ, 2007)

1

Figura 1.2 : Evolução edêmica do dengue no Brasil de 1996 à 2006 Fonte: (Secretaria de vigilância em saúde RJ, 2007)

Segundo a Secretaria de Vigilancia em Saúde Publica do Rio de Janeiro (SVSP-RJ), em uma decada, ocorreu um espalhamento do dengue em cerca de 55% no territorio brasileiro.

Figura 1.3 : Infestação do dengue no Brasil Fonte: (Secretaria de vigilância em saúde RJ, 2007)

Nos anos de 2001 a 2005, foram analisados três sorotipos do dengue. Na figura 1.3 pode-se perceber a propagação e até mesmo a reincidência dos sorotipos numa grande abrangência do território nacional. Somente bem ao Sul, onde o clima é consideravelmente frio, não houve a presença da doença.

No ano de 2007 a SVSP-RJ apresentou estudo, com os resultados de uma pesquisa sazonal do dengue mostrando que, o dengue atinge patamares maiores de incidência do meio para o final do verão, como se pode verificar a seguir pelo gráfico da figura 1.4:

Figura 1.4 : Caráter Sazonal

Fonte: (Secretaria de vigilância em saúde RJ, 2007)

A figura 1.4 mostra um gráfico com evolução do número de casos ao longo do ano. O número de casos passa por um máximo no mês de março e assume valores inferiores a partir de maio. Ao final do verão brasileiro, a incidência recuou até um percentual de aproximadamente 5% em relação ao valor máximo. Segundo a SVSP-RJ, a cada ano, centenas de milhares de casos do dengue ocorrem no Brasil. A taxa de mortalidade do dengue na forma hemorrágica pode chegar aproximadamente a 20%.

No decorrer do tempo observou-se que doenças com grande grau de mobilidade e mortalidade eram mais bem controladas com medidas preventivas. Esta observação contribuiu para o início dos estudos epidemiológicos. Estudos mostraram que não bastava a compreensão do mecanismo da doença, era necessária uma análise qualitativa e quantitativa do fenômeno para a contenção da moléstia. No século XX, a matemática então passou a ser um importante recurso para apoiar esta análise, quando os modelos matemáticos epidemiológicos tiveram lugar. Ao longo do século XX, a Epidemiologia Matemática desenvolveu-se, surgindo áreas como teoria de

Controle de Modelo Epidemiológicos. Estas áreas têm caráter interdisciplinar envolvendo matemáticos, físicos, biólogos, químicos, engenheiros, dentre outros profissionais. Entre os estudos gerados incluem modelos de dinâmicas de populações, modelos estatísticos, modelos de autômatos celulares (BARROS, 2007).

O uso de modelos matemáticos de controle da doença aumenta a proximidade entre a teoria e a prática. Uma das vertentes deste modelamento matemático corresponde ao uso de sistemas de equações diferenciais ordinárias não lineares, cujas variáveis representam subpopulações ou compartimentos envolvidos na dinâmica epidemiológica.

Torna-se evidente a necessidade de desenvolvimento de tecnologia de controle da epidemia. Para esta finalidade, o conhecimento da relação dinâmica entre o vírus, o vetor e os seres humanos é fundamental assim como o conhecimento do impacto dos diversos tipos de tratamento sobre a dinâmica destas populações. Este problema, que ultrapassa o interesse específico dos pesquisadores da área de saúde, desperta a atenção de pesquisadores de outras áreas. Com o aparato teórico das equações diferenciais, pode-se descrever numericamente, de forma comparativa, os diferentes métodos de controle da epidemia. Esta abordagem permite considerar métodos que usados em conjunto, ou separadamente, minimizam o impacto da doença sobre as populações de vetores e humanos.

Finalmente, é perceptível a escassez de trabalhos na literatura relativos à modelagem matemática do fenômeno do dengue, em contraste com o volume de estudos sobre a malária.

Na literatura, destaca-se entre outros modelos, o modelo SIR que trabalha com três compartimentos de populações (susceptíveis, infectados e removidos ou mortos), proposto no início do século XX, mostra a dinâmica da epidemia em uma população constante desconsiderando fenômenos migratórios e de nascimentos (BARROS, 2007).

Um outro modelo, ESTEVA & YANG, 2003, analisa, o efeito da introdução de machos esterelizados por radiação no meio ambiente estuda a aplicação da técnica de liberação de mosquitos estéreis da espécie Aedes aegypti.

Um modelo subseqüente que dá continuidade ao modelo de Esteva e Yang, analisa o custo ao utilizar a técnica de controle do dengue através do uso de inseticidas e liberação de machos estéreis e a combinação de ambas às técnicas (THOMÉ, 2007).

Os modelos comentados anteriormente apresentam uma dinâmica composta por fase aquática e fase alada, fazendo distinção apenas entre machos, fêmeas imaturas, fêmeas infectadas e fêmeas estéreis. Não consideram, portanto, a existência do vírus, distinguindo populações infectadas das não infectadas, nem as populações humanas e seus efeitos na infecção e reprodução.

Nesta dissertação, é proposto um modelo matemático baseado em equações diferenciais ordinárias não lineares e para descrever a evolução do dengue. O modelo avança em complexidade em relação aos demais ao introduzir subpopulações infectadas e não infectadas e ao introduzir as inter-relações entre estas subpopulações e as subpopulações humanas. Além disso, o modelo prevê a possibilidade de se introduzir três métodos de controle: remoção mecânica de ovos, larvas e pupas; controle químico através do uso de inseticidas e o controle por introdução de machos estéreis. Os estudos a serem feitos com este modelo são: evolução da epidemia sem qualquer controle; evolução da epidemia com controle ambiental por remoção mecânica de indivíduos da fase aquática; evolução da epidemia com inserção de machos estéreis; evolução da epidemia com uso de inseticidas. Finalmente, a evolução da epidemia com influência sazonal do clima.

A dissertação é organizada de modo que a seção 2 apresenta uma breve descrição da dinâmica do controle biológico, que é a base para a construção do modelo matemático proposto nesta dissertação. Na seção 3 é apresentada uma descrição da biologia do Aedes aegypti e do ciclo de vida do mosquito, bem como do controle biológico envolvido além do comportamento populacional sazonal da espécie. A seção 4 descreve a dinâmica dos compartimentos e a elaboração do modelo matemático. Na seção 5, são apresentados alguns experimentos numéricos sobre o modelo com o objetivo de validar e de testar a plausibilidade do modelo em condições próximas de

cenários realísticos. A seção 6 apresenta as conclusões e algumas propostas para trabalhos futuros.

1 Referencial teórico

O objetivo deste capítulo é apresentar a bibliografia relativa à dinâmica do controle biológico, que consiste da base teórica para a construção do modelo matemático proposto nesta dissertação.

2.1 O modelo SIR

Em 1927, Kermack e McKendrick propuseram um modelo que descreve a dinâmica da população de indivíduos que desenvolvem a doença (PEIXOTO, 2004), dividida em três compartimentos: susceptíveis, infectados e removidos (figura 2.1).

O modelo possui três compartimentos. No primeiro compartimento S t

( )

, estão os indivíduos que não se contaminaram, mas que são susceptíveis à contaminação. No segundo compartimento I t

( )

, estão os indivíduos que se infectaram. E finalmente no terceiro compartimento R t

( )

, estão os indivíduos que morreram ou se recuperaram.

Figura 2.1 Diagrama do modelo SIR As equações que descrevem a dinâmica do modelo são:

( ) ( )

dS I t S t dt = −β (2.1.1)

( ) ( )

( )

dI I t S t I t dt =β −γ (2.1.2)

( )

dR I t dt =γ (2.1.3)

Onde β é a taxa de infecção por unidade de tempo por unidade de

indivíduos infectados e γ representa a taxa por unidade de tempo de remoção

dos indivíduos infectados.

Neste modelo, considera-se que a razão de variação da população S t

( )

é

proporcional ao número de encontros entre S t

( )

e I t

( )

; também considera que

a variação da população de R t

( )

corresponde a uma fração da população I t

( )

.

Este modelo considera a população constante e desconsidera nascimentos e fenômenos migratórios. Assim, tem-se o vínculo

( )

( )

( )

( ) (

, 2.1.4

)

P t =S t +I t +R t

onde P é a soma das populações.

Como a população é considerada constante, derivando ambos os lados da igualdade obtemos

(

)

0. 2.1.5

dS dI dR

dt + dt + dt =

Podemos observar que está de acordo com as equações (2.1.1), (2.1.2) e (2.1.3).

O modelo SIR, embora tenha sido elaborado há um século, é precursor de vários outros mais realísticos. Na próxima seção, serão apresentados outros dois modelos cujas estruturas são baseadas no modelo SIR.

1.2 Modelo de Controle biológico

O controle de vetores do dengue por introdução de machos estéreis no ambiente foi tratado por um modelo (ESTEVA & YANG, 2003) baseado em um sistema de equações diferenciais. O modelo foi construído com as populações

( )

A t , I t

( )

e M t

( )

, onde A t

( )

representa a fase aquática dos indivíduos, I

representa as fêmeas imaturas e M t

( )

representa os machos em geral.

A interação entre as populações deste modelo pode ser descrita pelo diagrama da figura 2.2.

Figura 2.2: Interação entre populações fonte: (ESTEVA & YANG, 2003)

No diagrama, a população de mosquitos aparece dividida em cinco compartimentos. A população da fase aquática é representada por A t

_{( )}

e é

constituída de ovos, larvas e pupas. A população da fase alada é representada pelas populações de fêmeas não acasaladas I t

_{( )}

, de machos naturais, M t

( )

,

de fêmeas acasaladas férteis F t

( )

e de fêmeas acasaladas férteis e removidas

( )

U t . A população M t

( )

e I t

( )

são mosquitos que evoluíram da fase aquática

a taxas de

(

1 r−

)

γ

e rγ respectivamente, onde γ é a taxa de evolução da fase

aquática para a fase alada da espécie e r é a fração destes indivíduos que

tornaram infectados.

A população F t

( )

corresponde às fêmeas fertilizadas através do cruzamento das fêmeas de I t

_{( )}

com a fração de machos naturais M

M +S a uma taxa β,

formando assim o fator M

M S

β

+ .

A população U corresponde às fêmeas removidas dos ciclos de reprodução pelo acasalamento com machos estéreis S t

( )

o que as tornam impossibilitaddas a produzirem ovos viáveis. De modo análogo a transição de

( )

I t para U t

( )

é governada pelo fator SS

M S

β

+ .

O modelo acima, descrito pelas equações a seguir, é baseado em equações diferenciais que permitem a análise do controle biológico via introdução de

machos estéreis. A população U está desacoplada do sistema por se tratar de fêmeas removidas.

Finalmente a população F realimenta a fase aquática a uma taxa 1 A

C

φ − 

 , onde φ é a taxa de oviposição intrínseca e A corresponde à população de

mosquitos da fase aquática. Os demais parâmetros do modelo são:

µ

_A,

µ

I, F

µ

,

µ

M e

µ

Sque representam as mortalidades das respectivas espécies e que

α corresponde a uma taxa constante de introdução de machos estéreis.

(

2.2.2

)

S I SI dI MI r A I dt M S M S β β γ µ = − − − + +

(

2.2.3

)

F dF MI F dt M S β µ = − +

(

1

)

_M

(

2.2.4

)

dM r A M dt = − γ −µ

(

2.2.5

)

S dS S dt =α µ−

A equação (2.2.1) representa a população de mosquitos na fase aquática

dA

dt , onde F t

( )

é a população de mosquitos adultos da fase alada, que

contribuirá depositando seus ovos a uma taxa de oviposição 1 A

C

φ

 −   . A população da fase aquática sofre decréscimo, devido à evolução (taxa γ ) e

morte natural da espécie (taxa µ) da fase alada.

A presença de sinais negativos nos termos das equações indica que a interação em questão contribui de forma decrescente para a taxa de variação daquela população.

(

)

(

)

1 _A 2.2.1 dA A F A dt φ C γ µ   =  −  − +  

A equação (2.2.2) representa a população de fêmeas não acasaladas dI

dt ,

acrescida por uma porção de mosquitos que evoluíram da fase aquática a uma taxa r− γ . O termo e −µ_IIé a porção que irá morrer. A população de fêmeas

imaturas será decrescida em uma porção de fêmeas que se acasalaram com machos naturais representada por, MI

M S

β

−

+ e pela porção de fêmeas que acasalaram com machos inférteis representada por SSI

M S

β

+

+ .

A taxa de variação da população de machos naturais; dM

dt , é representada

pela equação (2.2.4). Esta taxa será acrescida pelos mosquitos que evoluíram da fase aquática dada por + −

(

1 r

)

γ

A, e sofrerá um decréscimo devido à morte natural dada por −µ_MM .

Uma forma de interferir na condição natural do mosquito é a criação em laboratórios de machos estéreis. A taxa de variação dS

dt , sofrerá acréscimo a

uma taxa + constante, correspondendo a liberação por ação mecânica do α

homem, e sofrerá decréscimo pela porção de mosquitos que morreram naturalmente à uma taxa −µSS.

Em estudo de estabilidade realizado por Thomé & Yang (2007) os pontos de equilíbrio do sistema foram determinados. Este procedimento possibilitou a determinação da taxa de recrutamento de machos estéreis, pois estudos de campo mostraram que existe a competitividade entre machos naturais e estéreis, embora o modelo em questão não contemple esta questão. Se forem liberados de 12 a 15 machos estéreis em uma população com taxa de oviposição em torno de 10 ovos diários será produzida uma elevada quantidade de ovos inviáveis, ou seja, não fertilizados. Esse processo de inserção de machos estéreis é adequado e pode ser combinado com outros métodos de controle, como o uso de inseticidas. Os autores propõem uma continuidade dos estudos considerando a existência de migração de mosquitos naturais para regiões com ausência do controle proposto, ou seja, longe da ação dos machos estéreis (THOMÉ, 2007).

1.3 Modelo de controle ótimo aplicado na estratégia de combate ao

Aedes aegypti utilizando inseticida e mosquitos machos estéreis

Utilizando o modelo matemático de controle biológico de Esteva & Yang, (2003), Thomé & Yang propõe um trabalho de otimização com enfoque econômico maior eficiência com menor custo na introdução de machos estéreis combinado com inseticida foi realizado por (THOMÉ, 2007). Neste trabalho utilizou o principio do Máximo de Pontryagin.

2 A biologia do vetor

O Aedes aegypti é, essencialmente, um mosquito urbano que tem sua biologia intrinsecamente ligada à atividade hematófaga em relação aos mamíferos e, em especial, aos seres humanos. Esta atividade é intensificada em condições ideais de temperatura e umidade. Os ovos do Aedes aegypti são depositados pela fêmea em reservatórios de água, em suas paredes internas, próximo à superfície. Em condições ideais de temperatura e umidade o desenvolvimento do embrião se completa em 48 horas, porém os ovos podem resistir até 400 dias.

Os mosquitos surgem destes ovos depois da metamorfose completa e o ciclo de vida do Aedes aegypti compreende quatro fases: ovo, larva, pupa e adulto.

As larvas possuem quatro estágios evolutivos. A duração da fase larvária depende da temperatura, disponibilidade de alimento e densidade das larvas no criadouro. Em condições ótimas, o período entre a eclosão e a pupação pode não exceder a cinco dias. Contudo, a baixas temperaturas e escassez de alimento, o estágio larvário pode prolongar-se por várias semanas, antes de sua transformação em pupa.

As pupas não se alimentam. É nesta fase que ocorre a metamorfose do estágio larval para o adulto. Quando inativas, as pupas se mantêm na superfície da água, flutuando, o que facilita a emergência do inseto adulto. O estado pupal dura cerca de dois a três dias.

A fase adulta do Aedes aegypti constitui a fase reprodutiva do inseto. Em média, vinte e quatro horas após emergirem da fase aquática as fêmeas estão aptas para o acasalamento. Os machos tornam-se aptos imediatamente após emergirem.

O acasalamento geralmente se dá durante o vôo, mas ocasionalmente pode se dar sobre uma superfície, vertical ou horizontal. Uma única inseminação é suficiente para fecundar todos os ovos que a fêmea venha a produzir durante sua vida.

A fêmea alimenta-se de sangue para promover o desenvolvimento dos ovos, fazendo uma postura após cada repasto sangüíneo. O intervalo entre a alimentação sangüínea e a postura é, em regra, de três dias, em condições de temperatura satisfatórias. Com freqüência, a fêmea alimenta-se mais de uma vez entre duas sucessivas posturas. Este repasto repetitivo se dá, em especial, quando perturbada antes de ter completado as necessidade de sangue.

A oviposição se dá mais freqüentemente ao final da tarde. A fêmea fecundada é atraída por recipientes escuros ou sombreados, com superfície áspera, na qual deposita os ovos. Ela prefere água limpa e cristalina ao invés de água suja ou poluída por matéria orgânica.

Quando a fêmea do Aedes aegypti está infectada pelo vírus do dengue, pode haver a chamada transmissão transovariana, isto é, a fêmea passa o vírus através dos ovos para sua prole de maneira que, uma fração das fêmeas filhas de um espécime portador já nasce infectada.

Os adultos de Aedes aegypti podem permanecer vivos em laboratório durante meses, mas na natureza vivem em média de 30 a 35 dias. Com uma mortalidade diária de 10%, a metade dos mosquitos morre entre 4 a 5 dias de vida e 95% durante o primeiro mês.

3.1 Estratégias de controle

3.1.1 O controle biológico utilizando remoção mecânica na fase aquática

Tendo em vista que o mosquito Aedes aegypti tem hábitos intradomiciliares, o papel da população e dos agentes de saúde pública é fundamental no processo de remoção mecânica dos criadouros. Este processo consiste de ações tais como tapagem de caixas d’água, acondicionamento de lixo e remoção de qualquer recipiente que possa armazenar água, como pneus, garrafas, vasos de plantas, vasilhas de água para animais domésticos, calhas entupidas que venham reter água de alguma forma.

No modelo que será apresentado nesta dissertação, este procedimento é compreendido como uma taxa de remoção de indivíduos da fase aquática. Esta taxa representada pelo parâmetro ρ_A.

3.1.2 Controle por inserção de machos estéreis

Os machos estéreis utilizados na técnica de controle de inserção de machos estéreis não são mosquitos naturais. Esta subpopulação é produzida em laboratório através de irradiação. Inicialmente, alguns machos são expostos à radiação para tornarem-se estéreis, em seguida, são deixados em contato com essência de gengibre para torná-los competitivamente atraentes para a fêmea.

Um problema para o uso desta técnica é a dificuldade imposta pelo curto período de vida do mosquito do dengue frente à necessidade de transporte até o local de infestação.

Nesta dissertação, o modelo matemático tem o parâmetro

ε

_s

que representa a taxa de inserção do mosquito macho estéril na região desejada e os parâmetrosβ_hse βis são referentes às taxas de interação dos machos estéreis

com as fêmeas imaturas sadias e infectadas respectivamente.

3.1.3 Controle por inseticidas

O uso de inseticida é uma forma de controle que deve ser usada com bastante precaução, pois sendo o mosquito do dengue uma espécie urbana, o inseticida pode causar prejuízos à saúde do homem. Não se pode esquecer que, ao utilizar-se o inseticida junto com a técnica de inserção de machos estéreis, o produto químico irá afetar também as espécies estéreis, portanto, para combinar métodos é necessário um estudo minucioso e estratégico.

3.1.4 Descrição do modelo proposto na dissertação

Com o objetivo de descrever o ciclo de vida do mosquito, bem como o controle biológico envolvido, este modelo será dividido em dois estágios; a fase aquática envolvendo indistintamente ovos, larvas e pupas. E a fase alada envolvendo machos e fêmeas adultos. Além disto, um terceiro compartimento será constituído de humanos.

O diagrama da figura 3.1 mostra os três compartimentos divididos em seus respectivos subcompartimentos, que serão descritos a seguir.

Figura 3.1: Diagrama para a dinâmica populacional do dengue

O compartimento da fase aquática é constituído pelas populações de indivíduos não-infectados A th

( )

e infectados A ti

( )

respectivamente, não se

distinguindo ovos, larvas ou pupas.

O compartimento da fase alada é composto pelas populações de mosquitos machos naturais M t

( )

e machos estéreis M_S

( )

t , pelas fêmeas não

acasaladas sadias N th

( )

e pelas fêmeas não acasaladas infectadas N ti

( )

,

fêmeas acasaladas sadias F th

( )

,fêmeas acasaladas infectadas F ti

( )

, fêmeas

acasaladas removidas sadias R th

( )

e as fêmeas acasaladas removidas

infectadas R ti

( )

. Estas últimas são ditas removidas porque constituem o grupo

de fêmeas que se acasalaram com machos estéreis e, portanto, não produzirão ovos viáveis.

O compartimento de humanos é composto pelas populações S t

( )

humanos

As populações do subcompartimento da fase aquática A th

( )

e A ti

( )

, após

completarem seu ciclo natural, migram para formar as populações M t

( )

, N_h

( )

t

e N ti

( )

às taxas α_hM,α_iM ,α_hN e α_iN , como mostra a figura 3.2.

Figura 3.2: Migração de mosquitos da fase aquática para a fase alada

A figura 3.3 mostra um diagrama representativo dos mosquitos machos naturais M t

_{( )}

que acasalaram-se com as fêmeas Nh

( )

t e N ti

( )

constituindo,

respectivamente, as populações de fêmeas acasaladas sadias F th

( )

e

infectadas F ti

( )

às taxas βiM e βhM.

No diagrama o vértice representado pelo ponto indica a interação, no caso, o acasalamento. A linha cheia corresponde à migração após a interação indicada pelas letras gregas β _{e a linha pontilhada indica que a população} M t

_{( )}

Figura 3.3: Interação entre machos naturais e fêmeas não acasaladas

As fêmeas F th

( )

, F ti

( )

picam os humanos às taxas γFhi e γFiS. Quando uma

fêmea acasalada sadia pica um humano infectado, ela pode contrair o vírus e passar a compor a população de fêmeas infectadas. Este processo ocorre para uma fração γFisde encontros por unidade de tempo. Se um humano sadio for

picado por uma fêmea infectada, ele irá desenvolver a doença compondo a população de humanos infectados (figura 3.4). A taxa por unidade de tempo com que esta infecção ocorre é representada por γ_Fhi.

Os mosquitos sofre morte natural proveniente de seu ciclo de vida com as respectivas taxas µ_A,µM,µMs,µNi,µNh,µFh,µFi,µRh e µRi conforme figura 3.5.

Figura 3.5: Mortalidade dos mosquitos do Aedes aegypti

De acordo com a biologia do vetor apresentada neste capítulo, a fêmea do

Aedes aegypit após acasalar-se, deposita seus ovos às taxas δ_Fh e δFi,

correspondendo às taxas de fêmeas saudáveis e infectadas. O diagrama da figura 3.6 apresenta essa dinâmica, sendo que a fase aquática será alimentada pelos ovos a uma taxa

δ

.

O diagrama da figura 3.7 está acrescido de dois métodos de controle: remoção mecânica de mosquitos da fase aquática pelo homem a uma taxa ρ_;

inserção de mosquitos machos estéreis a taxa εs. Os mosquitos machos

estéreis MS

( )

t são esterilizados por meio de uma técnica de radiação em

laboratório e liberados em áreas de epidemia de forma mecânica. A sua taxa de mortalidade é

µ

S

( )

t .

Figura 3.7: Métodos de Controle: Inserção de machos estéreis e remoção na fase aquática

Com a inserção de machos estéreis, fêmeas imaturas acasalam-se com estes machos alimentando dois novos compartimentos: de fêmeas acasaladas sadias e os de infectadas. Estas fêmeas serão removidas do ciclo de oviposição, ou seja, elas não depositarão ovos viáveis. Porém, pela sua biologia, ao se acasalarem passam a picar os seres humanos, contribuindo para a proliferação do dengue, como podemos observar no diagrama da figura 3.8 a seguir. As taxas associadas aos acasalamentos são, respectivamente, βis

Figura 3.8: População de Fêmeas Removidas

Como citado anteriormente, as fêmeas removidas picam humanos. Caso a fêmea seja sadia e venha a picar um humano infectado, poderá compor o compartimento de fêmeas removidas infectadas. Caso contrário, se a fêmea for infectada e venha a picar um humano sadio, o humano poderá desenvolver a doença do dengue compondo o compartimento de humanos infectados. Estes processos se dão às taxas γ_Fhi e γFiS (figura 3.9). A interação das fêmeas

removidas infectadas ou não com humanos se dá com taxas proporcionais a

Fhi

γ e γFiS, respectivamente.

Finalmente, devido ao fato de se ter quatro sorotipos para o vírus, humanos infectados I t

( )

_{podem tornarem-se novamente susceptíveis} S t

( )

_{a uma nova}

infecção, ao se recuperar a uma taxa ξis como mostrado na figura 3.9.

Os parâmetros descritos nesta seção podem ser consultados na Tabela 1. Descrição nominal dos parâmetros ou taxas Parâmetros

Migração da fase aquática de machos saudáveis para a

fase alada hM

α

Migração da fase aquática de machos infectados para

fase alada iM

α

Migração da fase aquática de fêmeas infectadas

imaturas para a fase alada iN

α

Migração da fase aquática de fêmeas saudáveis

imaturas para a fase alada hN

α

Remoção da fase aquática

A

ρ

Interação de macho natural com fêmea infectada

iM

β

Interação de macho natural com fêmea saudável

hM

β

Interação de macho estéril com fêmea infectada

iS

β

Interação de macho estéril com fêmea saudável

hS

β

Introdução de machos estéreis em ambiente de foco da

doença ξs

Remoção de removidos saudáveis para fêmeas

removidas infectadas Rhi

γ

Migração de fêmeas saudáveis para fêmeas infectadas

Fhi

γ

Migração de humanos saudáveis p/ infectados via

interação com fêmea infectada removida Ris

γ

Migração de humanos saudáveis p/ infectados via

interação c/ fêmea infectada Fis

γ

Migração de humanos infectados para humanos

saudáveis is

ξ

Oviposição de fêmea infectada

Fi

δ

Oviposição de fêmea saudável

Fh

Mortalidade na fase aquática

A

µ

Mortalidade de machos naturais

M

µ

Mortalidade de machos estéreis

Ms

µ

Mortalidade de fêmea não acasalada infectada

Ni

µ

Mortalidade de fêmea não acasalada saudável

Nh

µ

Mortalidade de fêmea acasalada saudável

Fh

µ

Mortalidade de fêmeas removidas saudáveis

Rh

µ

Mortalidade de fêmeas removidas infectadas

Ri

µ

Mortalidade de fêmea casalada infectada

Fi

µ

Tabela 1 Parâmetros utizados neste modelo

3.2 Descrição do caráter sazonal da espécie

Como é característico das espécies de mosquitos que possuem uma fase aquática no seu desenvolvimento, o Dengue também exibe comportamento populacional sazonal. Isto é, todas as atividades biológicas dos mosquitos são inibidas ou reforçadas pelos elementos do clima. O gráfico da figura 3.10 refere-se ao estudo desenvolvido por Vianello em 2005 utilizando-se de ovitampras, que são armadilhas para ovos dos mosquitos do dengue. O estudo se dá na cidade de Belo Horizonte sobre o período de agosto de 2002 a novembro de 2004. Neste trabalho, são considerados dados referentes à população de Aedes aegypit obtidos pela Secretaria Municipal de Saúde, por meio do Serviço de Controle de Zoonoses e Epidemiologia. Os resultados da observação experimental, exibem o caráter sazonal, ou seja, a correlação entre os picos de atividade do mosquito e as estações do ano.

Figura 3.10 – Valores observados e previstos para número de ovitrampas positivas ao longo do período ago/2002 a 11/2004 (VIANELLO,2005).

Analisando o gráfico acima, pode-se observar que o mosquito do dengue tem alto índice de postura em períodos chuvosos e de alta temperatura coincidentes com o verão em Belo Horizonte e que no inverno, esta atividade sofre inibição, descrevendo assim um comportamento sazonal.

Do mesmo modo a infecção de humanos e, portanto, as epidemias do dengue estão concentradas nos períodos chuvosos e com alta temperatura.

4 Dinâmica dos compartimentos

Conforme descrito na seção anterior, o modelo é dividido em três compartimentos: fase aquática, fase alada e fase humanos, com seus respectivos subcompartimentos ou subpopulações. A elaboração do modelo matemático segue as interações estabelecidas no diagrama, sua natureza e o sentido das contribuições destas interações. Assim constituímos um sistema de equações diferenciais não lineares a partir das interações biológicas envolvidas no fenômeno do dengue.

4.1 Compartimento da fase aquática

O compartimento da fase aquática é composto por ovos, larvas e pupas, porém estas subpopulações são tratadas indistintamente pelo modelo. A única distinção feita entre subpopulações deste compartimento será em relação à infecção ou não dos seus indivíduos. Denotaremos assim por A ti

( )

e A th

( )

, as

populações da fase aquática constituídas respectivamente por indivíduos infectados e não infectados em um instante de tempo t. A presença de sinais negativos nos termos das equações indicam que a interação em questão contribui de forma decrescente para a taxa de variação daquela população.

A dinâmica do compartimento da fase aquática dos indivíduos sadios e infectados é descrita pelo sistema de equações diferenciais abaixo:

(

)

(

)

4.1.1

4.1.2

h h Fh h A A h hM h hN h i Fi i A i A i iM i iN i

dA

F

A

A

A

A

dt

dA

F

A

A

A

A

dt

δ

µ

ρ

α

α

δ

µ

ρ

α

α



=

−

−

−

−







₌

₋

₋

₋

₋



Onde δFhFh e δFiFi são termos que correspondem às taxas de oviposição e

representam, respectivamente, as porções de ovos sadios e infectados depositados por unidade de tempo naturalmente na fase aquática. As taxas

h

AA

µ e

i

AA

µ são os termos referentes à mortalidade natural desta fase em

unidade de tempo das populações da fase aquática que evoluem para a fase alada. O controle ambiental por remoção mecânica de indivíduos da fase aquática se dá neste compartimento e está representado pelos termos

ρ

AA th

( )

e

ρ

AA ti

( )

4.2 Compartimento da fase Alada

Denotaremos por Nh

( )

t , N ti

( )

, R th

( )

, R ti

( )

,F th

( )

e F ti

( )

respectivamente,

as populações de fêmeas imaturas sadias e infectadas, fêmeas removidas sadias e infectadas e fêmeas acasaladas sadias e infectadas. As populações

( )

M t e MS

( )

t referem-se machos naturais e machos estéreis.

As equações que descrevem a dinâmica do compartimento da fase alada são:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4.2.1

4.2.2

4.2.3

4.2.4

4.2.5

4.2.6

dN

h

_A

_{N M}

_N

_{M N}

S

hN h

hN

h

Nh h

hS

h

dt

dNi

_A

_N

_{M N}

_MN

s

i

i

i

i

iN

Ni

iS

iM

dt

dF

h

_MN

_F

_IF

hM

h

Fh h

Fhi

h

dt

dFi

_MN

_F

_IF

i

i

iM

Fi

Fhi

h

dt

dR

h

_{M N}

_R

_IR

S

hS

h

Rh h

RhI

h

dt

dRi

_IR

_R

_{M N}

s

i

is

i

Ri

RhI

h

dt

α

β

µ

β

α

µ

β

β

β

µ

γ

β

µ

γ

β

µ

γ

γ

µ

β

=

−

−

−

=

−

−

−

=

−

−

=

−

+

=

−

−

=

−

+

(

)

(

)

4.2.7

4.2.8

dM

A

A

_i

M

iM

M

hM h

dt

dM s

M s

S

MS

dt

α

α

µ

ξ

µ









































=

+

−







=

−



As equações (4.2.1) e (4.2.2) descrevem as taxas de variação das populações de fêmeas imaturas sadias N

_{( )}

t

h e infectadas N ti

( )

. Estes

compartimentos recebem contribuições A hN h

α e α_iNA_i que são frações por

unidade de tempo de indivíduos da fase aquática que evoluem para a fase alada. Os termos N

Nh h

µ e N_i

Ni

µ representam as taxas de mortalidade de

fêmeas imaturas sadias e infectadas. As interações por acasalamento entre fêmeas imaturas não infectadas e infectadas com machos naturais M t

( )

são

representadas pelos termos MN

hM h

β e MN_i

iM

β . A presença de sinais

negativos nestes termos indica que as populações N

_{( )}

t

h e Ni

( )

t sofrem

decréscimo devido à transformação de fração de fêmeas imaturas em fêmeas acasaladas que passam a compor as populações F

( )

t

h e F ti

( )

. Processo

análogo está representado pelos termos M N S

hS h

β e

β

_isM N_{s i} que correspondem agora à interação das fêmeas imaturas com machos estéreis

( )

s

M t e cuja fração vai compor as populações de fêmeas removidas não

infectadas R th

( )

e infectadas R ti

( )

.

As populações cujas taxas estão descritas pelas equações (4.2.3) e (4.2.4) referem-se, respectivamente, a fêmeas não acasaladas infectadas F

_{( )}

t

h e

fêmeas acasaladas infectadas F t_i

_{( )}

. Estas populações têm acréscimos de

interações MN

hM h

β e MN_i

iM

β já descritos acima. As mortalidades naturais

estão representadas por F Fh h

µ e µ_FiFi. Na equação (4.2.3), o termo h

IF Fhi

γ com sinal negativo representa a migração para fora da população

( )

F t

h da fração de seus indivíduos que picam humanos infectados I t

( )

e

passam a ficar infectados a taxas proporcionais a

Fhi

γ . Estes indivíduos

passam a compor a população de fêmeas acasaladas infectadas F ti

( )

, onde o

As populações de fêmeas removidas infectadas R ti

( )

e não infectadas

( )

R t

h têm suas taxas descritas pelas equações (4.2.5) e (4.2.6). A origem

destas populações se deve ao acasalamento das fêmeas imaturas infectadasN ti

( )

e não infectadas N_h

( )

t com machos estéreis Ms

( )

t e, como

foi discutido, esta representada pelos termos M N S

hS h

β e

β

_isM N_{s i}. As

mortalidades naturais estão representadas por R Rh h

µ e µ_RiR_i. O termo IR

RhI h

γ representa a fração das fêmeas removidas não infectadas que, ao

picarem humanos infectados, tornam-se infectados. Portanto, o termo corresponde a um decréscimo na equação (4.2.5) e um acréscimo na equação (4.2.6).

A população relativa à equação (4.2.7) e a dos machos naturais M t

( )

que

recebe contribuição da fase aquática através dos termos A hM h

α e A_i

iM

α .

Não há distinção entre machos infectados e não infectados por que, neste caso, a infecção é indiferente, pois os machos não picam. O termo que descreve a mortalidade natural é

µ

_MM .

Finalmente as taxas relativas à população de machos estéreis Ms

( )

t é

descrita pela equação (4.2.8). É importante notar que a geração de indivíduos desta população está desacoplada da evolução natural da espécie, posto que este compartimento é gerado em laboratório a uma taxa fixa. A inserção desta população em regiões de epidemia é representada pela taxa ξ_s. O termo

M s MS

µ representa a mortalidade desta população.

4.3 Compartimento de Humanos

O compartimento de humanos é composto por duas populações: humanos sadios S t

( )

e infectados I t

( )

. As equações associadas a esta populações são

(

)

(

)

4.3.1

4.3.2

dS

I

_Ris

SR

_i

_Fis

SF

_i

IS

dt

dI

SR

_i

SF

_i

I

Ris

Fis

IS

dt

ξ

γ

γ

γ

γ

ξ



=

−

−







₌

₊

₋



O termo SF_i Fis

γ corresponde à fração de humanos sadios que deixam a

população após tomarem contato por picadas de mosquitos fêmeas infectadas

( )

F t_i . A presença do mesmo termo na equação (4.3.2) indica que, após esta

interação, há aumento desta mesma fração de humanos infectados. A presença do termo SF_i

Fis

γ nas duas equações mostra que o mesmo ocorre

com S t

( )

e I t

( )

em relação à população de fêmeas removidas R t_i

( )

. Os

termos I IS

ξ em ambas as equações, porém com sinais opostos descrevem a recuperação de humanos infectados ficando susceptíveis à infecção por outros sorotipos.

4.4 Estimativas

Para efetuar os testes iniciais sobre o modelo, os parâmetros foram obtidos a partir da literatura: (Wyse,2006), (Silva,2003), (Yang,2003), (Tumwiine,2007), (Derouich,2003), (SVS,2007), (Thomé,2007). Os parâmetros betas e gamas que são associados à interações não lineares entre populações e não foram obtidos da literatura, tiveram que ser estimados a partir de fontes menos cientificas como jornais e sítios na internet. Ressalvamos, contudo, que esta é apenas uma abordagem inicial e que consideremos esta de melhoria dos parâmetros como um processo em andamento.

A tabela 2 contém os valores dos parâmetros utilizados no estudo de controle proposto nesta dissertação:

Descrição nominal dos parâmetros Parâmetros Valores

Migração da fase aquática de machos saudáveis

para a fase alada hM

α 3

2,92 10× −

Migração da fase aquática de machos infectados

para fase alada iM

α 3

Migração da fase aquática de fêmeas infectadas

imaturas para a fase alada iN

α 3

2,92 10× −

Migração da fase aquática de fêmeas saudáveis

imaturas para a fase alada hN

α 3

2,92 10× −

Remoção da fase aquática

A

ρ 7

5,00 10× −

Interação de macho natural com fêmea infectada

iM

β 4

6,90 10× −

Interação de macho natural com fêmea saudável

hM

β 4

6,90 10× −

Interação de macho estéril com fêmea infectada

iS

β 4

6,90 10× −

Interação de macho estéril com fêmea saudável

hS

β 4

6,90 10× −

Introdução de machos estéreis em ambiente de foco

da doença ξs 0,000

Remoção de removidos saudáveis para fêmeas

removidas infectadas Rhi

γ

3

8,33 10× −

Migração de fêmeas saudáveis para fêmeas

infectadas Fhi

γ 3

8,33 10× −

Migração de humanos saudáveis p/ infectados via

interação com fêmea infectada removida Ris

γ 1

3,00 10× −

Migração de humanos saudáveis p/ infectados via

interação c/ fêmea infectada Fis

γ 1

3,00 10× −

Migração de humanos infectados para humanos

saudáveis is

ξ

1

9,91 10× −

Oviposição de fêmea infectada

Fi

δ 1

5,88 10× −

Oviposição de fêmea saudável

Fh

δ 1

5,88 10× −

Mortalidade na fase aquática

A

µ 3

2,67 10× −

Mortalidade de machos naturais

M

µ

3

9,09 10× −

Mortalidade de machos estéreis

Ms

µ 3

9,09 10× −

Mortalidade de fêmea não acasalada infectada

Ni

µ 3

9,09 10× −

Mortalidade de fêmea não acasalada saudável

Nh

µ 3

9,09 10× −

Mortalidade de fêmea acasalada saudável

Fh

µ 3

9,09 10× −

Mortalidade de fêmeas removidas saudáveis

Rh

µ 3

9,09 10× −

Mortalidade de fêmeas removidas infectadas

Ri

µ 3

Mortalidade de fêmea casalada infectada

Fi

µ 3

9,09 10× −

Tabela 2 – Parâmetros utilizados no sistema de controle

4.5 Implementação da Sazonalidade

O efeito da sazonalidade, como vimos no terceiro capítulo, inclui a alta mortalidade de mosquitos e a diminuição dos processos metabólicos no inverno, em contraste com a alta taxa de eclosão de ovos na fase aquática e aumento de atividade dos espécimes no verão.

O efeito sazonal será incluído no modelo através da introdução de um fator constante igual a 1 para o período chuvoso (novembro a janeiro) e igual a 5.00 x 10-2 para o período de seca (fevereiro a outubro). Este fator é multiplicado pelos parâmetros associados aos processos biológicos fundamentais do mosquito descritos na terceira seção. Os parâmetros alterados pelo fator de sazonalidade são:

hM

α

, hNα , iMα , iNα , iSβ , iMβ , hSβ , hMβ , Fhiγ , Rhiγ , Risγ e Fisγ

5 Experimentos computacionais

Neste capítulo, são apresentados alguns experimentos numéricos sobre o modelo com o objetivo de validar e de testar a plausibilidade do modelo em condições próximas de cenários realísticos para um universo de 100 mil humanos. No primeiro experimento, é testado o cenário natural do dengue com a evolução sem qualquer tipo de controle. Em seguida, uma-a-uma, são feitas simulações com os três tipos de controle: (1) introdução de machos estéreis, (2) remoção mecânica da fase aquática, (3) uso de inseticida. As populações utilizadas nos testes apresentados nas próximas seções são arbitradas aqui a partir de casos reais divulgados em jornais e órgãos de Saúde Pública (SVS, 2007).

5.1 Caso 1: Inexistência de qualquer forma de controle do vetor

A implementação do cenário da evolução do dengue sem qualquer tipo de controle será feita com as condições iniciais ilustradas na Tabela 3 e com os parâmetros da Tabela 4. Neste experimento, colocamos na fase aquática um total de 100 mil ovos, larvas e pupas. A fase alada é composta por 295 mosquitos machos naturais, 295 fêmeas não acasaladas, sendo 3 infectadas e 292 não infectadas, além de 10 fêmeas acasaladas sendo 5 infectadas e 5 não infectadas, 100 mil humanos não infectados e zero humanos infectados. Para criar o panorama desejado e impedir que os outros métodos de controle atuassem no experimento, os parâmetros

A

ρ _{, s}ξ _, µ_Ms referentes aos

controles, bem como a população inicial de machos estéreis Ms0, fêmeas

removidas acasaladas infectadas Ri e fêmeas removidas acasaladas sadias 0

0

Rh , foram fixados e mantidos em zero. A tabela 3 exibe as condições iniciais e

a tabela 4 os parâmetros utilizados.

Mosquitos saudáveis da fase aquática

0

h

A 100000.0

Mosquitos Infectados da fase aquática

0 i A 100.0 Machos naturais 0 M 295.0 Machos estéreis 0 s M 0.0

Fêmeas não acasaladas infectadas

0

i

N 3.0

Fêmeas não acasaladas sadias

0

h

N 292.0

Fêmeas acasaladas sadias

0

h

F 5.0

Fêmeas acasaladas infectadas

0

i

F 5.0

Fêmeas removidas acasaladas infectadas

0

i

R 0.0

Fêmeas removidas acasaladas sadias

0 h R 0.0 Humanos sadios 0 S 100000.00 Humanos infectados 0 If 0.00

Tabela 3 – Condições iniciais do teste – Caso 1 Oviposição de fêmea saudável

Fh

Mortalidade na fase aquática

A

µ 2.67x10-03 Remoção da fase aquática

A

ρ 0.00E-00 Migração da fase aquática de machos saudáveis para a

fase alada hM

α 2.92x10-03 Migração da fase aquática de fêmeas saudáveis

imaturas para a fase alada hN

α 2.92x10-03 Oviposição de fêmea infectada

Fi

δ 5.88x10-01 Migração da fase aquática de machos infectados para

fase alada iM

α 2.92x10-03 Migração da fase aquática de fêmeas infectadas

imaturas para a fase alada iN

α 2.92x10-03

Mortalidade de machos naturais

M

µ

9.09x10-02 Introdução de machos estéreis em ambiente de

foco da doença s

ξ 0.00E+00 Mortalidade de machos estéreis

Ms

µ 0.00E+00 Mortalidade de fêmea não acasalada infectada

Ni

µ 9.09x10-05

Interação de macho estéril com fêmea infectada

iS

β 6.90x10-08 Interação de macho natural com fêmea infectada

iM

β 6.90x10-08

Mortalidade de fêmea não acasalada saudável

Nh

µ 9.09x10-05 Interação de macho estéril com fêmea saudável

hS

β 6.90x10-08

Interação de macho natural com fêmea saudável

hM

β 6.90x10-08 Mortalidade de fêmea acasalada saudável

Fh

µ 9.09x10-03

Migração de fêmeas saudáveis para fêmeas

infectadas Fhi

γ 8.33x10-06 Mortalidade de fêmea casalada infectada

Fi

µ 9.09x10-03

Remoção de removidos saudáveis para

fêmeas removidas infectadas Rhi

γ 8.33x10-06 Mortalidade de fêmeas removidas saudáveis

Rh

µ 9.09x10-03

Mortalidade de fêmeas removidas infectadas

Ri

µ 9.09x10-03 Migração de humanos infectados para humanos

saudáveis is

ξ

5.95x10-03

Migração de humanos saudáveis p/ infectados

via interação com fêmea infectada removida Ris

Migração de humanos saudáveis p/ infectados

via interação c/ fêmea infectada Fis

γ 3.00x10-08

Tabela 4 – Parâmetros do teste – Caso 1

Como resultado, a evolução das populações neste experimento segue representada nos gráficos da figura 5.1.

Figura 5.1 – Gráficos com as populações do modelo no caso de ausência de controle

Os resultados apresentados exibem a evolução do sistema durante seis meses, 4320 horas. Nesta abordagem, a intenção foi fazer uma calibração dos parâmetros para obter um resultado típico de um problema de saúde publica. Como esperado, o número de casos cresceu no verão para patamares de 400 casos/100mil habitantes, um valor comum nos casos de saúde pública. As populações de vetores infectados também exibiram um aumento esperado.