FUNC» ~OES E ALGUMA HIST ORIA

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE S ~

AO CARLOS

CENTRO DE CI^

ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEM ¶

ATICA

O ENSINO DA ¶

ALGEBRA ELEMENTAR

ATRAV¶

ES DE SUA HIST ¶

ORIA

Prof. Jo~

ao C.V. Sampaio. [email protected]

FUNC

» ~

OES E ALGUMA HIST ¶

ORIA

Uma hist¶

oria (pouco esclarecedora) do desenvolvimento do

conceito de fun»

c~

ao.

A palavra fun»c~

ao, em l¶³ngua latina, foi usada pela primeira vez por

Leibniz, em 1694, e novamente por Johann Bernoulli em 1718. Em ambos

os casos ela se referia a uma f¶

ormula relacionando uma vari¶

avel a outras.

Por exemplo, enquanto x denota uma vari¶

avel, Leibniz e Bernoulli

diriam que x

2

¶

e uma fun»c~

ao (da vari¶

avel x). Um tal conceito est¶

a

rela-cionado a uma f¶

ormula y = x

2

. Em linguagem moderna dizemos, com

rela»c~

ao a essa f¶

ormula, que a vari¶

avel y ¶

e uma fun»c~

ao da vari¶

avel x.

Segundo Ren¶

e Descartes e Pierre de Fermat, matem¶

aticos da primeira

metade do s¶

eculo 17, a f¶

ormula y = x

2

, por sua vez, representa uma curva

num plano cartesiano. Um ponto (x; y) desse plano faz parte dessa curva

caso satisfa»ca µ

a equa»c~

ao y = x

2

.

Na primeira metade do s¶

eculo 19, o matem¶

atico Dirichlet criou todos

os termos t¶

ecnicos que s~

ao atualmente usados no estudo das fun»c~

oes.

Dirichlet ¶

e o criador dos seguintes conceitos relacionados µ

a de¯ni»c~

ao de

fun»c~

ao:

Uma vari¶

avel ¶

e um s¶³mbolo que representa um elemento

gen¶

erico de um conjunto de n¶

umeros. Se duas vari¶

aveis x e

y est~

ao relacionadas de modo que a cada valor dado a x

corre-sponde, por meio de uma regra ou f¶

ormula, um ¶

unico valor da

vari¶

avel y, dizemos que y ¶

e uma fun»c~

ao da vari¶

avel x.

Se y ¶

e fun»c~

ao da vari¶

avel x, a vari¶

avel x, µ

a qual se atribuem

valores tomados num certo conjunto de n¶

umeros, ¶

e chamada

(2)

vari¶

avel independente da fun»c~

ao. Nessa fun»c~

ao, a vari¶

avel y ¶

e a

vari¶

avel dependente, (pois cada valor de y depende de um valor

atribu¶³do a x).

O conjunto dos valores num¶

ericos que x pode assumir ¶

e

chamado dom¶³nio ou campo de de¯ni»c~

ao da fun»c~

ao. J¶

a o

con-junto de todos os poss¶³veis valores que y possa vir a ter (que

de-pendem dos poss¶³veis valores de x) ¶

e chamado conjunto-imagem

ou campo de valores da func~

ao.

O m¶etodo de Descartes e Fermat para se estudar geometria atrav¶es da ¶

algebra.

Segundo o grande historiador e matem¶atico Morris Kline, os criadores da mate-m¶atica aplicada n~ao foram dois cientistas das ciências aplicadas. Foram na verdade o ¯l¶osofo francês Ren¶e Descartes e o jurista e funcion¶ario p¶ublico francês Pierre de Fermat. Em pesquisas independentes, ambos criaram a Geometria Anal¶³tica, ou seja, a geometria de coordenadas.

Nessa geometria, cada ponto de um plano ¶e associado a um par de n¶umeros, e equa»c~oes envolvendo duas vari¶aveis representam certas ¯guras geom¶etricas. Dito dessa forma, n~ao d¶a para saber do que se trata. Geometria anal¶³tica s¶o se aprende fazendo. Geometria anal¶³tica ¶e um m¶etodo que entrela»ca a ¶algebra com a geometria euclidiana. Na geometria anal¶³tica plana fazemos uso de equa»c~oes alg¶ebricas em duas vari¶aveis para tirarmos conclus~oes geom¶etricas.

Para entender como esses dois s¶abios foram inspirados a criar esse m¶etodo, reca-pitularemos brevemente o racioc¶³nio empregado por Descartes, segundo a descri»c~ao de Morris Kline.

Descartes havia decidido, ap¶os profundas re°ex~oes ¯los¶o¯cas, que sempre que tivesse que resolver problemas, partiria de considera»c~oes bem simples em dire»c~ao µas mais com-plexas, tentando assim resolver problemas complexos \quebrando-os" em problemas mais simples.

Suponhamos que nos ¶e dada, formulou Descartes, uma curva como a da ¯gura abaixo.

A mais simples curva ¶e linha reta. Fixemos uma linha reta para, atrav¶es dela, proceder a um estudo da curva. Esta curva pode ser pensada, disse Descartes, como

(3)

sendo gerada por um ponto P , que ¶e a extremidade de um segmento vertical AP , que se apoia perpendicularmente na reta por um ponto A.

Quando o ponto A se move para a direita ou para a esquerda, o ponto P se move na curva num movimento de sobe e desce. Assim, a curva pode ser estudada pelo movimento de um ponto P que, situado sobre a curva, se move para cima e para baixo como extremidade de um segmento vertical AP apoiado perpendicularmente numa linha reta atrav¶es do ponto m¶ovel A.

Mas como ¶e que estas considera»c~oes podem elucidar a natureza da curva? A¶³ entra a genialidade de Descartes. Para estudar a curva, Descartes propôs o uso de linguagem alg¶ebrica. Quando a linha vertical AP se desloca para a direita, a distância do ponto A a um ponto ¯xo O, localizado na linha reta, ¶e uma vari¶avel x. Por sua vez, a distância de P µa linha reta ¶e uma vari¶avel y que, por sua vez, depende de x. Assim, a cada posi»c~ao do ponto P na curva estudada, corresponder~ao um valor x e um valor y.

Se o ponto A est¶a µa direita de O, a vari¶avel x ¶e um n¶umero positivo. Se o ponto A est¶a µa esquerda de O, x ¶e o negativo da dist^ancia de A a O. Analogamente y ¶e positivo ou negativo conforme P esteja acima ou abaixo da reta referencial. A reta de refer^encia ¶e hoje conhecida como eixo Ox.

Posteriormente µa inven»c~ao de Descartes, foi introduzido mais um eixo de refer^encia, vertical, passando por O. A partir de ent~ao x e y passaram a representar o deslocamento dos pontos A e B, negativos ou positivos, em rela»c~ao ao ponto O, quando P se move na curva, sendo P A e P B respectivamente perpendiculares aos eixos coordenados Ox e Oy.

(4)

Exerc¶³cios recomendados por Descartes

1. Descubra qual ¶e a equa»c~ao que relaciona as vari¶aveis x e y na representa»c~ao alg¶ebrica de cada uma das curvas dadas abaixo, em rela»c~ao ao sistema de coor-denadas indicado em cada ¯gura.

(a)

Resposta: x2+ y2 = 25 [Sugest~ao: Use o teorema de Pit¶agoras.] (b)

Resposta: y = x

Exerc¶³cios recomendados por Dirichlet

2. Esboce, num sistema de coordenadas cartesianas, o gr¶a¯co de cada uma das fun»c~oes dadas abaixo. Com base no seu esbo»co, determine o dom¶³nio D e conjunto-imagem I da fun»c~ao dada. Em cada item, ¶e dada a f¶ormula relacio-nando as vari¶aveis x (vari¶avel independente) e y (vari¶avel dependente) da fun»c~ao considerada. (a) y = 2x + 1. Resposta: D =R, I = R (b) y = x2. Resposta: D =R, I = R (c) y = x3. Resposta: D =R, I = R (d) y =px. Resposta: D =fx 2 R j x ¸ 0g, I = fx 2 R j x ¸ 0g (e) y = p3_{x. Resposta: D =}R, I = R (f) y = 1_x. Resposta: D =fx 2 R j x 6= 0g, I = fx 2 R j x 6= 0g

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Pesquisa do dom¶³nio de uma fun»c~ao elementar

Como vimos no exerc¶³cio acima, dada uma fun»c~ao y = f (x), nem todo valor da vari¶avel x corresponde a um valor da vari¶avel y. Os valores reais de x que produzem valores de y constituem o dom¶³nio ou campo de de¯ni»c~ao da fun»c~ao.

Determine o dom¶³nio de cada uma das seguintes fun»c~oes. Em alguns itens, o conhe-cimento de como resolver inequa»c~oes do primeiro e do segundo graus ¶e um pr¶e-requisito.

1. f (x) = _x₂1_¡1 2. y =px + 1 3. y = p3x + 1 4. g(x) =p2 + x¡ x2 5. h(x) =p3x¡ x3 6. f (x) = _x22x+1_¡3x+2 7. f (x) = p42 + x¡ x2 8. g(x) =p¡x +p1 2+x 9. f (x) = p4x¡ x3

Pesquisa do conjunto-imagem de uma fun»c~ao atrav¶es do esbo»co de seu gr¶a¯co

Determine, atrav¶es de um esbo»co do gr¶a¯co, o conjunto-imagem de cada uma das seguintes fun»c~oes. Em alguns casos ser¶a necess¶ario determinar primeiramente o dom¶³nio da fun»c~ao (a¯nal, os valores de y dependem dos valores de x, n~ao ¶e mesmo?).

1. y =px + 1 2. y = p3x + 1 3. y =¡5 + x ¡ 6x2 4. f (x) = 2x2¡ 3x ¡ 2 5. g(x) = 21¡ x ¡ 2x2 6. f (x) =px2¡ 2 7. h(x) =p2¡ x2 8. y =p21¡ x ¡ 2x2 9. f (x) = p42 + x¡ x2

(6)

Pesquisa do conjunto-imagem de uma fun»c~ao como dom¶³nio da rela»c~ao in-versa.

A f¶ormula y = x2 de¯ne y como fun»c~ao de x. Ela nos diz claramente que y depende de x, ou seja, a cada valor atribu¶³do a x corresponder¶a um valor de y, a saber x2. Se tentamos isolar x, expressando-o em termos da vari¶avel y, obtemos x =§py.

Esta ¶ultima f¶ormula n~ao de¯ne x como fun»c~ao de y pela seguinte raz~ao: os matem¶ a-ticos convencionaram que, numa rela»c~ao funcional, a cada valor da vari¶avel indepen-dente dever¶a corresponder um ¶unico valor da vari¶avel dependente. Sendo x =§py, a cada valor dado a y (que nesta f¶ormula ¶e a vari¶avel independente), correspondem dois valores de x, sendo eles py e ¡py.

Uma tal f¶ormula de¯ne ent~ao o que chamar¶³amos a rela»c~ao inversa da fun»c~ao y = x2. Se a f¶ormula x = g(y) da rela»c~ao inversa da fun»c~ao y = f (x) ¶e tamb¶em uma f¶ormula de fun»c~ao, ela ¶e denominada f¶ormula da fun»c~ao inversa da fun»c~ao y = f (x).

Note agora que a f¶ormula x = §py nos determina que podemos utilizar somente valores n~ao negativos de y. Como esta ¶e a f¶ormula da rela»c~ao inversa da fun»c~ao y = x2, e como o conjunto-imagem de uma fun»c~ao ¶e o dom¶³nio da sua rela»c~ao inversa (pense nisto), deduzimos que o conjunto-imagem da fun»c~ao y = x2 ¶e o conjunto

I =fy 2 R j y ¸ 0g

Por pesquisa do conjunto-imagem como dom¶³nio da rela»c~ao inversa, damos ainda o seguinte exemplo.

Suponhamos que queremos determinar o conjunto-imagem da fun»c~ao y = 2x¡1_x+1. Resolvendo essa equa»c~ao em x (isolando a vari¶avel x), obtemos x = 1+y_2¡y, ou (2¡ y)x = 1 + y. Uma f¶acil inspe»c~ao veri¯ca que para y = 2 (e somente para y = 2), n~ao h¶a x que satisfa»ca a f¶ormula. Portanto y = 2 ¶e ponto exclu¶³do do conjunto-imagem da fun»c~ao.

Determine o conjunto-imagem de cada fun»c~ao dada abaixo, determinando o dom¶³nio da fun»c~ao (ou rela»c~ao) inversa. Em outras palavras, resolva a equa»c~ao y = f (x) em x, determinando x = f¡1(y). Em seguida, determine os valores de y para os quais se de¯ne x = f¡1(y). 1. y = 3¡ 5x 2. y =p3¡ 5x 3. y = p53¡ 5x 4. f (x) = 1¡4x_1+5x 5. g(x) = 3 q 2x3₊₅ 2x3₊₃ 6. f (x) = _x₂1_¡1

(7)

Galileu Galilei, o pai da modelagem matem¶

atica

Galileu, de sobrenome Galilei, nasceu em Floren»ca em 1564, o ano do

nascimento de Shakespeare. A ele se deve um m¶

etodo empregado com

sucesso na ci^

encia moderna. A ele tamb¶

em se deve a introdu»c~

ao das

fun»c~

oes para descrever fen^

omenos do mundo f¶³sico. O m¶

etodo criado por

Galileu consiste em obter descri»c~

oes quantitativas de fen^

omenos naturais,

independentemente de quaisquer explica»c~

oes de causa desses fen^

omenos.

Galileu ¶

e considerado pelos f¶³sicos como sendo o pai da f¶³sica matem¶

atica.

Antes de Galileu, ¯l¶

osofos e cientistas concentravam-se em explicar

o porqu^

e dos fen^

omenos naturais. Com Galileu, nasceu a procura de

f¶

ormulas matem¶

aticas descrevendo como esses fen^

omenos ocorrem. Note

que uma f¶

ormula matem¶

atica descrevendo um fen^

omeno n~

ao ¶

e, em geral,

uma explica»c~

ao das causas do fen^

omeno! O importante para Galileu n~

ao

era saber porqu^

e mas como as coisas ocorrem.

Na descri»c~

ao de fen^

omenos f¶³sicos, os gregos e seus sucessores tamb¶

em

utilizavam f¶

ormulas (de forma n~

ao simb¶

olica por¶

em) para descrever

rela-cionamentos entre grandezas f¶³sicas (tais como velocidade, tempo,

dis-t^

ancia, peso, etc.. Essas \f¶

ormulas" por¶

em eram \deduzidas" a partir de

re°ex~

oes ¯los¶

o¯cas da pr¶

opria mente, e n~

ao a partir de experimentos.

Por exemplo, a f¶

ormula V = F=R descrevia, para Arist¶

oteles, a

veloci-dade V de uma pedra em queda livre. Segundo a f¶

ormula, a velocidade

V ¶

e diretamente proporcional µ

a for»ca F determinada pelo peso do corpo e

inversamente proporcional µ

a resist^

encia R do meio onde o corpo se move.

Esta f¶

ormula carecia de con¯rma»c~

ao por experimentos f¶³sicos. Ela era

fruto de conjeturas ¯los¶

o¯cas acerca da queda dos corpos.

Experimentalmente veri¯ca-se que a velocidade de um corpo em

que-da tende a aumentar µ

a medida em que ele cai. Pela f¶

ormula acima a

velocidade V deve manter-se constante durante a queda, j¶

a que a for»ca

F ¶

e determinada pelo peso do corpo, que ¶

e constante. O aumento da

velocidade do corpo era \explicado" pela turbul^

encia do ar, da parte da

frente para a parte de tr¶

as, em torno do corpo em queda.

Mas o que Galileu tem mesmo a ver com a hist¶oria das fun»c~oes?

Galileu foi o primeiro f¶³sico a propor a descri»c~ao de fen^omenos naturais atrav¶es de f¶ormulas matem¶aticas, ¶area hoje conhecida como modelagem matem¶atica. Assim por exemplo, a velocidade v de um corpo em queda livre, mostrou Galileu, ¶e uma func~ao da vari¶avel t, o n¶umero de segundos decorridos desde o in¶³cio de sua queda.

(8)

Galileu descobriu experimentalmente que

A velocidade de uma pedra em queda livre, medida em metros por se-gundo, ¶e 9; 8 vezes o n¶umero de segundos decorridos desde o in¶³cio de sua queda.

A a¯rma»c~ao acima, em letras it¶alicas, ¶e um exemplo de uma fun»c~ao. Primeiramente, ela lida com quantidades que mudam continuamente de valor, que s~ao as vari¶aveis velocidade e tempo decorrido. Em segundo lugar, ela determina que a cada n¶umero de segundos decorridos corresponde um valor para a velocidade do corpo em queda.

Assim, ap¶os 1 segundo, a velocidade do corpo ¶e 9; 8m=s, ap¶os 2 segundos, ela ¶e 19; 6m=s, e assim por diante.

Em s¶³mbolos, a declara»c~ao acima diz que, se um corpo cai em queda livre, tendo partido do estado de repouso, ent~ao, ap¶os t segundos, sua velocidade ser¶a

v = 9; 8¢ t

Este relacionamento funcional simb¶olico entre as duas vari¶aveis v e t ¶e a f¶ormula para a fun»c~ao descrita retoricamente acima.

Suponha agora que o corpo atinge o solo ap¶os 10 segundos. Ent~ao a f¶ormula acima s¶o tem sentido f¶³sico para 0· t · 10. No entanto, a f¶ormula v = 9; 8 ¢ t tem signi¯cado para todos os poss¶³veis valores reais de t.

Assim, a f¶ormula funcional ¶e mais geral do que a situa»c~ao f¶³sica que ela descreve. Conta a lenda que Galileu subia na Torre de Pisa e de l¶a soltava pares de pedras de diferentes tamanhos e pesos, tendo conclu¶³do que todas levavam praticamente o mesmo tempo para chegar ao solo. A partir deste experimento ele concluiu que se n~ao houver a resist^encia do ar, uma pluma e uma pedra, caindo a partir de uma mesma altura, chegam ao solo simultaneamente!

Problemas complementares

1. Considere a f¶ormula da velocidade de um corpo em queda livre, partindo do repouso, t segundos ap¶os o in¶³cio de sua queda,

v = 9; 8t

Veri¯que que, em cada segundo transcorrido, a velocidade do corpo aumenta em 9; 8 m=s. Isto quer dizer que a velocidade do corpo em queda aumenta 9; 8 m=s por segundo. Esta varia»c~ao na velocidade chama-se acelera»c~ao. Diz-se ent~ao que, neste caso, a acelera»c~ao do corpo ¶e de (9; 8 m=s)=s, ou seja, de 9; 8 m=s2. Esta ¶e a assim chamada acelera»c~ao da gravidade da Terra.

2. Galileu notou que se uma pedra ¶e lan»cada em queda livre, partindo do repouso, a dist^ancia d (em metros) percorrida por ela, ap¶os t segundos, ¶e dada pela f¶ormula

d = 9; 8 2 t

(9)

Nesta f¶ormula, o n¶umero 9; 8 aparece quanti¯cando a acelera»c~ao da gravidade (em m=s2) e nela Galileu menosprezava a resist^encia do ar.

(a) Quantos metros a pedra cai em 1 segundo? E em 2 segundos? E em 3 segundos?

(b) Se uma pedra cai do topo de um pr¶edio e leva 4 segundos para chegar ao solo, qual ¶e a altura do edif¶³cio?

3. Galileu observou que se uma pedra ¶e lan»cada (verticalmente) para baixo com uma velocidade inicial de v₀ metros por segundo, ent~ao

(a) a velocidade da pedra, t segundos ap¶os seu lan»camento, ¶e dada pela f¶ormula v = v₀+ 9; 8t

(b) a dist^ancia que ela percorre em t segundos ap¶os o seu lan»camento, ¶e dada pela f¶ormula

d = v₀t + 9; 8 2 t

2

Se ela for lan»cada para cima com velocidade inicial v₀m=s, ent~ao (a) sua velocidade ap¶os t segundos ser¶a

v = v₀t¡ 9; 8t (b) a altura por ela atingida ap¶os t segundos ser¶a

h = v₀t¡ 9; 8 2 t

2

Neste caso, a pedra ¶e desacelerada µa medida em que sobe, da¶³ os sinais \¡" nas duas f¶ormulas.

Com base nas informa»c~oes acima, responda:

(a) Qual ¶e a altura m¶axima que a pedra atinge se ¶e lan»cada para cima com uma velocidade inicial de v₀ metros por segundo?

(b) Qual ¶e a velocidade da pedra no instante em que ela atinge sua altura m¶axima?

(c) Se quisermos que a pedra atinja uma altura de 500 metros, com que veloci-dade devemos lan»c¶a-la para cima?

Para ¯nalizar, uma surpresa: no tempo de Galileu, o moderno rel¶ogio de ponteiros ainda n~ao havia sido inventado!

Refer^encias utilizadas para a confec»c~ao do presente texto: [E] Eves, H.

Introdu»c~ao µa Hist¶oria da Matem¶atica. Editora da UNICAMP, Campinas, 1995.

(10)

[K1] Kline, M.

Mathematics in The Western Culture Oxford University Press, New York, 1970. [K2] Kline, M.

Mathematics for the Nonmathematician Dover Publications, Inc., New York, 1985.