UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA DOUTORADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
BETÂNIA GOMES DA SILVA FILHA
SINTONIA ROBUSTA DE ESTABILIZADORES DE SISTEMA DE
POTÊNCIA PARA CONTROLE DE PEQUENAS
PERTURBAÇÕES
Salvador – Bahia - Brasil
Betânia Gomes da Silva Filha
SINTONIA ROBUSTA DE ESTABILIZADORES DE SISTEMA DE
POTÊNCIA PARA CONTROLE DE PEQUENAS
PERTURBAÇÕES
Tese apresentada à Coordenação do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal da Bahia, em cumprimento às exigências para obtenção do Grau de Doutor em Engenharia Elétrica.
Fernando Augusto Moreira, Dr. Orientador
Alexandre Cézar de Castro, Dr. Orientador
Salvador – Bahia Julho de 2017
Agradecimentos
Primeiramente agradeço a Deus que vem me guiando com sabedoria e misericórdia até aqui.
Agradeço aos meus orientadores Fernando Moreira, por sua boa vontade e colaboração e Alexandre Castro por todo apoio, sem os quais eu não conseguiria concluir essa tese.
Ao professor José Mario Araújo pelo incentivo e palpites fundamentais para a construção desse trabalho.
Aos professores Humberto Araújo, Niraldo Ferreira e Rodrigo Ramos pelas sugestões valiosas em minha qualificação que contribuíram muito para o enriquecimento desse trabalho. Ao professor Rodrigo, muito obrigada também pelo material disponibilizado.
À Universidade Federal da Bahia que me abriu as portas para que eu pudesse desenvolver esse trabalho e a todos os professores que gentilmente aceitaram participar da banca.
Ao meu marido, Ivo Tebexreni, pela paciência e apoio quando me encontrava exausta da rotina dividida entre as atividades acadêmicas e o trabalho, não permitindo que eu desanimasse.
Aos meus pais, que torcem por mim e me apoiam incondicionalmente. Não tem sido fácil, mas até aqui me ajudou o Senhor e o apoio de vocês foi fundamental neste processo.
Sumário
Sumário
Lista de Figuras ... I Lista de Tabelas ... IV Lista de Abreviaturas ... V Resumo ... VI Abstract ... VII 1. APRESENTAÇÃO E JUSTIFICATIVA ... 1 1.1. OBJETIVOS ... 2 1.1.1. Objetivos Específicos ... 2 1.2. ORGANIZACÃO DO TRABALHO ... 32. ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ... 4
2.1. OSCILAÇÕES EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ... 4
2.2. NATUREZA DAS OSCILAÇÕES ELETROMECÂNICAS ... 5
2.3. ANÁLISE MODAL NO SISTEMA DE POTÊNCIA ... 8
2.3.1. Mode-Shapes ... 13
2.3.2. Análise modal no domínio da frequência... 14
2.3.3. Utilização de valores singulares ... 17
2.3.4. Matriz de Ganhos Relativos ... 19
2.4. AMORTECIMENTO DOS MODOS DE OSCILAÇÃO ELETROMECÂNICOS. . 21
2.4.1. Robustez ... 21
2.4.2. Tempo de Resposta do Sistema ... 22
2.4.3. Amortecimento Mínimo dos Modos ... 22
3. MODELAGEM DINÂMICA DE SISTEMA DE POTÊNCIA ... 24
3.1. MODELOS DE GERADORES SÍNCRONOS ... 24
3.2. EXCITAÇÃO DOS GERADORES ... 26
3.2.1. Modelo tipo ST1A ... 27
3.2.2. Modelo tipo ST1A do IEEE simplificado... 28
3.2.3. Modelo DC4B ... 29
3.3. MODELO DE CARGA-FREQUÊNCIA ... 30
3.3.1. Obtenção do modelo de uma área ... 31
4. ESTABILIZADORES DE SISTEMAS DE POTÊNCIA ... 37
4.1. COMPOSIÇÃO BÁSICA DOS ESTABILIZADORES DE SISTEMAS DE POTÊNCIA ... 37
4.2. ESTRUTURA DE CONTROLE DOS ESP ... 40
4.3. HISTÓRICO DOS ESTABILIZADORES DE SISTEMA DE POTÊNCIA ... 41
4.4. CONTROLE ROBUSTO APLICADO AO ESTABILIZADOR DE SISTEMA DE POTÊNCIA ... 44
4.5. CONCLUSÃO ... 46
5. PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS DESCENTRALIZADOS 48 5.1. INCERTEZAS EM MODELOS DE SISTEMAS ... 48
5.1.1. Incertezas não estruturadas ... 50
5.1.2. Efeito das Incertezas na Sensibilidade e Resposta do Sistema ... 52
5.2. DETERMINACÃO DOS CRITÉRIOS DE ESTABILIZAÇÃO ROBUSTA... 53
6. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO APLICADOS AO CONTROLE ROBUSTO H∞ UTILIZADOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA ... 57
6.1. ALGORITMOS GENÉTICOS ... 57
6.2. ENXAME DE PARTÍCULAS (PSO) ... 60
6.3. RECOZIMENTO SIMULADO – SIMULATED ANNEALING ... 63
6.4. FUNÇÃO FITNESS E AS FUNÇÕES PENALIDADES. ... 65
7. PROCEDIMENTO DE POSICIONAMENTO E SINTONIA DOS CONTROLADORES ... 66
7.1. SELEÇÃO DOS PARES DE ENTRADA E SAÍDA ... 67
7.2. PARAMETRIZAÇÃO DOS CONTROLADORES ... 68
7.3. APLICAÇÃO EM UM SISTEMA TESTE... 69
7.3.1. Análise modal do sistema teste ... 70
7.3.2. Seleção do método de otimização ... 75
7.4. CONCLUSÕES... 80
8. APLICAÇÃO ... 81
8.1. SISTEMA NEW ENGLAND... 81
8.1.1. Seleção de Geradores ... 82
8.1.2. Sintonia do controlador ... 83
8.1.3. Resultados Obtidos ... 85
8.2. SISTEMA NEW ENGLAND/ NEW YORK ... 86
8.2.1. Seleção dos geradores ... 89
8.2.2. Sintonia do controlador ... 90
8.3. DESEMPENHO DOS CONTROLADORES SINTONIZADOS UTILIZANDO GA ... 95
9. CONCLUSÃO ... 101 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 103
I
Lista de Figuras
Figura 1: Modo local (a) e modo interárea (b) ... 7
Figura 2: Sistema de potência com controlador ... 18
Figura 3: Cone no plano complexo ... 23
Figura 4: Esquemas dos controles principais de um gerador ... 26
Figura 5: Diagrama de blocos do sistema de excitação tipo ST1A ... 27
Figura 6: Diagrama de blocos do sistema ST1A simplificado ... 28
Figura 7: Diagrama de blocos do modelo de excitacão tipo DC4B ... 29
Figura 8: Áreas de controle ... 31
Figura 9: Diagrama de blocos do sistema com 3 áreas ... 36
Figura 10: Modelo básico de um estabilizador clássico ... 38
Figura 11: Comparação ilustrativa do sistema real com seu modelo ... 49
Figura 12: Formas comuns de incertezas não estruturadas... 50
Figura 13: Representação das incertezas como matrizes de ponderação ... 51
Figura 14: Estrutura M∆ do sistema ... 54
Figura 15: Esquema básico de um algoritmo genético ... 58
Figura 16: Funcionamento do crossover uniforme ... 60
Figura 17: Fluxograma de um PSO básico... 62
Figura 18: Algoritmo recozimento simulado ... 64
Figura 19: Valores singulares do sistema em dB versus ω em rad/s, para os pares (Ptie1, PC3) e (Ptie2, PC1) ... 72
Figura 20: Valores singulares do sistema em dB versus em rad/s, para os pares (Ptie1, PC3), (Ptie2, PC1) e (f2, PC2) ... 73
II Figura 22: Valores Singulares do sistema usando controladores obtidos usando
GA, PSO e SA ... 76
Figura 23: Resposta ao degrau ... 77
Figura 24: Resposta ao impulso ... 77
Figura 25: Valores singulares dos três métodos ... 78
Figura 26: Verificação da robustez, com a ausência do controlador 1 ... 79
Figura 27: Verificação da robustez utilizando PTIE =0,75. ... 79
Figura 28: Diagrama unifilar do sistema New England. ... 81
Figura 29: Valores singulares do sistema New England. ... 85
Figura 30: Teste de robustez dos controladores ... 85
Figura 31: Diagrama de polos do sistema New England com ESP ... 86
Figura 32: sistema New York/New England ... 87
Figura 33: Autovalores do sistema sem controladores ... 88
Figura 34: Valores singulares do sistema sem Controladores ... 88
Figura 35: Valores singulares do sistema com controladores sintonizados pelos 3 métodos ... 92
Figura 36: Diagrama de polos do sistema com controlador sintonizado por GA ... 93
Figura 37: Diagrama de polos do sistema com controlador sintonizado por PSO ... 93
Figura 38: Diagrama de polos do sistema com controlador sintonizado por SA ... 94
Figura 39: Verificação de robustez do sistema, sintonizado pelos três métodos ... 94
III Figura 41: Escorregamento relativo para G3, G9 e G15, no primeiro caso ... 98 Figura 42: Escorregamento relativo para G3, G9 e G15, no segundo caso ... 99
IV
Lista de Tabelas
Tabela 1: Parâmetros do controlador ... 75
Tabela 2: MGR do sistema New England... 83
Tabela 3: Parâmetros dos ESP no sistema New England... 84
Tabela 4: Matriz MGR dos 12 primeiros geradores do sistema ... 89
Tabela 5: Controladores sintonizados pelos 3 métodos ... 91
Tabela 6: Parâmetros dos controladores do benchmark ... 95
V
Lista de Abreviaturas
AG: Otimização por Algoritmos Genéticos
ESP: Estabilizadores do Sistema de Potência
FACTS: Flexible AC Transmission Systems
MFTfr: Matriz de funções de transferência de respostas frequenciais.
MGR: Matriz de Ganhos Relativos
MIMO: Multiple Input Multiple Output
ONS: Operador Nacional do Sistema Elétrico
POD: Power Damping Oscillations
PSO: Otimização por Enxame de Partículas
RAT: Regulador Automático de Tensão
SISO: Single Input Single Output
VI
Resumo
Esta tese apresenta uma metodologia de sintonia de controle robusto, baseado na norma H∞, a ser aplicado em Estabilizadores de Sistema de Potência. O objetivo destes estabilizadores é fornecer um torque de amortecimento aos sistemas multimáquinas, quando estes são submetidos a oscilações de baixa frequência.
O projeto apresentado utiliza-se de uma combinação de MGR e valores singulares, adaptada para sistemas de grande porte, no intuito de simplificar a aplicação dos controladores, reduzindo a ordem dos mesmos, sem necessidade de reduzir o sistema. Após isso, são aplicadas as técnicas de otimização Algoritmos Genéticos, Enxame de Partículas e Recozimento Simulado, que são diferentes técnicas baseadas em heurísticas, com a finalidade de determinar os parâmetros dos controladores com um desempenho robusto.
Requisitos como estabilidade, robustez, e amortecimento das oscilações foram combinadas para determinar o bom desempenho dos estabilizadores e a eficácia do método.
Os resultados mostraram que é possível obter controladores de baixa ordem, sem necessariamente reduzir o sistema, demonstrando que a aplicação da metodologia apresentada é promissora para estudos de estabilidade a pequenas perturbações, para sistemas de qualquer porte.
Palavras-chave: sistemas de potência; matriz de Ganhos Relativos; Valores Singulares; controle robusto; Estabilizadores de Sistema de Potência; Algoritmos Genéticos; Enxame de Partículas e Recozimento Simulado.
VII
Abstract
This thesis presents a methodology of robust control tuning, based on the H∞ norm, to be applied in Power System Stabilizers. The purpose of these stabilizers is to provide damping torque to multi-machine systems when they are under low frequency oscillations.
The presented project uses a combination of RGA and singular values, adapted for large systems, in order to simplify the application of the controllers, reducing their order, without reducing the system. After that, the techniques of optimization of Genetic Algorithms, Particle Swarm and Simulated Annealing, different techniques based on heuristics, are applied, in order to determine the parameters of the controllers with a robust performance.
Requirements such as stability, robustness, and damping of the oscillations were combined to determine the good performance of the stabilizers and the effectiveness of the method.
The results show is possible to obtain low order controllers without necessarily reducing the system, demonstrating that the presented methodology is promising for small perturbation stability studies, applied on systems with any size.
Keywords: Relative Gains Array; Singular Values; Robust control; Power System Stabilizers; Genetic Algorithms; Particle Swarm and Simulated Annealing.
1
1. APRESENTAÇÃO E JUSTIFICATIVA
Os sistemas elétricos atuais costumam ser de grande porte e trabalhar em seus limites. Isso torna-os vulneráveis às oscilações eletromecânicas, mesmo as de menor amplitude. Como funcionam de acordo com a demanda exigida durante o dia, costumam variar seu ponto de operação, colaborando para que aumente a probabilidade de algum gerador sair de sincronismo. Oscilações no sistema de potência trazem prejuízo pois acabam por limitar a potência transmitida, além aumentar a possibilidade de se ter paradas não programadas reduzindo a oferta de energia. Além disso, a segurança do sistema tem um efeito significativo sobre o preço da eletricidade, afetando diretamente a competitividade do sistema no contexto de Mercado (GÓMEZ-EXPÓSITO, 2011).
A estabilidade com pequenas perturbações é traduzida pela existência de amortecimento positivo para todos os modos naturais de oscilação do sistema, quando os mesmos são excitados por perturbações de menor amplitude, ou mesmo flutuações normais de carga (AYRES, 2005). Portanto, o amortecimento dessas oscilações tornou-se o pré-requisito para uma operação segura de um sistema elétrico e a preocupação de engenheiros e operadores (CASTRO, 2006).
Para um controle eficaz dessas oscilações é imprescindível a análise e conhecimento de fatores como a natureza, tipos, frequências das oscilações mais preocupantes e etc. As técnicas lineares tradicionais utilizadas para projetar a maioria dos controladores apresentam um baixo desempenho devido ao fato de que esses métodos não consideram também as variações nas condições de operação, a variação de parâmetros do sistema devido a falhas, e também a parte da dinâmica do sistema.
Com o objetivo de melhorar a estabilidade de sistemas de potência, considerando a dinâmica do sistema, pode ser aplicado um sinal de controle suplementar às malhas de controle de regulação dos geradores. Esse sinal de
2 controle suplementar é gerado por circuitos compensadores, conhecidos como estabilizadores de sistemas de potência (ESP).
O tipo de compensação convencional avanço-atraso do ESP é amplamente aceito na indústria devido à sua simplicidade (RAO E SEN, 2000). O Controle por ESP tem sido utilizado por várias décadas e seu uso está consolidado no setor de energia em todo o mundo. Hoje em dia, quase todos os sistemas de geração de energia estão equipados com ESPs. No entanto, alguns deles permanecem desligados para evitar efeitos prejudiciais entre diferentes controladores.
Já é conhecido que o ESP, quando ajustado adequadamente, pode proporcionar controle robusto de um sistema de energia (KUNDUR et al, 1989; GIBBARD, 1991). Então, o desenvolvimento de uma metodologia cuja preocupação básica consiste em explorar a estrutura de controle já existentes na indústria de energia, evita a substituição prematura do ESP por controladores com novas estruturas, tornando mais eficientes os métodos existentes, sem a necessidade de grandes investimentos no setor elétrico.
1.1. OBJETIVOS
Esse trabalho tem como objetivo propor um procedimento para sintonizar ESP de baixa ordem, visando a obtenção de um controle robusto H∞ para amortecimento de pequenas oscilações em um sistema de potência.
As proposições clássicas de domínio da frequência do controle robusto H∞, juntamente com um procedimento de otimizações, serão usados para determinar os ganhos do ESP e as constantes de tempo. Os geradores onde os ESP’s devem ser inseridos são previamente selecionados, de acordo com a sua influência no sistema, e estes ESP’s serão simultaneamente ajustados
1.1.1. Objetivos Específicos
3 • Utilizar técnicas frequenciais para seleção dos geradores onde serão
colocados os ESPs.
• Sintonizar os ESP’s de modo que sejam amortecidas as oscilações eletromecânicas dos sistemas
• Propor métodos de otimização que melhor se adaptem ao processo de obtenção dos parâmetros do ESP, fazendo a comparação entre eles. • Testar a eficácia do controlador quando o sistema tem um comportamento
não linear.
1.2. ORGANIZACÃO DO TRABALHO
Esta tese foi distribuída em 8 capítulos, além desta introdução. Os capítulos estão organizados da seguinte maneira:
O capítulo 2 traz uma revisão bibliográfica sobre estabilidade de sistema de potência, e disserta sobre a natureza das oscilações e sobre a análise modal nos sistemas de potência.
O capítulo 3 apresenta diferentes modelos dinâmicos de sistema de potência.
O capítulo 4 faz um apanhado histórico até o estado da arte dos ESP, e apresenta seus modelos.
No capítulo 5 é mostrado o projeto do controlador que será aplicado no sistema descrito no capítulo 8
O capítulo 6 descreve os métodos de otimização selecionados para serem aplicados na parametrização dos controladores propostos.
A explicação de como a metodologia será aplicada aos sistemas, bem como os critérios que serão levados em conta estão no capítulo 7.
Por fim, o capítulo 8 traz os resultados da aplicação dos ESP nos sistemas New England e New England/New York e o capítulo 9, as considerações finais.
4
2.
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIAA estabilidade de sistemas elétricos de potência refere-se à capacidade que esses sistemas possuem de se manter em equilíbrio sob condições normais de operação, bem como a de atingirem um estado aceitável de equilíbrio após serem submetidos a distúrbios ou perturbações (KUNDUR,1994; IEEE/CIGRE, 2004). Os sistemas de geração de energia elétrica podem perder a estabilidade por falta de sincronismo dos geradores devido a variações dos seus parâmetros como, por exemplo, variações na carga, interrupções de energia, mudanças topológicas. Por esta razão, o estudo da estabilidade dos sistemas elétricos é tão importante, pois é fundamental que se garanta que os sistemas elétricos irão operar de forma estável, mesmo sob condições adversas,
O estudo da estabilidade do sistema pode ter foco em distúrbios de larga escala, associado à grandes desvios do ângulo do rotor do gerador, ou em pequenas perturbações, quando é possível que o sistema retome um ponto de equilíbrio igual ou próximo ao original. A capacidade do sistema de manter-se em sincronismo após ser submetido a um distúrbio é conhecida como estabilidade angular ou eletromecânica (DILL, 2013).
Para tanto, é preciso identificar as oscilações, conhecidas como oscilações eletromecânicas, que estão associadas ao sistema. Isso pode ser feito analisando os modos (autovalores) associados às equações que descrevem essas oscilações.
2.1. OSCILAÇÕES EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Considerando o modelo clássico de um i-ésimo gerador, a equação de oscilação que o representa, por variáveis de estado (ANDERSON E FOUAD, 2003), resulta no seguinte: ei mi i B i
T
T
H
2
(2.1)5 Em que T mi Tei corresponde ao torque de aceleração do gerador,
T
mi é otorque mecânico em pu e
T
e i é o torque elétrico em pu. Ainda se tem i velocidade angular do gerador i em rad/s, Hi constante de inércia do gerador
i em s e B velocidade angular síncrona em rad/s.
Sob condições de regime permanente, existe um equilíbrio entre esses torques no conjunto turbina-rotor de cada gerador, de modo que todos os geradores operam em sincronismo (mesma velocidade).
Se o sistema é perturbado, ocorre um desequilíbrio de torques, resultando em uma aceleração ou desaceleração dos rotores das máquinas. Para uma dada frequência de oscilação do rotor do gerador, existe uma variação do torque elétrico de mesma frequência e proporcional à amplitude da oscilação (AYRES, 2005). Este desbalanço dos torques eletromecânicos nos geradores síncronos do sistema corresponde ao fenômeno da estabilidade de ângulo, que pode acontecer inclusive diante de pequenas perturbações. Ao tentar controlar a excitação ou velocidade dos geradores, os modos de oscilação aparecem.
2.2. NATUREZA DAS OSCILAÇÕES ELETROMECÂNICAS
Dado um sistema de n equações diferenciais lineares de primeira ordem, sabe-se que existem n autovalores, λi,i1,...,n,e a solução do sistema tem a seguinte forma:
n i t ie f t c t y i 1 ), ( ) ( (2.2)em que f(t) depende da entrada.
Cada uma das exponenciais, eλité denominada “modo” do sistema
associado ao autovalor λi.Para o caso de pares de autovalores complexos conjugados, na forma λi αi jωi,os dois termos exponenciais associados a estes autovalores dão origem a um só termo, na forma eαit sen(ωitθ),que é
6 cada autovalor é associado um fator de amortecimento 𝜁 que é determinado pela seguinte equação:
𝜁(𝜆
𝑖) =
−𝑎𝑖 √𝑎𝑖2 +𝑤 𝑖2(2.3)
que representa a taxa de decaimento ou crescimento da amplitude das oscilações de um dado modo de resposta.
Os modos oscilatórios eletromecânicos (MOE), assim chamados por estarem relacionados às oscilações eletromecânicas associadas às equações de oscilação do sistema, são os modos mais críticos em virtude do baixo amortecimento natural do sistema. Eles se tornaram mais críticos com a interligação das centrais geradoras de energia elétrica. Estes modos estão associados ao comportamento dinâmico dos rotores dos geradores e são responsáveis por oscilações que se situam na faixa de frequência entre 0,1 e 3,0 Hz. (KUNDUR, 1994)
São quatro os tipos de MOE: modos locais, modos interárea, modos intra-área e modos intraplanta, com características distintas como descritas a seguir (LARSEN E SWANN, 1981, ARAÚJO E CASTRO, 1996).
Modos locais: Esses modos são devidos às oscilações que podem ocorrer quando os geradores são ligados a um sistema de potência relativamente grande através de linhas de transmissão fracas. A frequência natural de um desses modos é tipicamente entre 0,8- 2,0Hz. Um modo local é, usualmente, fortemente controlável e fortemente observável em um único gerador (CASTRO, 2006).
Modos interáreas: São observadas quando um grupo de geradores localizados em uma área oscila coerentemente contra outro grupo de geradores localizados em outra área, ocorrendo comumente na faixa de 0,1 a 0,7 Hz. As oscilações de modo interárea tendem a ocorrer quando as áreas são interligadas por linhas de transmissão fracas, ou seja, com capacidades muito inferiores às capacidades dos sistemas que elas interligam (AYRES, 2005).
7 Modos intra-área: São os modos correspondentes à interação entre geradores de uma mesma área. Este modo tem frequência natural no mesmo intervalo de frequência dos modos locais e, por isso, algumas vezes são tratados como modos locais. Entretanto, esses modos possuem características específicas de controlabilidade e observabilidade (ARAÚJO E CASTRO, 1997, CASTRO E ARAÚJO, 1998).
Modos intraplanta: São modos de frequência superior a 1 Hz, que surgem devido à interação entre geradores numa mesma central de geração. Esses modos, apesar de serem suficientemente amortecidos em situações normais, pode deteriorar com a aplicação de ESP, necessitando de uma realimentação através de uma combinação de sinais através do próprio ESP (SCHLEIF et al.,1979; CRENSHAW et al.,1983; CASTRO, 1990; ARAÚJO e CASTRO, 1991; ARAÚJO e CASTRO, 1995). Para o estudo de sistema de potência de grande porte, não consideramos esses modos, pois cada central de geração é representada por um gerador equivalente.
A Figura 1 apresenta exemplos de um modo local e interárea, que são alvos comuns nos estudos de estabilidades a pequenas perturbações e que serão foco neste trabalho.
Figura 1: Modo local (a) e modo interárea (b) Fonte: Dill, 2013
8 Ainda existem outros modos críticos como os modos da excitação, associados aos sistemas de excitação dos geradores cujos amortecimentos se deterioram com o ajuste dos parâmetros dos ESP’s (LARSEN e SWANN, 1981; KUNDUR et al., 1981). Ou os modos torsionais, que possuem frequências acima de 10 Hz e ocorrem devido às vibrações do eixo do grupo turbina-gerador. Esse problema somente ocorre no caso de geradores acionados por turbinas térmicas, porque giram com velocidades mais altas que as hidráulicas (ALDEN et al., 1977; LAWSON et al., 1978; ROGERS, 2000; CASTRO, 2006).
2.3. ANÁLISE MODAL NO SISTEMA DE POTÊNCIA
Os MOE, que são os modos mais críticos podem ser analisados com bastante aproximação, usando modelos linearizados do sistema de potência. Isso porque os sistemas considerados estão submetidos a pequenas perturbações, que provocam pequeno desvio em torno do estado operativo inicial do Sistema, possibilitando a linearização em torno de um ponto de equilíbrio.
Dado um sistema de potência, podemos fazer uma descrição modal do mesmo, de maneira linear, contanto que os desvios de seus parâmetros sejam realmente pequenos. Um procedimento comum para a linearização consiste em desenvolver uma função não linear em uma série de Taylor em torno do ponto de equilíbrio, desprezando os termos de ordem iguais ou superiores a dois.
Considerando um sistema não linear definido da seguinte maneira:
to xo x t t u t x f t x • , , (2.4)Sendo que x(t) é um vetor de estados e u(t) um vetor de entradas e saídas. Este mesmo sistema pode ser simplificado, pois as derivadas dos estados não são funções explícitas no tempo (KUNDUR, 1994; FERNANDES, 2012), ficando da seguinte maneira:
x,u f x • (2.5) Podemos ainda representar a saída do sistema em função da entrada do sistema e das variáveis de estado, da seguinte maneira:9 u) g(x, y n y y y 2 1 y ,
n n x g x g x g 2 2 1 1 g (2.6)Sendo y o vetor de saídas e g o vetor de funções não lineares, que relaciona as variáveis de entrada e estados com as saídas do sistema.
Se impusermos uma pequena perturbação , na entrada do sistema e nas suas variáveis de estado teremos:
x = xo + ∆x , (2.7)
u = uo + ∆u
onde xo e uo são, respectivamente a variável de estado e o vetor de entrada no
estado de equilíbrio. De modo que podemos reescrever a equação 2.5 da seguinte maneira:
𝑥̇ = 𝑥̇𝑜 + ∆𝑥̇ = 𝑓[(𝑥𝑜+ ∆𝑥), (𝑢𝑜+ ∆𝑢)] (2.8)
Como já foi dito anteriormente, podemos expandir essa expressão em série de Taylor, desprezando os termos de ordem maior ou igual a dois, já que estamos considerando um desvio relativamente pequeno, então:
𝑥𝑖̇ ≈ 𝑓𝑖 (𝑥𝑜, 𝑢𝑜) +𝜕𝑓𝑖 𝜕𝑥1∆𝑥1+ ⋯ + 𝜕𝑓𝑖 𝜕𝑥𝑛∆𝑥𝑛+ 𝜕𝑓𝑖 𝜕𝑢1∆𝑢1+ ⋯ + 𝜕𝑓𝑖 𝜕𝑢𝑚∆𝑢𝑚 (2.9)
sendo i = 1, 2, ..., n. Onde m é o número de entradas e n o número de estados do sistema. Como 𝑥𝑜̇ = 𝑓𝑜 (𝑥𝑜, 𝑢𝑜) = 0 ∆𝑥̇𝑖 = 𝜕𝑓𝑖 𝜕𝑥1∆𝑥1+ ⋯ + 𝜕𝑓𝑖 𝜕𝑥𝑛∆𝑥𝑛+ 𝜕𝑓𝑖 𝜕𝑢1∆𝑢1+ ⋯ + 𝜕𝑓𝑖 𝜕𝑢𝑚∆𝑢𝑚 (2.10)
10 Isso vale para descrever também a saída do sistema.
∆𝑦𝑗 =𝜕𝑔𝑗 𝜕𝑥1∆𝑥1+ ⋯ + 𝜕𝑔𝑗 𝜕𝑥𝑛∆𝑥𝑛+ 𝜕𝑔𝑗 𝜕𝑢1∆𝑢1+ ⋯ + 𝜕𝑔𝑗 𝜕𝑢𝑟∆𝑢𝑟 (2.11)
Com j = 1, 2, ... n. Sendo r o número de saídas
Desta maneira, para pequenos desvios, podemos representar o sistema com o seguinte modelo:
∆𝑥̇ = 𝐴∆𝑥 + 𝐵∆𝑢 (2.12) ∆𝑦 = 𝐶∆𝑥 + 𝐷∆𝑢
Em que
◦ A - matriz de estados com dimensão nxn;
◦ B - matriz de controle ou de entrada com dimensão nxm; ◦ C - matriz de saída com dimensão rxn;
◦ D - matriz de transmissão direta com dimensão rxm
Seja λ um autovalor de A. O autovetor à direita, i g , e o autovetor à i esquerda, v , associados a i , são definidos por: i
T i i T i i i i v A v g Ag λ λ (2.13)
em que ( )T significa transposição de vetor, ou matriz (CASTRO, 2006).
Assumindo que os autovetores são distintos, ocorre vTi gj 0se i=j e
0 j T i g v se i j
Quando k autovalores são iguais, podemos determinar a cadeia de k autovetores generalizados à direita e à esquerda associados aos autovalores (CHEN, 1998, CASTRO, 1990, ARAÚJO E CASTRO, 1991).
11 Assumindo as seguintes matrizes modais:
n g g g G 1 2 e T n T T T v v v V 2 1 (2.14)
Se todos os autovetores são normalizados, então vTi gi 1, o que nos leva a seguinte relação:
1
G
VT Sabe-se que a matriz de funções de transferência do sistema é
D B ) A sI ( C ) s ( T 1 (2.15)
Por uma transformação de similaridade obtém-se
AG G 1
Γ (2.16) em que Γdiag(λ1,λ2,,λn).
Pode-se definir qualquer função f no espectro de A na forma (CHEN, 1998; CASTRO, 2006):
f(Γ)G1f(A)G (2.17) Então, para f(A)(sI A)1,tem-se
G ) A sI ( G ) sI ( Γ 1 1 1 (2.18)
Relacionando as equações acima, obtém-se
T V ) sI ( G ) A sI ( 1 Γ 1 (2.19) E depois:
12 D B V ) sI ( CG ) s ( T Γ 1 T (2.20)
Considere os produtos matriciais CG e VTB expressos nas seguintes
formas: n h h h CG 1 2 e n T q q B V 1 (2.21) em que h i Cgie qi viTB.
Substituindo estes produtos matriciais em T(s), sabendo que
), s , , s ( diag ) sI ( n λ 1 λ 1 Γ 1 1
pode-se verificar facilmente que:
n i i i i D s q h ) s ( T 1 λ (2.22)Para um sinal de entrada u como uma função impulso, resposta k transitória da unidade k a um impulso unitário na unidade k é a seguinte:
n i t i i T k(t) h q e i y 1 λ (2.23)Estes resultados permitem que se possa analisar cada modo de maneira independente. E além disso, a estabilidade do sistema pode ser determinada pela natureza dos autovalores da seguinte forma (KUNDUR, 1994; FERNANDES, 2012):
Autovalores Reais - Correspondem aos modos não oscilatórios. Ou seja, quando este autovalor é negativo, a resposta do sistema é atenuada a uma taxa igual a 𝑒𝜆𝑖𝑡 , indicando um sistema estável. Quanto maior a magnitude do
autovalor, o sistema atinge mais rápido a estabilidade. Já quando o autovalor é positivo, o mesmo corresponde a uma exponencial crescente, ou seja, o sistema não atinge estabilidade.
13 Autovalores Complexos - ocorrem em pares conjugados e cada par corresponde a um modo oscilatório. A parte real corresponde ao decaimento do sistema enquanto a parte imaginária fornece a frequência de oscilação. Ou seja, se a parte real é positiva a resposta do sistema tem amplitude crescente, correspondendo a um modo instável, enquanto para os autovalores com a parte real negativa, a oscilação do sistema é amortecida.
2.3.1. Mode-Shapes
Para aplicação das técnicas baseadas nesses resultados, deve-se previamente calcular os autovetores (VAN NESS, 1969). Para sistemas de potência de grande porte, os autovalores são calculados considerando a esparsidade do modelo (MARTINS, 1986).
Analisando a influência dos autovetores na resposta do sistema, podemos observar que no produto escalar ci = ψi∆x(0), o autovetor à esquerda determinará
a influência da condição inicial para a trajetória do sistema, permitindo identificar a intensidade dessa condição inicial na resposta do mesmo. Em outras palavras, a constante ci corresponde à magnitude da excitação inicial de cada modo.
Já os autovetores à direita irão determinar a intensidade com a qual cada modo está presente em cada variável de estado do sistema. A partir deles é possível definir a distribuição dos modos pelas variáveis de estado. Nesta análise, a magnitude do n-ésimo elemento do autovetor ψi fornece o grau de
atividade da n-ésima variável de estado em relação ao modo λi enquanto a fase do autovetor ψi fornece a defasagem de cada variável de estado em relação ao
modo λi. Os gráficos com diagrama de amplitude e fase dos autovetores à direita relacionados a um modo λi são conhecidos como mode shapes.
Os mode-shapes fornecem informações importantes na participação de uma máquina ou grupo de máquinas em um modo de oscilação eletromecânico específico. É através dos mode-shapes que pode se identificar qual a natureza da oscilação e quais máquinas do sistema estão oscilando com a mesma fase ou em oposição de fase entre si, o que provoca o desequilíbrio (DILL, 2013).
14 Através dessa representação, é possível verificar, por exemplo, por meio dos autovetores à direita associados à velocidade das máquinas conectadas em um determinado barramento, se as mesmas oscilam de forma coerente em relação a um determinado modo. Entretanto, sistemas com representação em espaço de estados podem envolver variáveis com unidades de medida diferentes. Nesse caso para comparar o grau de atividade de variáveis de estado de natureza diferente em um determinado modo, deve-se utilizar preferencialmente medidas adimensionais, como é o caso dos fatores de participação. (FERNANDES, 2012)
2.3.2. Análise modal no domínio da frequência
Sabe-se que as técnicas baseadas em autovalores e autovetores podem não proporcionar as informações suficientes para uma boa estabilização do sistema, já que a dinâmica do sistema depende de outras características do sistema de potência com controle descentralizado, como os zeros e as interações modais (KLEIN et al., 1992, ARAÚJO e CASTRO, 1996; CASTRO, 2006). Além disso, quando alguns modos críticos têm frequências próximas, os algoritmos iterativos utilizados para determinar os autovetores associados podem convergir para vetores falsos (KLEIN, et al, 1992). Por isso, aplicamos técnicas de análise no domínio da frequência, pois estas estão intimamente relacionadas com o fenômeno físico e com a prática de engenheiros e operadores, além de proporcionar um controle robusto das oscilações.
O sistema de potência com múltiplas unidades, entradas de controle e sinais de saída é descrito por:
) ( ) ( ) (j G j u j Y (2.24) em que G(j)é a matriz de funções de transferência de respostas frequenciais
(MFTfr). Para sistemas de potência de grande porte, as MFTfr são usualmente obtidas diretamente do conjunto de equações diferenciais juntamente com um
15 conjunto de equações algébricas linearizadas no ponto de operação (MARTINS,1986; CASTRO 2006).
Podemos resolver essas equações simultaneamente, utilizando uma representação incremental mostrada abaixo, facilitando a análise computacional do problema: u B v x J J J J x D C B A 0 0 (2.25) v x C y 0
Em que x é o vetor de estado, v é um vetor com os fasores das componentes de tensão.
A matriz Jacobiana apresentada na equação 2.25 apresenta alto índice de esparsidade em sistemas de potência de grande porte. Assim, para maior eficiência, técnicas de esparsidade devem ser exploradas para determinar as respostas em frequência, considerando impulsos como entradas, para resultar o conjunto de sistemas de equações lineares seguinte:
0 ω ω ω B ) j ( v ) j ( x J J J J I j D C B A (2.26) ) j ( Cx ) j ( y ω ω
Analisaremos os modos relacionados ao sistema, através de sua controlabilidade e observabilidade.
Podemos definir a “controlabilidade” de um modo de oscilação (MO) como a habilidade do sistema para amortecer o MO para atingir um desempenho aceitável com entradas e saídas limitadas (WAL e DE JAGER, 2001). Do mesmo modo, pode-se definir a “observabilidade” de um MO como a contribuição do MO na resposta do sistema. Os zeros de um sistema podem provocar significativos efeitos na controlabilidade e observabilidade dos modos e no projeto dos controladores (SKOGESTAD e POSTLETHWAITE, 2005). A única maneira de se evitar zeros indesejáveis é com a prévia seleção de entradas e saídas adequadas para aplicação de controladores.
16 A “observabilidade” dos modos de oscilação críticos, particularmente os MOE, é analisada com o uso da equação 2.25. Então, os gráficos de amplitude do diagrama de Bode das velocidades, ωi( jω),i1,,n, no intervalo de frequência dos MOE críticos são usados na análise. Os modos interáreas são observáveis em vários geradores, enquanto um modo local geralmente é observável fortemente em um só gerador. Os MOE críticos são os com grandes picos no gráfico de magnitude de Bode de pelo menos um gerador. Um pico no gráfico de um gerador significa que o modo correspondente é observável na sua saída. Comparando os picos de um modo em todos os geradores, para maior pico corresponde maior grau de observabilidade do modo na saída do gerador correspondente (ARAÚJO e CASTRO, 1995, CASTRO e ARAÚJO, 1997; CASTRO 2006).
A “controlabilidade” dos MOE é analisada com o uso da resposta em frequência de cada gerador, considerando a velocidade como saída e torque mecânico como entrada, a partir da matriz jacobiana. Essa descrição frequencial, considerando um estabilizador ideal (desconsiderando o efeito dos demais estabilizadores) aplicado ao k-ésimo gerador é representada por:
) ( 1 ) ( ) ( j g D j g j g kk k kk kk (2.27)
Uma variação no pico de um MOE crítico no gráfico de gkk para D da k ordem de 10 a 20 pu, na base dos geradores, é uma indicação que o MOE é controlável no k-ésimo gerador, assumindo que o gerador tem o sistema de excitação de resposta rápida (tipo 1S do IEEE). Maior variação no pico corresponde a maior grau de controlabilidade (ARAÚJO e CASTRO, 1996, ARAÚJO et al., 1996). Aplicando o mesmo valor de D , na base do gerador, em k todos os geradores, um de cada vez, é possível selecionar um grupo de l geradores para aplicação de estabilizadores para amortecer todos os MOE críticos. Usualmente, l << n em grandes sistemas de potência.
17 2.3.3. Utilização de valores singulares
Para análise de controlabilidade e observabilidade modais de sistemas multivariáveis no domínio de frequência são utilizados os “valores singulares” da MFTfr, que para o caso da matriz G(j)são definidos por:
k i H i H i i(G) (G G) (GG ), 1,..., (2.28)
em que i é o i-ésimo autovalor da matriz, GH é a matriz conjugada e transposta
de G e k = min(m,r), sendo m e r o número de linhas e colunas da matriz G, respectivamente. Definindo como o maior valor singular,
como o menor e a relação,
/
como o número de condição, as seguintes propriedades de interesse são descritas (CRUZ, 1996; SKOGESTAD e POSTLETHWAITE, 2005):• na frequência de um MO representa o grau de observabilidade do modo na resposta do sistema e
representa o grau de controlabilidade do modo. MO pouco amortecidos e fortemente observáveis apresentam grandes picos no gráfico de . Os picos de são associados à robustez do sistema. Sistemas robustos apresentam pequenos picos de , pois isso indica que os modos não estão afetando o sistema de forma considerável.• Uma depressão no gráfico de
indica a existência de um zero influente na referida frequência.• Número de condição elevado (
10
) indica dificuldade de controle, principalmente se
<<1.• A norma l2 de G é
(G). Também, ||G-1|| = 1/
(G).Outras relações entre os valores singulares também deverão ser levados em consideração na análise. São eles:
18 ) G ( ) G ( σ 1 σ 1 , ou seja ) ( 1 ) ( 1 H H 1 σ σ ασ α σ 1 σ σ 1 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ λ σ ) G ( ) G I ( ) G ( ) G ( ) G ( ) G I ( ) G ( ) H ( ) G ( ) H G ( ) H ( ) G ( ) H ( ) G ( ) GH ( ) H ( ) G ( ) GH ( ) G ( ) G ( ) G ( i i i (2.29)
Agora, considere o sistema de potência G(j)com controladores H(j),
entradas de referência R e distúrbios, d, como apresentado na Figura 2.
Figura 2: Sistema de potência com controlador
A seguinte relação é obtida da Figura acima:
d G ) GH I ( GR ) GH I ( y 1 1 d (2.30) d HG ) HG I ( R ) GH I ( u 1 1 d
em que S(I GH)1 é a matriz de sensibilidade e T = SG é a matriz de funções de transferência de malha fechada do sistema. Essas matrizes são usadas para análise do desempenho do sistema controlado.
19 ) I GH ( ) G ( ) T ( R y σ σ σ (2.31)
Ainda, sabendo que (I GH)(
(GH) 1) e que
(GH)
(G)
(H), resulta: 1 σ σ σ σ ) H ( ) G ( ) G ( ) T ( R y (2.32)Do mesmo modo, considerando somente o efeito do distúrbio na saída, verifica-se que 1 ) H ( ) G ( ) H ( ) G ( d y d . (2.33)
Esses resultados mostram que (G), que depende da seleção de entradas e saídas, deve ser grande para reduzir
(T) e o efeito dos distúrbios, facilitando a ação do controlador. Se (G)1 na faixa de frequência dos modos de oscilação, será quase impossível o controle robusto do sistema com controladores descentralizados. Isso explica porque (G) é considerado como o grau de controlabilidade do sistema.2.3.4. Matriz de Ganhos Relativos
A matriz de ganhos relativos (MGR) é uma ferramenta importante para análise de sistemas multivariáveis e será usada para uma prévia seleção de
entrada e saídas para controle descentralizado. A MGR é definida por: Λ(𝑮(𝑗𝜔)) = [ 𝜆11 ⋯ 𝜆1𝑚 ⋮ ⋯ ⋮ 𝜆𝑟1 ⋯ 𝜆𝑟𝑚 ] (2.34)
20 em que 𝜆𝑖𝑗 = 𝑔𝑖𝑗𝑏𝑗𝑖 e bji é o elemento ji de
†
G (matriz inversa generalizada de G), definida por G†= (GHG)-1GH para m r, Posto(G) = m ou G† = GH(GGH)-1 para r
m, Posto(G) = r.
Sabe-se que ij é uma medida de interação entre a entrada j e a saída i
(SKOGESTAD e POSTLETHWAITE, 2005). Verifica-se, também, que ij é uma
medida do efeito que o controle do restante das variáveis tem no ganho entre uj
e yi (MILANOVIC e DUQUE, 2001). Das propriedades que a MGR tem, as
principais são as seguintes:
• A soma dos elementos de uma linha ou de uma coluna da MGR deverá sempre ser igual a 1.
• A MGR é independente da escala (valores de base) das entradas e saídas.
• Qualquer permutação de linhas e colunas de G resulta na mesma permutação na MGR.
• Sistemas onde a MGR possui grandes valores absolutos (λ ij 10) são sempre mal condicionados e de difícil controle.
• Sistemas com elevados elementos na MGR implica sensibilidade a incertezas elemento por elemento.
Utilizando as suas propriedades, a MGR pode ser usada para seleção dos pares entrada-saída mais efetivos. E ainda indicar sobre o melhor emparelhamento das variáveis controladas e manipuladas (SKOGESTAD e POSTLETHWAITE, 2005). Entretanto, a utilização da MGR isoladamente para essa seleção tem algumas limitações. A maior limitação é a impossibilidade de se selecionar a saída mais efetiva entre sinais de uma mesma unidade, por exemplo, velocidade e potência elétrica num gerador (MILANOVIC e DUQUE, 2001) ou, de uma maneira geral, sinais com alguma relação entre si.
Em Castro e Araújo (2002) foi proposta uma técnica que combina MGR e valores singulares na seleção dos pares entrada-saída mais efetivos para aplicação de controladores descentralizados. Essa técnica se mostra muito eficiente e confiável para seleção de sinais. Nesse trabalho foi feito uma adaptação deste método para aplicação nos sistemas de múltiplos geradores.
21 2.4. AMORTECIMENTO DOS MODOS DE OSCILAÇÃO
ELETROMECÂNICOS.
Como já foi exposto, é necessário o amortecimento dos modos de oscilação, para garantir um sistema confiável. Para isso, são necessários conhecer as fontes de amortecimento disponíveis e quais aspectos devemos observar, para confirmar se as oscilações foram mesmo amortecidas.
Os principais controladores conhecidos, usados largamente no amortecimento dos modos de oscilação, são Estabilizadores de Sistema de Potência, ou mesmo dispositivos FACTS, que podem ser usados com essa finalidade. Os ESP’s são controladores adicionais acoplados aos reguladores de tensão que oferecem um torque de amortecimento no rotor quando a velocidade do rotor oscila, atenuando a oscilação nas máquinas síncronas. Já os FACTS, que operam em série junto às linhas de transmissão ou em derivação associados a um barramento do sistema possuem, além do controle primário que atua no controle de tensão ou fluxo de potência, um controle suplementar conhecido como POD (Power Oscillation Damping), utilizado para amortecimento das oscilações eletromecânicas. (DILL, 2013)
Outras fontes de amortecimento dessas oscilações podem ser utilizadas, como Sistemas de Transmissão HVDC ou enrolamentos amortecedores nos rotores das máquinas síncronas, porém essas metodologias não conseguem ter um desempenho tão significante como os ESP ou FACTS.
Entretanto, o foco deste estudo serão os controladores ESP, pois o objetivo aqui é conseguir sintonizar e aplicar esses controladores de modo que se tenha um desempenho comparável aos controladores apresentados no Benchmark IEEE (2016), no amortecimento desses modos de oscilação. Para tanto, é importante observar aspectos como robustez, tempo de resposta do sistema e o percentual de amortecimento desses modos.
2.4.1. Robustez
O sistema de controle deve fornecer margens de segurança e amortecimento adequadas em todas as condições operacionais e configurações de rede que possam ser necessárias. Neste trabalho, os critérios de robustez serão
22 determinados segundo as definições do projeto de controle H∞, que consiste em minimizar os picos de respostas frequenciais de um sistema de malha fechada, diante das entradas exógenas, que, para um sistema MIMO corresponde ao valor singular máximo desse sistema (SKOGESTAD e POSTLETHWAITE, 2005).
O principal objetivo da teoria de controle H∞ é projetar um controlador que garanta a estabilidade da planta na presença de incertezas. Para projetar o controlador, o projetista deve considerar o modelo real, ou seja, o modelo nominal + incertezas. O modelo nominal é linear e válido para um ponto particular de operação. Todavia, o controlador deve ser projetado para estabilizar um conjunto de modelos válidos para os pontos comuns de operação. Na realidade o sistema real tem uma infinidade de modelos nos quais as incertezas, embora não conhecidas perfeitamente, devem ser representadas (CASTRO, 2006).
2.4.2. Tempo de Resposta do Sistema
O tempo de resposta ou de acomodação é o tempo necessário para que as oscilações sejam amortecidas de modo que entrem e permaneçam em uma faixa de x% em torno do valor final de resposta. Na literatura é possível encontrar tempos mínimos de respostas pré-estabelecidos, de acordo com o país. No Reino Unido o tempo de resposta é especificado entre 10-12s. Na Dinamarca e Noruega esse valor varia entre 10 e 20s (PAL e CHAUDHURI, 2005). No Brasil, define-se como critério que a diferença de amplitude máxima das oscilações do sistema após 10s de não pode ser superior a 2% (ONS, 2016).
2.4.3. Amortecimento Mínimo dos Modos
Um sistema cujos autovalores estão localizados no semiplano esquerdo não necessariamente terá um bom desempenho ao sofrer pequenas perturbações, pois polos muito próximos ao eixo indicam modos pouco amortecidos, o que pode significar uma tendência do sistema perder a estabilidade diante de um distúrbio. Portanto, para assegurar uma boa margem de estabilidade, é importante que os modos, além de ter seus autovalores associados com parte
23 real negativa, precisam apresentar um percentual mínimo de amortecimento. Uma maneira simples de visualizar se esses modos cumprem este requisito é verificar se seus polos se concentram dentro de um cone no semiplano complexo esquerdo, delimitando a área correspondente aos modos com amortecimento maior que o mínimo pré-definido (IEEE, 2016).
Figura 3: Cone no plano complexo Fonte: Dill, 2013
Para os modos críticos, a literatura estabelece alguns valores mínimos de amortecimento a depender da natureza dos modos. O Ontario Hydro Pratice (Kundur, 1994) estipula um amortecimento mínimo de 3% para o modo dominante, enquanto o Australian Utilities utiliza 5% (PAL e CHAUDHURI, 2005). Ainda segundo Pal (1999), modos com frequência baixa, como os modos interáreas, devem ter um coeficiente de amortecimento superior a 10%. Entretanto, muitos projetistas adotam 5% como referência. (SEBAA e BOUDOUR, 2007; BREULMANN et al, 2000; LARSEN e SWANN, 1981).
24
3. MODELAGEM DINÂMICA DE SISTEMA DE POTÊNCIA
A teoria de controle robusto desenvolvida nesse trabalho foi testada inicialmente em um sistema multivariável de carga-frequência de três áreas, usando um controlador do tipo avanço e atraso, que é mais simples que um ESP mas pode ser eficiente no amortecimento de oscilações eletromecânicas (SILVA FILHA et al, 2016) e serve como modelo inicial na fase de concepção da metodologia. Posteriormente, a metodologia foi aplicada em dois modelos multivariáveis: um com 10 geradores e outro com 16 geradores.
Portanto, neste capítulo serão apresentados os modelos de geradores síncronos, modelos do sistema de excitação e o modelo de área de carga-frequência.
3.1. MODELOS DE GERADORES SÍNCRONOS
Segundo Anderson e Fouad (2003), o modelo clássico do gerador representado apenas por sua equação de oscilação, por variáveis de estado, resulta em: δ ωi (3.1) qi i ei i i ei mi i B i I E T D T T H 2 (3.2)
em que δi ângulo de torque do gerador i em rad ωi velocidade angular do gerador i em rad/s Hi constante de inércia do gerador i em s
ei
mi T
T torque de aceleração do gerador, onde Tmi é o torque mecânico
em pu e
Tei é o torque elétrico em pu
Di fator de amortecimento do gerador i em pu/rad/s Eii tensão interna do gerador i em pu
25 Iqi componente da corrente no eixo de quadratura do gerador i em pu ωB velocidade angular síncrona em rad/s
O modelo clássico é utilizado para representar geradores equivalentes, representando uma parte do sistema ou para representar geradores pouco influentes ou de menor interesse no estudo.
Já para estudos de estabilidade, o modelo de máquina síncrona mais apropriado é o de quarta ordem, chamado também de modelo de dois eixos. Isso porque ele é representado por duas equações mecânicas (equações swing) e duas equações representando os efeitos transitórios e no eixo de quadratura. (ANDERSON e FOUAD, 2003). As equações são as seguintes:
) ) ( ( 1 0 qi qi qi di q di E x x I E (3.3) ) ) ( ( 1 0 di di di qi FDi d qi E E x x I E (3.4) i i ω δ (3.5) i i qi qi di di mi i B i T E I E I D H ( ) 2 (3.6)
Usualmente, neste modelo, considera-se xdi xqi .
Definem-se: E e di Eqi tensões transitórias de eixo direto e de quadratura, respectivamente, em pu;
di
I
e Iqi = componentes da corrente de eixos direto e de quadratura, respectivamente, em pu;di
x e x = reatâncias de eixos direto e de quadratura, qi respectivamente, em pu;
x e di xqi reatâncias transitórias de eixos direto e de quadratura, respectivamente, em pu;
26
0
τ e d τq0 constantes de tempo transitórias em circuito aberto de eixos direto e de quadratura, respectivamente, em segundos; EFDi = tensão de campo (saída do sistema de excitação) em pu.
As correntes I ed I são expressas em função de q E e d E com o uso q
da equação I = YV, como será visto na próxima seção, em que Y é a matriz de admitância reduzida, incluindo apenas os nós internos dos geradores.
3.2. EXCITAÇÃO DOS GERADORES
O controle de excitação possui três componentes principais: a excitatriz, reguladores de tensão e controles auxiliares, que podem ser ESP’s por exemplo. A excitatriz pode ser um gerador de corrente contínua com a finalidade de alimentar o circuito de campo do gerador síncrono com corrente DC. O regulador de tensão controla a saída da excitatriz para que ela gere a corrente e a potência reativa convenientemente, à medida que haja erro entre a corrente resultante e a projetada. Ainda há os controladores auxiliares que contribuem na melhoria do comportamento dinâmico do processo de controle de tensão. Na figura 4 temos uma representação simplificada do controle de excitação:
Os modelos de sistemas de excitação podem ser do tipo estático, excitação DC, em que classicamente a excitatriz é uma máquina elétrica de corrente contínua que funciona como gerador que fornece a corrente contínua para o rotor
Potência elétrica, V,I Turbina Gerador Regulador de velocidade Sistema de excitação vapor ou água Torque e velocidade ref
ω
refV
Figura 4: Esquemas dos controles principais de um gerador Fonte: Castro, 2006
27 do gerador síncrono, e excitação AC, onde a corrente é produzida por um gerador de corrente alternada e posteriormente transformada em corrente contínua para alimentar o enrolamento do campo. Dentre todos os modelos, detalharemos apenas o DC4B (agora DC4) de excitação DC, e o ST1A (agora ST1C), estático (IEEE, 2016), que foram usados nos sistemas testes desse trabalho.
3.2.1. Modelo tipo ST1A
Neste tipo, a alimentação de excitação é fornecida através de transformadores ou enrolamentos e retificadores de geradores auxiliares. Na atualização da Standard IEEE 421.5 de 2016, o modelo tipo ST1A foi substituído por ST1C. De qualquer maneira, qualquer sistema de excitação existente, representado pelo ST1A, poderia ser representado pelo ST1C, com exatamente os mesmos parâmetros (IEEE, 2016), pois a diferença entre os dois modelos é apenas o acréscimo de mais opções de entrada OEL no somatório. O diagrama de blocos desse sistema é apresentado na figura 5.
Amortecedor s T 1 K A A s T 1 s K F F ax Im V in Im V FD E C V S V F V
Redutor de Ganho Tansitório HV HV LV ) sT 1 )( sT 1 ( ) sT 1 )( sT 1 ( 1 S S 1 C C
Excitação
A V
Limitador de tensão Limitador de tensão
LR I FD I REF V VI Limitador de tensão S V
UEL V UEL V VOEL max A V min A V LR K UEL V
Figura 5: Diagrama de blocos do sistema de excitação tipo ST1A Fonte: Castro, 2006
Em que V é a tensão de saída do controlador; S VC é um sinal de controle interno;
28 IFD é a corrente de campo;
ILR é a corrente de referência;
LV é o limitador de tensão com duas entradas e uma saída, sendo a saída correspondente a entrada de valor menor;
HV é o limitador de tensão com duas entradas e uma saída, sendo a saída correspondente a entrada de valor maior;
VOEL é a tensão de entrada do limitador LV;
VUEL é a tensão de entrada do limitador;
HV é um sinal de controle interno.
O uso de redutor de ganho transitório (RGT) e amortecedor em sistemas de excitação modernos é criticado por vários autores, devido aos efeitos negativos que podem causar no amortecimento dos modos interárea (KUNDUR et al. 1981, KUNDUR et al., 1989). Kundur et al., 1989, apresentam uma ampla discussão a respeito do assunto. Assim, retirando o RGT, o amortecedor e desprezando os elementos não lineares e as entradas internas do próprio sistema de excitação, que não são de interesse na análise linear, obtém-se o modelo simplificado apresentado a seguir:
3.2.2. Modelo tipo ST1A do IEEE simplificado
Esse modelo, apresentado na figura 6, representa os sistemas de excitação sem amortecedor, sem redução de ganho transitório e sem as não linearidades e sinais de controle.
em que Vt é a tensão terminal.
s T 1 K A A max FD E min FD E FD
E
tV
refV
sV
RetificadorFigura 6: Diagrama de blocos do sistema ST1A simplificado Fonte: Castro, 2006
29 Nestes sistemas de excitação a retificação de tensão é realizada por tiristores. Isso permite obter-se constantes de tempo muito pequenas, TA< 0,1s,
e ganhos grandes, KA>10.
O modelo ST1A será utilizado no sistema de 68 barramentos e o ST1A simplificado, acrescentando uma segunda ordem, será aplicado no sistema de 39 barramentos. Ambos sistemas foram utilizados para testes nesse trabalho.
3.2.3. Modelo DC4B
Esse modelo, assim como os outros do Tipo DC, utilizam geradores DC como fontes de energia para a excitação da máquina e injetando corrente no rotor da máquina síncrona através do seu comutador. A excitatriz pode ser movida por um motor externo ou pelo próprio eixo do gerador. Pode ser autoexcitado ou de excitação independente, neste caso tem-se um gerador de imãs permanentes alimentando o campo da máquina DC. O diagrama de blocos que representa o modelo encontra-se na Figura 7:
Figura 7: Diagrama de blocos do modelo de excitacão tipo DC4B Fonte: Adaptado de IEEE, 2015
30 Onde Kp, KI, Kd, TD, VRmax e VRmin são, respectivamente, ganho proporcional,
ganho integral, ganho derivado, constante de tempo derivada, saída máxima e mínima do AVR. KA e TA são o ganho e a constante de tempo do tiristor. KE e TE
são o ganho e a constante de tempo da excitatriz. KF e TF são o ganho e a
constante de tempo de realimentação do estabilizador. E1 ë o ponto de
saturação do excitador 1 e SE (E1) é o fator de saturação do excitador 1. E2 é o
ponto de saturação do excitador 2 e SE (E2) é o fator de saturação do excitador
2. VEmin é a saída mínima da Excitatriz e TR é a constante de tempo do transdutor
de tensão.
3.3. MODELO DE CARGA-FREQUÊNCIA
De modo geral, o controle automático de um sistema de geração ocorre através de dois canais: Carga-Frequência (PF) e Potência Reativa/Tensão (QV). O objetivo básico do controle QV é manter a tensão terminal do gerador constante. Ao passo que o controlador PF foca em manter a potência gerada igual à demanda de potência elétrica, manter a frequência constante e igual ao padrão e manter as potências de intercâmbio constantes e iguais às programadas (MOTA, 2006). Entretanto, devido ao fato da malha de controle de excitação ser muito mais rápida que a malha de controle PF, pois esta malha possui grandes constantes de inércia mecânica, é possível desacoplar as malhas de controle PF e QV, acarretando grande simplificação no estudo particular de interesse. Neste trabalho, o foco é o controle PF, aplicado a um modelo de sistemas de potência com três áreas.
O controle de carga-frequência, em contraste com o controle QV, é feito coletivamente, agindo em todas as unidades de controle geradoras numa chamada área de controle. (ELGERD, 1976). Chamamos de área de controle a parte de um sistema de potência interligada, responsável por absorver as suas próprias variações de carga (COHN, 1961).
31 3.3.1. Obtenção do modelo de uma área
Para que possamos entender a dinâmica dos sistemas de controle PF, vamos estudar o caso mais simples, o de uma única área de controle. Para tanto, vamos desenvolver um modelo dinâmico para descrever uma área de controle i, ligada a outras áreas através de linhas de transmissão, como é mostrado na Figura 8:
Figura 8: Áreas de controle
Se admitirmos que essa área sofra uma variação na carga igual a PLi
MW, devido à ação dos controladores de turbina, a potência gerada nessa área aumenta na taxa de
P
Gi MW. Logo, o excedente de carga da área será)
(PGi PLi MW.
Essa potência será absorvida pelo sistema com o aumento da energia
cinética da área
W
kin,ina taxadt dWkin,i
, com o aumento da potência “exportada”
por meio das linhas de ligação, num total de
P
tie,i MW, considerado positivo saindo da área, e com o aumento crescente do consumo da carga. Todas as cargas típicas sofrerão um aumento 𝐷 = 𝜕𝑃𝐿𝜕𝑓 𝑀𝑊/𝐻𝑧, com o quadrado da
velocidade ou frequência, devido à predominância de cargas motoras. O “D” é conhecido como coeficiente de amortecimento ou característica de frequência da carga. (ELGERD, 1976). Matematicamente, i tie i i i kin Li Gi W D f P dt d P P , , (3.7) ÁREA DE CONTROLE J ÁREA DE
