TRANSPORTE DE CALOR E MASSA EM SÓLIDOS HETEROGÊNEOS: UM ESTUDO TEÓRICO VIA ANÁLISE CONCENTRADA

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Revista Brasileira de Produtos Agroindustriais, Campina Grande, v.5, n.1, p.1-16, 2003 ₁ TRANSPORTE DE CALOR E MASSA EM SÓLIDOS HETEROGÊNEOS: UM ESTUDO

TEÓRICO VIA ANÁLISE CONCENTRADA

Genival da Silva Almeida1, Fabrício José Nóbrega Cavalcante2, Antonio Gilson Barbosa de Lima3

RESUMO

A secagem é uma das etapas do pré-processamento dos produtos agrícolas que tem por finalidade retirar parte da água neles contida, sendo definida como um processo simultâneo de transferência de calor e massa entre o produto e o ar de secagem. O objetivo desse trabalho é desenvolver um modelo matemático para predizer o fenômeno de transferência de calor e massa em corpos com forma arbitrária baseado-se numa análise concentrada e supondo que o mesmo é composto por dois materiais distintos. Vários resultados são apresentados para a verificar a influência da variação das propriedades de um corpo heterogêneo. Dos resultados obtidos pode-se concluir que um sólido que apresente propriedades distintas, especificamente densidade e calor específico, terá uma cinética de secagem diferente daquela que teria um sólido homogêneo tomado para estudo com propriedades constantes. Neste sentido o modelo proposto permite uma análise mais precisa do fenômeno.

Palavras-chave: Secagem, análise concentrada, sólido heterogêneo.

HEAT AND MASS TRANSFER IN HETEROGENEOUS SOLIDS: A THEORETICAL STUDY BY LUMPED ANALYSIS

ABSTRACT

The drying is one of the stages of the pre-processing of the agricultural products and it is used to remove the water inside the solid. In a general way, it is defined as a simultaneous process of heat and mass transfer between the product and the drying air. The objective of this work is to develop a mathematical model to describe the phenomenon of the heat and mass transfer in bodies with arbitrary shape considering that they are composed by two different materials. The study is based on lumped analysis. Many results are presented to verify the influence of the change of the thermo-physical properties of a heterogeneous body. The obtained results allows us to conclude that a solid which presents different properties, specifically density and specific heat, will have a drying kinetics different from a homogeneous solid one for a study with constant properties. The proposed model allows us to analyze accurately the drying phenomenon.

Keywords: Drying, lumped analysis, heterogeneous solid .

________________________

1. Mestre em Engenharia Mecânica, Departamento de Engenharia Mecânica, CCT, Universidade Federal de Campina Grande (UFCG), 58109- 970, Cx. Postal 10069, Campina Grande-PB, Brasil.

2. Aluno de Graduação, Departamento de Engenharia Mecânica (DEM), Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/CNPq/UFPB, Centro de Ciências e Tecnologia (CCT), Universidade Federal de Campina Grande (UFCG), Campina Grande, PB.

3. Professor Doutor do Departamento de Engenharia Mecânica, CCT, Universidade Federal de Campina Grande (UFCG), CEP 58109-970, Caixa Postal 10069, Campina Grande-PB, Brasil. Fone (083) 310-1317, e-mail: gilson@dem.ufpb.br

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Transporte de calor e massa em sólidos heterogêneos..., Almeida et al.

2

INTRODUÇÃO

Um vasto número de estudos tem sido conduzido para analisar o processo de secagem, uns consideram as condições externas do ar, tais como, temperatura, umidade relativa e velocidade, relacionadas à taxa de secagem do sólido, enquanto outros consideram as condições internas ao

produto com ênfase aos mecanismos de

movimento de umidade e seus efeitos sobre o mesmo (Lima, 1999).

Os modelos matemáticos de secagem podem ser usados para predizer o comportamento de secagem para um determinado tipo de produto em particular. Tais modelos podem ser usados para determinar o efeito da mudança de certos parâmetros na eficiência da secagem ou para minimizar os custos de operação do sistema.

A distribuição de temperatura e umidade no interior de um sólido submetido a um processo de secagem, depende fortemente das propriedades físicas do material de que é feito o sólido e das condições de transferência de calor e/ou massa entre a superfície e o fluido ambiental, no qual o sólido é posto para secar.

A distribuição de temperatura e/ou umidade num processo transiente, em sólido submetido à secagem, será uniforme em relação às coordenadas espaciais se a resistência interna a transferência de calor e/ou massa for pequena se comparada à resistência a convecção na superfície do sólido.

Uma análise matemática que considera resistência interna ao transporte de calor e/ou

massa desprezível é chamado de análise

concentrada, sendo mais simples do que aquele em que se usa uma análise distribuída, pois este último envolve a resolução das equações de difusão de calor e/ou massa.

Dentre vários trabalhos em que se modela o fenômeno de secagem por análise concentrada (camada fina) pode-se citar Henderson e Pabis (1962); para trigo; Misra e Brooker (1980), para milho; Hutchison e Otten (1982), para feijões brancos e soja; Bala e Ziauddin (1990), no estudo de canola; Alsina et al. (1999), com goiabas em cubo; Lopez et al. (2000), para legumes de mercados atacadistas; Basunia e Abe (2001), para arroz duro tipo japonês; Chen et al. (2001), para kiwi; Almeida et al. (2002), para vagens de algaroba, dentre outros tais como Parry (1985), Parti (1993), Sinicio et al. (1995), Cavalcanti Mata e Menegalli (1997), Ozdemir e Devres (1999) Yaldiz et al. (2001), Lima (2001) e Silva (2002).

Diante do exposto, torna-se importante o conhecimento dos efeitos da secagem sobre as propriedades químicas e biológicas dos produtos,

uma vez que estas afetam sensivelmente os fenômenos transferência de calor e massa, principalmente em alimentos.

Visando dar uma contribuição na predição do fenômeno de secagem, este trabalho tem como objetivos:

Desenvolver modelos matemáticos para descrição do fenômeno de transferência de calor e massa em sólidos com forma arbitrária supondo que o mesmo é composto por dois materiais distintos, baseados numa análise concentrada.

Formular e implementar um programa computacional com as equações que governam o problema, visando a aplicação do modelo estabelecido.

Simular a variação do teor de umidade adimensional e temperatura adimensional em

função dos parâmetros de processo para

transferência de calor e massa.

Analisar os resultados obtidos, observando a influência da variação das propriedades de um sólido composto por dois materiais distintos, bem como os processos de transferência de calor e massa acoplados.

MODELAGEM MATEMÁTICA Como pôde ser constatado, todos os

trabalhos citados que usam os modelos

concentrados supõem que o sólido é homogêneo, o que é irreal. Para um estudo da transferência de calor e massa, em um sólido heterogêneo (composto por dois materiais distintos), considere a Figura 1. Nesta figura, V é o volume (m3), A é a área (m2), Cp é o calor específico (J/kgK), K é a

condutividade térmica (W/mK), M é o teor de umidade (kg/kg), T é a temperatura (oC) e hm e hc

são os coeficientes de transferência de massa (m/s) e calor (W/m2K), respectivamente.

Na modelagem matemática, são assumidas as seguintes considerações:

Material composto unicamente de água na fase líquida e matéria sólida;

As propriedades termo-físicas constantes para cada sólido;

Nenhuma geração de energia ou massa ocorre;

Gradientes de temperatura e teor de umidade internos são desprezíveis em cada sólido individualmente;

Fenômeno ocorre sob condição

convectiva na superfície;

Dilatação do sólido devido à elevação de temperatura durante a secagem como sendo desprezível;

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Revista Brasileira de Produtos Agroindustriais, Campina Grande, v.5, n.1, p.1-16, 2003

3 Contração volumétrica devido à perda de

água, desprezível;

Condução de calor e massa ocorrem unicamente na interface entre os sólidos;

Material composto unicamente de água na fase líquida e matéria sólida.

Sendo assim, do ponto de vista da transferência de calor neste sólido, o seguinte comportamento da temperatura no interior do sólido, por exemplo, pode ser evidenciado na Figura 2:

A2 A1 X1 X2 Fluido T

V2, 2, Cp2, T2, M2, K2 V1, 1, Cp1, T1, M1, K1 hm, hc A1

Figura 1 Esquema representativo do sólido composto por dois materiais diferentes.

X

T

X

1

X

2

T

1

T

2

Figura 2 Efeito da resistência térmica de contato na distribuição de temperatura no sistema do sólido heterogêneo.

A queda de temperatura ocorre exatamente na interface dos dois sólidos e é devido a uma resistência térmica de contato.

Um balanço de energia entre os dois sólidos dá como resultado: 1 T 2 T c A c R 21 q

(1) onde a quantidade Rc é denominada coeficiente de

contato (°C/W).

O mecanismo físico da resistência de contato é devido às irregularidades existentes entre as superfícies em contato, cujos espaços vazios geralmente é preenchido por fluido. Nesta região, a transferência de calor se dá por:

Condução sólido-sólido pelos pontos de contato,

Condução, convecção e radiação através dos fluidos aprisionados nos espaços criados pelo

contato. No entanto, geralmente, considera-se desprezíveis a convecção e radiação.

Este último fator representa a maior resistência ao fluxo de calor, pois, o fluido tem, geralmente, uma condutividade térmica menor que a do sólido.

Designando Ac por área de contato e Av a

área vaga na interface entre os sólidos, tem-se que (Holman, 1983): A c R 1 1 T 2 T v L 1 T 2 T v A f K c A 2 K 2 v L c A 1 K 2 v L 1 T 2 T 21 q (2)

onde Lv é a espessura do espaço vago, Kf é a

condutividade térmica do fluido que preenche esse espaço e A a área total de transferência de calor. Então: A V L v A f K A c A 2 K 2 V L c A 1 K 2 v L 1 c R (3)

O maior problema desta teoria simples é a dificuldade efetiva dos valores de Ac, Av e Lv para

as superfícies de contato.

Infelizmente, não existe uma teoria satisfatória que permita predizer com boa exatidão a resistência térmica de contato, nem estudos que forneçam correlações empíricas perfeitamente confiáveis. Isto se deve às muitas condições

(4)

4

superficiais complexas que podem ser encontradas na prática (Holman, 1983).

Desta forma, neste trabalho, o Rc foi

assumido ser: 1 X 1 A 1 K c R

(4)

A mesma analogia pode ser feita para o transporte de massa de forma que Rc assume a

forma equivalente ao apresentado para transporte de calor. Sendo assim:

1 X 1 A 1 D c R

(5)

onde D é o coeficiente de difusão de massa. Análise da transferência de massa

Considerando o sólido apresentado na Figura 1, e realizando a análise para transferência

de massa, tem-se as seguintes equações

diferenciais ordinárias: Sólido 1: dt 1 dM 1 V 1 M 2 M 1 X 1 A 1 D

(6a) ou ainda: 0 2 M 1 X 1 V 1 A 1 D 1 M dt d 1 X 1 V 1 A 1 D

(6b) Sólido 2: dt 2 dM 2 V 2 M 1 M 1 X 2 1 A 1 D 1 2 M e M 2 A m h (7a) ou ainda: 2 V 2 A m h e M 1 M 2 V 1 X 2 1 A 1 D 1 2 M dt d 2 V 1 X 2 1 A 1 D 1 2 V 2 A m h (7b)

Considerando os seguintes parâmetros:

1 X 1 V 1 A 1 D 1 X , 1 X 2 V 2 1 A 1 D 1 2 X , (8a-d) 2 V 2 A m h 2 Y , dt d G

substituindo nas equações (6a) e (7a) tem-se que:

0 2 M 1 X 1 M G 1 X

(9) e e M 2 Y 1 M 2 X 2 M G 2 Y 2 X (10)

As equações (9) e (10) são resolvidas

simultaneamente, obtendo-se uma equação

diferencial envolvendo somente M1. Esta equação

é dada por: e M 1 X 2 Y 1 M 1 X 2 Y G 2 X 1 X 2 Y 2 G (11)

Resolvendo a equação (3.8) obtém-se a solução geral, que na forma dimensional em relação a M1 resulta em:

e M t 2 b e 2 N t 1 b e 1 N 1 M

(12) onde os parâmetros b1 e b2 são dados a seguir. As

constantes N1 e N2 são obtidas aplicando as

condições iniciais: 2 2 1 2 Y 1 X 4 2 2 Y 2 X 1 X 2 Y 2 X 1 X 1 b 2 2 1 2 Y 1 X 4 2 2 Y 2 X 1 X 2 Y 2 X 1 X 2 b (13a-b) As condições iniciais para o problema são:

0 t 2 M t 1 M e o M 2 M 1 M , (14a-b) para t = 0

Aplicando estas condições iniciais na equação (12) obtém-se: e M o M 1 b 2 b 2 b 1 N (15a) e e M o M 1 b 2 b 1 b 2 N

(15b) Para M2, a solução pode ser obtida pela

substituição da relação para M1, da equação (12),

(5)

5 e 1 2 t b 2 1 1 t b 1 2 M X b 1 e N X b 1 e N M 1 2

(16) Definindo e M 0 M e M M * M , tem-se que: t 2 b e 1 b 2 b 1 b t 1 b e 1 b 2 b 2 b * 1 M (17) t 2 b e 1 X 2 b 1 1 b 2 b 1 b t 1 b e 1 X 1 b 1 1 b 2 b 2 b * 2 M

(17b)

Análise da transferência de calor

Realizando um balanço de energia em cada sólido da Figura 1, têm-se as seguintes equações diferenciais ordinárias: Sólido 1: dt 1 dT 1 P C 1 V 1 1 T 2 T 1 X 1 A 1 K

(18a) Que pode ser escrita na forma:

0 2 T 1 X 1 P C 1 V 1 1 A 1 K 1 T dt d 1 X 1 P C 1 V 1 1 A 1 K

18b) Sólido 2: dt 2 dT 2 P C 2 V 2 2 T 1 T 1 X 1 A 1 K 2 T T 2 A c h (19a)

Que pode ser escrita na forma:

2 P C 2 V 2 2 A c h T 1 T 1 X 2 P C 2 V 2 1 A 1 K 2 T dt d 1 X 2 P C 2 V 2 1 A 1 K 2 P C 2 V 2 2 A c h (19b)

Definindo os seguintes parâmetros:

1 X 1 P C 1 V 1 1 A 1 K 1 B , 1 X 2 P C 2 V 2 1 A 1 K 2 B , 2 P C 2 V 2 2 A c h 2 F

(20a-c) e re-escrevendo as equações (18) e (19), numa forma mais simplificada, obtêm-se:

0 2 T 1 B 1 T G 1 B

(21) e T 2 F 1 T 2 B 2 T G 2 B 2 F (22)

As equações (21) e (22) são resolvidas

simultaneamente, obtendo-se uma equação

diferencial envolvendo somente T1. O operador G

denota diferenciação em relação ao tempo. Assim: T 1 B 2 F 1 T 1 B 2 F G 2 B 1 B 2 F 2 G (23)

Resolvendo a equação (23) obtém-se a solução geral, que escrita na forma adimensional em relação a T1 fica da seguinte forma:

T t 2 m e 2 C t 1 m e 1 C 1 T (24)

Para T2 a solução pode ser obtida pela

substituição da relação para T1 da equação (24) na

equação (21) assumindo a forma:

T 1 B 2 m 1 t 2 m e 2 C 1 B 1 m 1 t 1 m e 1 C 2 T (25)

Os parâmetros, m1 e m2 são dados a seguir.

2 2 1 2 F 1 B 4 2 2 F 2 B 1 B 2 F 2 B 1 B 1 m

2 2 1 2 F 1 B 4 2 2 F 2 B 1 B 2 F 2 B 1 B 2 m

(26a-b) As constantes C1 e C2 são obtidas aplicando

as condições iniciais. Estas são dadas:

0 t 2 T t 1 T e o T 2 T 1 T em t = 0. (27a-b) Então, obtêm-se: ) T o T ( 1 m 2 m 2 m 1 C

(28a) e ) T o T ( 1 m 2 m 1 m 2 C

(28b) Definindo T T T T T o * _{, tem-se que:} t 2 m e 1 m 2 m 1 m t 1 m e 1 m 2 m 2 m * 1 T (29a)

(6)

Transporte de calor e massa em sólidos heterogêneos..., Almeida et al. 6 t 2 m e 1 B 2 m 1 1 m 2 m 1 m t 1 m e 1 B 1 m 1 1 m 2 m 2 m * 2 T

(29b)

Análise simultânea da transferência de calor e massa

Para a análise de simultaneidade da transferência de calor e massa, foi considerado, para o balanço de energia, o mesmo sólido ilustrado na Figura 1 e realizou-se a análise para transferência de calor com consideração de que existe convecção térmica e influência da variação da massa devido ao aquecimento do vapor e evaporação na superfície do sólido. Neste caso as seguintes equações são obtidas:

Sólido 1: dt 1 dT 1 P C 1 V 1 1 T 2 T 1 X 1 A 1 K

(30a)

0 2 T 1 X 1 P C 1 V 1 1 A 1 K 1 T dt d 1 X 1 P C 1 V 1 1 A 1 K (30b) Sólido 2: dt 2 dT 2 P C 2 V 2 2 T T p C fg h dt 2 dM 2 V 2 1 T 2 T 1 X 1 A 1 K 2 T T 2 A c h (31a)

T t d 2 dM 2 p C v C 2 P C 2 V 2 2 A c h dt 2 dM 2 P C fg h 1 T 1 X 2 P C 2 V 2 1 A 1 K 2 T dt 2 dM 2 P C v C 1 X 2 P C 2 V 2 1 A 1 K 2 P C 2 V 2 2 A c h (31b)

Os parâmetros B1, B2 e F2 já foram definidos

anteriormente nas equações (20a-c).

Re-escrevendo as equações (30) e (31), numa forma mais simplificada, obtem-se:

0 2 T 1 B 1 T G 1 B

(32) e T 2 F dt 2 dM 2 P C v C dt 2 dM 2 P C fg h 1 T 2 B 2 T G dt 2 dM 2 P C v C 2 B 2 F (33)

Por outro lado, pode-se reescrever a equação (25) na forma: 2 M 1 M 2 V 1 X 2 1 A 1 D 1 2 M e M 2 V 2 A m h dt 2 dM

(34) Usando-se dos parâmetros definidos nas equações 8a-d e 15a-b, pode-se reescrever a equação (34) na forma: t 2 b e 2 W t 1 b e 1 W dt 2 dM

(35) onde: 1 X 1 b 1 N 2 X 1 X 1 b 1 N 2 Y 1 N 2 Y 1 W

(36a) 1 X 2 b 2 N 2 X 1 X 2 b 2 N 2 Y 2 N 2 Y 1 W (36b)

Substituindo-se a equação (35) na equação (33) e resolvendo as equações (32) e (33)

simultaneamente, obtém-se uma equação

diferencial envolvendo somente T1. O operador G

denota diferenciação em relação ao tempo. Assim pode-se escrever: 1 B 2 F t 2 b e 2 W t 1 b e 1 W 2 P C v C t 2 b e 2 W t 1 b e 1 W 1 B 2 P C fg h 1 T t 2 b e 2 W t 1 b e 1 W 1 B 2 P C v C 1 B 2 F G t 2 b e 2 W t 1 b e 1 W 2 P C v C 2 B 1 B 2 F 2 G

(37) A equação (37) é uma equação diferencial de 2ª ordem, não-linear e não-homogênea. Tal equação não pode ser resolvida de forma fechada, para a obtenção de uma solução exata. No entanto, para efeito de simplificação foi desconsiderada a energia necessária para aquecer o vapor d água desde a temperatura na superfície do sólido até a temperatura do fluido, podendo desta forma ser

(7)

7 obtida a sua solução. A equação (37) na sua forma

simplificada é dada por:

T 1 B 2 F t 2 b e 2 W t 1 b e 1 W 1 B 2 P C fg h 1 T 1 B 2 F G 2 B 1 B 2 F 2 G (38)

Com o auxílio do Software Mathematica®, a equação (38) foi resolvida, obtendo-se a solução, que é dada por:

12 H 2 2 b 1 B 11 H 1 B 6 H 1 H 2 b 6 H 2 2 b 1 b 10 H 2 1 b 2 F t 2 H e 1 B 32 1 T (39) Sendo os valores das variáveis que aparecem em T1, dadas por: 1 B 2 B 2 F 1 H

(40a) 2 2 1 H 2 F 1 B 4 1 H 2 H

(40b) 2 2 1 H 2 F 1 B 4 1 H 3 H

(40c) 2 1 H 2 F 1 B 4 4 H

(40d) o T t 4 H e 1 T t 3 H e 2 t 4 H e 1 4 H o T T 1 H t 4 H e 1 5 H (40e) 2 W fg h t 4 H e 1 1 B 2 5 H 1 H 2 P C 6 H (40f) 4 H t 4 H 2 b e 2 t 4 H e 1 1 H t 4 H e 1 7 H (40g) 2 W 2 F t 4 H e 1 1 B 2 1 W 4 H 1 H t 4 H 1 b e 2 t 4 H e 1 1 W 2 1 H t 4 H e 1 8 H (40h) 2 W t 3 H 1 b e 2 2 W t 4 H e 2 W 1 W t 3 H 1 b e 2 1 W t 4 H e 1 1 W 4 H 2 W 1 W 1 H t 4 H e 1 9 H (40i) 2 W fg h 7 H 5 H 2 F 2 P C 1 B 6 H 2 b 5 H 2 P C 2 1 b 10 H

(40j) 2 W 7 H 1 H 1 W 2 F t 4 H e 1 1 B 2 fg h 5 H 1 H 2 F 2 P C 11 H (40l) 9 H fg h 5 H 2 F 2 P C 2 F 1 B 8 H fg h 7 H 5 H 2 F 2 P C 2 b 1 W fg h 7 H 5 H 2 F 2 P C 2 2 b 12 H (40m)

Na forma adimensional, a equação (39) é dada por: T o T T 1 T 1 T (41)

Para T2 a solução foi obtida derivando a

equação (39) em relação a T1 e substituindo na

equação (32). Assim tem-se que:

12 H 2 2 b 1 B 11 H 1 B 6 H 1 H 2 b 6 H 2 2 b b 10 H 2 1 b 2 F t 2 H e 2 H 1 B 32 dt 1 dT (42) e 1 B dt 1 dT 1 T 2 T

(43)

Na forma adimensional, tem-se que:

T o T T 2 T * 2 T (44)

Todas as resoluções das equações estão no

anexo, juntamente com os programas

computacionais. Para obtenção dos resultados, foi desenvolvido um código computacional em linguagem C++. Os resultados foram expostos em forma gráfica, utilizando o software Grapher®.

A metodologia empregada para a geração dos resultados foi a da variação das propriedades, densidade e calor específico dos sólidos, mantendo-se constantes as demais. Essa variação foi dada em proporções diferentes e com valores coerentes fisicamente, mas aleatórios. O valor da densidade e do calor específico, ambos medidos para o sólido considerado homogêneo foi obtido a partir dos valores destas grandezas para um sólido heterogêneo, usando as seguintes equações:

2 V 1 V 2 V 2 2 V 1 V 1 V 1 (45)

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Transporte de calor e massa em sólidos heterogêneos..., Almeida et al. 8

2 2 P C 1 P C P C

(46) RESULTADOS E DISCUSSÕES

Para a validação da metodologia, os resultados do teor de umidade médio e temperatura média, obtidos neste trabalho, foram comparados com resultados obtidos da literatura (Lima, 2001), para um sólido considerado homogêneo. A Tabela 1 apresenta todos os valores dos parâmetros usados neste trabalho, para a situação em que os fenômenos de transferência de calor e massa ocorrem de forma independente.

Tabela 1 Parâmetros físicos, usados neste trabalho, para o fenômeno de transferência de calor e massa desacoplados Parâmetro Valor hm 1,61.10-9 m/s D 2,8.10-10 m2/s hc 0,0255 W/m2K K1 0,1 W/mK X1 0,005 m X2 0,003 m D* 2,8.10-10 m2/s L* 2 ( X1 + X2) = 0,016 m

*Usados no modelo de Lima (2001) para validação do modelo proposto neste trabalho.

A validação do modelo matemático

desenvolvido neste trabalho pode ser verificada pelo excelente ajuste nas curvas mostradas nas Figuras 3 e 9, ou seja, quando não há variações nos valores da densidade e do calor específico, o sólido heterogêneo tem um comportamento semelhante ao de um sólido considerado homogêneo. Todos os resultados foram gerados, tomando como análise os sólidos 1 e 2 de forma esférica, com raios X1 e

( X2 + X1), respectivamente. No entanto,

qualquer outra geometria pode ser utilizada para análise. Os valores de X1 e X2 foram assumidos

tal que o número de Biot de transferência fosse inferior a 0,1. Os resultados apresentados nas Figuras 3-14 referem-se ao caso em que os fenômenos de transferência de calor e massa ocorrem de forma desacoplada.

As Figuras 4 7 ilustram o efeito das densidades dos sólidos no transporte de massa. A partir da análise da Figura 4, pode-se perceber que o aumento da densidade no sólido 2, proporciona um aumento na velocidade de perda de massa dos sólidos 1 e 2. Verifica-se que a consideração de que um sólido heterogêneo se comporta como

homogêneo, retarda o fenômeno de transferência de massa.

Então, a densidade tem seu papel importante, no processo de secagem. Para um corpo com densidades diferentes, sendo a do sólido 2 maior que a do sólido 1, a taxa da perda de umidade é acelerada. A explicação está no fato de que o sólido 2 possui maior massa por unidade de volume e conseqüentemente uma maior quantidade de água, proporcionando uma maior perda de umidade no início do processo, quando relacionado ao modelo reportado por Lima (2001) para sólido homogêneo, persistindo em quase todo o processo, equilibrando-se no final.

De forma contrária, a Figura 5 mostra o efeito da densidade, desta feita com os valores das densidades invertidas. Verifica-se que o sólido heterogêneo retarda o fenômeno de transferência de massa. Isso é devido a baixa densidade do sólido 2. Como para um sólido homogêneo, tem-se

> 2, este tem maior perda de massa. As Figuras

6 e 7 ilustram, novamente, a influência da densidade, no comportamento dos sólidos, de forma mais intensa, devido a uma maior diferença das densidades. O sólido 1, apesar de ter a menor densidade, forma com o sólido 2 um único sólido e que, apesar de terem propriedades diferentes, agem como um único material.

Do exposto, quanto maior for a diferença entre as densidades dos sólidos 1 e 2 e aquela correspondente a um sólido heterogêneo suposto homogêneo com densidade de valor igual ao obtido pela equação (45), maior será o erro cometido na análise. Na análise da transferência de massa a variação do calor específico não exerceu mudanças consideráveis na cinética de secagem. A Figura 8 ilustra este efeito.

As Figuras 10 e 11 ilustram o efeito do calor específico no transporte de calor nos sólidos 1 e 2. Comparando com o comportamento de um sólido considerado homogêneo, o sólido 2, tendo calor específico maior, demora a se aquecer, ou seja, o processo de transferência de calor torna-se mais lento, e, conseqüentemente, o sólido 1 também tem seu fenômeno de aquecimento retardado. Por outro lado, se o calor específico do sólido 1 (interno) é maior que o do sólido 2 (externo), a transferência de calor é acelerada. Isso porque o calor que chega no sólido 2 é facilmente transferido para o sólido 1, acelerando o processo. Para transferência de calor, o sólido é mais sensível à variação do calor específico do que a variação da densidade.

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