Alguns Tópicos de Matemática Discreta. Ana Paula Tomás

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Alguns T´

opicos de Matem´

atica Discreta

Ana Paula Tom´as

Departamento de Ciˆencia de Computadores Faculdade de Ciˆencias do Porto

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Conte´

udo

1 Conjuntos 1

1.1 Opera¸c˜oes com Conjuntos . . . 2

2 Representa¸cão de Números em Computador 7 2.1 Sistema de Representa¸cão Posicional . . . 8

2.1.1 Rela¸c˜ao entre bin´ario, octal e hexadecimal . . . 11

2.1.2 Adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao na base b . . . 12

2.1.3 Representa¸cão de números com um número fixo de d´ıgitos . . . 15

2.1.4 Representa¸c˜ao de n´umeros negativos . . . 16

2.2 Adi¸cão e Subtraçcão em n Bits . . . 19

2.2.1 Adi¸cão e subtraçcão binária de inteiros não negativos . . . 19

2.2.2 Adi¸c˜ao de inteiros em complemento para 2 . . . 20

2.2.3 Subtrac¸c˜ao de inteiros em complemento para 2 . . . 20

2.3 Representa¸c˜ao em V´ırgula Fixa . . . 21

2.4 Representa¸c˜ao em V´ırgula Flutuante . . . 21

3 Algumas No¸cões de Divisibilidade 23 3.1 Bases de Numera¸cão e Critérios de Divisibilidade . . . 23

3.2 No¸c˜ao de Divisor e de M´ultiplo . . . 25

3.3 Factoriza¸c˜ao em Primos . . . 26

3.3.1 Determina¸c˜ao de primos: crivo de Erast´otenes . . . 27

3.3.2 Cálculo de divisores por análise da factoriza¸cão em primos . . . 28

3.4 M´aximo Divisor Comum . . . 28

3.4.1 C´alculo do m´aximo divisor comum pelo algoritmo de Euclides . . . 29

3.5 M´ınimo M´ultiplo Comum . . . 31

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4 Indu¸c˜ao Matem´atica 33

4.1 Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica . . . 33

4.1.1 Erros frequentes . . . 37

4.2 Indu¸c˜ao Forte . . . 40

4.2.1 Outras formula¸c˜oes do princ´ıpio de indu¸c˜ao . . . 42

5 Rela¸cões Binárias 43 5.1 Rela¸cões Binárias de A em B . . . 43

5.1.1 Opera¸cões com rela¸cões binárias . . . 43

5.1.2 Matriz duma rela¸c˜ao bin´aria . . . 45

5.1.3 Fun¸c˜oes de A em B . . . 47

5.2 Rela¸c˜oes Bin´arias Definidas num Conjunto . . . 47

5.2.1 Propriedades das rela¸c˜oes bin´arias definidas em A . . . 48

5.2.2 Grafo da rela¸c˜ao . . . 48

5.3 Rela¸c˜oes de Compatibilidade e de Equivalˆencia . . . 50

5.3.1 Classes de equivalˆencia . . . 51

5.3.2 Parti¸cões e rela¸cões de equivalência . . . 53

5.3.3 Classes de Compatibilidade . . . 55

5.4 Rela¸c˜oes de Ordem Parcial . . . 57

5.4.1 Diagrama de Hasse . . . 58

5.4.2 M´aximos, m´ınimos, supremo, ´ınfimo, majorantes e minorantes . . . . 59

5.5 Fechos duma Rela¸c˜ao para uma Propriedade . . . 60

5.5.1 Fecho transitivo e percursos em grafos . . . 62

5.5.2 Fecho transitivo duma rela¸c˜ao definida num conjunto finito . . . 68

6 Grafos e Multigrafos 71 6.1 Grafos Dirigidos . . . 71

6.1.1 Multigrafos dirigidos. . . 73

6.1.2 Grafos, Percursos e rela¸c˜oes bin´arias . . . 74

6.2 Grafos N˜ao Dirigidos . . . 75

6.2.1 Grafos Conexos . . . 77

6.2.2 Condi¸c˜ao necess´aria para um grafo ser conexo . . . 78

6.3 Arvores . . . .´ 79

6.3.1 Arvores com ra´ız . . . .´ 81

6.4 Percursos Eulerianos e Hamiltonianos . . . 82

6.5 Grafos Planares . . . 83

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6.7 Colora¸c˜ao de Grafos . . . 85

6.8 Grafos com Valores Associados aos Ramos . . . 86

6.8.1 Determina¸c˜ao da distˆancia m´ınima . . . 87

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Pref´

acio

Estes apontamentos têm por base material elaborado em anos anteriores para disciplinas da licenciatura em Ciência de Computadores [5, 6, 7], o qual foi agora revisto e nalguns tópicos completado para servir de apoio à disciplina de Matemática para Ciência de Computadores, no ano lectivo de 2005/06. Não visam substituir a leitura da bibliografia recomendada pelos docentes e não cobrem actualmente todos os tópicos abordados na disciplina.

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Cap´ıtulo 1

Conjuntos

Neste cap´ıtulo vamos essencialmente recordar ou introduzir alguma da nota¸cão que é usada para conjuntos. Tomamos a no¸cão de conjunto como primitiva, convencionando que um conjunto é constitu´ıdo por elementos – objectos materiais ou entes abstractos que têm alguma propriedade em comum (no caso extremo, a de pertencerem todos a esse conjunto). Os conjuntos podem ser vazios (i.e. sem elementos). Em geral, usamos letras maiúsculas para designar conjuntos e minúsculas para referir os seus elementos. Para indicar que a é um elemento do conjunto A escrevemos a_{∈ A. Os conjuntos podem ser especificados em extensão} – exibindo todos os elementos que os constituem – ou indicando a propriedade que caracteriza os seus elementos – defini¸cão em compreensão. Por exemplo,_{{1, 2, 3, 4} e {n | n ∈ Z}+_{∧n ≤ 4}.} Nota¸cão. Sejam A e B conjuntos.

a∈ A a pertence a A, a ´e elemento de A a /_{∈ A} a n˜ao pertence a A

A = B igualdade de conjuntos (qualquer que seja x, x∈ A se e s´o se x ∈ B)

A_{⊆ B} A contido em B, A subconjunto de B (qualquer que seja x, se x∈ A ent˜ao x ∈ B)

A_{⊇ B} A contém B, B_{⊆ A} A_{⊂ B} A contido propriamente em B, A subconjunto próprio de B A_{⊆ B ∧ A 6= B} A_{⊃ B} A contém propriamente B A_{6= B} A_{6⊆ B ou B 6⊆ A} ∅ ou {} conjunto vazio

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1.1. OPERAC¸ ˜OES COM CONJUNTOS 2

O conjunto dos subconjuntos de A, representa-se por P(A) ou 2A_{. Qualquer}

con-junto A pertence ao seu concon-junto de subconcon-juntos, isto ´e A_{∈ P(A). Por exemplo,} P({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

O conjunto _{P({1, 2, 3}) tem 2}3 _{elementos. Tamb´em se pode verificar que} _{P(P({1, 2, 3}))}

tem 223 elementos. Se A tem n elementos, P(A) tem 2n _elementos.

Nestes apontamentos, N representa o conjunto dos inteiros n˜ao negativos (incluindo assim tamb´em 0).

N inteiros n˜ao negativos (em vez de N0)

Z inteiros

Q racionais

R reais

R+₀ reais n˜ao negativos R+ reais positivos R− reais negativos

Um conjunto A não vazio é finito se e só se existir uma bijeccão de A em_{{x ∈ N | x < n}} para algum n_{∈ N. Nesse caso, n é o cardinal (número de elementos) de A. Usamos |A| (ou,} alternativamente, #A) para designar o cardinal de A. O cardinal do conjunto vazio é zero.

A propósito de questões de nota¸cão, é de salientar que {n | n ∈ N}

{n}, com n ∈ N

denotam conjuntos diferentes: o primeiro é N e o segundo é constitu´ıdo por um único inteiro (que está a ser representado pela letra n).

1.1 Opera¸

c˜

oes com Conjuntos

A interseçcão de A com B representa-se por A_{∩ B, e é o conjunto dos elementos que} pertencem a ambos os conjuntos.

A_{∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}}

A uni˜ao de A com B que se representa por A_{∪ B, ´e o conjunto dos elementos que} pertencem a pelo menos um dos conjuntos.

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O complementar de B em A representa-se por A\ B, e ´e o conjunto dos elementos de A que n˜ao pertencem a B.

A_{\ B = {x | x ∈ A e x /}_{∈ B}}

Quando est´a implic´ıto um dado universoU, chama-se complementar de A, e representa-se por A, ao complementar de A em_{U, ou seja a U \ A.}

Exemplo 1 Vamos provar que A_{\ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C). Para tal vamos mostrar que} x∈ A \ (B ∪ C) ⇔ x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C), qualquer que seja x.

x∈ A \ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∪ C (por def. de diferen¸ca) ⇔ x ∈ A ∧ (x /∈ B ∧ x /∈ C) (por def. união) ⇔ x ∈ A \ B ∧ x ∈ A \ C (por def. de diferen¸ca) ⇔ x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C) (por def. interseçcão)

Exemplo 2 Quaisquer que sejam os conjuntos A, B⊆ U, tem-se A ∪ B = A ∩ B. De facto, se x_{∈ A ∪ B então, por defini¸cão de complementar, x /}_{∈ A ∪ B. Logo, x /}_{∈ A e x /}_{∈ B. Mas,} x /∈ A sse x ∈ A. E, x /∈ B sse x ∈ B. Então, x ∈ A e x ∈ B. Donde, x ∈ A ∩ B. Mostrámos assim que A_{∪ B ⊆ A ∩ B. Reciprocamente,}

x_{∈ A ∩ B =⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) (por def. ∩)}

=⇒ (x /∈ A ∧ x /∈ B) (por def. complementar) =_{⇒ x /}_{∈ (A ∪ B)} (por def. _∪)

=_{⇒ x ∈ A ∪ B} (por def. complementar) ou seja, A_{∪ B ⊇ A ∩ B.}

Exerc´ıcio 1.1.1 Suponha que os conjuntos indicados s˜ao subconjuntos do universo_{U. Sendo} A, B e C subconjuntos deU quaisquer, mostre cada uma das propriedades:

(a) A\ B = A ∩ B = B \ A (j)∅ = U (r)U = ∅ (b) A_{\ B = ∅ sse A ⊆ B} (k) A_{\ A = ∅} (s) A_{\ ∅ = A} (c) A_{\ B = A sse A ∩ B = ∅} (l) A = A (t) A_{∪ U = U} (d) (A\ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (B ∩ A) (m) A∪ A = U (u) A∩ A = ∅ (e) (A_{∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)} (n) A_{∩ U = A} (v) A_{∩ A = A} (f) (A_{∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)} (o) A_{∪ ∅ = A} (g) (A∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (h) (A_{∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)} (p) A_{∪ B = A ∩ B} (i) A\ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) (q) A⊆ B sse B ⊆ A

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Exemplo 3 A t´ıtulo de exemplo, vamos analisar a veracidade ou falsidade das afirma¸c˜oes seguintes e justific´a-la.

1. Qualquer que seja x_{∈ Z, existe y ∈ Z tal que x ≤ y e x 6= y.} ∀x ∈ Z ∃y ∈ Z (x ≤ y ∧ x 6= y)

A afirma¸cão é verdadeira porque, sendo o conjunto dos inteiros infinito, se x é inteiro, x + 1 também é um inteiro e x + 1 é superior a x. Ou seja, dado um x qualquer, se considerarmos que y é x + 1, satisfazemos a condi¸cão (x _{≤ y ∧ x 6= y). Note que y} dependerá de x.

2. Existe y∈ Z tal que para todo x ∈ Z se tem x ≤ y. ∃y ∈ Z ∀x ∈ Z x ≤ y

A afirma¸cão é falsa porque em particular se x fosse y+1 então teriamos que ter y+1_{≤ y,} que não é satisfaz´ıvel (já que é equivalente a 1≤ 0).

3. Existe um inteiro não negativo que não excede qualquer outro inteiro não negativo.

∃x ∈ Z+0 ∀y ∈ Z+0 x≤ y

A afirma¸cão é verdadeira. O inteiro 0 é menor ou igual que cada um dos inteiros não negativos. Aqui, Z+₀ denota o conjunto dos inteiros não negativos, o qual identificámos também por N.

4. Existe x_{∈ Z tal que x ´e maior do que qualquer outro inteiro y.} ∃x ∈ Z ∀y ∈ Z x > y

A afirma¸cão é falsa (análoga à 2). 5. Para todo A_{⊆ Z, tem-se P(A) = {∅}.}

A afirma¸cão é falsa, porque {1} é um subconjunto de Z e P({1}) = {∅, {1}} 6= {∅}. 6. Para todo A_{⊆ Z, se A = ∅ então P(A) = {∅}.}

A afirma¸cão é verdadeira. Só existe um subconjunto de Z que é vazio, e P(∅) = {∅}. Note que {∅} é um conjunto que tem um elemento. Esse elemento é ∅, ou seja, é o conjunto vazio.

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7. Tem-se P(A) = ∅, para algum A ⊆ Z.

∃A (A ⊆ Z ∧ P(A) = ∅)

A afirma¸cão é falsa, porque qualquer que seja o subconjunto A de Z, o conjunto vazio é um elemento de_P(A).

8. Quaisquer que sejam x, y∈ Z, tem-se x ≤ y ou y ≤ x. ∀x ∈ Z ∀y ∈ Z (x ≤ y ∨ y ≤ x)

Dizer que x≤ y equivale a dizer que existe um inteiro n˜ao negativo z tal que y = x + z. ´

E verdade que (x_{≤ y ∨ y ≤ x), quaisquer que sejam os inteiros x e y.}

Como x_{− y é inteiro, quaisquer que sejam x e y, se x − y é não negativo, então y ≤ x} pois x = y + (x− y). Se x − y é negativo, então y − x é um inteiro positivo, e como y = x + (y_{− x), tem-se x ≤ y.}

9. Qualquer que seja A_{⊆ Z, se A 6= {−1, 2, 3} ent˜ao 4 ∈ A.} ∀A ( (A ⊆ Z ∧ A 6= {−1, 2, 3}) ⇒ 4 ∈ A) )

Falso. Existe um subconjunto de Z que ´e diferente de_{{−1, 2, 3} e que n˜ao tem o 4. Por} exemplo, o conjunto vazio.

10. Quaisquer que sejam A, B_{⊆ Z, se 5 ∈ A \ B ent˜ao 5 ∈ A.} ∀A ∀B( (A ⊆ Z ∧ B ⊆ Z ∧ 5 ∈ A \ B) ⇒ 5 ∈ A )

A afirma¸cão é verdadeira. Quaisquer que sejam os subconjuntos A e B de Z, tem-se 5∈ A \ B se e só se 5 ∈ A e 5 /∈ B. Logo, se 5 ∈ A \ B então 5 ∈ A.

11. Para todo o x_{∈ Z, e quaisquer que sejam A, B ⊆ Z, se x ∈ A \ B então x ∈ A.} A afirma¸cão é verdadeira. A justifica¸cão é semelhante à dada para a afirma¸cão anterior (claro que é necessário falar em x e não em 5!).

12. Existe x∈ Z tal que x ∈ A \ B, quaisquer que sejam A, B ⊆ Z. Esta afirma¸cão pode ser traduzida pela expressão lógica

∃x (x ∈ Z ∧ ( ∀A ∀B ( (B ⊆ Z ∧ A ⊆ Z) ⇒ x ∈ A \ B) )) a qual escrevemos por vezes como

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que é falsa. Quaisquer que sejam os conjuntos A e B se A = B então A\B = ∅. Assim, se tomarmos, por exemplo, A = B =_{{1}, os conjuntos A e B são subconjuntos de Z e} não existe qualquer inteiro x tal que x_{∈ A \ B.}

13. 2 + 2 = 4 ou √2_{∈ Z.}

A afirma¸cão é verdadeira porque embora √2 /_{∈ Z, é verdade que 2 + 2 = 4.} 14. Se 2 + 2_{6= 4 então} √2_{∈ Z.}

A afirma¸cão é equivalente a “2 + 2 = 4 ou √2_{∈ Z”.} 15. Se √2_{∈ Z então 2 + 2 6= 4.}

A afirma¸cão é equivalente a “√2 /_{∈ Z ou 2 + 2 6= 4”, e como} √2 /_{∈ Z, a afirma¸cão é} verdadeira.

16. √26∈ Z ou 2 + 2 6= 4.

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Cap´ıtulo 2

Representa¸

c˜

ao de N´

umeros em

Computador

Do mesmo modo que “5692 segundos”, “94 minutos e 52 segundos”, “1 hora, 34 minutos e 52 segundos” são designa¸cões ou representa¸cões diferentes da mesma entidade, também 5692₍₁₀₎, 13074₍₈₎ e 1011000111100(2) o são. De facto, 1 34 52(60) ≡ 1h3405200≡ 1 × 602+ 34× 601+ 52× 600 5 6 9 2(10) ≡ 5 × 103+ 6× 102+ 9× 101+ 2× 100 1 3 0 7 4(8) ≡ 1 × 84+ 3× 83+ 0× 82+ 7× 81+ 4× 80 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0₍₂₎ _{≡ 1 × 2}12+ 0_{× 2}11+ 1_{× 2}10+ 1_{× 2}9+ 0_{× 2}8+ 0_{× 2}7+ 0_{× 2}6+ 1_{× 2}5+ 1_{× 2}4+ 1_{× 2}3+ 1_{× 2}2+ 0_{× 2}1+ 0_{× 2}0 dizendo-se que 60, 10, 8 e 2 são as bases de numera¸cão, respectivas. Habitualmente, escreve-se 5692em vez de 5692₍₁₀₎, porque a base mais usual para representa¸cão de inteiros é a base 10, designada por decimal. As bases 8 e 2 são designadas por octal e binária. Se considerarmos as potências de 2,

212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

podemos observar que 5692 = 4096+1596 = 4096+(1024+572) = 4096+1024+(512+60) = . . . = 4096 + 1024 + 512 + 32 + 16 + 8 + 4 = 1011000111100₍₂₎.

Analogamente, se considerarmos as potˆencias de 3,

38 ₃7 ₃6 ₃5 ₃4 ₃3 ₃2 ₃1 ₃0

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2.1. SISTEMA DE REPRESENTAC¸ ˜AO POSICIONAL 8

podemos verificar que 5692 = 21210211(3). De facto, 5692 = 2× 2187 + 1318 = 2 × 2187 +

(1_{× 729 + 589) = 2 × 2187 + 1 × 729 + (2 × 243 + 103) = . . . = 2 × 2187 + 1 × 729 + 2 × 243 +} 1_{× 81 + 2 × 9 + 1 × 3 + 1 = 21210211}₍₃₎.

2.1 Sistema de Representa¸

c˜

ao Posicional

Num sistema de numera¸cão de base b usam-se b s´ımbolos diferentes para b d´ıgitos (de 0 a b_{− 1). Os números são representados por uma sequência de d´ıgitos.}

Os d´ıgitos na base 10 são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Os d´ıgitos na base 2 são 0 e 1, e normalmente são designados por bits. Por exemplo,

1011102 = 1× 25+ 0× 24+ 1× 23+ 1× 22+ 1× 21+ 0× 20

Se a = rmbm+ rm−1bm−1+ . . . + r2b2+ r1b1+ r0b0 com rm 6= 0 e 0 ≤ ri ≤ b − 1 para

0_{≤ i ≤ m ent˜ao}

a≡ rm. . . r2r1r0 (b)

´e a representa¸c˜ao de a na base b. Os coeficientes r0, r1, r2, . . . rm chamam-se d´ıgitos de

repre-senta¸c˜ao de a na base b, sendo r0 o d´ıgito menos significativo e rm o d´ıgito mais significativo.

A representa¸cão é única, o que é consequência da unicidade do quociente e resto da divisão inteira.

Proposi¸cão 1 (divisão euclideana de inteiros) Quaisquer que sejam a _{∈ Z e b ∈ Z}+ existe um e um só q_{∈ Z e um e um só r ∈ Z tal que b = aq + r e 0 ≤ r < b.}

A q chama-se quociente e a r resto da divis˜ao inteira de a por b, sendo importante a condi¸c˜ao 0_{≤ r < b para garantir a unicidade.}

Corol´ario 1.1 Quaisquer que sejam a _{∈ Z}+ _{e b} _{∈ Z}+_{\ {1}, existem inteiros ´unicos r} 0, r1,

r2, . . . rm tais que a = rmbm+ rm−1bm−1+ . . . + r2b2+ r1b1+ r0b0, rm 6= 0 e 0 ≤ ri≤ b − 1

para 0_{≤ i ≤ m.}

Prova: Sejam a e b inteiros com a > 0 e b > 1. Tem-se ou a < b ou a_{≥ b.} Se a < b ent˜ao a = 0b + a. Portanto, 0 < r0= a.

Se a≥ b então, por defini¸cão de divisão inteira, existem q0e r0unicos tais que a = bq´ 0+r0,

com 0 _{≤ r}0 < b. Se q0 < b, toma-se r1 = q0 e obtem-se a = r1b + r0. Se q0 ≥ b, ent˜ao o

processo repete-se agora para q0. Ou seja, q0= bq1+ r1, com 0≤ r1 < b. Logo,

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Se q1< b, toma-se r2 = q0 e obtem-se a = b2r2+br1+r0. Se q1 ≥ b, ent˜ao o processo repete-se

agora para q1, e sucessivamente. O processo termina porque a > q0 > q1 > . . . e qualquer qi

´e um inteiro n˜ao negativo. _u_t

Esta prova indica um algoritmo para determina¸c˜ao da representa¸c˜ao dum inteiro a numa base b. Exemplo 4 Tem-se 125₍₁₀₎ = 53 _{= 1000} (5) = 26 + 25 + 24+ 23+ 22 + 20 = 1111101(2) = 175(8) = 7D(16). De facto, 125 5 0 25 5 r0 0 5 5 r1 0 1 r2 r3 125 2 1 62 2 r0 0 31 2 r1 1 15 2 r2 1 7 2 r3 1 3 2 r4 1 1 r5 r6 125 8 5 15 8 r0 7 1 r1 r2 125 16 13 7 r0 r1

No entanto, quando se conhecem potências da base, pode ser mais fácil determinar a representa¸cão por outro método. Por exemplo, para a base 2,

46(10) = 32(10)+ 8(10)+ 4(10) + 2(10) = 101110(2)

enquanto se se aplicar o algoritmo dado pela prova anterior teria

46 2 0 23 2 r0 1 11 2 r1 1 5 2 r2 1 2 2 r3 0 1 r4 r5 46₍₁₀₎ = 23_{× 2 + 0 = (11 × 2 + 1) × 2 + 0 = ((5 × 2 + 1) × 2 + 1) × 2 + 0} = (((2_{× 2 + 1) × 2 + 1) × 2 + 1) × 2 + 0} = ((((2_{× 1 + 0) × 2 + 1) × 2 + 1) × 2 + 1) × 2 + 0} = 1_{× 2}5+ 0_{× 2}4+ 1_{× 2}3+ 1_{× 2}2+ 1_{× 2}1+ 0_{× 2}0 = 101110(2)

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Pode interessar também saber qual a representa¸cão decimal dum inteiro dado numa base b. Para a obter, bastará aplicar a defini¸cão e efectuar os cálculos na base 10. 101110₍₂₎ = 1_{× 2}5+ 0_{× 2}4+ 1_{× 2}3+ 1_{× 2}2+ 1_{× 2}1+ 0_{× 2}0 = 32 + 8 + 4 + 2 = 46₍₁₀₎ 101110₍₃₎ = 1_{× 3}5+ 0_{× 3}4+ 1_{× 3}3+ 1_{× 3}2+ 1_{× 3}1+ 0_{× 3}0 = 162 + 27 + 9 + 3 = 201₍₁₀₎

Para além da base 2, são bastante usadas em Computa¸cão as bases 8 (octal) e 16 (hexa-decimal). Os d´ıgitos em octal são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Embora os restos da divisão por 16 sejam 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,. . . , 15, por conven¸cão, os d´ıgitos em hexadecimal a partir de 10 são representados pelas letras maiúsculas de A a F. Deste modo não haverá qualquer ambiguidade de representa¸cão (por exemplo, fica claro que o hexadecimal 15 designa o decimal 1_{× 16 + 5 e F o decimal 15). Os números representados na base octal são por vezes} indexados por (o), por exemplo 235_(o), e os representados na base hexadecimal por (h), por exemplo F 15A_(h).

Designa¸c˜ao Base D´ıgitos

Bin´ario 2 0 a 1

Octal 8 (=23₎ _{0 a 7}

Hexadecimal 16 (=24) 0 a 9, A, B, C, D, E, F

Decimal 10 0 a 9

Exemplo 5 A sequência 78412 não pode representar nenhum inteiro na base 4 porque 7, 8 e 4 não são d´ıgitos base 4. A sequência 001231 não é representa¸cão numa base de numera¸cão, no sentido acima definido, porque teria zeros não significativos. A sequência 123100 pode representar um inteiro em qualquer base b superior a 4.

Exerc´ıcio 2.1.1 Converter para bin´ario: 153₍₁₀₎, 153₍₆₎, 153₍₈₎, 153₍₁₆₎.

Exerc´ıcio 2.1.2 Converter para hexadecimal: 153(10), 151323(10), 153(8), 1010101111(2).

Exerc´ıcio 2.1.3 Converter para octal: 1123₍₄₎, 151323₍₁₀₎, 153₍₈₎, 1010101111₍₂₎. Exerc´ıcio 2.1.4 Converter para a base 251 e 666 os seguintes n´umeros em decimal:

1383, 1498, 1500, 1580, 1640

(19)

2.1.1 Rela¸c˜ao entre bin´ario, octal e hexadecimal

Seja por exemplo, 101011110(2) um bin´ario que se pretende converter para octal. Como foi

visto, o inteiro que esse bin´ario representa ´e

1× 28+ 0× 27+ 1× 26+ 0× 25+ 1× 24+ 1× 23+ 1× 22+ 1× 2 + 0

ou seja 350. A representa¸c˜ao octal correspondente pode ser obtida agrupando os d´ıgitos bin´arios 3 a 3: uma vez que 8 = 23 _{e 8}2_{= 2}6_{, tem-se}

26(1_×22+ 0_×2+1×2)+23(0_×22+ 1_×2+1)+(1×22+ 1_{×2+0) = 8}2_{×5+8×3+6 = 536}₍₂₎ Em geral se ak. . . a5a4a3a2a1a0(2), sendo k≥ 0, representa o inteiro

ak2k+ . . . + a525+ a424+ a323+ a222+ a121+ a020

ent˜ao a representa¸c˜ao em octal do mesmo inteiro pode ser obtida da forma descrita: ak2k+ . . . + 23(a522+ a421+ a320) + (a222+ a121+ a020) =

ak2k+ . . . + 8(a522+ a421+ a320) + (a222+ a121+ a020)

Notar que na express˜ao resultante, qualquer potˆencia de 8 tem por coeficiente ai+222+ ai+12 + ai

para algum i, o qual é sempre não negativo e inferior a 8, podendo assim ser d´ıgito da representa¸cão octal. A cada d´ıgito octal correspondem 3 d´ıgitos em binário. Do mesmo modo, a cada d´ıgito hexadecimal correspondem 4 d´ıgitos em binário. Assim, para converter um binário a hexadecimal, agrupam-se os seus d´ıgitos em grupos de 4 (da direita para a esquerda) correspondendo a cada um desses grupos um d´ıgito hexadecimal. Por exemplo,

101011110(2) ⇒ 1 | 0101 | 1110 ⇒ 1 | 5 | E ⇒ 15E(h)

Para converter um bin´ario a octal procede-se de modo idˆentico mas formando grupos de 3. Por exemplo,

101011110₍₂₎ _{⇒ 101 | 011 | 110 ⇒ 5 | 3 | 6 ⇒ 536}_(o)

Inversamente, se se pretender converter de hexadecimal a bin´ario basta associar a cada um dos d´ıgitos hexadecimal o grupo de 4 d´ıgitos bin´arios correspondente. Por exemplo,

3AC3A_(h) _{⇒ 0011 | 1010 | 1100 | 0011 | 1010 ⇒}

11_{| 1010 | 1100 | 0011 | 1010 ⇒ 111010110000111010}₍₂₎

Notar a elimina¸cão dos zeros não significativos. O que se acaba de ilustrar é um caso particular da proposi¸cão seguinte.

(20)

Proposi¸cão 2 Se z é um inteiro positivo, a cada d´ıgito (com poss´ıvel excep¸cão do mais signi-ficativo) da representa¸cão de z na base bn_{corresponde um grupo de n d´ıgitos na representa¸c˜}_ao

de z na base b, qualquer que seja n inteiro positivo. Mais concretamente, se akak−1. . . atnatn−1. . . a2na2n−1. . . anan−1. . . a1a0

com k ≥ 0 é a representa¸cão na base b de um inteiro positivo z então, a representa¸cão do mesmo inteiro na base bn _é

wtwt−1. . . w1w0

sendo t + 1 o número de blocos de n d´ıgitos da representa¸cão de z na base b (podendo o último ser completado por zeros não significativos), e wi (i≤ t) o d´ıgito da base bn que representa o

inteiro a2in−1. . . ain+1ain(b) (representa¸c˜ao base b a menos de zeros n˜ao significativos).

Exemplo 6 Por exemplo, para converter 100313210₍₄₎ para a base 16, agrupam-se os d´ıgitos 2 a 2, da direita para a esquerda, pois 16 = 42_.

100313210₍₄₎ = 01_{| 00 | 31 | 32 | 10 = 10DE4}₍₁₆₎

Exerc´ıcio 2.1.6 Repita os exerc´ıcios 2.1.1 a 2.1.3.

Exerc´ıcio 2.1.7 Mostre a proposi¸c˜ao anterior. Comece por mostrar que wtwt−1. . . w1w0

conforme descrito pode ser representa¸cão base bnde z; use em seguida o facto da representa¸cão numa base ser única para concluir que wtwt−1. . . w1w0 é a representa¸cão de z. Mostre depois

que se wtwt−1. . . w1w0 representa z na base bn, a representa¸c˜ao de z na base b ´e

akak−1. . . atnatn−1. . . a2na2n−1. . . anan−1. . . a1a0

2.1.2 Adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao na base b

Recorde como se adicionam dois inteiros representados na base 10, calculando por exemplo 987654 + 73561. 987654 + 73561 . . .5 (vai 0) 987654 + 73561 . . .15 (vai 1) 987654 + 73561 . . .215 (vai 1) 987654 + 73561 . . .1215 (vai 1) 987654 + 73561 . . .61215 (vai 1) 987654 + 73561 . . .061215 (vai 1) 987654 + 73561 1061215

(21)

Algoritmo para Adi¸cão (base 10). Se x e y são inteiros positivos representados na base 10 por xkxk−1. . . x1x0 e ymym−1. . . y1y0 respectivamente então a representa¸cão na

base 10 de x + y, digamos spsp−1. . . s1s0, pode ser obtida da forma seguinte.

xkxk−1. . . x1x0

+ ymym−1ym−2. . . y1y0

. . . s0

Caso x0+ y0 < 10, toma-se s0= x0+ y0 e repete-se o processo para os d´ıgitos seguintes.

Sen˜ao, s0 ´e tal que x0+ y0 = 1s0, adicionando-se 1 a x1+ y1 repetindo-se o processo (global)

para os d´ıgitos seguintes. Quando k < m (respectivamente m < k) pode-se considerar xi= 0,

i _{≥ k (respectivamente y}i = 0, i ≥ m). Notar que p = max(k, m) ou p = max(k, m) + 1

sendo neste ´ultimo caso sp = 1.

Adi¸c˜ao (base 3). 2102₍₃₎+ 21₍₃₎ = (2_{× 3}3+ 1_{× 3}2+ 0_{× 3}1+ 2_{× 3}0) + (2_{× 3}1+ 1_{× 3}0) = 2_{× 3}3_{+ 1}_{× 3}2_{+ (0 + 2)}_{× 3}1_{+ (2 + 1)}_{× 3}0_{= 2}_{× 3}3_{+ 1}_{× 3}2_{+ (0 + 2)}_{× 3}1_{+ (1}_{× 3 + 0) × 3}0 ₌ 2× 33 _{+ 1}_{× 3}2 _{+ (0 + 2 + 1)}_{× 3}1 _{+ 0}_{× 3}0 _{= 2} _{× 3}3 _{+ (1 + 1)}_{× 3}2 _{+ 0}_{× 3}1 _{+ 0}_{× 3}0 ₌ 2_{× 3}3+ 2_{× 3}2+ 0_{× 3}1+ 0_{× 3}0. 2102₍₃₎ + 21(3) . . . 0₍₃₎ (vai 1) 2102₍₃₎ + 21(3) . . . 00₍₃₎ (vai 1) 2102₍₃₎ + 21(3) . . . 200₍₃₎ (vai 0) 2102₍₃₎ + 21(3) 2200₍₃₎

Exerc´ıcio 2.1.8 Justifique que se x e y são inteiros positivos representados na base b por xkxk−1. . . x1x0 e ymym−1. . . y1y0 respectivamente então spsp−1. . . s1s0, a representa¸cão na

base b de x + y, pode ser obtida por um processo an´alogo ao descrito acima, ou seja, seguindo o algoritmo habitual. Comece por notar que quando soma xi com yi o resultado ´e sempre

menor ou igual que 2b_{− 2, e portanto tanto x}i + yi como xi + yi + 1 se representa como

0si ou 1si (pelo que ou “vai 0” ou “vai 1”), qualquer que seja i. Depois, use a defini¸c˜ao de

representa¸c˜ao na base b, `a semelhan¸ca do que se fez acima para b = 3.

Os algoritmos usuais para adi¸cão e multiplica¸cão base 10 são válidos quando se usam representa¸cões em qualquer outra base b, embora sejam obviamente diferentes as tabuadas dessas opera¸cões se escrevermos os resultados na base b. O mesmo se pode dizer para a subtraçcão (quando o aditivo é maior do que subtractivo) e para a divisão inteira.

(22)

Tabuadas de adi¸cão e multiplica¸cão para binário:

+2 0 1 0 0 1 1 1 10 ×2 0 1 0 0 0 1 0 1

Tabuadas de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao para base 3:

+3 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 10 2 2 10 11 ×3 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 11

Tabuadas de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao para octal:

+8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 10 2 2 3 4 5 6 7 10 11 3 3 4 5 6 7 10 11 12 4 4 5 6 7 10 11 12 13 5 5 6 7 10 11 12 13 14 6 6 7 10 11 12 13 14 15 7 7 10 11 12 13 14 15 16 ×8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 10 12 14 16 3 0 3 6 11 14 17 22 25 4 0 4 10 14 20 24 30 34 5 0 5 12 17 . . . . 6 0 6 . . . . 7 0 7 . . . 61

Exerc´ıcio 2.1.9 Complete a tabuada de multiplica¸c˜ao base 8 e determine as tabelas para a base hexadecimal.

Assim, por exemplo, 1021(3) × 211(3) = 1000201(3), ou seja, 34(10) × 22(10) = 748(10),

porque: 1 0 2 1(3) × 2 1 1₍₃₎ 1 0 2 1 1 0 2 1 + 2 1 1 2 1 0 0 0 2 0 1₍₃₎ 3 4(10) × 2 2(10) 6 8 + 6 8 7 4 8(10) `

A esquerda, todos os valores intermédios estão representados na base 3 e à direita na base 10 (visando recordar o algoritmo da multiplica¸cão e estabelecer a compara¸cão).

(23)

Exerc´ıcio 2.1.10 Calcule:

(i) 1110010₍₂₎ + 111001111₍₂₎ em bin´ario. (ii) 1F 5_(h)+ 111001111₍₂₎ em hexadecimal. (iii) 1330₍₄₎+ 123₍₄₎ em octal.

(iv) 1F 5_(h)+ ABCD_(h)+ 1F B_(h) em hexadecimal. (v) ABCD(h)− 1F B(h) em hexadecimal.

(vi) 73542(o)× 27(10) em octal.

(vii) 73542_(o)/27₍₁₀₎ em octal. (viii) 111000010₍₂₎/111₍₂₎ em bin´ario.

2.1.3 Representa¸cão de números com um número fixo de d´ıgitos

Num computador cada inteiro é representado por um número fixo de bits. Em 8 bits, 13 seria representado por 00001101. Isto é, introduzem-se 0’s à esquerda sempre que o número de bits da representa¸cão do inteiro seja menor que o número de bits que se fixou.

Se n representar o número de bits que se fixou para a representa¸cão, os bits são numerados da esquerda para a direita por bitn−1, bitn−2, . . . , bit1 e bit0. O bitn−1 diz-se o bit mais

significativo e bit0 ´e o menos significativo.

Quando se fixa o número de bits da representa¸cão, limita-se também os valores que podem ser representados. Se, por exemplo, o número de bits for 8 então o maior inteiro positivo que se pode representar é:

1 1 1 1 1 1 1 1

bit7 bit6 bit5 bit4 bit3 bit2 bit1 bit0

cujo valor ´e

27× 1 + 26× 1 + 25× 1 + 24× 1 + 23× 1 + 22× 1 + 21× 1 + 20× 1 = 255 = 28− 1 Em geral, com n bits podemos representar n´umeros inteiros positivos de 0 a 2n− 1.

Proposi¸c˜ao 3 O maior inteiro positivo que se consegue representar na base b com n d´ıgitos ´e bn_{− 1.}

(24)

Prova: Suponhamos que A ´e representado com n d´ıgitos na base b por an−1an−2. . . a1a0

com ai ∈ {0, . . . , b − 1}. Ent˜ao, A = an−1bn−1+ an−2bn−2. . . a1b1+ a0b0= n−1 X i=0 aibi Ora, n−1 X i=0 aibi ≤ n−1 X i=0 (b_{− 1)b}i = (b_{− 1)} n−1 X i=0 bi = (b_{− 1)}b 0_{− b × b}n−1

1_{− b} (soma de termos de progressão geométrica) = (b_{− 1)}1− b n 1_{− b} = bn− 1 u t Observa¸cão: Pn−1_i=0 ui é uma nota¸cão abreviada para u0+ u1+· · · + un−1, podendo-se ler

“somat´orio para i desde 0 at´e n_{− 1 de u}i”.

Exerc´ıcio 2.1.11 Qual é o número m´ınimo de bits necessário para representar 1125? Qual o valor máximo que pode ser representado com esse número de bits?

Normalmente o número de bits usados são 8, 16, 32 ou 64. Com 8 bits podemos representar inteiros entre 0 e 255, com 16 bits entre 0 e 65535, com 32 bits entre 0 a 4294967295, etc. 2.1.4 Representa¸cão de números negativos

Para representar números inteiros positivos e negativos numa base b e com um número fixo de d´ıgitos é necessário codificar o sinal e encontrar um processo eficiente de determinar se um número é positivo ou negativo. Normalmente é reservado um d´ıgito para indicar o sinal. Por exemplo, em n d´ıgitos, sendo A = an−1an−2. . . a1a0(b), se an−1 = 0 então A é positivo,

se an−1 = b− 1 o n´umero ´e negativo.

Vamos considerar três formas introduzidas para representar números inteiros positivos e negativos e que obedecem à condi¸cão de sinal apresentada. Vamos supor que a base é 2 e que o número de d´ıgitos é n, embora os resultados possam ser generalizados para qualquer base b.

(25)

Representa¸cão com bit de sinal. Reserva-se o bit mais à esquerda para o sinal e os restantes para o módulo do número.

n bits

z }| {

n−1 n−2 . . . 0

sinal m´odulo

O bit de sinal é 0 para os positivos e é 1 para os negativos. Assim, um número positivo é da forma A = 0an−2. . . a1a0 e um negativo é da forma A = 1an−2. . . a1a0. Com n bits

podemos representar n´umeros positivos de 0 a 2n−1_{− 1 e negativos −(2}n−1_{− 1) a 0.}

As representa¸cões de dois números com o mesmo módulo diferem apenas no bit de sinal. Se n = 3 temos o quadro seguinte:

Valor 0 1 2 3 _{−0 −1 −2 −3}

Representa¸cão com bit de sinal 000 001 010 011 100 101 110 111 Podemos observar que zero tem duas representa¸cões: +0 e_{−0. Para efectuar adi¸cões} de números com sinais diferentes é necessário primeiro determinar qual é o maior e qual o sinal do resultado. O mesmo problema surge para a subtraçcão, a qual pode ser tratada como a adi¸cão associando o sinal negativo ao subtraendo, x_{− y = x + (−y).}

Representa¸cão em Complemento para 1. A utiliza¸cão desta representa¸cão para inteiros apresenta o mesmo problema da anterior, isto é, zero terá duas representa¸cões +0 e_{−0. Para} uma representa¸cão em n bits, chama-se complemento para 1 de A ao valor (2n_{− 1) − A.}

O bit mais signficativo dá indica¸cão sobre o sinal do número (se for 1, o número é negativo). O número negativo −x será representado por (2n_{− 1) − x. Por exemplo, para n = 3, temos}

o quadro seguinte:

Valor +0 +1 +2 +3 −3 −2 −1 −0

Complemento para 1 000 001 010 011 100 101 110 111

Estas representa¸cões podem ser obtidas por troca de 1’s por 0’s e 0’s por 1’s na repre-senta¸cão de x em n bits, o que resulta de 2n− 1 ser representado por n 1’s. Por exemplo, -14 é representado em complemento para 1 em 8 bits por:

1 1 1 1 1 1 1 1 − 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1

(26)

Representa¸cão em Complemento para 2. Neste caso, zero terá uma só representa¸cão: Exactamente metade dos números representados são não negativos e a outra metade números negativos.

De 0 a 2n−1_{−1 encontram-se os números não negativos e de 2}n−1_{a 2}n_{−1 números}

negativos.

Para os positivos a representa¸cão coincide com a representa¸cão anterior. Os números nega-tivos são complementos para a base. Por defini¸cão, o complemento para 2 de A numa representa¸cão de n bits é o inteiro 2n_{− A.}

Exemplo 7 Para n = 3 então -1 é representado por 111 pois 23 − 1 = 7. Se n = 8, o inteiro -1 é representado por 11111111 em complemento para 2. Nnuma representa¸cão em 8 bits usando complemento para 2 o inteiro _{−3 é o binário correspondente a 2}8 _{− 3, ou seja}

253 = 11111101.

Em resumo, temos o quadro seguinte para n = 3:

Valor 0 +1 +2 +3 _{−4 −3 −2 −1}

Complemento para 2 000 001 010 011 100 101 110 111

Usando a defini¸c˜ao de complemento para 2, pode-se concluir que 2n−1 _representa ₋₂n−1

pois 2n_{− 2}n−1 _{= 2}n−1_{. Por outro lado, 2}n_{− 1 representa −1.}

Proposi¸cão 4 No sistema de representa¸cão com n bits e complemento para 2 os valores poss´ıveis dos inteiros representáveis variam de ₋₂n−1 _{a 2}n−1_{− 1. De 0 a 2}n−1 _{− 1 tem-se}

números não negativos e de 2n−1 a 2n_{− 1 números negativos.}

Para além de só haver um zero, neste caso todos os negativos têm 1 como bit mais significativo, o qual funciona assim como bit de sinal. As adi¸cões podem ser efectuadas sem analisar o sinal dos operandos e nas subtraçcões basta calcular o complemento para 2 do subtraendo e adicionar o valor resultante ao subtractivo, como se verá adiante.

Para determinar representa¸cão em complemento para 2 dum número é útil observar a sua rela¸cão com a representa¸cão em complemento para 1.

Como 2n_{− A = (2}n_{− 1 − A) + 1 e 2}n_{− 1 − A ´e a representa¸c˜ao em complemento para 1,}

podemos obter a representa¸c˜ao em complemento para 2 complementando todos os d´ıgitos de A (isto ´e trocando os uns com os zeros e os zeros com os uns) e adicionando depois uma unidade.

(27)

2.2. ADIÇ ÃO E SUBTRACÇ ÃO EM N BITS 19

Exemplo 8 Para determinar a representa¸cão de -17 em complemento para 2 em 8 bits, toma-se 00010001, troca-se 0’s por 1’s, obtendo 11101110, e soma-se 1, resultando 11101111. Inversamente, se se pretender determinar o valor (em decimal) do inteiro que é dado em complemento para 2 por A = an−1an−2. . . a1a0, basta considerar que a parcela an−12n−1 é

negativa. Por exemplo,

110₍₂₎ = 1_{× (−2}2) + 1_{× 2}1+ 0_{× 2}0 =_{−4 + 2 + 0 = −2}₍₁₀₎

Exerc´ıcio 2.1.12 Represente em complemento para 2 e com 8 bits os n´umeros inteiros se-guintes:

(i) 25, -25, 41, 56, 19, -31, -87;

(ii) a soma dos anteriores e verifique se o resultado de somar as representa¸cões está correcto. Exerc´ıcio 2.1.13 Suponha que a representa¸cão em complemento para dois com 4 d´ıgitos de um inteiro é 1101. Como é a representa¸cão com:

(i) 6 d´ıgitos (ii) 8 d´ıgitos

(iii) n d´ıgitos, com n≥ 4.

Exerc´ıcio 2.1.14 Suponha agora que, em 4 d´ıgitos, a representa¸cão em complemento para dois é 0101. Como responderia às al´ıneas anteriores? Em geral, dado um inteiro x represen-tado em n d´ıgitos como procederia para obter a sua representa¸cão com mais d´ıgitos?

2.2 Adi¸

c˜

ao e Subtrac¸

c˜

ao em n Bits

2.2.1 Adi¸cão e subtraçcão binária de inteiros não negativos

• Adi¸cão: Segue o algoritmo habitual de adi¸cão binária; se se tiver uma representa¸cão de m bits e a soma for superior a 2m_{− 1 (o maior inteiro positivo com m bits) diz-se que}

há transporte (carry); Por exemplo: a soma em 8-bits dos inteiros positivos 10010000 e 11111101 é 10001101, o que está errado (tem transporte 1).

• Subtraçcão: Segue algoritmo habitual de subtraçcão binária; se o valor da diferen¸ca for inferior a zero, diz-se que há transporte (borrow); Por exemplo: a diferen¸ca em 8-bits 10010000− 11111101 = 10010011 o que está errado (tem transporte 1).

(28)

2.2. ADIÇ ÃO E SUBTRACÇ ÃO EM N BITS 20

2.2.2 Adi¸c˜ao de inteiros em complemento para 2

Se os inteiros são não negativos, a soma é calculada pelo algoritmo habitual. Se a repre-senta¸cão tiver m bits e a soma for superior a 2m−1_{− 1 (o maior inteiro positivo com m bits} num sistema de complemento para 2) diz-se que há overflow, sendo indica¸cão de que o valor obtido está errado.

Por exemplo: a soma em 8-bits e complemento para 2 de 01111111 com 00000001 é 10000000 ou seja, a soma de +127 com +1 é−128(!). Neste caso, há overflow.

Se os inteiros são ambos negativos (em complemento para 2) a soma é calculada pelo algoritmo habitual ”desprezando-se”o transporte. Se se usa uma representa¸cão em m bits, o ”desprezar”o transporte corresponde a subtrair ao resultado obtido 2m. Basta notar que quando se efectua (_{−x) + (−y) se pretende obter o complemento para 2 de x + y, isto é} 2m_{− (x + y). A rela¸cão desse número com os complementos para 2 de x e y é 2}m_{− (x + y) =}

(2m_{− x) + (2}m_{− y) − 2}m_{. Ou seja, para obter a representa¸c˜ao em complemento para 2 de}

(_{−x) + (−y) adicionam-se as representa¸c˜oes de (−x) e (−y) e subtrai-se 2}m_.

Se a representa¸c˜ao tiver m bits e a soma for inferior a −2m−1 _{(o menor inteiro negativo}

com m bits num sistema de complemento para 2) diz-se que há underflow, sendo indica¸cão de que o valor obtido está errado.

Por exemplo: a soma em 8-bits e complemento para 2 de 10000000 com 11111111 seria 01111111 ou seja,_{−128 + (−1) = +127 (!). Neste caso, h´a underflow.}

Analogamente, a soma dum inteiro positivo com um inteiro negativo é o binário correspon-dente à adi¸cão das representa¸cões dos operandos, ”desprezando-se”o transporte se o houver. Não haverá overflow nem underflow.

2.2.3 Subtrac¸c˜ao de inteiros em complemento para 2

A subtraçcão binária de inteiros representados em complemento para 2 pode-se reduzir à adi¸cão de inteiros. Exemplos (-x)-(-y) = (-x)+y 10010000-11111101=10010000+00000011=10010011 (-x)-y=(-x)+(-y) 10010000-00000011=10010000+11111101=10001101 y-(-x)=y+x 00000011-10010000=00000011+ 01110000=01110011 y-x=y+(-x) 00000011-00010000=00000011+11110000=11110011

Exerc´ıcio 2.2.1 Quais das seguintes somas estão correctas (se truncadas a 8 bits) caso as representa¸cões indicadas sejam representa¸cões em complemento para 2 e caso sejam repre-senta¸cões só para inteiros não negativos?

(29)

2.3. REPRESENTAÇ ÃO EM VÍRGULA FIXA 21

negativos negativo e positivo positivos

10010000 + 11111101 1 10001101 00010000 + 11111111 1 00001111 00010000 + 00111101 0 01001101 positivos negativos 01111010 + 01110001 0 11101011 < 0 10000110 + 10001111 1 00010101 > 0 overflow underflow

2.3 Representa¸

c˜

ao em V´ırgula Fixa

A representa¸cão posicional de inteiros pode ser generalizada para representar números racio-nais considerando-se potências negativas da base. Por exemplo, na base 10:

344.45 = 3× 102+ 4× 101+ 4× 100+ 4× 10−1+ 5× 10−2 Podemos ainda escrever:

344.45 = 34445.× 10−2 = (3× 104+ 4× 103+ 4× 102+ 4× 101+ 5× 100)× 10−2 Se se fixar a posi¸cão da v´ırgula (neste caso o factor é 10−2), o número pode ser tratado como um inteiro. Assim as opera¸cões com números racionais podem ser feitas internamente como opera¸cões com inteiros, desde que os factores de ajuste sejam guardados para que o resultado final seja correctamente calculado.

Note-se em particular que as representa¸cões de inteiros em computadores estudadas anteri-ormente são representa¸cões em v´ırgula fixa, com a v´ırgula à direita do bit menos significativo. No caso geral, os ajustes da posi¸cão da v´ırgula e o seu armazenamento ficarão a cargo do programador.

Contudo, actualmente, a representa¸cão em computadores dos números racionais é feita, geralmente, em v´ırgula flutuante.

2.4 Representa¸

c˜

ao em V´ırgula Flutuante

A representa¸cão dum número racional em v´ırgula flutuante, contrariamente à representa¸cão em v´ırgula fixa, é feita através de um par de inteiros que representam respectivamente a mantissa m e o expoente e de forma que para uma determinada base b, o seu valor é:

(30)

2.4. REPRESENTAÇ ÃO EM VÍRGULA FLUTUANTE 22

F = m_{× b}e Por exemplo, 673_{× 10}14_.

A designa¸cão v´ırgula flutuante resulta do facto de que a posi¸cão da v´ırgula depender do expoente e portanto não ser fixada previamente.

A nota¸cão mais usada para v´ırgula flutuante é a do IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers). A base é a binária. Em precisão simples cada número é representado com 32 bits:

S E (8 bits) M (23 bits)

O sinal da mantissa é representado pelo bit S, que por questões de eficiência é separado da representa¸cão do módulo da mantissa o qual é constitu´ıdo pelos 23 bits mais à direita. O valor do módulo da mantissa é normalmente dado por 1.M₍₂₎, isto é, 1 mais o valor de M considerado como número racional binário, com a v´ırgula à esquerda do bit mais significativo. Os oito bits restantes são interpretados como um inteiro positivo E e representam o expoente cujo valor é E_{− 127. O valor representado é}

F = (₋₁₎S(2E−127)(1.M )₍₂₎ excepto se E for 0000000 ent˜ao F = (−1)S₍₂−127_)(.M

(2)) e se M também é zero então F = 0.

A sequência 1 10000111 10100000000000000000000 representaria um número negativo, dado que S = 1. Como 10000111₍₂₎ = 135₍₁₀₎, o expoente é 135_{− 127 = 8; e o módulo da} mantissa é

1 + 0.101₍₂₎ = 1 + 1_{× 2}−1+ 1_{× 2}−3 = 1 + (5/8) = 1 + 0.625 = 1.625 O valor representado ´e₋₂8_{× 1.625 = −416.}

Existem outras representa¸cões em v´ırgula flutuante IEEE, como a precisão dupla em que são usados 64 bits e a quádrupla em que são usados 128 bits.

Exerc´ıcio 2.4.1 Determine qual o maior número que é representável em precisão simples, segunda a norma do IEEE.

Exerc´ıcio 2.4.2 Indique o valor das seguintes representa¸c˜oes em precis˜ao simples segunda a norma do IEEE:

(i) 0 01110101 01010100000000000000000000 (ii) 1 00101010 11100000000000000000000000

Exerc´ıcio 2.4.3 Exprima o mais exactamente poss´ıvel os seguintes n´umeros em precis˜ao simples IEEE: 2.5, .0005, 2−40 e 256

(31)

Cap´ıtulo 3

Algumas No¸

c˜

oes de Divisibilidade

Por defini¸cão, um inteiro a é divis´ıvel por um inteiro b se e só se a = bq para algum inteiro q. Nesse caso, escreve-se b _{| a, lendo-se b divide a. Também se diz que b é divisor de a e} que a é múltiplo de b. O inteiro q é o quociente da divisão inteira de a por b. Atendendo à defini¸cão de divisor, se a = bq então tanto b como q são divisores de a. Por exemplo, os divisores positivos de 30 são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30, encontrando-se emparelhados.

1 2 3 10 15 30 5 6

Na procura de divisores de a, para a positivo, não é necessário ultrapassar √a, pois qualquer divisor que seja superior a √a terá que emparelhar com algum divisor que é inferior a √a.

3.1 Bases de Numera¸

c˜

ao e Crit´

erios de Divisibilidade

´

E conhecido que, um inteiro positivo representado na base 10 é divis´ıvel por 100 se e só se a sua representa¸cão terminar por 00 (pois os restos da divisão por 10 e 102 _{são 0). ´}_{E divis´ıvel}

por 1000 sse tal representa¸cão terminar em 000. De modo análogo se pode concluir que um inteiro (positivo) representado na base 2 é divis´ıvel por 4 (isto é, por 22_{) se a sua representa¸cão}

em binário terminar por 00 e é divis´ıvel por 8 (isto é, por 23) sse terminar em 000.

Proposi¸c˜ao 5 Um inteiro (positivo) x representado numa certa base b ´e divis´ıvel por bk_,

(32)

3.1. BASES DE NUMERAÇ ÃO E CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 24

Ideia da prova: Para que x seja divis´ıvel por bk então terá que ser divis´ıvel também por b1, b2, . . . , bk−1, o que quer dizer que se efectuar k divisões sucessivas por b terá k restos 0. Ou seja, x = b(x/b) + 0. Depois, k > 1, também (x/b) = b((x/b)/b) + 0, . . . _u_t Analisando a defini¸cão de representa¸cão base 10, podemos justificar o seguinte critério de divisibilidade por 9.

Proposi¸cão 6 Um inteiro é divis´ıvel por 9 sse a soma dos d´ıgitos da sua representa¸cão na base 10 for divis´ıvel por 9.

Prova: Seja x um inteiro (positivo) qualquer e suponhamos que a sua representa¸c˜ao base 10 ´e anan−1. . . a1a0. Isto quer dizer que,

x = an× 10n+ an−1× 10n−1+· · · + a1× 10 + a0

Como

10 = 9 + 1 um m´ultiplo de 9 mais uma unidade

.. .

10n₌ _{99 . . . 9}

| {z }

9 repetido n vezes

+1 um m´ultiplo de 9 mais uma unidade

ent˜ao x = ( ˙9 + 1)_{× a}n+ ( ˙9 + 1)× an−1+· · · + (˙9 + 1) × a1+ a0, ou seja

x = ˙9 + (an+ an−1+· · · + a1+ a0)

em que ˙9 é abreviatura de “um múltiplo de 9” (nesta igualdade, cada ocorrência de ˙9 designa um múltiplo diferente). Na “simplifica¸cão” da igualdade, usámos também o facto da soma de múltiplos de 9 ser um múltiplo de 9 e do produto dum número qualquer por um múltiplo de 9 ser um múltiplo de 9. Observando que x = ˙9 + (an+ an−1+· · · + a1+ a0), concluimos

que x é múltiplo de ˙9 se e só se an+ an−1+· · · + a1+ a0 for múltiplo de ˙9. ut

O exerc´ıcio seguinte pode ser resolvido por aplica¸c˜ao dum racioc´ınio an´alogo, agora obser-vando que 10 = ˙11_{−1, 100 = ˙}11+1, 1000 = ˙11_{−1, 1000 = 1000×10 = ( ˙}11_{−1)( ˙}11_{−1) = ˙}11+1, 10000 = ( ˙11 + 1)_{× 10 = ˙}11_{− 1, . . .}

Exerc´ıcio 3.1.1 Mostre que um inteiro é divis´ıvel por 11 sse a soma dos d´ıgitos de ordem par da sua representa¸cão na base 10 for igual à soma dos d´ıgitos de ordem ´ımpar.

(33)

3.2. NOÇ ÃO DE DIVISOR E DE M ÚLTIPLO 25

Exerc´ıcio 3.1.2 Mostre que um inteiro

(i) ´e divis´ıvel por 5 sse a sua representa¸c˜ao decimal terminar em 0 ou 5;

(ii) é divis´ıvel por 3 sse a soma dos d´ıgitos da sua representa¸cão decimal for divis´ıvel por 3. (iii) é divis´ıvel por 2 sse o d´ıgito menos significativo da sua representa¸cão decimal for par.

3.2 No¸

c˜

ao de Divisor e de M´

ultiplo

O conjunto1 dos divisores dum inteiro a ´e constitu´ıdo por todos os inteiros positivos tais que se b_{| a e os seus sim´etricos.}

{divisores de a} = {b : b ∈ Z e b divide a}

Frequentemente, o termo divisor ´e usado para referir divisor positivo.

O conjunto dos m´ultiplos de b ´e constitu´ıdo pelos inteiros da forma bz para z inteiro, ou seja

{m´ultiplos de b} = {bz : z ∈ Z}.

Para mostrar formalmente o resultado seguinte basta usar a defini¸cão de múltiplo e de divisor que acabámos de apresentar. Este resultado foi utilizado na seçcão anterior, devendo ser bem conhecido.

Proposi¸cão 7 A soma, a diferen¸ca e o produto de dois múltiplos de b é um múltiplo de b. O produto dum múltiplo de b por qualquer inteiro é um múltiplo de b.

Prova: Sejam m1 e m2 m´ultiplos de b. Ent˜ao existem inteiros z1 e z2 tais que m1= bz1

e m2 = bz2. Logo, m1+ m2 = bz1+ bz2 = b(z1+ z2) e como a soma de inteiros ´e um inteiro,

conclui-se que z1+z2 ∈ Z, pelo que m1+m2´e da forma bz, para algum z∈ Z (concretamente,

para z = z1+ z2). Portanto, a soma de múltiplos de b é múltiplo de b.

Para mostrar que a diferen¸ca de dois múltiplos de b (isto é, m1− m2) é múltiplo de b

procede-se analogamente.

Para mostrar que m1m2 é múltiplo de b, isto é, que o produto de dois múltiplos de b é

m´ultiplo de b, observe-se que m1m2= (bz1)(bz2) = b(bz1z2) e como bz1z2∈ Z, conclui-se que

m1m2 é produto de b por um inteiro, ou seja, é múltiplo de b.

Do mesmo modo, para concluir que o produto dum m´ultiplo de b (por exemplo, m1) por

um qualquer inteiro x ´e m´ultiplo de b, basta notar que m1x = (bz1)x = b(z1x) e z1x∈ Z. ut

1_´

E usual representar “o conjunto dos x’s tais que x satisfaz condi¸cão. . . ” por {x | x satisfaz condi¸cão . . . }. Neste cap´ıtulo, usaremos a nota¸cão alternativa {x : x satisfaz condi¸cão . . . }, para evitar usar | com duplo significado, reservando | para “divide”.

(34)

3.3. FACTORIZAC¸ ˜AO EM PRIMOS 26

Exerc´ıcio 3.2.1 Mostrar que quaisquer que sejam x, y e z inteiros, se x dividir y e dividir y + z ent˜ao tamb´em divide z.

3.3 Factoriza¸

c˜

ao em Primos

Um número p é primo se e só se tem exactamente quatro divisores (inteiros), nomeadamente, p,_{−p, 1 e −1. Assim, um número é primo se e só se tem exactamente dois divisores positivos.} Proposi¸cão 8 Qualquer inteiro maior do que 1 é ou primo ou produto de primos.

Prova: Pela defini¸c˜ao de primo, tem-se 2 ´e primo.

Seja x_{∈ N tal que x > 2. Suponhamos que já mostrámos que todo y ∈ N tal que 2 ≤ y < x} é ou primo ou produto de primos. Vamos mostrar que então também podemos concluir que x é primo ou produto de primos. De facto, se x não for primo, existem x1, x2 ∈ N \ {0, 1}

tais que x = x1x2. Como 2≤ x1< x e 2≤ x2 < x, sabemos j´a que x1 ´e primo ou produto de

primos e x2 ´e primo ou produto de primos.

Analisando os quatro casos (a) x1 e x2 primos, (b) x1 e x2 produtos de primos, (c) x1

primo e x2 produto de primos, e (d) x1 produto de primos e x2 primo, concluimos que se

x = x1x2 então x pode escrever-se como produto de primos. Logo, se x não é primo então x

´e um produto de primos, ou seja, x ´e primo ou produto de primos. _u_t

A técnica utilizada na prova anterior designa-se por indu¸cão matemática. Como hipótese de indu¸cão supusemos que já se tinha mostrado que todo y_{∈ N tal que 2 ≤ y < x ou} é primo ou é produto de primos. Como x está fixo (e é finito), essa prova pode ser realmente reconstru´ıda. Por exemplo, se x fosse 24, estariamos a assumir que já tinhamos verificado que 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23 são primos e que 4 = 2× 2, 6 = 2 × 3, 8 = 2 × 2 × 2, 9 = 3 × 3, 10 = 2_{× 5, 12 = 2 × 2 × 3, 14 = 2 × 7, 15 = 3 × 5, 16 = 2 × 2 × 2 × 2, 18 = 2 × 3 × 3,} 20 = 2_{× 2 × 5, 21 = 3 × 7 e 22 = 2 × 11. Como 24 não é primo porque, por exemplo,} 24 = 4× 6, então podemos concluir que é produto de primos, por substitui¸cão de 4 e 6 (que correspondem a x1 e x2) pelas suas factoriza¸cões em primos: 24 = (2× 2) × (2 × 3).

Usualmente, escreve-se 24 = 23 _{× 3, sendo esta a factoriza¸c˜ao de 24 primos. Em geral,}

para qualquer número natural n não inferior a 2, existem primos p1, . . . pk únicos e tal que n

se pode factorizar de forma ´unica como pα1

1 × · · · × p αk

k sendo αi6= 0 e pi< pj se i < j, para

(35)

3.3. FACTORIZAC¸ ˜AO EM PRIMOS 27

Corolário 8.1 Seja x um inteiro tal que x ≥ 2 e x não é primo. A factoriza¸cão de x em primos é única, a menos de reordena¸cão dos factores.

Ideia da prova: Análoga à anterior, supondo como hipótese já se provou que todo y_{∈ N tal que 2 ≤ y < x ou é primo ou se escreve de forma única como produto de primos (a}

menos de reordena¸c˜ao de factores). _u_t

Corolário 8.2 Qualquer inteiro maior do que 1 que não é primo é divis´ıvel por algum primo. Prova: Seja x um inteiro qualquer maior do que 1. Se x não é primo então x é produto

de primos. Consequentemente, algum primo ´e seu divisor. _u_t

Proposi¸cão 9 O conjunto dos inteiros não negativos que são primos é infinito.

Prova: Suponhamos que s´o existiam n primos, sendo n um certo inteiro fixo. Ou seja, suponhamos que o conjunto dos primos era finito e que tinha exactamente n elementos, os quais vamos denotar por p1, p2, . . . , pn. Ent˜ao, o inteiro positivo

1 +

n

Y

i=1

pi

não seria primo, já que é maior do que qualquer um dos primos p1, p2, . . . , pn.

Mas se 1 + p1p2. . . pn não é primo, então algum dos primos o divide (ou seja, é múltiplo

de algum dos primos). Suponhamos que pk divide 1 + p1p2· · · pn, sendo k um inteiro fixo,

1≤ k ≤ n. Como pk divideQn_i=1piisto ´e, pkdivide o produto 1+p1p2· · · pn, pode-se concluir

que se pk dividir 1 + p1p2· · · pn ent˜ao pk divide 1. Mas nenhum primo divide 1. O absurdo

resultou de se ter suposto que o conjunto dos primos era finito. Logo, o conjunto dos primos

´e infinito. _u_t

3.3.1 Determina¸c˜ao de primos: crivo de Erast´otenes

Descreve-se a seguir um algoritmo para determina¸cão de todos os primos não superiores a um número n dado. Tal algoritmo é conhecido como método do crivo. Parte-se duma tabela contendo todos os números não superiores n. O algoritmo resume-se a seleccionar o menor inteiro na tabela (ainda não seleccionado) e apagar todos os seus múltiplos até todos os valores estarem ou seleccionados ou apagados.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

(36)

3.4. M ´AXIMO DIVISOR COMUM 28 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

O processo continua . . . Os valores que ficarem na tabela s˜ao os primos, neste caso, n˜ao superiores a 50 (o valor de n neste exemplo).

3.3.2 Cálculo de divisores por análise da factoriza¸cão em primos

A partir da factoriza¸cão dum número em primos é poss´ıvel determinar todos os seus divisores. Por exemplo, os divisores de 30, que é dado por

30 = 21× 31× 51 s˜ao: 20× 30_{× 5}0 _{= 1} ₂1_{× 3}0_{× 5}0 _{= 2} ₂0_{× 3}1_{× 5}0 _{= 3} 20_{× 3}0_{× 5}1 = 5 21_{× 3}1_{× 5}0 = 6 21_{× 3}0_{× 5}1 = 10 20_{× 3}1_{× 5}1 _{= 15} ₂1_{× 3}1_{× 5}1 _{= 30} Em geral, se pα1 1 · · · p αk

k for a decomposi¸c˜ao de x em primos ent˜ao o conjunto dos divisores

positivos de x ´e

{pβ1

1 · · · p βk

k : 0≤ βi ≤ αi para i = 1, . . . , k}

concluindo-se que o n´umero de divisores de pα1

1 · · · p αk

k ´e

Qk

i=1(αi+ 1).

3.4 M´

aximo Divisor Comum

Sabemos que 1 é divisor de qualquer inteiro e que o maior divisor de qualquer inteiro positivo x é o próprio x. Dados inteiros positivos a e b, podemos falar do seu máximo divisor comum, o qual representamos por mdc(a, b). O máximo divisor comum é o maior dos divisores comuns:

(37)

3.4. M ´AXIMO DIVISOR COMUM 29

d ´e mdc(a, b) sse d| a, d | b e d0_{| d qualquer que seja d}0 _{tal que d}0_{| a e d}0_{| b. Por defini¸c˜ao de}

mdc(a, b), cada divisor comum de a e b ´e divisor de mdc(a, b).

Por exemplo, por an´alise da decomposi¸c˜ao de 30 e 500 em primos, 30 = 2 _{× 3 × 5 e} 500 = 22× 53_{, podemos concluir que mdc(30, 500) = 10.}

Dois inteiros a e b chamam-se primos entre si se e só se mdc(a, b) = 1. Proposi¸cão 10 Os inteiros a/mdc(a, b) e b/mdc(a, b) são primos entre si.

Prova: Queremos mostrar que mdc(_mdc(a,b)a ,_mdc(a,b)b ) = 1. Para isso vamos provar que se mdc( a

mdc(a,b), b

mdc(a,b)) = d ent˜ao mdc(a, b)d tamb´em divide a e b. Podemos depois concluir

que necessariamente d = 1 pois se d fosse maior do que 1 então mdc(a, b)d > mdc(a, b), mdc(a, b)d seria um divisor comum a a e b, maior do que o máximo divisor comum, o que, por defini¸cão de mdc(a, b) é imposs´ıvel. Para completar os detalhes da prova, resta mostrar que mdc(a, b)d é divisor de a e de b se d_|_mdc(a,b)a e d_| _mdc(a,b)b . De facto, basta notar que:

a = mdc(a, b) a mdc(a, b) = mdc(a, b)d a mdc(a, b)d e b = mdc(a, b) b mdc(a, b) = mdc(a, b)d b mdc(a, b)d. u t Tem-se mdc(320_×57_×1127_×312_{, 2}4_×36_×525_{) = 3}6_×57_{, porque o m´aximo divisor comum}

´e dado por

2min(0,4)_{× 3}min(20,6)_{× 5}min(7,25)_{× 11}min(27,0)_{× 31}min(2,0)

ou seja, por 203657110310. Este método pode ser sempre aplicado se forem conhecidas as factoriza¸cões dos números a e b. Quando não se conhecem, o algoritmo de Euclides permite calcular mdc(a, b) eficientemente.

3.4.1 C´alculo do m´aximo divisor comum pelo algoritmo de Euclides

A correçcão do algoritmo de Euclides para cálculo do mdc(a, b) decorre do seguinte resultado. Lema 1 Sejam a e b inteiros positivos tais que a < b e seja r o resto da divisão de a por b. Então, mdc(a, b) = mdc(b, r).

Prova: Represente-se por d o máximo divisor comum de a e b. Por defini¸cão de divisão inteira, r é o resto da divisão de a por b sse 0 _{≤ r < b e a = bq + r para algum q ∈ Z. Por} outro lado, por defini¸cão de máximo divisor comum, d_{|a e d|b. Portanto, d|(a − bq). Ou seja,}

(38)

3.4. M ´AXIMO DIVISOR COMUM 30

d|r. Logo, d ´e um divisor comum de b e r. Seja d0 _{um outro divisor comum de b e de r.}

Resta-nos mostrar que d0 _{ter´a que dividir d para poder concluir que d ´e mdc(b, r). Para isso,}

basta notar que se d0_{|b e d}0_{|r ent˜ao d}0_{|(bq + r) e portanto d}0_{|a. Logo, d}0 _{´e um divisor comum}

a a e b, e portanto d0|mdc(a, b), isto ´e, d0_|d. _u_t

Algoritmo de Euclides para determina¸c˜ao de mdc(a, b). Sendo a e b inteiros positivos, podemos definir mdc(a, b) recursivamente por

mdc(a, 0) = a se a > 0

mdc(a, b) = mdc(b, a%b) se a > b > 0 mdc(a, b) = mdc(b, a) se a < b em que a%b denota o resto da divis˜ao de a por b.

Por exemplo, mdc(30, 500) = mdc(500, 30) = mdc(30, 500%30) = mdc(30, 20) = mdc(20, 10) = mdc(10, 0) = 10. 500 30 20 16 30 20 10 1 20 10 0 2

Observe-se que mdc(500, 30) = 17_{× 30 − 1 × 500 j´a que}

10 = 30_{− 1 × 20 = 30 − (500 − 16 × 30) = 17 × 30 − 1 × 500}

ou seja, mdc(500, 30) pode-se escrever na forma 500x + 30y para x, y∈ Z apropriados.

Lema 2 Quaisquer que sejam a, b∈ Z+_{, existem inteiros x e y tais que ax + by = mdc(a, b),}

ou seja, mdc(a, b) ´e combina¸c˜ao linear inteira de a e b.

Para escrever mdc(100, 17) (isto ´e, 1) como combina¸c˜ao de 100 e 17, observe-se que: 100 17 15 5 17 15 2 1 15 2 1 7 2 1 0 2

Efectuando análise para trás, substituindo sucessivamente os restos de forma a conseguir fazer aparecer 100 e 17 (a e b iniciais) obtem-se a combina¸cão procurada: 1 = 15_{− 7 × 2 =} 15_{− 7(17 − 1 × 15) = 8 × 15 − 7 × 17 = 8(100 − 5 × 17) − 7 × 17 = 8 × 100 − 47 × 17.}

Proposi¸cão 11 Sendo a, b e c constantes inteiras, a equa¸cão ax + by = c com x, y _{∈ Z, tem} solu¸cão se e só se mdc(a, b)_{| c.}

(39)

3.5. M´INIMO M ´ULTIPLO COMUM 31

Prova: Como mdc(a, b) divide a e divide b, também divide ax + by quaisquer que sejam x, y_{∈ Z. Portanto, para que ax + by = c tenha solu¸cão é necessário que mdc(a, b) divida c.}

Por outro lado, usando o facto de mdc(a, b) se poder escrever como combina¸c˜ao inteira de a e de b, temos mdc(a, b) = ama+ bmb para ma e mb inteiros adequados. Se mdc(a, b)| c,

ent˜ao c = mdc(a, b)_mdc(a,b)c e _mdc(a,b)c _{∈ Z. Multiplicando mdc(a, b) = am}a+ bmb por _mdc(a,b)c

obtem-se mdc(a, b)_mdc(a,b)c = a(ma_mdc(a,b)c ) + b(mb_mdc(a,b)c ). Assim, vemos que se tomarmos

x = ma_mdc(a,b)c e y = mb_mdc(a,b)c temos uma solu¸c˜ao inteira de ax + by = c. ut

Pode-se provar que (x, y) ∈ Z2 _{´e solu¸c˜ao de ax + by = c sse x = m}

a_mdc(a,b)c + k_mdc(a,b)b e

y = mb_mdc(a,b)c − k_mdc(a,b)b , com k∈ Z qualquer.

3.5 M´ınimo M´

ultiplo Comum

Dados inteiros positivos a e b sabemos que ab é um múltiplo de a e de b, fazendo sentido determinar o menor inteiro positivo que é múltiplo comum a a e b, ou seja o m´ınimo múltiplo comum, mmc(a, b). Por defini¸cão m é mmc(a, b) sse a_{| m, b | m e m | m}0 _{para todo m}0 _tal

que a_{| m}0 _{e b}_{| m}0_{. Assim, mmc(a, b) ´e um divisor de todos os m´}_{ultiplos comuns de a e b.}

Exemplo 9 mmc(320₅7₁₁27₃₁2_{, 2}4₃6₅25_{) = 2}max(0,4)₃max(20,6)₅max(7,25)₁₁max(27,0)₃₁max(2,0) ₌

243205251127312.

Como a

mdc(a, b) e b

mdc(a, b) são primos entre si, podemos mostrar a Proposi¸cão 12. Proposi¸cão 12 Quaisquer que sejam a, b_{∈ Z}+_{, mmc(a, b) =} ab

mdc(a, b). Prova: ab = mdc(a, b) a mdc(a, b) mdc(a, b) b mdc(a, b) = mdc(a, b) a mdc(a, b) b mdc(a, b) | {z } mmc(a,b) mdc(a, b)

Para ver que mdc(a, b)_mdc(a,b)a _mdc(a,b)b é mmc(a, b), notemos que é múltiplo de a e de b. Por outro lado, para verificar que divide qualquer outro múltiplo m0 _{de a e de b, escrevamos}

m0 = k1a e m0 = k2b para inteiros k1e k2 apropriados. Ent˜ao, m0= k1mdc(a, b)_mdc(a,b)a e m0 =

k2mdc(a, b)_mdc(a,b)b , pelo que k1_mdc(a,b)a = k2_mdc(a,b)b . Como _mdc(a,b)b e _mdc(a,b)a s˜ao primos entre

si, b

mdc(a,b) tem que dividir k1. Assim, k1= b mdc(a,b)k

0

1para algum k10 e consequentemente, m0 = b

mdc(a,b)k01mdc(a, b)mdc(a,b)a e portanto m0 ´e m´ultiplo de mdc(a, b) b mdc(a,b)

a

mdc(a,b). Conclui-se

que mdc(a, b) b

(40)

3.6. CONGRUˆENCIAS 32

3.6 Congruˆ

encias

Dados b_{∈ Z}+ _{e x, y} _{∈ Z dizemos que x e y são congruentes módulo b se e só se x − y for}

múltiplo de b, escrevendo x ≡ y (mod b). Tal é equivalente a dizer que x e y dão o mesmo resto quando divididos por b. De facto, se x = qxb + rx e y = qyb + ry com 0 ≤ rx < b e

0_{≤ r}y < b, então x− y = (qx− qy)b + (rx − ry) e portanto x− y é múltiplo de b se e só se

rx− ry o for. Mas, como 0≤ rx < b e 0≤ ry < b, podemos concluir que−b < rx− ry < b, e

consequentemente rx− ry é múltiplo de b se e só se for zero. Portanto, x≡ y (mod b) sse os

restos da divis˜ao de x e y por b s˜ao iguais. (Escrevemos qx, qy e rx, ry em vez de q1, q2 e r1, r2

para indicar que esses quocientes e restos dependem de x e y respectivamente.)

As rela¸cões de congruências têm algumas propriedades interessantes (e importantes). Por exemplo, a “congruência módulo 2” decompõe os inteiros em dois conjuntos:

{x : x ∈ Z, x ≡ 0 (mod 2)} = {2k : k ∈ Z} = {pares} {x : x ∈ Z, x ≡ 1 (mod 2)} = {1 + 2k : k ∈ Z} = {´ımpares}

A rela¸cão de “congruência módulo b” (para b∈ Z+_{) decompõe os inteiros em b conjuntos}

{x : x ∈ Z, x ≡ 0 (mod b)} e {x : x ∈ Z, x ≡ 1 (mod b)}, . . . , {x : x ∈ Z, x ≡ b − 1 (mod b)}, sendo cada um identificado por um dos b restos poss´ıveis.

Outra das propriedades interessantes da rela¸cão de congruência é ser preservada pelas opera¸cões de soma, subtraçcão e produto, ou seja, se x1≡ y1(mod b) e x2 ≡ y2(mod b) então

x1± x2≡ y1± y2(mod b) e x1× x2≡ y1× y2(mod b).

O exemplo seguinte ilustra uma das aplica¸c˜oes de congruˆencias.

Exemplo 10 Suponha que se quer resolver 5x + 3y = 1 para x, y_{∈ Z. Como 5x + 3y = 1 ⇔} 5x− 1 = 3(−y) podemos come¸car por resolver 5x ≡ 1 (mod 3). Tem-se 5x ≡ 1 (mod 3) ⇔ 2x_{≡ 1 (mod 3). Por outro lado, 2x ≡ 1 (mod 3) ⇔ (−1)x ≡ 1 (mod 3), ou seja x ≡ (−1) (mod 3),} isto ´e x_{≡ 2 (mod 3). Assim, 5x ≡ 1 (mod 3) se e s´o se x = 2 + 3k para algum k ∈ Z.}

Voltando à equa¸cão inicial, temos 5x + 3y = 1 ⇔ 5(2 + 3k) + 3y = 1 ⇔ y = −3 − 5k concluindo-se que as solu¸cões de 5x + 3y = 1 são os pontos (x, y) da forma x = 2 + 3k e y =−3 − 5k, com k ∈ Z.

(41)

Cap´ıtulo 4

Indu¸

c˜

ao Matem´

atica

O método de demonstra¸cão por indu¸cão matemática (ou indu¸cão finita) será bastante usado durante o curso pelo que é conveniente introduzi-lo (ou recordá-lo).

4.1 Princ´ıpio de Indu¸

c˜

ao Matem´

atica

Imagine uma escada com uma infinidade de degraus. Não é uma escada com um número enorme de degraus! Esta escada, tem sempre um degrau acima de qualquer outro que consi-dere. Suponha que é verdade (4.1).

“Se conseguir chegar até um degrau, então também consigo chegar ao seguinte.” (4.1) Se nada mais for dito, não pode concluir que “consegue chegar ao 16o_{¯ degrau”.}

Suponha agora não só (4.1) mas também (4.2).

“Consigo chegar ao 13o¯ degrau” (4.2)

O que pode concluir? Como consegue chegar ao 13o¯ e é verdade (4.1), então consegue chegar ao 14o¯. Como consegue chegar ao 14o¯ e é verdade (4.1), então consegue chegar ao 15o¯. Como consegue chegar ao 15o¯ e é verdade (4.1), então consegue chegar ao 16o¯. De (4.1) e (4.2), conclui-se (4.3).

“Consegue chegar ao n-ésimo degrau, qualquer que seja n_{≥ 13.”} (4.3) Como não é dito sobre de que forma chegou ao 13o¯ degrau, nada pode concluir sobre a possibilidade de chegar ao degrau n, para n < 13.

Mas, suponha agora que (4.4) ´e verdade.