Fecho transitivo e percursos em grafos

Dada uma rela¸c˜ao R_{⊆ A × A, define-se, para cada i ∈ Z}+_{, a rela¸c˜ao R}i _{do modo seguinte:}

R1 _{= R}

Ri = RRi−1, i≥ 2 (composta de R e Ri−1₎

Proposi¸c˜ao 24 Uma rela¸c˜ao bin´aria R definida em A ´e transitiva se e s´o se R2 ⊆ R. Prova: Se R2 6⊆ R ent˜ao existiam x, y ∈ A tais que (x, y) ∈ R2 _{e (x, y) /∈ R. Por}

defini¸c˜ao R2 = RR, donde xR2y se e s´o se existe z ∈ A tal que xRz e zRy. Ou seja, ∃x, y, z ∈ A (x, z) ∈ R ∧ (z, y) ∈ R ∧ (x, y) /∈ R, pelo que R n˜ao seria transitiva. Logo, se R ´e transitiva ent˜ao R2⊆ R.

A prova do rec´ıproco, deduz-se trivialmente do Corol´ario 25.1, o qual s´o ser´a demonstrado `a frente. De facto, desse Corol´ario, podemos concluir que se R2 _{⊆ R ent˜ao R}+ _{= R. Assim,}

5.5. FECHOS DUMA RELAC¸ ˜AO PARA UMA PROPRIEDADE 63

Se A for finito, podemos desenhar o grafo de R. Dados dois v´ertices u, v ∈ A, chama-se percurso de u para v no grafo a qualquer sequˆencia finita formada por um ou mais ramos do grafo, tal que o extremo final de qualquer ramo da sequˆencia coincide com o extremo inicial do ramo seguinte na sequˆencia. O comprimento do percurso ´e n´umero de arcos no percurso. Dizer que uRi_{v equivale a dizer que existe um percurso com i ramos de u para v no grafo}

de R, como se deduz do Lema 3. Vamos mostrar mais adiante que o fecho transitivo de R, que se denota por R+, ´e dado por _∪i∈Z+Ri, concluindo-se que uR+v se e s´o se existir um

percurso de u para v no grafo de R.

Lema 3 Seja R uma rela¸c˜ao definida em A. Para quaisquer elementos x e y de A, e qualquer inteiro positivo k tem-se xRk+1y se e s´o se existem k elementos de A, sejam x1, . . . xk, tais

que xRx1∧ . . . ∧ xiRxi+1∧ . . . ∧ xkRy.

Prova: Mostremos, por indu¸c˜ao sobre k, que para todo k_{∈ Z}+ e quaisquer x, y _{∈ A} xRk+1y sse ∃x1, . . . , xk∈ A (xRx1∧ . . . ∧ xkRy) (5.3)

Mostrar que (5.3) ´e v´alida para k = 1, equivale a mostrar que xR2_{y se e s´o se existe x} 1

tal que xRx1∧ x1Ry, o que ´e trivialmente v´alido por defini¸c˜ao de R2.

Provemos agora que se (5.3) ´e v´alida para um dado k _{∈ Z}+ _{ent˜ao ´e v´alida para k + 1.}

Sejam x, y∈ A tais que xR(k+1)+1_{y. Ent˜ao, usando a defini¸c˜ao de R}(k+1)+1_{, vem}

xR(k+1)+1y sse _{∃z ∈ A xRz ∧ zR}k+1y Mas, por hip´otese de indu¸c˜ao,

zRk+1y sse _∃y1. . . yk∈ A (zRy1∧ . . . ∧ ykRy)

Assim,

xR(k+1)+1y sse ∃z, y1. . . yk ∈ A (xRz ∧ zRy1∧ . . . ∧ ykRy)

Se fizermos x1= z, x2 = y1, . . . , xk+1= yk vem

xR(k+1)+1y sse _∃x1, x2. . . xk+1∈ A (xRx1∧ x1Rx2∧ . . . ∧ xk+1Ry).

Logo, mostr´amos que (5.3) est´a nas condi¸c˜oes do princ´ıpio de indu¸c˜ao. Logo, por tal princ´ıpio,

5.5. FECHOS DUMA RELAC¸ ˜AO PARA UMA PROPRIEDADE 64

Exemplo 41 Seja R a rela¸c˜ao bin´aria em {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} representada pelo grafo seguinte.

1• //_2•  //_5•oo _//6•  4_• OO 3_• oo _7• OO Tem-se: • (1, 4) ∈ R3 _{pois (1, 2)∈ R ∧ (2, 3) ∈ R ∧ (3, 4) ∈ R.} • (1, 1) ∈ R4 _{pois (1, 4)∈ R}3_{∧ (4, 1) ∈ R.} • (3, 3) ∈ R4 pois 3 R 4 _{∧ 4 R 1 ∧ 1 R 2 ∧ 2 R 3.} • (5, 5) ∈ R+ pois (5, 5)_{∈ R}2 j´a que 5 R 6 _{∧ 6 R 5.} • Como 3 R 4 ∧ 4 R 1 ∧ 1 R 2 ∧ 2 R 5 ∧ 5 R 6 ∧ 6 R 7, tem-se (3, 7) ∈ R6⊆ R+. MR+ =              1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1             

A sequˆencia de ramos (3, 4), (4, 1), (1, 2), (2, 5), (5, 6), (6, 7) ´e um percurso de 3 para 7.

Exerc´ıcio 5.5.1 Seja H = {x | x ´e ser humano} e sejam m~ae e pai rela¸c˜oes bin´arias definidas em H por:

(x, y)∈ m~ae sse x ´e m˜ae de y (x, y)∈ pai sse x ´e pai de y

Qual ´e a composta de m~aecom pai? Qual ´e a composta de pai com m~ae? Qual ´e a composta de pai_{∪ m~ae com pai ∪ m~ae? Qual ´e o fecho transitivo de pai ∪ m~ae? Qual ´e a inversa de} (pai_{∪ m~ae)}+_?

Resposta: x ´e av´o paterna de y, x ´e avˆo materno de y, x ´e av´o ou avˆo de y, x ´e ascendente de y, e x ´e descendente de y.

5.5. FECHOS DUMA RELAC¸ ˜AO PARA UMA PROPRIEDADE 65

Lema 4 A composi¸c˜ao de rela¸c˜oes bin´arias ´e associativa.

Prova: Sejam α⊆ A × B, β ⊆ B × C e γ ⊆ C × D rela¸c˜oes bin´arias. Ent˜ao,

xα(βγ)y ⇐⇒ ∃z ∈ B xαz ∧ z(βγ)y (por def. composta α(βγ))

⇐⇒ ∃z ∈ B ∃w ∈ C xαz ∧ zβw ∧ wγy (por def. composta βγ)

⇐⇒ ∃w ∈ C xαβw ∧ wγy (por def. αβ)

⇐⇒ x(αβ)γy (por def. (αβ)γ)

ou seja, _{∀x ∈ A ∀y ∈ D (xα(βγ)y ⇔ x(αβ)γy). Logo, α(βγ) = (αβ)γ ou seja a composi¸c˜ao}

´e associativa. ut

Lema 5 Seja R uma rela¸c˜ao definida num conjunto A. Ent˜ao, quaisquer que sejam os in- teiros positivos n e k tem-se Rn+k= Rn_Rk_.

Prova: Seja R_{⊆ A × A. Vamos mostrar por indu¸c˜ao sobre n ∈ Z}+ _que

∀n ∈ Z+ ∀k ∈ Z+ _Rn+k_{= R}n_Rk_{. (5.4)}

Se n = 1 ent˜ao por defini¸c˜ao de Ri _{tem-se R}1+k _{= RR}k _{para todo k ∈ Z}+_{, pelo que a}

proposi¸c˜ao ´e verdade para n = 1. Vamos mostrar agora que qualquer que seja n∈ Z+_,

(_{∀k ∈ Z}+ Rn+k= RnRk=_{⇒ ∀k ∈ Z}+ Rn+1+k= Rn+1Rk). Sejam k, n quaisquer em Z+. Tem-se,

Rn+1+k = RRn+k (por defini¸c˜ao de Ri₎

= R(Rn_Rk_{) (por hip´otese de indu¸c˜ao)}

= (RRn_)Rk _{(pela associatividade da composi¸c˜ao)}

= (Rn+1)Rk _{(por defini¸c˜ao de R}i₎

Mostr´amos que as condi¸c˜oes do princ´ıpio de indu¸c˜ao se verificam, pelo que se conclui por esse

princ´ıpio a validade de (5.4) _ut

.

Proposi¸c˜ao 25 (Caracteriza¸c˜ao dos fechos) Seja R uma rela¸c˜ao bin´aria em A _{6= ∅. O} fecho reflexivo de R ´e R∪IA, sendo IAa rela¸c˜ao identidade em A (i.e., IA={(a, a) : a ∈ A}).

O fecho sim´etrico de R ´e R_{∪ R}−1. O fecho transitivo de R ´e S_i∈Z+Ri.

Prova: Qualquer rela¸c˜ao bin´aria em A que seja reflexiva ter´a que conter {(a, a) | a ∈ A}

5.5. FECHOS DUMA RELAC¸ ˜AO PARA UMA PROPRIEDADE 66

ou seja, IA. Por defini¸c˜ao, o fecho reflexivo de R, seja Rref, ´e uma rela¸c˜ao reflexiva, pelo que

Rref ⊇ I_A. Ainda por defini¸c˜ao, Rref ⊇ R. Assim, Rref ⊇ R ∪ I_A. R∪ I_A ´e reflexiva, e

qualquer rela¸c˜ao definida em A que seja reflexiva e contenha R, cont´em R_{∪ I}A. Logo, R∪ IA

´e o fecho reflexivo de R.

R_{∪ R}−1 _{cont´em R e ´e sim´etrica. Se (x, y)∈ R ∪ R}−1 _{ent˜ao (x, y)∈ R ∨ (x, y) ∈ R}−1_{. Por}

defini¸c˜ao de inversa, se (x, y)∈ R ent˜ao (y, x) ∈ R−1_{, e se for (x, y) ∈ R}−1 _{ent˜ao (y, x)∈ R.}

Portanto, se (x, y)_{∈ R ∪ R}−1 _{ent˜ao (y, x) ∈ R}−1_{∨ (y, x) ∈ R, ou seja (y, x) ∈ R ∪ R}−1_{, o que}

prova a simetria de R∪ R−1_{. Se mostrarmos que qualquer rela¸c˜ao S definida em A que seja}

sim´etrica e contenha R, cont´em R_{∪ R}−1, concluimos que R_{∪ R}−1 ´e o fecho sim´etrico de R (por defini¸c˜ao de fecho sim´etrico). Ora, se S ´e sim´etrica e S _{⊇ R, ent˜ao S ⊇ R}−1_{. De facto,}

(x, y)_{∈ R}−1 _{⇒ (y, x) ∈ R (por defini¸c˜ao de R}−1₎

⇒ (y, x) ∈ S (por S ⊇ R)

⇒ (x, y) ∈ S (pela simetria de S) Logo S _{⊇ R}−1, e como S _{⊇ R, conclui-se S ⊇ R ∪ R}−1.

Resta-nos provar que o fecho transitivo de R, que denotaremos por R+, ´e

R+= [ i∈Z+ Ri ou seja R+ _⊆ [ i∈Z+ Ri (5.5) R+ _⊇ [ i∈Z+ Ri _(5.6)

Come¸camos pela primeira inclus˜ao. Vamos provar que S_i∈Z+Ri (⊆ A × A) ´e transitiva

e cont´em R, pelo que por defini¸c˜ao de fecho transitivo se concluir´a (5.5). Como R = R1 (por defini¸c˜ao de R1_{), segue trivialmente R ⊆} S

i∈Z+Ri. Para justificar que

S

i∈Z+Ri ´e

transitiva, sejam x, y, z ∈ A, e suponhamos que (x, y)_∈ [

i∈Z+

Ri e (y, z)_∈ [

i∈Z+

Ri.

Por defini¸c˜ao de uni˜ao de rela¸c˜oes, se (x, y)∈ S_i∈Z+Ri ent˜ao existe k ∈ Z+ tal que xRky.

E analogamente, (y, z)_∈S_i∈Z+Ri ⇒ ∃p ∈ Z+ yRpz. Ou seja,

((x, y)∈ [

i∈Z+

Ri ∧ (y, z) ∈ [

i∈Z+

5.5. FECHOS DUMA RELAC¸ ˜AO PARA UMA PROPRIEDADE 67

o que implica ∃p, k ∈ Z+ _xRk_Rp_{z. Ent˜ao, pelo Lema 5, vem xR}k+p_{z, isto ´e (x, z) ∈ R}k+p_.

Donde, (x, z)_∈S_i∈Z+Ri. Logo,

S

i∈Z+Ri ´e transitiva.

Mostremos agora que tamb´em (5.6). Para tal, vamos usar indu¸c˜ao sobre n ∈ Z+ _para

provar que

∀n ∈ Z+ R+⊇ [

1≤i≤n

Ri

o que implica a validade de (5.6). Se n = 1 ent˜ao S_1≤i≤nRi_{= R. E, R⊆ R}+ _{por defini¸c˜ao}

de fecho. Supondo agora que R+ _⊇ S

1≤i≤kRi, vamos mostrar que ent˜ao R+⊇

S

1≤i≤k+1Ri.

Sejam x, y _{∈ A tais que (x, y) ∈} S_1≤i≤k+1Ri_{. Queremos concluir que ent˜ao (x, y) ∈ R}+_.

Por defini¸c˜ao de uni˜ao, (x, y)_∈S_1≤i≤k+1Ri _{se e s´o se (x, y)∈}S

1≤i≤kRi ou (x, y)∈ Rk+1.

Se for (x, y) ∈S1≤i≤kRi ent˜ao, por hip´otese de indu¸c˜ao xR+y. Se for (x, y) ∈ Rk+1,

ent˜ao existe z _{∈ A tal que xRz ∧ zR}k_{y (uma vez que R}k+1 _{= RR}k _{por defini¸c˜ao).}

Como R⊆ R+_{, e R}k_⊆S

1≤i≤kRi, e por hip´otese de indu¸c˜ao

S

1≤i≤kRi⊆ R+,

(xRz_{∧ zR}ky)_{⇒ (xR}+z_{∧ zR}+y). Como por defini¸c˜ao de fecho transitivo, R+ _{´e transitiva, vem xR}+_y.

Logo, pelo princ´ıpio de indu¸c˜ao matem´atica ´e verdade que

∀n ∈ Z+ R+ _⊇ [

1≤i≤n

Ri De (5.5) e (5.6) segue R+₌S

i∈Z+Ri. ut

Nota¸c˜ao. Sendo R uma rela¸c˜ao bin´aria num conjunto, R+_{designa o fecho transitivo de R}

e R? _{o seu fecho transitivo e reflexivo.}

Exemplo 42 Seja R a rela¸c˜ao definida em Z+ por

xRy sse y = x + 3, x, y quaisquer em Z+

R n˜ao ´e transitiva porque por exemplo (1, 4) _{∈ R, (4, 7) ∈ R e (1, 7) /∈ R. Assim,} R⊆ R+_{6= R. Vamos determinar R}+_{, calculando} S

i∈Z+Ri. Cada Ri ´e uma rela¸c˜ao definida

em Z+ e R1 = R R2 _{= RR ={(x, y) | ∃z ∈ Z}+ _{xRz∧ zRy} ={(x, y) | y = x + 6}} R3 = RR2 ={(x, y) | ∃z ∈ Z+ _{xRz∧ zR}2_{y} = {(x, y) | y = x + 9}} .. . ...

5.5. FECHOS DUMA RELAC¸ ˜AO PARA UMA PROPRIEDADE 68

Para n∈ Z+_{, teremos}

Rn+1 = RRn_{={(x, y) | ∃z ∈ Z}+ _{xRz∧ zR}n_{y} = {(x, y) | y = x + 3(n + 1)}}

o que pode ser provado por indu¸c˜ao sobre n. Assim,

R+ = [

i∈Z+

Ri =_{{(x, y) ∈ Z}+_{× Z}+_{| ∃k ∈ Z}+ y = x + 3k_}. O fecho sim´etrico e transitivo de R, seja Rst, ´e

Rst={(x, y) ∈ Z+× Z+| ∃k ∈ Z y = x + 3k}

Pode-se mostrar que o fecho sim´etrico e transitivo ´e sempre o fecho transitivo do fecho sim´etrico.

Exerc´ıcio 5.5.2 Seja R uma rela¸c˜ao definida em A. a) Mostre que se R ´e sim´etrica ent˜ao R+ ´e sim´etrica.

b) Usando se necess´ario a al´ınea anterior, prove que o fecho sim´etrico e transitivo de R ´e (R_{∪ R}−1)+, ou seja o fecho transitivo do fecho sim´etrico de R.

c) Verifique se

(a) o fecho sim´etrico e transitivo ´e o fecho sim´etrico do fecho transitivo. (b) o fecho transitivo e reflexivo ´e o fecho transitivo do fecho reflexivo.

(c) o fecho transitivo e reflexivo ´e o fecho reflexivo do fecho transitivo.

No documento Alguns Tópicos de Matemática Discreta. Ana Paula Tomás (páginas 70-76)