Fecho transitivo duma rela¸c˜ao definida num conjunto finito

Mostr´amos que o fecho transitivo ´e dado por uma uni˜ao infinita de rela¸c˜oes. No entanto, em certos casos essa uni˜ao pode-se reduzir de facto a uma uni˜ao finita.

Corol´ario 25.1 Seja R _{⊆ A × A (com A n˜ao necessariamente finito). Se existir algum} inteiro positivo m tal que Rm+1_⊆S

1≤k≤mRk, ent˜ao R+=

S

1≤k≤mRk.

Prova: Seja R⊆ A × A tal que Rm+1_⊆S

1≤k≤mRk, para algum m∈ Z+.

Vamos mostrar por indu¸c˜ao sobre k que

∀k ≥ m + 1 Rk _⊆S

5.5. FECHOS DUMA RELAC¸ ˜AO PARA UMA PROPRIEDADE 69

pelo que, R+ = S_i∈Z+Ri ⊆

S

1≤i≤mRi. Como tamb´em

S

i∈Z+Ri ⊇

S

1≤i≤mRi, conclui-se

R+ =S_1≤i≤mRi_.

A validade no caso k = m + 1 ´e trivial, j´a que Rm+1 _{est´a nas condi¸c˜oes do corol´ario.}

Tomemos como hip´otese de indu¸c˜ao a validade de (5.7) para um qualquer k _{≥ m + 1 fixo,} e vamos mostrar que ent˜ao tamb´em ´e v´alida para k + 1.

Mostrar que Rk+1 ⊆S1≤i≤mRi equivale a verificar que para todo x, y∈ A,

(x, y)∈ Rk+1⇒ (x, y) ∈ [

1≤i≤m

Ri,

Por defini¸c˜ao de Rk+1 _{tem-se (x, y)∈ R}k+1 _{se e s´o se existe z ∈ A tal que xRz ∧ zR}k_y.

Usando a hip´otese de indu¸c˜ao sobre Rk_{, vem xRz e z}S

1≤i≤mRi y. Logo, por defini¸c˜ao de

uni˜ao, existe p _{≤ m, tal que zR}p_{y . Assim, existe z ∈ A tal que xRz e zR}p_{y. Donde,}

xRp+1y. Como p + 1≤ m + 1, vem Rp+1 ⊆ [ 1≤i≤m+1 Ri = [ 1≤i≤m Ri.

Logo, (x, y)_∈S_1≤i≤mRi_{. Portanto, por indu¸c˜ao matem´atica, (5.7) ´e v´alida. ut}

Corol´ario 25.2 Seja R uma rela¸c˜ao definida em A (n˜ao necessariamente finito). Se existir m∈ Z+ _{tal que R}m _{=∅ ent˜ao R}+₌S

1≤k≤m−1Rk(sup˜oe-se que ´e vazia a uni˜ao das rela¸c˜oes

Rk _{com 1≤ k ≤ 0).}

Prova: Se Rm =∅, para algum m ∈ Z+_{, ent˜ao∀k ≥ m R}k_{=∅. Assim, R}+₌Sm−1 k=1 Rk.

A prova tamb´em ´e imediata se se recorrer ao Corol´ario 25.1. J´a que Rm _⊆ Sm−1

k=1 Rk se

Rm =∅. ut

Corol´ario 25.3 Seja R uma rela¸c˜ao definida num conjunto finito A, e seja n =_{|A|. Ent˜ao} Rn+1⊆S1≤j≤nRj e R+=

S

1≤j≤nRj

Prova: Sejam x, y∈ A tais que xRn+1_{y. Ent˜ao pelo Lema 3, existem x}

1, . . . xn tais que

xRx1∧ . . . ∧ xnRy.

Como A s´o tem n elementos distintos, ou ocorrem repeti¸c˜oes em x1, . . . , xn, ou x e y

ocorrem em x1, . . . xn.

Se for xi = xj para algum (i, j) com i6= j, ent˜ao podemos retirar xiRxi+1∧ . . . ∧ xj−1Rxj

e escrever xRx1∧ . . . ∧ xi−1Rxi∧ xiRxj+1. . .∧ xnRy identificando xi−1 com x caso seja i = 1,

5.5. FECHOS DUMA RELAC¸ ˜AO PARA UMA PROPRIEDADE 70

Se n˜ao existirem repeti¸c˜oes em x1, . . . xn, ent˜ao x = xi para algum i.

Podemos ent˜ao escrever simplesmente xRxi+1∧ . . . ∧ xnRy identificando xi+1 com y caso

i = n. Donde, xRn+1−i_y.

Mostrou-se que quaisquer que sejam x, y∈ A se xRn+1_{y ent˜ao existe k≤ n tal que xR}k_y.

Logo, Rn+1_⊆S

1≤j≤nRj.

Ent˜ao, pelo Corol´ario 25.1, R+ =S_1≤j≤nRj. ut

Exemplo 43 Seja R a rela¸c˜ao bin´aria em {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} representada pelo grafo seguinte.

1_• //_2•  //_5•oo _//6•  4_• OO 3_• oo _7• OO

J´a determin´amos anteriormente R+ _{por an´alise do grafo. Tamb´em poderiamos ter determi-}

nado R+ analiticamente: R+= R∪ R2_{∪ R}3_{∪ R}4_{∪ R}5_{∪ R}6_{∪ R}7_. MR2 = (M_R)2= M_RM_R MR3 = M_R2M_R MR4 = (M_R)4= M_R2M_R2 MR5 = M_R4M_R .. . MR+ = M_R∨ M_R2 ∨ M_R3 ∨ M_R4 ∨ M_R5 ∨ M_R6∨ M_R7

Exerc´ıcio 5.5.3 Justifique que quaisquer que sejam R e S definidas num conjunto A finito e n˜ao vazio, MR∪S[i, j] = MR[i, j]∨ MS[i, j] com 1≤ i, j ≤ |A|.

Exemplo 44 Note que se R for a rela¸c˜ao definida em {1, 2, 3, 4} representada pelo grafo seguinte 1_• //_2•  4_• OO 3_• oo

ent˜ao (x, x) _{∈ R}+ para todo x _{∈ {1, 2, 3, 4} mas (x, x) /∈ R}i _{para todo i < 4. Neste caso,}

Cap´ıtulo 6

Grafos e Multigrafos

Os grafos representam um modelo fundamental em Computa¸c˜ao, surgindo em • problemas de caminhos (por exemplo, caminho m´ınimo ou m´aximo); • representa¸c˜ao de redes (por exemplo, de computadores);

• descri¸c˜ao de sequˆencia de programas; • desenho de circuitos integrados;

• representa¸c˜ao de rela¸c˜oes (por exemplo, ordena¸c˜ao, emparelhamento); • an´alise sint´actica de linguagens (´arvores sint´aticas), etc.

f rase {{vvvv v ** U U U U U U U U U U U U U f n ##H H H H H H }}{{{{ f v ##G G G G G zzuuuu uuu det  n  v  f n zzvvvv v  det  n 

o rato ca¸cou o gato

6.1

Grafos Dirigidos

Um grafo dirigido ´e definido por um par G = (V, E) em que V ´e um conjunto de v´ertices e E um conjunto de ramos orientados que ligam pares de v´ertices de V , n˜ao existindo mais do que um ramo com a mesma orienta¸c˜ao a ligar dois v´ertices.

6.1. GRAFOS DIRIGIDOS 72

Quando o conjunto de v´ertices ´e finito (o que implica que o conjunto de ramos tamb´em o seja), o grafo ´e finito, podendo-se desenhar. Por exemplo,

•1  //•2

GFED

BC

GFED

BC

GF

@ABC

´e um grafo em que o conjunto de ramos ´e E ={(1, 4), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 4), (5, 5)} e o conjunto de v´ertices ´e V =_{{1, 2, 3, 4, 5, 6}.}

Se (x, y)_{∈ E, ent˜ao o v´ertice x ´e a origem e o v´ertice y o fim do ramo (x, y), dizendo-se} que x e y s˜ao os extremos do ramo (x, y) e que o ramo ´e incidente em y.

Os arcos da forma (x, x), isto ´e com origem e fim no mesmo v´ertice, chamam-se lacetes. No exemplo, s˜ao trˆes os ramos incidentes no v´ertice 2, isto ´e, que terminam no v´ertice 2. Este v´ertice tem grau de entrada trˆes e grau de sa´ıda dois.

O grau de entrada dum v´ertice ´e o n´umero de ramos que tˆem fim nesse v´ertice. O grau de sa´ıda ´e o n´umero de ramos que tˆem origem nesse v´ertice.

No exemplo, os v´ertices 5 e 6 s˜ao v´ertices isolados, pois n˜ao s˜ao origem nem fim de nenhum ramo com algum extremo noutro v´ertice.

Um percurso (finito) ´e uma sequˆencia finita formada por um ou mais ramos do grafo tal que o extremo final de qualquer ramo coincide com o extremo inicial do ramo seguinte na sequˆencia. Um percurso num grafo dirigido fica bem identificado se se indicar a sequˆencia de v´ertices por onde passa. Para o exemplo, o percurso (1, 4), (4, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 2), (2, 3) pode ser dado pela sequˆencia de v´ertices 1, 4, 1, 2, 2, 2, 3.

A origem do percurso ´e a origem do primeiro ramo no percurso e o fim do percurso ´e o fim do ´ultimo ramo no percurso. Um percurso com origem em v e fim em w ´e um percurso de v para w. Chama-se circuito a um percurso em que a origem e o fim coincidem. O comprimento (ou ordem) dum percurso (finito) ´e o n´umero de ramos que o constituem.

Assim, 1, 4, 1, 2, 2, 2, 3 tem origem em 1, fim em 3 e comprimento seis, n˜ao sendo um circuito. Note que, qualquer percurso de comprimento k envolve k + 1 v´ertices, n˜ao necessa- riamente distintos.

Neste percurso, alguns v´ertices s˜ao visitados mais do que uma vez, concretamente os v´ertices 1 e 2, e o ramo (2, 2) ´e usado mais do que uma vez.

Na terminologia moderna para grafos, caminho ´e um percurso sem repeti¸c˜ao de v´ertices e ciclo ´e um percurso fechado que n˜ao tem repeti¸c˜ao de v´ertices com excep¸c˜ao do inicial e final. Designa-se por pista um percurso que n˜ao cont´em repeti¸c˜ao de ramos.

6.1. GRAFOS DIRIGIDOS 73

A terminologia de grafos ´e pouco consistente, pelo que ´e sempre necess´ario contextualizar cada termo usado na bibliografia da ´area. Na terminologia cl´assica de grafos usava-se a designa¸c˜ao de caminho como sin´onimo de percurso. Chamava-se ent˜ao caminho simples a um percurso em que nenhum ramo ocorre duas ou mais vezes e caminho elementar a um percurso em que nenhum v´ertice ocorre duas ou mais vezes. De acordo com a mesma terminologia, ciclo era sin´onimo de circuito, chamando-se “ciclo simples” se fosse tamb´em caminho simples.