Análise da Coexistência de Sorotipos de Dengue

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An´

alise da Coexistˆ

encia de Sorotipos de Dengue

∗

Thomas Nogueira Vilches †

, Claudia Pio Ferreira,

Depto. de Bioestat´ıstica, IBB, UNESP 18618-970 - Botucatu, SP

E-mail: thomas−vilches@ibb.unesp.br, pio@ibb.unesp.br

Resumo: _{Apresenta-se um modelo compartimental para dengue levando em considera¸c˜}_{ao a} popula¸cão humana, a popula¸cão de mosquitos e dois sorotipos do v´ırus circulando entre as popu-la¸cões. A seguir comenta-se as análises para um caso particular do modelo, apresentadas em [1]. Por fim mostra-se os resultados das simula¸cões para diferentes conjuntos de prâmetros do modelo.

Palavras-chave: _{Epidemiologia, Simula¸c˜}_ao

A Dengue é uma doen¸ca transmitida através de um vetor, sendo o mosquito Aedes aegypti o principal deles. Existem quatro sorotipos do v´ırus circulando entre as popula¸cões, sendo que a infeçcão por um sorotipo produz uma imunidade permanente ao mesmo, mas aparentemente com rela¸cão aos outros sorotipos a imunidade é temporária [1]. Sabe-se que o controle do vetor, a imunidade e o ambiente podem atuar sobre a dissemina¸cão da doen¸ca, e infeçcões secundárias aumentam a probabilidade da pessoa desenvolver um quadro de dengue hemorrágica. Neste caso, o número de casos fatais pode ser menor que 1% se houver tratamento e exceder 20% na absten¸cão do mesmo [2].

Na América do Sul e do Norte há a ocorrência de todos os sorotipos do v´ırus da Dengue. Em particular, no Brasil já existem os quatro sorotipos, e somos responsáveis por 60% dos casos de Dengue no mundo, e 80% na América do Sul. Sendo assim, o Brasil participa do Programa de Combate à Dengue. Infelizmente, muitos fatores levam o programa a não ser tão eficaz, por exemplo, a capacidade adaptativa do vetor, a insuficiência de tecnologia para o controle, a for¸ca de transmissão do v´ırus, a existência de quatro sorotipos, o desenvolvimento de resistência por parte do vetor e outros [3]. Assim é muito importante estudar a dinâmica da transmissão da dengue e como se dá a intera¸cão entre os sorotipos de v´ırus existentes.

O objetivo desde trabalho é apresentar um modelo teórico que seja capaz de descrever a dinâmica da doen¸ca e estudar através de uma abordagem anal´ıtica e numérica quais as condi¸cões necessárias para permanência ou desaparecimento de um determinado sorotipo. Para tanto foi proposto a divisão da popula¸cão humana e do vetor nas seguintes classes: sejam S os indiv´ıduos suscet´ıveis, I1 os indiv´ıduos infectados pelo primeiro sorotipo do vetor, I2 os infectados pelo

segundo sorotipo do vetor, R1 os recuperados do primeiro tipo da doen¸ca, R2 os recuperados do

segundo tipo da doen¸ca, I12 os indiv´ıduos que se recuperaram do primeiro sorotipo de v´ırus e se

infectaram com o segundo, I21 os indiv´ıduos que se recuperaram do segundo sorotipo de v´ırus e

se infectaram com o primeiro, e R são os indiv´ıduos que se recuperaram dos dois sorotipos do v´ırus. Na popula¸cão de vetor VS, VI1 e VI2 são os vetores suscet´ıveis, infectados pelo primeiro

sorotipo e infectados pelo segundo sorotipo, respectivamente. O modelo compartimental proposto ´e apresentado na Figura 1.

∗_{FAPESP 2009/15098-0} †_{FAPESP 2013/01552-7}

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S

I

R

I

1 1 1 2 2 21 2

V

S I2 1 λ λ 1 2 γ γ I λ λ 2 1 1 2 γ 2 γ 1 δ V V V V I1 I1 I2 I2 (I1+ I21) δ(I2+ I21) φ µ µ µ µ µ µ µ µm µ µm µm+α µ σ σ1 2 + + + +α α β β

Figura 1: Diagrama de compartimentos para o modelo proposto.

E em termos de equa¸c˜oes diferenciais pode ser escrito como: dS dt = µ − λ1VI1S− λ2VI2S− µS, dI1 dt = λ1VI1− (µ + γ1)I1, dI2 dt = λ2VI2− (µ + γ2)I2, dR1 dt = γ1I1− σλ2VI2R1− µR1, dR2 dt = γ2I2− σλ1VI1R2− µR2, (1) dI12 dt = σλ2VI2R1− (γ2+ µ + β)I12, dI21 dt = σλ1VI1R2− (γ1+ µ + β)I21, dR dt = γ2I12+ γ1I21− µR, dVS dt = φ − δ1(I1+ I21)VS− δ2(I2+ I12)VS− (µm+ α)VS, dVI1 dt = δ1(I1+ I21)VS− (µm+ α)VI1, dVI2 dt = δ2(I2+ I12)VS− (µm+ α)VI2,

nas quais os indiv´ıduos suscet´ıveis s˜ao infectados a uma taxa λ1e λ2 pelos sorotipos de v´ırus um

e dois, respectivamente; os infectados de cada sorotipo se recuperam a taxas γ1 e γ2, formando

assim os compartimentos R1 e R2. Estes podem ser infectados pelo outro sorotipo de v´ırus,

sendo que a primeira infeçcão pode ou não facilitar a segunda infeçcão, parâmetro σ. Estes infectados secundários se recuperam às taxas γ1 e γ2, formando assim o compartimento R. O

parˆametro β, nas classes I12 e I21, corresponde `a taxa de mortalidade adicional causada pela

doen¸ca.

Os parâmetros relacionados ao vetor são φ que é uma taxa de reposi¸cão, δ1 e δ2 que são as

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parâmetro relacionado às tentativas de controle da popula¸cão de mosquitos, como por exemplo a fiscaliza¸cão de residências e comércios.

Os intervalos dos parˆametros se encontram na Tabela 1 [3].

Tabela 1: Parˆametros utilizados no modelo, significado e valores adotados nas simula¸c˜oes [3].

Parˆametro Significado Valores

µ taxa de natalidade/mortalidade humana 10−4− 10−5dia−1 λ taxa de transmiss˜ao entre o vetor VI e os humanos S 0,70-1 dia−1 γ taxa de recupera¸c˜ao dos humanos 0,080-0,25 dia−1

φ taxa de oviposi¸c˜ao 0,01-1.0 dia−1

δ taxa de transmiss˜ao entre o vetor Vse od humano I 0,6-0,9 dia−1

µm taxa de mortalidade do vetor 0,02-0,09 dia−1

α taxa de controle 0-1 dia−1

β taxa de mortalidade causada pela infeçcão secundária 0,01-0,2 dias−1

σ influˆencia da imunidade cruzada a determinar

As solu¸c˜oes de equil´ıbrio do sistema (1) podem ser encontradas igualando as equa¸c˜oes diferenciais a zero, sendo estas:

1. ausˆencia do vetor e dos v´ırus dada por E0 = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),

2. ausˆencia dos v´ırus dada por E1 = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, _µ φ

m+α,0, 0),

3. ausˆencia do v´ırus do tipo 2 dada por E2 = (S∗, I1∗,0, R∗1,0, 0, 0, VI1∗,0),

4. ausˆencia do v´ırus do tipo 1 dada por E3 = (S∗,0, I2∗,0, R∗2,0, 0, 0, VI2∗),

5. coexistˆencia das popula¸c˜oes dada por E4 = (S∗, I1∗, I2∗, R∗1, R∗2, I12∗ , I21∗ , VI1∗, VI2∗).

A dinâmica da dengue numa popula¸cão em que há ocorrência de apenas um sorotipo já foi análisada em [4], onde obteve-se:

S∗= µ(M L + M 2_Gλ i) λiδiL− λiM Gµ+ µ (M L + M2Gλi) , I_i∗ = λiµδiL− M Gµ 2_λ i GλiδiL− M G2λiµ+ µ (M L + M2Gλi) , R_i∗= λiδiL− M Gµλi GλiδiL− M G2λiµ+ µ (M L + M2Gλi) , V_s∗= GφδiLλi− M G 2_φλ iµ+ µGφ(M L + M2Gλi) λiδi2Lµ− M Gδiλiµ2+ M GλiδiL− M2G2µλi+ M Gµ (M L + M2Gλi) , V_Ii∗ = δiL− M Gµ M L− M2_Gλ i , e M = µm+ α, Gi = µ + γi e Li= φλiµ, para i = {1, 2}.

A an´alise de estabilidade de cada ponto de equil´ıbrio pode ser feita atrav´es da matriz Jaco-biana do sistema, dada por:

J₌        ∂f∗ 1 ∂N1 ∂f∗ 1 ∂N2 · · · ∂f∗ 1 ∂Ni ∂f∗ 2 ∂N1 ∂f∗ 2 ∂N2 · · · ∂f∗ 2 ∂Ni .. . ... . .. ... ∂f∗ i ∂N1 ∂f∗ i ∂N2 · · · ∂f∗ i ∂Ni        ,

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na qual ∂fi∗

∂Ni são as derivadas parciais de cada equa¸cão em fun¸cão de cada variável calculadas no

ponto de equil´ıbrio em que deseja-se verificar a estabilidade. Se a parte real de algum autovalor da matriz jacobiana for positivo então o ponto é instável, do contrário é dito estável.

Assim obteve-se o parˆametro adimensional Ri =

λiδiφ

M2_G i

,

que representa a taxa de reprodu¸cão basal de cada sorotipo do v´ırus quando não há coexistência, e mede o esfor¸co necessário para que não haja v´ırus circulando na popula¸cão, i.e. Ri<1.

No caso em que temos dois v´ırus circulando na popula¸c˜ao, ponto E5, a an´alise de estabilidade

é dificil devido a complexidade do sistema de equa¸cões. Em [1] o problema é resolvido para o caso particular em que β = α = 0 e φ = µm, ou seja, as popula¸cões de humanos e de mosquitos

s˜ao constantes. Tais considera¸c˜oes permitem simplificar o sistema proposto 11x11 a um sistema 9x9.

Figura 2 mostra a dinâmica temporal das popula¸cões de humanos e v´ırus infectados para o caso em que há dois sorotipos circulando. Fez-se a integra¸cão numérica pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem. Para o conjunto de parâmetros utilizado, observa-se uma dinâmica oscilatória amortecida que tende a um ponto de equil´ıbrio estável que representa a coexistência das popula¸cões.

0 10 20 30 40 50 Tempo (anos) 0 0,005 0,01 Infectados tipo 1 0 10 20 30 40 50 Tempo(anos) 0 0,01 0,02

Vetor infectado tipo 1

0 10 20 30 40 50 Tempo(anos) 0 0,005 0,01 Infectados tipo 2 0 10 20 30 40 50 Tempo (anos) 0 0,02 0,04

Vetor infectado tipo 2

(a) (b)

(d) (c)

Figura 2: (a) Propor¸cão de indiv´ıduos humanos infectados pelo sorotipo 1 em fun¸cão do tempo. (b) Propor¸cão de mosquitos infectados pelo sorotipo 1 em fun¸cão do tempo. (c) Propor¸cão de indiv´ıduos humanos infectados pelo sorotipo 2 em fun¸cão do tempo. (d) Propor¸cão de indiv´ıduos humanos infectados pelo sorotipo 1 em fun¸cão do tempo. Utilizando os parâmetros µ = 0, 00004; γ1 = 0, 06; γ2 = 0, 04; λ1= 0, 4; λ2= 0, 3; δ1= 0, 3; δ2= 0, 4; φ = 0, 8; µm= 0, 302 [3], β = 0, 001 [2] e α = 0 todos em dias−1, e σ = 1, 0.

O trabalho encontra-se em fase inicial de desenvolvimento, e conclusões parciais sobre as condi¸cões de equil´ıbrio e estabilidade do ponto E4, e sobre sobre a influência dos parâmetros σ

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Referˆ

encias

[1] L. Esteva, C. Vargas, Coexistence of different serotypes of dengue virus,Journal of Mathe-matical Biology 46(1): 31-47, 2003.

[2] G. Chowell, P. Diaz-Duenas, J.C. Miller, A. Alcazar-Velazco, J.M. Hyman, P.W. Fenimore, C. Castillo-Chavez, Estimation of the reproduction number of dengue fever from spatial epidemic data, Mathematical Biosciences 208: 571-589, 2007.

[3] S.T.R. Pinho, C.P. Ferreira, L. Esteva, F.R. Barreto, V.C. Morato e Silva e M.G.L. Teix-eira, Modelling the dynamics of dengue real epidemics. Philosophical Transactions - Royal Society. Mathematical, Physical and Engineering Sciences 368: 1-15, 2010.

[4] T.N. Vilches, ”Modelos Matem´aticos e Computacionais em Dengue”, Trabalho de Con-clus˜ao de Curso, IBB-UNESP, 2012.