Eletromagnetismo
Condensadores ou Capacitores
Os condensadores se constituem num dos componentes mais importantes dos circuitos elétricos e eletrônicos.
A principal função de um capacitor é a de armazenar elétron. Por isso, uma das propriedades mais relevantes de um condensador é sua capacidade de armazenar cargas. Como as cargas produzem campos elétricos, e como campos elétricos equivalem à energia armazenada, um condensador armazena também energia.
Num esquema de um circuito eletrônico o condensador é representado pela figura ao lado. Essa figura é interessante porque ela ilustra muito bem o que é esse componente. Trata-se de duas placas constituídas de algum material bom condutor (um metal), colocadas a uma distância com um dielé-trico preenchendo o espaço entre elas. Na sua configuração geométrica mais simples, as placas são paralelas (como na figura). No entanto, podemos construir capacitores com placas esféricas, cilíndricas ou outras formas geométricas. Mediante esse arranjo podemos carregar o capacitor de forma que tenhamos, numa das placas, cargas positivas e, na outra, cargas negativas em igual quantidade. Carregar um capacitor significa armazenar cargas nele.
Como as cargas são armazenadas na superfície das placas, é importante que o espaço entre elas seja ocupado por um material isolante (um material dielétrico) para que ele impeça as cargas de fluírem entre as placas. Sem essa providência, teríamos uma contínua perda de cargas.
Um capacitor pode desempenhar vários papéis num circuito eletrônico. Ele pode ser útil sempre que houver necessidade de uma descarga rápida; por exemplo, em lâmpadas de flash instantâneo como as de máquinas fotográficas. Pode ser útil também para estabilizar uma linha que transporta uma corrente contínua, fornecendo cargas na baixa e retirando-as na alta (eliminando os picos). Tem amplo uso em circuitos de corrente alternada, especialmente na construção de osciladores eletrônicos.
A Garrafa de Leyden
O dispositivo precursor dos capacitores é a garrafa de Leyden. Ela foi inventada, entre os anos de 1745 e 1746, por um cientista alemão e, independentemente, por outro cientista de origem holandesa que residia na cidade de Leyden. A garrafa é constituída, basicamente, por um frasco de vidro (ou outro material dielétrico) no qual encaixamos duas placas ou chapas metálicas. A primeira placa é encaixada no frasco externamente, constituindo-se no elemento indutor. A segunda chapa metálica é encaixada externamente (veja figura). A garrafa original de Leyden ficava parcialmente
A chapa interna desempenha o papel de uma armadura indutora, enquanto a externa desem-penha o papel da armadura induzida. O dispositivo contém ainda uma haste metálica em contato com a armadura interna para que ela possa ser eletrizada comodamente.
É necessário carregar uma das placas. Na garrafa de Leyden original, carrega-se a placa interna, que se torna, assim, a placa indutora. A placa externa, por indução, adquirirá cargas de sinal oposto. Benjamim Franklin teria utilizado a garrafa de Leyden em seu famoso experimento utilizando uma pipa durante uma tempestade. Ele estava demonstrando a natureza elétrica dos raios e, com a pipa, evitava ser eletrocutado. Utilizava ele uma chave na extremidade da linha, que era ligada a uma garrafa de Leyden. Com isso, conseguiu carregar a garrafa de Leyden durante uma tempestade branda. Franklin foi bastante astuto ao perceber que poderia substituir as placas internas e externas da garrafa de Leyden por placas paralelas. Inventou, assim, o capacitor de placas paralelas.
Capacidade
Apesar de um capacitor fazer uso de dois condutores, o conceito de capacidade se aplica não só ao conjunto, mas se aplica igualmente quando se trata de apenas um condutor.
È importante lembrar que a superfície de um condutor é uma superfície equipotencial. Todos os pontos têm o mesmo potencial. Isso ocorre porque se houvesse uma diferença de potencial haveria necessariamente movimento de cargas, o que contradiz a hipótese que fazemos de equilíbrio na distribuição de cargas (ou seja, no estudo da eletrostática). Assim, quando nos referimos ao potencial do condutor, esse termo é bastante preciso, uma vez que só existe um valor para o potencial.
Definimos a capacidade (C) de um condutor como a relação entre a carga armazenada na sua superfície (Q) e o seu potencial (V), ou seja:
( 1 )
Como veremos a seguir, a capacidade de um condutor depende da sua geometria. Portanto, quanto maior o potencial, maior é a carga elétrica concentrada na sua superfície.
Pela expressão acima, conclui-se que a unidade da grandeza física capacidade, no sistema MKS, é o Coulomb/Volt (C/V). Damos a essa unidade o nome de Farad (F).
( 2 ) Q C V = 1 Farad = C/V
Diferença de Potencial entre Condutores
Dados dois condutores cujos potenciais são V1 e V2, pode-se medir a diferença de potencial entre eles através de um instrumento denominado Eletrômetro. Em particular, podemos estabelecer a diferença de potencial entre um determinado condutor e a terra.
Lembrando que o potencial é uma grandeza arbitrária, ele é definido exceto uma constante adi-tiva, podemos escolher o potencial da terra como igual a zero. Com essa escolha do potencial de referência adotado modo o potencial da terra, ao medir a diferença de potencial entre um condutor e a terra, estaremos medindo o potencial do condutor.
Condensadores
Como apontado na introdução, um condensador é constituído de dois condutores que não se tocam e são tais que existe um meio dielétrico separando-os. O meio dielétrico pode ser o próprio ar. No entanto, para evitar a descarga do capacitor, é preferível um meio com uma constante dielétrica alta.
A relação entre a carga armazenada e a diferença de potencial entre as armaduras (as superfícies dos condutores) define a capacidade do condensador:
( 3 )
O papel do dielétrico, além de evitar que as cargas venham a fluir, é o de aumentar a capacidade do capacitor. Como regra geral, a capacidade de um condutor pode ser escrita como
( 4 )
onde k é a constante dielétrica do meio e C0 é a capacidade do condensador quando o meio entre as armaduras é o vácuo.
A razão para o aumento da capacidade está relacionada com a capacidade do meio de se polarizar. Quanto mais polarizado for um meio, menor será o campo elétrico. Isso ocorre porque a carga de polarização na superfície gera um campo elétrico na direção oposta ao campo produ-zido pelas cargas nas armaduras. Isso acarreta uma redução no módulo do vetor campo elétrico.
Q C V = ∆ 0 C kC=
Como o campo elétrico se reduz por fator k [veja expressão (000)], o mesmo ocorrerá com a dife-rença de potencial. Dessa forma, a capacidade aumentará na mesma proporção.
Condensador Plano
É o condensador de geometria mais simples. Trata-se de dois planos de área total Ae mantidos a uma distância d. A densidade de cargas σ é constante.
De acordo com o teorema de Gauss, quando aplicado a apenas uma das placas, o campo elétrico tem o sentido de um segmento de reta, que é perpendicular à placa e tem o valor dado por:
( 5 )
onde ε é a permitividade do meio.
O sentido do vetor campo elétrico é no sentido da placa se a carga sobre a placa for negativa e vale o oposto no caso de placas com cargas positivas.
No caso de duas placas paralelas com cargas opostas, e aplicando o princípio da superposição, constatamos que
( 6 )
A direção do campo é perpendicular às placas e o sentido é o das cargas positivas para as cargas negativas.
É fácil verificar que o potencial entre as placas varia de acordo com a variável x, que determina a distância ao longo de um eixo perpendicular às placas e com origem na placa de carga negativa (veja figura), de acordo com a expressão:
2
E= σ
ε
Q
= na região entre as placas A
0 fora da região compreendida pelas placas
E E σ = ε ε =
( 7 )
Constata-se pela expressão acima que o potencial na placa negativa (quando x = 0) é nulo, uma vez que, por hipótese, ela está aterrada.
Assim, na posição da outra placa, determinada pelo valor:
( 8 )
o potencial nesse ponto é igual à diferença de potencial entre as placas e será dado por:
( 9 )
Assim, a capacidade de um capacitor plano, definida pela relação entre a diferença de potencial entre as placas dividida pela carga Q, será dada por:
( 10 )
A expressão acima mostra que, quanto maior for a constante dielétrica do meio, tanto maior será a capacidade do capacitor. Além disso, quanto maior for a área das placas, maior a sua capa-cidade (o que, ademais, é bastante intuitivo). Não tão óbvio é o fato de que basta reduzir a distância entre as placas para aumentarmos a capacidade.
( )
V x = σx ε x d=( )
d Qd V d A =σ = ε ε Q A C V d = = ∆ εCondensador Cilíndrico
O condensador pode ser constituído a partir de duas superfícies cilíndricas. Admitiremos que a superfície interna tenha raio a, enquanto a superfície externa tem raio b.
O condensador pode ser carregado ligando a placa (ou armadura) externa à terra. Admitindo-se que carregamos a armadura interna com carga por unidade de comprimento igual a λ, a carga externa será tal que sua densidade será −λ).
De acordo com o teorema de Gauss, quando aplicado à armadura interna, o campo elétrico a uma distância r do eixo do cilindro é dado pela expressão:
( 11 )
onde ε é a permitividade do meio.
O campo elétrico tem a direção radial (veja figura). Como a outra armadura não contribui para o campo elétrico para pontos no seu interior, concluímos que, na região entre as placas, o campo é dado por:
( 12 )
A expressão para o potencial elétrico como função da distância é:
( 13 )
onde a constante V0 é uma constante arbitrária.
A diferença de potencial entre as placas (definida como a diferença de potencial entre a placa carregada positivamente e a carregada negativamente) é dada pela expressão:
( 14 )
A capacidade por unidade de comprimento do capacitor cilíndrico é dada por:
( 15 )
( )
2 E r r λ = πε( )
para a < 2 E r r b r λ = < πε( )
2ln + para valores de r tais que r 0 1 2V r =λ V r r r< < πε
( ) ( )
ln /(
)
2 b a V V b V a λ ∆ = − = πε(
2)
ln / C b a πε =Condensador Esférico
Quando as duas armaduras do condensador são esféricas e concêntricas, dizemos que o condensador é esférico. Denominaremos os raios dessas esferas R1 (a interna) e R2 (a externa). Entre as placas do condensador admitiremos existir um meio dielétrico de constante dielétrica k.
Carregamos o condensador ligando a placa (ou armadura) externa à terra enquanto carregamos a armadura interna com carga total Q ( dessa forma, a carga externa total será −Q).
De acordo com o teorema de Gauss, quando aplicado à armadura interna de carga Q, o campo elétrico a uma distância r do centro comum das esferas é dado pela expressão:
( 16 )
onde ε é a permitividade do meio.
O campo elétrico tem a direção radial (veja figura). Como a outra armadura não contribui para o campo elétrico para pontos no seu interior, concluímos que, na região entre as placas, o campo é dado por:
( 17 )
A direção do campo é perpendicular às placas e o sentido é o das cargas positivas para as cargas negativas.
É possível verificar que o potencial entre as placas varia de acordo com a distância r (distância do centro que lhes é comum - veja figura), de acordo com a expressão:
( 18 )
onde a constante V0 é, até o momento, uma constante arbitrária.
Constata-se pela expressão acima que o potencial na placa negativa (quando x = 0) é nulo, uma vez que, por hipótese, ela está aterrada.
A diferença de potencial entre as placas (definida como a diferença de potencial entre a placa carregada positivamente e a carregada negativamente) é dada pela expressão:
( )
2 4 Q E r r = πε( )
4Q 2 para valores de tais que 1 2E r r r r r
r
= < < πε
( )
4Q + para valores de tais que 0 1 2V r V r r r r
r
= < <
( 19 )
Assim, a capacidade de um capacitor esférico será dada por:
( 20 )
Notamos que a capacidade varia linearmente com a constante dielétrica e ela pode ser aumen-tada através da redução da distância entre as placas.
Gostaríamos, finalmente, de comentar sobre a constante V0 da expressão (000). Observamos que, mediante a hipótese de que o elemento induzido (no caso, a armadura externa) esteja ligado à terra, devemos impor que o potencial na superfície de raio R1 deve ser nulo, isto é:
( 21 )
A condição acima, juntamente com a expressão (000), implica que o valor de V0 deve ser:
( 22 )
Escoamento de carga para a terra
A terra pode ser pensada como um capacitor com uma enorme capacidade. De fato, se pensarmos apenas no manto da terra, de cerca de vinte quilômetros, composta de basalto e granito, veremos que sua capacidade é inigualável. Diríamos, para efeitos práticos, que ela é infinita. Assim, ela tem grande capacidade de absorver cargas.
Por conta disso, ela é capaz facilmente de gerar regiões nas quais o potencial se anula. Dizemos que o potencial da terra é igual a zero na sua superfície.
Ao aproximarmos um corpo carregado de outro neutro, e ao ligarmos o último à terra, a carga de mesmo sinal do corpo carregado escoará para a terra.
( ) ( )
1 2 1 2 1 1 4 Q V V R V R R R ∆ = − = − πε 2 1 2 1 4 R R C R R = πε −( )
2 0 V R = 0 2 4 Q V R = − πεCondensador de Capacidade Variável
O condensador variável é muito útil nos circuitos eletrônicos, especialmente quando a corrente é variável. A sua utilidade reside no fato de que ele é feito de forma que sua capacidade varie ao toque de um botão (como aquele em que você sintoniza as estações de rádio). Como veremos depois, ao variamos a capacidade, alteramos a frequência de ressonância de um circuito. É assim que uma estação de rádio é sintonizada no seu aparelho receptor.
Um capacitor variável é mostrado na figura. Ele é constituído por um conjunto de placas paralelas que se alternam (veja esquematicamente na Figura 000). Sendo n o número de placas, teremos
n − 1 camadas de isolantes. O ponto relevante a ser considerado é o de que o conjunto se comporta
como n condensadores planos ligados em paralelo. Lembrando que a capacidade de um desses condensadores é
( 23 )
onde agora A é a área do isolante em contato com as placas, a capacidade do capacitor será igual a
n vezes a capacidade de um dos condensadores em paralelo. Escrevemos assim:
( 24 )
várias camadas, mas S deve então ser considerado como a área total do dielétrico.
Num capacitor variável, as placas metálicas são semicirculares de tal forma que os centros dos raios estejam ao longo de um segmento de reta. A metade das placas é fixa (digamos, as placas pares). A outra metade (as placas ímpares, por exemplo) é móvel. Essas placas são presas a uma haste metálica móvel que as une através dos seus centros. Ao girarmos essa haste móvel, todas as placas presas a elas giram. Ao girarem, alteramos a área da superfície e, consequentemente, a capacidade do condensador. 1 A C d ε = 1 A C nC n d ε = =
Carregando um Condensador
Pode-se carregar um capacitor de mais de uma forma; por exemplo, utilizando uma bateria. Nesse caso, a bateria é ligada em série com o capacitor. Ao ligarmos a bateria, forma-se no circuito uma corrente decrescente com o tempo. Essa corrente decorre do movimento dos elétrons. Quando as diferenças de potencial se igualam, cessa o movimento de cargas. Nesse ponto, o condensador estará totalmente carregado.
Enquanto um capacitor é carregado, os elétrons são levados, pela bateria, de uma das placas do capacitor para a outra placa. Isso deixará a placa da qual eles saíram carregada positivamente e a outra carregada positivamente.
Energia Armazenada
Um capacitor armazena energia elétrica. Isso ocorre porque, ao carregarmos um capacitor, realizamos trabalho. Com isso queremos dizer que a energia, de alguma forma, foi consumida para carregar o capacitor.
Pode-se determinar a energia armazenada num capacitor de uma das duas formas equivalentes. Na primeira forma, integramos a densidade de energia na região entre as placas no capacitor, pois é nesse região que a energia está distribuída. Na outra forma, consideramos a energia associada a um elemento de carga infinitesimal e depois efetuamos a soma sobre toda a distribuição de cargas. Num capacitor consideramos que a placa negativa está a um potencial zero. Assim, basta con-siderarmos as cargas positivas na outra placa, O incremento de energia (δE), ao aumentarmos a carga de um capacitor por uma quantidade infinitesimal de carga δQ, é dado pela expressão:
( 25 )
Assim, a energia armazenada no capacitor é obtida através da soma das cargas desde o valor zero até o valor final (Q), isto é:
( 26 ) Q E QV Q C δ = δ = δ 0 Q Q E dQ C ′ ′ =
∫
cujo resultado é:
( 27 )
A energia armazenada não está concentrada em alguma região em particular do espaço. Ela está distribuída na região entre as placas do condensador. No caso do capacitor de placas paralelas, a energia é distribuída uniformemente no espaço com uma densidade dada por:
( 28 )
Assim, a energia total será definida pela densidade uniforme dada acima multiplicada pelo volume. Obtemos o mesmo resultado anterior, isto é:
( 29 )
Associação de condensadores
Podemos associar capacitores de três formas distintas: em paralelo ou em série e mista. Em qualquer dos casos, coloca-se o problema de determinar a capacidade equivalente do sistema.
Isso será considerado a seguir. Nos dois primeiros casos, consideraremos a associação de N capa-citores, onde N é um número arbitrário.
Associação em paralelo
Nesse caso, estamos diante de um sistema composto por N condensadores, de forma que todas as armaduras indutoras estão ligadas entre si. Mediante tal interligação, essas armaduras se constituem numa armadura indutora da associação.
Como todos os capacitores estão sujeitos à mesma diferença de potencial, vale para o i-ésimo capacitor a seguinte relação:
( 30 ) 2 2 1 2 2 Q E CV C = = 2 2 1 1 2 2 E E Vd δ = ε = ε 2 2 2 1 1 1 2 2 2 V A E Ad V CV d d ε = ε = = i i i Q V V C ∆ = ∆ =
E, portanto, a carga no i-ésimo capacitor é dada por.
( 31 )
Para carregar os N capacitores, foi empregada uma carga elétrica total Q. Essa carga divide-se pelos diversos condensadores da associação. Assim, escrevemos:
( 32 )
Lembrando a relação (000), obtemos:
( 33 )
Imaginemos agora um condensador equivalente a essa associação, ou seja, um capacitor carre-gado com a mesma carga Q, e que tenha suas armaduras sujeitas à mesma diferença de potencial
∆V. Esse condensador equivalente terá uma capacidade C. Portanto, a capacidade equivalente (C)
dessa associação é:
( 34 )
Associação em série
Nesse tipo de associação, a armadura induzida de um capacitor é ligada diretamente à armadura indutora do capacitor seguinte (veja figura).
Como no caso anterior, consideraremos N condensadores, onde o i-ésimo condensador está sujeito a uma diferença de potencial designada por:
( 35 )
Nessa notação, V0 = V é o potencial ao qual está sujeita a armadura indutora do primeiro capacitor. A armadura induzida do último capacitor está a um potencial VN (veja figura). A armadura induzida do primeiro está sujeita ao mesmo potencial da armadura indutora do segundo. E assim por diante.
i i Q = ∆VC 1 2 3 N Q Q Q Q= + + + ⋅⋅⋅⋅⋅ +Q
(
)
1 2 3 N 1 2 3 N Q C V C V C V= ∆ + ∆ + ∆ + ⋅⋅⋅⋅⋅ +C V∆ = C C C+ + + ⋅⋅⋅⋅⋅ +C ∆V 1 2 3 N C C C C= + + + ⋅⋅⋅⋅⋅ +C 1 i i i V V V− ∆ = −Se a primeira armadura, cujo potencial é V0 = V, for carregada com uma carga Q, a carga induzida na segunda será de mesmo módulo, mas de sinal oposto, −Q. Assim, como resultado do desloca-mento de cargas positivas para essa armadura, a carga da primeira armadura indutora do segundo condensador terá sinal positivo. O argumento se aplica às demais armaduras, as quais têm cargas com sinais alternados.
A diferença de potencial entre a armadura induzida do último condensador e a armadura indu-tora do primeiro condensador é dada por:
( 36 )
Donde inferimos que:
( 37 )
E, portanto, a capacidade equivalente é:
( 38 )
Forças sobre as Placas de um Capacitor
Além de poder determinar a quantidade de energia elétrica armazenada no espaço, o uso das expressões para a energia pode ser útil para determinar a força que age sobre uma dada configu-ração de cargas.
Consideremos o caso das placas de um capacitor. A pergunta é como determinar a força de atração sobre uma das placas (já que, pelo princípio da ação e reação, a força sobre a outra placa fica também determinada) como resultado da presença da outra placa carregada com carga de sinal oposto. A força será calculada admitindo-se uma carga Q fixa sobre as placas.
Como regra geral, podemos determinar a força a partir da expressão para o trabalho realizado pela força exercida sobre a placa, ao efetuarmos um deslocamento infinitesimal dz
( 39 ) 0 1 2 3 N N V V V V V V V ∆ = − = ∆ + ∆ + ∆ + ⋅⋅⋅⋅⋅ + ∆ 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 N N Q Q Q Q Q V Q C C C C C C C C C ∆ = + + + ⋅⋅⋅⋅⋅ + = + + + ⋅⋅⋅⋅⋅ + = 1 2 3 1 1 1 1 1 N C C C= + +C + ⋅⋅⋅⋅⋅ +C dτ =Fdz
Tendo em vista que ao trabalho realizado corresponde uma variação de energia, dU, podemos escrever:
( 40 )
Como a carga na placa do capacitor não se alterou, a variação de energia ocorre como consequência da variação da capacidade do capacitor. Por isso, escrevemos:
( 41 )
E, portanto, a força sobre uma das placas do capacitor será dada por:
( 42 )
No caso de um capacitor de placas paralelas podemos escrever, a partir de (000), o inverso da capacidade em função da variável z, representando a distância agora variável entre as placas, como:
( 43 )
Donde, utilizando (000), obtemos para a força sobre as placas de um capacitor a seguinte expressão:
( 44 )
Na realidade, a expressão acima dá o módulo da força. A direção é a de um eixo perpendicular às placas e o sentido é de uma placa para outra, uma vez que a força é de atração.
dU Fdz= 2 1 1 2 dU Q d C = 2 1 1 2 d F Q dz C = 1 z C =εA 2
