CONTROLE NEBULOSO ROBUSTO BASEADO NAS ESPECIFICAÇÕES DAS MARGENS DE GANHO E FASE

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São João del-Rei - MG - Brasil

CONTROLE NEBULOSO ROBUSTO BASEADO NAS ESPECIFICA ¸C ˜OES DAS

MARGENS DE GANHO E FASE

Joabe Amaral da Silva∗, Ginalber Lu´ıs de Oliveira Serra† ∗_{Universidade Federal do Maranh˜}_{ao - UFMA}

Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia de Eletricidade - PPGE/UFMA Av. dos Portugueses, s/n Campus Universitário do Bacanga, São Lu´ıs, MA, Brasil

†_{Instituto Federal de Educa¸c˜}_{ao, Ciência e Tecnologia - IFMA} Laboratório de Inteligência Computacional Aplicada a Tecnologia Av. Getúlio Vargas, No 04, Monte Castelo - São Lu´ıs, MA, Brasil

Emails: joabeamaral@gmail.com, ginalber@ifma.edu.br

Abstract— The proposed methodology is a robust fuzzy control model based design. In this paper, the robust fuzzy control design based on gain and phase margins specifications for nonlinear systems, in the continuous time domain, is proposed. A mathematical formulation based on Takagi-Sugeno fuzzy model structure as well as the PDC strategy is presented. Analytical formulas are deduced for the sub-controllers parameters, in the robust fuzzy controller rules base, according to the fuzzy model parameters of the fuzzy model plant to be controlled. Results for the necessary and sufficient conditions for the fuzzy controller design, from the proposed robust methodology, with one axiom and two theorems are presented. Simulation results, based on robust methodology, for a single link robotic manipulator are presented.

Keywords— Robust Control, Fuzzy Control, Fuzzy Systems and PDC Strategy.

Resumo— A metodologia proposta consiste no projeto de controle nebuloso robusto baseado em modelo. ´

E proposto um método de controle nebuloso robusto baseado nas especifica¸cões das margens de ganho e fase para sistemas não-lineares, no dom´ınio do tempo cont´ınuo. Uma formula¸cão matemática baseada na estrutura do modelo nebuloso Takagi-Sugeno bem como na estratégia PDC, também é apresentada. Fórmulas anal´ıticas são deduzidas para o cálculo dos parâmetros dos sub-controladores, na base de regras do controlador nebuloso robusto, de acordo com os parâmetros do modelo nebuloso da planta a ser controlada. Resultados para as condi¸cões necessárias e suficientes para o projeto do controlador nebuloso, a partir da metodologia robusta proposta, com um axioma e dois teoremas são apresentados. Resultados de simula¸cões para um manipulador robótico são apresentados.

Palavras-chave— Controle Robusto, Controle Nebuloso, Sistemas Nebulosos e Estrat´egia PDC. 1 Introdu¸c˜ao

No projeto de sistemas de controle clássico, a pri-meira etapa é estabelecer um modelo matemá-tico adequado para descrever as caracter´ısticas da planta controlada (Takagi and Sugeno, 1985). En-tretanto, em situa¸cões práticas, tal requisito não está acess´ıvel em virtude dos sistemas dinâmicos reais serem, em sua maioria, sistemas não-lineares, ou incertos. O que torna o projeto dos sistemas de controle muito mais complexo para tais sistemas (Cetin and Demir, 2008; Dong et al., 2009; Pel-ladra et al., 2009). Este fato tem motivado o uso dos sistemas nebulosos no desenvolvimento de sistemas de controle baseado em modelo. Neste contexto, o controle nebuloso tem se mostrado uma alternativa viável ao controle convencional de processos industriais com parâmetros variantes no tempo, não-lineares e/ou com informa¸cões impre-cisas (Cheng et al., 2009; Wen-Xu et al., 2009). Os controladores nebulosos são apropriados quando processos estruturalmente desconhecidos ou pouco conhecidos devem ser controlados. Para estes sis-temas a aplica¸cão de um controlador nebuloso ofe-rece um desempenho semelhante ou superior aos controladores convencionais, ressaltando a simpli-cidade de implementa¸cão e interpretabilidade

ca-racter´ıstica dos sistemas nebulosos. A metodolo-gia proposta consiste no projeto de controle ne-buloso robusto baseado em modelo. Para tanto, é proposto um método de controle nebuloso ro-busto baseado nas especifica¸cões das margens de ganho e fase para sistemas não-lineares, no dom´ı-nio do tempo cont´ınuo. Resultados para as con-di¸cões necessárias e suficientes para o projeto do controlador nebuloso, a partir da metodologia ro-busta proposta, com um axioma e dois teoremas são apresentados. Resultados de simula¸cões para um manipulador robótico são apresentados.

2 Metodologia de Controle Nebuloso Robusto Baseado em Modelo O método de controle baseado em modelo uti-lizado neste artigo, está ilustrado na figura 1. O procedimento adotado consiste inicialmente na obten¸cão de um modelo dinâmico nebuloso com uma estrutura Takagi-Sugeno (TS), utilizando os dados experimentais da planta a ser controlada e de uma metodologia de agrupamento nebulosa (Gustafson-Kessel). Uma vez validado o mode-lo obtido, este será utilizado para o projeto do controlador PID nebuloso, a partir das

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especifi-ca¸cões das margens de ganho e fase, via estraté-gia de compensa¸cão paralela e distribu´ıda (PDC). A estratégia PDC oferece um procedimento para projetar um controlador nebuloso baseado em mo-delo, onde a planta a ser controlada é representada por um modelo nebuloso TS, tal que cada sub-controlador, na base de regras do controlador ne-buloso, é projetado, correspondentemente, a par-tir de um sub-modelo na base de regras do modelo nebuloso TS da planta a ser controlada. O con-trolador nebuloso robusto projetado e o modelo nebuloso TS da planta a ser controlada, compar-tilham os mesmos conjuntos nebulosos, no antece-dente (Wang et al., 1995). Nas subse¸cões a seguir apresenta-se os detalhes da metodologia adotada para a modelagem nebulosa.

Projeto do Experimento Dados Experimentais Estrutura do Modelo Agrupamento Nebuloso Estimação de Parâmetros Conhecimento Prévio Cálculo do Modelo Validação do Modelo

ADEQUADO: Use este ! INADEQUADO: Revise

Estratégia PDC

Controlador

Nebuloso Especificações das Margens de Ganho e Fase

Figura 1: Diagrama do sistema de controle

2.1 Controle Nebuloso Robusto Baseado nas Es-pecifica¸cões das Margens de Ganho e Fase O sistema de inferência nebuloso TS para o mo-delo da planta a ser controlada, Gp(s), apresenta na i|[i=1,2,...,l]_{-ésima regra, sem perda de} generali-dade a seguinte estrutura:

R(i): SE ˜τ ´E Fi k|˜τ E ˜τ′ E G´ i k| ˜τ′ E · · · · · · ˜KpE H´ _{k| ˜}i_K p ENT˜AO Gip(s) = K_ip (1 + sτi_{) (1 + sτ}′i₎e −sL ₍₁₎

Onde L ´e o tempo morto da planta. A constante de tempo ˜τe ˜τ′_{, onde ˜}_τ_{≥ ˜}_τ′_{, e o ganho ˜}_K

p, repre-sentando as variáveis lingü´ısticas dos antecedentes do modelo nebuloso. Seus universos de discurso são, respectivamente Uτ˜, Uτ˜′ e UK˜p, particionados

por conjuntos nebulosos representando os termos ling¨u´ısticos. A vari´avel ˜τt|[t=1,2,...,n] pertence ao conjunto nebuloso Fi

k|˜τt com um valor µ i Fk|˜τt

de-finido por uma fun¸c˜ao de pertinˆencia µi ˜ τt : R → [0, 1], com µi F_k|˜ τt ∈ µ i F1|˜τt ,µ i F2|˜τt,µ i F3|˜τt,. . .,µ i F p ˜_{τt |}_τt˜ ,

onde pτ˜t é número de parti¸cões do universo de

discurso associado à variável lingü´ıstica ˜τt. A variável ˜τ′

t|[t=1,2,...,n] pertence ao conjunto ne-buloso Gi k| ˜τ′ t com um valor µ i G k|τ ′ t˜ definido por

t é número de parti¸cões do universo de

discurso associado à variável lingü´ıstica ˜τ′

t. A

vari´avel ˜K_pt|[t=1,2,...,n] _{pertence ao conjunto} ne-buloso Hi

k| ˜K_{p t} com um valor µ i H_{k| ˜}

Kpt definido por

uma fun¸c˜ao de pertinˆencia µj_K_˜

p t : R → [0, 1], com µjH k| ˜_Kpt ∈ µi H 1| ˜_Kpt,µ i H 2| ˜_Kpt,µ i H 3| ˜_Kpt,. . .,µ i H p ˜ Kpt| ˜Kpt , onde pK˜_{p t} é número de parti¸cões do universo de discurso associado à variável lingü´ıstica ˜K_pt.

O sistema de inferência nebuloso TS proposto para o controlador, Gc(s), considerando-se a de-fini¸cão da estratégia PDC, na qual o controlador e a planta a ser controlado compartilham as mes-mas premissas no antecedente da base de trgras nebulosas, apresenta na j|[j=1,2,...,l]_{-ésima regra,} sem perda de generalidade, a seguinte estrutura:

R(j): SE ˜τ ´E F_k|˜jτ E ˜τ ′ _{E G}_´ j k| ˜τ′ E · · · · · · ˜Kp E H´ j k| ˜Kp ENT˜AO Gj c(s) = Kcj 1 + sT_Ij 1 + sT_Dj sT_Ij (2)

O grau de ativa¸cão hj para a regra j, é dado por: hj ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K p = µj_F_k|˜ τ ∗ ⊗ µ j G_k|˜ τ ′∗ ⊗ µ j H_{k| ˜}_K∗ p (3) O grau de ativa¸cão normalizado para a regra j, é definido por: γj ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K p = hj ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K p l X λ=1 hλ ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K p (4)

e, esta normaliza¸c˜ao implica em: l X j=1 γj ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K p = 1 (5)

Portanto, o modelo nebuloso TS para o contro-lador, Gc(s), ´e uma soma ponderada dos sub-controladores lineares locais:

Gc ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K p, s = l X j=1 γj ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K p × ×Kcj 1 + sTIj 1 + sTDj sTIj (6)

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O modelo nebuloso no ramo direto da malha fechada, considerando a planta a ser controlada, e o controlador, ´e: Gc(˜τ , ˜τ′, ˜Kp, s)Gp(˜τ , ˜τ′, ˜Kp, s) = = l X j=1 l X i=1 γi ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K p γj ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K p × × KcjK i p 1 + sTIj 1 + sTDj sTIj(1 + sτi) (1 + sτ′i) e−sL (7)

2.2 Estabilidade Robusta Baseada nas Especifi-ca¸cões das Margens de Ganho e Fase Após a defini¸cão de Gpe Gc, definem-se, agora, as margens de ganho e fase por Am and φm, respec-tivamente. Das defini¸cões básicas de margens de ganho e fase, são obtidas as seguintes equa¸cões:

arghGc(˜τ , ˜Kp, jωp)Gp(˜τ , ˜Kp, jωp) i = −π (8) Am= 1 Gc(˜τ , ˜Kp, jωp)Gp(˜τ , ˜Kp, jωp) (9) Gc(˜τ , ˜Kp, jωg)Gp(˜τ , ˜Kp, jωg) = 1 (10) φm= arg h Gc(˜τ , ˜Kp, jωg)Gp(˜τ , ˜Kp, jωg) i + π (11) onde a margem de ganho é dada pelas equa¸cões (8) e (9) e a margem de fase pelas equa¸cões (10) e (11), respectivamente. A freqüência ωp, na qual a curva de Nyquist tem uma fase de −π, é a freq¨ uên-cia de ultrapassagem de fase e a freqüência ωg, na qual, a curva de Nyquist tem uma amplitude de 1 é a freqüência de ultrapassagem de ganho. Conside-rando a estratégia PDC, nos pontos de opera¸cão, assume-se que o parâmetro TDj, do controlador ne-buloso TS é igual à menor constante de tempo τ′i do seu respectivo sub-modelo nebuloso da planta a ser controlada. Assim, substituindo-se a equa¸cão (7) em (8) a (11), tem-se que: l   l X j=1 arctan ωpTIi − arctan ωpτi − π 2− −ωgL] = −π (12) Am= 1 l X i=1 l X j=1 γi ˜ τ , ˜Kp γj ˜ τ , ˜Kp K_cjK_pi ωpTIj ! × × 1     v u u u t ωpT j I 2 + 1 (ωpτi)2+ 1     (13) l X i=1 l X j=1 γi ˜ τ , ˜Kp γj ˜ τ , ˜Kp K_cjK_pi ωgT_Ij ! × ×     v u u u t ωgT_Ij 2 + 1 (ωgτi) 2 + 1     = 1 (14) φm= l " _l X i=1 arctan ωgTIi − arctan ωgτi − π 2 − ωgL i + π (15)

Para um determinado sub-modelo linear, Gip(s, ˜K

i p,τ˜

i_{, L), e especifica¸c˜oes de margem de} ganho fase (Am, φm), as equa¸c˜oes (12)-(15) po-dem ser utilizadas para determinar os parˆ ame-tros dos sub-controladores, Gj

c(s, K j c, T j I, T j D), na frequência de ultrapassagem (ωp, ωg) numerica-mente, mas não analiticanumerica-mente, por causa da pre-sen¸ca da fun¸cão arctan. Todavia, uma solu¸cão anal´ıtica aproximada pode ser obtida se fizermos a seguinte a aproxima¸cão para a fun¸cão arctan:

arctan x ≈        1 4πx (|x| ≤ 1) , 1 2π− π 4x (|x| > 1) (16)

A solu¸cão numérica das equa¸cões (12)-(15) mostra que para τi_>_{3L, x ≫ 1, em que x pode} ser ωpTIj, ωpτi, ωgTIjou ωgτi. Portanto, usando a aproxima¸cão dada por (16) para a fun¸cão arctan para o caso |x| > 1, as equa¸cões (13) e (14) são dadas por: l X i=1 l X j=1 γi ˜ τ , ˜Kp γj ˜ τ , ˜Kp ×Am ωp Kj cK i p τi ! = 1 (17) l X i=1 l X j=1 γi ˜ τ , ˜Kp γj ˜ τ , ˜Kp × K j cKpi ωgτi ! = 1 (18) respectivamente. Usando a mesma aproxima¸cão, as equa¸cões (12) e (15) são dadas por:

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l " _l X i=1 π 4ωpτi − π ωpTIi −π 2 − ωpL # = −π (19) φm= l " l X i=1 π 4ωgτi − π ωgTIi −π 2−ωgL # + π (20) respectivamente. Portanto, a solu¸c˜ao anal´ıtica para o ajuste dos parˆametros dos sub-controladores, Gi

c(s)

[i=1,2,...,l]_{, de acordo com as equa¸c˜}_{oes (17)-(20),} ´e dada por:

TDj = τ ′_i (21)         l X i=1 γi ˜ τ , ˜Kp K_pi τi l X i=1 γi ˜ τ , ˜Kp K_pi τi l X i=1 γi ˜ τ , ˜Kp K_pi τi l X i=1 γi ˜ τ , ˜Kp K_pi τi . . . l X i=1 γi ˜ τ , ˜Kp K_pi τi . . . l X i=1 γi ˜ τ , ˜Kp K_pi τi               γ1 ˜ τ , ˜Kp 0 0 0 0 . .. 0 0 0 0 0 γl ˜ τ , ˜Kp              K1 c Kc2 .. . Kl c         =    ωp Am ωg    (22) e     lπ ωp l π ωp . . . l π ωp lπ ωg l π ωg . . . l π ωg              TI1 −1 TI2 −1 .. . TIl −1          = =         l ( l X i=1 _π 4ωpτi −ωpL − π 2 ) + π l ( l X i=1 π 4ωgτi −ωgL − π 2 ) −φm+ π         (23)

onde ωp´e dado por:

ωp= Amφm+ 1 2πAm(Am−1) (A2 m−1) L (24) 2.3 An´alise de Estabilidade Robusta

Para o projeto do controlador nebuloso robusto, a partir das equa¸cões (22)-(23), respectivamente, e de acordo com as especifica¸cões de margens de ganho e fase, os seguintes axioma e teoremas são propostos:

Axioma 1: Os sub-modelos na base de regras do modelo nebuloso TS da planta a ser controlada devem ser necessariamente est´aveis;

Teorema 1: Cada sub-controlador

Gj c(s)

[j=1,2,...,l] _{da base de regras do}

controla-dor nebuloso robusto, garante as especifica¸c˜oes de margem de ganho e fase para o respectivo sub-modelo Gi

p(s)

[i=1,2,...,l] _{, com} _{i = j, na base de regras do}

modelo nebuloso TS da planta a ser controlada; Prova: O grau de ativa¸c˜ao normalizado, em um dado

ponto de opera¸c˜ao, para a base de regras do controla-dor nebuloso robusto ´e,:

l X i=1 γj ˜ τ , ˜τ′_K˜_p = 1 (25)

O grau de ativa¸c˜ao normalizado, para uma simples regra p ativada, onde 1 ≤ p ≤ l, ´e dado por:

0 + . . . + γp ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p_{+ 0 + . . . + 0 = 1} ₍₂₆₎ γp ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p_{= 1} ₍₂₇₎ Baseado na estrat´egia de compensa¸c˜ao paralela e dis-tribu´ıda, temos:     γp ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p _Kp p τp . . . γp ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p _Kp p τp γp ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p _Kp p τp . . . γp ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p _Kp p τp     ×         0 0 . . . 0 0 γ1 ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p _{. . .} ₀ 0 0 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . 0                0 Kp c 0 .. . 0        = =   ωp Am ωg   (28)

Resolvendo a equa¸c˜ao (28) para Kc, temos: γp ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p K_pp τp γp ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p (Kcp) = ωp Am (29) e γp ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p K_pp τp γp ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p (Kpc) = ωg (30) Isolando Kp

c, na equa¸c˜ao (29), tem-se que:

Kcp= τp Kpp ωp Am    1 γp ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p 2    (31)

Para obter o parˆametro TIp, em um dado momento, como definido anteriormente, tem-se que:

    lπ ωp . . . lπ ωp lπ ωg . . . lπ ωg            0 (TIp)−1 0 .. . 0        = =       l _π 4ωpτp −ωpL − π 2 + π l π 4ωgτp −ωgL − π 2 + π − φm       (32)

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São João del-Rei - MG - Brasil O qual resulta em l π ωp 1 TIp = l π 4ωpτp −ωpL − π 2 + π (33) e l π ωg 1 TIp = l π 4ωgτp −ωgL − π 2 + π − φm (34) Isolando φm, na equa¸c˜ao (34), temos que:

φm= l π 4ωgτp − π ωg 1 TIp −ωgL − π 2 + π (35) e, γp ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p_γ_p_{τ , ˜}_˜ _τ′_{, ˜}_K_p K p pAm τp_ω p ×   τp_ω p Kp pAm 1 γp ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p_γ_p_˜_{τ , ˜}_τ′_{, ˜}_K_p  = 1 (36) Portanto, Am= Am (37)

Assumindo, em um dado momento, a ativa¸c˜ao total de uma simples regra p, como definido previamente, na equa¸c˜ao (31), temos, φm= l π 4ωgτp − π ωgTIp −π 2−ωgL + π (38)

Comparando a equa¸c˜ao (38) com (35), tem-se:

φm= φm (39)

2

Teorema 2: Cada sub-controlador,

Gj c(s)

[j=1,2,...,l]_{, nebuloso robusto na base de regras} do controlador nebuloso robusto, garante a estabili-dade para todos os sub-modelos,Gi

p(s)

[i=1,2,...,l]_{, da} planta na base de regras do modelo nebuloso da planta ser a controlada.

Prova: A fun¸cão de transferência para a malha fe-chada é a seguinte:

GM F s, ˜τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p = l X j=1 l X i=1 γj ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p γi ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p × × K j cKpi 1 + sT j I e−sL h sTIj 1 + sτi+ KcjK i p 1 + sTIj i (40)

Para que o sistema, com o controlador nebuloso ro-busto, seja estável, a equa¸cão caracter´ıstica da fun¸cão de transferência a malha-fechada, na equa¸cão anterior, deve possui ra´ızes (pólos) no semi-plano esquerdo do plano-s (parte real negativa). Portanto, temos que:

l X i=1 l X j=1 γi ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p γj ˜ τ , ˜τ′_{, ˜}_K_p h τiTIjs 2₊ +Tj I + K i pKcjTIj s +Ki pKcj i = 0 (41)

Pela aplica¸c˜ao do Crit´erio da Estabilidade de Routh (Franklin et al., 1986) em (41), tem-se,

s2 s1 s0 τi_Tj I K i pKcj (TIj+ K i pKcjT j I) 0 Ki pKcj (42)

E, ´e necess´ario que todos os termos da primeira coluna sejam positivos: τiTIj> 0 (43) (Tj I+ K i pK j cT j I) > 0 (44) KpiK j c> 0 (45)

Uma vez que os parˆametros dos sub-modelos est´aveis na base de regras do modelo nebuloso da planta a ser controlada (τi_{, τ}′i _{e K}i

p) de acordo com o axioma 1, são valores positivos, e as especifica¸cões de margem de ganho e fase (Ame φm) são, também, valores posi-tivos, resulta que, baseado nas equa¸cões (21)-(22), os valores dos parâmetros do controlador PID nebuloso robusto (Kj

c, TDj e T j

I) são positivos. Embora não seja tão comum, o sistema é estável se todos os termos da primeira coluna, do arranjo tabular de Routh, forem negativos. Caracterizando que não ocorre nenhuma altera¸cão no sinal dos elementos da primeira coluna. Portanto, a partir das equa¸cões (43)-(45), pode-se cluir que cada controlador na base de regras do con-trolador nebuloso robusto, garante a estabilidade para todos os sub-modelos da planta na base de regras do modelo nebuloso da planta a ser controlada, como de-sejado.

2 3 Resultados Computacionais

Esta se¸c˜ao descreve os resultados experimentais do m´etodo de controle nebuloso robusto proposto neste artigo.

3.1 Descri¸c˜ao do Sistema Dinˆamico

Para valida¸cão o método de controle nebuloso robusto proposto neste artigo, utilizou-se o um modelo nebu-loso, baseado em agrupamento nebuloso Gustafsson-Kessel obtido para um manipulador robótico, cujo comportamento é descrito pela seguinte equa¸cão di-ferencial:

ml2θ + Bl ˙θ + mglsin(θ) = u¨ (46) onde m = 1kg é a massa, l = 1m é comprimento do bra¸co do manipulador, g = 9.81m/s2 _{é a acelera¸c˜}_ao da gravidade, B é é o fator de amortecimento, cuja varia¸cão paramétrica vai de 0.01 a 2 kgm2_{/s e u é} a variável de entrada, ou seja, o torque aplicado no manipulador. O ângulo θ é a variável de sa´ıda, ou seja, a posi¸cão angular do manipulador.

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Baseado na estratégia PDC, cada regra de con-trole na base de regras do controlador nebuloso ro-busto é projetada a partir da regra correspondente do modelo nebuloso TS da planta a ser controlada. O controlador nebuloso projetado compartilha os mes-mos conjuntos nebulosos como o modelo nebuloso no antecedente das regras nebulosas. Para o projeto do controlador nebuloso robusto, diferentes margens de ganho e fase foram especificadas. O tempo de atraso para o processo foi de 0.1s e aproxima¸cão de Padé foi de 2a ordem. A tabela 1 mostra as margens de ga-nho e fase resultantes dos controladores projetados a partir das margens de ganho e fase especificadas.

Especificado Resultante Am φm A∗m φ∗m 6.02 45 12.62 48.86 9.54 45 12.9 20.23 13.98 45 13.8 36.58 9.54 60 13.7 60.28 13.98 60 14.1 66.30

Tabela 1: Margens de ganho e fase obtidos a partir das especifica¸c˜oes.

Observa-se na tabela 1, que ocorrre uma diferen¸ca entre as margens de ganho especificadas e as resultan-tes nas linhas 1, 2 e 4. Assim como as margens de fase nas linhas 2 e 3. Isto se deve ao fato das suces-sivas aproxima¸cões efetuadas ao longo do processo de modelagem e controle, para o manipulador robótico. O que nos remete ao de uso de Algoritmos Genéticos para otimiza¸cão da metodologia de controle proposta. A figura 2 mostra o desempenho do controlador nebu-loso robusto baseado nas especifica¸cões das margens de ganho e fase. 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 t[s] Amplitude [kgm 2/s]

Coeficiente de Atrito − B (Variação ao longo do tempo))

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo [s]

Posição angular [Rad]

Resposta do Sistema de Controle

Referência Am: 4 e Om: 45º Am: 4 e Om: 60º Am: 3 e Om: 60º

Figura 2: Varia¸cão paramétrica de B e Resposta do sistema de controle - posi¸cão angular.

4 Conclus˜ao

A metodologia proposta consiste no projeto de con-trole nebuloso robusto baseado em modelo. Neste ar-tigo foi proposto um método de controle nebuloso ro-busto baseado em modelo por meio de uma estrutura nebulosa Takagi-Sugeno, baseado nas especifica¸cões das margens de ganho e fase. A metodologia proposta se caracteriza pela implementa¸cão do conhecimento do especialista, tanto na fase de obten¸cão do modelo da planta a ser controlada, como no projeto e análise do controlador nebuloso. Diante dos resultados encontra-dos, observou-se que o controlador nebuloso robusto, baseado nos axiomas e teoremas propostos, garante a estabilidade robusta, uma vez que a formula¸cão e a análise foi feita no dom´ınio da frequência, baseado nas especifica¸cões das margens de ganho e fase.

Agradecimentos

Os autores agradecem ao Conselho Nacional de De-senvolvimento Cient´ıfico e Tecnol´ogico (CNPq) pelo suporte financeiro `a pesquisa.

Referˆencias

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