PQI – 3303 – Fenômenos de Transporte III
Departamento de Engenharia Química da EPUSP
1. Fluxos Difusivos e Globais
Considere um fluido (meio contínuo) constituído de N componentes (multicomponente). Admite-se que o meio é a superposição de N
componentes. Caracteriza-se o escoamento pela velocidade
v
, docentro de massa.
Expressa-se a equação da continuidade (de conservação) da espécie química i por: i i i i i
r
J
v
ρx
t
x
ρ
t
x
ρ
div
div
D
D
[1]Da observação de Lagrange, tem-se:
i i i
J
x
r
div
t
D
D
[2]E da observação de Euler, tem-se:
i i
i ix
J
r
t
x
v
ρ
div
ρ
[3] in é o fluxo mássico global de i (kg/m2.s), que considera o
transporte total (convectivo + difusivo) de i, conforme expresso abaixo: i i i i i
x
J
J
n
ρ
v
ρ
v
[4]Define-se a velocidade da espécie i pela relação:
i i i
n
ρ
v
[5]onde: i é concentração mássica de A e vi a velocidade da espécie i.
O fluxo mássico global (todos os componentes) é calculado pela somatória:
v
ρ
v
ρ
N i i i N i in
n
[6]Sabendo-se que
v
é a velocidade do centro de massa e aconcentração mássica total. Tem-se, portanto, para a velocidade do centro de massa:
N i i i N i i i N i i iv
x v
ρ
ρ
v
ρ
ρ
1
v
[7]Das equações [4] e [6], tem-se:
i i i
n
x
J
n
[8]E das equações [4] e [5], tem-se:
J
v
v
Resultando para o fluxo mássico difusivo a expressão:
v
v
J
i
i
i
[10]Como conseqüência, tem-se:
N i N i N i i i i i N i i i N i iv
v
v
v
v
v
J
0
[11]No caso binário (A/B), tem-se para expressão [11]:
B A B A N i i
J
J
J
J
J
0
[12]Aplicando-se a “lei” de Fick, dada por:
A AB A
ρ
D
gr
a
d
x
J
[13] B Bx
J
ρ
D
BAgr
a
d
[14] Tem-se de [12]:0
d
a
gr
D
ρ
d
a
gr
D
ρ
AB A
BA
x
x
B
1
0
d
a
gr
D
ρ
d
a
gr
D
ρ
AB A
BA
x
x
A0
d
a
gr
D
ρ
d
a
gr
D
ρ
AB A
BA
x
x
AObtém-se, assim, o seguinte resultado fundamental:
BA AB
D
D
[15]Todo o desenvolvimento e equacionamento apresentado nesta aula pode ser feito, analogamente, para os fluxos molares.
A equação de continuidade da espécie química i (equação de conservação) é expressa em termos molares por:
i i i i i
x
x
I
R
x
~
~
div
~
v
~
ρ~
div
t
~
ρ
t
D
~
D
[16] i i i ix
I
R
x
~
)
~
~
v
~
ρ~
(
div
t
~
ρ
[17] Assim, tem-se, para o fluxo molar total do componente i:i i i i i i i i
M
n
M
N
ρ~
v
ρ
v
~
[18] E para o fluxo molar total:v
~
ρ~
~
v
ρ~
~
N
N
N i i i N i i [19]onde v~ é a velocidade do centro de molar e
~
a concentração molarA velocidade do centro molar é expressa por:
N i i i N i i iv
x v
~
ρ~
ρ~
v
~
[20]Os fluxos molares difusivos e totais são expressos por:
v v
Ii i i ~ ~ ~
[21] i i i xN I N ~ ~ ~ ~ [22]0
~
N i iI
[23]A tabela abaixo resume a relação entre os fluxos difusivos e totais.
Velocidade de referência Fluxo mássico (kg de A/m2s) Fluxo molar (gmol de A/m2s) Nula i i i
n
ρ
v
i i i N~ ρ~ v v, centro de massaJ
v
v
i i i
J
v v
i i i
~ ~v
~
, centro molarI
v
v
i i i
~
I
v v
i i i ~ ~ ~
2. Experimento de Stefan – Difusão de A em B parado
A figura abaixo ilustra um sistema no qual um solvente A está contido em um longo tubo capilar, e o seu vapor difunde-se para fora do tubo. Todo sistema é mantido à temperatura e pressão constantes. No meio externo tem-se o escoamento de um gás B, que insolúvel no líquido A. y = 0 y = L A B A 0 ,
~
Ax
L Ax
,~
Considere como volume de controle a região do tubo contendo gás. Na condição de regime permanente o nível do líquido é, de alguma forma, mantido constante, apesar da evaporação de A.
O balanço molar de A é dado pela equação [17]:
A A A A
x
I
R
x
~
)
~
~
v
~
ρ~
(
div
t
~
ρ~
[24]Na condição de regime permanente e na ausência de reação química, resulta:
0
~
div
)
~
~
v
~
ρ~
(
div
x
A
I
A
N
A
[25] Considerando-se o problema como unidimensional, tem-se:
N
cte
dy
N
d
N
A
A,y
0
~
A,y
~
0
~
div
[26] Analogamente, para o componente B, tem-se:0
~
div
)
~
~
v
~
ρ~
(
div
x
B
I
B
N
B
[27]Como o fluxo total de B é nulo (B é insolúvel no líquido A), resulta:
N~B,y 0 [28]
Substituindo-se esses resultados na equação [22], tem-se:
B A A A A A Ax
N
I
x
N
N
I
N
~
~
~
~
~
~
~
~
0
x
cte
I
N
A A A
~
1
~
~
[29]Substituindo-se a ”lei” de Fick, resulta:
d
y
cte
x
d
x
D
N
A A AB A
~
~
1
~
~
[30] Integrando-se, tem-se:
AL A AL A x x A A AB L A x x A A AB L Ax
x
d
D
dy
N
x
x
d
D
dy
N
~ ~ 0 ~ ~ 0 0 0~
1
~
~
~
~
1
~
~
~
[31] O fluxo molar de A é dado por:
0 , ,~
1
~
1
ln
~
~
A L A AB Ax
x
L
D
N
[32] ou, por:
0 , ,~
~
ln
~
~
B L B AB Ax
x
L
D
N
[33]O fluxo total de A,
N
~
A, é constante ao longo de y, assim como o termoAB
D
~ . Observe a conveniência de trabalhar com a concentração molar,
neste caso, pois apesar das composições variarem ao longo de y a concentração molar depende apenas de P e T.
A equação [33] pode ser reescrita da seguinte forma:
0 , , 0 , , , 0 ,~
~
ln
~
~
~
~
~
~
B L B B L B L A A AB Ax
x
x
x
x
x
L
D
N
[34]
A AL
LN B AB Ax
x
x
L
D
N
~
~
,0~
,~
~
[35]onde a fração molar de B média logarítmica,
x
~
BLN, é dado por:
, ,0
0 , ,~
~
ln
~
~
~
B L B B L B BLNx
x
x
x
x
[36]3. Equação de conservação da A na forma diferencial para os
diferentes sistemas de coordenadas.
Bibliografia
Bennett & Myers - Fenômenos de Transporte, 2ª ed. 1978 – Mc Graw Hill
