COLORAÇÃO DE VÉRTICES COM FOLGA

(1)

COLORAÇÃO DE VÉRTICES COM FOLGA

Abel R. G. Lozano UERJ UNIGRANRIO arglozano@terra.com.br Clícia V. P. Friedmann UERJ UNIGRANRIO cliciavp@terra.com.br Christina F. E. M. Waga UERJ waga@ime.uerj.br Lilian Markenzon NCE/UFRJ markenzon@nce.urfj.br Resumo

Neste trabalho generalizamos a coloração própria de vértices de um grafo, introduzindo a definição de coloração com folga de ordem k. Relacionamos essa coloração com a coloração 2-distante e obtemos uma cota superior para coloração com folga de ordem 2.

PALAVRAS CHAVE. coloração de vértices, coloração com folga de ordem k, coloração equilibrada, coloração 2-distante

Abstract

In this work we generalize the notion of proper vertex-coloring presenting the definition of range coloring of order k. The equivalence of this coloring and the 2-distant coloring is established and we obtain an upper bound for range coloring of order 2.

(2)

1. Introdução

Uma coloração própria de um grafo

G

=

( E

V

,

)

é uma atribuição de cores aos vértices do grafo de tal forma que vértices adjacentes recebem cores distintas. A cardinalidade do menor conjunto de cores que colore propriamente o grafo é o número cromático, representado por

)

(G

χ

.

O problema clássico de coloração de vértices consiste em colorir um grafo qualquer de maneira própria com o menor número de cores. Algumas variações desse problema surgiram nos últimos anos, impondo restrições sobre as cores disponíveis para cada vértice. Podemos destacar alguns tipos de colorações condicionadas, tais como a coloração equilibrada (equitable coloring) e a coloração 2-distante (2-distant coloring).

A definição de coloração equilibrada, assim como os principais resultados, pode ser encontrada em Kubale (2004) e Garcia Lozano (2005). Nesse tipo de coloração, a diferença máxima na quantidade de vezes em que duas cores quaisquer aparecem não pode exceder 1. Em Broersma (2003) está definida a coloração 2-distante entre outras, bem como algumas aplicações. Uma coloração 2-distante de G é uma coloração tal que os vértices com distância 1 ou 2 têm cores diferentes.

No presente trabalho, introduzimos, na Seção 3, um tipo de coloração própria de vértices que chamaremos de coloração com folga de ordem k, sendo k um inteiro positivo. Mostramos também que a coloração com folga k é uma extensão para o conceito de coloração 2-distante. Na Seção 4, provamos que é sempre possível colorir um grafo G qualquer com folga de ordem 2 com

2 )

(

+

∆ G

cores. 2. Conceitos Básicos

Conceitos básicos sobre grafos e coloração são encontrados em Jensen e Toft (1995), Boaventura Netto (1996) e West (1996). Nesta seção, revisaremos alguns conceitos mais pertinentes.

Consideremos um grafo

G

=

( E

V

,

)

não orientado, simples (sem laços e sem múltiplas arestas) e conexo. A vizinhança aberta de um vértice v∈V é o conjunto

}

;

{

)

(

v

u

V

uv

E

N

=

∈

e a vizinhança fechada é o conjunto

N

[

v

]

=

N

(

v

)

∪

{

v

}

. O grau de um vértice v∈V é d(v)= N(v) . O grau mínimo de um grafo G é

(

G

)

min

d

(

v

)

V v∈

=

δ

e o

grau máximo de G é

(

G

)

max

d

(

v

)

V v∈

=

∆

. Usaremos a notação

∆

, quando não houver confusão. Os conceitos de vizinhança aberta e fechada podem ser estendidos a subconjunto de vértices

V S ⊂ da seguinte forma,

U

V v

v

N

S

N

∈

=

(

)

(

e

U

V v

v

N

S

N

∈

=

[

]

[

. Um caminho em G é uma sequência de arestas sucessivamente adjacentes. A distância entre dois vértices

u

,

v

∈

V

, denotada por

d

_u_,_v, é o número de arestas do menor caminho entre eles.

Seja C um conjunto de cores. Uma coloração própria dos vértices de G é uma função C

V

c: → tal que se uv∈E então

c

(

u

)

≠

c

(

v

)

. Denotaremos por

c

(

S

)

o conjunto de cores utilizadas para colorir os vértices de S ⊂V . Dizemos que G é t-colorível quando

C t V

c( ) = ≤ . O número cromático de G, denotado por

χ

(

G

)

, é o menor valor de t para o qual existe uma coloração própria de G. Por exemplo, o grafo da Figura 1 (A), octaedro, tem 6 vértices, 12 arestas,

∆

=

4

e

χ

=

3

.

Seja c:V →C uma coloração própria do grafo G. Os vértices com a mesma cor i formam a classe da cor i, ou seja, a imagem inversa

_c

−1

(

_i

)

₌

{

_v

_∈

_V

;

_c

(

_v

)

₌

_i

}

_{da cor i. A coloração é}

(3)

denominada coloração equilibrada quando a maior e menor cardinalidades dentre as classes de cores diferem no máximo em um, isto é,

_c

−1

(

_i

)

₋

_c

−1

(

_j

)

_≤

1

_{, para todo}₁_≤_i_≠ _j_≤ _C _. Analogamente, se o grafo G é t-colorível, o número cromático equilibrado de G, denotado por

)

(G

eq

χ

, é o menor valor de t para o qual existe uma coloração equilibrada de G. Uma coloração 2-distante de um grafo G é uma coloração c:V →C tal que os vértices com distância 1 ou 2 têm cores diferentes. O número cromático 2-distante de G, denotado por

) (

2D G

χ

, é o menor número de cores para o qual existe uma coloração 2-distante. 3. Coloração com Folga de Ordem k

Nesta seção, introduziremos o conceito de coloração com folga de ordem k para os vértices de um grafo G. Examinaremos, também, a relação deste conceito com a coloração 2-distante.

Seja

G

=

( E

V

,

)

um grafo e k∈ Z₊. Uma coloração própria c:V →C de G é denominada uma coloração com folga de ordem k de G quando para todo v∈V, se

d

(

v

)

≤

k

então c(N(v)) =d(v) caso contrário c(N(v)) ≥k.

Para o caso k =1, temos a coloração própria usual de vértices. Na coloração de vértices com folga de ordem k >1, vértices com grau menor do que a folga exigida devem ter todos os vizinhos coloridos com cores distintas, e os de grau igual ou maior do que k devem ter todos os vizinhos coloridos com pelo menos k cores. A cota superior para a ordem de uma coloração com folga é

∆

(G

)

.

Dizemos que G é t-colorível com folga de ordem k quando c(V) =t ≤ C . Podemos definir também o número cromático com folga de ordem k de G, denotado por k(G)

f

χ

, como o menor valor de t para o qual existe uma coloração com folga de ordem k para os vértices de G.

Consideremos o grafo da Figura 1(A), a coloração própria de vértices apresentada é também uma coloração com folga de ordem 2. Desta forma, 2(_G)₌ (_G)₌3

f

χ

. Na Figura 1(B) temos o octaedro colorido com folga de ordem 3 com 3(_G)₌5

f

χ

e na Figura 1(C) uma coloração com folga de ordem 4 com 4(_G)₌6

f

χ

. Figura 1 (A) 1 1 2 2 3 3 (B) 1 5 2 4 3 3 (C) 1 5 2 4 6 3

(4)

Podemos comparar a coloração com folga de ordem k com as colorações equilibrada e 2-distante. Vejamos a Figura 2. Nela, a coloração c₁ é a usual com

χ

=

2

. Já a coloração c₂ é equilibrada com duas classes de cores de tamanho 5 e uma classe de 4, e com

χ

_eq

=

3

. As colorações

c

₃, c₄,

c

₅ e

c

₆ são colorações com folga de ordens 2, 3, 4 e

∆

, respectivamente, e seus números cromáticos são 2 ₌3

f

χ

, 3 ₌4 f

χ

, 4 ₌5 f

χ

e 5 ₌6 f

χ

. A coloração

c

₆ é um exemplo de coloração 2-distante. Assim,

χ

₂_D =6.

De fato, colorações com folga de ordem

∆

e 2-distante são equivalentes, conforme o Teorema 1, mostrando assim, que a coloração 2-distante é um caso particular da coloração com folga.

Teorema 1. Seja o grafo

G

=

(

V

,

E

)

. Uma coloração c:V →C é uma coloração com folga de ordem

∆

se, e somente se, é uma coloração 2-distante.

Prova: Pela definição de coloração com folga de ordem

∆

, temos que dado um vértice v∈V, colorido com a cor

c

(v

)

, todos os vértices adjacentes têm cores distintas. Consideremos

(

c

2)

(

c

1) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 1 3 2 2 3 3 2 2 2

(

c

3) 1 1 1 3 2 1 3 2 2 2 3 2 1 2

(

c

4) 1 3 4 1 2 3 1 2 2 3 4 2 3 4

(

c

5) 1 3 4 5 2 3 1 2 3 4 5 2 3 4

(

c

6) 1 3 4 5 2 3 1 2 3 4 5 6 3 4 Figura 2

(5)

V

w

u

,

∈

com

d

_uw

=

2

. Existe v∈V tal que

u

,

w

∈

N

(

v

)

. Assim,

c

(

u

)

≠

c

(

w

)

. Então, a coloração c é 2-distante.

Reciprocamente, seja c uma coloração 2-distante, v∈V qualquer e

u

,

w

∈

N

(

v

)

. Como

2 =

uw

d

então

c

(

u

)

≠

c

(

w

)

. Então, c(N(v)) =d(v). Logo, c é uma coloração com folga de ordem

∆

.

Como resultado imediato, temos o seguinte corolário. Corolário 1. Para todo grafo G,

χ

∆_f(G)=

χ

₂_D(G)_.

4. Cota Superior para Colorações com Folga de Ordem 2

Sabemos que

χ

(

G

)

≤

∆

+

1

, para todo grafo G. É natural procurarmos um resultado análogo para coloração com folga. O teorema a seguir mostra que

∆

+

2

é cota superior para o invariante

) (

2 _G

f

χ

. É importante observar que para colorações com folga de ordens maiores do que 2 não é possível obter um resultado análogo.

Teorema 2. Para todo grafo

G

≠

C

₅, onde

C

₅ é o ciclo com 5 vértices, existe uma coloração com folga de ordem 2 com

∆

+

2

cores, isto é, 2(_G)_≤_∆₊2

f

χ

.

Prova: Seja o conjunto de cores

C

_{= K}

{

1 ,

,

∆

+

2 }

.

Vamos supor inicialmente que G é um ciclo

(

v

₀

,

_K

,

v

_n₋₁

,

v

₀

)

com n≠5 vértices, e que t seja o maior múltiplo de 3 menor ou igual a n. Seja a coloração c:V →C tal que:

1 )

3 mod

(

)

(

0

3 mod

=

→

c

v

=

i

+

n

_i ,

i

=

0 ,

_K

,

n

−

1

   = − = + = → = − ) 4 ( 1 , , 0 , 1 ) 3 mod ( ) ( 1 3 mod 1 n i v c t i i v c n K         = = = = − = + = → = − − − . 4 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 3 , , 0 , 1 ) 3 mod ( ) ( 2 3 mod 1 1 2 n t t t i v c v c v c v c t i i v c n K

A construção é análoga para caminhos e para o caso de grafos em que todas as componentes conexas são ciclos ou caminhos.

Vamos supor que G não é um ciclo nem um caminho. Assim,

∆ G

(

)

≥

3

. Se todos os vértices pertencem a pelo menos um triângulo

K

₃, então qualquer coloração própria é uma coloração com folga de ordem 2, limitada em

∆

+

1

cores, pelo Teorema de Brooks. Desta forma, tratamos de grafos em que existe pelo menos um vértice que não pertence a nenhum triângulo. Demonstraremos usando o segundo princípio de indução na ordem do grafo.

Se G possui 4 ou 5 vértices, basta usar uma cor diferente para cada vértice. Suponhamos verdadeiro o enunciado para grafos com até n−1 vértices.

(6)

Caso 1: G possui pelo menos um vértice v∈V de grau 1.

Seja u∈V adjacente ao vértice v e

w

∈

N

(u

)

,

w

≠

v

. Retiramos v do grafo G, obtendo o grafo

G

′

=

(

V

′

,

E

′

)

. Existe uma coloração c′ :V′→C com folga de ordem 2 para G′. Adicionando v a G′ com a respectiva aresta, obtemos novamente G. A coloração c:V →C é com folga de ordem 2, tal que:

)

(

)

(

x

c

x

c

=

′

, se

x

≠

v

e

)}

(

),

(

{

)

(

v

C

c

u

c

w

c

∈

−

′

.

Caso 2: G possui dois vértices adjacentes

v

,

u

∈

V

ambos de grau 2. Seja o caminho

P

=

(

v

₁

,

_K

,

v

_p

)

tal que:

a)

v

,

u

∈

P

,

b)

d

(

v

_i

)

=

2

,

i

=

_{1 K}

,

p

e

c) P é um caminho maximal em relação aos itens anteriores.

Sejam u₁ o vizinho de v₁ que não pertence a P e

u

_p o vizinho de

v

_p que não pertence a P.

Subcaso 2.1:

u

₁

≠

u

_p

Retiramos P de G, e consideramos o grafo

G

′

=

(

V

′

,

E

′

)

obtido. Por hipótese de indução, existe uma coloração c′ :V′→C com folga de ordem 2 para o grafo G′. Incluímos, novamente, o caminho P em G′. Como P é maximal, u₁ e

u

_p têm grau maior ou igual a 2 em G′. Assim, c(N(u₁)) ≥2 e

c

(

N

(

u

_p

))

≥

2

. Podemos então definir a coloração c:V →C para tal que:

Caso

p

=

2

:

)

(

)

(

x

c

x

c

=

′

, x∈V′ )} ( ), ( { ) (v₁ C c u₁ c u₂ c ∈ − )} ( ), ( ), ( { ) (v₂ C c u₁ c v₁ c u₂ c ∈ − Caso

p

=

3

:

)

(

)

(

x

c

x

c

=

′

, x∈V′ )} ( { ) (v₁ C c u₁ c ∈ −

)}

(

),

(

),

(

{

)

(

v

₂

C

c

u

₁

c

v

₁

c

u

₃

c

∈

−

)}

(

),

(

),

(

{

)

(

v

₃

C

c

v

₁

c

v

₂

c

u

₃

c

∈

−

Caso

p

=

4

:

c

(

x

)

=

c

′

(

x

)

, x∈V′ c(v₁)∈C−{c(u₁)} c(v₂)∈C−{c(u₁),c(v₁)}

c

(

v

₃

)

∈

C

−

{

c

(

v

₁

),

c

(

v

₂

),

c

(

u

₄

)}

c

(

v

₄

)

∈

C

−

{

c

(

v

₂

),

c

(

v

₃

),

c

(

u

₄

)}

(7)

Caso

p

≥

5

:

)

(

)

(

x

c

x

c

=

′

, x∈V′ c(v₁)∈C−{c(u₁)} c(v₂)∈C−{c(u₁),c(v₁)}

c

(

v

_i

)

∈

C

−

{

c

(

v

_i₋₁

),

c

(

v

_i₋₂

)}

para

i

=

3 ,

_K

,

p

−

2 c

(

v

_p₋₁

)

∈

C

−

{

c

(

v

_p₋₃

),

c

(

v

_p₋₂

),

c

(

u

_p

)}

c

(

v

_p

)

∈

C

−

{

c

(

v

_p₋₂

),

c

(

v

_p₋₁

),

c

(

u

_p

)}

Por construção, a coloração tem folga de ordem 2. Subcaso 2.2:

u

₁

=

u

_p

Assim, temos um ciclo. Se não for o

C

₅, basta usarmos a coloração descrita no início da demonstração. Se for o

C

₅, como

∆ G

(

)

≥

3

, C ≥5 e podemos usar uma cor para cada vértice.

Caso 3: Não existem em G dois vértices de grau 2 adjacentes entre si, mas existe pelo menos um vértice v∈V de grau 2.

Sejam

u

∈

N

(v

)

e

v

₁

,

_K

,

v

_p todos os vértices com grau 2 adjacentes ao u incluindo v. Retiramos de G o conjunto de vértices

U

=

{

u

,

v

₁

,

_K

,

v

_p

}

e obtemos o grafo

)

,

(

V

E

G

′

=

′

. Por hipótese de indução, existe uma coloração com folga de ordem 2 C

V

c′ : ′→ . Adicionamos o conjunto U com as respectivas arestas ao grafo G′ e podemos definir em G uma coloração c:V →C com folga de ordem 2 tal que:

)

(

)

(

x

c

x

c

=

′

, se x∉U e

))

(

)

(

u

C

c

N

U

c

∈

−

′

.

Observe que, N(U) ≤d(u)≤∆. Sobram

∆

cores para colorir cada vértice

v

₁

,

_K

,

v

_p

com cores diferentes.

Caso 4: Não existem vértices de grau 2 no grafo G.

Devemos escolher dois vértices

v

,

u

∈

V

adjacentes que não possuam vizinhos em comum. Lembramos que G tem pelo menos um vértice que não pertence a nenhum triângulo. Retire v e u de G, obtendo o grafo

G

′

=

(

V

′

,

E

′

)

. Existe uma coloração

C V

c′ : ′→ com folga de ordem 2. Adicionamos os vértices v e u, e retornamos ao grafo G. Consideremos a coloração c:V →C, sabendo–se que

u

′

∈

N

(

u

)

e

)

(

v

N

v

′

∈

:

)

(

)

(

x

c

x

c

=

′

,

x

∉

{ u

v

,

}

})

{

)

(

)

(

u

C

c

N

u

v

c

∈

−

∪

′

})

{

)

(

)

(

v

C

c

N

v

u

c

∈

−

∪

′

(8)

Esta coloração é com folga de ordem 2 e sempre possível, pois N(u) =d(u)≤∆ e ∆ ≤ = ( ) ) (v d v N . Na Figura 3, apresentamos mais alguns exemplos de coloração com folga de ordem 2 e seus respectivos números cromáticos.

O resultado do Teorema 2 não pode ser estendido diretamente para ordens maiores do que 2. Na Figura 4, temos dois exemplos que mostram grafos com ∆=3 que não podem ser coloridos com folga de ordem 3 com ∆+3 cores.

5. Trabalhos Futuros

Com relação à continuidade do trabalho, gostaríamos de estabelecer cotas superiores para coloração com folga de qualquer ordem, e de investigar a coloração com folga para determinadas famílias de grafos.

6. Referências Bibliográficas

Boaventura Netto, P.O. (1996). Grafos: teoria, modelos, algoritmos. Edgard Blücher.

Broersma, H.J. (2003). A general framework for coloring problems: old results, new results, and open problems. Memo No. 1704., Depart. of Appl. Math., University of Twente.

Garcia Lozano, A.R. (2005). Coloração total equilibrada de grafos. Tese de Doutorado, Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE/UFRJ, D.Sc., Engenharia da Produção.

Jensen, T. R., Toft, B. (1995). Graph Coloring Problems, Wiley-Interscience, New York. Kubale M. (2004) Graph Colorings, Contempory Mathematics, vol 352, AMS Bookstore. West, D.B. (1996). Introduction to Graph Theory. Prentice Hall.

7. Agradecimento

Este trabalho contou com o apoio do CNPq, processos 306893/2006-1 e 473603/2007-1.

1 2 2 4 1 3 3 4 1 4 ) ( 2 _G ₌ ₌_∆₊ f

χ

Figura 3 ∆ < = 3 ) ( 2 _G f

χ

2 2 3 3 1 2 4 ) ( 2 _G ₌ ₌_∆₊ f

χ

4 3 1 2 Figura 4 8 5 2 5 4 6 3 1 7 2 4 6 3 1 7