Física 3 (EMB5043): Lei de Coulomb
MATERIAL DE APOIO PARA CURSO PRESENCIAL
Prof. Diego Alexandre Duarte
Sumário
• Carga elétrica
• Materiais e eletrização
• A lei de Coulomb
• O princípio da superposição
• Cálculo da força resultante para partículas
• Cálculo da força resultante para partículas
• Corpos extensos carregados
Material para estudos
• Capítulo 21 do Halliday volume 3 e capítulo 2 do
Moysés volume 3
• Estudar os problemas da Lista 1 que está disponível
Carga elétrica
• É o análogo da massa gravitacional e possui duas formas, chamadas
positiva
e
negativa
por Benjamin Franklin.
• Em situações normais, um corpo possui a mesma quantidade de
cargas positivas e negativas (carga neutra).
• Pode-se produzir o desequilíbrio de cargas em um corpo por meio
do atrito. Lei da conservação da carga elétrica (século XVIII).
https://pt.wikipedia.org/wi ki/Benjamin_Franklin
do atrito. Lei da conservação da carga elétrica (século XVIII).
• Charles Du Fay descobre a atração e a repulsão entre cargas
elétricas (século XVIII). Contemporâneo de Franklin.
• Joseph J. Thomson descobre o elétron (século XIX).
• Robert A. Millikan descobre a carga do elétron (século XX):
https://pt.wikipedia.org/wi ki/Joseph_John_Thomson
19
1, 602 10
C
Materiais e eletrização
CONDUTORES E ISOLANTES
• ISOLANTES: cargas elétricas não podem ser transmitidas através destes
materiais. Exemplos: vidro, água destilada e a borracha.
• CONDUTORES: cargas elétricas podem ser transmitidas através destes
materiais. Exemplos: metal, água contendo ácidos e o corpo humano.
Em clima úmido, é comum que materiais isolantes possam transmitir cargas
elétricas devido a formação de uma fina camada de água sobre os objetos.
Existem três formas de eletrização:
Atrito
Contato
Indução
Lei de Coulomb
https://pt.wikipedia.org/wiki/J oseph_Priestley
• Os estudos sobre a lei de interação entre cargas, o cientista britânico Joseph Priestley inferiu analogias com a lei de gravitação de Isaac Newton, na metade do século XVIII. Foi contemporâneo de Benjamin Franklin.
https://pt.wikipedia.org/wiki/C harles_Augustin_de_Coulomb
• O engenheiro francês Charles Augustin de Coulomb utilizou os trabalhos de Priestley para obtenção da lei que carrega seu nome, no fim do mesmo século.
Lei de Coulomb
A lei de Coulomb estabelece a relação entre duas cargas elétricas por meio de uma
força de atração ou repulsão elétrica:
-q
r
2 0ˆ
4
F
r
r
πε
=
+
Q
r
F
F
em que Q e q representam o valor das cargas positiva enegativa, respectivamente. No SI, a carga elétrica é dadaem coulomb (C) e 1/4πε0 ≈ 9×109 N·m2/C2.
A força elétrica é uma força central, i.e., é uma força que tem direção radial e depende do raio r.
Lei de Coulomb
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
O princípio da superposição estabelece que a força total sobre um corpo é a soma
de todas as forças individuais que atuam sobre ele.
-q
2
r
( )
2 0ˆ
4
j i ij j i ijq
q
F
r
r
πε
≠=
+
q
1
r
12
F
12
-q
3
F
13
r
13
F
( )
( )
3 1 2 12 13 2 2 0 12 13ˆ
ˆ
4
q
q
q
F
r
r
r
r
πε
=
+
( )
0 j i≠r
ij 12 13F
=
F
+
F
Exemplo – Resolução 1
CÁLCULO DE FORÇA RESULTANTE PARA PARTÍCULAS
Considere uma partícula +q′ sob a ação de duas forças aplicadas pelas cargas +q e
–q
posicionadas nos vértices do triângulo isósceles da figura abaixo. Calcule a
força resultante sobre +q′.
ˆ
j iq
q
F
=
r
H. M. Nussenzveig, Curso de física básica (vol. 3)A força resultante é dada por:
( )
2 0ˆ
4
j i ji j i jiq
q
F
r
r
πε
≠=
que aplicada para a figura ao lado, fica:
1 2 2 2 0 1 2
'
ˆ
ˆ
4
q
q
q
F
r
r
r
r
πε
=
+
CUIDADO: Ao utilizar a versão vetorial da lei
de Coulomb, utilize o módulo da carga. A natureza repulsiva ou atrativa da interação é
implementada no vetor unitário. r1
Exemplo – Resolução 1
CÁLCULO DE FORÇA RESULTANTE PARA PARTÍCULAS
( )
( )
1 1 1ˆ
ˆ
cos
sin
ˆ
r
r
x
r
y
r
r
r
θ
+
θ
=
=
Os versores r1 e r2 são dados por:
( )
( )
2 2 2ˆ
ˆ
cos
sin
ˆ
r
r
x r
y
r
r
r
θ
−
θ
= =
Repulsão
Atração
H. M. Nussenzveig, Curso de física básica (vol. 3)Repulsão
Atração
r1
Exemplo – Resolução 1
CÁLCULO DE FORÇA RESULTANTE PARA PARTÍCULAS
( )
( )
( )
( )
2 2
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
cos
sin
cos
sin
'
4
r
x
r
y
r
x r
y
q
q
q
F
r
r
r
r
θ
θ
θ
θ
πε
+
−
=
+
( )
ˆ
( )
ˆ
( )
ˆ
( )
ˆ
cos
sin
cos
sin
'
r
x
r
y
r
x r
y
F
θ
θ
θ
θ
+
−
=
2
+
04
F
r
r
r
πε
=
+
( )
( )
( )
( )
3 0'
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
cos
sin
cos
sin
4
F
r
x
r
y
r
x r
y
r
θ
θ
θ
θ
πε
=
+
+
−
( )
( )
3 2 0 0'
'
ˆ
ˆ
2 cos
cos
4
2
F
r
x
x
r
θ
r
θ
πε
πε
=
=
Exemplo – Resolução 1
CÁLCULO DE FORÇA RESULTANTE PARA PARTÍCULAS
H. M. Nussenzveig, Curso de física básica (vol. 3) r1 r2
( )
2 2cos
d
d
r
D
d
θ
= =
+
2r
D
+
d
( )
(
)
3 2 3 2 2 2 0 0 0'
'
'
ˆ
ˆ
ˆ
cos
2
2
2
qq d
qq d
F
x
x
x
r
θ
r
D
d
πε
πε
πε
=
=
=
+
Exemplo – Resolução 2
CÁLCULO DE FORÇA RESULTANTE PARA PARTÍCULAS
H. M. Nussenzveig, Curso de física básica (vol. 3) r1 r2
θ
θ
( )
2 2cos
d
d
r
D
d
θ
= =
+
( )
( )
1x 2x 1cos
2cos
F
=
F
+
F
=
F
θ
+
F
θ
( )
1x 2x2 cos
1F
=
F
+
F
=
F
θ
( )
(
)
3 2 2 2 2 2 0 0 0'
'
'
2
cos
4
2
2
d
qq d
F
r
θ
r
r
d
D
πε
πε
πε
=
=
=
+
Corpos extensos carregados
Corpos extensos são objetos com dimensões físicas da mesma ordem de grandeza das dimensões locais. Se o corpo está carregado, há uma distribuição de cargas elétricas que dá origem à densidade linear, superficial ou volumétrica de carga.
q dli dqi dA dqi dqi i i i
dq
dl
λ
=
l q dqi A dAi q i i idq
dA
σ
=
dVi dqi q V i i idq
dV
ρ
=
Densidade linear de carga
Densidade superficial de carga Densidade volumétrica de carga
(C/m)
Exemplo
CÁLCULO DE FORÇA RESULTANTE PARA CORPOS EXTENSOS
Uma carga +Q está distribuída uniformemente sobre um anel circular vertical de raio ρ e espessura desprezível. Qual é a força elétrica resultante sobre uma carga pontual +q situada sobre o eixo horizontal que passa pelo centro do anel, a uma distância D do seu plano?
RESOLUÇÃO NO FORMATO ESCALAR 1º passo: calcular o elemento de força elétrica dF de dQ sobre q:
em que dQ é um elemento de carga do comprimento dl do anel. 2 0
4
qdQ
dF
r
πε
=
Exemplo
CÁLCULO DE FORÇA RESULTANTE PARA CORPOS EXTENSOS
Uma carga +Q está distribuída uniformemente sobre um anel circular vertical de raio ρ e espessura desprezível. Qual é a força elétrica resultante sobre uma carga pontual +q situada sobre o eixo horizontal que passa pelo centro do anel, a uma distância D do seu plano?
2º passo: determinar o elemento de força resultante:
em que e
( )
(
)
3 2 2 3 2 2 2 0 0 0 0cos
4
4
4
4
RqdQ
qdQ D
qdQD
qdQD
dF
r
θ
r
r
r
D
πε
πε
πε
πε ρ
=
=
=
=
+
( )
cos
D
r
θ
=
2 2r
=
ρ
+
D
Exemplo
CÁLCULO DE FORÇA RESULTANTE PARA CORPOS EXTENSOS
Uma carga +Q está distribuída uniformemente sobre um anel circular vertical de raio ρ e espessura desprezível. Qual é a força elétrica resultante sobre uma carga pontual +q situada sobre o eixo horizontal que passa pelo centro do anel, a uma distância D do seu plano?
3º passo: escrever dQ em função da densidade de carga do corpo e realizar a integração.
com ou
(
)
( )
(
)
(
)
2 3 3 3 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0,
4
4
4
q
dl D
qdQD
q D
dF
F
dl
D
D
D
πρλ
λ
πε ρ
πε ρ
πε ρ
=
=
=
+
+
+
∫
(
2 2)
32(
2 2)
32 0 02
4
4
q D
qQD
F
D
D
λ
πρ
πε ρ
πε ρ
=
=
+
+
2
Q
λ
πρ
=
Q
=
λ πρ
2
Exemplo – Análise
CÁLCULO DE FORÇA RESULTANTE PARA CORPOS EXTENSOS
Considerando o resultado:
qQD
2, se
D
ρ
πε
≪
O anel se torna uma carga obtemos(
2 2)
32 04
qQD
F
D
πε ρ
=
+
2 0, se
4
0, se
D
D
F
D
ρ
πε
ρ
≈
≪
≫
uma carga pontualDúvidas?
diego.duarte@ufsc.brSkype: diego_a_d
