NOTAS DE AULA DA ESCOLA PRO-TEC - TECNOLOGIA DO PROJETO

(1)

1 1

ASSESSOTEC

ASSESSORIA TÉCNICA EM

ASSESSORIA TÉCNICA EM ACIONAMENACIONAMENTOSTOS Resp.:

Resp.: José José Luiz Luiz Fevereiro Fevereiro Fone Fone (11)2909.0753 (11)2909.0753 Cel.:Cel.: (11)9.9606.7789

(11)9.9606.7789

NOTAS DE AULA DO CURSO DE

PROJETOS DA

ESCOLA PRO-TEC

TECNOLOGIA DO PROJETO

Anos 1965/66

(2)

2 2

ÍNDICE

ÍNDICE DAS

DAS MATÉRIAS

MATÉRIAS

Pag

Cinemática

3 Cinemática

3 Movimento retilíneo uniforme

Movimento retilíneo uniforme

33 Movimento retilíneo uniformemente variável

Movimento retilíneo uniformemente variável

77 Queda dos corpos

Queda dos corpos

10

10 Movimento circular uniforme

Movimento circular uniforme

12

12 Velocidade angular

Velocidade angular

13

13 Lançamento de um corpo

Lançamento de um corpo

14

14 Força

Força

16

16 Composição de forças

Composição de forças

17

17 Condição de equilíbrio entre forças

Condição de equilíbrio entre forças

20

20 Polígono de forças

Polígono de forças

22

22 Forças reativas

Forças reativas

23

23 Baricentro das figuras planas

Baricentro das figuras planas

24

24 Resistência dos materiais

Resistência dos materiais

28

28 Força normal

Força normal

28

28 Diagrama tensão-deformação - Lei de Hooke

Diagrama tensão-deformação - Lei de Hooke

31

31 Força cortante

Força cortante

32

32 Momento de força

Momento de força

33

33 Flambagem

Flambagem

35

35 Tensão de cisalhamento

Tensão de cisalhamento

38

38 Vínculos

Vínculos

39

39 Treliças

Treliças

42

42 Flexão

Flexão

43

43 Força cortante

Força cortante

47

47 Torção

Torção

49

49 Flexo-torção

Flexo-torção

53

53 Dinâmica

Dinâmica

56

56 Trabalho

Trabalho

56

56 Potência

Potência

57

57 Rendimento

Rendimento

59

59 Força de atrito

Força de atrito

60

60 Atrito no ângulo inclinado - ângulo de atrito

Atrito no ângulo inclinado - ângulo de atrito

61

61 Coeficientes de atrito - tabela

Coeficientes de atrito - tabela

61

61 Força necessária para elevar um corpo

Força necessária para elevar um corpo

65

65 Energia potencial e cinética

Energia potencial e cinética

68

68 Atrito de rolamento

Atrito de rolamento

69

69 Rodas de fricção

Rodas de fricção

71

71 Correias em V

Correias em V

72

72 Dimensionamento de engrenagens

Dimensionamento de engrenagens

75

75 Engrenagens cilíndricas

Engrenagens cilíndricas

75

75 Rosca sem fim e coroa

Rosca sem fim e coroa

81

81 Volantes

Volantes

86

86 Molas

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3 3

CINEMÁTICA CINEMÁTICA A cinemática tem po

A cinemática tem por objetivo o estudo r objetivo o estudo dos movimentos dos movimentos independeindependentemente dasntemente das causas que lhe dão origem porém, relacionando-se com o tempo.

causas que lhe dão origem porém, relacionando-se com o tempo. Movimento retilíneo uniforme (MRU)

Movimento retilíneo uniforme (MRU)

Entende-se por MRU de um móvel o qual percorre espaços iguais em tempos iguais. Entende-se por MRU de um móvel o qual percorre espaços iguais em tempos iguais. Conceito de velocidade

Conceito de velocidade

Pela própria definição de movimento uniforme podemos entender que, em cada Pela própria definição de movimento uniforme podemos entender que, em cada unidade de tempo, o móvel percorre espaços iguais. Neste caso o espaço percorrido unidade de tempo, o móvel percorre espaços iguais. Neste caso o espaço percorrido pelo móvel por unidade de tempo denomina o movimento como sendo movimento pelo móvel por unidade de tempo denomina o movimento como sendo movimento uniforme. uniforme. Fórmulas: Fórmulas: t t S S v

v  e e suas suas derivações:derivações: t t S S S S vvt t

Unidades de velocidade Unidades de velocidade

Sendo a velocidade o espaço percorrido numa unidade de tempo podemos avalia-la Sendo a velocidade o espaço percorrido numa unidade de tempo podemos avalia-la nas seguintes unidades: m/s (metros por segundo) ou km/h

nas seguintes unidades: m/s (metros por segundo) ou km/h (kilometros por hora)(kilometros por hora) No sistema internacional utiliza-se m/s

No sistema internacional utiliza-se m/s Exercícios

Exercícios

1 - Um corpo percorre em MRU 500m em 50s. Determinar a velocidade em m/s 1 - Um corpo percorre em MRU 500m em 50s. Determinar a velocidade em m/s

s s m m s s m m t t S S v v 1010 // 50 50 500 500       2 - Um corpo percorre 600km em 30h. 2 - Um corpo percorre 600km em 30h.

3 - Um trem percorre 4590m em 2h. Determinar a velocidade em km/h 3 - Um trem percorre 4590m em 2h. Determinar a velocidade em km/h 4590m = 4,59km 4590m = 4,59km h h km km h h km km t t S S v v ₂₂_,,₂₉₅₂₉₅ _// 2 2 59 59 ,, 4 4      

4 - Um trem percorre 380km em 3h. Determinar a velocidade em m/s 4 - Um trem percorre 380km em 3h. Determinar a velocidade em m/s

h h km km h h h h k k t t S S v v ₁₂₆₁₂₆_,,₆₆ _// 3 3 // 380 380       Para transformar km/h em m/s Para transformar km/h em m/s s s m m h h km km // 1 1 ,, 35 35 6 6 ,, 3 3 66 66 ,, 126 126 6 6 ,, 3 3 //    

5 - Um automóvel tem uma velocidade de 72 km/h com a qual faz um trajeto durante 5 - Um automóvel tem uma velocidade de 72 km/h com a qual faz um trajeto durante 1600 s. Determinar o espaço percorrido em metros..

1600 s. Determinar o espaço percorrido em metros..

m m t t vv S S s s m m h h km km vv 32000 32000 1600 1600 20 20 // 20 20 6 6 ,, 3 3 72 72 6 6 ,, 3 3 //                - velocidade - velocidade - tempo - tempo - espaço percorrido - espaço percorrido

(4)

4 4

6 -: Um automóvel percorre 36 km/h com uma velocidade de 144km/h. Determinar o 6 -: Um automóvel percorre 36 km/h com uma velocidade de 144km/h. Determinar o tempo gasto em segundos

tempo gasto em segundos

s s s s m m m m t t m m S S s s m m h h km km v v 900 900 // 40 40 36000 36000 36000 36000 // 40 40 6 6 ,, 3 3 144 144 6 6 ,, 3 3 //            

7 - Um automóvel percorre um certo percurso com uma velocidade de 288km/h 7 - Um automóvel percorre um certo percurso com uma velocidade de 288km/h durante 530s. Calcular o percurso em metros.

durante 530s. Calcular o percurso em metros.

m m s s s s m m S S s s m m h h km km v v 42400 42400 530 530 // 80 80 // 80 80 6 6 ,, 3 3 288 288 6 6 ,, 3 3 //            

Traçado de um diagrama de velocidade onde o espaço percorrido por um móvel é Traçado de um diagrama de velocidade onde o espaço percorrido por um móvel é função do tempo gasto

função do tempo gasto

Função pode ser definida como uma relação entre dois conjuntos onde há uma Função pode ser definida como uma relação entre dois conjuntos onde há uma relação entre cada um dos

relação entre cada um dos seus elementos.seus elementos.

Espaço percorrido em função do tempo. Espaço percorrido em função do tempo. Traçar o diagrama para a

Traçar o diagrama para a equaçãoequação S=f t) S=f t) S=f t) S=f t) S=f 8t) S=f 8t) - Variável dependente - Variável dependente - Variável independente - Variável independente - - parâmetroparâmetro

(5)

5 5 Equação genérica Equação genérica t t v v S S S S o o     O O - Origem - Origem o o S

S _{- espaço inicial}_{- espaço inicial}

S

S - espaço - espaço

Exercícios Exercícios 1-

1- Um corpo percorre um Um corpo percorre um espaço inicial de 300m espaço inicial de 300m com uma vcom uma velocidade de 20m/selocidade de 20m/s durante 12s. Calcular o

durante 12s. Calcular o espaço percorrido.espaço percorrido.

m m S S s s s s m m m m S S t t v v S S S S o o 540 540 240 240 300 300 12 12 // 20 20 300 300                 

2 - Calcular a velocidade em m/s de um corpo em MRU sabendo-se que no início da 2 - Calcular a velocidade em m/s de um corpo em MRU sabendo-se que no início da contagem do tempo o corpo dista 420m da origem e que sua posição no fim de 8s é contagem do tempo o corpo dista 420m da origem e que sua posição no fim de 8s é 1480m 1480m s s m m s s m m m m vv vv m m m m t t vv S S S S _o_o // 5 5 ,, 132 132 8 8 420 420 1480 1480 8 8 420 420 1480 1480                 

3- Um automóvel percorre em MRU um espaço de 144km em 240 minutos. O corpo 3- Um automóvel percorre em MRU um espaço de 144km em 240 minutos. O corpo dista do início da

dista do início da contagem do tempo 72km. Qual sua contagem do tempo 72km. Qual sua velocidavelocidade em m/s?de em m/s?

s s m m v v t t S S S S v v t t v v S S S S m m km km S S s s t t m m km km S S o o o o o o // 5 5 14400 14400 72000 72000 144000 144000 72000 72000 72 72 14400 14400 mi minn 240 240 144000 144000 144 144                           

(6)

6 6

4- Um corpo percorre um espaço inicial de 150m com uma velocidade de 72km/h e 4- Um corpo percorre um espaço inicial de 150m com uma velocidade de 72km/h e espaço total de 2,15km. Determinar o t

espaço total de 2,15km. Determinar o tempo em segundos.empo em segundos.

s s s s m m m m m m v v t t S S S S v v m m S S s s m m h h km km h h km km v v m m km km S S o o o o 100 100 // 20 20 150 150 2150 2150 150 150 // 20 20 6 6 ,, 3 3 // 72 72 // 72 72 2150 2150 15 15 ,, 2 2                       Traçado do diagrama Traçado do diagrama

Diagrama de velocidade para MRU Diagrama de velocidade para MRU S=20+5t

(7)

7 7

Movimento retilíneo uniformemente variável (MRUV) Movimento retilíneo uniformemente variável (MRUV)

Chama-se movimento retilíneo uniformemente variável ( MRUV) quando a velocidade Chama-se movimento retilíneo uniformemente variável ( MRUV) quando a velocidade do corpo aumenta quantidades iguais em tempos iguais. Este é

do corpo aumenta quantidades iguais em tempos iguais. Este é o conceito deo conceito de aceleração

aceleração

Aceleração é a v

Aceleração é a variação de veariação de velocidade polocidade por unidade de temr unidade de tempo.po.

Em MRUV, se a velocidade aumenta tempos iguais em quantidades iguais é claro que Em MRUV, se a velocidade aumenta tempos iguais em quantidades iguais é claro que o aumento de velocidade é sempre o mesmo.

o aumento de velocidade é sempre o mesmo. Unidade de aceleração

Unidade de aceleração

Sendo a aceleração a variação da velocidade por unidade de tempo, as suas unidades Sendo a aceleração a variação da velocidade por unidade de tempo, as suas unidades são obtidas em unidade de velocidade por unidade de tempo.

são obtidas em unidade de velocidade por unidade de tempo.

2 2 1 1 s s m m s s s s m m s s s s m m a a __ __ __ __

Para MRUV é válida a seguinte equação que relaciona entre si a velocidade, a Para MRUV é válida a seguinte equação que relaciona entre si a velocidade, a aceleração e o tempo aceleração e o tempo at at v v v v__ __ 0 0 v

v = velocidade final = velocidade final

0 0

v

v = = velocidade inicivelocidade inicialal

a

a = aceleração = aceleração

tt = tempo = tempo

Exercícios: Exercícios:

1 - Determinar a velocidade de um corpo em MRUV sabendo-se que a velocidade 1 - Determinar a velocidade de um corpo em MRUV sabendo-se que a velocidade inicial é 10m/s e que tem uma aceleração de 5m/s² com a qual percorre 10s. inicial é 10m/s e que tem uma aceleração de 5m/s² com a qual percorre 10s.

s s m m s s s s m m s s m m v v at at v v v v // 60 60 10 10 5 5 10 10 2 2 0 0            

2 - Um corpo sai do repouso com uma aceleração de 3,5m/s² com a qual percorre 20s. 2 - Um corpo sai do repouso com uma aceleração de 3,5m/s² com a qual percorre 20s. Determinar sua velocidade final.

Determinar sua velocidade final.

s s m m s s s s m m s s m m v v at at v v v v // 70 70 20 20 5 5 ,, 3 3 0 0 2 2 0 0            

3 - Um móvel está animado de um MRUV cuja aceleração é de 10m/s². Calcular sua 3 - Um móvel está animado de um MRUV cuja aceleração é de 10m/s². Calcular sua velocidade 15 s após ter passado por um ponto A na qual sua velocidade inicial era de velocidade 15 s após ter passado por um ponto A na qual sua velocidade inicial era de 15m/s. Traçar o gráfico e diagrama de aceleração com o tempo variável

15m/s. Traçar o gráfico e diagrama de aceleração com o tempo variável

0 0 v v = 15m/s = 15m/s a a = 10m/s²= 10m/s² tt = 15 s= 15 s

(8)

8 8 s s m m s s s s m m s s m m v v s s m m s s s s m m s s m m v v s s m m s s s s m m s s m m v v at at v v v v // 25 25 1 1 10 10 15 15 // 15 15 0 0 10 10 15 15 // 155 155 15 15 10 10 15 15 2 2 2 2 2 2 0 0                             s s m m s s s s m m s s m m vv s s m m s s s s m m s s m m vv s s m m s s s s m m s s m m vv // 45 45 3 3 10 10 15 15 // 35 35 2 2 10 10 15 15 // 25 25 1 1 10 10 15 15 2 2 2 2 2 2                        

Equação dos espaços Equação dos espaços No MRU No MRU S S S S vt vt o o    No MRUV No MRUV 2 2 0 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1 at at t t v v S S S S t t at at v v S S S S vt vt S S S S o o o o o o                           Exercícios: Exercícios:

1 - Um automóvel desloca-se com uma aceleração de 5m/s² durante 20s. Sua 1 - Um automóvel desloca-se com uma aceleração de 5m/s² durante 20s. Sua velocidade inicial é de 10m/s e o espaço inicial percorrido 60m. Qual o espaço total velocidade inicial é de 10m/s e o espaço inicial percorrido 60m. Qual o espaço total percorrido? percorrido? m m m m m m m m S S s s s s m m m m m m S S s s s s m m s s s s m m m m S S at at t t vv S S S S _o_o 1260 1260 2 2 2000 2000 200 200 60 60 2 2 ²² ²² 400 400 5 5 200 200 60 60 20 20 // 5 5 2 2 1 1 20 20 // 10 10 60 60 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0                                  

(9)

9 9

Traçado do diagrama Traçado do diagrama

2 - Duas esferas deslocam-se em sentidos opostos sobre um plano horizontal sendo: 2 - Duas esferas deslocam-se em sentidos opostos sobre um plano horizontal sendo: Uma com MRU com dados

Uma com MRU com dados S S oo=30m;=30m; vv==10m/s. Outra com MRUV com dados10m/s. Outra com MRUV com dados::

0 0

v

v =3m/s;=3m/s;aa=4m/s².=4m/s².Determinar graficamente o instante e a posição onde as duas seDeterminar graficamente o instante e a posição onde as duas se

encontrarão. encontrarão. t t S S vt vt S S S S MRU MRU 10 10 30 30 0 0         2 2 2 2 0 0 2 2 3 3 2 2 t t t t S S at at t t vv S S S S MRUV MRUV o o           S= f)t S= f)t S=10+5t+5t S=10+5t+5t²²

(10)

10 10

Queda dos corpos Queda dos corpos A queda dos corpo

A queda dos corpos é um movimes é um movimento retilíneo unto retilíneo uniformemente vaniformemente variável porém, nasriável porém, nas fórmulas utilizam-se outras

fórmulas utilizam-se outras nomenclaturasnomenclaturas..

g g a a h h S S h h S S       0 0 0 0 g

g = aceleração da gravidade= aceleração da gravidade

Deve-se levar em conta que um corpo pode ser lançado no sentido ascendente ou Deve-se levar em conta que um corpo pode ser lançado no sentido ascendente ou descendente.

descendente.

Para cada uma dessas situações, defini-se as seguintes fórmulas: Para cada uma dessas situações, defini-se as seguintes fórmulas:

²² 2 2 1 1 0 0 0 0 gt gt t t vv h h gt gt vv vv             Exercícios: Exercícios:

1 - Lança-se um corpo na vertical ascendente com uma velocidade inicial de 200m/s. 1 - Lança-se um corpo na vertical ascendente com uma velocidade inicial de 200m/s. Determinar depois de 10 segundos a sua velocidade e a altura na qual se encontra o Determinar depois de 10 segundos a sua velocidade e a altura na qual se encontra o objeto. No local a aceleração da gravidade é igual a 9,8m/s².

objeto. No local a aceleração da gravidade é igual a 9,8m/s². ²² 2 2 1 1 0 0 0 0 gt gt t t v v h h gt gt v v v v            

(11)

11 11 m m vv h h gt gt t t vv h h s s m m vv gt gt vv vv 1510 1510 490 490 2000 2000 ²² 10 10 8 8 ,, 9 9 2 2 1 1 10 10 200 200 ²² 2 2 1 1 // 102 102 10 10 8 8 ,, 9 9 200 200 0 0 0 0                                

2 - Um corpo é lançado na vertical descendente com velocidade inicial de 2m/s e 2 - Um corpo é lançado na vertical descendente com velocidade inicial de 2m/s e atinge o solo após 40 segundos. A aceleração da gravidade no local é 9,8m/s². atinge o solo após 40 segundos. A aceleração da gravidade no local é 9,8m/s². Determinar a velocidade com que atinge o solo e a altura da qual foi lançado. Determinar a velocidade com que atinge o solo e a altura da qual foi lançado.

m m vv h h gt gt t t vv h h s s m m vv gt gt vv vv 7920 7920 7840 7840 80 80 ²² 40 40 8 8 ,, 9 9 2 2 1 1 40 40 2 2 ²² 2 2 1 1 // 394 394 40 40 8 8 ,, 9 9 2 2 0 0 0 0                                

3 - Um corpo é lançado do alto de um edifício com uma velocidade inicial de 1,05m/s e 3 - Um corpo é lançado do alto de um edifício com uma velocidade inicial de 1,05m/s e o tempo gasto para atingir o solo é 0,85s. Determinar a velocidade com que o corpo o tempo gasto para atingir o solo é 0,85s. Determinar a velocidade com que o corpo atinge o solo e a altura do edifício.

atinge o solo e a altura do edifício.

m m vv h h gt gt t t vv h h s s m m vv gt gt vv vv 43 43 ,, 4 4 54 54 ,, 3 3 8925 8925 ,, 0 0 ²² 85 85 ,, 0 0 8 8 ,, 9 9 2 2 1 1 85 85 ,, 0 0 05 05 ,, 1 1 ²² 2 2 1 1 // 38 38 ,, 9 9 85 85 ,, 0 0 8 8 ,, 9 9 05 05 ,, 1 1 0 0 0 0                                

4 - Com que velocidade deve ser lançado um corpo na vertical debaixo para cima 4 - Com que velocidade deve ser lançado um corpo na vertical debaixo para cima para atingir a altura de

para atingir a altura de 245m. g=9,8m/s².245m. g=9,8m/s².

s s m m V V vv vv vv vv vv vv vv t t t t vv gt gt t t vv h h gt gt t t vv h h // 3 3 ,, 69 69 4802 4802 6 6 ,, 19 19 245 245 ²² 6 6 ,, 19 19 ²² 245 245 6 6 ,, 19 19 ²² 8 8 ,, 9 9 ²² 245 245 ²² 8 8 ,, 9 9 ²² 9 9 ,, 4 4 8 8 ,, 9 9 245 245 ²² 9 9 ,, 4 4 2 2 ²² ²² 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                                     8 8 ,, 9 9 8 8 ,, 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v v t t t t v v gt gt v v gt gt v v v v gt gt v v v v                    

(12)

12 12

5 - Dois corpos são lançados simultaneamente: Um do alto de um edifício de 180 m de 5 - Dois corpos são lançados simultaneamente: Um do alto de um edifício de 180 m de altura em queda livre. O outro é lançado do pé do mesmo edifício na vertical para cima altura em queda livre. O outro é lançado do pé do mesmo edifício na vertical para cima com velocidade inicial de 60m/s. Determinar graficamente o ponto de colisão dos

com velocidade inicial de 60m/s. Determinar graficamente o ponto de colisão dos mesmos. mesmos. ²² 5 5 60 60 ²² 2 2 1 1 0 0 t t t t h h gt gt t t vv h h Lançamento Lançamento        

--Movimento circular uniforme MCU Movimento circular uniforme MCU

Chama-se movimento circular uniforme MCU aquele em que a trajetória descrita pelo Chama-se movimento circular uniforme MCU aquele em que a trajetória descrita pelo móvel é uma circunferência e o corpo percorre arcos iguais em tempos iguais. Esse móvel é uma circunferência e o corpo percorre arcos iguais em tempos iguais. Esse movimento caracteriza-se por sua trajetória curvilíne

movimento caracteriza-se por sua trajetória curvilínea e, a e, em cada instante, o móvelem cada instante, o móvel segue esta curva e percorre o comprimento da circunferência em determinado tempo. segue esta curva e percorre o comprimento da circunferência em determinado tempo. Elementos característicos do MCU

Elementos característicos do MCU Período: É o

Período: É o tempo gasto pelo móvel para percorrer toda a tempo gasto pelo móvel para percorrer toda a circunferêncicircunferência. O período éa. O período é representado pela letra T e pode ser dado em segundos, minutos ou horas.

representado pela letra T e pode ser dado em segundos, minutos ou horas.

Frequência: é o numero de voltas realizadas pelo móvel em cada unidade de tempo. A Frequência: é o numero de voltas realizadas pelo móvel em cada unidade de tempo. A letra n é indicada como frequência e a relação é

letra n é indicada como frequência e a relação é

T T n n  11

Indicando-se a frequência em rotações por minuto (rpm) temos a

Indicando-se a frequência em rotações por minuto (rpm) temos a seguinte fórmulaseguinte fórmula fundamental para cálculo da velocidade que neste caso é denominada tangencial, fundamental para cálculo da velocidade que neste caso é denominada tangencial, periférica ou linear. periférica ou linear. ²² 5 5 0 0 ²² 2 2 1 1 0 0 0 0 t t h h vv gt gt t t vv h h Queda Queda          

(13)

13 13

É comum utilizar-se na pratica outra f

É comum utilizar-se na pratica outra f órmula derivadórmula derivada da fórmula a da fórmula anterior.anterior.

Exercício Exercício

Determinar a velocidade tangencial ou periférica de uma engrenagem cujo raio é Determinar a velocidade tangencial ou periférica de uma engrenagem cujo raio é 180mm e que gera 400rpm 180mm e que gera 400rpm s s m m v v m m mm mm R R n n R R v v // 53 53 ,, 7 7 60 60 400 400 18 18 ,, 0 0 2 2 18 18 ,, 0 0 180 180 60 60 2 2                        Velocidade angular Velocidade angular

Define-se velocidade angular como sendo o ângulo descrito na unidade de tempo. É Define-se velocidade angular como sendo o ângulo descrito na unidade de tempo. É representado pela letra grega

representado pela letra grega 

Sendo a velocidade tangencial dada em metros por segundo e o raio em metros Sendo a velocidade tangencial dada em metros por segundo e o raio em metros obteremos a velocidade angular em radianos por segundo- rad/s

obteremos a velocidade angular em radianos por segundo- rad/s

1416 1416 ,, 3 3 )) (( )) // (( // 60 60 2 2                           rpm rpm n n m m raio raio R R s s m m velocidade velocidade v v s s m m n n R R v v s s rad rad R R v v //       60 60 n n D D v v    

(14)

14 14

Exercício: Exercício:

A roda de um trem

A roda de um trem gira a razão de 1gira a razão de 125 rpm e o seu d25 rpm e o seu diâmetro é 650iâmetro é 650mm. Determinarmm. Determinar sua velocidade linear ou t

sua velocidade linear ou tangencial e a velocidade angular.angencial e a velocidade angular.

s s rad rad R R v v s s m m v v m m mm mm D D n n D D v v // 07 07 ,, 13 13 325 325 ,, 0 0 25 25 ,, 4 4 // 25 25 ,, 4 4 60 60 125 125 65 65 ,, 0 0 65 65 ,, 0 0 650 650 60 60                            

Lançamento de um corpo em direção ao espaço numa direção formando um Lançamento de um corpo em direção ao espaço numa direção formando um ângulo com a horizontal

ângulo com a horizontal

Dedução da fórmula Dedução da fórmula ²² 2 2 1 1 ²² 2 2 1 1 cos cos 0 0 0 0 0 0 t t g g t t sen sen vv y y gt gt t t vv h h t t vv x x vt vt S S                           x x vv vv y y vv sen sen vv vv x x vv vv y y vv sen sen 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos cos cos cos                             cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 ²² ²² 2 2 ²² 0 0 0 0             sen sen sen sen sen sen g g v v A A sen sen g g v v F F

(15)

15 15

Exercício Exercício

Um corpo é lançado com uma velocidade inicial de 50m/s numa direção que faz com a Um corpo é lançado com uma velocidade inicial de 50m/s numa direção que faz com a horizontal um ângulo de 30°. Determinar as coordenadas do corpo após 2 segundos, horizontal um ângulo de 30°. Determinar as coordenadas do corpo após 2 segundos, bem como a f

bem como a flecha e a amplitude. Considerar aceleração da gravidade g=10m/s².lecha e a amplitude. Considerar aceleração da gravidade g=10m/s².

Deve-se notar que variando-se o ângulo de tiro teremos variações na amplitude e na Deve-se notar que variando-se o ângulo de tiro teremos variações na amplitude e na flecha. Conclui-se daí que deverá existir, evidentemente, um ângulo de tiro ideal que flecha. Conclui-se daí que deverá existir, evidentemente, um ângulo de tiro ideal que formará a máxima amplitude. Demonstra-se que este é o ângulo de 45°. Concluímos a formará a máxima amplitude. Demonstra-se que este é o ângulo de 45°. Concluímos a seguir que todo ângulo de tiro inferior ou superior a 45° nos fornecerá uma amplitude seguir que todo ângulo de tiro inferior ou superior a 45° nos fornecerá uma amplitude menor do que a amplitude máxima aos 45°. Finalmente concluímos que dois ângulos menor do que a amplitude máxima aos 45°. Finalmente concluímos que dois ângulos de tiro que nos forneça 90° quando somados obteremos de cada um amplitudes iguais de tiro que nos forneça 90° quando somados obteremos de cada um amplitudes iguais porém com flechas

porém com flechas diferentes.diferentes.

Há uma linha geométrica que envolve todas as trajetórias e q

Há uma linha geométrica que envolve todas as trajetórias e q ue tem o ue tem o nome denome de parábola de segurança. Esta parábola é a linha limítrofe abaixo da qual todos os parábola de segurança. Esta parábola é a linha limítrofe abaixo da qual todos os pontos podem ser atingidos, variando-se o ângulo de tiro. Acima desse ângulo pontos podem ser atingidos, variando-se o ângulo de tiro. Acima desse ângulo nenhum ponto será atingido mantendo-se a mesma velocidade inicial.

nenhum ponto será atingido mantendo-se a mesma velocidade inicial.

m m m m F F s s m m s s m m F F sen sen g g vv F F 25 25 ,, 31 31 25 25 ,, 0 0 20 20 2500 2500 ²² 5 5 ,, 0 0 ²² // 10 10 2 2 ²² // 50 50 ²² 2 2 ²² 0 0                  m m m m m m y y s s s s m m s s s s m m y y gt gt t t sen sen v v y y 30 30 20 20 50 50 2 2 ²² ²² 2 2 ²² // 10 10 2 2 5 5 ,, 0 0 // 50 50 ²² 2 2 1 1 30 30 0 0                       m m m m A A s s m m s s m m A A sen sen g g vv A A 5 5 ,, 216 216 866 866 ,, 0 0 10 10 2500 2500 866 866 ,, 0 0 ²² // 10 10 ²² // 50 50 2 2 ²² 0 0                  m m x x s s s s m m x x t t x x v v x x 6 6 ,, 86 86 2 2 866 866 ,, 0 0 // 50 50 30 30 cos cos 0 0            

(16)

16 16 DINÂMICA DINÂMICA Força Força

Chama-se força a tudo que é capaz de modificar o movimento ou repouso de um Chama-se força a tudo que é capaz de modificar o movimento ou repouso de um corpo ou provocar uma deformação no mesmo.

corpo ou provocar uma deformação no mesmo. Unidades para as forças:

Unidades para as forças: d - dina (sistema CGS) d - dina (sistema CGS)

N - Newton (sistema internacional) N - Newton (sistema internacional) Kgf - quilograma força (sistema técnico) Kgf - quilograma força (sistema técnico)

No sistema internacional, que utiliza as unidades kg (kilograma), m (metros) e s No sistema internacional, que utiliza as unidades kg (kilograma), m (metros) e s (segundos), para levantar um peso de massa 1kg

(segundos), para levantar um peso de massa 1kg na superfície da Terra serána superfície da Terra será

necessário uma força de 9,8N para poder vencer a ação da gravidade que em geral é necessário uma força de 9,8N para poder vencer a ação da gravidade que em geral é de 9,8m/s².

de 9,8m/s².

O sistema técnico só considera a superfície da terra como área de atuação e então O sistema técnico só considera a superfície da terra como área de atuação e então para levantar um peso de massa 1kg se conveniou que a força necessária será de para levantar um peso de massa 1kg se conveniou que a força necessária será de 1kgf.

1kgf.

Relação entre as forças Relação entre as forças kgf = 9,8N = kgf = 9,8N = 980000d980000d Características da força: Características da força: 1 - 1 - Intensidade.Intensidade. 2 - Direção 2 - Direção 3- Sentido 3- Sentido 4- Ponto de aplicação 4- Ponto de aplicação

A força é represen

A força é representada graficamentada graficamente por um vetor.te por um vetor. Vetor é um segmento de reta orientado

Vetor é um segmento de reta orientado F F N N s s m m kg kg F F 11 99,,88 // ²² 99,,88

(17)

17 17

Composição de forças Composição de forças

Compor forças significa determinar uma única

Compor forças significa determinar uma única força chamada resultante.força chamada resultante. Processo gráfico Processo gráfico Método do paralelogramo Método do paralelogramo R= Força resultante R= Força resultante F F11e e FF22= Forças= Forças Método do polígono Método do polígono

O comprimento dos segmentos representam a intensidade das forças e devem ter O comprimento dos segmentos representam a intensidade das forças e devem ter dimensões proporcionais no mesmo gráfico.

dimensões proporcionais no mesmo gráfico.

Processo analítico Processo analítico

No processo analítico, sendo dadas duas forças determina-se a intensidade e a No processo analítico, sendo dadas duas forças determina-se a intensidade e a direção da força

direção da força resultante pela trigonometria.resultante pela trigonometria.

Determina-se pela Determina-se pela

(18)

18 18

Lei dos cossenos: Lei dos cossenos:

Lei dos senos Lei dos senos

Exercícios: Exercícios:

1 - Duas pessoas deslocam um corpo sobre uma superfície horizontal, exercendo 1 - Duas pessoas deslocam um corpo sobre uma superfície horizontal, exercendo forças através de cordas horizontais. Uma pessoa puxa para o

forças através de cordas horizontais. Uma pessoa puxa para o lado direito com 16kgflado direito com 16kgf e a outra para cima com uma força de 12kgf. Que valor teria uma força única que e a outra para cima com uma força de 12kgf. Que valor teria uma força única que aplicada ao bloco produzisse o mesmo efeito dessas duas forças em conjunto? Em aplicada ao bloco produzisse o mesmo efeito dessas duas forças em conjunto? Em que direção desloca o corpo?

que direção desloca o corpo? Processo gráfico Processo gráfico Proporção: 1cm = 1kgf Proporção: 1cm = 1kgf Processo analítico Processo analítico Direção Direção Força resultante Força resultante   co coss 2 2 ²² ²² ₂₂ ₁₁ ₂₂ 1 1        F F F F F F F F R R       sensen F F sen sen F F sen sen R R 1 1 2 2                                 36 36 6 6 ,, 0 0 20 20 12 12 12 12 1 1 20 20 36 36 75 75 ,, 0 0 16 16 12 12 2 2 1 1 2 2                 sen sen sen sen sen sen sen sen F F sen sen R R F F F F tg tg kgf kgf R R R R F F F F F F F F R R 20 20 0 0 144 144 256 256 90 90 cos cos 12 12 16 16 2 2 ²² 12 12 ²² 16 16 cos cos 2 2 ²² ²² ₂₂ ₁₁ ₂₂ 1 1                             

(19)

19 19

Decomposição em duas forças Decomposição em duas forças

Sendo dada uma força é sempre possível decompo-la em duas direções desde que Sendo dada uma força é sempre possível decompo-la em duas direções desde que sejam dados os

sejam dados os ângulos adjacentesângulos adjacentes.. Processo gráfico Processo gráfico Processo analítico Processo analítico Exercício Exercício Determinar analiticamente F

Determinar analiticamente F11 e F e F22 sendo dados sendo dados

R= 10kgf R= 10kgf   9090

°°

              sen sen Rsen Rsen F F sen sen Rsen Rsen F F sen sen F F sen sen F F sen sen R R         2 2 1 1 1 1 22

 



kgf kgf sen sen sen sen Rsen Rsen F F kgf kgf sen sen sen sen F F sen sen Rsen Rsen F F 5 5 1 1 5 5 ,, 0 0 10 10 1 1 60 60 90 90 10 10 66 66 ,, 8 8 1 1 866 866 ,, 0 0 10 10 90 90 60 60 10 10 2 2 1 1 1 1                                      

(20)

20 20

Condição de equilíbrio de um

Condição de equilíbrio de um corpocorpo A condição neces

A condição necessária e suficiesária e suficiente para que unte para que um corpo esteja m corpo esteja em equilíbem equilíbrio é querio é que sejam nulas as

sejam nulas as componencomponentes segundo dois tes segundo dois eixos ortogonais.eixos ortogonais. Exercícios:

Exercícios: 1 -

1 - Dizer em que sentido se Dizer em que sentido se desloca o corpo abaixo sob desloca o corpo abaixo sob a aplicação de 4 a aplicação de 4 forçasforças esquematizadas no desenho abaixo

esquematizadas no desenho abaixo Dados: Dados: F F11 = 100kgf = 100kgf F F22 = 40kgf = 40kgf F F33 = 20kgf = 20kgf F F44 = 30kgf = 30kgf

Conclusão: A força resultante na direção horizontal tem sentido para a

Conclusão: A força resultante na direção horizontal tem sentido para a direita comdireita com intensidade de 25,98kgf

intensidade de 25,98kgf

2 - Um peso de 50kgf está preso ao meio de uma corda inicialmente horizontal, cujas 2 - Um peso de 50kgf está preso ao meio de uma corda inicialmente horizontal, cujas extremidades prendem-se a duas paredes afastadas 15 m entre si. Sov ação do peso extremidades prendem-se a duas paredes afastadas 15 m entre si. Sov ação do peso mencionado, a corda cede 2 m em seu ponto médio. Determinar as tensões nos dois mencionado, a corda cede 2 m em seu ponto médio. Determinar as tensões nos dois ramos da corda. Se a corda aguentasse somente 70 kgf seria possível o equilíbrio? ramos da corda. Se a corda aguentasse somente 70 kgf seria possível o equilíbrio?

kgf kgf Fh Fh Fh Fh F F F F F F F F Fh Fh 98 98 .. 25 25 866 866 ,, 0 0 30 30 40 40 20 20 5 5 ,, 0 0 100 100 30 30 cos cos 60 60 cos cos ₃₃ ₂₂ ₄₄ 1 1                            



(21)

21 21

Condição de equilíbrio Condição de equilíbrio

Resposta: Se a corda aguentasse somente 70kgf iria se romper antes de chegar a Resposta: Se a corda aguentasse somente 70kgf iria se romper antes de chegar a posição final.

posição final.

3 - O pequeno anel B sustenta uma carga vertical P e é suportado por dois fios AB e 3 - O pequeno anel B sustenta uma carga vertical P e é suportado por dois fios AB e BC, distendido este ultimo em sua extremidade livre pelo peso Q = 5 kgf. Determinar a BC, distendido este ultimo em sua extremidade livre pelo peso Q = 5 kgf. Determinar a carga P e a f

carga P e a força de tração F no fio AB, orça de tração F no fio AB, estando o sistema em equilíbriestando o sistema em equilíbrio.o.



kgf kgf F F F F sen sen sen sen Pi Pitagorastagoras de de teorema teorema Apl

Aplicicandoando sen sen F F sen sen F F sen sen F F Fv Fv F F F F F F F F F F F F Fh Fh Fv Fv Fh Fh 96 96 52 52 ,, 0 0 50 50 50 50 26 26 ,, 0 0 2 2 26 26 ,, 0 0 26 26 ,, 0 0 7 7 ,, 7 7 2 2 ²² 5 5 ,, 7 7 ²² 2 2 2 2 _ _ _ _ _ _ 50 50 2 2 0 0 50 50 cos cos cos cos 0 0 cos cos cos cos 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1                                              



                 



kkgf gf P P Q Q F F P P kg kgf f Q Q F F F F Q Q P P Q Q F F Fv Fv Q Q F F Fh Fh 86 86 ,, 6 6 5 5 ,, 0 0 5 5 707 707 ,, 0 0 15 15 ,, 6 6 60 60 cos cos 45 45 cos cos 15 15 ,, 6 6 707 707 ,, 0 0 866 866 ,, 0 0 5 5 45 45 cos cos 30 30 cos cos 45 45 cos cos 30 30 cos cos 0 0 60 60 cos cos 45 45 cos cos 0 0 0 0 30 30 cos cos 45 45 cos cos 0 0                                                    



(22)

22 22

Polígono de forças Polígono de forças É o

É o polígono formado pelos vetores representapolígono formado pelos vetores representativos quando tomados numa certativos quando tomados numa certa ordem

ordem

Polígono funicular Polígono funicular É a

É a linha obtida pelos segmentos obtidos através do polígono de forçaslinha obtida pelos segmentos obtidos através do polígono de forças

Ponto de aplicação da força Ponto de aplicação da força

(23)

23 23

Traçar o polígono e achar a força resultante na seguinte viga Traçar o polígono e achar a força resultante na seguinte viga Força F Força F11 = 2,5kgf = 2,5kgf Força F Força F22 = 3,5kgf = 3,5kgf Escala: 1kgf = 1 cm Escala: 1kgf = 1 cm Forças reativas Forças reativas A aplicação mai

A aplicação mais importante do s importante do polígono funipolígono funicular é a determicular é a determinação das forçanação das forçass reativas na estrutura, quando na aplicação de cargas verticais.

(24)

24 24

Exemplo Exemplo

Baricentro das figuras planas Baricentro das figuras planas

Centro de gravidade (baricentro) das figuras planas e simples Centro de gravidade (baricentro) das figuras planas e simples

(25)

25 25

No caso de figuras planas que podem ser decompostas em figuras simples pode-se No caso de figuras planas que podem ser decompostas em figuras simples pode-se aplicar a seguinte regra:

aplicar a seguinte regra: 1 -

1 - Acha-se o centro de gravidade da figura pelo processo gráfico.Acha-se o centro de gravidade da figura pelo processo gráfico. 2 -

2 - Repete-se o mesmo processo para figura decomposta. Liga-se a seguir osRepete-se o mesmo processo para figura decomposta. Liga-se a seguir os baricentros. O centro da figura estará na linha que as une.

baricentros. O centro da figura estará na linha que as une.

3 - A distância do centro de gravidade do conjunto será inversamente proporcional as 3 - A distância do centro de gravidade do conjunto será inversamente proporcional as áreas. áreas. Exemplos: Exemplos: Área figura A = 360 Área figura A = 3600mm²0mm² Área figura B = 720 Área figura B = 7200mm²0mm² Proporção

Proporção B/A B/A = = 22

Área figura A = 640

Área figura A = 6400mm²0mm² Área figuras B = 64

Área figuras B = 6400mm²00mm² Proporção

(26)

26 26

Área figura A = 128

Área figura A = 12800mm²00mm² Área

Área figura B = 9600figura B = 9600mm²mm² Proporção B/A= 3/4

Proporção B/A= 3/4

Para determinar o centro de gravidade de figuras complexas que podem ser Para determinar o centro de gravidade de figuras complexas que podem ser decompostas em figuras simples, utiliza-se o

decompostas em figuras simples, utiliza-se o polígono funicular, dividindpolígono funicular, dividindo-se a o-se a figurafigura de tal forma

de tal forma que as áreas sejam proporcionais as forças.que as áreas sejam proporcionais as forças. Para determinar o baricentro no plano vertical

Para determinar o baricentro no plano vertical

Para determinar o centro de gravidade no plano horizontal repete-se o procedimento Para determinar o centro de gravidade no plano horizontal repete-se o procedimento acima gi

(27)

27 27

Determinação do baricentro pelo método analítico Determinação do baricentro pelo método analítico



      Si Si Si Si yi yi yG yG Si Si Si Si xi xi xG xG cm cm yG yG S S S S S S y y S S y y yG yG cm cm xG xG S S S S S S x x S S x x xG xG 17 17 ,, 3 3 20 20 24 24 1 1 20 20 24 24 5 5 36 36 ,, 3 3 20 20 24 24 20 20 5 5 24 24 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1                                          

(28)

28 28 cm cm yG yG yG yG S S S S S S S S y y S S y y S S y y yG yG cm cm xG xG xG xG S S S S S S S S x x S S x x S S x x xG xG 27 27 ,, 5 5 56 56 36 36 18 18 2 2 56 56 7 7 36 36 12 12 18 18 03 03 ,, 5 5 56 56 36 36 18 18 56 56 7 7 36 36 3 3 18 18 3 3 3 3 2 2 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1                                                                

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Classificação dos esforços

Classificação dos esforços Externos Externos - Ativos - Ativos - Reativos - Reativos Internos Internos

- Tração ou compressão - tensão normal - Tração ou compressão - tensão normal - Força cortante -

- Força cortante - tensão de cisalhamentotensão de cisalhamento - Momento fletor - Momento fletor - Momento de torção - Momento de torção Coeficiente de segurança Coeficiente de segurança

É por definição o quociente de tensão admissível. Depende do tipo de solicitação e do É por definição o quociente de tensão admissível. Depende do tipo de solicitação e do material. É dado pela fórmula:

material. É dado pela fórmula:

ad ad mm ru rupp        

 ==Coeficiente de segurançaCoeficiente de segurança

rup rup



 ==Tensão de rupturaTensão de ruptura 

 ==Tensão admissívelTensão admissível

Tensão normal Tensão normal

É o quociente do esforço solicitante de tração ou compressão dividido pela área da É o quociente do esforço solicitante de tração ou compressão dividido pela área da secção transversal

secção transversal



 = tensão admissível= tensão admissível

N = força normal N = força normal S =

S = área da secção transversalárea da secção transversal

      S S N N  

(29)

29 29

Força normal Força normal

Diagrama da força normal da figura acima Diagrama da força normal da figura acima

A força normal é po

A força normal é positiva quandsitiva quando for de tração e o for de tração e negativa quandnegativa quando for de compo for de compressãoressão

Exercícios Exercícios

1 - Qual deve ser o diâmetro de uma barra cilíndrica tracionada com 1570kgf 1 - Qual deve ser o diâmetro de uma barra cilíndrica tracionada com 1570kgf sabendo-se que

se que   =500kg/cm²=500kg/cm²

2

2 - Calcular o - Calcular o diâmetro de um diâmetro de um parafuso que funciona como prensa, sabendo-se que aparafuso que funciona como prensa, sabendo-se que a força de compressão necessária é 4500kgf e que o material do parafuso é aço ABNT força de compressão necessária é 4500kgf e que o material do parafuso é aço ABNT 1030 com tensão admissível

1030 com tensão admissível   = 650kg/cm²= 650kg/cm²

N é a tensão normal ou esforço solicitante=4500kgf N é a tensão normal ou esforço solicitante=4500kgf

cm cm r r d d r r r r S S r r r r S S cm cm cm cm kg kg kgf kgf N N S S S S N N 2 2 2 2 1 1 1 1 ²² 1 1 14 14 ,, 3 3 14 14 ,, 3 3 ²² ²² ²² 14 14 ,, 3 3 ²² // 500 500 1570 1570                                          

(30)

30 30 cm cm r r d d cm cm r r r r S S r r r r S S cm cm cm cm kg kg kgf kgf N N S S S S N N 92 92 ,, 2 2 46 46 ,, 1 1 2 2 2 2 46 46 ,, 1 1 13 13 ,, 2 2 13 13 ,, 2 2 14 14 ,, 3 3 70 70 ,, 6 6 ²² ²² ²² 70 70 ,, 6 6 ²² // 650 650 4500 4500                                        3 - Determinar a á

3 - Determinar a área que deverea que devem ter as barras A, B e C m ter as barras A, B e C sabendo-se sabendo-se queque   = =

1200kg/cm² 1200kg/cm² Barra A Barra A Barras B e C Barras B e C ²² 5 5 ,, 1 1 ²² // 1200 1200 1800 1800 cm cm cm cm kg kg kgf kgf N N S S S S N N                __ ²² 06 06 ,, 1 1 ²² // 1200 1200 1273 1273 1273 1273 2 2 2 2 2 2 1800 1800 2 2 2 2 2 2 1800 1800 45 45 cos cos 2 2 2 2 2 2 cm cm cm cm kg kg kgf kgf N N S S kgf kgf N N N N N N                     

(31)

31 31

Diagrama tensão-deforma

Diagrama tensão-deformação. Lei ção. Lei de Hookede Hooke

força de compressão. força de compressão. Força de tração. Com a força de tração o corpo sofre alongamento

Força de tração. Com a força de tração o corpo sofre alongamento

Força de compressão. O corpo

Força de compressão. O corpo sofre encolhimento no sentido das forçassofre encolhimento no sentido das forças

Deformação Deformação

Um corpo sofre deformação quando forem aplicadas sobre o mesmo as forças de Um corpo sofre deformação quando forem aplicadas sobre o mesmo as forças de tração ou

tração ou compressãocompressão..

Calcula-se a deformação pela fórmula Calcula-se a deformação pela fórmula

 

 deformaçãodeformação

l l



 = Variação do comprimento= Variação do comprimento ll _{= comprimento original}_{= comprimento original}

Diagrama tensão

Diagrama tensão deformaçãodeformação

Esse diagrama é determinado por maquinas especialmente destinadas a essa Esse diagrama é determinado por maquinas especialmente destinadas a essa finalidade.

finalidade.

Fazendo-se a relação de

Fazendo-se a relação de  ee  obtém-se o diagrama chamado tensão-deformação.obtém-se o diagrama chamado tensão-deformação.

Lei de Hooke Lei de Hooke A tensão é propor

A tensão é proporcional a defocional a deformaçãormação

E=

E= módulo de elasticidade módulo de elasticidade

1 - Uma barra de 3m de comprimento tem secção transversal retangular 3cm por 1cm. 1 - Uma barra de 3m de comprimento tem secção transversal retangular 3cm por 1cm. Determinar o alongamento produz

Determinar o alongamento produzido pela força de trido pela força de tração de 6kgf ação de 6kgf sabendo-se que osabendo-se que o valor do módulo de elasticidade

valor do módulo de elasticidade E E =2000t/cm²=2000t/cm² l l l l             E E

Tensão normal é o esforço solicitante interno situado num plano perpendicular a Tensão normal é o esforço solicitante interno situado num plano perpendicular a secção transversal.

secção transversal.

Existem dois tipos de tensão normal:

(32)

32 32 Unificando as unidades em cm e kg: 3m = 300cm Unificando as unidades em cm e kg: 3m = 300cm 2000t/cm = 2000000kgf/cm 2000t/cm = 2000000kgf/cm

2 - Calcular o alongamento de uma barra circular tracionada pelas forças N conforme 2 - Calcular o alongamento de uma barra circular tracionada pelas forças N conforme figura abaixo. N= 9t. Área transversal 10m². Comprimento da barra 400m.

figura abaixo. N= 9t. Área transversal 10m². Comprimento da barra 400m. E

E =2100t/cm²=2100t/cm²

3 - Calcular a área

3 - Calcular a área de uma barra com de uma barra com 3m de comprimento 3m de comprimento submetida a tração de 7submetida a tração de 7 ton para que sofra um alongamento máximo de 1 cm .

ton para que sofra um alongamento máximo de 1 cm . E E =2100t/cm²=2100t/cm²

²² 10 10 2100000 2100000 1 1 ,, 0 0 300 300 7000 7000 cm cm S S E E l l l l N N S S               Força cortante Força cortante

É a componente situada no plano da secção transversal e resultante das forças ativas É a componente situada no plano da secção transversal e resultante das forças ativas e reativas. Tem como símbolo a letra Q

e reativas. Tem como símbolo a letra Q

                       E E l l l l E E S S N N cm cm l l S S E E l l N N l l E E l l l l S S N N 0003 0003 ,, 0 0 3 3 2000000 2000000 300 300 6 6                     m m l l S S E E l l N N l l E E l l l l S S N N 171 171 ,, 0 0 10 10 2100000 2100000 400 400 9000 9000                     E E l l l l S S N N l l l l E E                 

(33)

33 33

A força cortante aci

A força cortante acima é positiva ema é positiva em virtude de se enm virtude de se encontrar no sentidcontrar no sentido horário.o horário. Diagrama da força cortante

Diagrama da força cortante

Quando a força for aplicada no sentido anti horário o sinal será negativo Quando a força for aplicada no sentido anti horário o sinal será negativo Momento de torção ou torque

Momento de torção ou torque

É o momento de uma força que tende a torcer um eixo longitudinal e é medido pelo É o momento de uma força que tende a torcer um eixo longitudinal e é medido pelo produto da força pela distância (figura abaixo a esquerda). É o momento de uma força produto da força pela distância (figura abaixo a esquerda). É o momento de uma força situada num plano ortogonal a estrutura e que é medido pelo produto da força pela situada num plano ortogonal a estrutura e que é medido pelo produto da força pela distância (figura abaixo a direita)

distância (figura abaixo a direita)

Diagrama do momento de torção Diagrama do momento de torção

(34)

34 34

Traçar o diagrama da força normal, f

Traçar o diagrama da força normal, força cortante e força de orça cortante e força de torção da seguintetorção da seguinte estrutura. P = 10kgf

estrutura. P = 10kgf

Força

Força normal normal Força cortanteForça cortante

Força de torção e momento de torção Força de torção e momento de torção (+) Mt = P * d

(+) Mt = P * d11= 10kg*2m=20kgfm= 10kg*2m=20kgfm

(-) Mt = P * d

(35)

35 35

Flambagem Flambagem

Chama-se flambagem ao fenômeno que os materiais possuem ao serem comprimidos Chama-se flambagem ao fenômeno que os materiais possuem ao serem comprimidos no sentido

no sentido longitudinal (axial) com longitudinal (axial) com esforço solicitante inferior a esforço solicitante inferior a tensão admissível.tensão admissível. Deve-se pesquisar a flambagem sempre que as barras forem compridas.

Deve-se pesquisar a flambagem sempre que as barras forem compridas.

O fenômeno de flambagem ocorre quando a carga não está concentrada no centro de O fenômeno de flambagem ocorre quando a carga não está concentrada no centro de gravidade da barra.

gravidade da barra. Outro fator que influi

Outro fator que influi é a não uniformidade da secçãoé a não uniformidade da secção

Tensão de f

Tensão de flambagelambagemm

Cálculo de

Cálculo de para secção circularpara secção circular

E

E = módulo de elasticidade = módulo de elasticidade



 = = índice índice de de esbeltezesbeltez

Lf

Lf = = comprimento teórico de flambagemcomprimento teórico de flambagem i

i = raio de giração = raio de giração

J

J = momento de inércia da secção = momento de inércia da secção S

S= área da secção= área da secção

S S J J ii ii Lf Lf E E f f                 ² ² ² ² gula gular r re re ção ção para para A A B B J J circular circular ção ção para para d d J J tan tan _ _ sec sec _ _ 12 12 _ _ sec sec _ _ 64 64 3 3 4 4           4 4 16 16 ²² 4 4 ²² 64 64 4 4 d d d d d d d d ii          

(36)

36 36

Para que não haja f

Para que não haja flambagelambagem devemos term devemos ter



 = coeficiente de segurança = coeficiente de segurança 

 = tensão admissível = tensão admissível

Valores de Valores de Lf Lf Lf Lf = 2L= 2L LfLf = L= L LfLf = 0,7L= 0,7L LfLf = 0,5L= 0,5L

Material

_E_E

_(kg/cm²)

    _f_f

Aço ABNT

1010/1020

2,1 x 10

66

₁₀₀

₂₀₅₀

Aço ABNT 1040

2,1 x 10

66

₉₃

₂₄₀₀

Ferro

Ferro fundido

fundido

1 1 x

x 10

10

66

₈₀

₁₅₄₀

Se os valores de

Se os valores de   forem menores do que os da tabela acima deve-se usar a fórmula forem menores do que os da tabela acima deve-se usar a fórmula

de Tetmayer de Tetmayer

Para aços com baixo t

Para aços com baixo teor de carbono:eor de carbono:   f f =3100 - 11,4=3100 - 11,4 

Para aços com alto teor de carbono:

Para aços com alto teor de carbono:   f f =3350 - 6,2=3350 - 6,2 

Se os valores de

Se os valores de   forem maiores do que os da tabela acima deve-se usar a fórmula forem maiores do que os da tabela acima deve-se usar a fórmula

de Euler de Euler          f f ² ² ² ²       f f  E E

(37)

37 37

Curva de flambagem para a liga de alumínio 6063 ( temperas T5 e T6) Curva de flambagem para a liga de alumínio 6063 ( temperas T5 e T6)

1 - Calcular a tensão de flambagem de um aço ABNT 1040 sendo o índice de esbeltez 1 - Calcular a tensão de flambagem de um aço ABNT 1040 sendo o índice de esbeltez



 = 110= 110

2 -

2 - Calcular a carga de flambagem de uma barra com Calcular a carga de flambagem de uma barra com as extremidades engastadasas extremidades engastadas com diâmetro 2cm e comprimento 6m. Determinar também o índice de esbeltez e a com diâmetro 2cm e comprimento 6m. Determinar também o índice de esbeltez e a tensão de f

tensão de flambagemlambagem..

A força

A força peso máxima qupeso máxima que se pode colocae se pode colocar sobre a barra sr sobre a barra sem que a mesem que a mesma sema se encurve é 181kgf encurve é 181kgf ²² // 23 23 ,, 1711 1711 12100 12100 2100000 2100000 ²² ²² ²² cm cm kg kg E E f f                  k kgf gf Lf Lf J J E E Pf Pfl l cm cm d d J J cm cm m m L L Lf Lf Lf Lf J J E E S S J J Lf Lf S S E E ii Lf Lf S S E E Pf Pfl l 181 181 ²² 300 300 785 785 ,, 0 0 2100000 2100000 ²² 14 14 ,, 3 3 ²² ²² 785 785 ,, 0 0 64 64 24 24 ,, 50 50 64 64 2 2 14 14 ,, 3 3 64 64 300 300 3 3 6 6 5 5 ,, 0 0 5 5 ,, 0 0 ²² ²² ²² ²² ²² ²² 4 4 4 4                                                                  

(38)

38 38

3 - Calcular a tensão de flambagem de uma barra com secção retangular 2,5 x 4,0cm 3 - Calcular a tensão de flambagem de uma barra com secção retangular 2,5 x 4,0cm sabendo-se que a carga de flambagem é devida a um corpo com massa 200kg.

sabendo-se que a carga de flambagem é devida a um corpo com massa 200kg.

4 - Determinar o índice de esbeltez de uma barra de madeira com 8m de comprimento 4 - Determinar o índice de esbeltez de uma barra de madeira com 8m de comprimento e secção transversal retangular A=20cm x B=25cm.

e secção transversal retangular A=20cm x B=25cm.

5 - Calcular a carga de flambagem de uma barra com secção circular de 3 cm de 5 - Calcular a carga de flambagem de uma barra com secção circular de 3 cm de diâmetro e 7 m

diâmetro e 7 m de comprimento, Considerade comprimento, Considerar uma extremidade engastada e a r uma extremidade engastada e a outraoutra guiada.

guiada.

Tensão de cisalhamento Tensão de cisalhamento

É a tensão gerada por forças aplicadas em sentidos opostos ou em sentidos com É a tensão gerada por forças aplicadas em sentidos opostos ou em sentidos com direções semelhantes porém com diferentes valores. É representada pela letra direções semelhantes porém com diferentes valores. É representada pela letra 

A fórmula de cálcu

A fórmula de cálculo é o quocienlo é o quociente da força pela sete da força pela secção transversal dcção transversal da peçaa peça submetida ao esforço de tensão.

submetida ao esforço de tensão.

²² // 58 58 ²² 1 1 14 14 ,, 3 3 181 181 ²² 150 150 5 5 ,, 0 0 300 300 5 5 ,, 0 0 4 4 2 2 4 4 4 4 ²² 64 64 4 4 cm cm kgf kgf d d Pf Pfl l fl fl ii Lf Lf cm cm d d d d d d ii                                       k kgf gf S S Pf Pfl l fl fl E E fl fl 20 20 4 4 5 5 ,, 2 2 200 200 ²² ²²                     ² ² 500 500 25 25 20 20 16666 16666 12 12 ³ ³ 20 20 25 25 12 12 ³ ³ ₄₄ cm cm S S cm cm A A B B J J                 k kgf gf Lf Lf J J E E Pf Pfl l Lf Lf J J E E Pf Pfl l cm cm m m L L Lf Lf cm cm d d J J 9 9 ,, 335 335 ²² 490 490 9 9 ,, 3 3 10 10 1 1 ,, 2 2 ²² 14 14 ,, 3 3 ²² ²² ²² ²² 490 490 9 9 ,, 4 4 7 7 7 7 ,, 0 0 7 7 ,, 0 0 9 9 ,, 3 3 64 64 34 34 ,, 254 254 64 64 3 3 14 14 ,, 3 3 64 64 6 6 4 4 4 4                                                     S S F F     137 137 8 8 ,, 5 5 800 800 8 8 ,, 5 5 3 3 ,, 33 33 500 500 16666 16666               ii L L cm cm S S J J ii  

(39)

39 39

1 - Calcular na figura acima qual a tensão de cisalhamento do pino sabendo-se que 1 - Calcular na figura acima qual a tensão de cisalhamento do pino sabendo-se que tem área de 10cm² e que a força é igual a 5000kgf.

tem área de 10cm² e que a força é igual a 5000kgf.

2 - Calcular qual deve ser o diâmetro do pino 2 - Calcular qual deve ser o diâmetro do pino sabendo-se que a força de tração é de

sabendo-se que a força de tração é de 1256kgf e a tensão de cisalhamento 400kg/cm²

1256kgf e a tensão de cisalhamento 400kg/cm²

Vínculos Vínculos

Vínculo é todo dispositivo capaz de

Vínculo é todo dispositivo capaz de colocar uma estrutura em equilíbrio ou colocar uma estrutura em equilíbrio ou seja, seja, sãosão orgãos limitadores de

orgãos limitadores de movimento.movimento.

Vínculo articulado fixo: Neste dispositivo a resultante das forças deve passar Vínculo articulado fixo: Neste dispositivo a resultante das forças deve passar pelopelo apoio e tem uma direção qualquer que pode ser decomposta em duas direções. apoio e tem uma direção qualquer que pode ser decomposta em duas direções.

Vínculo articulado móvel: Limita o movimento somente no sentido vertical. Vínculo articulado móvel: Limita o movimento somente no sentido vertical.

² ² // 500 500 ² ² 10 10 5000 5000 cm cm kg kg cm cm kgf kgf S S F F         ²² 14 14 ,, 3 3 ²² // 400 400 1256 1256 cm cm cm cm k kg g k kgf gf F F S S S S F F           cm cm R R D D cm cm R R cm cm S S R R 2 2 2 2 1 1 1 1 14 14 ,, 3 3 ²² 14 14 ,, 3 3 ²²              

(40)

40 40

Engastamentos

Engastamentos: Existem três : Existem três reações de apoio, sendo uma horizontal, outra vertical ereações de apoio, sendo uma horizontal, outra vertical e a terceira em movimento

a terceira em movimento

Condição de equilíbrio: Uma estrutura estará em equilíbrio quando a soma dos Condição de equilíbrio: Uma estrutura estará em equilíbrio quando a soma dos momentos, forças verticais e

momentos, forças verticais e forças horizontais forem nulas separadamente.forças horizontais forem nulas separadamente.

1 - Calcular as reações da estrutura a seguir 1 - Calcular as reações da estrutura a seguir

decompondo em duas forças e apoiando decompondo em duas forças e apoiando

0 0  



V V



_H_H__ 00



_M_M __00 0 0 0 0 5 5 5 5 ,, 0 0 10 10 30 30 10 10 0 0 66 66 ,, 8 8 866 866 ,, 0 0 10 10 30 30 cos cos 10 10 0 0 1 1 1 1 1 1                                    



H H H H H H kgf kgf sen sen V V V V kgf kgf H H H H k kg g RB RB RB RB RB RB RA RA kgf kgf RA RA V V RA RA V V RA RA kgf kgf RB RB RA RA V V RB RB RA RA V V RB RB RA RA 3 3 2 2 5 5 5 5 2 2 5 5 2 2 5 5 10 10 2 2 5 5 0 0 2 2 5 5 5 5 0 0 1 1 1 1                                                

(41)

41 41

2 - Calcular as reações na estrutura abaixo 2 - Calcular as reações na estrutura abaixo

Tipos de

Tipos de carregamencarregamentoto

1 - Carga concentrada: Neste caso o esforço aplicado na estrutura está localizado num 1 - Carga concentrada: Neste caso o esforço aplicado na estrutura está localizado num ponto fixo.

ponto fixo.

2 - Carga distribuída: Neste caso a carga pode ter uma distribuição uniforme ou 2 - Carga distribuída: Neste caso a carga pode ter uma distribuição uniforme ou segundo outras leis

segundo outras leis

3 - Binário: É o movimento aplicado à viga 3 - Binário: É o movimento aplicado à viga

kgf kgf sen sen V V V V kgf kgf H H H H 7 7 ,, 70 70 707 707 ,, 0 0 100 100 45 45 100 100 0 0 7 7 ,, 70 70 707 707 ,, 0 0 100 100 45 45 cos cos 100 100 0 0 1 1 1 1                            



kgf kgf RB RB kgf kgf RB RB RA RA RB RB RB RB RA RA kgf kgf RA RA RA RA RA RA kgf kgf RB RB RA RA V V RB RB RA RA 3 3 2 2 5 5 5 5 ,, 69 69 2 2 ,, 51 51 7 7 ,, 120 120 7 7 ,, 120 120 7 7 ,, 120 120 2 2 ,, 51 51 5 5 05 05 ,, 256 256 05 05 ,, 106 106 150 150 5 5 0 0 5 5 ,, 1 1 7 7 ,, 70 70 3 3 50 50 5 5 7 7 ,, 120 120 50 50 7 7 ,, 70 70 50 50 1 1                                                          