0.2 Qual o objetivo do método de Nyquist?

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Diagrama de Nyquist

Paulo Roberto Brero de Campos

0.1 Introdu¸c˜ao

A análise de Nyquist é um método de resposta em frequência essencialmente gráfico para determinar a estabilidade relativa e absoluta de um sistema de controle em malha fechada.

0.2 Qual o objetivo do m´etodo de Nyquist?

O objetivo do diagrama de Nyquist é fazer uma varredura no semiplano direito, utilizando um contorno fechado, para verificar se há pólos em malha fechada no semiplano direito.

Para fazer a varredura escolhe-se um percurso fechado, como mostrado na figura 1:

Figura 1: Percurso fechado no plano s

1. O percurso come¸ca no ponto ae vai para o ponto b, no eixos=jω. Isto é, varia¸cão de jω= 0 até jω =∞.

2. O percurso do ponto b para o ponto c e para o ponto d, ´e feita com um c´ırculo de raio infinito: s= lim

R→∞Re^(jθ), −90⁰ ≤θ ≤90⁰.

3. O percurso final vai do ponto d para o ponto e, no eixo s =jω. Isto é, varia¸cão de jω =−∞até jω= 0.

Estes valores da variávelSsão substitu´ıdos na fun¸cão de transferênciaG(s)H(s), gerando um percurso fechado no plano G(s)H(s).

Exemplo: Dada a fun¸cão de transferência GH(s) = _s+1¹ , o mapeamento do semiplano direito do plano S resulta no percurso mostrado na figura 2. Note que a região de limR→∞Re^jθ

´

e mapeada no ponto b⁰, c⁰, d⁰.

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Figura 2: Percurso fechado no plano GH(s)

Figura 3: Percurso fechado no plano s

Se houver alguma singularidade (p´olo ou zero) no trajeto, ela deve ser evitada. Faz-se um desvio contornando a singularidade com um raio tendendo a zero, como mostrado na figura 3.

O percurso fechado no plano s resulta em um percurso fechado equivalente no plano GH(s), isto ´e, o percurso no plano s ´e mapeado no plano GH(s).

0.3 No que se baseia o crit´erio de Nyquist?

Veja o seguinte exemplo, na figura 4:

Figura 4: a) Percurso fechado no plano s; b) Percurso fechado no plano F(s)=GH(s) Ser´a feito um percurso fechado no plano S ao redor do p´olo s=-2, mostrado em (a) na

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figura 4. Através desta trajetória no plano s, obtém-se a trajetória no plano F(s), mostrado em (b) na figura 4. Note que o percurso F(s) engloba a origem dos eixos.

Um contorno fechado no plano P(s) é dito fazerN envolvimentos positivosda origem se uma linha radial, tra¸cada da origem a um ponto sobre a curva P(s), está no sentido dos ponteiros do relógio (SP) por 360 N graus, percorrendo completamente o percurso fechado, como mostrado na figura 5. Se o percurso é percorrido no sentido contrário dos ponteiros do relógio(SI), é obtido um envolvimento negativo.

Figura 5: Um envolvimento da origem no Plano P(s)

O n´umero total de envolvimentos N ´e igual aos envolvimentos SP menos os envolvimentos Si.

Se a origem estiver envolvida: N >0.

Se a origem n˜ao estiver envolvida: N ≤0.

0.4 Diferen¸ca entre os planos GH(s) e 1 + GH(s)

O desenho do gráfico no plano (1+GH(s)) é o mesmo que o desenho do gráfico deGH(s), apenas deslocado de 1.

A análise no planoGH(s) verifica se há envolvimento da origem. No plano (1 +GH(s)), verifica-se se há envolvimento do ponto (−1,0j).

Figura 6: Comparando GH(s) e (1+GH(s))

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A compara¸cão da fun¸cãoG(s) = 1/(s+ 1) no plano G(s) e no plano (1+G(s)) é mostrada na figura 7

Figura 7: Comparando GH(s) e (1+GH(s))

Dada uma fun¸cão 1+GH(s), ao percorrer um contorno fechado no plano s, os pólos/zeros externos a este contorno terão defasamento zero. Os pólos zeros dentro do contorno terão defasamento 2π, como mostrado na figura 8.

Figura 8: Fase dentro e fora do contorno C

Este contorno fechado no plano s corresponde a um contorno fechado no plano 1+GH(s).

Quando o contorno de 1+GH(s) engloba a origem, como mostrado em (b) da figura 4, significa que o contorno no plano s envolveu um p´olo.

0.5 Princ´ıpio do argumento ou teorema de Cauchy

Seja P o número de pólos e z o número de zeros de 1 +GH(s) envolvidos por Γ.

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Como para cada zero envolvido o vetor 1 +GH(s) sofre uma rota¸c˜ao de (−2π) em torno da origem do plano 1 +GH(s) (sentido dos ponteiros do rel´ogio).

Como para cada pólo envolvido o vetor 1 +GH(s) sofre uma rota¸cão de (+2π) em torno da origem do plano 1 +GH(s) (sentido contrário dos ponteiros do relógio).

Conclui-se que a varia¸cão de fase resultante ⁶ 1 +GH(s), ou seja, o número de vezes que a origem do plano 1 + GH(s) é envolvida indica a diferen¸ca entre o número de pólos e o número de zeros envolvidos pelo contorno Γ.

6 1 +GH(s) = 2π(z−p) N =Z−P

onde, N= é o número de envolvimentos da origem; e Z e P são os pólos e zeros envolvidos pelo contorno no plano S, que são os zeros e pólos da fun¸cão 1+GH(s).

Lembrando que F(s) = _1+GH^G , então os zeros de 1 +GH(s) são os pólos da fun¸cão de transferência em malha fechada. E os pólos de 1 +GH(s) são conhecidos, pois são os pólos de GH(s).

0.6 Crit´erio de estabilidade de Nyquist

Os diagramas de 1+GH(s) e GH(s) s˜ao iguais, apenas deslocados de uma unidade. Ent˜ao em vez de verificar se o ponto 0 no plano 1+GH(s) foi envolvido pelo contorno, verifica-se o ponto -1 no plano GH(s).

Assim, o critério de Nyquist já é enunciado para o plano GH(s).

Critério de Nyquist: Uma condi¸cão necessária e suficiente para a estabilidade em malha fechada de um sistema definido por GH(s) é que:

Z =N+P = 0

Ou seja, que N = −P ≤ 0, onde N é igual ao número de envolvimento do ponto -1 no plano GH(s) e P corresponde ao número de pólos instáveis de GH(s).

0.7 Exemplos

Considere o sistema G(s) = _s(s+1)¹ . O percurso a ser seguido no plano S ´e mostrado na figura 3.

Inicia-se pelo caminho ab: faz-se s = jω para 0 < w < ∞. A fun¸c˜ao de transferˆencia pode ser escrita como:

GH(jω) = 1

jω(jω+ 1) = 1 ω√

ω²+ 1

6 −90⁰−tan⁻¹ω (1)

Para os valores extremos, tem-se:

lims→0GH(jω) = ∞⁶ −90⁰ lim

s→∞GH(jω) = 0⁶ −180⁰ (2)

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Na medida que ω cresce no intervalo 0 < ω < ∞, a magnitude de GH decresce de ∞ a 0 e a fase decresce de−90 a −180.

O caminho de ´e o espelho de ab.

O caminho bcd ´e mapeado na origem.

Para o caminho ef a, busca-se evitar o p´olo, fazendo um c´ırculo de raio tendendo a zero:

s= limρ→0ρe^jθ para −90≤θ ≤90

ρ→0limGH(ρe^jθ) = lim

ρ→0

1

ρe^jθ(ρe^jθ+1) = lim

ρ→0

1

ρe^jθ =∞e^−jθ =∞⁶ −θ (3) O caminho ef a´e mapeado em um semic´ırculo de raio infinito.

Figura 9: Contorno fechado no plano GH

0.8 Defini¸c˜oes

Um contorno fechado em um plano complexo ´e uma curva cont´ınua come¸cando e termi- nando no mesmo ponto.

Figura 10: Contorno fechado

Todos os pontos à direita de um contorno enquanto ele percorre uma determinada dire¸cão são ditos serem envolvidos por ele.

Um contorno no sentido dos ponteiros do rel´ogio ´e definido como sendo positivo.

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Figura 11: Envolvimento do contorno

Figura 12: Dire¸c˜ao do contorno

Na figura 13 são mostrados alguns mapeamentos dos contornos do plano s para o plano F(s) = ^s+1_s−1. Se o contorno no plano s envolve o pólo de F(s), há um envolvimento da origem no plano F(s) no sentido anti-horário. Se o contorno no plano s envolve o zero de F(s), há um envolvimento da origem do plano F(s) no sentido horário. Se o contorno no plano s envolve tanto o zero como o pólo, ou se o contorno não envolve nem o zero nem o pólo, então não há envolvimento da origem do plano F(s) pelo lugar geométrico de F(s). No plano s, um ponto percorre um contorno no sentido horário.

Exemplo

Uma certa fun¸cão de transferência P(s) é conhecida como tendo um zero no semi-plano direito do plano-s, e este zero é envolvido pelo contorno do plano-s mapeado no plano P(s), como mostrado na figura 14. Os pontos s1, s2, s3 e P(s1), P(s1), P(s1) determinam a dire¸cão dos seus respectivos contornos. A região sombreada à direita do contorno no plano-P(s) indica que N ≤ 0, desde que a origem não está na região sombreada. Mas, claramente o contorno P(s) envolve a origem uma vez na dire¸cão contrária dos ponteiros do relógio.

Então N = −1. Então o número de pólos de P(s) envolvidos pelo contorno no plano-s é P =Z−N = 1−(−1) = 2.

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Figura 13: Dire¸c˜ao do contorno

Figura 14: Exemplo