MAT 112 — Turma 2017146 Vetores e Geometria
Prof. Paolo Piccione
Prova 2
29 de junho de 2017 Nome:
N´ umero USP:
Assinatura:
Instru¸ c˜ oes
• A dura¸ c˜ ao da prova ´ e de uma hora e quarenta minutos.
• Assinale as alternativas corretas na folha de respostas que est´ a no final da prova.
E permitido deixar quest˜ ´ oes em branco.
• Cada quest˜ ao tem apenas uma resposta correta.
• O valor total da prova ´ e de 10 pontos; cada quest˜ ao correta vale
12ponto (0.5) e, caso houver mais de trˆ es respostas erradas, cada quest˜ ao errada implica num desconto de
101de ponto (0.10).
• No final da prova, deve ser entregue apenas a folha de respostas (na
´
ultima p´ agina).
• Boa Prova!
Terminologia e Nota¸ c˜ oes Utilizadas na Prova
• E
2e E
3denotam respeitivamente o plano e o espa¸co euclidiano.
• Onde n˜ ao especificado diversamente, todos os sistemas de coordenadas em E
2e em E
3s˜ ao ortonormais.
N ˜ AO ESQUEC ¸ A DE POR SEU NOME NA FOLHA DE RESPOSTAS!!!
C
Quest˜ ao 1. Considere a cˆ onica de equa¸ c˜ ao 3x
2− 3xy + y
2− 2 = 0 em E
2. Sejam (u, v) coordenadas ortonormais no plano obtidas por uma rota¸ c˜ ao de um ˆ angulo θ do sistema de coordenadas (x, y). Assuma que no sistema de coordenadas (u, v) a equa¸ c˜ ao da cˆ onica seja da forma Au
2+ Bv
2+ C = 0.
Calcule a tangente de 2θ.
(a) tan(2θ) = −
52; (b) tan(2θ) = −
32;
(c) tan(2θ) =
32; (d) tan(2θ) =
52;
(e) tan(2θ) = −
72.
Quest˜ ao 2. Considere a esfera S : (x − 1)
2+ (y + 2)
2+ (z + 3)
2= 25.
Determine os centros dos c´ırculos de raio 4, contidos em S, e com centro sobre a reta r : (1, −2, 0) + λ(2, 1, −1).
(a) C
1= (3, −1, 1) e C
2= (1, −2, 0);
(b) C
1= (3, −1, −1) e C
2= (1, −2, 3);
(c) C
1= (3, 1, −1) e C
2= (1, −2, 0);
(d) C
1= (3, −1, −1) e C
2= (1, −2, 0);
(e) C
1= (3, −1, −1) e C
2= (−1, −2, 0).
Quest˜ ao 3. Considere o ponto A = (1, 2, 1) e a reta
r :
x − y + z = 1 2x + y = 2
Determine a equa¸ c˜ ao do plano π que cont´ em a reta r e o ponto A.
(a) π : x − 3y + 2z = 1;
(b) π : x − 7y + 2z = 5;
(c) π : 4x − y + 2z = 4;
(d) π : x − 2y + 2z = 4;
(e) π : 4x − y = 5.
Quest˜ ao 4. Seja S uma esfera de centro C = (2, 1, 0), e suponha que a interse¸ c˜ ao de S com o plano π : 2x − 3y + 4z = 2 seja um c´ırculo de raio r =
q
2829
. Calcule o raio R de S.
(a) R = 1;
(b) R =
13;
(c) R =
15;
(d) R =
12;
(e) R = 2.
Quest˜ ao 5. Determine a interse¸ c˜ ao S
1∩ S
2, onde S
1e S
2s˜ ao as esferas em E
3de equa¸ c˜ ao:
S
1: 4x
2+ 4y
2+ 4z
2− 16x − 8y + 8z + 7 = 0 S
2: 4x
2+ 4y
2+ 4z
2+ 8y − 16z + 3 = 0.
(a) as equa¸ c˜ oes dadas n˜ ao correspondem a esferas;
(b) S
1∩ S
2´ e um c´ırculo de raio
172; (c) S
1∩ S
2= ∅;
(d) S
1∩ S
2´ e um c´ırculo de raio
√17 2
; (e) S
1∩ S
2= {P }, onde P = 1, 0,
12.
Quest˜ ao 6. O plano π : x + y − z − 2 = 0 em E
3intercepta os eixos cartesianos nos pontos A,B e C. Calcular a ´ area do triˆ angulo ABC.
(a) 2 √ 2;
(b) 2;
(c) 2 √ 3;
(d) 3 √ 3;
(e) √ 3.
Quest˜ ao 7. Calcule a distˆ ancia entre as retas:
r
1: (2, 1, 0) + λ(1, 1, 1)
r
2: (1, 1, −1) + λ(2, 2, 0), λ ∈ R . (a)
√12
; (b)
√32
; (c)
√35
; (d)
√15
; (e)
√13
.
Quest˜ ao 8. Determine a posi¸ c˜ ao relativa das esferas:
S
1: x
2+ y
2+ z
2− 4x − 4y + 4z + 5 + 4
√ 3 = 0, S
2: x
2+ y
2+ z
2− 2x − 2y + 2z − 1 = 0.
(a) S
1est´ a contida na parte interior de S
2, e ´ e tangente a S
2; (b) S
1est´ a contida na parte interior de S
2, e S
1∩ S
2= ∅;
(c) S
1est´ a contida na parte interior de S
2, e S
1∩ S
2´ e um c´ırculo de raio r =
14;
(d) S
1est´ a contida na parte exterior de S
2, e ´ e tangente a S
2;
(e) S
1est´ a contida na parte exterior de S
2, e S
1∩ S
2= ∅.
Quest˜ ao 9. Seja S uma esfera de centro C = (2, 1, −1), e suponha que o plano π : x + z + 1 = 0 seja tangente a S. Calclule o raio de S.
(a) √ 3;
(b)
√12
; (c) √
2.;
(d)
√13
; (e)
√35
.
Quest˜ ao 10. Calcule a distˆ ancia entre o ponto P
0= (1, 2, −1) e o plano π : 2x − 4y + z − 1 = 0.
(a)
√72
; (b)
√35
; (c)
√53
; (d)
√27
; (e)
√821
.
Quest˜ ao 11. Escreva a equa¸ c˜ ao do plano π perpendicular ` a dire¸ c˜ ao do vetor
~
v = (1, 1, −1) e passante por P
0= (−2, −1, 3).
(a) π : x + y + z + 6 = 0;
(b) π : x − y − z + 6 = 0;
(c) π : −x + y − z + 6 = 0;
(d) π : x + y − z − 6 = 0;
(e) π : x + y − z + 6 = 0.
Quest˜ ao 12. Que letra ´ e Σ?
(a) sigma min´ usculo (alfabeto grego);
(b) epsilon min´ usculo (alfabeto grego);
(c) ˆ aleph (alfabeto ´ arabe);
(d) Epsilon mai´ usculo (alfabeto grego);
(e) Sigma mai´ usculo (alfabeto grego).
Quest˜ ao 13. Determine a equa¸ c˜ ao da esfera S em E
3com centro no ponto C = (1, 1, 2) e raio R = √
6
(a) S : x
2+ y
2+ z
2− 2x − 4y + 4z = 0;
(b) S : x
2+ y
2+ z
2− 2x − 2y + 4z = 0;
(c) S : x
2+ y
2+ z
2− 2x − 2y + 2z = 0;
(d) S : x
2+ y
2+ z
2− 4x − 2y + 4z = 0;
(e) S : x
2+ y
2+ z
2+ 2x − 2y + 4z = 0.
Quest˜ ao 14. Determine a posi¸ c˜ ao relativa das retas r e s dadas por:
r : (1, −1, −1) + λ(2, 1, 3) e s : (5, 1, 5) + λ 1,
12,
32, λ ∈ R (a) r e s s˜ ao paralelas, e r 6= s;
(b) r e s s˜ ao reversas;
(c) r ∩ s ´ e um c´ırculo de raio
12; (d) r = s;
(e) r e s s˜ ao concorrentes.
Quest˜ ao 15. Determine a equa¸ c˜ ao param´ etrica da reta que passa pelo ponto A = (3, 2, 1) e ´ e simultaneamente ortogonal ` as retas
r
1:
x = 3
z = 1 e r
2:
y = −2x + 1 z = −x − 3.
(a) r :
x = 1 − λ y = 2 z = 1 − 2λ;
(b) r :
x = 3 − 4λ y = 2 z = 1 − 2λ;
(c) r :
x = 3 − λ y = 2 + λ z = 1 − λ;
(d) r :
x = 3 − λ y = 2 z = 1 − λ;
(e) r :
x = 4 − λ y = 2 + 3λ z = 5 − λ.
Quest˜ ao 16. Calcule a distˆ ancia entre o ponto P
0= (0, 1, −2) e a reta r : (1, 2, 1) + λ(1, −2, 1).
(a) q
313
; (b)
q
31 5; (c)
q
31 7; (d)
q
17 5; (e)
q
17 3.
Quest˜ ao 17. Escreva uma equa¸ c˜ ao cartesiana do plano:
π :
x = 1 + λ − µ y = 2λ + µ z = 3 − µ (a) π : −2x + y + 3z − 7 = 0;
(b) π : −2x + y + 3z + 7 = 0;
(c) π : −2x + y + z − 7 = 0;
(d) π : 2x + y + 3z − 7 = 0;
(e) π : −2x − y + 3z − 7 = 0.
Quest˜ ao 18. Seja S
1a esfera de centro C
1= (1, 2, 1) e raio R
1=
√32
