UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO CENTRO DE ENGENHARIAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL CAROLINE GALVÃO TOSCANO

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO CENTRO DE ENGENHARIAS

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

CAROLINE GALVÃO TOSCANO

ANÁLISE DIFERENCIAL E NUMÉRICA DO PROBLEMA DE DEFLEXÃO PARA VIGA BIAPOIADA SUJEITA A UMA CARGA UNIFORME

Mossoró/ RN 2018

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CAROLINE GALVÃO TOSCANO

ANÁLISE DIFERENCIAL E NUMÉRICA DO PROBLEMA DE DEFLEXÃO PARA VIGA BIAPOIADA SUJEITA A UMA CARGA UNIFORME

Trabalho Final de Graduação apresentado a Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA, Centro de Engenharias para obtenção do título em Bacharel em Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Dr. Matheus da Silva Menezes - UFERSA

Mossoró/ RN 2018

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responsabilidade do (a) autor (a), sendo o mesmo, passível de sanções administrativas ou penais, caso sejam infringidas as leis que regulamentam a Propriedade Intelectual, respectivamente, Patentes: Lei n° 9.279/1996 e Direitos Autorais: Lei n°

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T713a Toscano, Caroline Galvão.

Análise diferencial e numérica do problema de deflexão para viga biapoiada sujeita a uma carga uniforme / Caroline Galvão Toscano. - 2018.

38 f. : il.

Orientador: Matheus da Silva Menezes.

Monografia (graduação) - Universidade Federal Rural do Semi-árido, Curso de Engenharia Civil, 2018.

1. Métodos numéricos aplicados à Engenharia. 2.

Método das diferenças finitas. 3. Deflexão em vigas. I. Menezes, Matheus da Silva, orient. II.

Título.

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RESUMO

A relevância da determinação da máxima deflexão, em uma viga sujeita a um determinado carregamento, está no fato de que, usualmente, as especificações de projeto de uma viga contém um valor máximo admissível para deflexão, que está relacionado à durabilidade, aparência, conforto do usuário e à boa utilização da mesma, seja em relação aos usuários, às máquinas ou aos equipamentos utilizados. Tendo em vista a importância do estudo, o trabalho proposto objetiva apresentar a modelagem e aplicação das equações diferenciais no estudo de deflexão de vigas através de análises numéricas computacionais. Experimentalmente, foi realizado um estudo computacional do Método das Diferenças Finitas, analisando suas aproximações numéricas em um caso particular de uma viga bi-apoiada de seção transversal retangular, com uma carga uniformemente distribuída de modo que as extremidades não sofrem deflexão. Nos experimentos variamos o número de pontos analisados (malha computacional) e também a forma de discretização da malha. Comparamos os resultados do ponto de vista analítico, de forma a aferir a eficiência dos métodos aplicados ao problema, de forma a obter o resultado esperado.

Palavra-Chave: Métodos numéricos aplicados à Engenharia, Método das diferenças finitas, deflexão em vigas.

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Representação geométrica de um problema de valor inicial. ... 12

Figura 2- Representação geométrica de um problema de valor de contorno. ... 13

Figura 3- Malha uniforme em um intervalo [a,b]. ... 17

Figura 4- Malha não-uniforme em um intervalo [a,b]. ... 17

Figura 5- Exemplo de deflexão em vigas. ... 20

Figura 6- Exemplos típicos de linhas elásticas para vigas carregadas. ... 20

Figura 7- Linha elástica de uma viga biapoiada submetida a esforços. ... 21

Figura 8- Deformação da seção transversal da viga. ... 21

Figura 9- Viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuída. ... 22

Figura 10- Diagrama de corpo livre ... 22

Figura 11- Seção da viga. ... 23

Figura 12- Problema A1. ... 29

Figura 13 - Gráfico do ERRO MÉDIO (0-0,4L) X Número de nós ... 34

Figura 14 -Gráfico do ERRO MÉDIO (0,4L-0,6L) X Número de nós ... 34

Figura 15 - Gráfico do ERRO MÉDIO (0,6L-L) X Número de nós ... 34

Figura 16 - Gráfico do ERRO MÉDIO TOTAL X Número de nós ... 35

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1- Algoritmo utilizado para o Método das Diferenças Finitas com malhas uniformes

(MU). ... 27

Tabela 2- Algoritmo utilizado para o Método das Diferenças Finitas com malhas não- uniformes MNU1 ... 27

Tabela 3- Algoritmo utilizado para o Método das Diferenças Finitas com malhas não- uniformes MNU2 ... 28

Tabela 4 - Resultado do problema para N=50 ... 30

Tabela 5 - Gráficos que representam a deflexão viga para N=50 ... 30

Tabela 11- Gráficos que representam a deflexão viga para N=1000 ... 32

Tabela 12- Resultados gerais obtidos através da resolução do problema ... 33

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SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ... 8

1.1. OBJETIVOS DO ESTUDO ... 8

1.1.1. Objetivo Geral ... 8

1.1.2. Objetivos Específicos ... 9

1.2. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ... 9

2. REFERENCIAL TEÓRICO ... 10

2.1. EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 2ª ORDEM ... 10

2.1.1. Princípio de superposição ... 11

2.1.2. PVI e PVC de segunda ordem ... 12

2.1.3. Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes ... 13

2.1.4. Método dos coeficientes a determinar ... 15

2.2. MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ... 16

2.2.1. Construção da malha ... 16

2.2.2. Construção do problema discreto ... 17

2.2.3. Resolução do sistema discreto ... 19

2.2.4. Visualização e interpretação dos resultados ... 19

2.3. DEFLEXÃO EM VIGAS ... 19

2.3.1. Problema de deflexão para viga biapoiada sujeita a uma carga uniforme ... 22

3. MATERIAL E MÉTODOS ... 26

3.1. METODOLOGIA ... 26

3.2. ALGORITMOS ... 26

3.3. PROBLEMA ... 28

3.3.1. Problema ... 29

4. RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 30

4.1. RESULTADO DO PROBLEMA PARA N=50 ... 30

4.5. DESEMPENHO GERAL DOS TIPOS DE MALHA UTILIZADOS ... 33

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 36

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 38

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8 1. INTRODUÇÃO

As equações diferenciais possuem uma ampla diversidade em suas aplicações, pois, muitos fenômenos quando formulados em conceitos matemáticos, envolvem funções e taxas de variações (derivadas) destas funções. Logo, seu estudo torna-se muito relevante.

Através de equações diferenciais podemos descrever e quantificar fenômenos ou sistemas de forma matemática, nos fornecendo uma formulação simplificada do processo real, ou seja, a modelagem do sistema. Uma dessas modelagens, aplicada à área de engenharia civil, envolve o estudo da curva de deflexão em vigas, que utiliza técnicas de resolução para equações diferenciais de ordem superior.

Em muitas circunstâncias, torna-se difícil obter soluções de equações diferenciais analíticamente, como também existem situações em que apenas o valor numérico importa. Por estas razões é apropriado o uso do Método das Diferenças Finitas para a obtenção de tais valores, que utiliza de técnicas de aproximações numéricas, para alcançar este resultado.

Os métodos numéricos estão cada vez mais ganhando importância na engenharia, mais que em qualquer outro ramo da matemática, em virtude da constante evolução das técnicas de programação resultantes de um amplo desempenho de pesquisa nessa área, através da invenção de novos métodos e do aperfeiçoamento e adaptação de métodos já existentes (KEREYSZING, 2009).

Desta forma, o trabalho proposto, objetiva apresentar a modelagem e aplicação das equações diferenciais no estudo de deflexão de vigas, analiticamente e através de análises numéricas computacionais. Experimentalmente, também se pretende realizar um estudo computacional do Método das Diferenças Finitas, analisando suas aproximações numéricas.

Com estes estudos, pretende-se inferir situações onde é preferível utilizar cada uma das técnicas supracitadas, como também indicar vantagens e desvantagens a partir de eventos específicos.

1.1. OBJETIVOS DO ESTUDO 1.1.1. Objetivo Geral

Estudar a teoria e aplicação do método de diferenças finitas na resolução de problemas relacionados a deflexão de vigas.

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9 1.1.2. Objetivos Específicos

 Analisar os aspectos teóricos e práticos referente ao método de diferenças finitas em sua formulação tradicional.

 Fazer um comparativo analítico dos métodos na solução do problema de teste.

 Efetuar um experimento computacional para um problema de teste já consolidado na literatura, de forma a verificar o desempenho numérico do método estudado.

1.2. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

De modo a atingir os objetivos propostos, o presente trabalho está estruturado de acordo com a seguinte estrutura. O capítulo 1 contém a organização metodológica, justificativas e objetivos. O capítulo 2 apresenta a fundamentação teórica matemática que dará base aos métodos estudados. No capítulo 3, são mostrados os procedimentos utilizados para a realização dos testes, algoritmos implementados e os problemas utilizados. No capítulo 4 têm- se os experimentos computacionais apresentando os resultados obtidos nos testes de cada problema aplicado em cada método. Por fim, o capítulo 5 apresenta as considerações finais referentes ao estudo realizado.

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10 2. REFERENCIAL TEÓRICO

2.1. EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 2ª ORDEM

A fundamentação teórica sobre as equações diferenciais de segunda ordem está embasada em (ZILL,2016), (BASSANEZI.2016) e (BOYCE,2015). Além disso, a demonstração de alguns teoremas foge do escopo do presente trabalho e serão omitidos, podendo ser encontrados nas respectivas referências.

Podemos definir equação diferencial como sendo uma equação que contém as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais funções não conhecidas (ou variáveis dependentes), em relação a uma ou mais variáveis independentes. Partindo dessa definição temos como classificar uma equação diferencial de acordo com o tipo, ordem e linearidade.

De acordo com o tipo, podemos ter equações diferenciais ordinárias e parciais. Caso a equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais funções não conhecidas com relação a uma única variável independente, chamaremos de equação diferencial ordinária (EDO). Em equações que contenham derivadas parciais de uma ou várias funções de duas ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial parcial (EDP).

Quanto à ordem de uma equação diferencial, temos que ela é dada pela ordem da maior derivada presente na equação. Em símbolos, temos como representar uma equação diferencial ordinária de ordem n em uma variável dependente na forma geral

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦^′, 𝑦^′′, … , 𝑦^𝑛 = 0, (2.1) na qual 𝐹 é uma função de valores reais de 𝑛 + 2 variáveis, 𝑥, 𝑦, 𝑦^′, … , 𝑦^𝑛, onde 𝑦^𝑛 =^𝑑^𝑛^𝑦

𝑑𝑥^𝑛. Para que a derivada mais alta 𝑦^𝑛 se escreva em termos das 𝑛 + 1 variáveis remanescentes, temos

𝑦^(𝑛) = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑦^′, … , 𝑦^𝑛−1 , (2.2) onde 𝑓 é uma função contínua de valores reais, conhecida por forma normal. Como o modelo utilizado no presente trabalho é uma EDO de segunda ordem, limitaremos a teoria à este tipo de equação.

y′′ = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑦^′ (2.3)

Definimos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem (2.3) como linear se 𝑓 for linear em 𝑦 e 𝑦′. Consequentemente, uma EDO linear pode ser reescrita como sendo:

𝑎₂ 𝑥 𝑦^′′ + 𝑎₁ 𝑥 𝑦^′ + 𝑎₀ 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥) (2.4) em que 𝑎₀, 𝑎₁, 𝑎₂ e 𝑔 são funções que dependem somente de 𝑥, e a variável dependente 𝑦 e suas derivadas são do primeiro grau.

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11 2.1.1. Princípio de superposição

Chamamos de homogênea uma equação diferencial linear de segunda ordem que apresenta 𝑔 𝑥 = 0, ou seja

𝑎₂ 𝑥 𝑦^′′ + 𝑎₁ 𝑥 𝑦^′ + 𝑎₀ 𝑥 𝑦 = 0. (2.5) Se 𝑦₁ e 𝑦₂ são soluções da equação homogênea (2.5) em um intervalo 𝐼 ⊂ ℝ, então a combinação linear

𝑦 = 𝐶₁𝑦₁+ 𝐶₂𝑦₂ (2.6)

em que 𝐶_𝑖, 𝑖 = 1,2, são constantes arbitrárias, é também solução de (2.5).

Para melhor entendimento do conceito de dependência e independência linear entre funções, temos a seguinte definição:

Definição 2.1. Dizemos que uma família de funções 𝜑₁ 𝑥 , 𝜑₂ 𝑥 , … , 𝜑_𝑛 𝑥 é linearmente dependente em um intervalo 𝐼 ⊂ ℝ, se existem constantes 𝐶₁, 𝐶₂, … , 𝐶_𝑛 não todas nulas, tais que

𝐶₁𝜑₁ 𝑥 + 𝐶₂𝜑₂ 𝑥 + ⋯ + 𝐶_𝑛𝜑_𝑛 𝑥 = 0

A família de funções 𝜑₁ 𝑥 , 𝜑₂ 𝑥 , … , 𝜑_𝑛 𝑥 é linearmente independente se 𝐶₁𝜑₁ 𝑥 + 𝐶₂𝜑₂ 𝑥 + ⋯ + 𝐶_𝑛𝜑_𝑛 𝑥 = 0 ⇒ 𝐶₁ = 𝐶₂ = ⋯ = 𝐶_𝑛 = 0

No caso de apenas duas funções 𝜑₁ 𝑥 𝑒 𝜑₂ 𝑥 , elas são linearmente dependentes se existe uma constante 𝐶 tal que

𝜑₁ 𝑥 = 𝐶𝜑₂ 𝑥 ⇔𝜑₁ 𝑥 𝜑₂ 𝑥 = 𝐶 em um intervalo 𝐼 ⊂ ℝ .

Para determinar se um conjunto de funções diferenciáveis são linearmente dependentes ou independentes em um dado intervalo, é necessário calcular o Wronskiano das funções, que é exibido a seguir:

Definição 2.2. Sejam 𝑦₁ = 𝜑₁ 𝑥 e 𝑦₂ = 𝜑₂ 𝑥 funções diferenciáveis em um intervalo 𝐼 ⊂ ℝ, o determinante

𝑊 𝑦₁, 𝑦₂ = 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦′₁ 𝑦′₂ é chamado wronskiano das funções 𝑦₁ e 𝑦₂.

A partir do cálculo do Wronskiano é possível classificar as funções quanto a sua dependência ou independência linear. Para as soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea são válidos os seguintes teoremas:

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Teorema 2.1. Sejam 𝑦₁ 𝑥 e 𝑦₂ 𝑥 funções diferenciáveis em um intervalo 𝐼 ⊂ ℝ. Se o wronskiano das funções 𝑦₁(𝑥) e 𝑦₂(𝑥) for diferente de zero em todos os pontos no intervalo 𝐼 então as funções são linearmente independentes.

De maneira equivalente, temos que se as funções 𝑦₁ e 𝑦₂ são linearmente dependentes em 𝐼 então 𝑊 𝑦₁, 𝑦₂ = 0 para todo 𝑥 ∈ 𝐼.

Teorema 2.2. As soluções 𝑦₁ e 𝑦₂ da equação

𝑎₂ 𝑥 𝑦^′′ + 𝑎₁ 𝑥 𝑦^′ + 𝑎₀ 𝑥 𝑦 = 0

são linearmente independentes em 𝐼 se, e somente se, 𝑊 𝑦₁, 𝑦₂ ≠ 0 para todo 𝑥 ∈ 𝐼.

2.1.2. PVI e PVC de segunda ordem

Diversas vezes nos deparamos com problemas que precisam de uma solução 𝑦(𝑥) para uma equação diferencial de modo que atenda a certas condições de contorno, ou seja, são condições postas a uma função 𝑦(𝑥) desconhecida e suas derivadas no ponto 𝑥₀. Para um intervalo 𝐼 contendo 𝑥₀, o problema de solucionar uma EDO de segunda ordem sujeita a duas condições de contorno especificadas em 𝑥₀:

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟: 𝑎₂ 𝑥 𝑦^′′ + 𝑎₁ 𝑥 𝑦^′+ 𝑎₀ 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑆𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑦 𝑥₀ = 𝑦₀ e 𝑦^′ 𝑥₀ = 𝑦₁

(2.7) onde 𝑦₀ e 𝑦₁ são constantes reais especificadas, chamamos de problema de valor inicial (PVI). Os valores 𝑦 𝑥₀ = 𝑦₀ e 𝑦^′ 𝑥₀ = 𝑦₁ são chamados de condições iniciais.

Geometricamente falando, desejamos encontrar uma solução 𝑦 𝑥 da Equação (2.3) em um intervalo 𝐼 incluindo 𝑥₀ de maneira que o gráfico não somente passe pelo ponto (𝑥₀, 𝑦₀), mas também que a derivada nesse ponto seja 𝑦₁, como podemos ver na Figura 1.

Figura 1 - Representação geométrica de um problema de valor inicial.

Fonte: Adaptado do ZILL (2016)

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A existência e unicidade da solução de um problema de valor inicial (PVI) é de suma importância, visto que só podemos falar da “solução do PVI” se ela existir e for única, logo, percebemos a relevância do teorema a seguir:

Teorema 2.3 (Existência e unicidade de soluções). Sejam 𝑎₀ 𝑥 , 𝑎₁ 𝑥 , 𝑎₂ 𝑥 e 𝑔(𝑥), da Equação (2.5), funções contínuas em um intervalo 𝐼 da reta ℝ, com 𝑎₂ 𝑥 ≠ 0 para todo 𝑥 𝜖 𝐼. Se 𝑥₀ é um ponto deste intervalo 𝐼, então existe uma única solução 𝑦 = 𝜑(𝑥) para o problema de valor inicial dado pela Equação (2.5).

Além do PVI, também existe outro tipo de problema, que consiste em solucionar uma equação diferencial linear de segunda ordem ou superior, onde a variável dependente 𝑦 ou suas derivadas são dadas em pontos distintos. Sendo assim, dado um problema do tipo:

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟: 𝑎₂ 𝑥 𝑦^′′ + 𝑎₁ 𝑥 𝑦^′+ 𝑎₀ 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑆𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑦 𝑎 = 𝑦₀ e 𝑦 𝑏 = 𝑦₁

(2.8) que se encaixa como um problema de valor de contorno (PVC). Os valores dispostos 𝑦 𝑎 = 𝑦₀ e 𝑦 𝑏 = 𝑦₁ são chamados de condição de contorno. Uma solução para o problema é uma função que satisfaça a equação diferencial em algum intervalo I, que contenha 𝑎 e 𝑏, com o gráfico passando pelos dois pontos (𝑎, 𝑦₀) e (𝑏, 𝑦₁). Ver na Figura 2.

Figura 2- Representação geométrica de um problema de valor de contorno.

Fonte: Adaptado do ZILL (2016)

Além do PVC representado na equação (2.28), também são considerados problemas de valor de contorno de uma equação de segunda ordem: 𝑦′ 𝑎 = 𝑦₀ e 𝑦 𝑏 = 𝑦₁; 𝑦 𝑎 = 𝑦₀ e 𝑦′ 𝑏 = 𝑦₁; 𝑦′ 𝑎 = 𝑦₀ e 𝑦′ 𝑏 = 𝑦₁.

2.1.3. Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Das equações diferenciais lineares, as mais simples são as homogêneas com coeficientes constantes

𝑎𝑦^′′ + 𝑏𝑦^′+ 𝑐𝑦 = 0 (2.9)

onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são constantes e 𝑎 ≠ 0.

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Uma base de soluções da Equação (2.9) é um par de funções 𝑦₁ e 𝑦₂, que são linearmente independentes em 𝐼, satisfazendo o seguinte teorema:

Teorema 2.4 (Princípio da superposição) Se 𝑦₁ e 𝑦₂ são soluções da Equação (2.9), linearmente independentes em 𝐼 então, toda solução 𝑦 = 𝜑 𝑥 da Equação (2.9) é uma combinação linear de 𝑦₁ e 𝑦₂, isto é

𝑦 = 𝜑 𝑥 =𝐶₁𝑦₁+ 𝐶₂𝑦₂. (2.10) Tomando como base equações de primeira ordem com coeficientes constantes, temos que: 𝑦^′ = −^𝑏

𝑎∙ 𝑦 ⇔ 𝑦^′ = 𝑘 ∙ 𝑦. Sendo assim, a única função que tem como resultado de suas derivadas o múltiplo constante dela mesma, obviamente, é a exponencial 𝑦 = 𝑒^𝑚𝑥, logo, depois de substituirmos 𝑦^′ = 𝑚𝑒^𝑚𝑥 e 𝑦^′′ = 𝑚²𝑒^𝑚𝑥, a equação (2.9) torna-se

𝑎𝑚²𝑒^𝑚𝑥 + 𝑏𝑚𝑒^𝑚𝑥 + 𝑐𝑒^𝑚𝑥 = 0 ou 𝑒^𝑚𝑥 𝑎𝑚²+ 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0.

Chegando então na equação

𝑎𝑚²+ 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0, (2.11)

que chamamos de equação auxiliar da equação diferencial dada pela Equação (2.9). Sabendo que as duas raízes da Equação (2.11) são 𝑚₁ = (−𝑏 + 𝑏²− 4𝑎𝑐)/2𝑎 e 𝑚₂ = (−𝑏 − 𝑏²− 4𝑎𝑐)/2𝑎, sendo assim, teremos três formas de solução geral para a Equação (2.9), que são eles: raízes reais e distintas; raízes reais e iguais; raízes complexas conjugadas.

Para o primeiro caso, considerando que a Equação (2.11) possui duas raízes reais e distintas 𝑚₁ e 𝑚₂, encontramos duas soluções 𝑦₁ = 𝑒^𝑚¹^𝑥 e 𝑦₂ = 𝑒^𝑚²^𝑥 . Notamos que essas funções são linearmente independentes em −∞, ∞ , formando um conjunto fundamental.

Logo, a solução geral da Equação (2.9) para esse caso é

𝑦 = 𝑐₁𝑒^𝑚¹^𝑥+ 𝑐₂𝑒^𝑚²^𝑥. (2.12) Já quando temos o segundo caso, obtemos raízes reais e iguais 𝑚₁ = 𝑚₂ = −𝑏/2𝑎, temos apenas uma solução exponencial, 𝑦₁ = 𝑒^𝑚¹^𝑥. Já que a única forma de termos 𝑚₁ = 𝑚₂ é 𝑏²− 4𝑎𝑐 = 0, vamos supor que 𝑦₂ = 𝑢(𝑥)𝑦₁. Após aplicar redução de ordem, obtemos a seguinte solução da equação é

𝑦₂ = 𝑒^𝑚¹^𝑥 𝑒^2𝑚¹^𝑥

𝑒^2𝑚¹^𝑥𝑑𝑥 = 𝑒^𝑚¹^𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒^𝑚¹^𝑥 sendo assim a solução geral é dada por

𝑦 = 𝑐₁𝑒^𝑚¹^𝑥+𝑐₂𝑥𝑒^𝑚¹^𝑥. (2.13)

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15

No terceiro caso, quando −𝑏 + 4𝑎𝑐 < 0, temos raízes complexas conjugadas, logo, podemos escrever 𝑚₁ = 𝛼 + 𝑖𝛽 e 𝑚₂ = 𝛼 − 𝑖𝛽, onde 𝛼 e 𝛽 > 0 são reais e 𝑖² = −1. Sendo assim, não existe diferença entre esse caso e o primeiro. Portanto,

𝑦 = 𝐶₁𝑒^{𝛼+𝑖𝛽 𝑥} + 𝐶₂𝑒^{𝛼−𝑖𝛽 𝑥}.

Como na prática preferimos trabalhar com funções reais, usaremos a fórmula de Euler para que em vez de exponencial complexa, possamos obter uma função real, resultando assim na solução geral que é dada por:

𝑦 = 𝑒^𝛼𝑥(𝑐₁𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑐₂𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥) (2.14) 2.1.4. Método dos coeficientes a determinar

Quando nos deparamos com uma equação diferencial de segunda ordem não- homogênea, do tipo

𝑎𝑦^′′ + 𝑏𝑦^′ + 𝑐𝑦 = 𝑔 𝑥 (2.15)

temos que a solução é dada da forma 𝑦 = 𝑦_𝑐 + 𝑦_𝑝, sendo 𝑦_𝑐 a solução complementar da homogênea associada e 𝑦_𝑝 uma solução particular da ED linear não homogênea.

Um dos métodos para encontrar a solução particular 𝑦_𝑝 é o método dos coeficientes a determinar. O conceito presente no método é uma estimativa, sobre a forma de 𝑦_𝑝, que tem como base os tipos de funções que compõem 𝑔 𝑥 . O método geral é restrito a equações lineares, tais como (2.15), na qual os coeficientes 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são constantes; e 𝑔 𝑥 é uma função constante, polinomial, uma função exponencial 𝑒^𝛼𝑥, uma função seno ou cosseno 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 ou 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥, ou somas e produtos finitos dessas funções.

Sendo assim, a função 𝑔 𝑥 poderá ser representada da seguinte forma,

𝑔 𝑥 = 𝑒^𝛼𝑥𝑃_𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) ou 𝑔 𝑥 = 𝑒^𝛼𝑥𝑃_𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) (2.16) onde, 𝑃_𝑛(𝑥) é um polinômio de grau 𝑛.

O método dos coeficientes a determinar propõe a seguinte modelo para a solução particular:

𝑦_𝑝 𝑥 = 𝑒^𝛼𝑥{ 𝐴_𝑛𝑥^𝑛 + ⋯ + 𝐴₁𝑥 + 𝐴₀ cos 𝛽𝑥 + 𝐵_𝑛𝑥^𝑛 + ⋯ + 𝐵₁𝑥 + 𝐵₀ sen 𝛽𝑥 )}

(2.17)

sendo a solução particular que melhor se adeque a função 𝑔 𝑥 .

Além de encontrar a solução particular mais adequada, deve-se verificar se o termo escolhido para 𝑦_𝑝(𝑥) se encontra na solução da homogênea (𝑦_𝑐), pois se tiver algum termo

(17)

16

equivalente, é preciso multiplicar 𝑦_𝑝(𝑥) por 𝑥^𝑠, onde s é o menor inteiro positivo, tal que nenhum termo de 𝑥^𝑠𝑦_𝑝(𝑥) seja uma solução da equação homogênea associada.

Portanto, o método consiste em obter a solução geral para a equação homogênea associada, e logo em seguida encontrar uma solução particular mais conveniente, tal que nenhum termo da mesma esteja presente na solução da equação homogênea. Com a solução geral do tipo 𝑦 = 𝑦_𝑐+ 𝑦_𝑝, substituímos suas respectivas derivadas 𝑦^′ e 𝑦′′ na Equação (2.15) e encontramos os coeficientes da solução particular a partir de cálculos puramente algébricos.

2.2. MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

Os métodos que utilizam de diferenças finitas para resolução de problemas de contorno substituem cada uma das derivadas na equação diferencial por uma aproximação diferença-quociente conveniente. A diferença-quociente particular e o tamanho do passo 𝑕 são definidos para que possam manter uma ordem estabelecida de erro de trucamento. Todavia, 𝑕 não pode ser muito pequeno por causa da volubilidade das aproximações para as derivadas (BURDEN; FAIRES; BURDEN, 2015).

Considerando o seguinte problema de valor de contorno (PVC)

𝑦^′′ = 𝑔 𝑥 , 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, (2.18)

𝑦 𝑎 = 𝛼, (2.19)

𝑦 𝑏 = 𝛽, (2.20)

onde 𝛼 e 𝛽 são constantes dadas. A resolução desse problema pelo método de diferenças finitas é composto por quatro etapas essenciais: construção da malha; construção do problema discreto; resolução do problema discreto; visualização e interpretação dos resultados.

2.2.1. Construção da malha

A malha é uma representação discreta do domínio [𝑎, 𝑏]. Iremos apresentar duas formas de discretização, que são elas:

 Malhas uniformes

É o tipo de discretização mais simples, pois possuem 𝑁 pontos igualmente espaçados.

Sendo assim, para 𝑁 ∈ ℕ, temos o seguinte conjunto discreto ℳ_𝑁 = {𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑁} que representa a malha, onde

𝑥_𝑖 = 𝑎 + 𝑖 − 1 𝑕, 𝑖 = 1,2, … , 𝑁. (2.21) com

(18)

17

𝑕 = 𝑏 − 𝑎

𝑁 − 1, (2.22)

o qual chamamos de tamanho da malha. Escolher o tamanho do passo (amplitude) 𝑕 dessa maneira facilita a aplicação de um algoritmo para matrizes, que resolve um sistema linear envolvendo uma matriz 𝑁 × 𝑁.

Figura 3- Malha uniforme em um intervalo [a,b].

Fonte: Fonte Própria (2018)

 Malhas não-uniformes

São malhas que apresentam espaçamentos distintos entre os nós, ou seja, possuem amplitudes diferentes. Temos o seguinte conjunto discreto ℳ_𝑁 = {𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑁} que representa a malha, onde a amplitude será calculada de acordo com a necessidade do problema, logo, a discretização pode ser feita da seguinte forma:

𝑥_𝑖+1 = 𝑥_𝑖 + 𝑕_𝑖. (2.23)

Figura 4- Malha não-uniforme em um intervalo [a,b].

2.2.2. Construção do problema discreto

Nos pontos de malha internos, 𝑥_𝑖, para 𝑖 = 1,2, … , 𝑁, a equação diferencial a ser aproximada é:

𝑦^′′ 𝑥_𝑖 = 𝑔 𝑥_𝑖 . (2.24)

Considerando uma malha uniforme, temos que a obtenção da aproximação de 𝑦^′′ 𝑥_𝑖 , é feita a partir da expansão de 𝑦 em um polinômio de Taylor de terceira ordem em torno de 𝑥_𝑖, calculado em 𝑥_𝑖+1 e 𝑥_𝑖−1,

(19)

18 𝑦 𝑥_𝑖−1 = 𝑦 𝑥_𝑖 − 𝑕 ∙ 𝑦^′ 𝑥_𝑖 +𝑕²

2 ∙ 𝑦^′′ 𝑥_𝑖 −𝑕³

6 ∙ 𝑦^′′′ 𝑥_𝑖 +𝑕⁴

24∙ 𝑦⁴ 𝜉_𝑖⁻ (2.25) 𝑦 𝑥_𝑖+1 = 𝑦 𝑥_𝑖 + 𝑕 ∙ 𝑦^′ 𝑥_𝑖 +𝑕²

2 ∙ 𝑦^′′ 𝑥_𝑖 +𝑕³

6 ∙ 𝑦^′′′ 𝑥_𝑖 +𝑕⁴

24∙ 𝑦⁴ 𝜉_𝑖⁺ (2.26) somando as equações (2.25) e (2.26) chegamos a essa fórmula, denominadas de diferenças centradas, assumindo que 𝑦 ∈ 𝐶⁴ 𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖+1 , temos:

𝑦^′′ 𝑥_𝑖 = 1

𝑕² 𝑦 𝑥_𝑖+1 − 2𝑦 𝑥_𝑖 + 𝑦 𝑥_𝑖−1 −𝑕²

12𝑦⁴ 𝜉_𝑖 , (2.27) assumindo 𝜉_𝑖 em (𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖+1).

Utilizando esta fórmula de diferenças centradas dada pela Equação (2.27) para aproximação de 𝑦^′′ 𝑥_𝑖 , substituindo na Equação (2.24) e considerando o erro de truncamento de ordem 𝑂(𝑕²), chegamos a seguinte equação:

𝑦_𝑖−1− 2𝑦_𝑖 + 𝑦_𝑖+1 = 𝑕²𝑔 𝑥_𝑖 . (2.28) Já para malhas não-uniformes, expandimos 𝑦 em um polinômio de Taylor de terceira ordem em torno de 𝑥_𝑖, calculado em 𝑥_𝑖+1 e 𝑥_𝑖−1,

𝑦 𝑥_𝑖−1 = 𝑦 𝑥_𝑖 − 𝑕_𝑖−1∙ 𝑦^′ 𝑥_𝑖 +𝑕_𝑖−1²

2 ∙ 𝑦^′′ 𝑥_𝑖 −𝑕_𝑖−1³

6 ∙ 𝑦^′′′ 𝜉_𝑖⁻ +𝑕_𝑖−1⁴

24 ∙ 𝑦⁴ 𝜉_𝑖⁻

(2.29)

𝑦 𝑥_𝑖+1 = 𝑦 𝑥_𝑖 + 𝑕_𝑖 ∙ 𝑦^′ 𝑥_𝑖 +𝑕_𝑖²

2 ∙ 𝑦^′′ 𝑥_𝑖 +𝑕_𝑖³

6 ∙ 𝑦^′′′ 𝜉_𝑖⁺ +𝑕_𝑖³ 24

∙ 𝑦⁴ 𝜉_𝑖⁺

(2.30)

com a multiplicação da Equação (2.29) por 𝑕_𝑖 e da equação (2.30) por 𝑕_𝑖−1, com a adição dos resultados e isolamento de 𝑦′′, chegamos a seguinte fórmula, denominadas de diferenças centradas, assumindo que 𝑦 ∈ 𝐶⁴ 𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖+1 , temos:

𝑦^′′ 𝑥_𝑖 = 2

(𝑕_𝑖−1+ 𝑕_𝑖) ∙ 𝑕_𝑖−1∙ 𝑕_𝑖 𝑕_𝑖∙ 𝑦 𝑥_𝑖−1 − 𝑕_𝑖−1+ 𝑕_𝑖 ∙ 𝑦 𝑥_𝑖 + 𝑕_𝑖−1

∙ 𝑦 𝑥_𝑖+1 +𝑦^′′′ 𝜉_𝑖

3 ∙ 𝑕_𝑖−1− 𝑕_𝑖 −𝑦⁴ 𝜉_𝑖 (𝑕_𝑖−1³+ 𝑕_𝑖³) 12 ∙(𝑕_𝑖−1+ 𝑕_𝑖)

(2.31)

assumindo 𝜉_𝑖 em (𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖+1).

Utilizando esta fórmula de diferenças centradas dada pela Equação (2.31) para aproximação de 𝑦^′′ 𝑥_𝑖 , substituindo na Equação (2.24) e considerando o erro de truncamento de ordem 𝑂(𝑕), chegamos a seguinte equação:

(20)

19

𝑕_𝑖 ∙ 𝑦_𝑖−1− (𝑕_𝑖−1+ 𝑕_𝑖) ∙ 𝑦_𝑖+ 𝑕_𝑖−1∙ 𝑦_𝑖+1 = ⁽𝑕_𝑖−1+ 𝑕_𝑖) ∙ 𝑕_𝑖−1∙ 𝑕_𝑖

2 𝑔 𝑥_𝑖 . (2.32)

2.2.3. Resolução do sistema discreto

A partir das equações (2.28) e (2.32), e junto com as condições de contorno, 𝑦₁= 𝛼 e 𝑦_𝑁= 𝛽, podemos definir o sistema de equações lineares 𝑁𝑥𝑁, do tipo:

𝐴𝑦 = 𝐵, (2.33)

em que, para malhas uniformes temos:

𝐴 =

1 0 0 0 0 ⋯ 0

1 −2 1 0 0 ⋯ 0

0 1 −2 1 0 ⋯ 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

0 0 0 0 0 ⋯ 1

𝑦 = 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦_𝑁−1⋮

𝑦_𝑁

e 𝐵 =

𝛼

𝑕²𝑔 𝑥₂

⋮

𝑕²𝑔 𝑥_𝑁−1 𝛽

.

Já para malhas não-uniformes temos:

𝐴 =

1 0 0 0 0 ⋯ 0

𝑕₂ − 𝑕₁+ 𝑕₂ 𝑕₁ 0 0 ⋯ 0 0 𝑕₃ − 𝑕₂+ 𝑕₃ 𝑕₂ 0 ⋯ 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

0 0 0 0 0 ⋯ 1

𝑦 = 𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦_𝑁−1⋮

𝑦_𝑁

e

𝐵 =

𝛼

(𝑕₁+𝑕₂)∙𝑕₁∙𝑕₂

2 𝑔 𝑥₂

⋮

(𝑕_{𝑁 −2}+𝑕_{𝑁 −1})∙𝑕_{𝑁 −2}∙𝑕_{𝑁 −1}

2 𝑔 𝑥_𝑁−1

𝛽

.

2.2.4. Visualização e interpretação dos resultados

A resolução do sistema discreto consiste dos valores 𝑦_𝑖, isto é, de aproximações dos valores de 𝑦 nos pontos da malha. Para visualizarmos a solução podemos, por exemplo, construir o gráfico do conjunto de pontos 𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖 . Ainda, para obtermos aproximações da solução em outros pontos que não fazem parte da malha, podemos usar de técnicas de interpolação e/ou ajuste.

2.3. DEFLEXÃO EM VIGAS

Muitas vezes precisamos limitar o grau de deflexão que uma viga pode sofrer quando submetida a uma carga. Portanto, nessa seção mostraremos os conceitos necessários para o cálculo da deflexão em vigas.

(21)

20 Figura 5- Exemplo de deflexão em vigas.

Geralmente, antes de determinar a inclinação ou o deslocamento de um ponto de uma viga, é aconselhado traçar um rascunho da forma defletida da viga quando carregada, para visualizar qualquer possível resultado. O diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centróide de cada área da seção transversal da viga é denominado linha elástica, que estão destacadas na Figura 6. (HIBBELER, 2010)

Figura 6- Exemplos típicos de linhas elásticas para vigas carregadas.

Para que possamos encontrar a relação entre o momento fletor interno na viga e o raio de curvatura (𝜌) da curva da linha elástica de um ponto, limitaremos a análise ao caso mais comum de uma viga inicialmente reta que é deformada elasticamente por cargas aplicadas de modo perpendicular ao eixo 𝑥 da viga e que se encontra no plano de simetria 𝑥 − 𝑣 para a área da seção transversal da viga. A deformação da viga é causada pelo esforço cortante, bem como pelo momento fletor.

Como podemos ver na Figura 8, quando o momento fletor 𝑀 deforma o elemento da viga, forma-se um ângulo entre as seções 𝑑𝜃. O arco 𝑑𝑥 representa uma parte da linha elástica que intercepta o eixo neutro para cada seção transversal. Além disso, temos que o raio de curvatura 𝜌 é a medida do centro de curvatura 𝑂^′ até 𝑑𝑥. Todo arco sobre o elemento, exceto 𝑑𝑥, está sujeito a uma deformação normal. Logo, temos que 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 = 𝜌𝑑𝜃 e 𝑑𝑠^′ = 𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃 podemos encontrar a deformação a partir de 𝜖 =^𝑑𝑠^′^−𝑑𝑠

𝑑𝑠 , resultando na seguinte equação:

1 𝜌= −𝜖

𝑦. (2.34)

(22)

21 Figura 7- Linha elástica de uma viga biapoiada submetida a esforços.

Figura 8- Deformação da seção transversal da viga.

Considerando o material homogêneo, com comportamento linear elástico, podemos aplicar a lei de Hooke, 𝜖 =^𝜎

𝐸. Além disso, também podemos aplicar a fórmula da flexão, 𝜎 = −^𝑀𝑦

𝐼 . Fazendo uma combinação destas com a equação (2.34), temos:

1 𝜌 = 𝑀

𝐸𝐼

(2.35)

onde, 𝜌 representa o raio de curvatura em um ponto específico sobre a curva da linha elástica (1/𝜌 é denominado curvatura); 𝑀 é o momento fletor interno na viga onde 𝜌 deve ser determinado; 𝐸 é o módulo de elasticidade do material e 𝐼 é o momento de inércia calculado em torno do eixo neutro.

Podemos representar a curvatura (1/𝜌) em termos de 𝑣 e 𝑥. Segundo (HIBBELER, 2010), essa relação é dada da seguinte forma:

1

𝜌 = 𝑑²𝑣/𝑑𝑥² [1 + (^𝑑𝑣

𝑑𝑥)²]^3/2

(2.36)

(23)

22

para facilitar a solução, sabendo que a maioria das vigas formam uma curva rasa, podemos considerar que a inclinação da linha elástica será muito pequena e o quadrado dessa inclinação será desprezível. Logo podemos aproximar a curvatura como sendo ¹

𝜌 = ^𝑑²^𝑣

𝑑𝑥². Sendo assim, a equação (2.36) pode ser expressa como

𝑑²𝑣 𝑑𝑥² = 𝑀

𝐸𝐼

(2.37)

2.3.1. Problema de deflexão para viga biapoiada sujeita a uma carga uniforme O problema será desenvolvido a partir de uma viga simplesmente apoiada de comprimento 𝐿, sujeita a uma carga uniformemente distribuída 𝑞 (Figura 9).

Figura 9- Viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuída.

De acordo com as condições da estática, tem-se que uma viga estará em equilíbrio, quando a soma de suas reações de apoio e cargas atuantes na mesma seja iguala a zero, e a soma dos momentos atuantes é igual a zero, ou seja, 𝐹_𝑉 = 0, 𝐹_𝐻 = 0 e 𝑀 = 0. Sendo assim, temos que as reações de apoio são iguais, sendo elas

𝑉_𝐴 = 𝑉_𝐵 =𝑞𝐿

2. (2.38)

Figura 10- Diagrama de corpo livre

Foi feita uma seção (S) na viga, para obter a função que representa o momento fletor para um intervalo de 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 (Figura 10).

(24)

23 Figura 11- Seção da viga.

Aplicando as condições de equilíbrio, ou seja, 𝑀_𝑆 = 0. Temos que a função que representa o momento fletor é dada por

𝑀 𝑥 = 𝑞𝐿 2 𝑥 −𝑞

2𝑥² (2.39)

Substituindo a função do momento fletor (2.39) na Equação (2.37) e considerando

𝑑²𝑣

𝑑𝑥² = 𝑦′′, encontramos uma equação diferencial do tipo 𝑦′′ = − 𝑞𝑥

2𝐸𝐼∙ (𝑥 − 𝐿) (2.40)

Com as seguintes condições de contorno y(0) = 0 e y(L) = 0, considerando que a viga é inderfomável em seus apoios.

Podemos classificá-la como sendo uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, onde iremos resolver de forma separada, ou seja, iremos trabalhar inicialmente com a parte homogênea 𝑦_𝑐 e logo após a parte não homogênea 𝑦_𝑝, na qual chegaremos a 𝑦 = 𝑦_𝑐 + 𝑦_𝑝.

Para sua resolução analítica podemos utilizar o método dos coeficientes constantes para resolução da parte homogênea e o método dos coeficientes a determinar para resolução da parte não homogênea.

 Parte homogênea (𝒚_𝒄)

Partindo da equação (2.40) a parte homogênea corresponde a seguinte equação

𝑦′′ = 0, (2.41)

que por ser uma equação linear com seus coeficientes constantes, temos que a equação auxiliar diferencial é dada por

𝑚²+ 0 ∙ 𝑚 + 0 = 0 (2.42)

(25)

24 logo, temos o segundo caso, que possui raízes reais e iguais

𝑚₁ = 𝑚₂ = −𝑏 2𝑎 = 0 𝑚₁ = 𝑚₂ = 0.

■ Então a solução da parte homogênea será

𝑦_𝑐 = 𝑐₁ + 𝑐₂𝑥. (2.43)

Com base na equação (2.43), podemos identificar 𝑦₁ = 1 e 𝑦₂ = 𝑥, com isso podemos calcular o wronskiano

𝑊 1, 𝑥 = 1 𝑥

0 1 = 1 − 0 𝑊 1, 𝑥 = 1

■ como o wronskiano é diferente de zero, dizemos que as funções 𝑦₁ e 𝑦₂ são linearmente independentes.

 Parte não homogênea (𝒚_𝒑) - Método dos coeficientes a determinar

Conhecendo a função 𝑔(𝑥) e a solução da equação homogênea associada, encontramos a solução particular mais conveniente, tal que nenhum termo da mesma esteja presente na solução da equação homogênea.

𝑦_𝑝 = 𝑥² 𝐴₂𝑥²+ 𝐴₁𝑥 + 𝐴₀

𝑦_𝑝 = 𝐴₂𝑥⁴+ 𝐴₁𝑥³+ 𝐴₀𝑥² (2.44)

■ Depois de definir a soluçao particular, é necessário encontrar suas derivadas 𝑦_𝑝^′ e 𝑦_𝑝^′′,

𝑦_𝑝^′ = 4𝐴₂𝑥³+ 3𝐴₁𝑥²+ 2𝐴₀𝑥 (2.45) e

𝑦_𝑝^′′ = 12𝐴₂𝑥²+ 6𝐴₁𝑥 + 2𝐴₀ (2.46) para que possamos determinar os coeficientes 𝐴₂, 𝐴₁ e 𝐴₀. Substituindo os valores de 𝑦_𝑝, 𝑦_𝑝^′ e 𝑦_𝑝^′′ na Equação (2.40), obtemos:

12𝐴₂𝑥²+ 6𝐴₁𝑥 + 2𝐴₀ = − 𝑞𝑥

2𝐸𝐼∙ (𝑥 − 𝐿) (2.47) Através de cálculos algébricos, chegamos a seguinte solução particular:

(26)

25 𝑦_𝑝 = − 𝑞𝐿

24𝐸𝐼𝑥⁴ + 𝑞𝐿

12𝐸𝐼𝑥³ (2.48)

Portanto, a solução geral será

𝑦 𝑥 = 𝑐₁+ 𝑐₂𝑥 + 𝑞𝐿

12𝐸𝐼𝑥³ − 𝑞𝐿

24𝐸𝐼𝑥⁴ (2.49)

Para encontrarmos as contantes arbitrárias 𝑐₁ e 𝑐₂, iremos utilizar as condições de contorno dadas inicialmente y(0) = 0 e y(L) = 0.

Para y(0) = 0, temos que

0 = 𝑐₁+ 𝑐₂ ∙ 0 + 𝑞𝐿

12𝐸𝐼∙ 0³− 𝑞𝐿 24𝐸𝐼∙ 0⁴ 𝑐₁ = 0

■ Para y(L) = 0, temos que

0 = 𝑐₂∙ 𝐿 + 𝑞𝐿

12𝐸𝐼∙ 𝐿³− 𝑞𝐿 24𝐸𝐼∙ 𝐿⁴ 𝑐₂ = − 𝑞𝐿³

24𝐸𝐼

■ A partir destes métodos podemos chegar na equação que rege a deflexão da viga em questão, que é

𝑦 𝑥 = 𝑞

24𝐸𝐼∙ 2𝐿𝑥³− 𝑥⁴− 𝐿³𝑥 . (2.50)

(27)

26 3. MATERIAL E MÉTODOS

3.1. METODOLOGIA

Neste trabalho o método de diferenças finitas foi escolhido como principal método utilizado para encontrar a solução do PVC da equação diferencial de segunda ordem que representa a deflexão em vigas biapoiadas de seção transversal retangular, submetida a um carregamento uniformemente distribuído.

O principal enfoque desse trabalho é analisar os efeitos causados no método de diferenças finitas com a variação de alguns parâmetros e efetuar a comparação entre os resultados obtidos com os do ponto de vista analítico. Para realização dessa comparação foi necessário a aplicação do método em cada um dos problemas, para aferir sua eficácia.

Para analisar a qualidade do resultado, iremos tomar como base o erro cometido na aproximação, que é o erro absoluto médio (𝐸𝑚_𝑎𝑏𝑠) das soluções numéricas. O cálculo do erro é feito a partir do somatório da diferença em módulo entre o resultado exato da EDO calculado analiticamente (𝑦) e o resultado aproximado obtido pelo método das diferenças finitas (𝑦 ), sobre o número de pontos analisados da seguinte forma:

𝐸𝑚_𝑎𝑏𝑠 = ^𝑁_𝑖=1 𝑦 𝑖 − 𝑦 (𝑖)

𝑁 . (3.1)

A linguagem de programação utilizada foi a Julia Programming, que é uma linguagem dinâmica e permite codificação com linguagem de alto nível, tendo sido projetada para atender os requisitos da computação de alto desempenho numérico e científico.

Além disso, possui inúmeros pacotes voltados à matemática aplicada, que facilitam a utilização em protótipos e métodos de utilização mais geral. A lista pode ser conferida pelo endereço https://www.julialang.org/, onde são encontradas também todas as informações do software, manuais e características das versões.

Os testes do presente trabalho foram realizados utilizando o ambiente virtual disponibilizado na plataforma Jupyter (Jupyter http://jupyter.org/), denominado IJulia que fornece um ambiente interativo, acessado através do navegador de internet. Todo o processamento ocorre no servidor da aplicação.

3.2. ALGORITMOS

A fim de que fossem realizados os testes numéricos, foi necessário a implementação do algoritmo para a resolução do método de diferenças finitas adaptado para o problema proposto. Desta forma, os algoritmos utilizados nos testes são apresentados de forma simplificada pelas Tabelas a seguir:

(28)

27 Tabela 1- Algoritmo utilizado para o Método das Diferenças Finitas com malhas uniformes (MU).

Algoritmo MDF - MU

Entradas: função do problema da forma y’’= g(x);

variáveis iniciais do problema

pontos inicial e final(a e b) do intervalo;

problema de valor de contorno alfa e beta;

número inteiro positivo N, que particionará o intervalo.

Saída: aproximações de y(x(i)), para cada i=,1,...,N+1 Passo 1: Definição da amplitude

Passo 2: Montagem do sistema a partir da equação (2.28) Passo 5: Resolução do sistema A.y=B

Passo 6: Interpretação dos resultados através dos pontos (x,y).

Passo 7: Cálculo do erro médio absoluto cometido em relação a solução analítica.

Fonte: Fonte própria (2018).

Tabela 2- Algoritmo utilizado para o Método das Diferenças Finitas com malhas não- uniformes MNU1

Algoritmo MDF - MNU1

pontos inicial e final para cada intervalo;

problema de valor de contorno alfa e beta;

Saída: aproximações de y(x(i)), para cada i=,1,...,N+1 Passo 1: Definição da amplitude para cada intervalo Passo 2: Montagem do sistema a partir da equação (2.32) Passo 5: Resolução do sistema A.y=B

(29)

28

Tabela 3- Algoritmo utilizado para o Método das Diferenças Finitas com malhas não- uniformes MNU2

Algoritmo MDF - MNU2

pontos inicial e final(a e b) do intervalo;

problemas de valor de contorno: y(0), y(0,4L), y(0,6L) e y(L);

Saída: aproximações de y(x(i)), para cada i=,1,...,N+1 Passo 1: Definição da amplitude

Passo 2: Montagem do sistema a partir da equação (2.28) com seus respectivos PVCs.

Passo 5: Resolução do sistema A.y=B

3.3. PROBLEMA

Para que possam ser feitas as verificações necessárias, analisaremos um problema, variando o número de pontos analisados, bem como o tipo de malha. Também vamos calcular o erro absoluto médio (𝐸_𝑎𝑏𝑠).

Para o problema foram analisados três tipos de malha computacional, sendo uma uniforme e as outras duas não uniformes, com 80% dos pontos entre 0,4𝐿 e 0,6𝐿, onde 𝐿 é o comprimento da viga. Foi realizada essa diversificação para poder estimar como será o comportamento de cada malha, e principalmente ver a situação preferível para utilizar cada uma das técnicas supracitadas, como também indicar vantagens e desvantagens a partir de eventos específicos.

Os cálculos para malhas não-uniformes foram feitos de duas formas, uma com a fórmula deduzida dada pela Equação (2.32) e outra utilizando a solução analítica nos pontos 0,4𝐿 e 0,6𝐿,

𝑦 0,4𝐿 = 𝑦 0,6𝐿 = − 31 ∙ 𝑞 ∙ 𝐿⁴ 2500 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼

(3.2)

(30)

29

aplicando como PVC na formulação para malhas uniformes, onde 𝑞 é a carga uniformemente distribuída atuante na viga; 𝐿 é o comprimento da viga; 𝐸 é o módulo de elasticidade do material e 𝐼 é o momento de inércia calculado em torno do eixo neutro.

3.3.1. Problema

O Problema é considerado uma viga biapoiada de concreto armado, com seção transversal retangular 15𝑐𝑚𝑥20𝑐𝑚, resistência característica do concreto a compressão (fck) de 20 𝑀𝑃𝑎, comprimento de 5 𝑚 e carregamento distribuído de 10 𝐾𝑁/𝑚, como podemos ver na Figura 12.

Figura 12- Problema A1.

A curva que representa a deflexão da viga será calculada a partir do Método das Diferenças Finitas. Utilizaremos malhas uniformes (MU) e não uniformes (MNU-1 e MNU- 2), variando a quantidade de nós em cada malha, para 𝑁 igual a 50, 100, 500 e 1000.

(31)

30 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Após a realização dos experimentos descritos no capítulo anterior, os resultados obtidos serão mostrados em Tabelas e gráficos para cada situação separadamente. Em seguida, será feita uma discussão para cada discretização feita, de forma a aferir sua eficiência.

4.1. RESULTADO DO PROBLEMA PARA N=50 Tabela 4 - Resultado do problema para N=50

N=50 TIPO DE

MALHA

ERRO MÉDIO (0-0,4L)

ERRO MÉDIO (0,4L-0,6L)

ERRO MÉDIO (0,6L-L)

ERRO MÉDIO TOTAL MU 1,952458E-06 9,909096E-06 1,933926E-06 8,315915E-06 MNU-1 2,200846E-04 3,912556E-04 2,200846E-04 3,570214E-04 MNU-2 2,446702E-05 1,987689E-08 2,446702E-05 4,909305E-06 Fonte: Fonte Própria (2018)

Tabela 5 - Gráficos que representam a deflexão viga para N=50

Figura(a): Curva de deflexão utilizando malha uniforme (MU) para N=50.

Figura(b): Curva de deflexão utilizando malha não-uniforme (MNU1) para N=50.

Figura(c): Curva de deflexão utilizando malha não-uniforme (MNU2) para N=50.

Fazendo a análise dos resultados, podemos notar que a malha MNU-2 apresentou um melhor desempenho na resolução do problema, quando comparado com os outros tipos de malhas, principalmente entre 0,4L e 0,6L, que é o trecho mais importante na análise de deflexão em vigas biapoiadas com carregamento uniformemente variado. A malha uniforme também apresentou resultados favoráveis, já a malha MNU-1 foi a que teve o pior desempenho.

(32)

31 4.2. RESULTADO DO PROBLEMA PARA N=100

Tabela 6 - Resultado do problema para N=100 N=100 TIPO DE

MALHA

ERRO MÉDIO (0-0,4L)

ERRO MÉDIO (0,4L-0,6L)

Tabela 7 - Gráficos que representam a deflexão viga para N=100

Figura(a): Curva de deflexão utilizando malha uniforme (MU) para N=100

Figura(b): Curva de deflexão utilizando malha não-uniforme (MNU1) para N=100.

Figura(c): Curva de deflexão utilizando malha não-uniforme (MNU2) para N=100.

Os resultados obtidos nos mostram que assim como na discretização anterior (N=50), a malha MNU-2 apresenta um menor erro médio absoluto, sendo esse erro mais reduzido no trecho entre 0,4𝐿 e 0,6𝐿, que é o trecho mais interessante para o problema estudado. Também podemos perceber que os erros diminuíram em relação a discretização anterior, visto que foram considerados mais pontos, o que melhora sua aproximação quanto ao problema real, como podemos perceber pela Tabela 7.

4.3. RESULTADO DO PROBLEMA PARA N=500 Tabela 8 - Resultado do problema para N=500

N=500 TIPO DE

MALHA

ERRO MÉDIO (0-0,4L)

ERRO MÉDIO (0,4L-0,6L)