MODELO FOTOGRAMÊTRICO COM USO DE FEIÇÕES UNEARES RETAS E CIRCULARES COMO CONTROLE
Dissertação apresentada ao curso de Pós- graduação em Ciências Geodésicas da Universidade Federal do Paraná para obten
ção do Grau de Mestre em Ciências.
Orientador: Prof. Dr. Quintino Dalmolin
CURITIBA 1995
MODELO F O T O B R A M É T R I C O COM UBO DE FEI C õ E B L I NEARES RETAS E C I R C U L A R E S CO M O C O NTROLE
por
Claudia Regina Grégio d'Arce
Dissertação aprovada como requisito parcial para obtenção do grau de M e s t r e em C iências no C u r s o de P ó s-Graduação
em C iências Geodé s i c a s da U n i v e r s i d a d e Federal do Paraná, pela C o m i s s ã o composta pelos professores!
Prof. Dr. Quint m o Dalmolin - Orientador
—
Prof. M S c . E d son A p a Pecido Mitishica
MSc. Mary-'A. Azev e d o Olivas
CUR I T I B A 1975
e s p o s o Reinaldo, meus pais Merbel e Wanda pela compreensSo, carinho e est í m u l o e a minha filha que está para chegar Y a s m i n .
A G R A D E C I M E N T O S
Quero e x ternar meus sinseros ag r a d e c i m e n t o s ás pessoas e ás en t i d a d e s abaixo relacionadass
- Ao meu orientador, professor Q u i n t i n o Dalmolin, pela dedicada orientação, e s t í m u l o e paciência;
- A minha família, pelo carinho compreensão e estí mulo;
- As amigas Élcia F e rreira da Silva e Zélia Marchioti, pelo incentivo;
- Ao C o n s e l h o Nacional de D e s e n v o l v i m e n t o C ientífico e Tecno l ó g i c o (CNPQ), pela concessão da bolsa de estudo, durante a realização do curso.
- Ao D e p a r t a m e n t o de Engen h a r i a Civil da Universidade Estadual de Maringá.
ii
TERMO DE AP R O V A Ç Ã O
D E D I C A T Ó R I A ... i
AGRADECI M E N T O S i i S U M A R I O ... iij LISTA DE F I B U R A S ... vii
L ISTA DE Q U A D R O S ... iv
R E S U M O ... xi
A B S T R A T ... xii
C A P Í T U L O 1 1. I N T R O D U Ç Ã O ... 01
1.1. C o n s i d e r a ç õ e s G e r a i s ... 01
1.2. Pro p o s t a desta P e s q u i s a ...02
C A P Í T U L O 2 2. SOL U Ç Õ E S E X I S T E N T E S ... 04
2.1. M o d e l o s F o t o g r a m A t r i c o s Bas e a d o s em Feições como C o n t r o l e A t u a l m e n t e E x i s t e n t e s ... 04
2.1.1. M o d e l o D e s e n v o l v i d a por LUGNANI ( 1 7 8 0 ) ... 04
2.1.2. M o delo D e s e n v o l v i d o por MASRY ( 1 9 8 1 ) ... 06
2.1.3. M o delo D e s e n v o l v i d o por TOMMASELLI ( 1 7 8 8 ) ... .08
2.1.4. M o d e l o s P r o p ostos por M U L A W A & MIKH A I L (1988)....10
3. D E S E N V O L V I M E N T O DOS MODE L O S F O T O G R A M Â T R I C O B ... 12 C A P Í T U L O 3
3.1. M o d e l o dos P a r â m e t r o s A d i c i o n a i s com uso
de F e i ç õ e s L i n e a r e s Retas como C o n t r o l e ... 13 3.1.1. D e s c r i ç ã o da F e i ç ã o L i n e a r Reta R ... 13 3.1.2. M o d e l o dos P a r â m e t r o s A d i c i o n a i s para Feições
Li n e a r e s Retas IR... 19 3.2. M o d e l o dos P a r â m e t r o s A d i c i o n a i s com uso
de F e i ç õ e s L i n e a r e s C i r c u l a r e s como C o n t r o l e ... 20 3.2.1. D e s c r i ç ã o da F e i ç ã o L i near Circular: C ... 20 3.2.2. M o d e l o dos P a r â m e t r o s A d i c i o n a i s para Feições
L in e a r e s C i r c u l a r e s C ... 25
C A P Í T U L O 4
4. A P L I C A Ç Ã O DO M O D E L O DOS P A R Â M E T R O S A DICIONAIS
À R E S S E Ç Ã O E S P A C I A L ...30 4.1. I n t r o d u ç ã o ... 30 4.2. A p l i c a ç ã o do M ã t o d o dos Mín i m o s Q u a d rados
na D e t e r m i n a ç ã o dos D e s c r i t o r e s das Feições
L in e a r e s Retas e C i r c u l a r e s ... 31 4.2.1. Matriz das Derivadas Par c i a i s A para Feições
Lin e a r e s R e t a s ... 35 4.2.2. Matriz das D e r i v a d a s Par c i a i s B para Feições
Lin e a r e s R e t a s ... 36 4.2.3. Matriz das D e r i vadas P arciais C para Feições
Lin e a r e s R e t a s ... 38 i v
L i neares C i r c u l a r e s ... 39 4.2.5. Matriz das D e r ivadas Pa r c i a i s B para Feições
L i n e a r e s C i r c u l a r e s ...40 4.3 A p l i c a ç ã o do M e todo dos Mín i m o s Qu a d r a d o s no
M o d e l o dos P a r â m e t r o s A d i c i o n a i s com uso
de Feiç õ e s Retas e Circu l a r e s como C o n t r o l e ... 41 4.3.1. Método dos M í n i m o s Q u a d r a d o s no M o d e l o dos
P a r â m e t r o s A d i c i o n a i s com us o de Feiç õ e s
R etas como C o n t r o l e ... 41
4.3.2. M é t o d o dos M í n i m o s Q u a d rados no M o d e l o dos P a r â m e t r o s A d i c i o n a i s com uso de Feições
Ci r c u l a r e s como C o n t r o l e ... 46
C A P Í T U L O 5
5. TESTE DOS M O D E L O S E D I S C U S S Ã O DOS R E S U L T A D O S ...50 5.1. O b j e t i v o s e C a r a c t e r í s t i c a s do E s t u d o ...50 5.2. G e r a ç ã o de Dados S i m u l a d o s e O b t e n ç ã o dos
Desc r i t o r e s das Feiç õ e s L i n e a r e s R etas e
C i r c u l a r e s ... 51
5.2.1. Gera ç ã o das F o t o c o o r d e n a d a s para o modelo dos P a r â m e t r o s A d i c i o n a i s apl i c a d o na
R e s s e ç X o E s p a c i a l ... 57 5.2.1.1. G e r a ç ã o das C o o r d e n a d a s de Terr e n o sobre
as Feiç õ e s Lin e a r e s Retas e C i r c u l a r e s ... 57 5.2.1.2. G e r a ç ã o das F o t o c o o r d e n a d a s dos Pontos
D e t e r m i n a d o em 5 . 2 . 1 . 1 ... 65 v
5.3. P r o g r a m a s ... 71
5.4. Anál i s e dos R e s u l t a d o s ... 71
C A P Í T U L O 6 6. C O N C L U S Õ E S E R E C O M E N D A Ç Õ E S ... 80
6.1. C o n c l u s õ e s ...80
6.2. R e c o m e n d a ç õ e s ... 81
A N E X O ... 83
A NEXO l! D E R I V A D A S P A R C I A I S ... 84
A NEXO 2 í P R O G R A M A S ... 95
R E F E R Ê N C I A S BIBLIOGR/SFICAS...118
vi
2.1. P r i n c i p i o do m o delo dos planos e q u i v a l e n t e s ... 09 3.1. E x e m p l o s de feições parabólicas, hiperbólicas
e e l í p t i c a s s e c c i o n a d a s ... .12 3.2. S e g m e n t o s prolongados para obt e n ç ã o de
feições lineares c i r c u l a r e s ...13 3.3. R e p r e s e n t a ç ã o de uma feição linear r e t a ... 14 3.4. R e p r e s e n t a ç ã o de q ue pares de pontos podem
gerar a mesma r e t a ... 15 3.5. C o n d i ç ã o que C -0 x (3... 16 3.6. Vetor dir e ç ã o (3 d e t e r m i n a d o por Pi e Pz
igual ao vetor (3 que seria d e t e r m i n a d o por
C e P ... 18 3.7. D e f i n i ç ã o de uma feição linear circular no
e s p a ç o ...20 3.8. D e s c r i ç ã o da feição linear c i r c u l a r ... 21 3.9. Vetores "a" e " b " ...23 3.10. Reta formada pelo centro perspectivo, pelo
vetor dire ç ã o p e pelo ponto P sobre a feiçã o . . . . 26 4.1. Matriz A para d e t e r m i n a ç ã o dos d e s critores
das feições lineares r e t a s ...36 4.2. Matriz B para d e t e r m i n a ç ã o dos d e s critores
das feições lineares r e t a s ...37 4.3. Matriz C para d e t e r m i n a ç ã o dos desc r i t o r e s
das feições lineares r e t a s ...38 vii
4.4. Matriz A para d e t e r m i n a ç ã o dos d e scritores
das feições lineares c i r c u l a r e s ... 40 4.5. Matriz B para d e t e r m i n a ç ã o dos descr i t o r e s
das feições lineares c i r c u l a r e s ... 41 4.6. Matriz A para d e t e r m i n a ç ã o dos parâmetros
de r e s s e ç ã o espacial com uso de feições
lineares r e t a s ... 46 4.7. Matriz A para d e t e r m i n a ç ã o dos parâmetros
de r e sseção espacial com uso de feições
lineares c i r c u l a r e s ... 48 4.8. Matriz B para d e t e r m i n a ç ã o dos p arâmetros
de r e sseção espacial com uso de feições
lineares c i r c u l a r e s ... 49 5.1. C o n f i g u r a ç ã o das feições lineares r e t a s ... 51 5.2. C o n f i g u r a ç ã o das feições lineares c i r c u l a r e s ... 52 5.3. Vetores d i r e ç ã o y ...5V
viii
1. D e s c r i t o r e s das feições lineares r e t a s ... 53
2. Veto r e s d i r e ç ã o das feições lineares r e t a s ... 54
3. Desc r i t o r e s das feições lineares c i r c u l a r e s ... 53
4. Veto r e s normal das feições lineares c i r c u l a r e s ... 56
5. C o o r d e n a d a s em terreno de 4 pontos sobre a feição linear r e t a ... 60
6. C o o r d e n a d a s em terreno de 4 pontos sobre a feição linear c i r c u l a r ... 63
7. F o t o c o o r d e n a d a s de 4 pontos sobre a feição linear r e t a ... 66
8. F o t o c o o r d e n a d a s de 4 pontos sobre a feição linear c i r c u l a r ... 69
9. R e s s e ç ã o espacial com 14 feições r e t a s ... 72
10. R e s s e ç ã o espacial com 12 feições r e t a s ... 73
11. R e s s e ç ã o espacial com 08 feições r e t a s ... 73
12. R e s s e ç ã o espacial com 08 feições r e t a s ... 74
13. R e s s e ç ã o espacial com 09 feições r e t a s ... 74
14. R e s s e ç ã o espacial com 08 feições r e t a s ... 75
15. R e s s e ç ã o espacial com 08 feições r e t a s ... 75
16. R e s s e ç ã o espacial com 12 feições c i r c u l a r e s ... 76
17. R e s s e ç ã o espacial com 08 feições c i r c u l a r e s ... 76
ix
10. Res s e ç S o espacial com 06 feições c i r c u l a r e s ... 77
19. R e s s e ç S o espacial com 06 feições c i r c u l a r e s ... 77
20. R e s s e ç S o espacial com 03 feições c i r c u l a r e s ... 78
21. R e s s e ç S o espacial com 04 feições c i r c u l a r e s ... 78
x
Na fotogrametria, a r e ssecão espacial consiste, basicamente, na d e t e r m i n a ç ã o d os parâm e t r o s de orientação exterior dos feixes de raios de luz que g eram as fotografias.
Este trabalho ap r e s e n t a um m o d e l o fotogram4trica rigoroso, d e s e n v o l v i d o m a t e m a t i c a m e n t e e testado para equações de o b s e r v a ç ã o fo t o g r a m é t r i c a s com base em feições lineares retas e circu l a r e s como controle para a d e t e r m i n a ç ã o dos parâmetros da resseção espacial.
xi
ABSTRAT
In p h o t o g r a m m e t r y , the space resection consists, basically, in the det e r m i n a t i o n of the parameters of external orientation of the bundles of light rays w h i c h generate the p h o t o g r a p h i e s .
This work presents a rigorous p h o t o g rammetric m o d e l , m a t h ematically developed and tested for equations of p hoto g r a m m e t r i c o b s e r v a t i o n s based on s t raight linear feature and circular linear feature as a control for the determination of the parameters of space resection.
xii
I N T R O D U Ç A O
1.1. C o n s i d e r a ç õ e s Gerais
O controle de campo é n e c e s s á r i o para estabelecer as relações geomé t r i c a s que p e rmitem o r i e n t a r e p osicionar cada fotografia no e s paço objeto. Em o u t r a s palavras, é determinar os parâmetros de o r i e n t a ç ã o ex t e r i o r de uma ou mais fotografias com relação ao e s p a ç o objeto.
Há m u i t o tempo que a corre s p o n d ê n c i a entre espaço imagem e espa ç o o b jeto vem sendo o b tida através de pontos de controle de terreno cujas, posições são conhecidas em um sistema de referência, e suas imagens identif i c a d a s e medidas nas fotografias. As coordenadas d e stes pontos são determinadas por processos g e r a l m e n t e Geodésicos. N o r m a l m e n t e são escolhidos alvos n a t u r a i s bem de f i n i d o s ou artificiais, como a pré-sinalização, a fim de facilitar a identif i c a ç ã o dos mesmos nas imagens.
A e f i c i ê n c i a das feições pontuais como controle na fotogrametria é m u n d i a l m e n t e conhecida. No entanto, a identificação de uma feição linear na imagem fotográfica é mais fácil, p a r t i c u l a r m e n t e no caso de fotos tomadas a grandes
altitudes e em imagens de satélite. Várias pesquisas foram realizadas com sucesso, no sentido de adequar modelos f o t o g r amétricos com feições lineares para o controle fotogramétrico.
S e g u n d o Da l Po z, (1991) o uso de feições como controle teve início com a tese de PhD intitulada "Using Digital Entities as Control" (Lugnani, 1980), que tinha como objetivo básico a s u b s t i t u i ç ã o completa de e n t idades pontuais por e n t i dades não pontuais.
So u z a (1982), To m h a s k l l i (1988), Ar a k i (1990) e
Ca s t r e o h i n i (1989), d e s e n v o l v e r a m suas d i s s e r t a ç õ e s de mestrado na linha de pesquisa: "Uso de F e i c õ e e em F o t o g r a m e t r i a " , do curso de P ó s - G r a d u a ç ã o em C i ê n c i a s G e o d é s i c a s da IJFPR. A comunidade internacional também recon h e c e u o potencial do uso das feições não pontuais como controle e desen v o l v e u trabalhos i mportantes nesta área, e ntre os quais pode-se citar o d e s e n v o l v i d o por Ma s r y (1981) e o p r oposto por Mu l a v a & Mi k h a i c
(1988) e n t i t u l a d o "Modelo dos P a r â m e t r o s Adicionais" que utiliza feições pontuais e curvas como controle.
1.2. Pr o p o s t a desta P e squisa
Nesta pesquisa o b j e t i v a — sei
2
1. D e s e n v o l v e r m a t e m a t i c a m e n t e os Modelos
a da p t a n d o - o s á Feiç õ e s L i n e a r e s Retas e Feições Lin e a r e s Circulares, propostos por Mu l a w a 8«
Mi k h a i l. (1988);
Implementá-los e testá-los, com dados simulados, para a o b t e n ç ã o da R e s s e ç ã o Espacial de uma
fotografia isolada, num ambiente para
m i c r o c o m p u t a d o r e s do tipo P C - A T 386 ou similar.
C A P Í T U L O 2
So l u ç õ e s Ex i s t e n t e s
2.1. Mode l o s F o t o g r a m é t r i c o s Bas e a d o s em F eições como C o n t r o l e A t u a l m e n t e E x i x t e n t e s
2.1.1. M o d e l o D e s e n v o l v i d o por LIJGNANI (19(30)
Lu o n a n i (1980) d e s e n v o l v e u e testou modelos e
m e t o d o l o g i a s para o caso da R e s s e ç ã o Espacial, além de propor modelos para a tra n s f o r m a ç ã o de similaridade. A abordagem proposta parte do p r i n cípio de que n ão há c o r r e s pondência entre pontos d i s cretos que d e f i n e m uma feição no e s p a ç o objeto e os pontos o b s e r v a d o s na mesma feição na fotografia (espaço imagem). A feição no e s p a ç o objeto, d e f i n i d a pelas coordenadas tridimensionais de uma s e q u ência de pontos, é tornada contínua pelo uso de "splines" p a r a m é t r i c o s . O m o d e l o matemá t i c o que liga pontos no espa ç o obje t o com seus homólogos no espaço imagem é a equ a ç ã o de colinearidade. Atra v é s da colinearidade e de parâmetros de o r i e n t a ç ã o ext e r i o r aproximados, calculam-se as c o o rdenadas de foto h o m ó logas aos pontos no espaço objeto que defi n e m a feição. Esta foto a p r o x i m a d a serve como referência para o cálculo de uma transfo r m a ç ã o projetiva, que tem como domí n i o os pontos observados. A p l ica-se então a injunção de que os pontos lidos t r ansformados pertençam â
por interpolação por "splines" |1 0 |.
A p l i c a n d o - s e a t r ansformação projetiva inversa aos pontos de terreno ob t é m - s e pontos na foto real correspondentes aos de terrena, pertencentes à feição em particular.
Calc u l a m - s e os parâmetros de o r i e n t a ç ã o ext e r i o r repetindo-se o procedimento até que haja c o n v e rgência da s o l u ç ã o |1 0 |.
Segu n d o o autor, em todos os casos testados, obteve-se convergência, porém pode haver d i v e r g ê n c i a q u a n d o a configurção geométrica das en t i d a d e s for fraca e/ o u existir erros g rosseiros (blunders).
A q u a l i d a d e da solução foi es t i m a d a e restrições são feitas para a resseção dos parâmetros on d e a correlação das coordenadas p s e u d o - o b s e r v a d a s é um fator importante e foi n e g 1i g e n c i a d o .
A q u a l i d a d e dos r esultados é d e t e c t a d a pelo fator variância do m o d e l o principal através da p r ecisão dos pontos p se u d o - o b s e r v a d o s e da resseção dos parâmetros. 0 resíduo também fornece indicação da q u a l i d a d e da solução calculada.
M a i o r e s d e talhes sobre o assunto, o leitor pode consultar LUGNANI (1980).
6 2.1.2. M o delo D e s e n v o l v i d o por M A S R Y (1901)
M A S R Y [06] propôs o uso de e n t idades digitais contínuas como forma de controle, e defi n i u uma e ntidade como um todo ou uma parte da feição a qual pode ser reconhecida ou interpretada sobre u ma imagem.
As e n t i d a d e s sobre o terreno, no e s paço tridimensional recebem o n o m e de "entidades espaciais". A imagens de cada entidade, no plano, recebem o nome de "entidades planas".
As c o o rdenadas dos pontos que d e f i n e m a entidade , podem ser o b t i d a s a partir de uma base topográfica, geodésica ou serem d i g i t a l i z a d a s de um mapa. E são chamadas de entidades c o n t r o l e .
D c o nceito é baseado no seguinte»
U m ponto (x,y,z) o b s e r v a d o s obre uma entidade é transformado em ent i d a d e controle através de uma transformação T(M,y,z) a d e q u a d a m e n t e escolhida. A e q u a ç ã o pode ser escritas
tX' Y' Z ' = T (x , y ,z )
onde X', Y', Z' são as c o o rdenadas t r ansformadas dos pontos obser v a d o s (x,y,z).
Sabe n d o que é possível d e s c r e v e r uma e ntidade controle matematicamente, por uma função p a r a m é t r i c a da forma spline:
[X Y 7.^ =» F (s )
0 valor do parâmetro de transfo r m a ç ã o deve ser tal que um ponto observado, depo i s da transformação, satisfaça as equações s
Tl(x,y,z) » Fl(s) T 2 ( x , y , z ) = F2(s) T 3 (x ,y ,z ) = F3(s)
S endo então, [X' Y* Z']^ e [X Y Z]^ entidades controle, po d e — se escrever»
T(x,y,z) = F (S )
O conceito deve ser e x p r e s s o como* Todos os pontos observados são transformados. Então, d e pois desta transformação eles satis f a z e m a função de controle. A c o r r e s pondência passa a ser e ntidade a e n t i d a d e em vez da tradicional correspondência ponto a ponto. C o m o ex e m p l o s de aplicação, Ma s r y (Í981) citas
1- Na d e t e r m i n a ç ã o dos p arâmetros da O rientação Abs o l u t a - a transfo r m a ç ã o a ser usada é a de s i m i l a r i d a d e e;
2- Na R e s s e ç ã o Espacial - a transfo r m a ç ã o a ser usada
8 é a projetiva.
0 autor testou o m o d e l o para R e s s e ç ã o Espacial e O r i e n t a ç ã o Abs o l u t a e comparou os resultados com o modelo convencional u t i l i z a n d o pontos como controle.
0 r e s ultado m o s t r o u que o us o de entidades como controle tem boa convergência e precisão.
Mai o r e s d e talhes o leitor pode e n c o n t r a r em MASRY (1981) .
2.1.3. M o delo D e s e n v o l v i d o por TGMMASELLI (1988)
O m o d e l o dos planos e q u i v a l e n t e s (TOMMASELLI, S8)é um m o delo a l t e r n a t i v o k e q u a ç ã o de colinearidade, usan d o feições retas que vem permitir a relação funcional e n t r e feições no espaço imagem e espa ç o objeto, sem corre s p o n d ê n c i a ponto a ponto. Pode ser a p licado para a o r i e n t a ç ã o de uma foto isolada, para a formação de modelos e s t e r e o s c ó p i c o s a n a l iticamente e na c ombinação com o m o d e l o de colinea r i d a d e para processamento simultâneo de pontos simples e feições retas.
O p r i n cipio do m o delo dos P l anos E q u i valentes é d escrito como:
Uma F e i ç ã o Reta "E" no e s paço objeto, definida pelos
ponto A e B, forma com o Cent r o P e r s p e c t i v a (CP) um plano que é e quiv a l e n t e ao plano formado pela F e i c á o Reta "e" no espaço imagem def i n i d a pelos pontos a e b (não há correspondência ponto a ponto, A a e B b) e pelo CP. Co m o m o stra a figura 2.1.
F I O U R A Z . 1. r R I N C I F I O D O M O D E L O D O S P L A N O S E Q U I V A L E N T E S
O m o d e l o m a t e m á t i c o dos planos e q u i v alentes o qual relaciona funcio n a l m e n t e "E" e "e" c o n s i d e r a n d o uma fotografia livre dos erros sist e m á t i c o s (refraçSo f o t o g r a m é t r i c a , d i s torção das lentes, trabalho do filme) e dos erros grosseiros, ê repr e s e n t a d o pela e x p r e s s ã o abaixo:
' A ' * Xí - X o '
B = -M * \ * F * Yi - Y o
C Zi - Zo
10 s e n d o :
A = (f*yi-f*yz) ; B = (f<xz-f*yi) ; C = (Xi*y2- X2*yi) 5
F =
O n — m -n O 1
m — 1 O X. é um escalar;
CXí Yi Zi]^” ponto sobre a reta E;
CXo Yo Zo]fc coordenadas co CP;
M matriz de rotação, função dos e l e m e n t o s de atitude (x, <p e v)
[1 m n] vetor dire t o r da reta E.
De acordo com T ommaselli (1988), os testes realizados, m o s t r a r a m que o modelo m a t e m á t i c o funciona a d equadamente no caso da r e sseção espacial e da formação analítica de modelos, sendo que a conf i g u r a ç ã o das feições é fator decisivo na ob t e n ç ã o da precisão e s perada para os parâmetros. Entretanto, a c orrelação e ntre os parâmetros das feições, es p e c i a l m e m t e os vetores diretores, pode d e t e r i o r a r ou i n v i a bilizar a solução do problema. As causas não foram pr o f u n d a m e n t e estudadas, porém a n e c e s s i d a d e de corre s p o n d ê n c i a ponto a ponto foi eliminada.
2.1.4. Mod e l o s P r o p ostos por M U L A W A «t M I K H A I L (1988)
Mu l a w a & Mi k h a i c (1988) propu z e r a m um método que
combina a equa ç ã o de c o l i n e a r i d a d e com as e q u a ç õ e s que definem a feição linear, seja ela reta ou curva. Tal m o d e l o não exige a corre s p o n d ê n c i a ponto a ponto.
Em síntese, o m o d e l o u t i l i z a pontos sobre a feição, para d e t e r m i n a r os p arâmetros que a d e f i n e m e com estes, determina os p arâmetros de o r i e n t a ç ã o e x t e r i o r de uma ou mais fotos. Este m o d e l o serA o b jeto de i n v e s tigação n este trabalho.
C A P Í T U L O 3
De s e n v o l v i m e n t o Do s Mo d e l o s Fo t o o r a m e t r i c o s
Mu l a w a ít Mi k i i a i l p ropu z e r a m o M o d e l o dos Parâmetros A dicio n a i s que se adapta para o us o de feições lineares retas e curvas (circulares, hiperbólicas, e l í p t i c a s e parabólicas).
Nesta pesquisa, serão tratados s e p a r a d a m e n t e os modelos baseados em feições lineares retas e feições lineares c i r c u l a r e s .
A j u s t i f i c a t i v a es t á no fato de que as feições parabólicas, h i p e rbólicas e e l í pticas podem ser tratadas como segmentos c irculares que, prolongados, fornecem feições
lineares circulares, como e x e m p l i f i c a a figura 3.1.
F I O U R A 9 . 4. E X E M P L O S D E F E I Ç Õ E S P A R A B Ó L I C A S , H I P E R B Ó L I C A S E
E L Í P T I C A S S E C C I O N A D A S
A p esar do nome "Feições L i n e a r e s Circulares", deve-se considerar segmentos curvos, em sua t otalidade ou seccionados, já que tais segmentos, se prolongados, são circunferências, como pode ser v i s u a l i z a d o na figura 3.2.
F I G U R A 3 . Z . S E O M E N T O S P R O L O N G A D O S P A R A O B T E N C A O D E F E t C O E S
L I N E A R E S C I R C U L A R E S
Para o propósito deste trabalho as o b s ervações serão simuladas sobre fotografias sintét i c a s e tratadas como corretas
(isentas de q u a i s q u e r erros).
3.1. M o d e l o dos Parâm e t r o s A d i c i o n a i s com u so de Feições Lin e a r e s Retas como C o ntrole
3.1.1. D e s c r i ç ã o da Feiç ã o L i n e a r Reta [R
Uma maneira de r e p resentar uma feição linear reta IR é através do uso da equação paramétrica da reta que tem como e lementos definidores; um ponto C sobre a reta, e um vetor
direção da linha IR (.ft) r como mostra a figura 3.3.
14
F I O U R A 3 . 3 . R E P R E S E N T A Ç Ã O D E U M A F E I Ç Ã O L I N E A R R E T A
Equ a ç ã o Para m é t r i c a da Retas
R i P = C + s < ^ (3.1)
onde s
P = [Xp Yp ZP]T ponto sobre a reta IR para on d e o vetor d i r e ç ã o aponta?
C = [Xc Yc Ze]T ponto sobre a reta IR de onde o vetor dire ç ã o tem origem;
s d i s t ância escalar;
íXf? Y (3 lftlT vetor dir e ç ã o da reta [R.
A equa ç ã o 3.1 gar a n t e então, que qu a i s q u e r dois pontos geram uma reta, mas não gar a n t e que outr o s não possam gerar a
mesma reta, como most r a a figura 3.4. Assim, n e n h u m dos pontos da reta podem ser usad o s como d e s c r i t o r e s <04> da Feiç ã o Linear Reta. É n e c e s s á r i o que se tenha um ponto com uma condição única para que se possa fixa-lo como descritor.
P A R E S D E P O N T O S O U E G E R A M
A M E S M A R E T A :
< A , B ) -> IR ( B , C ) -> IR ( A , C ) -> IR ( B , D ) -> IR ( A , D ) -> IR (C ,D ) -> IR
F I G U R A 9 . 4 . R E P R E S E N T A Ç Ã O D E Q U E P A R E S D E P O N T O S
P O D E M G E R A R A M E S M A R E T A
É importante n o t a r q ue na figura acima, usou-se somente q u a t r o pontos para e x e m p l i f i c a r que pares distintos de pontos podem gerar a mesma reta. A afirm a t i v a pode ser estendida para infinitos pontos.
P r o v a — se que sobre a reta IR, ou no seu prolongamento, existe um único ponto "C", cujo vetor d i r e ç ã o finque nele se originou, forma 90° com o vetor C - Ò ^ q u e liga a origem do sistema de referência, como m ostrada na figura 3.5.
(01) D e s c r i t o r e s - E l e m e n t o s d e f i n i d o r e s de uma F e i ç ã o Linear Reta ou Curva, porém fixos por uma condição única.
16
M a t e m a t i c a m e n t e prova-se que, se CO J. ft então o produto escalar e ntre CÒ e ft é igual a O (zero).
cò (3 — 0 (3.2)
Co m o O é a o r i g e m do sistema com coordenadas (0,0,0) tem-set
C./T = O (3.3)
A u n i c i d a d e do segu n d o d e s c r i t o r (vetor direcSo ft) fica g a r a n t i d a fazendo sua gra n d e z a unitária.
(3.4)
ou e q u i v a l e n t e m n t e
ft.fi
= 1Z (3.5)A v a n t a g e m de tratar ft como vetor u n i t á r i o é que o escalar s passa a ser a di s t â n c i a e u c l i d i a n a entre um ponto qualquer P e o d e s c r i t o r C.
|s| = ||P - C || ou
(3.6) 5 = [ ( X p - X c ) 2 + ( Y P - Y c ) 2 + (Zp - Z c ) 2 ]‘x *
A ssim a forma padrão da feição linear IR é dada por seis p arâmetros que o b e d e c e m a duas condições:
IR (Forma Padrão): { Xf9, Vft, Zft, X c , Yc, Zc tal que ft.ft^L2 e C. (1=0}
Para a d e t e r m i n a ç ã o dos p arâmetros Xc, Yc, Zc, Xft, Yft e Zft são n e c e s s á r i a s no m í nimo 2 pontos sobre a feição linear
reta com c o ordenadas conhecidas; ger a n d o um sistema com 0 equações, sendo 6 de o b s e r v a ç ã o mais 2 de c ondição ou injunção.
S a b e - s e entretanto, que bastam dois pontos para se d eterminar um vetor direção. Assim, ft pode ser obti d o através da relação:
(Pz - Pi) _ IP* ~ P 1 II ft
Ê importante lembrar que na d e t e r m i n a ç ã o de tal vetor, seu sen t i d o deve ser o m e s m o que ele teria caso fosse d e t e r m i n a d o com o uso do ponto fixo C. como mostra a figura 3.6.
1B
r i O U R A 3 . a . V E T O R D I R E C A O f t D E T E R M I N A D O P O R P I E P 2 I O U A L A O
V E T O R f t Q U E S E R I A D E T E R M I N A D O P O R C E P .
C o m o resultado, o m o d e l o para d e t e r m i n a ç ã o dos descr i t o r e s das feições lineares r e t a s , é composto por 3 equações de o b s e r v a ç ã o (3.7) e u ma única equ a ç ã o de injunção
(3.8).
Xp = Xc + s*Xft
Yp = Yc + s$Yft (3.7)
Zp = Zc + s*Z/9
XctXft + YctYft + ZctZft = O (3.8)
é possível esti m a r os parâm e t r o s defi n i d o r e s da feição linear reta [R através do a j u s t a m e n t o pelo M é t o d o Combinado com Injunções, que será tratado em c a pítulo posterior.
3.1.2. Mode l o dos P a r â m e t r o s A d i c i o n a i s para Feições Lineares Retas IR
O m o d e l o dos parâmetros a d i c i o n a i s consiste na a ssociação das E q u a ç õ e s de c o l i n e a r i d a d e com as equações de obser v a ç ã o d e f i n i d o r a s da reta IR.
_ , m*i* ( X p - X o ) + m n t (Yp-Yo)+mifl* ( Zp— Zo) mait { Xp-Ko) +Hszi (Vp-~Vo)+msBÍ ( Zp-2o)
(3.9)
— mzit ( Xp-Xo) +mzz< (Yp-Yo)+m2at ( Zp— Zo)
^ mait ( Xp— Xo) +m9z* ( Yp— Yo)+m99* ( Zp— Zo)
XP = Xc + B t X p
Yp = Yc + s*Y/? (3.7)
Zp = Zc ■+• s$Z/?
Na forma que se e n contra o modelo, a correspondência ponho a ponto, das eq u a ç õ e s de colinearidade, permanece inalterada. No ent a n t o not a - s e que as c o o rdenadas no espaço objeto (Xp, Yp, Zp), nas e q u a ç õ e s de o b s e r v a ç ã o d e f inidoras da reta IR (3.7) são funções dos d e s c r i t o r e s desta feição que foram previamente d e t e r m i n a d o s e do p a r âmetro s, d i s t â n c i a do ponto P ao ponto de s c r i t o r C.
Su b s t i t u i n d o as equ a ç õ e s (3.7) nas equações (3.9) e limina-se a c o r r e s p o n d ê n c i a ponto a ponto, já que os pontos imagens o b s e r v a d o s sobre as feições retas, no objeto possuem suas coordenadas i n diretamente d e t e r m i n a d a s simul t a n e a m e n t e a
20 resolução do m o delo para finalidade requerida.
m u * ( Xc+s*Xf?-Xo)+miz* (Yc+s* Y/?-Yo)+mi9* ( Zc+s*Zf?-Zo) x = -f
m 9 i * ( Xc-*-s*Xf?-Xo) +M9Z* (Yc+s* Y/9-Yo) + m 9 9 * ( ZC+s*Zf?-Zo) (3.10)
m z i t ( X e + s * Xf?—X o ) + m z z * ( Y c + s * Y ^ - Y o ) + m z 9 * ( Z c + s * Z f l - Z o ) m 9 i * ( X c + s * X ^ - X o ) + m 9 Z * ( Y c + s * Y / 3 - Y o ) + m 9 9 * ( Z c + s * Z ^ ? - Z o )
3.2. M o d e l o dos P a r â m e t r o s A d i c i o n a i s com Uso de Feições L i n e a r e s C i r c u l a r e s como C o ntrole
3.2.1. D e s c r i ç ã o da F e i ç ã o Line a r Circular* <C
No espa ç a tridimensional uma feição linear circular C pode ser d e finida como a interseção de uma esfera com um plano que contém o centro da e s fera como mostra a figura 3.7.
F i a U R A 9 . 7 . D E F I N I Ç Ã O D E U M A F E I C A O L I N E A R C I R C U L A R N O E S P A Ç O .
Cada ponto P contido na feição linear circular C deve satisfazer a duas e q uações de observação, como mostra a figura 3.0.
F I G U R A 3. 0 D K S C R I C A O DA F K I C A O L I N K A R C I R C U L A R
||P - c|| = r
(3.11) (P - C) -r) = O
ou equivalentemente:
(X p - X c )2 + (Yp-Yc)2 + (Zp-Zc)2 =» r2
(3.12) (Xp-Xc) Xtj + (Yp-Yc) Yí7 + (Zp-Zc) Zr) = O
o n d e :
P é um ponto sobre a feição linear circular Cj C é o centro da feição linear circular Cj
n é a normal ao plano que contém a feição linear circular C e;
r é o raio da feição linear circular <C.
Como o compr i m e n t o da normal r> nada afeta a feição linear circular C, e le pode ser tratado como unitário.
2 2
Assim,
ou equivalentemente?»
Xr?Z + Yr?Z + Zr?2 = 1 (3.14)
Desta maneira, a forma padrão da feição linear circular C fica:
C (forma p a d r ã o ): {C, r?, r/ ibn - 1>
A circun f e r ê n c i a des c r i t a por C, r? e r representa 7 parâmetros (Xc, Yc, Zc, Xr?, Yr?, Zr? e r) e de acordo com a (3.12) é n e c e s s á r i o o c o n h e c i m e n t o das c o o rdenadas de 3 pontos sobre a circun f e r ê n c i a para d e t e r m i n á — l o s . Co m estes pontos pode-se e s t a b e l e c e r um sistema com solução única (7 equações a 7 parâmetros).
M a t e m a t i c a m e n t e prova-se que o produto vetorial entre 2 vetores 6 um terceiro vetor ortogonal a eles [09].
C h a m a n d o de " a ” o vetor formado pelos pontos 1 e 2 e
"b" o vetor formado pelos pontos 1 e 3, como mostra a figura 3.9:
|| 571| = 1 (3.13)
F I O U R A 9. KV VET OR ES "o" E "b"
temos ,
a = (Pz - Pi) (3.13)
b = (Pa -Pi)
G vetor normal r) será:
77 = a x b (3.16)
ou equivalentemente:
i j k
ai az aa
bi bz ba
o n d e :
ai, az e a9 são as componentes do vetor a;
bi, bz e ba são as componentes do vetor b;
24 a i = XPz - XPi;
a z = YPz - YPi;
a s = ZPz - ZPi;
tu = XPs - XPi;
bz = YPs - YPij
bs = ZPs - ZPi;
Tf - ( a z b s - a s b z ) i >+ ( a s b i - as b s ) j >+ ( a i b z - a z b i ) k >
Para r) ser u n i t á r i o basta d i v i d i - l o pela sua normas
Xr) = ( a z b s - a s b2) / ( X r)2 + Yr) 2 + Zr)2 )lx2
Yr) = ( a s b i - a* b s ) / ( X r)2 + Y r) 2 + Z r ? ) 1' * (3.1 7) Zr) = ( a i b z — a z b i ) / ( X r)2 + Yr) 2 + Zr)2 )1/2
O s e n t i d o de r) ê indif e r e n t e para o modelo.
O m o d e l o passa a ter entâo, 4 p arâmetros descritores a serem d e t e r m i n a d o s , Xc, Yc, Zc e r por duas equações de o b s e r v a ç ã o t
(Xp-Xc)2 + (Yp-Yc)2 + (Zp-Zc)2 = r2
(3.12) (Xp-Xc) Xr) + (Yp-Yc) Y ï) + (Zp-Zc) Zr) ■= O
que é o m o d e l o funcional de f i n i d o r da feiçáo linear circular,
Assim, três pontos g e r a m Z» equ a ç õ e s apresentando 2
graus de liberdade.
3.2.2. M o d e l o dos P a r â m e t r o s A d i c i o n a i s para FeicÕes Lineares C i r c u l a r e s C
Co m o v i s t o no m o d e l o dos p a r â m e t r o s adicionais com uso de feições lineares retas como controle, combin a n d o as equações de o b s e r v a ç ã o d e f i n i d o r a s da circunferftncia (3.12) com as e quações de co l i n e a r i d a d e (3.9) tem-se o m é t o d o dos parâmetros adicionais com us o de feições lineares circulares como c o n t r o l e .
_ , miit( Xp—X o )+mi2*( Y p —Y o )+mi9t( Z p - Z o ) X m s i * ( XP- X o ) + M 9 2 » T Y p - Y o ) + m 9 9 * ( Z p - Z o T
(3.9)
— - f m z i * ( X p - X o ) + m z z t ( Y p - Y o ) +m29> ( Z p — Z o )
^ m 9 i l ( X p - X o ) + m s í l ( Y p —Y o ) + m 9 9 l ( Z p - Z o )
(Xp-Xc)2 + (Yp-Yc)2 + (Zp-Zc)2 = r2
(3.12) (Xp-Xc) Xq + (Yp-Yc) Y p + (Zp-Zc) Zr> = O
O m o d e l o como se m o stra acima, nâo evita a tradicional c o r r e s pondência ponto a ponto e a s u b s t i t u i ç ã o das equações d e f i n i d o r a s da ci r c u n f e r ê n c i a (3.12) nas equações de c o linearidade (3.9) nâo se procede. E n t r e t a n d o este problema é contornado lançando m ão da reta formada pelo ponto P sobre a feição, pelo CP e pelo vetor d i r e ç ã o da reta p. Como mostra a figura 3.10.
2b
r i O U R A 3 . I O . R E T A F O R M A D A P E L O C E N T R O P E R S P E C T I V O , P E L O V E T O R
D I R E C A O p E P E L O P O N T O P S O B R E A F E I Ç Ã O
A equa ç ã o p a r amétrica da reta citada acima é dada por;
Xp = Xo + s Xp Yp = Yo + s Y p Zp = Zo + s Zp
(3.18)
S u b s t i t u i n d o as equ a ç õ e s (3.18) no modelo dos parâmetros a dicionais com uso de feições circulares como controle, (3.12) e (3.9) tem-se:
>: = -f
y = -f
m u t Xp^mi2tYp+mi st Zp m9itXp M92tYp^m99tZp
m2it Xp+mzztYp*-m29t Zp mgit Xp+m9ztYp+m99t Zp
(3.19)
(3.20) ( X o + 5 X p - X c ) X p + ( Y o + B Y p - Y c ) Y p + ( Z o + 5 Z p — Zc ) Zrj = O
a n d e :
p é função das fo t o c o o r d e n a d a s o b s e r v a d a s (x,y), da distância focal f e das rotações (k,f>,v).
0 vetor p, é o vetor d i r e ç ã o no e s paço objeto que corresponde ao vetor d i r e ç ã o no e s p a ç a imagem do ponto ob s e r v a d o sobre a respectiva imagem da feição linear reta, p.
Assims
pi =* M p (3.21)
s e n d o :
M é a matriz de rotação função de (k, *> e v) e;
pi vetor d i r e ç ã o do ponto o b s e r v a d o no e s p a ç o imagem, p.
p e pi podem ser e s critos respectivamente:
X P - Xo Y p - Yo Z p - Zo
(3.22)
pi
X p — Xo y p - y o
- f — Z o
(3.23)
Como as coordenadas do centro pers p e c t i v o no sistema
2 8 fot o g r a m é t r i c o (origem), são:
Xo = yo = zo = O (3 . 2 4 )
S u b s t i t u i - s e (3.24) na (3.23) tem-se:
Pi-
Xp y p -f
(3.25)
L e v a n d o a (3.23) na (3.21) vem que:
Xp y p -f
= M %p (3.26)
e, m u l t i p l i c a n d o ambos os membros da e q u a ç ã o acima por M resulta:
-í
M “ 1*
X p y p -f
(3.27)
L e m b r a n d o que:
M"1* M = I (3.28)
a (3.27) pode ser escrita:
[ : ; 1 -
(3.29)
Como a matriz M é ortogonal, (M *= M T ) então:
p = M *
xp y p -f
( 3.3 0)
A d e t e r m i n a ç ã o do esc a l a r s é o b t i d o da equação:
(CP + s p — C ) . q — O (3.31)
ou
s = -(CP - C) q / (p.q) (3.32)
Assim, a forma final do m o d e l o dos parâmetros adicionais com u so de feições lineares circulares C como controle fica r e p r e sentado pelas eq u a ç õ e s (3.19), (3.20) e (3.32).
x = -f
y = -f
m n * X p * - n u i > * Y p * - m i 9 * Z p
m9i*Xp+M92*Yp+m99*Zp m2«t Xp»-m22*Yp+m29tZp m9it Xp+m9z*Yp+m99tZp
(Xo+s X p - X c ) 2 + (Yo+b Y p - Y c ) 2 (Zo+9 Zp-Zc)*
( X o + s Xp-Xc) Xq + ( Y o + s Yp-Yc) Yq + (Zo+s Zp-Zc) Zq = O
c o m :
s = -(CP - C) q / (p.q)
C A P Í T U L O 4
Ap l i c a çÃo d o Mo d e l o d o s Pa r â m e t r o s Ad i c i o n a i s à
Re s s e çÃo Es p a c i a l
4.1. Introdução
A resseção espacial c o nsiste em deter m i n a r 0 5 p arâmetros de o r i e n t a ç ã o e xterior de uma fotografia isolada.
Os p arâmetros de o r i e n t a ç ã o e x terior são as coordenadas do centro p e r s p e c t i v o (Xo,Yo,Zo) e a orien t a ç ã o do sistema fo t o g r a m é t r i c o em relação ao referencial de terreno
(k,p , v )
.
A té há bem pouco tempo, estes p arâmetros eram obtidos u t i l i z a n d o som e n t e feiçães pontuais como controle, através das E q uações de Colinearidadet
_ m u t ( X p - X o ) + m < 2 t ( Y p — Yo) +mán* ( Zp— Zo) msii ( Xp— X o ) +M#zí ( Y p — Yo)+mB9t( Zp— Zo)
_ m2i* ( Xp-Xo) +mzz< (Y p-Yo) +mzs* ( Zp-Zo)
^ msit ( Xp—Xo) +m9ít (Yp— V o) +m#9^ ( Zp—Z o)
Isto exig i a o c o n h e c i m e n t o das coordenadas de terreno de pontos de controle, a m e d i ç ã o de suas respectivas fo t o c o o r d e n a d a s , a d i s tância focal calibrada e valores
a p r oximados para os parâmetros incógnitos.
Atualmente, exis t e m outras alt e r n a t i v a s além das feições pontuais para d e t e r m i n a r os parâm e t r o s da resseçâo e s p a c i a l .
N e s t e capítulo, es t e problema será tratado ut i l i z a n d o - s e o modelo dos parâme t r o s adicionais com uso de
feições lineares retas e curvas como controle.
4.2. A p l i c a ç ã o do M é todo dos M í n i m o s Quadrados na D e t e r m i n a ç ã o dos Descr i t o r e s das Feições Lineares Retas e Circu l a r e s
As eq u a ç õ e s de o b s e r v a ç ã o que d e s c r e v e m as feições lineares retas (3.7) e circulares (3.12) são uma combinação de o b s ervações e parâmetros, ou sejas
F (L a ,X a ) = O
A e x p r e s s ã o acima permite a a p l i cação do Método dos Mínimos Q u a d rados u s ando o m o d e l o combinado.
Entretanto, pelo item 3.1.1 tem-se três equações de o b s e r v a ç ã o ligadas a uma equa ç ã o de injunção para determinação dos descr i t o r e s das feições lineares retas e pelo item 3.2.1.
tem-se somente duas e q uações de o b s e r v a ç ã o para determinação
dos d e s critores das feições lineares circulares- Assim, serão u tilizados o m o d e l o combinado com i n junção e sem injunção r e s p e c t i v a m e n t e .
— M o d e l o combinado com injunção:
F (L a ,X a ) = O G(Xa) = O
s e n d o :
Xa — vetor dos parâmetros ajustados;
La — vetor das o b s e r v a ç õ e s ajustadas;
X - vetor das correções aos parâme t r o s aproximados;
Xo — vetor dos parâmetros aproximados;
Lb - vetor das observações;
V - vetor dos resíduos e;
Xc = X + AX com AX s endo a influência das inj unções -
As funções F e G 1 iriearizadas através da expansão de Taylor n e g l i g e n c i a n d o os termos de segunda o r d e m em diante, são escri t a s :
A X + B V + W = O
r u u l r n n 1 r i r i
e
32
C X + O
t u t í
o n d e :
r - n ú m e r o de e q uações de condição;
u - núme r o de parâmetros;
n — núme r o de o b s e r v a ç õ e s e;
t - n ú m e r o de eq u a ç õ e s de injunção.
"A" é d e n o m i n a d a matriz das d e r i vadas parciais das funções F em relação aos parâm e t r o s ajustados no ponto aprox i m a d o :
"B" é d e n o m i n a d a matriz das d e r i vadas parciais das funções F em relação às o b s e r v a ç õ e s no ponto observado:
"C" é denom i n a d a matriz das de r i v a d a s parciais das funções G em relação aos parâmetros a j u s tados no ponto aprox i m a d o :
Ó F
<5Xa 1 Xa = Xo
B Ó F
óLa La = Lb
C - í g - I
<$Xa ' X a = Xo
itW" é d e n o m i n a d o vetor erro de f echamento das equações
de condição.
"Wc" é d e n o m i n a d o vetor erro de fechamento das e quações de injunção.
X e Xc são os vetores das correções aos parâmetros aproximadas e são escritosj
34
T T - l - i T - i T - 4
X = -(A (BPB ) A) A (BP B ) W
Xc = X + (AT (BP 4 B T )"‘ A ) " 1 C T Kc
s e n d o :
Kc = CC ( A T (BP_1 B T ) 1 A) 4 C T j-4 (CX + W)
2 —i 2
com P = o-o EL. sendo o-o a v a r iância a priori e EL. a matriz
b b
v a r i â n c i a - c o v a r i â n c i a das observações.
'V" é d e n o m i n a d o vetor dos resíduos o b tido port
V = -P ‘ B T (BP 4 B T ) 4 (AX + W)
A matriz v a r iância - c o v a r i â n c i a dos parâmetros ajustados é:
EXa = (AT M 1 A ) -1
e a variância a posteriori:
V PVT
t+r— u
4.2.1. Matriz das De r i v a d a s P arciais A para Feições Lineares Retas
Os parâmetros d e s c r i t o r e s da feição linear reta a serem det e r m i n a d o s são: Xc, Yc e Zc.
Cada ponto sobre a feição g e r a r á 3 linhas da matriz A por 3 colunas r eferentes aos parâmetros.
O padrão da matriz A figura 4.1 para n pontos sobre n feições possui:
A matriz A para um ponto e uma feição é:
ÓFi/ÓXc ÓFi/ÓYc óFl/ÓZc '
A ÓFz/ÓXc ÓFz/ÓYc ÕFz/ÓZc
ÓFa/ÓXc ó F a / S Z a ÓFs/ÓZc
número de linhas = 3 (equações) vezes o n ú m e r o de pontos número de colunas = 3 vezes o núme r o de feições
3 6 feição 1 f e i ç ã o 2 ... feição n
pípj ptol'
O
0
o
ptol-
pton
1egenda
[3]--- n- de equações (linhas) ,3--- ( XCi, YCt, ZCi) (colunas)
F I C J U R A 4 . 1. M A T R I Z A P A R A D E T E R M I N A Ç Ã O D O S D E S C R I T O R E S D A S F E I Ç Õ E S L I N E A R E S R E T A S
4.2.2. Matriz das Derivadas P a rciais B para Feições Lineares Retas
Cada ponto sobre a feição g e r a r á 3 linhas da matriz B por 3 colunas referentes as observações.
A matriz B para um ponto e uma feição és
Ó Fi/ Ó Xp Ó Fí/ Ó Yp Ó F I / Ó Zp
B = Ó F z / Ó X p Ó F2/6Y P Ó F z / Ô Z r Õ Fb/ Ó Xp Ó Fs/ Ó Zp Ó Fb/ Ó Zp
O padrão da matriz B figura 4.2 para n pontos sobre n feições possui:
número de linhas = 3 (equações) vezes o n ú mero de pontas número de colunas = ,3 vezes o n ú mero de pontos
feição 1 feição 2 ... feição n
(e q u a ç õ e s )
W '' m
s v / / s
O
oton
i W í
R t o 2 - y y / /
legenda
[3}---- n — de e q uações (linhas) -3---- ( XPv, YPl, ZPi) (colunas)
F I O U R A ■4. 9. M A T R I 7 . B P A R A D K T F R M I N A Ç l à O I > O S D M C B I T O R F n B A S F E I Ç Õ E S L I N E A R E S R E T A S
38 4.2.3. Matriz das Derivadas Par c i a i s C para Feições Lineares
Retas
Cada ponto sobre a f e i ç ã o g e r a r á 1 linhas da matriz C por 3 colunas referentes aos parâmetros.
A matriz C para um ponto e uma feição ét
C = C óFi/óXc ÓFi/ÓYc óFi/ÓZc]
O padrão da matriz C figura 4.3 para n pontos sobre n feições possui:
número de linhas = núme r o de pontos
número de colunas = 3 vezes o n ú mero de feições
feição 1 feição 2 feição n
[D (equação)
’'/& & X /-Í////, HJ o
a
13 í^pon to 2 y '/',
LU • . ã
0 'i& t â À t f //,
o 0
a
legenda
fl]----n- de equa ç ã o (linhas) -3---- (XCi.,YCi,ZCl) (colunas)
F I O U R A -4. S . M A T R I Z C P A R A D E T E R M I N A p à o D O S D E S C R I T O R E S D A S F E I ç Õ r c S L I N E A R E S R E T A S
