EDUCAÇÃO MATEMÁTICA REALISTA (EMR) ALIADA À MODELAGEM MATEMÁTICA EM UMA PROPOSIÇÃO DIDÁTICA 1 RESUMO

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA REALISTA (EMR) ALIADA À MODELAGEM MATEMÁTICA EM UMA PROPOSIÇÃO DIDÁTICA¹

Herton Gilvan Caminha Goerch² Faculdade Integrada de Santa Maria- hgoerch@gmail.com

Vanilde Bisognin³ Centro Universitário Franciscano - vanildebisognin@gmail.com

RESUMO

Neste trabalho descrevemos uma proposição didática utilizando a metodologia da Educação Matemática Realista (EMR) aliada à Modelagem Matemática, com o objetivo de trabalhar alguns conceitos matemáticos de forma contextualizada. O enfoque da atividade baseou-se na construção de um objeto da encilha do tropeiro, a espora. A proposta foi aplicada a uma turma de segundo ano do Ensino Médio Técnico Integrado em Agropecuária de uma Instituição Federal de Ensino em Alegrete, Rio Grande do Sul. Os resultados apontam que esta abordagem diferenciada foi uma boa estratégia de ensino, permitindo aos estudantes relacionarem a matemática ao seu cotidiano.

Palavras-chave: Matemática Realista; Modelagem; Espora.

1. INTRODUÇÃO

As políticas públicas nacionais para o Ensino Médio no Brasil, atualmente, sinalizam para uma educação tecnológica básica, a qual propõe a compreensão dos fundamentos tecnológicos pelos estudantes, bem como a associação da teoria com a prática no ensino de cada disciplina.

Nesta perspectiva, busca-se o aprimoramento do estudante como ser humano, assim como sua formação ética, o desenvolvimento de sua autonomia intelectual, de seu pensamento crítico, sua preparação para o mundo do trabalho e o desenvolvimento de competências para continuar seu aprendizado.

Segundo as Orientações Curriculares Nacionais – OCN (BRASIL, 2006), os professores, ao desenvolverem suas atividades em sala de aula, precisam considerar o contexto no qual os estudantes estão inseridos, bem como valorizar a história, hábitos e

1 Trabalho produzido no Projeto CNPq 405635/2012-5.

2 Mestre em Ensino de Física e Matemática. Professor da Educação Básica (Escola Municipal Alberto Pasqualine – Manoel Viana/RS). Professor de Estatística na FISMA (Faculdade Integrada de Santa Maria-RS).

3 Doutora em Matemática. Professora titular no Centro Universitário Franciscano – Santa Maria/RS.

costumes, os quais poderão constituir em importantes subsídios para os processos de ensino e aprendizagem. Para o Ensino de Matemática, os documentos explicitam tais proposições, quando:

A construção e a utilização do conhecimento matemático não são feitas apenas por matemáticos, cientistas ou engenheiros, mas, de formas diferenciadas, por todos os grupos socioculturais que desenvolvem e utilizam habilidades para contar, localizar, medir, desenhar, representar, jogar e explicar, em função de suas necessidades e interesses. Valorizar o saber matemático, intuitivo e cultural, aproximar o saber escolar do universo cultural em que o aluno está inserido, é de fundamental importância para o processo de ensino e aprendizagem (BRASIL, 2006, p. 34).

Na tentativa de atender a essa necessidade, de realizar uma abordagem contextualizada, este trabalho apresenta o desenvolvimento de uma atividade utilizando a Modelagem Matemática associada à metodologia da educação Matemática Realista (EMR) para a construção de objetos do arreamento da encilha⁴ do tropeiro. A escolha da abordagem, descrição desses utensílios, deu-se pelo fato dos mesmos fazerem parte do cotidiano dos estudantes, os quais pertencem à região da Fronteira Oeste do Rio Grande do Sul, a qual tem como características uma cultura bastante ligada às lides do campo.

2. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA REALISTA (EMR)

A Educação Matemática Realista (EMR) é uma teoria de ensino e aprendizagem em Educação Matemática que foi introduzida e desenvolvida, primeiramente, pelo Instituto Freudenthal, na Holanda. Essa corrente filosófica reconhece Hans Freudenthal (1905-1990) como seu criador. Ele foi um matemático e educador de origem alemã, desenvolveu sua carreira acadêmica e sua filosofia de ensino para as Matemáticas na Holanda. Suas ideias filosóficas deram início, ainda na década de 70, a uma reforma da Educação Matemática revolucionária naquele país.

A EMR, ao ser introduzida nas escolas holandesas, tinha a concepção da matemática

sob uma nova visão, o que propiciou uma nova forma de ver e entender o Ensino de Matemática, segundo Freudenthal (1968), como uma proposta de:

4 Encilhar: colocar os arreios no animal. Arreios: conjunto de peças com que se arreia um cavalo para montar (NUNES; NUNES, 1996)

- Matemática como atividade humana;

- Ensino e aprendizagem como princípio de reinvenção;

- Aprendizagem matemática por meio de matematização;

- Reinvenção de ferramentas matemáticas por meio da matematização progressiva.

A partir desses conceitos fundamentais foram lançadas as bases da EMR, que começaram a ser incorporadas, desenvolvidas, aprimoradas por seguidores e adeptos das ideias de Freudenthal.

No início dos anos da EMR, Freudenthal (1968) propôs uma discussão a respeito do que é matemática e o que deveria ser considerado útil para a sua aprendizagem. Sendo da área, ele argumentava que a tarefa dos matemáticos era, especificamente, matematizar assuntos próprios do conhecimento, mas que era possível também trabalhar com assuntos da realidade. Ainda de acordo com o autor, a matemática deve ser ligada à realidade, permanecer perto da criança e ter ligação com a sociedade, para que, dessa forma, tenha valor para a humanidade. Para ele, a educação deve dar aos estudantes a oportunidade “guiada” de reinventar a matemática (FREUDENTHAL, 1991). Nesta perspectiva, a essência da Educação Matemática não reside no ensino dos objetos matemáticos simplesmente, mas sim, na atividade: um processo de organização e tratamento de um assunto por meio de objetos.

Partindo desse pressuposto, a matemática é vista como uma ação e não como um “batalhão”

de conhecimentos e, portanto, não faz sentido ensinar às crianças apenas os conteúdos, mas sim, dar a elas oportunidades diferentes para experimentar a matemática como uma “atividade humana”.

Isto significa que em Educação Matemática o foco principal deveria estar nas atividades, no processo que o autor chamou de “matematização”. Este princípio de

“reinvenção guiada” enfatiza a interação entre docentes e alunos no processo de aprendizagem. Segundo este princípio, os estudantes devem ter oportunidades de reinventar o conhecimento matemático sob a supervisão de um professor, enquanto os professores mapeiam a trajetória de aprendizagem do aluno, a fim de ajudá-los a encontrar a matemática que lhes é requerida nas situações de aplicação.

O termo “realistic” no nome “Realistic Mathematics Education” tem levado algumas pessoas a acreditar que a contextualização das atividades matemáticas deva acontecer sempre a partir do “mundo real”. Porém isso nem sempre se faz necessário. Segundo Van Den Heuvel-Panhuizen (apud BURIASCO et al., 2009), o termo “realistic” tem origem no verbo neerlandês zichrealiseren e pode assumir o mesmo significado de “imaginar”, o que sugere que os contextos ou situações nos quais os estudantes se envolvem não precisam ser “reais”, mas precisam ser imagináveis, realizáveis, concebíveis na mente dos estudantes. As histórias da Matemática, assim como o mundo formal matemático, podem ser convenientes para a contextualização de um problema.

A reforma da Educação Matemática holandesa adotou o termo “realistic” a partir da ideia de que o EMR possa oferecer aos alunos situações-problema nos quais eles podem fazer uma representação mental, seja de algo concreto ou abstrato. É nesse contexto que o termo

“realistic” passa a ser traduzido por “matematização”. De acordo com Freudenthal (1973), o termo “matematização” significa a “organização da realidade com significado matemático”

(p. 44). Para o autor, a Matemática deveria ser vista como uma atividade de organização da realidade, sendo esta realidade matemática ou não, porém sempre relacionada a um determinado contexto. Para Treffers e Goffree (apud LUCCAS; BATISTA, 2011, p. 455), significa “uma atividade de organização e estruturação por meio da qual se adquire conhecimentos e habilidades para descobrir regularidades, conexões e estruturas ainda desconhecidas”.

Neste trabalho, adotamos a concepção de matematização, de acordo com Luccas e Batista (2011, p. 455), como sendo a “atividade matemática que possibilita a organização e a estruturação dos fenômenos naturais pertencentes à realidade complexa, por meio de uma identificação de regularidades, padrões, relações e, posteriormente, estruturas matemáticas”.

Segundo Jzn (apud LUCCAS; BATISTA, 2011), em se tratando do processo de ensino e aprendizagem a matematização possui duas características fundamentais: a reflexão e a formação de conceitos. A primeira envolve cada procedimento adotado pelo aluno, ou seja, o aluno deve socializar com os demais colegas os conhecimentos e soluções de problemas;

analisar as soluções obtidas; avaliar a estratégia mais viável para a busca de solução; resolver e interpretar o resultado de acordo com o contexto de partida. A segunda característica

enfatiza que os conceitos matemáticos assumem um valor cognitivo significativo ao se trabalhar com atividades, tendo em vista a possibilidade de reflexão e interação social.

Na Matemática Realista o contexto de resolução de problemas desempenha um papel fundamental, segundo Treffers e Goffree (apud LUCCAS; BATISTA, 2011, p. 455), pois possibilita:

- Formação de conceitos: na primeira fase do curso é possibilitado aos alunos o acesso natural e motivador à matemática;

- Formação de modelos: eles oferecem uma firme segurança para a aprendizagem das operações formais, procedimentos, notações, regras, e, ao fazê-lo juntamente com outros modelos palpáveis e visuais, pode proporcionar uma função importante como suporte para o pensamento;

- Aplicabilidade: eles descobrem a realidade como fonte e domínio de aplicação;

- Exercício de habilidades aritméticas específicas em situações de aplicação.

Neste sentido, tanto o problema quanto o contexto desempenham um papel fundamental no processo de ensino e de aprendizagem quando se trabalha com a teoria da Educação Matemática Realista.

3. MODELAGEM MATEMÁTICA E A APROXIMAÇÃO COM A EMR

A Modelagem Matemática, segundo Bassanezi (2002), é um processo de criar modelos a partir de um problema oriundo da realidade do estudante. O autor ainda afirma que, para a busca de um modelo matemático que melhor descreva o problema estudado, os mesmos devem ser analisados seguindo algumas orientações/etapas que podem ser observadas na Tabela 1.

Tabela 1: Orientações para desenvolvimento da Modelagem Matemática

Etapa Descrição

Formulação Reconhecimento da situação problema e a familiarização com o assunto a ser modelado

Simplificação É uma atividade essencialmente laboratorial na qual processa a obtenção de dados

Resolução É o procedimento que deve levar à formulação dos Modelos Matemáticos Análise O Modelo Matemático é obtido quando se substitui a linguagem natural das

hipóteses por uma linguagem matemática coerente Comparação É o processo de aceitação ou não do modelo proposto

Interpretação Alguns fatores ligados ao problema original podem provocar a rejeição ou aceitação dos modelos

Fonte: Bassanezi (2002)

Percebe-se que há um significativo aumento da utilização da Modelagem Matemática como recurso didático no Brasil, segundo Barbosa, Caldeira e Araujo (2007); Almeida, Araujo e Bisognin (2011) e Meyer, Caldeira e Malheiros (2011). As pesquisas referem-se à compreensão, potencialidades e dificuldades desta teoria em sala de aula, citam experiências em cursos de formação inicial e continuada de professores, bem como aplicações na educação básica.

A matematização tem uma aproximação com os esquemas e fundamentos da Modelagem Matemática. Analisando-se os esquemas de Modelagem Matemática e da matematização, ambos iniciam a partir de um problema real, que é a segunda etapa do processo. As ações de organização dos dados, definição de hipóteses, transição da linguagem natural para a linguagem matemática, a análise das variáveis envolvidas no problema, a formulação de um problema matemático e a esquematização assemelham-se, assim, às ações no processo horizontal. De acordo com Luccas e Batista (2011, p. 458), a matematização horizontal envolve:

Identificação da matemática específica em um contexto geral; Esquematização;

Formação e visualização de um problema por diferentes modos; Descoberta de regularidades; Reconhecimento de aspectos isomorfos em problemas diferentes;

Transferência de um problema do mundo real para um problema matemático;

Transferência de um problema do mundo real para um modelo de conhecimento matemático.

Além disso, as ações no processo de modelagem como definição de um modelo, domínio de técnicas matemáticas para a criação do modelo, uso de linguagem simbólica e formal, as diferentes representações do modelo e generalização se aproximam da matematização vertical, que para Luccas e Batista (2011, p. 458) envolve:

Representação de uma relação em uma fórmula; Prova das regularidades;

Refinamento e ajuste de modelos; Uso de diferentes modelos; Combinação e integração de modelos; Formulação de um novo conceito matemático;

Generalização.

As aproximações entre as etapas da modelagem e a matematização horizontal e vertical podem ser observadas no quadro 1, a seguir.

Quadro 1: Relação entre a Modelagem Matemática e a EMR

Modelagem Matemática Matematização Horizontal Matematização Vertical FORMULAÇÃO: Reconhecimento

da situação problema e a familiarização com o assunto a ser modelo

A passagem de um problema não matemático para um problema matemático

SIMPLIFICAÇÃO: É uma atividade essencialmente laboratorial na qual se processa a obtenção de dados;

Busca e organização de dados, definição de hipóteses, transição da linguagem natural para a linguagem matemática, a análise das variáveis envolvidas no problema RESOLUÇÃO: É o procedimento

que deve levar à formulação dos Modelos Matemáticos;

Definição de um modelo, domínio de técnicas matemáticas para a criação do modelo, uso de linguagem simbólica e formal, as diferentes representações do modelo.

Fonte: Goerch (2013).

4. METODOLOGIA

No desenvolvimento deste trabalho realizou-se uma pesquisa de caráter qualitativo, a qual possibilita uma aproximação real com os sujeitos da pesquisa, oferecendo dados precisos e detalhes significativos (LÜDKE; ANDRÉ, 1986). Assim, os dados foram obtidos por meio da observação durante o desenvolvimento do trabalho dos alunos na aula e através da aplicação de dois instrumentos investigativos. O primeiro instrumento tinha por intenção conhecer as concepções prévias dos estudantes a respeito do arreamento da encilha do tropeiro, o segundo tinha por objetivo a análise da validade da proposta. Outro instrumento de pesquisa que colaborou na busca de dados foi a realização de uma entrevista com um historiador, responsável pela criação do Museu do gaúcho da cidade de Alegrete, que versou sobre a vida do tropeiro, seus hábitos e costumes.

A proposta foi aplicada aos estudantes de uma turma de 2º ano do Ensino Médio Integrado em Agropecuária do Instituto de Educação, Ciência e Tecnologia Farroupilha - Campus Alegrete. Foram considerados sujeitos da pesquisa 18 estudantes e as atividades tiveram duração de 8 horas-aula.

Inicialmente foi apresentada a proposta e aplicado um instrumento diagnóstico com o objetivo de explorar os conhecimentos prévios dos discentes a respeito da temática proposta:

“Arreamento da Encilha Completa”. Para preservar o anonimato dos alunos, os mesmos foram identificados por letras aleatórias.

No segundo encontro, foi solicitado que os estudantes modelassem o objeto escolhido, a espora, com auxílio de lápis e papel, utilizando de alguns conceitos/conteúdos de matemática.

Na sequência, a atividade foi desenvolvida no laboratório de Informática. Utilizou-se o software Geogebra ⁵ para a construção do utensílio. Para finalizar as atividades foi realizada uma avaliação, a partir da aplicação de um instrumento diagnóstico.

A análise dos dados foi descritiva e interpretativa, de acordo com a abordagem predominantemente qualitativa da pesquisa (LÜDKE; ANDRÉ, 1986). Consideraram-se, no âmbito da discussão dos resultados, as percepções coletadas através dos instrumentos diagnósticos, bem como o acompanhamento da produção dos estudantes que possibilitou a construção de conhecimento ao longo do desenvolvimento das atividades.

5. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

No primeiro encontro foi apresentada para a turma a proposta do trabalho. Os alunos, em sua maioria, demonstraram interesse pelo tema. Foi distribuído o questionário diagnóstico I, o qual tinha por objetivo saber qual o entendimento dos estudantes sobre o arreamento da encilha. Nesta mesma aula foi apresentado um vídeo, uma entrevista realizada por um dos pesquisadores com um historiador sobre o tropeirismo e principalmente os utensílios da encilha completa.

Dentre as várias possibilidades de utensílios da encilha que podem ser construídos a partir da modelagem, elegeu-se a espora (Figura 1), pois foi o item mais citado pelos estudantes no instrumento investigativo I.

5 Geogebra: software de matemática dinâmica, gratuito e multiplataforma para todos os níveis de ensino, que combina geometria, álgebra, tabelas, gráficos, estatística e cálculo em um único sistema.

Figura 1: Representação da Espora

Na segunda aula, foi solicitado que os alunos se dividissem em grupos e tentassem modelar o objeto utilizando apenas lápis e papel. Formaram-se três grupos, os quais foram identificados pelas letras A, B e C e os estudantes por números. A primeira tentativa dos grupos foi fazer um desenho da espora sem se preocupar com a modelagem em si, ou seja, sem utilizar os conceitos matemáticos. Neste momento um aluno questionou: Por onde iniciamos a construção da espora? (estudante 4 – grupo B). O professor/pesquisador, com o intuito de estimular os estudantes, respondeu com outros questionamentos:

Observem o objeto. Quais são os elementos que compõem a espora? Qual é o elemento que serve de apoio aos demais elementos? A ideia é que vocês procurem representar o objeto usando os conhecimentos matemáticos. Assim, sugiro que vocês pensem em cada parte do objeto e tentem relacionar com os saberes de matemática de vocês.

Com a modelagem deste objeto, pretendia-se que os estudantes conseguissem desenvolver conceitos algébricos, como os diferentes tipos de funções (linear, constante, quadrática, inversa, trigonométrica), os conceitos de escala e geométricos. Cabe salientar que para modelar um objeto é fundamental que se parta, primeiramente, da construção dos elementos que o compõem. O pesquisador então orientou os estudantes a procurarem relacionar o objeto com figuras geométricas e conceitos matemáticos, e a partir dessa análise descrevê-las. Neste momento os alunos fizeram inúmeros questionamentos, como:

Como assim, utilizar as funções? Em que parte? (estudante 2 – Grupo A)

Podemos construir o objeto partindo de uma função quadrática? (estudante 5 – Grupo B)

A construção deve ser do mesmo tamanho do objeto real?(estudante 1 – Grupo B) Deve-se pensar em uma escala para manter a proporção? (estudante 3 – Grupo C) Em que parte do objeto utilizo as funções? (estudante 2 – Grupo A)

Podemos usar retas e uma parábola. O problema é achar a função!

(estudante 3 – Grupo B)

Pode-se perceber, pela fala dos estudantes, que eles conseguiram perceber o que poderiam fazer para modelar o objeto. A identificação do problema a ser modelado e a transposição para o uso de relações matemáticas significa que os alunos passaram da matematização horizontal para iniciar o processo de matematização vertical, isto é, passaram a buscar elementos dentro da própria matemática para modelar o objeto, conforme se pode observar na Tabela 2.

Tabela 2: Construção dos alunos

Grupo Construção dos alunos no papel Construção utilizando conceitos matemáticos

A

Função quadrática f(x) = –x² –x +1 Segmentos de reta

Xv = -1/2 Yv = 5/4

B

Função quadrática f(x)= -2x² –4x+3 Segmentos de reta

Xv = -1 Yv = 5

C

Função quadrática f(x) = – x² + 2x-2 Segmentos de reta

Xv = 1 Yv = -1

No terceiro encontro, realizado em um laboratório de informática, os estudantes foram orientados a utilizar o software Geogebra, instalado nos computadores da Instituição, para a construção do utensílio. Inicialmente o professor apresentou o programa, com auxílio de projetor multimídia, mostrou as ferramentas disponíveis para a modelagem de objetos.

Na sala de informática cada estudante trabalhou individualmente nos computadores, porém houve uma interação significativa entre eles. Neste ambiente de colaboração o professor foi um mediador na construção do conhecimento, sinalizou que na utilização de conceitos matemáticos, há vários caminhos para alcançar os objetivos e que os estudantes deveriam utilizar os comandos do software que julgassem mais convenientes. Todos os alunos conseguiram transpor o que haviam realizado em grupos, com lápis e papel, para o computador. Para a construção da espora no software, a recomendação é que se inicie pela roseta. Os estudantes modelaram, seguindo as orientações, suas construções para este utensílio e que pode ser observado na Figura 2 (a, b, c, d).

2 a 2 b 2 c 2 d

Figura 2 (a, b, c, d): construção da roseta

Para dinamizar a figura da roseta, o programa computacional disponibiliza uma ferramenta, controle deslizante, na qual podemos selecionar a opção ângulo, conforme a Figura 3.

Figura 3: utilizando uma ferramenta do software na dinamização da roseta

Para finalizar a construção da espora, os alunos foram seguindo diversos passos, conforme pode-se observar na Figura 4 (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l). Após a construção da roseta, cria-se um segmento de reta, que representa a parte do suporte que prende a roseta ao restante do utensílio. Na sequência, desenha-se a parte que serve para encaixar a mesma na bota, que tem a forma de uma parábola. Por fim, constroem-se os elos que prenderão as correias da espora, um elo em cada ponta da parte representada por uma párabola.

4 a 4 b 4 c

4 d 4 e

4 f

4 g 4 h 4 i

4 j 4 l

Figura 4 (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l): passo-a-passo para a construção da espora.

A modelagem completa da espora pode ser observada na Figura 5.

‘

Figura 5: construção/modelagem da espora

No último encontro, cada estudante apresentou o seu trabalho e explicou como a formulou. Foi aplicado um segundo instrumento investigativo, com o objetivo de obter junto aos estudantes subsídios para avaliar a proposta aplicada e se a mesma foi relevante no ensino de matemática. Esta estratégia foi utilizada para que pudesse corroborar as atividades desenvolvidas.

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

A realização desta pesquisa permitiu uma participação ativa dos estudantes nos processos de ensino e aprendizagem de alguns conceitos matemáticos. A utilização de diferentes recursos proporcionou um incentivo à socialização de suas ideias, a valorização de suas participações e principalmente a não finalização do diálogo.

No desenvolvimento da proposta, em sala de aula e laboratório de informática, foi possível observar que, de fato, as etapas da modelagem matemática se aproximam da matematização vertical e horizontal. Desta forma esta abordagem promoveu uma apropriação

do conhecimento científico através de discussões entre os pares e os saberes dos estudantes passaram a ser enriquecidos cientificamente. Pois, ao longo das atividades os alunos tiveram a oportunidade de usar diferentes conceitos matemáticos, especialmente o de funções reais para modelar o objeto.

Neste aspecto, a Modelagem Matemática demonstrou a importância dos conhecimentos matemáticos presentes no cotidiano e isso foi identificado pelos estudantes.

Esta estratégia de ensino possibilitou um ambiente diferenciado em sala de aula, no qual o aluno assumiu o papel de investigador no processo e o professor assume o papel de orientador do trabalho.

Para a maioria dos alunos, a forma como foram conduzidas as aulas possibilitou a melhoria da aprendizagem e fez com que aprendessem além do contexto matemático, destacando a abordagem de situações reais do seu dia-a-dia em sala de aula. De maneira geral, os alunos consideraram que essa forma de aprender matemática prepara para situações futuras, mostrando uma matemática “mais útil”.

Os estudantes salientaram que as aulas, quando desenvolvidas apenas de modo expositivo-dialogada, são “cansativas” e “entediantes”. Para eles, as atividades de Modelagem Matemática possibilitaram que as aulas se tornassem mais alegres e participativas; essa é a essência preconizada pela EMR, na qual a matemática é vista como uma ação e não como uma lista de conhecimentos hierarquizados. Neste sentido, os conteúdos, os conceitos, ideias, expressões e propriedades matemáticas emergiram da situação proposta sobre a modelagem dos objetos campeiros do Rio Grande do Sul.

REFERÊNCIAS

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BARBOSA, Jonei C.; CALDEIRA, Ademir D.; ARAUJO, Jussara de Loiola (Orgs.).

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BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto, 2002.

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BURIASCO, Regina Luzia Corio; FERREIRA, Pamela Emanueli Alves; CIANI, Andréia Büttner. Avaliação como prática de investigação. Bolema: Boletim de Educação Matemática, Rio Claro-UNESP, v. 33, n. 22, p. 69-95, 2009.

FREUDENTHAL, Hans. Why to teach mathematics so as to be useful? Educational Studies in Mathematics, v. 1, n. 1-2, p. 3–8, 1968.

______. Mathematics as an Educational Task. Dordrecht: Kluwer, 1991.

______ . Mathematics as an Educational Task. Dordrecht: Kluwer,1973.

GOERCH, Herton Gilvan Caminha. Modelagem Matemática de Objetos Campeiros do Rio Grande do Sul. Santa Maria: UNIFRA, 2013. Dissertação (Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e Matemática) – Centro Universitário Franciscano, Santa Maria, 2013.

LUCCAS, Simone; BATISTA, Irinéa de Lurdes. O papel da matematização em um contexto interdisciplinar no ensino superior. Ciência & Educação, v. 17, n. 2, p. 451-468, 2011.

LÜDKE, Menga; ANDRÉ, Marli E. D. A. Pesquisa em Educação: Abordagens Qualitativas. São Paulo: EPU, 1986.

MEYER, J. F. C. A.; CALDEIRA, A. D.; MALHEIROS, A. P. S. (Orgs.). Modelagem em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2011.

NUNES, Zeno Cardoso; NUNES, Rui Cardoso. Dicionário de Regionalismos do Rio Grande do Sul. Porto Alegre: Martins Livreiro, 1996.