PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUCSP Péricles Bedretchuk Araújo

(1)

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Péricles Bedretchuk Araújo

Situações de aprendizagem: a circunferência, a mediatriz e uma

abordagem com o

Geogebra

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

(2)

Péricles Bedretchuk Araújo

Situações de aprendizagem: a circunferência, a mediatriz e uma

abordagem com o

Geogebra

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre

Profissional em Ensino de Matemática,

sob orientação do Professor Doutor

Gerson Pastre de Oliveira.

(3)

(4)

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

(5)

Ao CRIADOR, por me oportunizar concretizar este sonho.

Ao Professor Doutor Gerson Pastre de Oliveira, pela sua orientação, por sua paciência e tolerância, na construção desta pesquisa.

Aos membros da banca, a Prof.ª Dra. Celina Aparecida Almeida Pereira Abar e o Prof. Dr. Dilermando Piva Junior, pelas valiosas contribuições e sugestões para essa pesquisa.

A professora Noêmia, seu grupo de alunos da Parada de Taipas, que voluntariamente se disponibilizaram a ser sujeitos deste trabalho.

Aos amigos Isabel Tumenas e Tereza Tumenas e família ao professor Washington Chaia pelas palavras de incentivo e por acreditarem em mim.

A todos os funcionários do Centro de Ciências Exatas, da PUC-SP, pelo convívio durante esse tempo, especialmente ao Francisco por suas orientações.

A todos os colegas com os quais tive a oportunidade de conviver durante o curso. Ao corpo docente do Programa de Estudo Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, com o qual tive o privilégio de conviver, sobretudo aqueles com os quais tive a oportunidade de ser aluno: Saddo Almouloud, Sonia Pitta, Ubiratan D’ Ambrósio, Cileda Queiroz, Armando Traldi, Benedito Antônio, Ana Lúcia Manriqui.

Aos professores colegas de trabalho que me apoiaram e me incentivaram José Alves, Viviane do Carmo.

Aos meus pais Olga Bedretchuk e Unilson Araújo, por terem sempre me proporcionado condições para estudar.

À minha companheira Cristina Cavalcante e amiga Daiana Cavalcante, que me apoiaram e me auxiliaram em todos os momentos.

E a todos os meus familiares, em especial tia Stefania por acreditar em mim.

A Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, pelo investimento em minha formação, concedendo-me a bolsa Mestrado.

(6)

INTRODUÇÃO ...11

Trajetória pessoal...11

Justificativa...13

Aspectos metodológicos...17

1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS...19

1.1 Tipologia das situações adidáticas ...22

1.1.1 Situação de ação ...23

1.1.2 Situação de formulação ...23

1.1.3 Situação de validação ...24

1.2 Situação de institucionalização ...24

2. LUGARES GEOMÉTRICOS ...26

2.1 Os lugares geométricos e a geometria dinâmica...29

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...31

4. OS USOS DAS TICS NA EDUCAÇÃO ...41

4.1 Os novos papéis – Aluno, Professor e Escola ...45

4.2 O software educativo ...47

4.3 O Software Geogebra...49

5. SEQUÊNCIA DIDÁTICA E SEUS ELEMENTOS...51

5.1 Procedimentos ...51

5.2 Descrição da aplicação...53

5.3 Análise a priori e a posteriori das atividades ...57

5.3.1 Atividade 1 ...57

5.3.1.1 Análise a priori ...58

5.3.1.2 Análise a posteriori...58

5.3.2 Atividade 2 ...60

5.3.3 Atividade 3 ...65

5.3.4 Atividade 4 ...66

(7)

5.3.6 Atividade 6 ...71

5.3.7 Atividade 7 ...75

5.3.8 Atividade 8 ...79

5.3.9 Atividade 9 ...82

5.3.10 Atividade 10 ...86

5.3.11 Atividade 11 ...88

5.3.12 Atividade 12 ...92

5.3.13 Atividade 13 ...95

CONSIDERAÇÕES FINAIS ...100

REFERÊNCIAS...104

ANEXO I – ATIVIDADES PROPOSTAS ...109

(8)

Figura 1 – Triângulo didático...19

Figura 2 – Bissetrizes...27

Figura 3 – Exercício sobre mediatrizes ...28

Figura 4 – Formas geométricas...32

Figura 5 – Dimensões do uso de tecnologias por professores...44

Figura 6 – Atividade 1 diagnóstica ...57

Figura 7 – Protocolo da atividade 1 – Grupo I...59

Figura 8 – Atividade 2 diagnóstica ...61

Figura 9 – Solução da atividade 2, Grupo III ...64

Figura 10 – Protocolo da atividade 4 – Grupo II...67

Figura 11 – Comentário da atividade 4 – Grupo I...68

Figura 12 – Atividade 5 ...69

Figura 13 – Atividade 5, Grupo II...71

Figura 14 – Mapa da atividade 7 ...75

Figura 15 – Protocolo da solução da atividade 7, Grupo II, parte 1...78

Figura 16 – Protocolo da solução da atividade 9, Grupo II, parte 2...78

Figura 17 – Protocolo da solução da atividade 8, Grupo I...82

Figura 18 – Atividade 11 ...83

Figura 19 – Protocolo da solução da atividade 11, Grupo I...85

Figura 20 – Protocolo de construção da atividade 13, Grupo I ...92

Figura 21 – Circunferência, atividade 12...92

Figura 22 – Protocolo de construção da atividade 12 – Grupo III...94

Figura 23 – Protocolo de construção da atividade 12 – Grupo I...95

Figura 24 – Triângulo, atividade 15 ...95

Figura 25 – Protocolo de construção da atividade 13, parte 1, Grupo II ...98

Figura 26 – Protocolo de construção da atividade 13, parte 2, Grupo II ...98

Figura 27 – Atividade 6 (anexo) ...111

Figura 28 – Mapa ...113

Figura 29 – Janela inicial do Geogebra...118

Figura 30 – Botões da barra de ferramentas (anexo)...119

Figura 31 – Opções da ferramenta ponto (anexo)...119

Figura 32 – Ferramenta lugares geométricos e suas opções (anexo) ...120

(9)

Quadro 1 – Aplicação das Atividades...54

Quadro 2 – Análise a posteriori, atividade 1...60

Quadro 3 – Análise a posteriori, atividade diagnóstica 2...62

Quadro 4 – Atividade 3, análise a posteriori...66

Quadro 7 – Atividade 6...72

Quadro 12 – Atividade 10...86

(10)

A pesquisa aqui descrita relata uma investigação de caráter qualitativo, que teve por bases a Teoria das Situações Didáticas e pressupostos relativos ao emprego de estratégias pedagógicas mediadas por tecnologias para a aprendizagem em Geometria. A sequência didática proposta neste estudo visou possibilitar aos alunos participantes, estudantes do nono ano do Ensino Fundamental e do segundo ano do Ensino Médio, construir os conceitos de circunferência e mediatriz, sob o ponto de vista de lugares geométricos. Para isso, utilizou-se o software de geometria

dinâmica Geogebra. O estudo abrangeu as seguintes fases: primeiro, uma avaliação

diagnóstica, na qual se procurou identificar que conhecimentos sobre o tema lugares geométricos os alunos possuíam; em seguida, desenvolveram-se atividades nas quais foram apresentadas aos alunos situações do cotidiano associadas à circunferência e à mediatriz como lugares geométricos; por fim, aplicaram-se esses conceitos na aprendizagem de geometria em atividades de construção geométrica que permitiram levantar as dificuldades de aprendizagem dos estudantes. O estudo permitiu considerar que a intervenção mediada pelo software de Geometria

Dinâmica auxiliou os estudantes na superação dos problemas encontrados, o que também foi favorecido pela proposta colaborativa das situações didáticas planejadas.

(11)

The research reported here describes a qualitative research, which was based in the Theory of Didactic Situations and in assumptions concerning the use of teaching strategies mediated by technologies in geometry. The didactic sequence proposed in this study aims to enable the participants, students in ninth grade of elementary school and first year of high school, to build the concepts of circumference and perpendicular bisector from the point of view of geometric loci. For this, this study used the dynamic geometry softwareGeogebra. This research work was covered the

following phases: first, a diagnostic evaluation, in which we tried to identify what knowledge the students have about geometric loci, what allowed us to develop activities in which students were introduced to everyday situations associated with the circle and the perpendicular bisector as geometric loci. Finally, we applied these concepts in order to promote geometry learning using geometric construction activities that allowed discovering learning difficulties of students. The study allowed us to consider that action mediated by Dynamic Geometry software helped students

overcome the problems encountered, which was also favored by the proposed collaborative teaching situations.

(12)

INTRODUÇÃO

Trajetória pessoal

O meu primeiro contato com a geometria foi no antigo ginásio. O professor Ademir Moraes tinha um grande entusiasmo e nos estimulava muito a aprender Matemática. Recordo-me até hoje que ele demonstrava os teoremas de Geometria, como o teorema de Pitágoras, soma dos ângulos internos do triângulo e outros.

Ao ingressar no Ensino Médio – que na época era o colegial – encontrei o professor Washington Chaia, que instigava a todos no aprendizado de Física. Deparei-me com dificuldades no entendimento desta disciplina. Mesmo possuindo uma base de Geometria, esta ainda não foi suficiente para a solução de problemas de Física. Eram os anos 1970.

Recordo-me das aulas de construções geométricas, tanto em Matemática como em Educação Artística: tínhamos que memorizar os procedimentos para solucionar as questões pertinentes. Quanto maior o aprofundamento, maiores as reflexões: como fazer estas construções? Qual o caminho?

Decidi então ingressar em um curso preparatório para o vestibular da FUVEST1, e também para o ITA2, afinal, sentia a importância de aprimorar ainda mais o que eu já sabia. Um dos cursos que mais me chamou a atenção foi Desenho Geométrico (curso ministrado pelo professor Carlos Marmo). Um curso marcante e bem conduzido pelo ministrante porque ele não se restringia a uma sequência de procedimentos, mas também justificava as construções utilizando os conhecimentos da Geometria Plana. O professor Marmo falava, por exemplo, do LG (lugar geométrico), indicando LG1, LG2 e suas vertentes para justificar as construções geométricas.

Na universidade, cursei a disciplina Geometria de Posição e Desenho Geométrico – essas aulas continham base em procedimentos, empregando

_____________

(13)

teoremas e minha tarefa era reproduzi-los. Já na disciplina de Geometria Analítica, lembro-me do professor Tom. Ele procurava nos apresentar o conteúdo de maneira um pouco mais dinâmica, justificando as passagens dos teoremas, tornando seu entendimento mais assimilável. Era final dos anos 1980.

Ao entrar na sala de aula, no início dos anos 1990, encontrei certa dificuldade ao apresentar a matemática aos alunos. Procurei seguir os mesmos métodos dos meus antigos professores, repassando o conteúdo partindo do livro didático, seguindo a mesma “receita”. Mesmo assim, percebi que havia dificuldade na compreensão por parte dos alunos. Diante desta situação, procurei pesquisar novas estratégias para melhorar o aprendizado, não só meu como também dos estudantes. Recorri a vários livros didáticos: busquei algo que saísse do modelo “definição, exemplos, exercícios de aplicação”, ou seja, possibilidades que saíssem da memorização. Faltava, entretanto, na minha visão, um método. Nas vezes em que conseguia apresentar o conteúdo de Geometria aos alunos, recorria a dobraduras, ao concreto. Notei que isto ajudava muito a compreensão por parte dos estudantes do que era mediatriz, bissetriz, reta paralela e perpendicular.

Participei dos encontros patrocinados por oficinas pedagógicas, na busca de novas estratégias, não só para o ensino das funções, mas também da Geometria, por volta de 1996. Participei de um curso no qual era utilizado o aplicativo Cabri Geometre. Na época, uma grande novidade, que de imediato me despertou interesse. Entretanto, não consegui aplicar o conhecimento adquirido na época, pois não havia computadores com a configuração de hardware suficiente para suportar o

programa: poucos funcionavam, dificultando, assim, o emprego do software.

Em 2006, trabalhei na oficina pedagógica na periferia da cidade de São Paulo, onde os professores buscavam novas estratégias de ensino e aprendizagem. Eu estava cada vez mais perto do que buscava e me cercando de pessoas com o mesmo interesse. Meu objetivo não se perdera durante o tempo em que havia buscado caminhos para as indagações trazidas nesta descrição, para as quais, por algumas vezes, não havia encontrado respostas animadoras.

(14)

Este curso trouxe a motivação para que eu ingressasse no Mestrado Profissional em Ensino de Matemática do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC/SP. Aí, estabeleci contato, através de estudos, com diferentes teorias do ensino e aprendizagem de Matemática, as quais me ajudaram a ter mais autonomia e referenciais, além de auxiliarem no processo da mudança na minha forma de dar aula. Foi um salto qualitativo.

No transcorrer do curso de mestrado na PUC nasceu o meu tema de pesquisa, na disciplina “Autoformação pelo uso das TICs”, ministrada pela professora doutora Celina Abar. Era um seminário sobre os lugares geométricos, um tema esquecido pelos livros didáticos. No curso, foram apresentados alguns programas para o ensino e aprendizagem de Matemática, como o Graphmatica –

programa usado para construção de gráficos – e outros, entre eles o software Geogebra, que apresenta uma flexibilidade de trabalho, ou seja, o mesmo facilita o

desenvolvimento de álgebra e geometria.

No cotidiano da sala de aula, pensei: como poderia explorar os recursos existentes no Geogebra como um meio a facilitar o ensino e a aprendizagem de

Geometria e, porque não, mudar a própria prática de ensino?

Hoje, constato que determinados conteúdos geométricos, como por exemplo, a mediatriz e a mediana, não são conhecidos pela maioria dos alunos do Ensino Médio e das séries finais do Ensino Fundamental da rede pública do Estado de São Paulo. A partir de então, neste trabalho, seguem os elementos formais da pesquisa sobre lugares geométricos que procurei envidar.

Justificativa

(15)

A Geometria é um conhecimento fundamental para a formação dos alunos, contudo, no cotidiano da sala de aula, os mesmos têm grandes dificuldades em entendê-la, tanto no Ensino Fundamental como no Médio. Com respeito a semelhantes dificuldades enfrentadas pelos alunos, asseveram ALMOULOUD E MELLO (2000, p. 1), sobre o ensino de Geometria, que, “na prática, vem sendo dada à Geometria menos atenção do que ao trabalho com outros temas e, muitas vezes, confunde-se o seu ensino com o de medidas”.

Para Fainguelernt (1999, p. 20):

O ensino da Geometria, que não pode ser reduzido à aplicação de fórmulas e de resultados estabelecidos por alguns teoremas, se justifica pela preocupação com a descoberta de caminhos para a sua demonstração e também para a dedução de suas fórmulas, sem a preocupação do compromisso de se apoiar no processo exaustivo de formalização.

Outro fator que contribui para as dificuldades da aprendizagem de Geometria são as abordagens encontradas nos livros didáticos. Geralmente, o professor estrutura sua aula nos conteúdos apresentados por estes livros, porém pesquisa realizada por Pereira (2001) mostra que os mesmos dão ênfase ao ensino de Álgebra, em detrimento da Geometria e das construções geométricas. Conforme observa Pereira (2001, p. 56), com base nas pesquisas de Bertonha (1998), “o despreparo dos docentes, em todos os níveis de ensino, conduziu a escola a ministrar apenas conteúdos que elaboram um raciocínio mais algébrico”. Quanto à estruturação do conhecimento de Geometria e suas construções, Sangiacomo (1996, p. 32) indica que “os livros em nenhum momento propõem a pesquisa das propriedades inerentes a uma figura geométrica, nem sua construção”.

(16)

Entre as sugestões recomendadas para construção de conceitos matemáticos está o uso das tecnologias de informação e comunicação, conforme as Orientações Curriculares sugerem: “pensando na Tecnologia para a Matemática, há programas

de computador (softwares) nos quais os alunos podem explorar e construir

diferentes conceitos matemáticos” (BRASIL, 2006, p. 88).

A pesquisa de Almeida (2007, p. 312) sugere que uma forma de trabalhar com o ensino da Geometria é o uso de elementos da Geometria Dinâmica3, ao afirmar que:

um encaminhamento que pode ser adotado é o uso da Geometria Dinâmica, empregando no processo de ensino e aprendizagem da geometria, programas computacionais que são implementados com recursos que viabilizam a mudança de posição dos elementos da figura, sem alterar as suas propriedades.

A autora enfatiza que as metodologias utilizadas sejam aquelas em que se possa interpretar a figura geométrica como um conjunto de lugares geométricos. De fato, para essa autora, é “necessário que as metodologias sejam voltadas para o entendimento da figura geométrica como sendo um conjunto de lugares geométricos que se relacionam para gerar a figura” (ALMEIDA, 2007. p. 312).

Diante dos argumentos aqui apresentados, decidiu-se, especificamente neste trabalho, realizar uma investigação relativa ao uso de um software de Geometria

dinâmica, o Geogebra4, na aprendizagem do tema “lugares geométricos” entre

alunos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio5_{. Em função da amplitude do}

tema, foi feita uma restrição, necessária ao recorte da pesquisa, em torno dos conceitos de mediatriz e de circunferência. Este recorte pode ser justificado pela

ocorrência de atividades relativas a estes temas nos livros didáticos utilizados como

_____________

3 _{Pode-se entender a geometria dinâmica (GD) como sendo a implementação computacional da}

“geometria tradicional”, aquela de régua e compasso. O termo “dinâmico” do nome pode ser melhor entendido como oposição à estrutura “estática” das construções da geometria tradicional (ISOTANI e BRANDÃO, 2006, p. 121).

4_{Trata-se de um programa computacional de geometria dinâmica, de livre distribuição, desenvolvido}

por Markus Hohenwarter, na Universidade de Linz, Áustria.

5_{Nesta pesquisa, os sujeitos foram alunos do 9º ano do Ensino Fundamental e do 2º ano do Ensino}

(17)

elementos de análise neste trabalho, a partir dos quais se pretendeu avançar. Por outro lado, dificuldades específicas no conhecimento matemático relativo às construções podem ocorrer, de forma decisiva, e interferir no avanço em termos cognitivos dos estudantes, ainda que sob a orientação de uma estratégia pedagógica direcionada pelo o uso de tecnologias adequadas.

Assim, o objetivo principal desta investigação foi delineado em torno de identificar dificuldades e possibilidades de avanço no conhecimento matemático por parte de estudantes do Ensino Fundamental que estudam o tema “lugares geométricos”, especificamente no que se refere à mediatriz e à circunferência, e que têm a mediação de uma interface computacional, o software Geogebra. Usam-se as construções geométricas aqui como elementos que podem ter a perspectiva de apoiar o ensino de Geometria, através da criação de exemplos instrutivos (Zuin, 2002).

Para chegar a esse objetivo, apresenta-se neste trabalho um conjunto de situações-problema, na forma de atividades didáticas, as quais, potencialmente, auxiliariam na construção do conceito de circunferência e de mediatriz, bem como aplicação dos mesmos em construções geométricas. Para isso, a análise está fundamentada na Teoria das Situações Didáticas (TSD) de Brousseau (2008, 2003, 1997)6.

Das reflexões apresentadas, decorreu a seguinte questão de pesquisa:

Em que medida uma sequência de situações adidáticas, estruturadas em uma

estratégia pedagógica mediada por um programa de geometria dinâmica, pode

contribuir para a aprendizagem dos temas “circunferência” e “mediatriz”, vistos como

lugares geométricos?

Para dar conta de tal iniciativa, estruturaram-se as concepções metodológicas norteadoras da pesquisa, conforme se esclarece em seguida.

_____________

(18)

Aspectos metodológicos

Nesta pesquisa, os procedimentos metodológicos consideraram os pressupostos da Engenharia Didática, a qual se caracteriza como:

[..] um esquema experimental baseado sobre “realizações didáticas” em sala de aula, isto é, sobre a concepção, realização, a observação e a análise de sequências de ensino (ARTIGUE, apud MACHADO, 2008, p.235).

Os procedimentos adotados na metodologia da engenharia didática distinguem quatro fases: “primeira fase – análises preliminares; segunda fase – concepção e análise a priori das situações didáticas; terceira fase – experimentação; quarta fase – análise a posteriori e validação” (ARTIGUE, apud MACHADO, 2008, p.238).

Nas fases das análises preliminares, são realizadas as considerações sobre o quadro teórico-didático. No caso desta investigação, tais elementos envolvem a Teoria das Situações Didáticas, de Brousseau (1997), bem como conhecimentos ligados a Geometria, no caso, especificamente, os lugares geométricos “circunferência” e “mediatriz”. Nesta etapa, também, podem ser realizadas as análises concernentes ao ensino atual e de seus efeitos, sobre as concepções dos alunos e sobre as possíveis dificuldades e obstáculos que determinam a evolução dos mesmos em construções geométricas. Para tanto, nesta pesquisa, realizou-se um breve exame sobre alguns livros didáticos que trazem os temas em estudo e suas abordagens.

(19)

controladas que provocassem o desequilíbrio e a adaptação dos alunos ao meio, por si mesmo antagonista em relação ao conhecimento procurado (Brousseau, 2008), proporcionando condições para o desenvolvimento das situações adidáticas, no caso, de ação, formulação e validação, bem como situações didáticas, nas quais o pesquisador procurou institucionalizar o conhecimento proposto nas atividades. estimular que os alunos formem conjecturas e resolva por meio dos lugares geométricos as construções geométricas de forma que justifiquem tais construções, seja explicando, escrevendo ou utilizando o programa de geometria dinâmica.

A fase da experimentação realiza-se no momento em que ocorre o contato do pesquisador com os alunos que participaram da investigação e prevê uma explicação dos objetivos e das condições em que a pesquisa será realizada, assim como o estabelecimento do contrato didático (Brousseau, 2008). Neste caso, caberá aos alunos a responsabilidade na construção de seu conhecimento e ao pesquisador fazer a devolução e a institucionalização do conhecimento, a aplicação do instrumento de pesquisa e o registro das observações realizadas no decorrer da experimentação.

Por fim na análise a posteriori e validação, coletaram-se os dados obtidos na fase de experimentação, resultados estes oriundos tanto das observações desenvolvidas em cada sessão de aplicação da situação de aprendizagem como das produções desenvolvidas pelos alunos. É o momento em que se comparam análise a priori e a posteriori, ocasião na qual se valida ou não as hipóteses levantadas.

Neste estudo, os dados foram coletados mediante observações realizadas pelo pesquisador, com o auxílio da professora de Matemática dos estudantes envolvidos. A análise da produção dos alunos foi realizada com base nos dados registrados nas fichas das atividades e nos arquivos gerados no programa Geogebra

(20)

1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

A Teoria das Situações Didáticas é um referencial para a Educação Matemática, pois enfatiza a importância das noções mobilizadas pelo aluno na construção dos seus conhecimentos matemáticos, como também o trabalho do professor, o qual se alicerça na criação de condições para que o aluno se aproprie dos conteúdos matemáticos.

Para Brousseau (2008, p. 19), uma situação é “um modelo de interação de um sujeito com um meio específico que determina certo conhecimento, como o recurso de que o sujeito dispõe para alcançar ou conservar, nesse meio, um estado favorável”. Tais situações podem ser empregadas no intuito de modelar processos de ensino-aprendizagem de conteúdos/conceitos matemáticos. Para Brousseau (apud ALMOULOUD, 2007, p.31),

Um processo de aprendizagem pode ser caracterizado de modo geral (se não determinado) por um conjunto de situações identificáveis (naturais ou didáticas) reprodutíveis, conduzindo frequentemente à modificação de um conjunto de comportamentos de alunos, modificação característica da aquisição de um determinado conjunto de conhecimentos

Nesta teoria, o principal elemento de estudo é a própria situação didática, no contexto da qual se pode identificar certas ordens de interações existentes entre o saber, o professor e o aluno, em dadas situações de ensino, como explicitado na próxima figura.

(21)

Tal como nos aportes construtivistas piagetianos, considera-se aqui que o sujeito aprenda pela adaptação a um milieu antagônico, ou seja, um meio que é

agente de dificuldades, desequilíbrios e contradições diversas. São as respostas inéditas as atestadoras da aprendizagem de dado estudante. O milieu como

adversário não é uma condição indesejável, pelo contrário: deve ser desta forma para que possa existir a superação desde o conhecimento estruturado no sujeito, a partir da percepção e avanço desde o desequilíbrio cognitivo. A responsabilidade pela criação e organização de um milieu com intencionadidade didática deve ser do

professor, que criará situações passíveis de acionar as aprendizagens matemáticas pretendidas. Assim, uma situação didática poderia ser definida como

O conjunto de relações estabelecidas explicitamente e/ou implicitamente entre um aluno ou grupo de alunos, um certo milieu (contendo

eventualmente instrumentos ou objetos) e um sistema educativo (o professor) para que esses alunos adquiram um saber constituído ou em constituição (BROUSSEAU apud ALMOULOUD, 2007, p. 33).

Quando alguém manifesta o interesse em construir um conhecimento, então, deve desenvolver uma maneira, uma situação, que compreende um meio material, que podem ser as peças de um jogo, um desafio, um exercício, um problema, entre outros recursos, bem como as regras de interação com este meio (regras de um jogo, por exemplo). Porém, é durante o funcionamento e interação com o meio (as jogadas ou lances, a solução dos problemas, etc.) que será produzida a efetiva aprendizagem (BROUSSEAU, 2008, p. 22).

A aprendizagem ocorrerá em função da evolução da situação, ou seja, ela será entendida à medida que o aprendiz se adapta ao meio criado por essa situação, independente de qualquer intervenção do professor durante o processo.

No âmbito de uma situação didática, é fundamental destacar a chamada

situação adidática, no âmbito da qual o estudante não tem a revelação, por parte do

(22)

• O problema matemático é escolhido de modo que possa fazer o aluno agir, falar, refletir e evoluir por iniciativa própria. Aqui, de acordo com Freitas (2008, p. 84), o aluno trabalha de forma independente, sem intervenções docentes em relação ao conteúdo matemático trabalhado;

• Ao aprender, o aluno não o faz porque quer o professor ou a instituição de ensino, mas por razões inteiramente justificáveis pela lógica interna da situação, sem apelo, portanto, a razões didáticas;

• O professor trabalha como mediador, de forma a criar condições para que o estudante seja o ator principal no processo de construção do conhecimento proposto pela atividade.

Assim, o aluno não buscará a solução de problema para responder ao professor, mas para solucionar a situação que lhe é apresentada, ganhando, com isso, maior autonomia. Pode-se dizer, então, que nas situações adidáticas de ensino, o professor propõe problematizações que o aluno possa aceitar e que o levem a agir, falar, refletir e evoluir por seu próprio movimento. Nela o professor não intervém diretamente para que o aluno adquira o conhecimento esperado: o aprendiz adapta-se a um ‘meio’, que é fator de desequilíbrios.

No modo tradicional de ensino de Matemática, a apresentação de um conceito é feita de forma direta, ou seja, parte da definição, com uma sequência de exemplos e uma lista de exercícios. Desta forma, os saberes matemáticos são comunicados aos alunos de maneira pronta. Nas situações adidáticas, de modo contrário, procura-se simular um ambiente cientifico de investigação, no qual os alunos possam refazer alguns passos estabelecidos pelos pesquisadores e cientistas (FREITAS, 2008).

Como elemento importante da situação adidática, surge o conceito de

devolução, com o significado de transferência de responsabilidade: o professor

(23)

A devolução é ato pelo qual o professor faz com que o aluno aceite a responsabilidade de uma situação de aprendizagem (adidática) ou de um problema e o mesmo assume as consequências dessa transferência.

Neste processo, o professor prepara e estrutura a atividade, tendo controle sobre ela, e não sobre o saber, com o objetivo de que o aluno possa vivenciá-lo, como um pesquisador na busca da solução de um problema. Mais do que isto, ao realizar a devolução de um problema ou situação, o professor deve pretender que o aluno possa mobilizar os elementos cognitivos necessários, por ele mesmo, mas com sua orientação, para que seja possível superar os antagonismos do milieu,

além de ser capaz, em seguida, de mobilizar os novos conhecimentos em outras situações, quaisquer que sejam (OLIVEIRA, 2009).

No âmbito de uma situação adidática, então, o estudante age de formas distintas em diferentes momentos, como se indica a seguir.

1.1 Tipologia das situações adidáticas

A aprendizagem por adaptação é uma noção utilizada pela Teoria das Situações Didáticas. Nela, o aluno é instigado a adaptar seus conhecimentos anteriores às condições da situação que lhe é apresentada, superar o antagonismo do milieu ao buscar, em distintos movimentos cognitivos, uma boa resposta para um

bom problema. As situações que se encaixam em tal perspectiva são as situações adidáticas.

(24)

1.1.1 Situação de ação

Na situação de ação, o aluno se encontra comprometido na busca da solução de um problema: realiza ações imediatas, que produzem um conhecimento de natureza operacional. Esta situação, no caso de um jogo, por exemplo, leva o aluno, depois de analisar o estado da competição, a tomar decisões e propor estratégias: a medida que faz novas jogadas, novas estratégias são criadas, bem como são descartadas aquelas que não são válidas (BROUSSEAU, 2008). Nessa situação, há o predomínio do aspecto experimental e intuitivo do conhecimento.

Ao estruturar essa situação, o professor apresenta problemas que podem ser questões, atividades com software, atividades experimentais, entre outras, nas quais

os alunos tenham condições de agir, em grupo ou individualmente, na busca da soluções. Ou seja, neste caso, há um problema, colocado pelo professor, que tem, como melhor solução, o conhecimento pretendido – além disso, o problema deve ser de tal natureza que o aluno possa sobre ele agir, sem intervenções do professor, julgando o resultado de suas ações e ajustando os mesmos, pelas próprias retroações do milieu – trata-se de uma aprendizagem por adaptação (ALMOULOUD,

2007).

1.1.2 Situação de formulação

(25)

1.1.3 Situação de validação

Para Brousseau (2003, p. 4), “a situação de validação é uma situação cuja solução exige que os agentes em conjunto estabeleçam a validade do conhecimento peculiar desta situação.”

De acordo com que esclarece Almouloud (2007), nesta etapa, o estudante precisa mostrar a validade do modelo concebido por ele, o que faz com que submeta o modelo da situação – em geral, a mensagem matemática – ao julgamento dos interlocutores. Ao emissor, neste caso, cabe a justificativa sobre a exatidão e a pertinência do modelo utilizado, fornecendo, tanto quanto possível, uma validação semântica e sintática. O receptor, por sua vez:

Pode pedir mais explicações ou rejeitar as mensagens que não entende ou de que discorda, justificando sua rejeição. Assim, a teoria funciona, nos debates científicos e nas discussões entre alunos, como milieu de estabelecer provas ou de refutá-las (ALMOULOUD, 2007, p.39).

Segundo Almouloud (2007, p 40), enquanto “o objetivo principal da situação de formulação é a comunicação linguística, a dialética de validação busca o debate sobre a certeza das asserções, o que permite organizar as interações com o

milieu”.

1.2 Situação de institucionalização

Conforme explicitado anteriormente, esta etapa não pode ser vista como parte da situação adidática, uma vez que está clara a intenção de ensinar do professor. Trata de fixar o estatuto matemático formal do conhecimento, de forma a estabelecer seu caráter de universalidade e objetividade (FREITAS, 2008). De outra forma,

(26)

Este é um momento que deve ser levado a cabo pelo docente. De fato, conforme Pais (2002, p. 74), “sob o controle do professor, é o momento onde se tenta proceder à passagem do conhecimento do plano individual e particular, à dimensão histórica e cultural do saber científico”.

Para Brousseau (2008), reconhecer a necessidade da institucionalização das situações surgiu da resistência dos professores em não intervir. Os docentes, nesta lógica, precisavam

dar conta da produção dos alunos, descrever os fatos observados e tudo que estivesse vinculado ao conhecimento em questão; conferir um status

aos eventos da classe vistos como resultados dos alunos e do processo de ensino; determinar um objeto de ensino e identificá-lo; aproximar as produções dos conhecimentos de outras criações (culturais ou de programa) e indicar quais poderiam ser reutilizadas (BROUSSEAU, 2008, p.31).

No âmbito desta pesquisa, as sessões foram organizadas com base na Teoria das Situações Didáticas, de forma a permitir dialéticas de ação, formulação e validação, levadas a efeito por parte dos estudantes que participaram das atividades. Nas sessões, a intervenção do professor surgiu em aspecto mediador, o que foi considerado, inclusive, nos comentários finais deste trabalho. Além disso, o pesquisador procurou, ao final de cada tarefa, retomar o estatuto formal do conhecimento matemático, através da institucionalização das situações. Neste âmbito, as tecnologias disponíveis – lápis, papel, software – funcionaram como

(27)

2. LUGARES GEOMÉTRICOS

Uma figura geométrica se caracteriza por determinadas propriedades que a individualizam. Neste contexto, a concepção de lugar geométrico pode ser vista como “um conjunto de pontos que apresentam uma determinada propriedade: se um certo ponto possui a propriedade X, então ele pertence ao lugar geométrico dos pontos que satisfazem X” (CAMARGO, s/d).

Segundo King e Schattschneider (1997), os lugares geométricos representam um assunto que tem sido evitado em livros de geometria, ainda que sejam um tema que pode enriquecer o seu estudo.

Entender as propriedades geométricas que estão atreladas a uma determinada figura e como elas se relacionam pode possibilitar um entendimento de conceitos geométricos como a circunferência, mediatriz, bissetriz e outros. Especificamente nesta pesquisa, os lugares geométricos trabalhados são a circunferência e a mediatriz, que têm as seguintes definições:

Circunferência: lugar geométrico dos pontos de um plano que são

equidistantes de um ponto dado chamado centro da circunferência – a distância constante é a medida do raio;

Mediatriz: lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes dos

extremos de um segmento (CAMARGO, s/d).

Estas definições também podem ser encontradas em livros didáticos. No caso da circunferência como lugar geométrico, uma definição pode ser: “a circunferência é um lugar geométrico no plano, pois todos os seus pontos têm uma propriedade comum: estão a uma mesma distância a um ponto fixo em um plano” (MORI e ONAGA, 2009, p. 226).

(28)

A bissetriz, por exemplo, aparece no livro mencionado, mas não é referida como lugar geométrico. O mesmo ocorre com retas paralelas e arco-capaz.

Figura 2 – Bissetrizes Fonte: Mori e Onaga, 2009, p. 287

Nota-se que Mori e Onaga (2009) não se referem à bissetriz e ao incentro como lugares geométricos, ou seja, no caso da bissetriz, como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes e no caso do incentro, como um ponto que equidista dos três lados de um triângulo. Não há menção à circunferência inscrita no triângulo, que também poderia ser explorada como lugar geométrico.

(29)

Figura 3 – Exercício sobre mediatrizes Fonte: Mori e Onaga, 2009, p.230

Esta passagem descuidada sobre o tema já foi identificada em pesquisas acadêmicas. Em relação aos lugares geométricos e as publicações sobre o tema, Almeida (2007, p 89) aponta que

No tocante a noção sobre ‘lugar geométrico’, na maioria das publicações, verifica-se que o termo e o seu significado não são devidamente explorados, o que se encontra são definições que expressam as propriedades destes lugares geométricos, constatando-se uma tendência a favorecer o seu aspecto construtivo e não o relacionamento da propriedade com o modelo geométrico (ALMEIDA, 2007, p.89).

Esta pesquisa considera as possibilidades de softwares de Geometria

(30)

2.1 Os lugares geométricos e a geometria dinâmica

Um ponto que se move em um plano, com determinadas propriedades, pode ser visto como um lugar geométrico – por exemplo, a distância deste ponto em relação a dois outros pode ser constante e igual a x. A curva formada pelo ponto em

questão pode ser de difícil visualização com recursos estáticos – claro que não é impossível, apenas mais difícil. Esta é a argumentação de King e Schattschneider (1997), que acrescentam ser difícil para as pessoas imaginarem um ponto se movendo em uma configuração, na qual pode haver outros pontos, e ainda serem capazes de apontar o lugar geométrico. Uma possibilidade existente nos programas de Geometria Dinâmica é a capacidade de visualização de lugares geométricos por meio do traçado de um ponto, entre outros recursos. Evidentemente, o recurso, por si só, não tem o poder de melhorar a capacidade de aprendizagem de um estudante em particular – ou de um grupo: são as estratégias pedagógicas planejadas no âmbito das situações de aprendizagem as responsáveis por fomentar este processo (OLIVEIRA, 2009).

No que diz respeito à Geometria Dinâmica, argumenta Gravina (1996):

a partir de exploração experimental viável somente em ambientes informatizados, os alunos conjeturam e, com o feedback constante

oferecido pela máquina, refinam ou corrigem suas conjeturas, chegando a resultados que resistem ao “desenho em movimento”, passando então para a fase abstrata de argumentação e demonstração matemática (GRAVINA, 1996, s/p).

(31)

A construção interativa de lugares geométricos pode ser utilizada com eficácia nos seguintes aspectos do ensino da matemática: na fase heurística de construção de tarefas sobre resolução de problemas; a verificação experimental dos resultados da construção; nos estudos sobre a posição e a forma da imagem de uma forma original transformada; na construção de seções cônicas e curvas algébricas; nos estudos sobre as formas de lugares geométricos geradas pelo movimento de pontos especiais, num triângulo ou numa configuração mais complexa (SCHUMANN e GREEN, 1994, p.108).

Nas atividades desta pesquisa, os lugares geométricos são utilizados em uma série de construções geométricas, considerando uma abordagem com métodos estáticos (lápis e papel) e outra com o software Geogebra. Neste aspecto,

Schumann e Green indicam que

Desenhar lugares geométricos recorrendo ao Cabri-géomètre e fazê-lo usando ferramentas convencionais sobre papel envolve perícias e experiências bastante diferentes. É incorreto depreciar a abordagem tradicional – ambos os métodos, o tradicional e o informático são válidos. A escolha da ferramenta depende dos objectivos (SCHUMANN e GREEN, 1994, p.109).

(32)

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Com relação ao tema desta pesquisa, lugares geométricos, mais especificamente, a mediatriz e a circunferência, buscou-se suporte no banco de dissertações e teses do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC/SP) e da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE). As dificuldades de aprendizagem em Geometria também foram objetos de exame, já que a Teoria das Situações Didáticas aqui utilizada é uma forma possível para superação das mesmas.

Uma das pesquisas que trata da dificuldade na aprendizagem de geometria é a de Sangiacomo (1996), que investiga a passagem do desenho para figura geométrica, no âmbito histórico e pedagógico. Para autora, a forma como o ensino Geometria é apresentado aos alunos leva-os a se fixarem no traçado material, e não há um momento para os mesmos perceberem que existe uma classe de figuras que representa um objeto geométrico.

Em seus referenciais teóricos, a autora utiliza as definições de Laborde sobre desenho, figura geométrica e objetos geométricos: “o desenho é uma

entidade material sobre um suporte, ou seja, um “significante” de um referencial teórico. A figura geométrica consiste na relação entre objeto geométrico (ente

teórico) e suas possíveis representações (desenhos)” (LABORDE apud SANGIACOMO, 1996, p. 49).

(33)

Figura 4 – Formas geométricas Fonte: Sangiacomo, 1996, p. 50

Sangiacomo (1996) constata que a apreensão perceptiva7 é um fator de dificuldades para os alunos e afirma em seu trabalho que os alunos se prendem ao traçado material e não fazem a passagem do desenho para a figura geométrica. Segundo a autora,

a apreensão perceptiva é um fator de dificuldades para o aluno e observa que há um obstáculo epistemológico ao perceber que o aluno tem dificuldade para se livrar de formas e propriedades visualmente reconhecidas no desenho, a primeira vista (Sangiacomo, 1996, p. 70).

Sangiacomo (1996) aplicou suas atividades a um grupo de vinte e cinco (25) alunos da 1ª série do ensino médio de uma escola particular, os quais organizou em duplas e utilizou o programa Cabri para mediar as ações dos sujeitos. A pesquisadora justifica o uso do programa de Geometria Dinâmica, Cabri, como uma ferramenta mediadora com base em Vigotsky, ao afirmar que:

Nossa pesquisa objetivou utilizar o programa Cabri como agente facilitador para a aquisição do significado de classes de figuras, devido a sua possibilidade de deformação da figura na tela conservando os invariantes da classe. O uso do programa Cabri-géomètre nos conduziu de maneira externa a relação do aluno com o objeto de estudo, funcionando assim como instrumento mediador (SANGIACOMO, 1996, p. 141).

_____________

7_{Forma de interpretar das formas da figura em uma situação geométrica (ALMOULOUD, apud}

(34)

Quanto a organização das atividades – a autora trabalha com duplas no computador – a pesquisadora se fundamenta em Vigotsky, no conceito de Zona de Desenvolvimento Proximal8 (ZDP), e assevera que:

Optamos por duplas no computador, com a intenção de trabalhar dentro de suas Zonas de Desenvolvimento Proximal (..). Os alunos discutiam espontaneamente as questões propostas, um sempre tentando convencer o outro de que sua conjectura era a verdadeira (SANGIACOMO, 1996, p. 141).

Do apresentado, Sangiacomo (1996) alerta para o fato dos alunos se prenderem ao desenho, procurando extrair do mesmo a propriedade geométrica, ou seja, não fazem a passagem do desenho para figura geométrica. Observa que, de certa forma, o uso de um programa de Geometria Dinâmica pode chamar atenção dos alunos para a diferença entre desenho e figura geométrica.

Em outra pesquisa, o trabalho de Almeida (2007, p.5) identifica

as possíveis rupturas entre significados e significantes de um conceito, investigando a relação desta ruptura com o fato de não se empregar os princípios relativos a lugar geométrico quando se está resolvendo problemas de construções geométricas.

Para tal afirmação, Almeida (2007) se baseia no fato de que os alunos, ao resolverem problemas de construções geométricas, não utilizam de forma adequada e nem abrangerem os princípios de obtenção de lugares geométricos. Para esta autora, a resolução de um problema de construção geométrica não ocorre em função dos dados ou da mídia e sim, na distinção de propriedades da figura, seguindo uma relação lógica, e para isso se considera os lugares geométricos.

A esse respeito Almeida (2007, p. 83) afirma:

... pode-se constatar que na resolução de uma proposição geométrica, independentemente dos dados, conceitos envolvidos ou mídia utilizada, o _____________

8_{Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) é “a distância entre o nível de desenvolvimento real, que}

(35)

procedimento consiste em privilegiar certas propriedades da figura numa relação lógica. Para contemplar essas propriedades são construídos conjuntos de elementos que gozam de uma mesma propriedade que são chamados de ‘lugares geométricos’.

Conforme Almeida (2007), os lugares geométricos são de naturezas distintas, dependem da propriedade que expressam e do espaço em que são considerados. De acordo com esta autora, “estes ‘lugares geométricos’ são de diferentes naturezas, dependentes da propriedade que exprimem e do espaço em que estão sendo considerados” (ALMEIDA, 2007, p 83).

Almeida (2007) conclui que, ao se trabalhar com lugares geométricos, define-se uma relação dos elementos geométricos com determinada propriedade. Afirma que “construir um ‘lugar geométrico’ consiste, portanto, em definir posições de elementos geométricos a partir de certa propriedade” (ALMEIDA, 2007, p.84). Para caracterizar os lugares geométricos, a autora se fundamenta em duas proposições apresentadas por Petersen e Loriggio:

Esses ‘lugares geométricos’ possuem duas características fundamentais: a primeira é que dentre os elementos pertencentes ao conjunto, existem aqueles que têm ou adquirem certas singularidades em função dos elementos envolvidos; e a segunda característica é de que são passiveis de transformações em função da posição entre os dados (ALMEIDA, 2007, p.84).

Outro ponto destacado refere-se aos livros que tratam de construções geométricas e sobre os lugares geométricos. A autora afirma que são escassos, e que os mesmos se limitam a re-edições ou re-impressões de edições antigas. Deste ponto de vista,

(36)

Já com relação as publicações que tratam especificamente de lugares geométricos, estas apenas definem a propriedade e valorizam a procedimentos de construção. Relativo a isto Almeida (2007, p.88) afirma que

No tocante a noção sobre ‘lugar geométrico’, na maioria das publicações, verifica-se que o termo e o seu significado não são devidamente explorados, o que se encontra são definições que expressam as propriedades destes lugares geométricos, constatando-se uma tendência a favorecer o seu aspecto construtivo e não o relacionamento da propriedade com o modelo geométrico.

Para fundamentar sua afirmação, a autora argumenta que os diferentes autores apresentam formas distintas de construção para o mesmo problema, e que os mesmos não indicam as relações existentes nos diferentes métodos utilizados. Relativo a isto, a autora assegura que “tal afirmativa se respalda no fato dos autores apresentarem diferentes construções para um mesmo problema, sem contudo apontarem as relações existentes nos diferentes métodos adotados” (ALMEIDA, 2007, p.89).

Quanto às conclusões de seu trabalho, Almeida (2007) indica, entre elas, as dificuldades encontradas pelos sujeitos na resolução de problemas de construção com lugares geométricos. A autora, com base nos protocolos obtidos, observou que:

... os erros encontrados têm a natureza essencialmente voltada para uma concepção baseada em modelos rígidos ou prototípicos. Caracterizados por estratégias que valorizavam certas especificidades, como: propriedades singulares que eram assumidas como preponderante, reprodução de situações já vivenciadas, privilegiar elementos em detrimentos de outros, influências advindas do modelo a ser construído ou da disposição dos dados (ALMEIDA, 2007, p 304).

Observou, também que os sujeitos não incorporavam em suas soluções as propriedades dos lugares geométricos. A isto a pesquisadora salienta:

(37)

eles serem tratados de forma dissociada e desarticulada (ALMEIDA, 2007, 304-305).

Com base nos dados de suas atividades, Almeida (2007) identificou que os indivíduos não diferenciam desenho de figura geométrica. O mesmo foi observado por Sangiacomo (1996), que, além disso, observou que os mesmos procuram associar a um modelo que lhes respondam o que é pedido na questão proposta. A esse respeito, Almeida (2007, p. 305) diz

Não existe clareza, por parte de alguns sujeitos, sobre a distinção entre desenho e figura, pois algumas respostas foram feitas com base, exclusivamente, na reprodução de um modelo que atendesse ao solicitado, isto é, apresentavam uma solução sem aplicar as propriedades pertinentes, que eram validadas pela configuração final que consistia em um desenho que tinha sua validade pelo fato de ter sido feito com os instrumentos de desenho. .

Almeida (2007, p. 306) identificou, também, que a visualização teve uma forte influência sob as escolhas dos traçados ao asseverar que “a visualização que se fazia sobre o modelo a ser construído induzia nas escolhas, de tal modo que os traçados eram direcionados para obter a solução que se havia previsto”. Com relação as resoluções apresentadas das atividades, a pesquisadora observou a falta de uma avaliação crítica do resultado obtido por parte dos participantes. Com relação a isto Almeida (2007, p. 307) assegura que

Não se identificou competência envolvendo uma análise crítica sobre os dados e as ações executadas; as respostas apresentadas nas resoluções das atividades eram obtidas como consequência de passos executados nos traçados e não como resultado de um planejamento em que foram levantadas as variáveis.

(38)

... a dificuldade em verbalizar e/ou organizar os argumentos que justificavam as ações feitas nas estratégias de resolução dos problemas. Pelas justificativas apresentadas, constata-se que, praticamente todos os sujeitos envolvidos na pesquisa, independentemente do período em que se encontravam no curso, não conseguiram elaborar um argumento que justifique as estratégias adotadas na resolução de um problema; limitavam-se a descrever a ordem dos traçados feitos.

A respeito de construções geométricas, a pesquisa de Araújo (2007) descreve as operações feitas com os instrumentos régua e compasso para obter pontos, retas e círculos, conforme Araújo (2007, p. 19):

Qualquer construção geométrica com régua e compasso obedece a uma sequência de etapas bem característica e pode envolver ao menos uma das etapas seguintes: (a) unir dois pontos por uma reta; (b) achar o ponto de intersecção de duas retas; (c) desenhar um círculo com um raio dado em torno de um ponto; (d) encontrar os pontos de intersecção entre dois círculos ou entre um círculo e uma reta. Uma construção geométrica consiste, portanto, em encontrar elementos que podem ser pontos, retas ou círculos.

Outro ponto observado na pesquisa Araújo (2007) diz respeito a utilização de um ambiente de Geometria Dinâmica. Nas atividades propostas pelo autor, o mesmo utiliza o programa Cabri e observa que, neste tipo de ambiente, uma atividade que envolva construções geométricas está integrada à função de arrastar, como uma forma de justificar a solução da construção. A esse respeito Araújo (2007, p. 62) assevera:

É que no ambiente do Cabri uma atividade envolvendo uma construção está intimamente associada, integrada com a função arrastar e, neste caso, a

necessidade de justificar a solução advém da necessidade de validação da própria construção, a ponto de explicar porque funciona ou prever que vai funcionar.

(39)

As atividades desta pesquisa foram realizadas em grupos, pois se pretendia que os alunos trocassem informações e agissem em colaboração na construção de seu conhecimento, explicando, debatendo ou validando suas idéias com membros da sua equipe ou outros grupos. Assim, buscou-se mais subsídios sobre como as atividades em equipes podem representar uma alternativa para que os alunos construam seu conhecimento. Neste sentido, encontrou-se, nos fundamentos teóricos da pesquisa de Santos (2007), elementos sobre o trabalho colaborativo. Santos (2007, p. 32) fundamenta sua pesquisa nas idéias de mediação e ZDP, e é com base no conceito de ZDP que afirma:

É fundamental o caráter da relação entre os processos em maturação e aqueles já adquiridos, bem como a relação entre o que o indivíduo pode fazer independentemente e em colaboração com os outros, admitindo que ele pode adquirir mais em colaboração, com ajuda ou apoio, do que individualmente.

Como alternativa à forma tradicional de uma aula, na qual os alunos ficam quase que impedidos de falar, ou seja, pouco interagem, Santos (2007, p. 35) ressalta a importância da aprendizagem colaborativa, ao afirmar que

A aprendizagem colaborativa é um processo importante para o compartilhamento de um objetivo comum, e sua metodologia envolve a interação, que deve romper a lógica de ensino tradicional para uma prática mais inovadora, promovendo uma relação afetiva com o conhecimento, de forma reflexiva e mais autônoma.

Com base nos conceitos propostos por Cord, Harasim, Dillembourg e Larocque, sobre aprendizagem colaborativa, Santos (2007, p.37) propõe dois postulados que caracterizam tal aprendizagem. Conforme este autor:

..nesses diversos conceitos, que os termos "cooperação" e "colaboração" designam atividades em grupo que visam a um objetivo em comum. A diferença mais fundamental está na regularidade da troca, no trabalho em conjunto, na constância da coordenação.

(40)

Jesus (2008), em sua pesquisa, desenvolve uma sequência de atividades com um grupo de professores, no qual os participantes constroem a definição de mediatriz de um segmento. Observa que os problemas de geometria, geralmente, valorizam a figura e que os dados inerentes a mesma são identificados em língua natural. O autor propõe questões em língua natural para posterior conversão em linguagem figural. A esse respeito, Jesus (2008, p.32) afirma:

No ensino de Geometria, geralmente, se privilegiam questões no registro figural, que exigem apenas um reconhecimento dos dados em língua natural, seguido de algum tratamento, em detrimento de se propor questões no registro da língua natural, para posterior conversão para o registro figural e, por último, o tratamento.

Jesus (2008, p.35) destaca que de pode interpretar a mediatriz sob diferentes pontos de vista9. Segundo o autor, pode-se entender de diferentes formas:

• A mediatriz de um segmento é a reta que passa pelo ponto médio desse

segmento e é perpendicular a ele;

• A mediatriz de um segmento é o conjunto de todos os pontos que

equidistam das extremidades desse segmento.

Nesta pesquisa, apresentou-se aos alunos atividades relativas a cada um dos pontos de vistas da mediatriz para que eles pudessem visualizar as propriedades inerentes à mesma, como o ponto médio e o perpendicularismo. Outra proposta de atividade levada adiante nesta pesquisa foi constituída uma atividade na qual o aluno teria a possibilidade de perceber a mediatriz como um lugar geométrico, ou seja, o lugar dos pontos que equidistam das extremidades de um segmento. Quanto aos resultados obtidos em sua pesquisa, Jesus (2008) destaca que o processo de construção da definição de mediatriz sob pontos de vistas distintos foi determinante para que os participantes alcançassem um melhor entendimento deste tema. Relativo a isto, Jesus (2008, p. 198) sustenta que:

_____________

9_{Ponto de vista: Rogalski (1995 apud ALMOULOUD, 2007) usa esse termo para designar uma}

(41)

Outro ponto de destaque se deu ao trabalharmos com a construção da definição de mediatriz de um segmento sob “pontos de vista” diferentes, o

que contribuiu significativamente para ampliação e/ou construção do conceito desse objeto matemático.

(42)

4. OS USOS DAS TICS NA EDUCAÇÃO

O uso das tecnologias da informação e comunicação é discutido aqui, do ponto de vista de alguns autores, tomados como base para as análises feitas posteriormente nesta pesquisa.

Como observação inicial a este respeito, é preciso indicar que todo uso de tecnologias em processos educativos precisa ser objeto de crítica e de reflexão por parte dos professores envolvidos. E isto se aplica não só em relação às tecnologias de informação e comunicação. Borba e Penteado (2003) e Oliveira (2009) afirmam que tecnologias aplicadas à educação são todos os aparatos que sirvam de extensão à ação docente: lápis e papel, giz e lousa, calculadoras, computadores, enfim, dos mais tradicionalmente utilizados aos mais atuais. O olhar desta pesquisa, no entanto, está mais voltado às TICs como mediadoras em processos de ensino-aprendizagem em Matemática. Estas interfaces têm o potencial, sob o comando e o planejamento cuidadoso das pessoas envolvidas, de proporcionar importantes intervenções, tanto dos docentes quanto dos discentes, incluindo características como colaboração e interatividade (OLIVEIRA, 2007).

Borba (2007, p.45) afirma que:

o uso de tecnologias, como a informática, possibilita uma forma diferenciada de entender o próprio conhecimento, e que é possível haver uma sintonia entre uma dada pedagogia, uma mídia e uma visão do conhecimento.

Relativo a isso, Kenski (2008, p.45) afirma que:

(43)

O uso de TICs, então, pode trazer mudanças positivas para o ensino e a aprendizagem, contudo o sucesso pedagógico dependerá das especificidades do ensino e da própria tecnologia – e, muito especialmente, da capacidade de selecionar as melhores formas de intervir no processo de aprendizagem dos alunos, o que é o mesmo que dizer que não é a tecnologia em si que melhora o processo, mas a possibilidade de criar intervenções críticas, específicas para o conteúdo Matemático a ser utilizado, e fazê-lo como elemento mediador (OLIVEIRA, 2009).

Borba (2007, p. 45) diz que “uma mídia não determina a prática pedagógica.” Entende-se que as tecnologias de informação e comunicação oferecem um amplo leque de possibilidades, que nada podem resolver se não existir um uso adequado das mesmas. Para isso há necessidade de uma sintonia com o trabalho pedagógico, através da elaboração de estratégias coerentes. Consequentemente, isto acarreta mudança na estrutura dos cursos e na forma do professor trabalhar os conteúdos com seus alunos.

Quanto a utilização de tecnologias no ensino e aprendizagem os pesquisadores apontam algumas concepções no uso das mesmas, principalmente no que se refere ao uso de softwares. A este respeito, é interessante recuperar as

visões de Oliveira (2009), Frota e Borges (2004) e Goos et al. (2003) nos próximos parágrafos.

Segundo Carvalho (2010), estes autores mencionam que a prática docente com uso de tecnologias digitais está fundamentada em níveis distintos. Para eles, algumas dimensões da prática docente permeada por tecnologias inserem as dimensões de consumir, incorporar e matematizar a tecnologia.

Neste sentido, o consumo da tecnologia diz respeito aos recursos que

podem secundar o processo ensino-aprendizagem em Matemática. Há uma leitura, por parte dos professores de Matemática, que tais recursos podem mudar a educação ou até mesmo modificar os processos de ensino. De acordo com os autores citados anteriormente, este consumo “pode trazer eficiência para a realização das tarefas antigas, mas também pode gerar dependência na

consecução da tarefa” (FROTA e BORGES, 2004). Isto ocorre quando o professor

(44)

Para Frota e Borges (2004), a incorporação das tecnologias, permite uma

nova forma de fazer Matemática. Entretanto, exige mudança nas tarefas propostas aos alunos: a tecnologia pode ser vista como um recurso que auxilia as discussões matemáticas em sala de aula. Mais precisamente, na visão de Oliveira (2009, p. 5):

a incorporação das tecnologias pelas pessoas pode conduzir à ampliação de estratégias usadas no fazer matemático, alterando-o substancialmente, o que conduz, a partir de tais mudanças, a novas maneiras de pensar e solucionar problemas, com o uso de elementos dinâmicos, heurísticas, ampliação de representações gráficas e outros recursos. Ocorre, assim, uma mudança no fazer matemático dos indivíduos, e podem ocorrer, por conseqüência, mudanças na maneira de pensar e resolver problemas, com as interfaces assumindo o papel de suportes do pensamento. As tecnologias, aqui, são vistas como parceiras e como extensões da pessoa.

Por fim, os autores referem-se à matematizar a tecnologia, aproximando o

conhecimento matemático presente nos objetos tecnológicos dos estudantes, os quais, muitas vezes, não percebem que existe Matemática por trás dos processos que envolvem tecnologia. Em Oliveira (2009, p. 5), então,

esta concepção consiste em considerar o valor da tecnologia por ela mesma como objeto curricular. Por um lado, segundo os autores, a matematização diz respeito à identificação dos elementos matemáticos que permeiam as ferramentas e interfaces de origem tecnológica, o que permitiria compreender a matemática como fator de efetivação das realidades cotidianas, acima das tecnologias e suas limitações, bem como fornecer elementos para o desenvolvimento de senso crítico em relação ao alcance e uso das mídias; por outro lado, a matematização das tecnologias permitiria trabalhar amplamente com a modelagem de objetos e processos, de modo a aliar tecnologia e matemática no trato de questões reais.

(45)

condição de consumidor, para depois voltar a incorporar o novo elemento em suas práticas, e assim por diante.

Figura 5 – Dimensões do uso de tecnologias por professores Fonte: Oliveira, 2009

Dentro das concepções apresentadas, Oliveira, (2009, p. 6) salienta que “a crítica que se faz ao uso de aparatos tecnológicos, os quais não determinam uma auto-suficiência pedagógica”. Esclarece que a inclusão de programas de computadores ou redes nos programas de ensino não é um fator limitador ao ensino da Matemática e nem reduz os processos didáticos a simples autômato.

Para Oliveira (2009, p.6) é possível conciliar as concepções e estabelecer uma relação entre incorporar e matematizar as tecnologias, o que significa produzir:

estratégias didáticas para os processos de ensino-aprendizagem em Matemática que contenham intervenções com (e através de) tecnologias de informação e comunicação (TICs), criticamente analisadas e aderentes ao projeto pedagógico que tenha como prioridade a construção do conhecimento pelas pessoas.

Ao propor esta perspectiva Oliveira (2009, p.6) procura tornar mais abrangentes e conciliadoras as diferentes abordagens tecnológicas, ou seja:

Consumir _Incorporar

Matematizar Elaborar