AULA 12MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

(1)

AULA 12

MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

PESQUISA OPERACIONAL

PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA

(Integer) Space: The last frontier

Programação Inteira: A última fronteira

(2)

PROBLEMAS PROGRAMAÇÃO INTEIRA

Designação Mochila

Caixeiro

(3)

i j x_ij

Variáveis de Decisão

X_ij= Quantidade transportada do nó i para o nó j.

Transporte

x _{i j}

Origem

(fábrica) Destino

(mercado)

1

2

x₂₂

1

2 x₂₁

x₁₂ x₁₁

X_ij= Quantidade transportada da fábrica i para o mercado j.

Transporte

(4)

1

2

x₂₂

1

2 x₂₁

x₁₂ x₁₁

∑

=

= ⁿ

j j m

i

i d

f

1

1 n = no. de mercados

m = no. de fábricas

Restrição (implícita): tudo o que for produzido nas fábricas (f_i) deve ser consumido pelos mercados (d_i).

Transporte

∑

=

= ⁿ

j j m

i

i d

f

1 1

Modelo anterior supõe implicitamente que tudo que é produzido será consumido. Neste caso, o modelo de

transporte é dito balanceado.

Existem, porém, 2 casos nos quais esta restrição não é satisfeita:

Caso 1 Capacidade >

Demanda Caso 2 Capacidade <

Demanda

m i

f x

n

j

i

ij , 1, ,

1

= L

∑

≤

=

n j

d x

m

i

j

ij , 1, ,

1

= L

∑

=

m i

f x

n

j

i

ij , 1, ,

1

= L

∑

=

n j

d x

m

i

j

ij , 1, ,

1

= L

∑

≤

= Não precisa

transportar tudo !

Não pode atender todos !

(5)

Transporte

1

2

x₂₂

1

2 x₂₁

x₁₂ x₁₁

3 mercado “fantasma”

Caso 1

Transporte

1

2

1

2 x₁₁

3

x₂₁ + x₂₂+ x₂₃ + x₂₄= f₂

4 x₁₂

x₁₃ x₁₄ x₂₁ x₂₂ x₂₃ x₂₄

3

x₃₁ x₃₂ x₃₃ x₃₄

x₁₁ + x₁₂+ x₁₃ + x₁₄= f₁

x₃₁ + x₃₂+ x₃₃ + x₃₄= f₃

Excedente

(6)

Transporte

1

2

1

2 x₁₁

3

x₁₂ + x₂₂+ x₃₂ = d₂

4 x₁₂

x₁₃ x₁₄ x₂₁ x₂₂ x₂₃ x₂₄

3

x₃₁ x₃₂ x₃₃ x₃₄

x₁₁ + x₂₁+ x₃₁ = d₁

x₁₄ + x₂₄+ x₃₄ = d₄ x₁₃ + x₂₃+ x₃₃ = d₃ Capacidade - Demanda

S.a.:

x₁₁ + x₁₂+ x₁₃ + x₁₄= 2.000 x₂₁ + x₂₂+ x₂₃ + x₂₄= 3.000 x₃₁ + x₃₂+ x₃₃ + x₃₄= 1.500 x₁₁ + x₂₁+ x₃₁ = 2.000

x₁₂ + x₂₂+ x₃₂ = 2.000 x₁₃ + x₂₃+ x₃₃ = 1.000 x₁₄ + x₂₄+ x₃₄ = 1.500

MODELO COMPLETO DETALHADO

Transporte

Min 25x₁₁ + 20x₁₂ + 30x₁₃ + 30x₂₁ + 25x₂₂ + 25x₂₃ + 20x₃₁ + 15x₃₂ + 23x₃₃

Cap. fábrica

Cap. mercado

Capacidade - Demanda Excedente

(7)

Transporte

1

2

x₂₂

1

2 x₂₁

x₁₂ x₁₁

3

fábrica “fantasma”

x₃₂ x₃₁

Caso 2

Min

S.a.:

MODELO COMPLETO GERAL

Transporte

m i

f x

n

j

i

ij , 1, ,

1

= L

∑

≤

=

n j

d x

m

i

j

ij , 1, ,

1

= L

∑

≤

=

∑∑

= = m

i n

j

ij ijx c

1 1

n = no. de mercados m = no. de fábricas

Cap. fábrica

Cap. mercado

Custo de transporte

(8)

Min

S.a.:

Transporte

m i

f x

x

n

j

i in

ij , 1, ,

1

1 = = L

∑

+

= +

n j

d x

x

m

i

j j m

ij , 1, ,

1

1 = = L

∑

+

= +

∑∑

= =

m

i n

j

ij ijx c

1 1

Custo de transporte

Ax

b

Matriz A com elementos -1, 1 e 0 é dita matriz unimodular.

Vetor só com elementos

inteiros

X é solução inteira !!

(Bazaraa, 2nd, p.429)

i j

x_ij

X_ij= 1 se operário i realiza a tarefa j e 0 caso contrário.

x _{i j}

Operário Tarefa

Problema de Designação

(9)

1

2

x₂₂

1

2 x₂₁

x₁₂ x₁₁

n

m= n = no. de tarefas

m = no. operários

Restrições : todas as tarefas j devem ser alocadas a pelo menos 1 operário e vice-versa.

1 1

2 x₁₂

x₁₁

Restrições : todas os operários i devem ser alocados a pelo menos 1 tarefa !

x

₁₁

+ x

₁₂

= 1

Alocação do operário 1

(10)

2

x₂₂

1

2 x₂₁

x

₂₁

+ x

₂₂

= 1

1

2

1 x₂₁

x₁₁

Restrição : todas as tarefas j devem ser alocadas a pelo menos 1 operário !

x

₁₁

+ x

₂₁

= 1

Alocação para a tarefa 1

(11)

1

2

x₂₂

2 x₁₂

x

₁₂

+ x

₂₂

= 1

Min

S.a.:

m i

x

m

j

ij 1 , 1, ,

1

= L

∑

=

m j

x

m

i

ij 1 , 1, ,

1

= L

∑

=

∑∑

= = m

i m

j

ij ijx c

1 1

custo para realizar a tarefa

m j

i

x_ij =1 ou 0 , , =1,L,

Pelo menos 1 tarefa (j) para cada operário(i)

Pelo menos 1 operário(i) para

cada tarefa (j)

(12)

Min

S.a.:

m i

x

m

j

ij 1 , 1, ,

1

= L

∑

=

m j

x

m

i

ij 1 , 1, ,

1

= L

∑

=

∑∑

= =

m

i n

j

ij ijx c

1 1

custo para realizar a tarefa

m j

i

x_ij =1 ou 0 , , =1,L,

X é solução inteira !!

(Bazaraa, 2nd, p.429) Caso particular do modelo de transporte:

m = n e vetor b só com elementos 1

i j

x _{i j}

Máquina Tarefa

(13)

i j x_ij

X_ij= 1 se a máquina i realiza a tarefa j e 0 caso contrário.

x _{i j}

Máquina Tarefa

A Machine Company tem 4 máquinas e 4 tarefas para serem realizadas. Cada máquina deve ser designada para completar uma tarefa. O tempo requerido para completar cada tarefa por cada máquina é dado na tabela dada a seguir. A Machine Company deseja minimizar o tempo total de processamento para realizar as 4 tarefas.

Formule e resolva o problema de programação linear correspondente.

x_ij

(14)

Máquina Tarefa 1 Tempo[h]

Tarefa 2 Tempo[h]

1 ¹⁴ ⁵ ⁸ ⁷

2 ² ¹² ⁶ ⁵

3 ⁷ ⁸ ³ ⁹

4 ² ⁴ ⁶ ¹⁰

Tabela 1: Dados do problema de Designação

1 1

2 x₁₂

x₁₁

x

₁₁

+ x

₁₂

= 1

Alocação da máquina 1

(15)

1

2

1 x₂₁

x₁₁

x

₁₁

+ x

₂₁

= 1

S.a.:

x₁₁ + x₁₂+ x₁₃ + x₁₄= 1 x₂₁ + x₂₂+ x₂₃ + x₂₄= 1 x₃₁ + x₃₂+ x₃₃ + x₃₄= 1 x₄₁ + x₄₂+ x₄₃ + x₄₄= 1 x₁₁ + x₂₁+ x₃₁ + x₄₁= 1 x₁₂ + x₂₂+ x₃₂ + x₄₂= 1 x₁₃ + x₂₃+ x₃₃ + x₄₃= 1 x₁₄ + x₂₄+ x₃₄ + x₄₄= 1

MODELO COMPLETO DETALHADO Min 14x₁₁ + 5x₁₂ + 8x₁₃ + 7x₁₄ +

2x₂₁ + 12x₂₂ + 6x₂₃ + 5x₂₄ + 7x₃₁ + 8x₃₂ + 3x₃₃ + 9x₃₄ + 2x₄₁ + 4x₄₂ + 6x₄₃ + 10x₄₄

Restrições de máquinas

Transporte

Restrições de tarefas

Tempo total

(16)

Min

S.a.:

m i

x

m

j

ij 1 , 1, ,

1

= L

∑

=

m j

x

m

i

ij 1 , 1, ,

1

= L

∑

=

∑∑

= =

m

i m

j

ij ijx t

1 1

Tempo total

Restrições de máquinas Restrições de

tarefas

m j

i

x_ij ≥ 0 , , =1,L,

GLPK Lab for Windows

# MODELO DO PROBLEMA DE DESIGNAÇÃO

# Este problema encontra o menor custo de transporte

# que atende as requisões de demanda e produção.

set I; /* máquina */

set J; /* tarefa */

param a{i in I}; /* alocação das i máquinas */

param b{j in J}; /* alocação das j tarefas */

param d{i in I, j in J}; /* tempo de realização */

/* Tempo de realização em horas */

param c{i in I, j in J} := d[i,j];

#Parametros para impressao dos resultados do modelo em arquivos.

param file, symbolic, default "ResumoDesignacao.txt";

/* Alocação da máquina i para a tarefa j */

var x{i in I, j in J} >= 0;

/* Minimização do tempo total de processamento */

minimize cost: sum{i inI, j in J} c[i,j] * x[i,j];

/* Alocação da máquina i */

s.t. supply{i inI}: sum{j in J} x[i,j] = a[i];

/* Alocação da tarefa j */

s.t. demand{j inJ}: sum{i in I} x[i,j] = b[j];

PARTE 1 - FORMULAÇÃO Índices das variáveis

Dados do modelo

Variáveis Modelo

(17)

solve;

/* RELATORIO */

printf '\n'

>> file;

printf '---\n'

>> file;

printf 'Solucao Encontrada \n'

>> file;

printf '---\n'

>> file;

printf ' \n'

>> file;

printf '---\n'

>> file;

printf " Máquina Tarefa Tempo \n"

>> file;

printf{i in I} " %8s %8d %10g\n", i, sum{j in J} j * x[i,j], sum{j in J} c[i,j] * x[i,j]

>> file;

printf '---\n'

>> file;

printf 'Custo total (z): ' >> file;

printf ' %10.2f \n', cost >> file;

printf '---\n'>> file;

printf '\n' >> file;

PARTE 2 - FORMULAÇÃO Corresponde ao índice da tarefa assinalada à máquina i

data;

set I := Maq1 Maq2 Maq3 Maq4;

set J := 1 2 3 4;

param a := Maq1 1 Maq2 1 Maq3 1 Maq4 1;

param b := 1 1 2 1 3 1 4 1;

param d : 1 2 3 4 :=

Maq1 14 5 8 7 Maq2 2 12 6 5 Maq3 7 8 3 9 Maq4 2 4 6 10;

end; PARTE 3 - FORMULAÇÃO

(18)

data;

set J := 1 2 3 4;

param b := 1 1 2 1 3 1 4 1;

param d : 1 2 3 4 :=

Maq1 14 5 8 7 Maq2 2 12 6 5 Maq3 7 8 3 9 Maq4 2 4 6 10;

Dados do Modelo

PARTE 4 - RESULTADOS

(19)

Máquina Tarefa 1 Tempo[h]

1 ¹⁴ ⁵ ⁸ ⁷

2 ² ¹² ⁶ ⁵

3 ⁷ ⁸ ³ ⁹

4 ² ⁴ ⁶ ¹⁰

Solução encontrada para o problema de Designação

TEMA 1:Suponha que uma empresa de consultoria deseja alocar n consultores para n projetos diferentes e que cada consultor tem interesses e afinidades para cada projeto medidos de acordo com a tabela dada abaixo. Otimizar a soma das preferências.

Cij Proj1 Proj2 Proj3 Proj4

1 ² ⁵ ⁸ ⁷

2 ¹⁴ ¹² ⁵ ⁶

3 ⁷ ³ ⁸ ⁹

4 ⁶ ¹⁰ ² ⁴

x_ij

(20)

Designação Generalizada

x_ij

1 tarefa – 1 operário e 1 operário – 1 ou mais tarefas (cap. bi)

M – operários N – Tarefas

x_ij

(21)

x_ij

bi – capacidade de recursos do operário i

x_ij

aij – recurso gasto pelo operário i para realizar a tarefa j

(22)

1 1

2 x₁₂

x₁₁

a

₁₁

x

₁₁

+a

₁₂

x

₁₂

≤≤≤≤ b

₁

Capacidade do operário 1

E

1

2

1 x₂₁

x₁₁

x

₁₁

+ x

₂₁

= 1

OU

(23)

Min

S.a.:

m i

b x a

n

j

i ij

ij , 1, ,

1

= L

∑

≤

=

n j

x

m

i

ij 1 , 1, ,

1

= L

∑

=

∑∑

= =

m

i n

j

ij ijx c

1 1

Custo total

Capacidade e recursos gastos

pelo operário i Cada tarefa j tem

1 operário

n j

m i

x_ij ≥ 0 , =1,L, , =1,L,

Min

S.a.:

m i

b x a

n

j

i ij

ij , 1, ,

1

= L

∑

≤

=

n j

x

m

i

ij 1 , 1, ,

1

= L

∑

=

∑∑

= = m

i n

j

ij ijx c

1 1

n j

m i

x_ij ≥ 0 , =1,L, , =1,L,

Ax

Matriz A com elementos -1, 1 e 0 é dita matriz unimodular,

mas com aij isto não acontece mais com A !!

(24)

Min

S.a.:

m i

b x a

n

j

i ij

ij , 1, ,

1

= L

∑

≤

=

n j

x

m

i

ij 1 , 1, ,

1

= L

∑

=

∑∑

= =

m

i n

j

ij ijx c

1 1

n j

m i

x_ij ≥ 0 , =1,L, , =1,L,

USAR MÉTODOS DE PROGRAMAÇÃO

INTEIRA !!

A Compact Consulting Company tem 2 consultores e 4 tarefas para serem realizadas. Cada consultor deve ser designado para completar uma tarefa. Os custos cij, os recursos necessários para cada consultor realizar cada tarefa aij e a capacidade de cada consultor bi são dados nas tabelas a seguir.

Formule e resolva o problema de programação linear correspondente.

x_ij

(25)

cij T1 T2 T3 T4

1 ¹⁵ ⁶¹ ³ ⁹⁴

2 ²¹ ²⁸ ⁷⁶ ⁴⁸

aij T1 T2 T3 T4

1 ³¹ ⁶⁹ ¹⁴ ⁸⁷

2 ²³ ²⁰ ⁷¹ ⁸⁶

bi Cap.

1 1000

2 1000

# MODELO DO PROBLEMA GERAL DE DESIGNAÇÃO

# Este problema encontra a alocação que produz menor custo total de realização das tarefas respeitando a capacidade de cada consultor e utilização de recursos.

set I; /* consultor */

set J; /* tarefa */

param b{i in I}; /* capacidade i consultores */

param d{j in J}; /* alocação das j tarefas */

param c{i in I, j in J}; /* custo de realização */

param a{i in I, j in J}; /* utilização de recursos */

param file, symbolic, default "ResumoDesignacaoGeral.txt";

/* Alocação da máquina i para a tarefa j */

var x{i in I, j in J} binary;

/* Minimização do tempo total de processamento */

minimize cost: sum{i in I, j in J} c[i,j] * x[i,j];

/* Alocação do consultor i */

s.t. supply{i in I}: sum{j in J} a[i,j] * x[i,j] <= b[i];

/* Alocação da tarefa j */

s.t. demand{j in J}: sum{i in I} x[i,j] = d[j];

Índices das variáveis

Dados do modelo

Variáveis binárias Modelo

PARTE 1 - FORMULAÇÃO

(26)

solve;

/* RELATORIO */

printf '\n'

>> file;

printf '---\n'

>> file;

printf '---\n'

>> file;

printf ' \n'

>> file;

printf '---\n'

>> file;

printf " Consultor Tarefa Alocação(1-Sim/0-Não) \n"

>> file;

printf{i in I, j in J} " %8s %8d %10g\n", i, j, x[i,j]

>> file;

printf '---\n'

>> file;

printf 'Custo total (z): ' >> file;

printf ' %10.2f \n', cost >> file;

printf '---\n'>> file;

printf '\n' >> file; PARTE 2 - FORMULAÇÃO

Índice do consultor i assinalada à tarefa j

data;

set I := C1 C2;

set J := 1 2 3 4;

param b := C1 1000 C2 1000;

param d := 1 1 2 1 3 1 4 1;

param c : 1 2 3 4 :=

C1 15 61 3 94 C2 21 28 76 48;

param a : 1 2 3 4 :=

C1 31 69 14 87 C2 23 20 71 86;

(27)

data;

set J := 1 2 3 4;

param b := 1 1 2 1 3 1 4 1;

param d : 1 2 3 4 :=

Maq1 14 5 8 7 Maq2 2 12 6 5 Maq3 7 8 3 9 Maq4 2 4 6 10;

Dados do Modelo

(28)

TEMA 2: Considere existem 3 agentes (m = 3) para realizar 8 tarefas (n = 8). Os custos (cij), os recursos necessários para realizar a tarefa j pelo agente i (aij) e as capacidades i de cada um dos agentes (bi) são dados pelas tabelas dadas a seguir.

cij T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8

1 ¹⁵ ⁶¹ ³ ⁹⁴ ⁸⁶ ⁶⁸ ⁶⁹ ⁵¹

2 ²¹ ²⁸ ⁷⁶ ⁴⁸ ⁵⁴ ⁸⁵ ³⁹ ⁷²

3 ²¹ ²¹ ⁴⁶ ⁴³ ²¹ ³ ⁸⁴ ⁴⁴

x_ij

TEMA 2:Dados relativos à aij e bi.

aij T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8

1 ³¹ ⁶⁹ ¹⁴ ⁸⁷ ⁵¹ ⁶⁵ ³⁵ ⁵⁴

2 ²³ ²⁰ ⁷¹ ⁸⁶ ⁹¹ ⁵⁷ ³⁰ ⁷⁴

3 ²⁰ ⁵⁵ ³⁹ ⁶⁰ ⁸³ ⁶⁷ ³⁵ ³²

x_ij

bi Cap.

1 100

2 100

3 100

(29)

Caixeiro

Problema da Mochila

Quais itens devem ser colocados na mochila ?

(30)

Utilidade Volume

Fornecer uma nota para cada item (subjetivo !)

Medir para cada item (objetivo, mas dá muito trabalho !)

Heurística Problema da Mochila

Para o trabalho:

Para o praia:

Criar lista:

Utilidade(U) Volume(V) Razão U/V Item

7 7

5 6

3 4

CAP. MAX = 10 CAP. USADA =

(31)

7 7 1.0

5 6 0.83

3 4 0.75

CAP. MAX = 10 CAP. USADA = 7

7 7 1.0

5 6 0.83

3 4 0.75

MAS...

CAP. MAX = 10 CAP. USADA = 10

(32)

Itens Mochila

P1

P2

P3

P4

x₁= 1

x₄= 0

Variável de decisão:

Item i participa (1) ou não (0) da Mochila

Problema da Mochila

Itens Mochila

P1

P2

P3

P4

x₁= 1

x₄= 0

Problema da Mochila

Máximo de itens na mochila

M

(33)

Max

S.a.:

∑

= n ≤

i

ix b

v

1

∑

= n

i

i ix u

1

Utilidade total

Capacidade da mochila

Problema da Mochila

n i

x_i =1 ou 0 , =1,L,

Max

S.a.:

Ax

Matriz A com elementos -1, 1 e 0 é dita matriz unimodular,

mas com vi isto não acontece mais com A !!

Problema da Mochila

∑

= n ≤

i

ix b

v

1

∑

= n

i

i ix u

1

Utilidade total

n i

x_i =1 ou 0 , =1,L,

(34)

# MODELO DO PROBLEMA DA MOCHILA

#

# Este problema encontra a mochila com o maior utilidade,

# respeitando a capacidade da mesma.

#

/* input data */

param n, integer, >= 1; # número de itens param p, integer, >= 1; # capacidade da mochila set E:={1..n}; # conjunto de itens param u{E} >=0; # utilidade dos itens param v{E} >=0; # volume dos itens

param file, symbolic, default "ResumoMochila.txt";

/* Variável */

var x{E} binary;

/* Função Objetivo */

maximize TotalUtility: sum{i in E} u[i]*x[i];

/* Capacidade da Mochila */

s.t. capacity: sum{i inE} v[i]*x[i] <= p;

solve;

# MODELO DO PROBLEMA DA MOCHILA

#

# Este problema encontra a mochila com o maior utilidade,

# respeitando a capacidade da mesma.

#

/* input data */

param n, integer, >= 1; # número de itens param p, integer, >= 1; # capacidade da mochila set E:={1..n}; # conjunto de itens param u{E} >=0; # utilidade dos itens param v{E} >=0; # volume dos itens

param file, symbolic, default "ResumoMochila.txt";

/* Variável */

var x{E} binary;

/* Função Objetivo */

maximize TotalUtility: sum{i in E} u[i]*x[i];

/* Capacidade da Mochila */

s.t. capacity: sum{i inE} v[i]*x[i] <= p;

solve;

PARTE 1 - FORMULAÇÃO Dados do modelo

Variáveis Binárias Modelo

(35)

/* RELATORIO */

printf '\n'

>> file;

printf '---\n'

>> file;

printf '---\n'

>> file;

printf ' \n'

>> file;

printf '---\n'

>> file;

printf " Item Alocação (1-Sim/0-Não) \n"

>> file;

printf{i in E} " %8s %8d \n", i, x[i]

>> file;

printf '---\n'

>> file;

printf 'Utilidade total (z): ' >> file;

printf ' %10.2f \n', TotalUtility >> file;

printf '---\n' >> file;

printf '\n' >> file; PARTE 2 - FORMULAÇÃO

Indica qual item foi alocado ou não na mochila !

/* Data section */

data;

param n:=3;

param p:=10;

param u:=[1] 7 [2] 5 [3] 3;

param v:= 1 7 2 6 3 4;

end;

(36)

/* Data section */

data;

param n:=3;

param p:=10;

param u:=[1] 7 [2] 5 [3] 3;

param v:= 1 7 2 6 3 4;

end;

PARTE 3 - FORMULAÇÃO Dados do Modelo

(37)

TEMA 3: Considere que existem 8 itens para armazenar em uma mochila com uma capacidade de 100. Elaborar um programa para resolver o problema com os dados abaixo.

1 2 3 4 5 6 7 8

u ⁴¹ ³³ ¹⁴ ²⁵ ³² ³² ⁹ ¹⁹

v ⁴⁷ ⁴⁰ ¹⁷ ²⁷ ³⁴ ²³ ⁵ ⁴⁴

x_i

Problema da Mochila

Gestão de um Portfólio de Projetos

A mesma formulação do problema da

mochila pode ser utilizada para determinar a composição de um portfólio de projetos:

(38)

Projetos Portfólio

P1

P2

P3

P4

x₁= 1

x₄= 0

Variável de decisão:

Projeto i participa (1) ou não (0) do Portifólio

Projetos Portfólio

P1

P2

P3

P4

Máximo de projetos do portfólio.

x₁= 1

M

x₄= 0

AULA 12MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

x i j

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑∑

∑

∑

∑∑

Ax

b

x i j

x

+ x

= 1

x

+ x

= 1

x

+ x

= 1

x

+ x

= 1

∑

∑

∑∑

∑

∑

∑∑

x i j

x i j

x

+ x

= 1

x

+ x

= 1

∑

∑

∑∑

a

x

+a

x

≤≤≤≤ b

x

+ x

= 1

∑

∑

∑∑

∑

∑

∑∑

Ax

∑

∑

∑∑

Itens Mochila

Itens Mochila

M

∑

∑

Ax

∑

∑

Projetos Portfólio

Projetos Portfólio

M

x _{i j}

x _{i j}

x _{i j}

x _{i j}