Anota¸c˜oes sobre M´odulo e Norma.

Rodrigo Carlos Silva de Lima

^‡

rodrigo.uff.math@gmail.com

‡

1 M ´odulo e norma. 5

1.1 M´odulo e n´umeros reais . . . 5

1.1.1 Desigualdade triangular . . . 9

1.1.2 max(x, y) = x+y+|x−y| 2 e min(x, y) = x+y−|x−y| 2 . . . 12

1.2 Equa¸c˜oes Envolvendo M´odulo . . . 13

1.3 Desigualdades com m´odulo . . . 13

1.3.1 |aⁿ¹ −bⁿ¹|≤|a−b|ⁿ¹. . . 14

1.3.2 | Xb k=a g(k)|≤ Xb k=a |g(k)|. . . 15

1.3.3 Valor absoluto de n ´umeros complexos . . . 17

1.4 Norma . . . 21

1.4.1 ˆAngulo entre dois vetores . . . 25

3

M ´odulo e norma.

1.1 M ´odulo e n ´umeros reais

m

Defini ¸c ˜ao 1. Seja x um n ´umero real, definimos o m´odulo de x que simboli- zamos por |x| da seguinte maneira





|x|=xsex≥0

|x|= −xsex <0

b

Propriedade 1. |x|=max{x,−x}.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

Sex≥0 ent˜aox =|x|e max{x,−x}=x.Sex <0 ent˜ao|x|= −x e max{x,−x}= −x, pois −x ´e positivo e x ´e negativo.

$

Corol ´ario 1. |x|≥0.

$

Corol ´ario 2. |x|≥x pois |x|=max{x,−x}, da mesma maneira |x|≥−x ⇒x≥

−|x|.

5

b

Propriedade 2. |x| ´e o ´unico n ´umero real n˜ao negativo cujo quadrado ´e x², isto ´e, se y² =x² e y≥0 ent˜ao y=|x|.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

Seja y≥0 tal quey² =x², da´ı(y−x)(y+x) =0, sex ≥0 ent˜aoy−x=0, y=x. Se x <0 ent˜ao y+x=0, y= −x, portanto y=|x|.

b

Propriedade 3 (Simetria). Seja a um n ´umero real ent˜ao tem-se |a|=|−a|.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se a = 0 temos |0| = 0 e |−0| = |0| = 0. Se a > 0 segue

|a|=a e −a <0 logo para b= −a |b|= −b= −(−a) =a logo s˜ao iguais. Se a <0

|a|= −a e −a > 0 assim |−a|= −a assim tem-se a igualdade em todos os casos.

b

Propriedade 4.

|a|² =a² para qualquer a real.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se a≥0 segue |a|=a e |a|² =a². Se a <0 ent˜ao |a|= −a e |a|² = (−a)² =a².

b

Propriedade 5.

√

a²=|a|Para qualquer areal. ê Demonstra ¸c ˜ao.

√

a² =p

|a|² =|a|.

b

Propriedade 6. Sejam 0≤x e 0≤y. Se x² ≤y² ent˜ao x≤y.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale (x−y)(x+y)≤0

como 0≤x+y deve valer (x−y)≤0 da´ı x ≤y .

b

Propriedade 7. Sejam 0≤x e 0≤y. Se x² =y² ent˜ao x=y.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale x ≤ y e n˜ao pode valer a desigualdade estrita x < y pois da´ı ter´ıamos x²< y² que contraria a hip´otese, portanto y=x.

b

Propriedade 8 (Multiplicatividade).

|a||b|=|a.b| para a e b reais quaisquer.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale que |x.y|² = (x.y)² = x²y² e (|x||y|)² = |x|²|y|² = x².y² os quadrados desses n ´umeros s˜ao iguais e eles s˜ao n˜ao negativos, ent˜ao segue que

|x.y|=|x||y|.

ê Demonstra ¸c ˜ao.[2] |a.b|=p

(a.b)² =

√

a².b²=

√ a².

√

b² =|a||b|.

b

Propriedade 9. |a|=0⇔a=0. ê Demonstra ¸c ˜ao.

• ⇐). Se a=0 ent˜ao |a|=max{0,−0}=0.

• ⇒). Se |a|=0 ent˜ao |a|² =a² =0⇒a=0.

b

Propriedade 10.

Yn k=1

|ak|=| Yn

k=1

ak|

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c˜ao, para n=1 vale, supondo para n n ´umeros Yn

k=1

|a_k|=| Yn

k=1

a_k| vamos provar para n+1

Yn+1 k=1

|ak|=| Yn+1

k=1

ak| temos

Yn+1 k=1

|a_k|= Yn

k=1

|a_k|.|a_n+1|=| Yn

k=1

a_k||a_n+1|=| Yn

k=1

a_ka_n+1|=| Yn+1

k=1

a_k| .

b

Propriedade 11. Se x6=0 ent˜ao |1 x|= 1

|x|. ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale |x||1

x|=|x

x|=1 da´ı |1

x| ´e inverso de |x|, sendo 1

|x|.

$

Corol ´ario 3 (Preserva divis˜ao).

|x y|= |x|

|y|.

b

Propriedade 12. |a|≥a.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se a ≥ 0 tem-se |a| = a logo vale a igualdade. Se a < 0,

|a|= −a e de −a > 0 segue |a|= −a > a.

Z

^{Exemplo 1.}

p(|a|+|b|)² =|a|+|b|.

p(|a|+|b|)² =||a|+|b||=|a|+|b| pois |a|+|b| ´e n˜ao negativo.

b

Propriedade 13. Vale que

|x|+|y|=|x+y|⇔x.y ≥0.

ê Demonstra ¸c ˜ao. ⇒) Suponha que |x|+|y|=|x+y| , elevando ao quadrado e usando que |z|² =z² e (a+b)² =a²+2ab+b² tem-se

(|x|+|y|)² =|x+y|² =x²+2|x||y|+y² = (x+y)² =x²+2xy+y²⇒ cancelando os termos comuns em ambos lados segue que

|x||y|=x.y

como |xy|≥0 ent˜ao o mesmo segue para x.y.

⇐).

Suponha agora que x.y≥ 0, ent˜ao x e y possuem o mesmo sinal ou pelo menos um deles ´e nulo .

Se possuem o mesmo sinal, digamos positivo, temos que

|x|+|y|=x+ye|x+y|=x+y.

Se ambos possuem o sinal negativo, ent˜ao

|x|+|y|= −x−ye|x+y|= −x−y,

ent˜ao vale a igualdade . Agora se um dos elementos for nulo, digamos x = 0 sem perda de generalidade, ent˜ao

|x|+|y|=|y|e|x+y|=|y|, ent˜ao vale a igualdade, como quer´ıamos demonstrar.

b

Propriedade 14. Se x+y=z+we |z−w|≥|x−y|ent˜ao vale que x.y≥z.w.

ê Demonstra ¸c ˜ao. De |z−w|≥|x−y| elevando ao quadrado, tem-se z²−2wz+w² ≥x²−2xy+y²

elevando ao quadrado a identidade x+y=z+w, seguem tamb´em que

x²+2xy+y² =z²+2zw+w² (1.1) podemos usar essa identidade na desigualdade anterior pois podemos escrever

z²+2wz+w²−4wz≥x²+2xy+y²−4xy cancelando os termos iguais de ambos lados dados por (1.1), segue

−4wz≥−4xy ⇒xy≥wz como quer´ıamos demonstrar.

1.1.1 Desigualdade triangular

b

Propriedade 15. |a|≤b⇔−b≤a≤b.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

• ⇒). Se |a|≤b , vale −b≤−|a| e da´ı

−b≤−|a|≤a≤|a|≤b ent˜ao −b≤a≤b.

• ⇐).Se −b≤a≤b ent˜ao a≤b e −b≤a⇒−a≤b, portanto |a|≤b.

b

Propriedade 16 (Desigualdade triangular).

|a+b|≤|a|+|b|

para quaisquer a e b reais.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Sabemos que vale

a.b ≤|ab|=|a||b|. Multiplicando por 2 e somando a²+b² em ambos lados

a²+2ab+b²= (a+b)² ≤a²+2|a||b|+b² =|a|²+2|a||b|+|b|² = (|a|+|b|)² logo (|a+b|)² ≤(|a|+|b|)² de onde segue usando a propriedade anterior

|a+b|≤|a|+|b|.

ê Demonstra ¸c ˜ao.[2] Valem as desigualdades

−|a|≤a≤|a|, −|b|≤b≤|b| somando ambas

−(|b|+|a|)≤a+b≤|b|+|a| que equivale `a

|a+b|≤|a|+|b|.

ê Demonstra ¸c ˜ao.[3] Sabemos que vale sempre x ≤ |x| e y ≤ |y| ent˜ao x+y ≤

|x|+|y|, da´ı se 0≤x+y temos

|x+y|=x+y≤|x|+|y|.

Vale tamb´em que −x≤|x| e −y≤|y|ent˜ao se x+y < 0 segue|x+y|= −(x+y)≤

|x|+|y|. Em qualquer dos casos temos |x+y|≤|x|+|y|.

$

Corol ´ario 4. Na desigualdade triangular

|a+b|≤|a|+|b| tomando a=x−y , b=y−z segue

|x−z|≤|x−y|+|y−z|

b

Propriedade 17 (Idempotˆencia).

||a||=|a|

para qualquer a real.

ê Demonstra ¸c ˜ao. |a|=b, com b≥0, logo |b|=b=|a|=||a||.

b

Propriedade 18.

||a|−|b||≤|a−b|.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Pela desigualdade triangular temos que

|a|≤|a−b|+|b| logo |a|−|b|≤|a−b| tem-se tamb´em que

|b|≤|a−b|+|a|⇒|b|−|a|= −

|a|−|b|

≤|a−b|⇒−|a−b|≤|a|−|b| juntando as duas desigualdades

−|a−b|≤|a|−|b|≤|a−b|

que implica

||a|−|b||≤|a−b|.

b

Propriedade 19. |a−b|< ε ⇒|a|<|b|+ε.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Partindo da desigualdade |a−b|< ε, somamos |b| a ambos lados

|a−b|+|b|< ε+|b| e usamos agora a desigualdade triangular

|a|≤|a−b|+|b|< ε+|b| da´ı segue

|a|≤ε+|b|.

Da mesma forma vale se |a−b| < ε ent˜ao |b| ≤ ε+|a| ⇒ |b|−ε ≤ |a| e com

|a|≤ε+|b|. temos

|b|−ε≤|a|≤ε+|b|.

Vimos que |a−b|< ε implica |a|<|b|+ε, mas como a≤|a| segue a < |b|+ε.

$

Corol ´ario 5. |x−y|≤|x|+|y|, pois da desigualdade triangular e de |y|=|−y| tem-se

|x−y|≤|x|+|−y|=|x|+|y|.

1.1.2 max (x, y) = x + y + | x − y |

2 e min (x, y) = x + y − | x − y |

2 .

b

Propriedade 20.Vale max(x, y) = x+y+|x−y|

2 e min(x, y) = x+y−|x−y|

2 .

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se x ≥ y ent˜ao x−y =|x−y| da´ı x+y+x−y

2 = x como

vale max(x, y) +min(x, y) =x+y ent˜ao min(x, y) = x+y−|x−y|

2 .

1.2 Equa ¸c ˜ oes Envolvendo M ´odulo

$

Corol ´ario 6. Diretamente da defini¸c˜ao podemos concluir que

|f(x)|=f(x)⇔f(x)≥0

pois se fosse f(x)<0 ent˜ao −f(x) =f(x) e da´ı f(x) =0 o que ´e absurdo.

Z

^{Exemplo 2.} Quais s˜ao os valores de x tal que |3x −2| = 3x −2 ? pelo resultado anterior 3x−2 ≥0 ⇔x≥ 2

3.

Z

^{Exemplo 3. Se |x| = |y| ent˜ao x = y ou x = −y.} Isso segue do fato que

|x| = |y| implica, elevando ao quadrado, que |x|² = |y|² da´ı x² =y² e x²−y² = 0 de onde segue fatorando (x−y)(x+y) =0 e portanto x =y ou x= −y, pois um dos fatores deve ser zero.

1.3 Desigualdades com m ´odulo

b

Propriedade 21. Vale a desigualdade

|aⁿ−bⁿ|≤nMⁿ⁻¹|a−b| onde M=max{|a|,|b|}.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale aⁿ−bⁿ = (a−b) Xn−1 k=0

a^kb^n−1−k, tomando o m´odulo em ambos lados segue

|aⁿ−bⁿ|=|(a−b)||

Xn−1 k=0

a^kb^n−1−k|≤|(a−b)| Xn−1

k=0

|a|^k|b|^n−1−k≤|(a−b)| Xn−1 k=0

|M|^k|M|^n−1−k da´ı

|(a−b)|≤|a−b|nMⁿ⁻¹ .

1.3.1 | a − b | ≤ | a − b | .

b

Propriedade 22. Sejam a≥0, b≥0 ent˜ao

|aⁿ¹ −bⁿ¹|≤|a−b|ⁿ¹

ê Demonstra ¸c ˜ao. Supondo a≥b , definindo c=aⁿ¹ e d=bⁿ¹, ent˜ao c−d≥0 por expans˜ao binomial tem-se

cⁿ = ((c−d) +d)ⁿ = Xn

k=0

n k

(c−d)^kd^n−k≥dⁿ+ (c−d)ⁿ ≥0 da´ı cⁿ−dⁿ ≥(c−d)ⁿ ≥0 implicando

|a−b|≥|aⁿ¹ −bⁿ¹|ⁿ e da´ı

|aⁿ¹ −bⁿ¹|≤|a−b|ⁿ¹.

b

Propriedade 23. Suponha (b_n) n˜ao crescente com b_n≥0. Se

m≤ Xn

k=1

ak≤M

ent˜ao

b₁m ≤ Xn

k=1

a_kb_k ≤b₁M.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vamos usar a soma por partes Xn

k=1

g(k)∆f(k) =f(n+1)g(n+1) −f(1)g(1) − Xn

k=1

f(k+1)∆g(k)

tomando g(k) =b_k e ∆f(k) =a_k tem-se f(n) = Xn−1

k=1

a_k da´ı Xn

k=1

b_ka_k=b(n+1) Xn

k=1

a_k− Xn

k=1

( Xk

s=1

a_s)∆b_k

b(n+1) Xn

k=1

a_k+ Xn

k=1

( Xk

s=1

a_s)(−∆b_k)

como m ≤ Xn

k=1

a_k ≤ M podemos multiplicar por b_n+1 de ambos lados sem alterar a desigualdade, da´ı

1.3.2 | X

b

k=a

g(k) | ≤ X

b

k=a

| g(k) | .

b

Propriedade 24 (Desigualdade triangular generalizada). Sejam g(k) definida para k inteiro ,a, b∈Z, ent˜ao vale

| Xb k=a

g(k)|≤ Xb k=a

|g(k)|.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Para cada k vale

−|g(k)|≤g(k)≤|g(k)| aplicando o somat´orio em ambos lados segue

− Xb k=a

|g(k)|≤ Xb

k=a

g(k)≤ Xb

k=a

|g(k)|

que implica

| Xb k=a

g(k)|≤| Xb k=a

|g(k)||= Xb k=a

|g(k)|

pois os termos |g(k)| somados s˜ao n˜ao negativos ,logo a soma desses termos ´e n˜ao- negativa e o m´odulo da soma ´e igual a soma.

b

Propriedade 25. A identidade que provamos acima vale para n ´umeros reais, vamos provar agora por indu¸c˜ao que se vale |z+w|≤|z|+|w| para quaisquer z, w ent˜ao vale

| Xn

k=1

z_k|≤ Xn

k=1

|z_k|

de maneira que possa ser usada para n ´umeros complexos , normas e outras estru- turas que satisfazem a desigualdade triangular.

ê Demonstra ¸c ˜ao.[2] Por indu¸c˜ao sobre n, para n=1 tem-se

| X1

k=1

z_k|=|z₁|≤ X1

k=1

|z_k|=|z₁| logo vale. Supondo a validade para n

| Xn

k=1

zk|≤ Xn

k=1

|zk|

vamos provar para n+1

| Xn+1

k=1

z_k|≤ Xn+1

k=1

|z_k|.

Da hip´otese da indu¸c˜ao somamos |z_n+1| em ambos lados, logo

| Xn+1

k=1

z_k|=|z_n+1+ Xn

k=1

z_k|≤|z_n+1|+| Xn

k=1

z_k|≤ Xn+1

k=1

|z_k|

Vejamos outras¹ demonstra¸c˜oes da desigualdade triangular ê Demonstra ¸c ˜ao.[3] Vale

( Xn

k=1

a_k)² = Xn

k=1

a²_k+X

k6=j

a_ka_j

da´ı

( Xn

k=1

|a_k|)² = Xn

k=1

|a_k|²+X

k6=j

|a_ka_j|= Xn

k=1

a²_k+X

k6=j

|a_ka_j| como |a_k.a_j|≥a_ka_j ent˜ao X

k6=j

|a_ka_j|≥X

k6=j

a_ka_j, disso segue que

( Xn

k=1

|a_k|)² ≥ Xn

k=1

a²_k+X

k6=j

a_ka_j = ( Xn

k=1

a_k)² disso segue que

( Xn

k=1

|a_k|)² ≥(| Xn

k=1

a_k|)² logo

Xn k=1

|a_k|≥| Xn

k=1

a_k|.

1Essas demonstra¸c˜oes aprendi com Pedro Kenzo, obrigado por compartilhar as solu¸c˜oes.

ê Demonstra ¸c ˜ao.[4] Vale |a−b| ≤ |a|+|b| de (a_k)ⁿ₁ sejam (a_k)ⁿ_j+1 os termos negativos da sequˆencia, ent˜ao podemos escrever

| Xn

k=1

a_k|=| Xj

k=1

|a_k|

| {z }

a

− Xn k=j+1

|a_k|

| {z }

b

|≤|a|+|b|

pois Xj

k=1

|a_k| = Xj

k=1

a_k os termos s˜ao n˜ao negativos e Xn k=j+1

|a_k| = − Xn k=j+1

a_k da´ı vale a igualdade acima portanto

| Xn

k=1

a_k|≤| Xn

k=1

|a_k||+| Xn k=j+1

|a_k||= Xn

k=1

|a_k|.

1.3.3 Valor absoluto de n ´umeros complexos

m

Defini ¸c ˜ao 2 (Valor absoluto-m´odulo). Definimos o valor absoluto ou m´odulo de um n ´umero complexo z=x+yi como

|z|=p

x²+y².

$

Corol ´ario 7. O m´odulo de n´umeros complexos abrange o de n´umeros reais, pois se z =a+0.i ent˜ao |z|=p

a²+0²=

√

a² =|a|=|z|.

$

Corol ´ario8. Sendoz=a+bient˜ao|iz|=|z|pois|i.z|=|ia−b|=p

a²+ (−b)² = pa²+ (b)² = |z|. Vale tamb´em que |− iz| = |z| pois |− i.z| = |− ia + b| = p(−a)²+ (b)² =p

a²+ (b)² =|z|. Em especial |i|=|−i|=1.

$

Corol ´ario 9. Vale tamb´em |−z| = |z| pois z = a+bi, −z = −a−bi e da´ı

|−z|=p

(−a)²+ (−b)² =p

a²+b².

b

Propriedade 26 (Idempotˆencia).

||z||=|z|. ê Demonstra ¸c ˜ao.

|z|=p

a²+b² e como p

a²+b² ´e positivo real, ent˜ao |p

a²+b²|=p

a²+b²

|p

a²+b²|= q

(p

a²+b²)² =p

a²+b².

b

Propriedade 27. Valem as propriedades

Rez ≤|Rez|≤|z|e Imz≤|Imz|≤|z|.

Seja z =a+bi, valem as desigualdades a² < b² +a² e b² < a² +b², tomando a raiz de ambos lados segue |a|<p

b²+a² e |b|<p

b²+a² , ent˜ao Rez≤|Rez|≤|z|eImz≤|Imz|≤|z|

pois Rez=a Imz=b e as desigualdades Rez≤|Rez| e Imz≤|Imz| s˜ao igualdade conhecidas de m´odulo de um n´umero real.

b

Propriedade 28.

|z|² =z.z.

$

Corol ´ario 10. Se z6=0 ent˜ao 1 z = z

|z|².

ê Demonstra ¸c ˜ao. |z|²=a²+b² e z.z= (a+bi)(a−bi) =a²+b², ent˜ao vale a igualdade.

b

Propriedade 29.

|z|=|z|.

ê Demonstra ¸c ˜ao. z = a +bi ent˜ao |z| = p

a²+b² e z = a −bi implica

|z|=p

a²+ (−b)²=p

a²+b² .

b

Propriedade 30. |z.w|=|z| |w|

ê Demonstra ¸c ˜ao. Sendoz =a+bi,w=x+yient˜aoz.w= (ax−by)+(ay+bx)i da´ı|zw|=p

(ax−by)²+ (ay+bx)² =p

a²x²−2axby+b²y²+a²y²+2aybx+b²x² = pa²x²+b²y²+a²y²+b²x² e

|z||w|=p

a²+b²p

x²+y² =p

(a²+b²)(x²+y²) =p

a²x²+a²y²+b²x²+b²y² logo |z||w|=|zw|.

$

Corol ´ario 11. Se z 6= 0 ent˜ao |1| = 1 = |z

z| = |z|.|1

z| da´ı |1 z| = 1

|z|. O mesmo valendo para z, essas propriedades implicam que

|w|

|z| =|w z|

w z = w

z.

b

Propriedade 31.

Yn k=1

|zk|=| Yn

k=1

zk|.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c˜ao sobre n. Para n = 1 vale, supondo para n, vamos provar para n+1.

| Yn

k=1

z_k|=|( Yn

k=1

z_k)z_n+1|=| Yn

k=1

z_k||z_n+1|= Yn

k=1

|z_k|.|z_n+1|=| Yn+1

k=1

z_k|.

$

Corol ´ario 12. wz=wz pois wz=w z=wz.

$

Corol ´ario 13. 2Re z.w=z.w+z.w=z.w+wz.

$

Corol ´ario 14. |z+w|² =|z|²+2Re z.w+|w|² pois

|z+w|² = (z+w)(z+w) = (z+w)(z+w) =z.z+z.w+zw+w.w=

=|z|²+2Re z.w+|w|².

$

Corol ´ario 15 (Desigualdade triangular). Como Re z.w≤|z.w| ent˜ao

|z|²+2Re z.w+|w|² ≤|z|²+2|z.w|+|w|² =|z|²+2|z|.|w|+|w|² = (|z|+|w|)². Ent˜ao tem-se

|z+w|² ≤(|z|+|w|)² implicando |z+w|≤|z|+|w|.

$

Corol ´ario 16. |z−w|≤|z|+|w| pois |−w|=|w| da´ı aplicamos a desigualdade triangular.

b

Propriedade 32. Se z=x+yi e w=a+bi ent˜ao z

w = ax+by

a²+b² +iay−bx a²+b² . ê Demonstra ¸c ˜ao.

z w =z 1

w = z.w

|2|² = ax+by

a²+b² +iay−bx a²+b².

b

Propriedade 33. |z|=0 sse z=0. ê Demonstra ¸c ˜ao. Se z =0 ent˜ao |z| = √

0 =0, se |z| = 0 ent˜ao |z|² = 0 e da´ı a²+b² =0, que s´o acontece quando a=b=0.

b

Propriedade 34. Se z=cosx+isenx para algum x ent˜ao |z|=1. ê Demonstra ¸c ˜ao. |z|=cos²x+sen²x=1.

b

Propriedade 35. Vale a desigualdade

||z_n|−|z||≤|z_n−z|.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por desigualdade triangular valem as desigualdades

|z_n|−|z|≤|z_n−z| e −|z_n|+|z|≤|z_n−z| ent˜ao

||zn|−|z||≤|zn−z|.

Z

^{Exemplo 4. Se z=reiθ ent˜ao |eiz|=e−rsen(θ). Vale}

iz=ir(cos(θ) +isen(θ)) =ircos(θ) −rsen(θ) ent˜ao

e^iz =e^ircos(θ)e^−rsen(θ) tomando o m´odulo

|e^iz|=|| {z }e^ircos(θ)|

=1

|e| {z }^−rsen(θ)

>0

|=e^−rsen(θ).

1.4 Norma

m

Defini ¸c ˜ao 3 (Espa¸co vetorial normado). Um espa¸co vetorial V ´e dito ser normado se para cada elemento v de V ´e associado um n ´umero real kvk tal que valem as propriedades:

1.

Positividade kvk=0 ⇔ v=0. 2.

Produto por constante kavk=|a|kvk.

3.

Desigualdade triangular ku+vk ≤ kuk+kvk.

sendo u ∈ V e a um escalar. Nesse caso dizemos que (V,k k) ´e um espa¸co vetorial normado.

b

Propriedade 36. Vale k−vk=kvk para todo v∈V.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

k−vk=|−1|kvk=kvk.

b

Propriedade 37. Vale kxk ≥0 para todo x ∈V. ê Demonstra ¸c ˜ao. Pela desigualdade triangular

ku+vk ≤ kuk+kvk tomando u=x e v= −x segue

kx−xk=0≤ kxk+k−xk=2kxk da´ı kxk ≥0.

b

Propriedade 38. Vale que

| ||x||−||y|| | ≤||x−y||, ∀x, y ∈V.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Pela desigualdade triangular, temos que

||x||≤||y||+||x−y||,

||y||≤||x||+||| {z }x−y||

=||y−x||

,

por isso temos que ||y||+||x−y||≥||x||−||y||.

m

Defini ¸c ˜ao 4. Seja V um espa¸co com produto interno h,i, definimos a norma (ou comprimento) de um vetor v em rela¸c˜ao a esse produto interno por

kvk:= p hv, vi.

m

Defini ¸c ˜ao 5. Se kvk = 1 v ´e chamado vetor unit´ario e dizemos que v est´a normalizado.

A seguir propriedades v´alidas para quaisquer v, w em um espa¸co vetorial V com produto interno e a∈R.

b

Propriedade 39. kvk ≥0 e kvk=0 sse v=0.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos

kvk=p hv, vi e como hv, vi ≥ 0 segue p

hv, vi ≥ 0 e hv, vi = 0 sse v = 0, segue p

hv, vi = 0 sse v=0.

b

Propriedade 40.

kavk=|a|kvk.

ê Demonstra ¸c ˜ao. kavk=p

hav, avi=p

a²hv, vi=|a|p

hv, vi=|a|kvk.

b

Propriedade 41 (Desigualdade de Schwarz). kwk kvk ≥|hv, wi|.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Para v=0 vale a igualdade, pois kvk=0 e h0, wi=0, ent˜ao seja v6=0, para qualquer t real vale

htv+w, tv+wi ≥0 logo

t²hv, vi+2thv, wi+hw, wi ≥0

(tentar ver potencia¸c˜ao de produtos internos) como hv, vi ´e sempre positivo, temos que ter o discriminante negativo, logo

4hv, wi²−4hv, vi hw, wi ≤0 donde segue

kwk kvk ≥|hv, wi|. Se hv, wi ≥0 temos

kwk kvk ≥ hv, wi se hv, wi<0 ainda temos

kwk kvk ≥ hv, wi pois a norma ´e um n´umero n˜ao negativo.

b

Propriedade 42. Vale a seguinte identidade

ku+vk²=kuk²+kvk²+2hu, vi.

ê Demonstra ¸c ˜ao. ku+vk² =p

hu+v, u+vi² =hu+v, u+vi=hu, ui+2hu, vi+hv, vi=

=kuk²+kvk²+2hu, vi.

b

Propriedade 43 (Desigualdade triangular).

kuk+kvk ≥ ku+vk Da identidade

ku+vk² =kuk²+kvk²+2hu, vi e da desigualdade

kuk kvk ≥ hu, vi

segue

ku+vk² =kuk²+kvk²+2hu, vi ≤ kuk²+kvk²+2kuk kvk= (kuk+kvk)² logo

(kuk+kvk)² ≥ ku+vk² de onde segue

kuk+kvk ≥ ku+vk.

1.4.1 Angulo entre dois vetores ˆ

A desigualdade de Schwarz nos possibilita definir ˆangulo entre vetores n˜ao nulo em um espa¸co vetorialV munido de um produto interno, da desigualdade de Schwarz temos

|hv, wi| kvk kwk ≤1 de onde temos se hv, wi<0

−hv, wi kvk kwk ≤1

hv, wi

kvk kwk ≥−1 e se hv, wi>0

hv, wi kvk kwk ≤1

logo

−1≤ hv, wi kvk kwk ≤1 portanto existe ˆangulo α em [0, π] tal que

cosα= hv, wi kvk kwk.

b

Propriedade 44. Se v⊥w, temos hv, wi = 0 logo cosα = 0 em [0, π] ent˜ao α=π/2, isto ´e , se os vetores s˜ao ortogonais ent˜ao ˆangulo entre eles ´e de π/2.