Teoremas do Ponto Fixo
Adson Melo
∗e Teles Fernandes
†Universidade Federal do Paran´
a, Brasil
Maio 23, 2015
Resumo
Dado um conjunto X e uma fun¸c˜ao f : X −→ X dizemos que x0 ∈ X ´e
um ponto fixo de f se f (x0) = x0. Quais condi¸c˜oes sobre X e f garantem
existˆencia de ponto fixo? Neste trabalho, veremos que algumas condi¸c˜oes em X e f garantem existˆencia de ponto fixo. Essas condi¸c˜oes estabelecem os seguintes teoremas: teorema do ponto fixo de Banach, teorema do ponto fixo de Brouwer, teorema do ponto fixo de Caristi, teorema do ponto fixo de Tychonoff e o teorema do ponto fixo de Schauder, tais teoremas s˜ao os objetos de estudos desse artigo.
1
Introdu¸
c˜
ao
Iniciaremos esse trabalho com a se¸c˜ao Teoremas do Ponto Fixo onde demostraremos
o teorema do ponto fixo de Banach que ´e uma importante ferramenta na teoria
de espa¸cos m´etricos devido as suas aplica¸c˜oes, por exemplo, na prova do teorema
de existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais, tamb´em demonstrado
nesse artigo. Veremos que, diferentemente de outros teorema do ponto fixo, o teorema
do ponto fixo de Banach al´em de mostrar a existˆencia de ponto fixo garante unicidade
e constr´oi esse ponto fixo. Enunciaremos o teorema do ponto fixo de Brouwer o qual
´
e o ponto de partida para a demonstra¸c˜ao do teorema do ponto fixo de Schauder.
Al´em disso, aplicaremos o teorema de Brouwer para provar o teorema fundamental
da ´Algebra. Ainda nessa se¸c˜ao, vamos provar o teorema do ponto fixo de Caristi,
como poder´a ser visto, esse teorema segue diretamente do princ´ıpio variacional de
Ekeland, que tamb´em ser´a demonstrado. Enunciaremos o teorema do ponto fixo de
Tychonoff que ´e uma generaliza¸c˜ao do teorema do ponto do ponto fixo de Brouwer
∗Doutorando em Matem´atica †Doutorando em Matem´atica
e de Schauder j´a que o espa¸co euclidiano n dimensional e os espa¸cos de Banach s˜ao
espa¸cos vetoriais topologicamente convexos. Para finalizar a se¸c˜ao Teoremas do Ponto
Fixo, iremos demonstrar o teorema do ponto fixo de Schauder usando uma sequˆencia
de pontos fixos garantida pelo teorema do ponto fixo de Brouwer. Seguiremos com
a se¸c˜ao conclus˜ao onde faremos alguns coment´arios gerais sobre nosso ponto de vista
na escrita desse artigo.
2
Teoremas do Ponto Fixo
Com o objetivo de motivarmos a id´eia de ponto fixo, segue um exemplo:
Seja f : [a, b] −→ [a, b] cont´ınua queremos mostrar que existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = c.
De fato, defina φ : [a, b] −→ R tal que φ(x) = x − f (x). Note que φ ter uma ra´ız
equivale ao fato de f ter um ponto fixo. ´E f´acil ver que φ(a) ≤ 0 ≤ φ(b). Logo pelo
teorema do valor intermedi´ario, existe c ∈ [a, b] tal que φ(c) = 0, ou seja, f (c) = c.
A intesec¸c˜ao do gr´afico de f com a reta y = x determina um ponto fixo de f .
Agora provaremos que ponto fixo ´e uma propriedade topol´ogica. Formalmente,
queremos dizer que:
Proposi¸c˜ao 2.1. Seja X e Y espa¸cos topol´ogicos homeomorfos e f : X → X uma
fun¸c˜ao cont´ınua que possui ponto fixo, ent˜ao existe uma fun¸c˜ao g : Y −→ Y cont´ınua
que possui ponto fixo.
Demonstra¸c˜ao. Considere
g : Y −→ Y dada por
g = h ◦ f ◦ h−1,
Note que g ´e cont´ınua pois ´e composta de fun¸c˜oes cont´ınuas. Seja x0 ∈ X um
ponto fixo de f . Escolha y0 = h(x0) e veja que,
g(y0) = h ◦ f ◦ h−1(y0)
= h ◦ f (x0)
= h(x0)
= y0
O que mostra que y0 ´e ponto fixo de g.
2.1
Teorema do Ponto Fixo de Banach
Nesta se¸c˜ao veremos o teorema do ponto fixo de Banach o qual estabelece que uma
contra¸c˜ao definida num espa¸co m´etrico completo possui um ´unico ponto fixo.
Defini¸c˜ao 1. Seja X um conjunto n˜ao vazio. Uma m´etrica em X ´e uma aplica¸c˜ao
d : X × X −→ [0, ∞) tal que para todo x, y e z ∈ X: (i) d(x, y) ≥ 0,
(ii) d(x, y) = 0 se, e somente se, x = y, (iii) d(x, y) = d(y, x),
(iv) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Um espa¸co m´etrico ´e um conjunto X munido de uma m´etrica d. Escrevemos (X, d)
para denotar que X ´e um espa¸co m´etrico munido da m´etrica d.
Defini¸c˜ao 2. Um espa¸co m´etrico (X, d) ´e completo se para toda sequˆencia de Cauchy
(X, d) existe x ∈ X tal que d(xn, x) → 0 quando n → ∞.
Os espa¸cos vetoriais normados s˜ao exemplos de espa¸cos m´etricos, pois toda norma
define uma m´etrica, ou seja, se X ´e um espa¸co normado n˜ao vazio, a fun¸c˜ao d :
X × X −→ [0, ∞) dada por d(x, y) =k x − y k ´e uma m´etrica em X. Em especial os
espa¸cos de Banach que ´e definido como um espa¸co vetorial normado completo ´e um
espa¸co m´etrico.
Em seguida provaremos o teorema do ponto fixo de Banach, para isso definimos contra¸c˜ao:
Defini¸c˜ao 3. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico. Diz-se que uma aplica¸c˜ao f : X −→ X
´
e uma contra¸c˜ao se existe λ ∈ [0, 1) tal que
Teorema 2.2. (Ponto Fixo de Banach) Seja (X, d) um espa¸co m´etrico completo e f : X −→ X uma contra¸c˜ao, ent˜ao f tem ´unico ponto fixo.
Demonstra¸c˜ao. Seja x0 ∈ X. Defina x1 = f (x0) e xn+1 = f (xn). Provaremos que
{xn}n∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy. Para tal, primeiro mostremos por indu¸c˜ao que
existe λ ∈ [0, 1) tal que
d(xn+1, xn) ≤ λnd(x1, x0), ∀n ∈ N.
De fato, como f ´e uma contra¸c˜ao, existe 0 ≤ λ < 1 tal que:
d(xn+1, xn) = d(f (xn), f (xn−1))
≤ λd(xn, xn−1),
o que j´a implica a f´ormula de indu¸c˜ao para n = 1. Supondo a f´ormula para n = k,
da ´ultima desigualdade, temos:
d(xk+2, xk+1) ≤ λd(xk+1, xk)
≤ λλkd(x1, x0)
= λk+1d(x1, x0),
o que prova a f´ormula desejada.
Dados m ≥ n, temos portanto:
d(xm, xn) ≤ (λn+ ... + λm−1)d(x1, x0) ≤ ( +∞ X i=n λi)d(x1, x0) = λ n 1 − λd(f (x0), x0).
J´a que λ ∈ [0, 1) temos que λ
n
1 − λ → 0 quando n → ∞. Isto prova que xn ´e uma
sequˆencia de Cauchy, sendo X completo tal sequˆencia converge, digamos para p ∈ X.
Afirmamos que p ´e um ponto fixo de f. Realmente,
f (p) = f ( lim n→∞xn) = lim n→∞f (xn) = lim n→∞xn+1 = p.
Note que a segunda igualdade acima se d´a porque toda contra¸c˜ao ´e cont´ınua.
Agora resta verificar que p ´e o ´unico ponto fixo de f . Isso segue-se pois, se p, q ∈ X
s˜ao pontos fixos de f, temos:
d(p, q) = d(f (p), f (q)) ≤ λd(p, q)
Isto implica que (1−λ)d(p, q) ≤ 0, ou seja, d(p, q) = 0 e, portanto, p = q, findando a prova.
A seguir daremos algumas importantes aplica¸c˜oes desse teorema. A primeira
delas verifica a n˜ao singularidade de uma matriz e a segunda ´e a demonstra¸c˜ao do
teorema de Picard para existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais.
Al´em disso, o teorema do ponto fixo de Banach permite a constru¸c˜ao da solu¸c˜ao da
equa¸c˜ao diferencial.
Agora, suponhamos que se pretenda resolver a equa¸c˜ao diferencial
x0(t) = f (t, x(t)),
com condi¸c˜ao inicial
x(0) = x0.
Em alguns casos podemos garantir existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao de uma
equa¸c˜ao diferencial. Por´em, muitas vezes n˜ao ´e poss´ıvel determinar a solu¸c˜ao. A
seguir, veremos que o teorema do ponto fixo de Banach pode ser aplicado para
ga-rantir existˆencia, unicidade e a constru¸c˜ao da solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao diferencial.
Note que resolver a equa¸c˜ao acima, com a condi¸c˜ao inicial dada, equivale a resolver
a seguinte equa¸c˜ao integral
x(t) = x0+
Z t
0
f (s, x(s))ds.
Logo, o problema inicial ser´a resolvido se a fun¸c˜ao F (x)(t) = x0+
Rt
0 f (s, x(s))ds
pos-suir ponto fixo. Dessa forma, naturalmente voltamos nossas aten¸c˜oes para o teorema
do ponto fixo de Banach. Para tanto, devemos criar condi¸c˜oes sobre F para garantir
que F possua ponto fixo.
Defini¸c˜ao 4. Sejam (X, dX) e (Y, dY) dois espa¸cos m´etricos, f : U ⊂ R × X −→ Y e
k ∈ R+. Dizemos que a fun¸c˜ao f ´e lipschitiz com rela¸c˜ao `a segunda vari´avel se,
Teorema 2.3. (Picard) Sejam X um espa¸co de Banach e f : [t0 − a, t0 + a] ×
B(x0, r) ⊂ R × X −→ X uma fun¸c˜ao cont´ınua, limitada e lipschitiz em rela¸c˜ao `a
segunda vari´avel. Ent˜ao existe ´unica solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao x0(t) = f (t, x(t)), com
condi¸c˜ao inicial x(t0) = x0definida no intervalo [t0−α, t0+α], onde α = M in
n a, r M o e M = supnkf (t, x)k ; (t, x) ∈ [t0− a, t0+ a] × B(x0, r) o .
Demonstra¸c˜ao. Considere o espa¸co vetorial C0 = {ψ : [t
0− α, t0+ α] −→ X; ψ ´e cont´ınua}
dotado da norma uniforme (kψk = sup {kψ(x)k ; x ∈ [t0− α, t0 + α]}). ´E fato bem
conhecido da an´alise que C0 ´e um espa¸co de Banach (isto ´e, normado completo). Seja
C = nψ : [t0− α, t0+ α] −→ B(x0, r); ψ(t0) = x0
o
⊂ C0. Note que C ´e subespa¸co
fechado de C0.
C ´e claramente subespa¸co logo resta mostrar que C ´e fechado. Para demonstrar
isso, vamos mostrar que C0 − C ´e aberto. Seja ψ0 ∈ C0 − C ent˜ao ψ0(t0) 6= x0,
definindo d = k ψ0(t0) − x0 k
2 6= 0 temos que ψ0 ∈ U = {ψ ∈ C; k ψ(t) − ψ0(t) k<
d, ∀[t0− α, t0+ α]} pois k ψ0(t) − ψ0(t) k= 0 < d. Como U ´e uma bola aberta em C0
(logo ´e um aberto), para mostrar a afirma¸c˜ao basta mostrar que U ⊂ C0− C. Seja
φ ∈ U ent˜ao k φ(t) − ψ0(t) k< d para todo t ∈ [t0− α, t0+ α]. Caso φ ∈ C teremos
φ(t0) = x0 em particular para t = t0 teremos,
k φ(t0) − ψ0(t0) k< d =
k φ(t0) − ψ0(t0) k
2
Absurdo, logo φ /∈ C.
J´a que C ´e um fechado em C0 que ´e um espa¸co de Banach temos que C ´e um
espa¸co m´etrico completo. Definamos portanto a aplica¸c˜ao F : C −→ C dada por
F (ψ)(t) := x0+
Z t
t0
f (s, ψ(s))ds. Temos portanto:
(i) F est´a bem definida. De fato, F (ψ) ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua se ψ o ´e. Al´em
disso, se ψ ∈ C, kF (ψ)(t) − x0k = Rt t0f (s, ψ(s))ds ≤ M |t − t0| ≤ b, o que
quer dizer que a imagem da aplica¸c˜ao F (ψ) est´a contida em B(x0, r), se ψ ∈ C.
Logo, leva aplica¸c˜oes em C em aplica¸c˜oes em C.
(ii) Existe n0 ∈ N tal que Fm ´e uma contra¸c˜ao, para todo m > n0. De fato, seja
provaremos que para todo m ∈ N, kFm(φ 1)(t) − Fm(φ2)(t)k ≤ km m! kt − t0k m d(φ1, φ2), ∀φ1, φ2 ∈ C.
Realmente, para m=1, temos:
kF (φ1)(t) − F (φ2)(t)k ≤ Z t t0 kf (s, φ1(s)) − f (s, φ2(s))k ds ≤ Z t t0 kd(φ1, φ2)ds ≤ k kt − t0k d(φ1, φ2).
Assumindo a hip´otese de indu¸c˜ao v´alida para um certo m ∈ N, temos:
Fm+1(φ1)(t) − Fm+1(φ2)(t) = kF (Fm(φ1)(t)) − F (Fm(φ2)(t))k ≤ Z t t0 kF (s, Fm(φ 1(s))) − F (s, Fm(φ2(s)))k ds ≤ Z t t0 k kFm(φ1(s)) − Fm(φ2(s))k ds ≤ k Z t t0 km m! ks − t0k m d(φ1, φ2)ds ≤ k m+1 m! Z t to ks − t0k m d(φ1, φ2)ds ≤ k m+1 m! kt − t0k m+1 m + 1 d(φ1, φ2) ≤ k m+1 (m + 1)! kt − t0k m+1 d(φ1, φ2),
o que conclui a indu¸c˜ao.
Visto que kt − t0k ≤ α, temos que
d(Fm+1(φ1), Fm+1(φ1)) ≤
kmαm
m! d(φ1, φ2).
Como o fatorial domina qualquer exponencial, temos que fixado 0 < η < 1, existe
n0 tal que
kmαm
m! < η, para todo m ≥ n0. Portanto, m ≥ n0, F
m ´e uma contra¸c˜ao,
Como C ´e espa¸co m´etrico completo e F ´e uma fun¸c˜ao de C em C, segue-se pelo
teorema 2.2que Fm possui ´uni co ponto fixo. Como p ´e ponto fixo de Fm, ele tamb´em
´
e o ´unico ponto fixo de F , pois
Fm(p) = p ⇒ F (Fm(p)) = F (p) ⇔ Fm(F (p)) = F (p).
Portanto F (p) tamb´em ´e ponto de Fm e como este ´e ´unico temos F (p) = p. J´a
que todo ponto fixo de F ´e tamb´em de Fm, segue-se que F s´o possui este ponto fixo.
Como visto no ´ınicio da demonstra¸c˜ao isto equivale a existˆencia de uma ´unica solu¸c˜ao
para equa¸c˜ao diferencial x0(t) = f (t, x(t)), com condi¸c˜ao inicial x(0) = x0.
Agora vamos construir a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao diferencial x0(t) = f (t, x(t)),
com condi¸c˜ao inicial x(0) = x0 usando o teorema do ponto fixo de Banach.
Considere a sequˆencia de fun¸c˜oes (xn(t))n∈N, chamada de sequˆencia de iterados
de Picard: x1(t) = x0; x2(t) = x0+ Z t 0 f (s, x1(s))ds; x3(t) = x0+ Z t 0 f (s, x2(s))ds; ... xn(t) = x0+ Z t 0 f (s, xn−1(s))ds.
Ent˜ao, pelo que foi visto no teorema de Picard, temos xn(t) → x(t) quando
n → ∞.
Exemplo 1. Considere a equa¸c˜ao diferencial x0(t) = x, tal que x(0) = 1.
Os itereados de Picard s˜ao:
x1(t) = x0 = 1; x2(t) = 1 + Z t 0 1ds = 1 + t = 1 X k=0 tk k!; x3(t) = 1 + Z t 0 (1 + s)ds = 1 + t +t 2 2 = 2 X k=0 tk k!; x4(t) = 1 + Z t 0 (1 + s + s 2 2)ds = 1 + t + t2 2 + t3 3 = 3 X k=0 tk k!.
Pode-se provar por indu¸c˜ao que xn(t) = n−1 X k=0 tk k! e, portanto, x(t) = lim n→∞xn(t); = lim n→∞ n−1 X k=0 tk k!; = et. ´
e a solu¸c˜ao de x0(t) = x com condi¸c˜ao inicial x(0) = 1.
Portanto, o teorema do ponto fixo de Banach n˜ao s´o nos fornece condi¸c˜oes
sufi-cientes para garantir a existˆencia e unicidade local da solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao
dife-rencial, assim como oferece um algoritmo para encontrar a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao
diferencial.
2.2
Teorema do Ponto Fixo de Brouwer
O teorema do ponto fixo de Brouwer tem uma fundamental aplica¸c˜ao na ´Algebra, a
saber: Teorema Fundamental da ´Algebra. Al´em dessa aplica¸c˜ao tamb´em podemos
citar o teorema de Perron que prova a existˆencia de um autovalor positivo de uma
matriz A caso a mesma tenha apenas entradas posisitivas.
Teorema 2.4. (Ponto Fixo de Brouwer) Seja X ⊂ Rn n˜ao vazio, compacto e
convexo e f : X −→ X cont´ınua, ent˜ao f tem ponto fixo.
Demonstra¸c˜ao. Esta demontra¸c˜ao pode ser encontrada em [7].
Teorema 2.5. (Fundamental da ´Algebra) Seja p(z) = anzn+ an−1zn−1 + ... +
a1z + a0 um polinˆomio com coeficientes em C de grau maior ou igual a unidade, ent˜ao
existe z0 ∈ C tal que p(z0) = 0.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, lembremos que C e R2 s˜ao isomorfos, desta forma
usaremos essa identifica¸c˜ao, sem maiores detalhes no decorrer da demonstra¸c˜ao.
Po-demos supor, sem perda de generalidade, que an= 1. Seja r = 2 + |a0| + |a1| + ... +
|an−1| . Defina g : C −→ C, g(z) = z − p(z) r e i(1−n)θ, |z| ≤ 1, z −p(z) r z (1−n), |z| > 1
Agora note que g ter ponto fixo equivale ao polinˆomio p ter uma ra´ız pois r e ei(1−n)θ
s˜ao n˜ao nulos. Considere X = {z ∈ C; |z| ≤ r}, X ´e claramente um subconjunto
(i) Se |z| ≤ 1, ent˜ao |g(z)| = z − p(z) r e i(1−n)θ ≤ |z| + p(z) r ≤ 1 + 1 + |a0| + |a1| + ... + |an−1| r ≤ 1 + r r ≤ 2 ≤ r. (ii) Se 1 ≤ |z| ≤ r, ent˜ao |g(z)| = z − p(z) rzn−1 = z − z r − a0 + a1z + ... + an−1zn−1 rzn−1 ≤ |z| + z r + a0+ a1z + ... + an−1zn−1 rzn−1 ≤ r − 1 + |a0| + |a1| + ... + |an−1| r ≤ r − 1 + r − 2 r ≤ r.
Note que g ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em X pois se |z| < 1 ou |z| > 1, g ´e claramente
cont´ınua. Para |z| = 1 ´e f´acil ver que, se pormos z = ρeiθ temos
lim |z|→1+g(z) = lim|z|→1−g(z) = g(z) = e iθ− p(e iθ) r e iθ(1−n).
Pelo teorema 2.4 existe z0 ∈ C tal que g(z0) = z0 e, portanto, z0 ´e uma ra´ız de
p.
Teorema 2.6. (Perron) Seja A ∈ Rn×n uma matriz tal que aij > 0, ∀i, j = 1, ..., n.
Ent˜ao existe um autovalor de A positivo associado a um autovetor com coordenadas
Demonstra¸c˜ao. Seja X = {(x1, ..., xn) ∈ Rn; xi > 0 ∀i = 1, ..., n e
Pn
i=1x 2
i = 1}, ´e f´acil
ver que X ´e compacto e convexo. Defina f : X → X de modo que f (x) = kAxkAx . Note
que f est´a bem definida pois se x = (x1, ..., xn) ∈ X temos xj 6= 0 para algum j e
aij > 0 para todo i, j portanto Ax 6= 0 para todo x ∈ X. Aplicando o teorema 2.4, f
tem um ponto fixo x0. Dessa forma, f (x0) =
Ax0
kAx0k
= x0, ou seja, Ax0 = kAx0k x0 e,
portanto, x0 ´e um autovetor de A com coordenadas positivas e kAx0k ´e um autovalor
de A positivo associado a x0.
2.3
Teorema do Ponto Fixo de Caristi
O teorema do ponto fixo de Caristi segue do princ´ıpio variacional de Ekeland que provaremos a seguir. Para provar o princ´ıpio variacional de Ekeland precisamos da
defini¸c˜ao e do lema que seguem:
Defini¸c˜ao 5. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico e Y ⊂ X definimos o diam(Y) =
sup{d(x, y); x, y ∈ Y}
Lema 2.7. Seja (X, d) espa¸co m´etrico completo e Fn uma sequˆencia de subconjuntos
fechados n˜ao vazios de X tais que:
Fn+1 ⊂ Fn e diam(Fn) → 0 quando n → ∞.
Ent˜ao, existe um ´unico x ∈ X tal que
+∞
\
n=1
Fn = {x} .
Demonstra¸c˜ao. Para cada n ∈ N, escolha um ponto xn ∈ Fn. Mostraremos que a
sequˆencia {xn}n∈N assim definida ´e uma sequˆencia de Cauchy em X. Com efeito,
j´a que diam(Fn) → 0 quando n → ∞, dado > 0, existe n0 ∈ N suficientemente
grande, tal que diamFn0 < . Se n ≥ n0 e m ≥ n0, como Fn ⊂ Fn0 e Fm ⊂ Fn0, segue
que xn∈ Fn0 e xm ∈ Fn0, portanto
d(xn, xm) ≤ diamFn0 <
Logo, a sequˆencia {xn}n∈N ´e de Cauchy e como X ´e completo existe x ∈ X tal que
xn→ x quando n → ∞. Agora, como Fn+1⊂ Fnpara todo n ent˜ao Fn cont´em todos
os pontos da sequˆencia, exceto um n´umero finito deles e, sendo Fnfechado, segue que
x ∈ Fn para todo n, portanto x ∈
+∞
\
n=1
Fn. Resta verificar que x ´e ´unico.
Com efeito, suponha que y ∈
+∞
\
n=1
Fn, ent˜ao x, y ∈ Fn, para todo n. Assim,
A no¸c˜ao de semicontinuidade inferior de uma fun¸c˜ao e de rela¸c˜ao de ordem parcial
de um conjunto s˜ao necess´arias para provar o pr´oximo teorema.
Defini¸c˜ao 6. Uma rela¸c˜ao em um conjunto A ´e um subconjunto do produto cartesiano
A × A. Quando (x, y) ´e um elemento de uma rela¸c˜ao R, escrevemos xRy. Dizemos
que ≤ ´e uma rela¸c˜ao de ordem parcial em A quando:
(i) (Reflexiva) Para todo x ∈ A, temos x ≤ x.
(ii) (Antissimetria) Para todo x, y ∈ A, se x ≤ y e y ≤ x, ent˜ao x = y. (iii) (Transitividade) Para todo x, y, z ∈ A, se x ≤ y e y ≤ z, ent˜ao x ≤ z.
Defini¸c˜ao 7. Seja X um espa¸co topol´ogico. Diz-se que uma fun¸c˜ao f : X → R ´e
semicont´ınua inferiormente em x ∈ X se f (x) ≤ lim
n→∞inf {f (xn)} para toda sequˆencia
{xn}n∈N ⊂ X tal que xn → x. Caso f seja semicont´ınua inferiormente em todos os
pontos de X, dizemos que f ´e semicont´ınua inferiormente. ´
E f´acil ver que, se f ´e cont´ınua ent˜ao f ´e semicont´ınua inferiormente. Segue um
exemplo de fun¸c˜ao semicont´nua inferiormente que n˜ao ´e cont´ınia.
Exemplo 2.
f (x) =
x2 se x ∈ (−∞; 1],
−(x − 2)2+ 4 se x ∈ (1; +∞).
Seja {xn}n∈N ⊂ R tal que xn → x0 = 1. Caso xn > x0 para todo n ∈ N teremos
f (xn) = −(xn− 2)2+ 4 → 3 > 1 = f (x0). Se xn < x0, f (xn) = x2n → x20 = 1 ≥ 1 =
f (x0). Finalmente, para toda subsequˆencia de xn0 teremos xn0 → x0 e f (xn0) → 3 >
1 = f (x0) ou f (xn0) → 1 ≥ 1 = f (x0). Portanto 1 = f (x0) ≤ lim
n→∞inf {f (xn)}. Logo
f ´e semicont´ınua inferiormente em x0 mas n˜ao ´e cont´ınua em x0.
Teorema 2.8. (Princ´ıpio Variacional Ekeland)
Sejam (X, d) um espa¸co m´etrico completo e f : X → [0, +∞) uma fun¸c˜ao
semi-cont´ınua inferiormente. Se > 0 e x0 ∈ X ´e tal que f(x0) < inf {f (x); x ∈ X} + 2
ent˜ao, para todo λ > 0 existe xλ ∈ X satisfazendo:
(ii) d(xλ, x0) ≤ λ,
(iii) f (xλ) < f (x) +
λd(xλ, x), para todo x 6= xλ.
Demonstra¸c˜ao. Sejam x, y ∈ X. Para λ > 0 e > 0 considere dλ(x, y) =
d(x, y)
λ e
defina a rela¸c˜ao em X, como a seguir:
x ≤ y ⇔ f (x) ≤ f (y) − dλ(x, y)
Provaremos inicialmente que esta ´e uma rela¸c˜ao de ordem parcial. De fato,
• Reflexiva: Para x ∈ X, tem-se
f (x) ≤ f (x) ⇔ f (x) ≤ f (x) − dλ(x, x)
⇔ x ≤ x.
• Antissim´etrica: Se x ≤ y e y ≤ x, ent˜ao
f (x) ≤ f (y) − dλ(x, y) e f (y) ≤ f (x) − dλ(y, x)
Portanto,
f (x) + f (y) ≤ f (x) + f (y) − 2dλ(x, y)
⇔ 2dλ(x, y) ≤ 0.
Logo, dλ(x, y) = 0, de onde segue que x = y.
• Transitiva: Se x ≤ y e y ≤ z, ent˜ao
f (x) ≤ f (y) − dλ(x, y) e f (y) ≤ f (z) − dλ(y, z).
Portanto,
f (x) ≤ f (z) − (dλ(x, y) + dλ(y, z))
≤ f (z) − dλ(x, z).
Agora vamos mostrar que existe uma sequˆencia de subconjuntos {Sn} ⊂ X que
cumpre as hip´oteses do lema 2.7.
Com o mesmo dado acima, da defini¸c˜ao de ´ınfimo, existe x0 ∈ X tal que
f (x0) < inf {f (x); x ∈ X} +
2. Assim, tome u1 = x0 e defina S1 = {u ∈ X; u ≤ u1}.
Observe que S1´e n˜ao vazio j´a que a rela¸c˜ao de ordem parcial ´e reflexiva, logo, u1 ∈ S1.
Tome u2 ∈ S1tal que f (u2) ≤ inf {f (x); x ∈ S1}+
22 e defina S2 = {u ∈ X; u ≤ u2}.
Analogamente, tem-se S2 n˜ao vazio. Admitindo-se que Sn esteja definido, tomemos
un+1 ∈ Sn tal que
f (un+1) ≤ inf {f (x); x ∈ Sn} +
2n+1
e defina Sn+1= {u ∈ X; u ≤ un+1} de modo an´alogo.
Afirmamos os seguintes fatos:
• Sn ´e fechado para todo n.
Suponha (yk)k∈N ⊂ Sn com yk→ y logo f (yk) ≤ f (un) − dλ(yk, un). Se y /∈ Sn,
ou seja, f (y) > f (un) − dλ(y, un) e f (yk) ≤ f (un) − dλ(yk, un). Dessas duas
desigualdaes temos,
f (y) > f (yk) + (dλ(yk, un) − dλ(y, un)).
Agora tomando o limite inferior nessa ´ultima desigualdade, temos:
f (y) > lim
k→∞inf {f (yk) + (dλ(yk, un) − dλ(y, un))}
= lim
k→∞inf {f (yk)} .
Um absurdo, pois f ´e uma fun¸c˜ao semicont´ınua inferiormente, assim y ∈ Sn
portanto Sn ´e fechado.
• Sn+1⊂ Sn.
Seja x ∈ Sn+1 ent˜ao x ≤ un+1 ∈ Sn logo un+1 ≤ un. Por transitividadade da
rela¸c˜ao de ordem parcial, x ≤ un logo x ∈ Sn.
• lim
n→∞diam(Sn) = 0. Com efeito, se u ∈ Sn ⊂ Sn−1, u ≤ un, temos:
f (u) ≤ f (un) − dλ(u, un) e f (un) ≤ inf {f (x); x ∈ Sn−1} +
2n.
dλ(u, un) ≤ f (un) − f (u) ≤ f (un) − inf {f (x); x ∈ Sn−1} ≤ 1 2n. Isto ´e, d(u, un) ≤ λ 2n e para u, v ∈ Sn,temos: d(u, v) ≤ d(u, un) + d(v, un) ≤ λ 2n + λ 2n ≤ λ 2n−1. Como, lim
n→∞diam(Sn) = n→∞lim sup {d(u, v), ∀u, v ∈ Sn}
≤ lim n→∞ λ 2n−1 = 0. Portanto, lim n→∞diam(Sn) = 0.
Como (X, d) ´e um espa¸co m´etrico completo e as afirma¸c˜aoes verificam as hip´oteses
do Lema 2.7, ent˜ao existe um xλ tal que
+∞
\
n=1
Sn= {xλ}. Agora resta verificar que xλ
´
e o elemento procurado. (i) f (xλ) ≤ f (x0)
Como xλ ∈ S1, ent˜ao f (xλ) ≤ f (x0) − dλ(xλ, x0), ou seja, f (xλ) ≤ f (x0).
(ii) d(xλ, x0) ≤ λ
Primeiramente, observe que para u, v ∈ Sn temos, d(u, v) < 2n−1λ , ∀n ∈ N. Em
particular, para xλ, un∈ Sn temos:
d(un, xλ) <
λ
2n−1 ⇒ n→∞lim d(un, xλ) ≤ limn→∞
λ 2n−1 ⇒ lim n→∞d(un, xλ) = 0 ⇔ lim n→∞un = xλ.
Por outro lado, ui+1∈ Si+1⊂ Si, logo ui, ui+1 ∈ Si. Al´em disso, d(x0, un) ≤ d(u1, u2) + d(u2, un) ≤ d(u1, u2) + ... + d(un−1, un) ≤ n−1 X i=1 d(ui, ui+1) = n−1 X i=1 λ 2i. Ou seja, d(x0, un) ≤ n−1 X i=1 λ
2i e tomando o limite dessa igualdade, temos:
d(x0, xλ) = lim n→∞d(x0, un) ≤ lim n→∞ n−1 X i=1 λ 2i = λ. (iii) f (xλ) < f (x) + λd(xλ, x)
Seja x ∈ X com x 6= xλ. Afirmamos que x xλ, porque se x ≤ xλ e como
xλ ≤ un, ter´ıamos x ≤ un e x ∈ Sn, ∀n. Ent˜ao, x ∈
+∞
\
n=1
Sn = {xλ} e x seria
igual a xλ, um absurdo.
Por outro lado, x xλ implica que
f (x) > f (xλ) − dλ(x, xλ) > f (xλ) − λd(x, xλ). Ou seja, f (xλ) < f (x) + λd(x, xλ).
Teorema 2.9. (Ponto fixo de Caristi) Sejam (X, d) um espa¸co m´etrico
com-pleto e uma fun¸c˜ao f : X → X. Se g : X → [0, +∞) ´e uma fun¸c˜ao semi-cont´ınua
inferiormente e d(x, f (x)) ≤ g(x) − g(f (x)) para todo x ∈ X ent˜ao, f tem ponto fixo.
Demonstra¸c˜ao. Seja g : X → [0, +∞) uma fun¸c˜ao semi-cont´ınua inferior. Para =
λ = 1 o Princ´ıpio de Ekeland estabelece que existe x1 ∈ X tal que g(x1) < g(x) +
d(x1, x), para todo x 6= x1. Provaremos que x1 = f (x1). De fato, suponha que
todo y = f (x1) seja diferente de x1, logo pela hip´otese do teorema g(x1) ≥ g(y) +
d(x1, y). Essa ´ultima desigualdade contradiz a desigualdade do Princ´ıpio Variacional
de Ekeland. Portanto, x1 ´e um ponto fixo de f .
2.4
Teorema do Ponto fixo de Tychonoff
O teorema do ponto fixo de Tychonoff estabelece que uma fun¸c˜ao cont´ınua definida
num subconjunto compacto e convexo de um espa¸co vetorial topol´ogico localmente
convexo possui ponto fixo.
Defini¸c˜ao 8. Sejam V um espa¸co vetorial sobre um corpo K e τ uma topogia em V
tal que para todo x ∈ V, {x} ´e fechado ou seja {x}C ∈ τ e as opera¸c˜oes de soma,
(+), e produto por escalar, (·), em V s˜ao cont´ınuas com respeito a τ . Dizemos que (V, τ ) ´e um espa¸co vetorial topol´ogico.
No caso em que a topologia τ em V possua uma base onde cada elemento dessa
base ´e um conjunto convexo, dizemos que V ´e um espa¸co vetorial topol´ogico
local-mente convexo.
Exemplo 3. Todo espa¸co vetorial normado possui uma estrutura topol´ogica natural
pois a norma induz a m´etrica e a m´etrica induz a topologia. Portanto todo espa¸co
vetorial normado ´e um espa¸co vetorial topol´ogico.
Exemplo 4. O espa¸co euclidiano Rn´e um espa¸co vetorial topol´ogico pois ´e um espa¸co
normado. Al´em disso, os elementos da base da topologia usual de Rn s˜ao bolas e
portanto convexas, logo o Rn ´e um espa¸co vetorial topol´ogico localmente convexo.
Agora vamos enunciar o teorema do ponto fixo de Tychonoff. Note que esse
teorema ´e uma extens˜ao do teorema do ponto fixo de Brouwer j´a que o Rn ´e um
espa¸co vetorial topol´ogico localmente convexo.
Teorema 2.10. (Ponto fixo de Tychonoff ) Seja X um espa¸co vetorial topol´ogico localmente convexo, K compacto e convexo e f : K −→ K cont´ınua, ent˜ao f possui ponto fixo.
2.5
Teorema do ponto fixo de Schauder
O teorema do ponto fixo de Schauder, assim como o teorema do ponto fixo de Brouwer ´
e um caso particular do teorema do ponto fixo de Tychonoff pois todo espa¸co de Banach (X, k · k) ´e um espa¸co normado, logo pelo exemplo 3 todo espa¸co de Banach ´
e um espa¸co vetorial topol´ogico. Al´em disso, a norma induz a m´etrica, que induz
a topologia, portanto as bolas abertas no espa¸co de Banach definida por B(a, ) = {x ∈ X; k x − a k< } s˜ao convexas e tamb´em os elementos da base da topologia na
qual os abertos s˜ao as bolas abertas.
Para demonstrar o teorema de Schauder vamos precisar do conceito de envolt´oria
convexa:
Defini¸c˜ao 9. Seja V um espa¸co vetorial normado sobre o corpo R e {x1, ..., xn} ⊂ V,
definimos a envolt´oria convexa de {x1, ..., xn} por:
conv{x1, ..., xn} = {α1x1+ ... + αnxn∈ V : α1, ..., αn∈ R+e n
X
i=1
αi = 1}.
Dado um conjunto S, o convS ´e o menor (no sentido de inclus˜ao) conjunto convexo
que cont´em S. No caso em que S ´e convexo teremos convS ⊂ S.
Proposi¸c˜ao 2.11. Sejam V um espa¸co vetorial e {x1, ..., xn} ⊂ V. O conv{x1, ..., xn}
´
e homeomorfo a um subconjunto compacto e convexo do Rn.
Demonstra¸c˜ao. Seja K = {x = (α1, ..., αn) ∈ Rn : α1, ..., αn ∈ R+, e
n
X
i=1
αi = 1}.
Note que K ´e claramente limitado pois, usando a norma da soma, dado x ∈ K, temos
que k x kS= n X i=1 |αi| = n X i=1 αi = 1.
K tamb´em ´e fechado. De fato, se {xk}k∈N ⊂ K ´e uma sequˆencia tal que xk → x
ent˜ao x ∈ K pois:
k xk− x k→ 0 quando k → ∞
ou seja,
k (αk1 − α1, ..., αkn− αn) k→ 0 quando k → ∞
donde temos que,
αki → αiquando k → ∞
Como αk
n X i=1 αi = n X i=1 lim k→∞α k i = lim k→∞ n X i=1 αki = lim k→∞1 = 1
Temos K ⊂ Rn´e limitado e fechado portanto K ´e compacto. Note tamb´em que K
´
e convexo pois, se x = (α1, ..., αn) e y = (β1, ..., βn) s˜ao elementos de K ent˜ao, para
todo t ∈ [0, 1] temos
(1 − t)x + ty = (1 − t)[(α1, ..., αn) + t(β1, ..., βn)]
= [(1 − t)α1+ tβ1, ..., (1 − t)αn− tβn]
Como t ∈ [0, 1] e αi, βi > 0 para todo i seque que (1 − t)αi + tβi > 0 para todo
i. Al´em disso, j´a que
n X i αi = n X i βi = 1 temos n X i [(1 − t)αi+ tβi] = (1 − t) n X i αi+ t n X i βi = 1 − t + t = 1
Agora, resta mostrar que conv{x1, ..., xn} ´e homeomorfo a K.
Definamos h : conv{x1, ..., xn} −→ K dada por
h(x) = h(α1x1 + ... + αnxn) = (α1, ..., αn).
Sua inversa ´e dada por
h−1(x) = α1x1+ ... + αnxn
Usando continuidade sequencial e que qualquer norma ´e equivalente em espa¸cos
de dimens˜ao finita, ´e f´acil ver que h e sua inversa h−1 s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas.
Teorema 2.12. (Ponto fixo de Schauder) Seja X um espa¸co de Banach, S ⊂ X compacto e convexo e f : S −→ S cont´ınua, ent˜ao f possui ponto fixo.
Demonstra¸c˜ao. Dado > 0 temos que [
x∈X
B(x) ´e uma cobertura por abertos de S.
Da compacidade de S existe n ∈ N tal que S ⊂
n [ i=1 B(xi). Definimos g : S → S por: g(x) = n X i=1 mi(x)xi n X i=1 mi(x) onde, mi(x) = − |x − xi|, se k x − xi k< , 0 se k x − xi k≥ .
Temos que g est´a bem definida, isto ´e,
n
X
i=1
mi(x) 6= 0 para todo x ∈ S. De fato, se
Pn
i=1mi(x) = 0 para algum x∗ ∈ S, o fato de mi(x) ≥ 0 nos leva a mi(x∗) = 0 para
todo i. Da defini¸c˜ao de mi temos k x∗− xi k≥ para todo i e portanto x∗ ∈ B/ (xi)
para todo i ou seja x∗ ∈/
n
[
i=1
B(xi) ⊃ S o que ´e um absurdo pois x∗ ∈ S.
Vejamos que g ´e cont´ınua. Para isso basta mostrar que mi ´e cont´ınua para todo
i pois g ´e soma e produto das mi.
Seja a ∈ S, mi ´e cont´ınua em a. De fato, dado > 0
(1) Caso k a − xi k≥ :
mi(a) = 0 logo, existe δ > 0 (na verdade para todo δ > 0) tal que, se k x−a k< δ
temos
|mi(x) − mi(a)| = |mi(x)| < ,
onde essa ´ultima desigualdade segue da pr´opria defini¸c˜ao de mi.
(2) Caso k a − xi k< :
Tome δ < logo, se k x − a k< δ temos
|mi(x) − mi(a)| =
|− k x − xi k −(− k a − xi k)| se k x − xi k< ,
= | k a − xi k − k x − xi k | se k x − xi k< , 0 se k x − xi k≥ . ≤ k a − xi− (x − xi) k se k x − xi k< , 0 se k x − xi k≥ . ≤ k x − a k se k x − xi k< , 0 se k x − xi k≥ . < δ se k x − xi k< , 0 se k x − xi k≥ . < se k x − xi k< , 0 se k x − xi k≥ .
Portanto, |mi(x) − mi(a)| < o que conclui a prova da continuidade de mi.
Note tamb´em que, para todo x ∈ S,
|g(x) − x| = n X i=1 mi(x)xi n X i=1 mi(x) − x (1) = n X i=1 mi(x)(xi− x) n X i=1 mi(x) (2) ≤ (3)
Considere Sn = conv{x1, ..., xn}, definimos para cada n ∈ N,
g ◦ f : Sn−→ Sn.
Vamos mostrar que g ◦f possui ponto fixo. Pela proposi¸c˜ao 2.11, Sn´e homeomorfo
a K ⊂ Rn. Seja h esse homeomorfismo e defina a fun¸c˜ao F : K −→ K por F =
h−1◦ (g ◦ f ) ◦ h.
Como F ´e composta de fun¸c˜oes cont´ınuas ent˜ao F ´e cont´ınua, pelo teorema 2.4
(ponto fixo de Brouwer), F possui ponto fixo, digamos x∗. Agora, veja que h(x∗) ´e
ponto fixo de g ◦ f :
Da defini¸c˜ao de F , obtemos que g ◦ f = h ◦ F ◦ h−1 portanto,
(g ◦ f )(h(x∗)) = h ◦ F ◦ h−1(h(x∗))
= h ◦ F (x∗)
= h(x∗)
onde a ´ultima igualdade segue do fato de x∗ ser ponto fixo de F . Portanto, para
cada n ∈ N, g ◦ f : Sn −→ Sn possui ponto fixo, digamos pn0.
Considere a sequˆencia de pontos fixos {pn
0}n∈N de g ◦ f , como {pn0}n∈N⊂ S que ´e
compacto, existe subsequˆencia {pn0
0 }n0∈N0 tal que pn
0
0 −→ p0 ∈ S quando n
0
→ ∞.
Al´em disso, para todo n0 ∈ N0 temos
k pn0 0 − f (p n0 0 ) k = k p n0 0 − g ◦ f (p n0 0 ) + g ◦ f (p n0 0 ) − f (p n0 0 ) k ≤ k pn0 0 − g ◦ f (p n0 0 ) k + k g ◦ f (p n0 0 ) − f (p n0 0 ) k ≤ k pn0 0 − p n0 0 k + k g ◦ f (p n0 0 ) − f (p n0 0 ) k ≤ k g ◦ f (pn0 0 ) − f (pn 0 0 ) k ≤
onde a ´ultima desigualdade foi obtida de (3).
Portanto, lim n0→∞k p n0 0 − f (pn 0 0 ) k≤ . Da convergˆencia de {pn 0 0 }n0∈N0 e da
continui-dade de f temos k p0− f (p0) k≤ para todo > 0, donde temos que f (p0) = p0.
3
Conclus˜
ao
Neste trabalho, percebemos que a existˆencia de ponto fixo de uma fun¸c˜ao f depende
possuem vantagem e desvantagem, por exemplo, o teorema do ponto fixo de Banach
exige mais do que continuidade da fun¸c˜ao f por´em este teorema garante a existˆencia
e unicidade do ponto fixo e mostra como constru´ı-lo. Este ´ultimo fato ´e de grande
valia em aplica¸c˜ao desse teorema, a saber: teorema de Picard. Os demais teoremas
de ponto fixo apresentados nesse trabalho exigem apenas continuidade por´em n˜ao
garante unicidade do ponto fixo, t˜ao pouco determina uma forma de encontr´a-los.
Observamos tamb´em que investigar a existˆencia de ponto fixo de uma determinada
fun¸c˜ao, ´e interessante do ponto de vista da existˆencia de tal ponto assim como pelo
fato de ser poss´ıvel obter importantes aplica¸c˜oes na Matem´atica.
Referˆ
encias
[1] Lins Neto, Alcides.: Fun¸c˜oes de uma Vari´avel Complexa. Rio de Janeiro: IMPA,
2005.
[2] Lima, Elon Lages.: Espa¸cos M´etricos. Rio de Janeiro: IMPA, 2005.
[3] Munkres R., James.: Topology A First Course. New Jersey: Massachusetts Ins-titute of Technology, 2005.
[4] Hu, Sze-Tsen.: Elements of General Topology. Los Angeles: University of Cali-fornia, 1964.
[5] Armando de Castro Junior, Augusto.: Curso de An´alise II. Salvador: UFBA,
2007.
[6] R. de Oliveira, C´esar.: Introdu¸c˜ao `a An´alise Funcional. Rio de Janeiro: IMPA,
2008.
[7] Stuckless, Tara.: Brouwer’s Fixed Point Theorem: Methods of Proof and Gene-ralizations. Canada: University of Newfoundland, 1999.
[8] Sette, Roblˆedo Mak’s Miranda.: O Princ´ıpio de Ekeland e o Teorema de
Nash-Moser. Vi¸cosa, MG: UFV, 2013.
[9] Andrade, Doherty e Garcia Martins, N´elson.: Introdu¸c˜ao a Topologia Geral.
Maring´a, PR: UEM, (www.dma.uem.br/kit).
[10] Miguel M. de Almeida, Ricardo.: Teorema do Ponto Fixo de Banach. Porto, Universidade do Porto, 2001.
[11] Pata, Vitorino.: Fixed Point Theorem and Applications.
[12] Castro Junior, Armando.: Curso de Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias. Livro em
